document oc

1
OC : Sangaku
LITERATUURSTUDIE
Verschil Wasan en Yosan
De term ‘Wasan’ betekent Japanse wiskunde ( wa= Japan, san = wiskunde) en ‘Yosan’ komt van ( yo =
Westers, san = wiskunde), als je ze dan samenbrengt, krijg je Westerse wiskunde.
Doordat Japan volledig geïsoleerd was van de buitenwereld, wisten ze niets af van de ontwikkelde
rekenmethodes van het Westen. Deze rekenmethodes waren handig omdat ze het berekenen van
opgaves makkelijker maakte. Met gevolg dat de Japanners te werk moesten gaan met oneindig lange
bewerkingen hiervoor gebruikte ze voral meetkunde. maar de Nederlanders wisten hun toch
uiteindelijk te bereiken en hun wiskunde min of meer te beïnvloeden. Dit betekende het einde van
de Edo periode. ‘Wasan’ werd nog gehanteerd tot 1872. De regering besloot om Japan te
moderniseren.’ Yosan ‘werd toen op scholen aangeleerd, want hij was ‘superieur’ aan Wasan.
Kambei Mori, Seki Takakazu, en Koide Chojuro waren de grondleggers van Wasan.
Kambei Mori (17e eeuw)
Hij was de eerst gekende Japanse wiskundige in de geschiedenis. Hij concentreerde zich vooral op
wiskunde en rekende met saroban(een hulpmiddel om te rekenen). Vervolgens richtte hij een school
op in Kyoto. Hij schreef meerdere boeken over rekenkunde en de abacus. Eén van zijn studenten was
Yoshida Mitsuyoshi de auteur van Jinkōki, Jinkōki is het oudst, bestaand Japanse wiskundeboek.
Koide Chojuro (1797-1865)
Hij zette de eerste logaritmische tabel op de markt in 1844. Hij ontwikkelde met een aantal andere
astronomen en wiskundige een nieuwe en betere lunar kalender -systeem. Want het oude systeem
zat vol met fouten. De nieuwe kalender werd Tenpō-Jinin calendar genoemd. Die werd dan in heel
Japan gebruikt tot in 1872 , toen de Gregoriaanse kalender zijn plaats innam.
Seki Takakazu (1642-1708)
Men beschouwde hem als de 2de Newton. Om specifiek te zijn was hij de invloedrijkste wiskundige in
Japan, toen ze nog geïsoleerd waren van de werstere wereld. Seki bereikte veel in zijn leven. Hij
ontwierp een nieuwe algebraïsche notatie systeem en werkte aan infinitesimaalrekening en
Diofantische vergelijkingen, dit zijn veeltermvergelijkingen waar de oplossingen en de coëfficiënten
gehele getallen moeten zijn. Hij ontdekte ook determinant, een wiskundige constructie die wordt
gebruikt om systemen van lineaire vergelijkingen op te lossen door afhankelijke variabelen te
elimineren. Al zijn werk was vrij origineel, alsof hij het zichzelf had aangeleerd. Vandaar dat
meerdere geleerden denken dat hij autodidactisch was. Bovendien richtte hij een school op die
Wasan zijn unieke smaak gaf. Een andere belangrijke ontdekking die aan hem wordt toegeschreven is
het cirkelprincipe of ‘’Enri”. Dit is gelijkwaardig met de calculus die werd ontwikkeld door Newton en
2
OC : Sangaku
Leibniz in Europa. Hij paste die dan als eerste toe en kreeg een berekening van de waarde van pi tot
wel 10 decimalen.
‘Wasan’ werd door meerdere beschouwd als amusement, ook is de term ‘Japanse wiskunde’ niet
helemaal juist, want ‘Wasan’ is grotendeels beïnvloed door de Chinese wiskunde.
Bij ‘Wasan’ draait het om complexe constructies binnenin cirkels, ellipsen, rechthoeken en andere
goniometrische figuren. Je herkent ‘Wasan’ ook aan zijn rakende figuren.
Een veelgebruikte manier om de oppervlakte en volume van goniometrische figuren te bepalen is
‘Enri’ of soms ook het cirkelprincipe genoemd. In dit principe verdeel je een cirkel of een andere
goniometrische figuur, in allemaal rechthoekige stroken. Hoe dunner de stroken zijn, des te
nauwkeuriger en correcter wordt je oppervlakte.
Eén van de meer oudere boeken is Chou-pei Suan-ching, hier wordt de stelling van Pythagoras
toegepast. The Chiu-chang (boek) bevat talrijke methoden om de oppervlakte van driehoeken,
cirkels,… te berekenen. Ook bevatte het meerdere vraagstukken en werd er gewerkt met integralen.
Makkelijkere methoden hadden ze toen nog niet.
Bij Westerse wiskunde hebben we het te maken met snijdende lijnen, driehoeken, hoeken en heel
soms cirkels. Goniometrie, driehoeksmeting en logaritme vormden de basis voor de Westerse
wiskunde. Ze gebruikten zelfs astronomie in hun wiskunde wat best wel vreemd was voor de
Japanners.
Volgens de Japanse wiskunde is het vreemd dat men al eerder (dus voor Wasan en Yosan)
berekeningen deed met negatieve getallen. De westerse wiskunde (Yosan) vond negatieve getallen
een taboe, vooral omdat ze vooral met figuurtjes werkten. Hoe kan nu iemand een negatief aantal
goederen hebben. Een negatieve lengte zou ook vreemd zijn.
Er zijn jammer genoeg geen bronnen of informatie over de formules die er gebruikt werden. Yosan
en Wasan noteerden enkel twee stappen en geen tussenstappen.
Men gelooft dat één van de belangrijkste verschillen tussen de Japanse wiskunde en de westerse
wiskunde de context was waarin ze werden ontwikkeld. Het is bijvoorbeeld waar dat Seki Kowa en
zijn opvolgers gelijkwaardige stellingen hebben ontwikkeld als Newton en Leibniz, maar ze hebben
het alleen toegepast op geometrische opstellingen, zoals het vinden van gebieden en volumes.
Newton ontwikkelde calculus met als doel een theorie van de zwaartekracht te beschrijven. Dit
betekende dus veel voor de groei van de natuurkunde. Bovendien ontwikkelde de wiskunde zich
alsmaar beter door vooral verbanden te leggen met de fysica. De natuurkunde of fysica houdt zich
bezig met krachten en grootheden die niet gemakkelijk voorgesteld kunnen worden, zoals energie.
Zo ontstond er in het westen een nieuw niveau van abstractie van de wiskunde, terwijl in Japan de
wiskunde zich bleef concentreren op het oplossen van geometrische problemen die gemakkelijk
konden worden gevisualiseerd en die ook aantrekkelijk waren. Vandaar dat ze de Wasanisten geen
wiskundige noemen maar artiesten. Het hogere niveau van abstractie in de wiskunde gaf het een
groter probleemoplossend vermogen en opende nieuwe wegen voor wiskundigen. Alhoewel Yosan
en Wasan veel dingen gemeen hebben, is het geen geheim dat Yosan toch wat meer en sneller
ontwikkeld was.
3
OC : Sangaku
Sangi
Bij Wasan, de Japanse wiskunde, gebruikten ze
bv. Sangi als rekenmethode. Bij Sangi lost men
vergelijkingen op met Chinese cijfers in een
tabelvorm. Deze cijfers krijgen een kleur rood of
zwart. De zwartgekleurde Chinese getallen zijn
negatief en de roodgekleurde Chinese getallen
zijn positief.
Het gaat wel duidelijk worden met een
voorbeeld.
Gegeven: -9 + 3x + 2x2 + x3 = 0
Je maakt een tabel van 8 kolommen en 6 rijen.
In de 1ste kolom zet je de duizendtallen, in de 2de
,de honderdtallen, in de 3de kolom de tientallen,
in de 4de de eenheden, de 5de kolom staat voor
getallen tot de tiende, de 6de voor getallen tot de
honderdste, de 7de voor getallen tot de
duizendste. Dit doe je omdat je alleen maar
eenheden gebruikt.
In de 1ste rij zet je ‘sho’ en die stelt de onbekende
voor. In de derde rij zet je ‘jitsu’ en dat staat voor
x tot de 0de macht, in de vierde rij zet je ‘ho’ en
dat staat voor 𝑥 1 , in de vijfde rij zet je ‘ren’ en dat
staat voor𝑥 2 en in de zesde rij zet je ‘gu’ en dat
staat voor 𝑥 3
Vervolgens stop je -9 + 3x + 2x2 + x3 = 0 in die tabel.
En je krijgt dan zoiets:
4
OC : Sangaku
Stel dat ‘sho’/r gelijk is aan 1 , dan
vermenigvuldig je sho met gu en vermeerder je
het met ren. Dan krijg je 3 als uitkomst en dat is
dan jouw nieuwe ren. Vermenigvuldig sho nu
met het gekregen ren en tel dat op bij ho en dat
is dan jouw nieuwe ho. Nu doe je hetzelfde maar
dan bij ho om jitsu te krijgen. Dus sho
vermenigvuldigen met het gekregen ho plus jitsu.
En je krijgt zoiets:
En nu ga je verder met de tabel die je als laatste
kreeg en doe je weer het zelfde maar dan niet
bij jitsu.
Dus je doet sho maal gu plus ren en dat is dan
jouw nieuwe ren. Je doet dan sho maal je
nieuwe ren plus ho en dat is dan jouw nieuwe
ho. Je krijgt dan dit:
Nu heb je al je jitsu en ho verkregen maar geen
nog niet je ren, daarom ga je hetzelfde doen om
ren te krijgen. Je gaat weer verder rekenen met
de laatste gekregen tabel.
Je doet dus sho maal gu plus ren en dat is dan
jouw nieuwe ren. Je krijt dan dit:
Hieruit kan je afleiden dat je -3 + 10y + 5y2 +y3 = 0 krijgt na dat je x = y+1 toepast in
-9 + 3x + 2x2 + x3= 0. Om het getal zo nauwkeurig mogelijk te maken, verander je y = z + 0,2 in de
vergelijking.
Sangi is net als de regel van Horner die wij nu gebruiken.
5
OC : Sangaku
fig.1:
fig.2:
fig.3:
-9 3 2
6 3 1
-3 6 3
4 1
10 4
1
5
1
1
1
1
fig.4: -3 + 10y + 5y2 + y3 = 0
Een ander voorbeeld is de oppervlakte berekenen van een
cirkel
Yenri of het cirkelprincipe is een Wasan methode om de
oppervlakte van een cirkel te benaderen door parallelle
strookjes te tekenen in de cirkel. Hoe smaller de strookjes,
hoe nauwkeuriger de berekening zal zijn. Je zou tenslotte de
oppervlakte moeten berekenen van elk strookje en allemaal
bij elkaar optellen. Hierbij is jouw berekening niet volledig
juist, wel te klein.
Er is ook een Yosan methode om de oppervlakte van een cirkel te
berekenen. Deze methode kan je vergelijken met
Riemannsommen.
In dit voorbeeld gaan we de oppervlakte proberen te benaderen
door onder de grafiek intervallen te tekenen.
Pas op, ze moeten wel allemaal een gelijke breedte hebben!
Vervolgens tel je de oppervlakten op van deze rechthoekjes. De
som is een benadering van de werkelijke oppervlakte. De hoogte
van deze intervallen komt overeen met de functiewaarde van de
rechtergrens (geel).
De benaderde waarde van de oppervlakte zal kleiner zijn dan de
werkelijke oppervlakte, maar dit is voor de hand liggend, want we
hebben steeds onder de grafiek getekend. De som van de
intervallen noemen we de ondersom.
6
OC : Sangaku
SANGAKU 5
Onderzoeksvraag
Wat is de straal van de cirkels in het vierkant met zijde c als in dat vierkant 4 van de cirkels in
congruente driehoeken gelegen zijn en de 5de cirkel in een vierkant tussen de driehoeken?
7
OC : Sangaku
W
M
r
rP
𝑐 =𝑧+𝑦
𝑏 =𝑟+𝑧 ⟺𝑧 =𝑏−𝑟
𝑎 =𝑦+𝑟
𝑧 =𝑏−𝑟
𝑐 =𝑦+𝑧
𝑐 =𝑦+𝑏−𝑟
𝑦 =𝑐−𝑏+𝑟
𝑎 =𝑦+𝑟
𝑎 =𝑐−𝑏+𝑟+𝑟
2𝑟 = 𝑎 − 𝑐 + 𝑏
𝑟=
𝑎−𝑐+𝑏
2
De stellingen die we hiervoor gebruikten zijn:
Stelling 1: een cirkel raakt een lijn a als P en de cirkel M precies 1 punt gemeenschappelijk hebben
(raakpunt).
Als de cirkel een middelpunt M heeft en het raakpunt P is dan staat lijn MP loodrecht op a
Stelling 2: als BP en BW raaklijnen zijn aan de cirkel M met raakpunten P en W dan is BM de
middelloodlijn van PW
Gevolg: |𝐵𝑃|en |𝑃𝑊|zijn even lang
8
OC : Sangaku
In driehoek ABC kunnen we ook de stelling van Pythagoras toepassen.
 𝑐 2 = 𝑏 2 + 𝑎2

𝑟=
𝑎−𝑐+𝑏
2
 (𝑎 − 2𝑟 + 𝑏)2 = 𝑏2 + 𝑎2 ⇔ 𝑏2 + 𝑎2 + 4𝑟 2 + 2𝑏𝑎 − 4𝑏𝑟 − 4𝑎𝑟 = 𝑏2 + 𝑐 2
⇔ 4𝑟 2 + 2𝑏𝑎 − 4𝑏𝑟 − 4𝑎𝑟 = 0 ⇔ 2𝑟 2 + 𝑎𝑏 − 2𝑏𝑟 − 𝑎𝑟 = 0
E
F
Vierkant EFGH heeft zijde EF
|𝐸𝐹| = |𝐷𝐹| − |𝐷𝐸| = 𝑏 − 𝑎 = 2𝑟
Wij hadden ook gezien dat 2𝑟 = 𝑏 + 𝑎 − 𝑐 was. Dus:
𝑏 − 𝑎 = 𝑏 + 𝑎 − 𝑐 ⇔ 𝑐 = 2𝑎
H
G
9
OC : Sangaku
c
𝑎 = 2𝑟 + 𝑏
𝑏 = 𝑎 − 2𝑟
2𝑟 = 𝑎 − 𝑏
𝑎−𝑏
⟺𝑟=
2
⟺𝑟=
⟺
𝑎−𝑏
2
𝑎−𝑏
=
2
.2 =
𝑎+𝑏−𝑐
2
𝑎+𝑏−𝑐
2
(1ste bewijs)
.2
⟺𝑎−𝑏−𝑎 =𝑎+𝑏−𝑐−𝑎
⟺ −𝑏 = 𝑏 − 𝑐
⟺ 𝑐 = 2𝑏
⟺ sin ∝=
⟺
𝑏
2𝑏
1
=2
(SOA)
∝= 30°
β =180°- 90°- 30° =60°
2b
10
OC : Sangaku
ghggfbghygbhhhhhhhhhhhhhhhhhhhffffffffffffsssnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
We gebruiken nu de formule van onze straal en vormen het om in functie van c
60°
c
b
30°
a
sin 30° =
𝑏
𝑐
(SOA)
𝑎
𝑐
(CAS)
⟺ 𝑎 = cos 30° . 𝑐
𝑟=
=
𝑎+𝑏−𝑐
2
𝑐𝑜𝑠 30°.𝑐+𝑠𝑖𝑛30°.𝑐−𝑐
2
𝑐𝑜𝑠 30° =
𝑎
𝑐
⟺ 𝑎 = cos 30° . 𝑐
𝑟=
=
𝑎−𝑏
2
𝑐𝑜𝑠 30°. 𝑐 − 𝑠𝑖𝑛30°. 𝑐
2
1
= 𝑐 (𝑐𝑜𝑠30° + sin 30° − 1)
2
1
= 𝑐 (𝑐𝑜𝑠30° − sin 30°)
2
1
√3 1 2
= 𝑐 ( + − )
2
2
2 2
1
√3 1
= 𝑐 ( − )
2
2
2
1
√3 − 1
= 𝑐 (
)
2
2
1
√3 − 1
= 𝑐 (
)
2
2
= 𝑐(
√3 − 1
)
4
(SOA)
⟺ 𝑏 = sin 30°. 𝑐
⟺ 𝑏 = sin 30°. 𝑐
𝑐𝑜𝑠 30° =
𝑏
sin 30° = 𝑐
= 𝑐(
√3 − 1
)
4
(CAS)
11
OC : Sangaku
Conclusie:
√3−1
).
4
De straal van alle cirkels is 𝑐 (
congruent zijn.
Hiermee bewijzen we ook dat alle cirkels in het grote vierkant
BIBLIOGRAFIE
Fukagawa, H. (2008) Sacred Mathematics. Geraadpleegd op 17/01/2019 via
https://issuu.com/mariusbravo/docs/sangakus
Heefer, A. (2012) Dutch Arithmetics Samurai And Warschips. Geraadpleegd op 17/01/2019 via
https://www.academia.edu/1892610/Dutch_Arithmetics_Samurai_and_War_Ships_Teaching_of_West
ern_Mathematics_in_Pre_Meiji_Japan
Laumen, R. (2012). Sanguka (deel 1). Geraadpleegd op 17/01/2019 via
http://www.karelbuls.be/vvwl/files/WenO/149/pag.004-008.pdf
Majewski, M. (2011). Hirotaka’s Ebisui geometry problems in Teaching Mathematics. Geraadpleegd
op 17/01/2019 viahttps://symmetrica.files.wordpress.com/2014/12/sketch_06c.pdf
Meijer, A. (2015). Yosan versus Wasan. Geraadpleegd op 17/01/2019
viahttps://www.slideshare.net/ArianneMeijervandeGr/profielwerkstuk-arianne
Rothman, T. (2003). JAPANESE TEMPLE GEOMETRY. Geraadpleegd op 17/01/2019 via
https://www.yumpu.com/en/document/view/25323376/japanese-temple-geometry/5
Sangi. Geraadpleegd op 26/01/2019 via http://wasan.jp/english/sangi.html