2. Dynamica 2.1. De wetten van Newton Tijdens het hoofdstuk dynamica worden de 3 wetten van Newton bestudeert: 1. De traagheidswet: een voorwerp behoudt zijn bewegingstoestand als de resulterende kracht op he voorwerp gelijk is aan 0. Met andere woorden: als een voorwerp in beweging is, wilt het in beweging blijven. Als een voorwerp in rust is, wilt het in rust blijven. 2. Een kracht verandert de snelheid: de verandering van de impuls is recht evenredig met de resulterende kracht en volgt de rechte lijn waarin de kracht werkt. ๐นโ = ๐ . ๐โ 3. Actie- reactiewet ๐น๐๐๐ก๐๐ = − ๐น๐๐๐๐๐ก๐๐ 2.2. Voorbeelden van de eerste wet van Newton 1. Doordat de vrachtwagen in figuur 1 plots moest remmen, is de grote steen naar voorgeschoven waardoor de cabine werd beschadigd. De reden hiervoor is dat de steen in beweging wilde blijven terwijl de vrachtwagen (inclusief de container) tot stilstand kwam. Figuur 1: Vrachtwagen 1 2. Bij een motorongeluk ligt de schoen van de motorbestuurder vaak enkele meters verder ten opzicht van zijn motor. De reden hiervoor is dat dezelfde als bij voorbeeld 1, de schoen van de motorrijder wilt in beweging blijven. Figuur 2: Motorongeluk 2.3. Voorbeelden van de tweede wet van Newton 1. Het meest gekende voorbeeld van de tweede wet van newton is de zwaartekracht. Ieder voorwerp in de buurt van de aarde wordt aangetrokken door de aarde. Als er een voorwerp in de lucht wordt losgelaten zal deze naar beneden vallen door de zwaartekracht. Een voorbeeld hiervan is een parachutist die uit een vliegtuig spring (fig. 3). Als deze 80 kg weegt zal deze een kracht van 785 N ondervinden door de zwaartekracht. Hieronder worden de berekeningen weergegeven. Figuur 3: Parachutist Geg. [m] = 80 kg [a] = 9,81 m/s2 Gevr? F Opl. F = m.a F = 80 kg . 9,81 m/s2 F = 784, 8 N Antwoord De parachutist ondervindt een kracht van 7,84 . 102 N. Op de aarde is er altijd een valversnelling van gemiddeld 9,81 m/s2. 2 2. Een Bugatti Veyron EB 16.4 met een massa van 1880 kg heeft een motor van 8,0 liter met 16 cilinders en vier turbo’s (figuur 4). Hierdoor heeft de motor een vermogen van 1 001 pk en kan hij in 2,5 seconden 100 km/u rijden. Om deze versnelling van 11 m/s2 te halen, levert de motor een kracht van 20 889 N. Hieronder worden de berekeningen weergegeven. Figuur 4: Bugatti Veyron EB 16.4 Geg: m = 1880 kg v = 100 km/u = 27.8 m/s2 t = 2, 5 s Gevr: F Opl: ๐ฃ ๐=๐ก= ๐ 27,8 2 ๐ 2,5 ๐ ๐ = 11,11 ๐ 2 ๐น = ๐ . ๐ = 1880 ๐๐ . 11,11 ๐ ๐ 2 = 20 889 ๐ 3 2.4. Voorbeelden van de 3de wet van Newton. 1. Zoals gezien in bij voorbeeld 1 van 2.3. werkt de zwaartekracht op ieder voorwerp die in de buurt van de aarde is in. Waarom zakt een boek dan niet door de tafel? Het boek zakt niet door de tafel omdat er een tegenreactie is op de zwaartekracht (actiekracht) (fig. 5). De tegenreactie van de zwaartekracht wordt de normaalkracht genoemd. Als het boek in dit voorbeeld 2,00 kilogram zou wegen, dan is de zwaartekracht gelijk aan – 19,6 N en de normaalkracht gelijk aan 19,6 N. Onder figuur 5 kan je de berekeningen terugvinden. โโโโโโโโโโโโโโโโ ๐น๐๐๐๐๐ก๐๐ โโโโโโโโโโโโ ๐น๐๐๐ก๐๐ Figuur 5: Boek op tafel Geg: g = 9,81 m/s2 m = 2,00 kg Gevr: Freactie Opl: Factie = FZ = m . g = 2,00 kg . 9,81 m/s2 = - 19,6 N Factie = - Freactie Freactie = 19,6 N 4 2. Een luster die aan een plafond hangt, is ook onderhevig aan de zwaartekracht (actiekracht). De tegenreactie is hier eveneens de normaalkracht (zie figuur 6). โโโโโโโโโโโโโโโโ ๐น๐๐๐๐๐ก๐๐ โโโโโโโโโโโโ ๐น๐๐๐ก๐๐ Figuur 6: Luster 5 3. Krachten In hoofdstuk 2 werden de wetten van newton meer uitgelegd. Hier hebben we gezien dat een kracht wordt veroorzaakt door een versnelling en dat voor iedere actiekracht er een tegenreactiekracht ontstaat. In dit hoofdstuk zullen we dieper ingaan over wat een kracht is. 3.1. Wat is een kracht Een kracht is een vectoriele grootheid. Dit wil zeggen dat een kracht de volgende zaken bevat: - Een aangrijpingspunt Een richting Een zin Een grootte Figuur 7 geeft dit visueel weer. Het aangrijpingspunt is het punt waar de pijl begint. De richting zegt iets over de richting waar de pijl naartoe gaat, dit kan horizontaal of verticaal. In figuur 7 is de richting horizontaal. De zin geeft is de pijl zelf aan de hand van de pijl wordt het teken van de kracht bepaald, is deze mee met de richting van het assenstelsel is deze positief, is deze in de tegengestelde richting van het assenstelsel is deze negatief. In figuur 7 is de richting positief. De grootte is de lengte van de pijl. Hoe groter de kracht, hoe langer de pijl. Figuur 7: Vectoriele kracht Wanneer een waarde een vectoriele grootheid is, is het teken van de waarde altijd afhankelijk van het richting. Dit is de reden waarom er een pijl boven de letter moet staan. Een kracht kan 2 fenomenen veroorzaken: - Vervorming ๏จ statische kracht o Een voorbeeld van een statische kracht is het plooien van metaal (zie figuur 8.a) Beweging ๏จ dynamische kracht o Een voorbeeld van een dynamische kracht is het rond draaien van de wieken van een turbine (zie figuur 8.b) Figuur 8: Fenomenen van een kracht 6 3.2. Resulterende krachten Als er meerdere krachten op een voorwerp inwerken, wordt de resulterende kracht op dit voorwerp berekend. De resulterende kracht is de som van alle krachten die op een voorwerp inwerkt. 3.2.1. De resulterende kracht van 2 horizontale krachten. Op de Porsche 911 GT3 RS werken er 2 krachten in, namelijk één van 1000 N en één van 500 N, die tegengesteld zijn aan elkaar (fig. 9). De resulterende kracht van de krachten die inwerken op de Porsche 911 GT3 RS is gelijk aan 500 N. Dit wordt visueel weergegeven in figuur 10. Fr,hor = 1000 N – 500 N = 500 N Hieruit kan er besloten worden dat de Porsche een voorwaartse versnelling ondervindt. Figuur 9: 2 krachten die inwerken op Porsche Figuur 10: Resulterende kracht die inwerkt op Porsche Als er meer dan 2 horizontale krachten op een voorwerp inwerken, moeten deze op dezelfde manier worden opgeteld/ afgetrokken. 3.2.2. De resulterende kracht van 2 verticale krachten Net zoals bij de horizontale kracht zullen de verticale krachten worden opgeteld met elkaar. De resulterende kracht die inwerkt op de appel uit figuur 11 is gelijk aan 0 N. Dit wilt zeggen dat de appel aan de boom zal blijven hangen. Fr,ver = 30 N – 30 N = 0 N 7 Figuur 11: Appel aan boom 3.2.3. Resulterende kracht van zowel horizontale als verticale krachten. Eenmaal alle horizontale en verticale krachten afzonderlijk met elkaar zijn opgeteld, wordt de totale resulterende kracht berekend. Dit kan berekend worden met behulp van de stelling van Pythagoras. ๐น๐ = √๐น๐,โ๐๐ 2 + ๐น๐,๐ฃ๐๐ 2 De resulterende kracht van figuur 12 is gelijk aan 45 N. Fres = √(20 ๐)2 + (40 ๐)2 Fres = 45 N Figuur 12: Resulterende kracht horizontale en verticale kracht 8 3.3. Het aangrijpingspunt Ieder voorwerp heeft zijn massamiddelpunt, dit is het punt waar fysische gezien de massa van een voorwerp kan geconcentreerd worden. Voor de gemiddelde mens is dit net boven de navel (figuur 13). Voor meetkundige figuren is dit het midden van de figuur (figuur 14 en 15). De reden dat er gebruik wordt gemaakt van een massamiddelpunt is omdat dit eenvoudiger is om te tekenen. Het massamiddelpunt is eveneens het aangrijpingspunt van de vector. Figuur 13: Massamiddelpunt mens Figuur 14: Massamiddelpunt driehoek 9 Figuur 15: Massamiddelpunt vierkant (zwarte bol) 3.4. De gravitatiekracht tussen twee massa’s In hoofdstuk 2 is er besproken geweest dat iedere voorwerp wordt aangetrokken door de aarde. De derde wet van Newton zegt dat er bij iedere actiekracht een tegenreactiekracht ontstaat. Dit wilt zeggen de het voorwerp ook de aarde aantrekt. Hieruit heeft Newton de gravitatiewet afgeleid. Deze luidt: Twee massa’s trekken elkaar aan met een kracht, die recht evenredig is met die massa’s en omgekeerd evenredig is met het kwadraat van de afstand tot hun massamiddelpunt. Een visuele voorstelling hiervan zie je in figuur 16. Figuur 16: Gravitatiewet van Newton 10 Dit wordt voorgesteld met de volgende formule: ๐น = ๐น ′ = ๐บ. ๐.๐′ ๐2 Met - F: kracht - G: de gravitatieconstante G = 6,670. 10−11 - r: de afstand tussen de massamiddelpunten van de voorwerpen m: de massa van het voorwerp die de kracht uitoefent m’: de massa van het voorwerp die de kracht ondervindt ๐.๐2 ๐๐2 Aan de hand van een voorbeeld zal deze wet worden verduidelijkt: Pol (70 kg) en Jef (60 kg) zitten te schaken op een bank (fig. 17). Tussen hen ligt het schaakbord van 500 mm. Bereken de gravitatiekracht die Jef ondervindt van Pol. Figuur 17: Pol en Jef op een bank Geg. m1 = 70 kg m2 = 60 kg r = 500 mm = 500 . 10-3 m Gevraagd? F Opl. ๐น = ๐น ′ = ๐บ. ๐.๐′ ๐2 ๐น = ๐น ′ = ๐บ. ๐.๐′ ๐2 ๐น = ๐น ′ = 6,670. 10−11 ๐.๐ 70 ๐๐ . 60 ๐๐ . ๐๐2 (500.10−3 ๐)2 11 ๐น = ๐น ′ = 1,12 . 10−6 ๐ Er kan dus besloten worden dat dit over een zeer kleine kracht gaat. Een bijzonder van de gravitatiekracht is de zwaartekracht van de aarde. De gravitatiekracht is namelijk gelijk aan de zwaartekracht (zie onderstaand voorbeeld). Een persoon van 70,0 kg staat op het strand naar de golven te kijken. Bereken de zwaartekracht en de gravitatiekracht. De massa van de aarde is 5,972.1024 kg. De straal van de aarde is 6 371 km. De gravitatie constante is 6,670 . 10−11 (๐.๐2 ) ๐๐2 ๐น๐ง = ๐. ๐ ๐น๐ = ๐บ. ๐๐ .๐ ๐2 ๐ ๐น๐ง = ๐. ๐ = 70,0 ๐๐ . 9,81 ๐๐ = 687 ๐ ๐น๐ = ๐บ. ๐๐ .๐ ๐2 = 6,670 . 10−11 (๐.๐2 ) ๐๐2 . 5,972.1024๐๐ .70,0 ๐๐ 2 (6371.103 ๐) = 687 ๐ Naast de zwaartekracht is er ook zoiets als de zwaarteveldsterkte (Ez). De zwaarteveldsterkte is altijd aanwezig rond de aarde. Pas vanaf er een voorwerp in de zwaarteveldsterkte terecht komt zal dit voorwerp een zwaartekracht ondervinden (figuur 18). De zwaartekracht is de dynamische kracht die de aarde uitoefent. De zwaarteveldsterkte is de statische kracht die de aarde uitoefent. Figuur 18: Zwaarteveldsterke 12 Uit figuur 19 kunnen we afleiden dat de kracht die de rugzak uitoefent op de stylo en de kracht die de stylo uitoefent op de rugzak even groot zijn maar tegengesteld aan elkaar zijn. Daarnaast kunnen we besluiten dat de versnelling van de stylo naar de rugzak toe groter is dan de versnelling van de rugzak naar de stylo. Dit komt omdat de massa van de rugzak groter is dan de massa van de stylo. Symbolisch wordt dit als volgt weergegeven: Fr = Fs mr > ms ar < as Figuur 19: Krachten tussen stylo en rugzak 13
