Rekenen met breuken UITLEG

Breuken optellen
Sommen met breuken worden makkelijker als je aan taarten denkt. Daarom beginnen we weer
met een taartenverhaal:
Je koopt twee taarten. De ene taart laat je in 10 stukken snijden, de andere in 8 stukken.
Je hebt nu
+
= 2 taarten.
Van elke taart worden zeven stukken gegeten. Hoeveel taart is er nog? Het sommetje is:
+
=?
Als je breuken met elkaar wilt vergelijken, optellen of aftrekken, moet je ze gelijknamig maken.
Dat betekent dat je de breuken zó omrekent dat de noemer (het getal onder de streep) bij beide
breuken gelijk is. Dit wordt uitgebreider behandeld op de pagina Breuken vergelijken.
In dit geval kun je de breuken omrekenen naar veertigsten, want 40 zit in de tafel van 10
(4x10=40) en in de tafel van 8 (5x8=40). De som wordt daarmee:
+
=?
Als de noemers gelijk zijn, kun je de tellers vergelijken, optellen en aftrekken. Dus:
+
=
Het sommetje hierboven heeft een lastige uitkomst waar je verder niet veel mee kunt. In sommige
gevallen kun je de uitkomst nog vereenvoudigen. Bijvoorbeeld:
+
=
+
=
=
en nog een voorbeeld:
+
=
+
=
=
=
Breuken aftrekken
Als je twee breuken van elkaar moet aftrekken, is het belangrijk dat je ze eerst gelijknamig
maakt. Een voorbeeld:
Een pizzaverkoper heeft vlak voor sluitingstijd nog drie kwart van een pizza liggen. Iemand vraagt
om vijf punten van een achtste pizza. Hoeveel blijft er over?
Het sommetje is:
-
=?
Je kunt dit pas netjes uitrekenen als de noemers (de getallen onder de streep) gelijk zijn. Je moet
in dit geval de eerste breuk omzetten in achtsten, want:
=
De som wordt dan:
-
=
De pizzaboer kan dus zelf dat laatste puntje van
opeten en gaat daarna naar huis.
Meer weten over gelijknamig maken? Kijk op de pagina Breuken vergelijken
Breuken delen
Een breuk delen door een geheel getal
Je kunt een breuk delen door een getal. Bijvoorbeeld:
:4=?
Eerst maar even taart snijden. In dit geval hebben we één taart in 9 stukken gesneden. Daarvan
hebben we nu nog 8 stukken, die we willen verdelen over 4 tafeltjes. Op ieder tafeltje komen 2
stukken taart.
:4=
Je kunt zien dat bij dit sommetje niets gebeurt met de noemer (het getal onder de streep).
We rekenen gewoon 8:4=2 uit. De 9 onder de streep blijft gewoon een 9.
Een breuk met lastig deelbare teller delen door een geheel getal
Als je het getal boven de streep niet makkelijk kunt delen, moet je eerst de breuk omrekenen naar
een breuk met grotere getallen. Bijvoorbeeld:
:4=?
Als je 6:4 uitrekent, krijg je nog eens te maken met een breuk. Dat is niet handig. Zoek een getal
dat in de tafels van 4 en 6 voorkomt. Dat is 12.
Je kunt ook schrijven als
. Je vermenigvuldigt de getallen boven en onder de streep allebei
met 2. Het sommetje wordt dan:
:4=?
Nu kun je het getal boven de streep wel door 4 delen. 12:4=3.
:4=
Delen door een breuk: pizzapunten
Wat doe je eigenlijk bij een deelsom? Kijk eens naar dit voorbeeld: een groep mensen wil
klaverjassen. Dat is een kaartspel dat je met 4 personen moet spelen. De groep bestaat uit 8
personen. Hoeveel groepjes van 4 personen gaan klaverjassen?
8:4=2
Je berekent dus hoe vaak 4 in 8 zit.
Nu pizzapunten. Je hebt 3 pizza's in kwarten verdeeld. Hoeveel kwarten zitten er in 3 pizza's? De
deelsom die hierbij hoort is eigenlijk:
3:
=?
Je hebt misschien allang uitgerekend dat er gewoon 3x4=12 stukken pizza zijn. Dat is het goede
antwoord. Je kunt het antwoord namelijk op twee manieren uitrekenen:
3:
= 3 x 4 = 12
De regel is dan ook:
 delen door een breuk = vermenigvuldigen met het omgekeerde
Met een extra tussenstap zie je dat:
3:
=3x
= 3 x 4 = 12
Een breuk delen door een breuk
Je hebt een halve pizza. Hoeveel stukken van
pizza kun je daaruit snijden?
De deelsom is:
:
=?
Je kunt de twee breuken eerst gelijknamig maken:
:
=?
en daarna beide breuken vermenigvuldigen met 8. Dan staat er nog:
4:1=4
Hier is een handig hulpmiddel, dat veel rekenwerk kan besparen:
 Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde.
Kijk maar, met dezelfde deelsom:
:
=?
x
=
x8=4
Extra pittige pizzasom
Je hebt
pizza.
Iedereen eet
pizza en dan is alles precies op. Hoeveel mensen eten pizza?
De deelsom is:
:
=?
En als we de eerste breuk even omrekenen, staat er:
:
=?
Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde:
:
=
x
=
=6
Dus: er eten zes mensen ieder
pizza.
Breuken vermenigvuldigen
Een geheel getal vermenigvuldigen met een breuk.
Je viert je verjaardag. 's Morgens komen een paar vrienden, 's middags komen de buren en 's
avonds komt de familie. Toevallig heb je drie keer 5 stukken taart nodig: 's morgens, 's middags
en 's avonds. Je hebt twee taarten gekocht die je vooraf allebei in acht gelijke stukken hebt
gesneden.
Je hebt dus 3 x 5 stukken taart nodig. In totaal zijn dat 15 stukken.
Het sommetje dat hierbij hoort is:
3x
=
Het is gebruikelijk om breuken te vereenvoudigen als ze groter dan 1 zijn. Dus:
3x
=
Je houdt van je twee taarten nog één stuk over. Lekker voor de volgende dag:
-
=
Een breuk vermenigvuldigen met een breuk.
Je snijdt een appel in twee helften. Eén zo'n stuk snijd je nog een keer in twee gelijke delen. Hoe
groot zijn die stukken dan? De helft van de helft is een kwart (een vierde).
Het sommetje dat hierbij hoort is:
x
=
Nog eens: een breuk vermenigvuldigen met een breuk.
Iets moeilijker wordt het als er grotere getallen boven de breukstreep staan:
x
=?
Eerst even in kleine stappen proberen op de juiste oplossing te komen:
Als je driekwart van
wilt berekenen, kun je eerst kijken hoeveel één kwart is.
In taarttermen heb je hier een taart die in 9 stukken verdeeld was. Daarvan moet je 8 stukken
verdelen over 4 tafeltjes. Fijn dat je 8 kunt delen door 4. Op elk tafeltje kun je 2 stukken
neerzetten:
x
=
Maar het sommetje ging niet over één kwart, maar over drie kwarten:
x
=3x
=
Dit antwoord kun je nog vereenvoudigen, want 6 en 9 zijn allebei deelbaar door 3. De beste
schrijfwijze voor deze vermenigvuldiging is daarom:
x
=
Nog iets lastiger:
x
=?
Je kunt dit weer in kleine stappen oplossen:
Als je driekwart van wilt berekenen, is het handig als je de breuk zó schrijft, dat het getal boven
de streep door vier kunt delen.
=
Je kunt dus ook schrijven:
x
=?
Eén kwart van
is
. Drie kwart is drie keer zoveel,
.
De beste schrijfwijze voor deze vermenigvuldiging is daarom:
x
=
Een snellere manier
x
=?
Als je twee breuken met elkaar vermenigvuldigt, is er ook een snellere manier: vermenigvuldig de
getallen boven de streep met elkaar en vermenigvuldig de getallen onder de streep met elkaar.
Boven de streep: 3 x 8 = 24
Onder de streep: 4 x 9 = 36
Invullen en vereenvoudigen:
x
=
=
Nóg sneller gaat het, als je getallen tegen elkaar kunt wegstrepen.
x
=
x
(eerste breuk door 3 gedeeld, tweede breuk x 3) =
=
Nog een voorbeeld:
x
=?
Als je twee breuken met elkaar vermenigvuldigt, is er ook een snellere manier: vermenigvuldig de
getallen boven de streep met elkaar en vermenigvuldig de getallen onder de streep met elkaar.
Boven de streep: 3 x 2 = 6
Onder de streep: 4 x 5 = 20
Invullen en vereenvoudigen:
x
=
=
De uitkomst is hetzelfde als bij de vorige manier. Deze tweede manier is wel sneller, maar bij de
eerste manier zie je misschien beter wat je doet.
Ook snel: je kunt getallen tegen elkaar wegstrepen:
x
=
x
(linker breuk x2 en rechter breuk delen door 2) =