7 de stabiliteit van een `Einstein

7
de stabiliteit van een ‘Einstein-heelal’
De ‘kunstgreep’ die Einstein uithaalde om een statisch heelal (een heelal met dR/dt =
d2 R/dt2 = 0) mogelijk te maken binnen het kader van de Algemene Relativiteitstheorie
was het invoeren van de kosmologische constante, meestal aangeduid met het symbool Λ.
Een moderne interpretatie van de kosmologische constante associeert deze met een effectieve massadichtheid van het vacuüm, ρvac , via de relatie Λ = 8πGρvac . De Friedmannvergelijking voor de schaalfactor R(t) in een heelal met een kosmologische constante Λ
kan worden geschreven als:
dR
dt
!2
=
8πGρ 2 Λ 2
R + R −k.
3
3
(7.1)
Bekijk een heelal gevuld met koude materie (stof), en de bijbehorende dichtheidswet,
ρ(t) = ρ0
R(t)
R0
!−3
.
(7.2)
a. Leid door tijds-differentiatie van de Friedmann-vergelijking (7.1) de volgende relatie
af voor de schaalfactor-versnelling:
Λ
d2 R
4πGρ
R+ R.
=−
2
dt
3
3
(7.3)
b. Laat zien dat een stationair heelal (R = constant = R0 ) alleen mogelijk is bij een
dichtheid
ρ0 = 2ρvac .
(7.4)
Een dergelijk heelal wordt wel eens een Einstein heelal genoemd omdat Albert Einstein deze oplossing aandroeg als reactie op de niet-stationaire (expanderende/instortende)
oplossingen van Friedmann.
20
We verstoren het Einstein heelal door de schaalfactor iets te veranderen:
R0 =⇒ R(t) ≡ R0 [1 + ∆(t)] met |∆(t)| 1.
(7.5)
We gaan nu een storingsanalyse doen om na te gaan hoe het verstoorde heelal zich ontwikkelt. Dat betekent dat we alléén termen lineair in ∆(t) in rekening brengen, maar
hogere orde termen (d.w.z. de termen ∝ ∆2 , ∆3 etc.) verwaarlozen. Deze procedure
noemt men linearisatie, en is een veelgebruikte methode in de klassieke mechanica bij de
stabiliteitsanalyse van evenwichtsituaties.
In het bijzonder gebruiken we de benaderingsformule:
[1 + ∆(t)]α ≈ 1 + α∆(t)
(7.6)
voor |∆| 1.
c. Bereken de lineaire verstoring van de materiële dichtheid in het heelal,
δρ = ρ(t) − ρ0 ,
(7.7)
die het gevolg is van de kleine verandering van de schaalfactor R: R0 ⇒ R0 (1 + ∆).
d. Leid uit de bovenstaande resultaten af dat de gelineariseerde bewegingsvergelijking
voor de amplitude ∆(t) van de storing luidt:
d2 ∆
=Λ∆.
dt2
(7.8)
(Hint: De berekening gaat het snelst als je de factor ρR eerst schrijft als ρ0 R0 (1 + ∆)−2 .)
21
e. De algemene oplossing van vergelijking (7.8) is gegeven door:
∆(t) = ∆+ e+χt + ∆− e−χt ,
(7.9)
√
met χ = Λ. Het tijdstip t = 0 correspondeert hier met het tijdstip van de verstoring.
Bepaal de constanten ∆± als op tijdstip t = 0 geldt :
R(0) = R0 ,
dR
dt
!
= H0 R0
(7.10)
0
f. Teken het verloop van R(t) en ρ(t) als een functie van de tijd voor de gevallen H0 > 0
en H0 < 0.
g. Wat is het gedrag voor χt 1, en wat betekent dat voor het stabiliteit van een Einstein
heelal tegen verstoringen ?
Wat denk je dat dit betekent voor het bestaan van zo’n heelal?
22
8
De gravitationele afbuiging van licht
Eén van de voorspellingen van de Algemene Relativiteitstheorie (ART) is dat ook licht,
alhoewel fotonen strikt genomen massaloos zijn, wordt afgebogen door de zwaartekracht.
Dit wordt vaak wat slordig uitgelegd als het effect van de ‘equivalente massa’ m = E/c2
van een foton met energie E. De bevestiging van deze voorspelling werd in 1919 gedaan
door Sir Arthur Eddington3 bij een zonseclips, door het nauwkeurig meten van de sterposities nabij de verduisterde zon.
In deze opgave berekenen we de afbuiging van licht met behulp van Newtoniaanse
zwaartekracht, en de massa-energie relatie uit de Speciale Relativiteitstheorie (SRT). Dat
geeft weliswaar niet helemaal het juiste antwoord, daar is echt de Algemene Relativiteitstheorie voor nodig. Deze aanpak licht echter de principes van zo’n berekening goed
toe.
De bewegingsvergelijking van een deeltje in de SRT luidt:
dp
=F.
dt
(8.1)
Hier is p de deeltjes-impuls, en F de kracht. Gewone Newtoniaanse dynamica vind je
terug als geldt p = mv, maar in de relativiteitstheorie geldt en meer ingewikkelde uitdrukking, zie boek, vergelijking (3.7). Fotonen hebben geen rustmassa. In dat geval is er
een simpel verband tussen energie E en impuls p:
p=
E
c
n̂ ,
(8.2)
met n̂ een eenheidsvector in de voortplantingsrichting van het foton. Laten we nu eens
aannemen dat we de gewone gravitatiewet van Newton mogen gebruiken voor de gravitatiekracht F die de zon met massa M op het foton uitoefent. We gebruiken als equivalente fotonmassa m = E/c2 . Dan wordt de bewegingsvergelijking van het foton:
GM E
dp d E =
n̂ = − 2 2 r̂ .
dt
dt c
cr
(8.3)
Hier is r̂ = r/|r| een eenheidsvector langs de verbindingslijn van het centrum van de Zon
naar het foton (zie figuur). We gaan deze vergelijking bij benadering oplossen.
3
Dyson, F. W., Eddington, A.S. , Phil. Trans. R. Soc. Ser. A 220, 291-330 (1920).
23
a. Het foton scheert rakelings langs de zon zie figuur. Als het foton niet zou worden
afgebogen zou de kortste afstand tot het centrum van de Zon, de zogenaamde impact
parameter, gelijk zijn aan |r|min = b. In werkelijkheid is de kortste naderingsafstand iets
kleiner.
Beredeneer nu dat de volgende drie uitspraken correct zijn, mits je er a priori van uitgaat
dat de afbuiging ∆θ klein blijft, zodat de fotonbaan vrijwel een rechte lijn blijft.
1. De kracht op het foton is maximaal bij de kortste nadering; Bereken de typische
grootte van die maximale kracht: |F|max . In welke richting staat die kracht?
2. Laat zien dat, om symmetrie-redenen, geldt dat het netto effect van de kracht voornamelijk leidt tot een impulsverandering ∆ p⊥ loodrecht op de onafgebogen baan.
3. Een foton beweegt altijd met de lichtsnelheid c. Daarom voelt het foton een sterke
zwaartekracht gedurende een tijdsinterval t0 − b/c < t < t0 + b/c, met t0 het tijdstip
van de kortste passage. Beredeneer ook dat de kracht eerder en later veel kleiner
is, en dus snel afvalt, met de komponent loodrecht op de fotonbaan die ruwweg
schaalt als
b
|F⊥ | ∝ 3/2 .
b2 + c2 (t − t0 )2
Zie de hint op de volgende pagina!
24
(8.4)
Hint: bereken eerst |r| en r̂. Zet daarvoor het centrum van de Zon in de oorsprong
van een coördinatenstelsel met de ongestoorde baan in het x − y vlak, evenwijdig
aan de x−as, zodat de ongestoorde fotonbaan r(t) kan worden geschreven als:
r(t) = (c(t − t0 ) , b , 0) .
(8.5)
Let op: een ingewikkelde berekening voor het uiteindelijke antwoord wordt hier
NIET gevraagd!
4. Gebruik nu deze resultaten om te laten zien dat de foton-impuls een duwtje krijgt
loodrecht op de oorspronkelijke bewegingsrichting n̂ met als typische grootte
2GM E
∆ p⊥ '
.
c3 b
(8.6)
b. De afbuigingshoek is, weer voor kleine afbuigingen, gelijk aan:
∆θ =
∆ p⊥ p
,
(8.7)
met p = E/c de grootte van de impuls. Bereken deze hoek. Is de afbuigingshoek afhankelijk van de energie van het foton?
c. Geef nu de waarde van de afbuigingshoek in boogseconden voor een rakelingse passage
van een foton langs de Zon. Je kunt gebruikmaken van de volgende grootheden:
• M = 2 × 1030 kg;
• G = 6.7 × 10−11 N m2 /kg2 ;
• c = 3 × 108 m/s;
• b ' R = 109 m;
• 1 boogseconde = 4.8 × 10−6 radiaal.
25
Naschrift:
De waarde die je hebt berekend in b verschilt van het resultaat uit de ART: het is de helft
van de werkelijke waarde. Een exacte berekening in het kader van de SRT (in plaats van
de schatting die hier werd gevraagd) vereist de evaluatie van de integraal
Z
∆ p⊥ =
+∞
−∞
!
Z +∞
dp⊥
GM E
b
dt
'
dt 3/2 .
2
dt
c
−∞
b2 + c2 (t − t0 )2
(8.8)
Opmerkelijk genoeg leidt die berekening tot hetzelfde resultaat als de in deze opgave
gebruikte simpele schatting. De afbuiging zoals berekend met de SRT is dus de helft
kleiner dan wat men vindt in de Algemene Relativiteitstheorie. Dat laatste (ART) resultaat
is ondertussen met grote nauwkeurigheid getest.
Deze factor twee verschil tussen het “speciaal-relativistische” resultaat en het exacte resultaat is terug te voeren op het feit dat SRT uitgaat van een fotonbaan door een vlakke
ruimte, terwijl in de correcte zienswijze van de ART de ruimte rond de Zon is gekromd
door de zwaartekracht van de Zon.
De berekening die je hier hebt uitgevoerd correspondeert met de uitkomst van een berekening die al in 1801 is gedaan door J. von Soldner4 . Einstein heeft die berekening herhaald,
en later gecorrigeerd naar de twee keer zo grote, Algemeen-Relativistische waarde.
4
J. Soldner (1801): Ueber die Ablenkung eines Lichtstrahls von seiner geradlinigen Bewegung, durch
die Attraktion eines Weldkoerpers, an welchem er nahe vorbei geht, in: J.E. Bode, Astronomisches Jahrbuch
fuer das Jahr 1804, Berlin, p. 161.
26
9
De horizon in een De Sitter-heelal
Een De-Sitter heelal is een heelal waar de dynamica wordt gedomineerd door de kosmologische constante Λ, d.w.z. de effective dichtheid van het vacuüm,
ρvac =
Λ
,
8πG
(9.1)
is veel groter dan alle andere dichtheden. Men kan de Friedmann-vergelijking voor een
vlak De Sitter-heelal dan ook in goede benadering schrijven als:
!2
Λ
1 dR
= ≡ HΛ2 ,
(9.2)
R dt
3
√
met HΛ = Λ/3 de (in dit speciale geval echt constante) Hubble-constante. De schaalfactor wordt in dit geval gegeven door:
R(t) = constante × eHΛ t .
(9.3)
Door een schaling van variabelen kan men de constante altijd gelijk aan één stellen zodat
R(t) = eHΛ t .
(9.4)
Deze oplossing is tevens een goede benadering voor een open en gesloten heelal als
HΛ t 1.
In een dergelijk heelal zijn een aantal eigenschappen contra-intuı̈tief. In deze opgave
bekijken we de horizon-afstand. De horizonafstand op een willekeurig tijdstip t0 is de
afstand tot de bron bij foton-ontvangst waarvan het foton vertrok op t = tem = 0. Dit is
gelijk aan (zie Boek, hoofdstuk 7.6):
dH (t0 ) =
Z
0
t0
c dt × [R0 /R(t)] .
|{z}
| {z }
d`(t→t+dt)
oprekfactor
(9.5)
27
De integraal in deze uitdrukking is als volgt te begrijpen: de afstand d`(t → t + dt) = cdt,
afgelegd door een foton in het tijdsinterval (t, t + dt), vermenigvuldigd met de factor
R0 /R(t) waarmee die afstand tijdens de verdere reis van het foton (tussen t en t0 ) is
opgerekt door de immer voortgaande expansie van het heelal.
Hier (en in wat volgt) is R0 de schaalfactor van het heelal bij ontvangst van het foton:
R0 ≡ R(t0 ) = eHΛ t0 .
(9.6)
a. Laat zien met behulp van bovenstaande integraal dat in een vlak De Sitter-heelal de
horizonafstand wordt gegeven door:
! h
i
c
dH (t0 ) =
× e H Λ t0 − 1 .
HΛ
(9.7)
b. Objecten die passief meedoen aan de expansie van het heelal hebben per definitie
constante meebewegende coördinaten. De horizon is -algemeen gesproken- niet passief:
hij breidt zich met de lichtsnelheid uit door het heelal.
Laten we de meebewegende coördinaat r van de horizon op een willekeurig tijdstip t eens
rH (t) noemen. Dan geldt (zoals voor iedere afstand in een expanderend heelal) dat de
fysische afstand gelijk is aan:
dH (t) = rH (t) × R(t) .
(9.8)
Bereken rH (t0 ) en laat vervolgens zien dat voor HΛ t0 1 geldt:
rH =
c
= constant.
HΛ
(9.9)
Wat betekent dit laatste resultaat voor het ‘overzicht’ dat je hebt in een De Sitter-heelal
op late tijdstippen, d.w.z. voor HΛ t0 1?
28