De Geschiedenis van de Wiskunde
advertisement
De Geschiedenis van de Wiskunde © A. Piens & L. Verkimpe [email protected] Version 1.1 – nov 2014 1 ‘Kennis van de geschiedenis van de wiskunde zal van iemand geen betere, maar wel een menselijkere wiskundige maken.’ George Sarton (Gent, 1884 – Cambridge, Ma, 1956) ‘The main duty of the historian of mathematics, as well as his fondest privilege, is to explain the humanity of mathematics, to illustrate its greatness, beauty, and dignity, and to describe how the incessant efforts and accumulated genius of many generations have built up that magnificent monument, the object of our most legitimate pride as men, and of our wonder, humility and thankfulness, as individuals. The study of the history of mathematics will not make better mathematicians but gentler ones, it will enrich their minds, mellow their hearts, and bring out their finer qualities.’ 2 De Geschiedenis van de Wiskunde Deel I 1. Vroegste sporen van mathematisch denken 2. Wiskunde in de 4 Riviervalleien Egypte Mesopotamië China India Deel II 3. De Wiskunde van het Antieke Griekenland Klassieke Griekse periode (600 BCE – 300 BCE) Hellenistische (Alexandrische) periode (300 BCE – 400) Teloorgang van het Hellenistisch wiskundig denken Deel III 4. Wiskunde tijdens onze Middeleeuwen (5e - 14e eeuw) Indische wiskunde tijdens onze Middeleeuwen Arabische wiskunde tijdens onze Middeleeuwen Het Latijnse Westen tijdens onze Middeleeuwen 5. Wiskunde in het Europa van de Renaissance (15e en 16e eeuw) Deel IV 6. Wiskunde in Europa tijdens de Wetenschappelijke Revolutie : 1600 – 1750 Deel V 7. Wiskunde tijdens de Industriële Revolutie 3 Evolutie van de Aarde Van één supercontinent naar ... 4 Evolutie van de Aarde (toepasbaar voor Europa) 1 000 BCE La Téne era IJzertijd Historie Hallstatt era 2 750 BCE Laat Bronstijd Midden Vroeg Holoceen Proto-historie 3 750 BCE Kopertijd Laat Neolithicum Midden Vroeg 7 500 BCE Laat Mesolithicum Midden Vroeg Steentijd Pre-historie 10 500 BCE einde laatste ijstijd Laat 35 000 BCE Pleistoceen Paleolithicum Midden 300 000 BCE Vroeg 12,5 Mio BCE 5 Evolutie van de Mens (Evolutiebiologie) ca. 450 cm³ 4 Mio jaar geleden ca. 640 cm³ ca. 850 cm³ ca. 1600 cm³ <1600 cm³ 2.5 Mio jaar geleden 500 000 jaar geleden 70 000 jaar geleden 35 000 jaar geleden 6 Vroegste Sporen van Mathematisch Denken Stonehenge (ca. 3000 BCE– ca.2100 BCE) 7 Het Lebombo been ca. 36000 BCE 7.7 cm • 29 inkervingen in een deel van het kuitbeen van een baviaan • 7.7 cm lang • ontdekt in 1970 dooor P. Beaumont • op de grens tussen Zuid-Afrika en Swaziland • in een grot van de Lebombo Mountains • vermoedelijk een voorstelling van een maankalenderder (vrouwelijke cyclus) • duidelijk breuk aan één kant • 29 inkervingen, kunnen een minimum aantal inkervingen zijn 8 Het Ishango been ca. 18000 BCE Jean de Heinzelin de Braucourt Marchienne-au-pont, 1920 - Brussel,1998 • lid van het Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen • professor aan de Universiteiten van Brussel en Gent • talrijke expedities, vooral in Afrika Ishango been • gevonden in 1950 in het gebied van de Grote Meren, op 15 km van de evenaar • ca. 10 cm lang, van onbekende diersoort • volgens diverse analyses, o.a. Koolstof 14, 20000 jaar oud Het Ishango been, tentoongesteld in het Koninklijk Belgisch Instituut voor Natuurwetenschappen, Brussel 9 Het Ishango been ca. 18000 BCE ca. 10 cm 10-1 20-1 20+1 10+1 som = 60 ? ca. 10 cm 3, 5, 7, 11 13, 17, 19 priemgetallen ? 10 De Wiskunde in de 4 Riviervalleien Tigris - Eufrates Indus Huang-he (Gele Rivier) Nijl 11 De Beschavingen van de 4 Riviervalleien 12 Wiskunde in het Oude Egypte Koningszoon Wepemnefret, zittend voor hetgeen hij wil meenemen in het hiernamaals (Giza Necropolis) 13 Egypte - tijdslijn 0 -500 -1000 Steen van Rosetta Grieks is de officiële taal Cleopatra VII Bibliotheek van Alexandria wordt opgericht Alexander de Grote verovert Egypte Ptolemaios I Soler Alexander de Grote Herodotus bezoekt Egypte Darius I Xerxes I de Grote Late Kingdom Dyn. 26 - 31 3. Intermediate Dyn. 21 - 25 New Kingdom Dyn. 18 - 20 2. Intermediate Dyn. 14 - 17 Middle Kingdom Dyn. 11 - 13 1. Intermediate Dyn. 7 - 10 Old Kingdom Dyn. 3 - 6 Early Dynastic Dyn. 1 - 2 Demotisch schrift vervangt hiëratisch Ramses II -1500 Tutankhamon wordt pharao, sterft op 19 j, Nefertiti, Great Royal Wife van Akhenaten Gebruik van de zonnewijzer Begin van de bouw van het tempelcomplex in Karnak (Luxor / Thebe) Hyksos worden verdreven Tutankhamon Amenhotep III Hatshepsut Thutmose III Ahmoses I Semitische Hyksos regeren in het Noorden Rhind Mathematical Papyrus -2000 Labyrint gebouwd in Harawa Moscow Mathematical Papyrus Hereniging met Thebe als hoofdstad Mentuhotep II Opsplitsing in 2 staten : Memphis (Noorden) en Thebe (Zuiden) -2500 Beeld van de Sphinx Grote pyramide in Giza Kufu (Cheops) Djoser Hiëratisch schrift wordt ontwikkeld -3000 -3500 Memphis wordt de hoofdstad Geschriften op papyrus Trappenpyramide van Saqqara Menes (Narmer) Hiëroglyfisch schrift ontwikkeld Noord- en Zuid-Egypte verenigd Uitvinding van het zeil Naqada III Pre-dynastic 14 Eerste nederzettingen in de Nijlvallei Historische kaarten van Egypte 15 De steen van Rosetta 196 BCE de sleutel tot het begrip van de Egyptische beschaving • • • • steen in donker graniet, linker-boven deel ontbreekt gevonden in 1799 bij Rosetta (El Rashid) door Franse genietroepen van Napoleon afmetingen 114 cm * 72 cm * 28 cm, 760 kg • dateert van 196 BCE • bevat een dankbetuiging aan koning Ptolemaios V • opgesteld in 3 schriften : • Oud Egyptische hiëroglyfen • Demotisch schrift • Oud-Grieks • leidde tot de ontcijfering van de hiëroglyfen • door Jean-François Champollion in 1822 • sinds 1802 bewaard in het British Museum, London 16 Hiëroglyfen en Hiëratisch schrift Hiëroglyfen 3244 21237 Eenheden Tientallen Getallen in hiëratisch schrift Honderdtallen Duizendtallen Tienduizenden Honderdduizenden 17 Narmer ca. 3100 BCE • • • • Narmer was de heerser over Opper-Egypte (Zuiden) en veroverde Neder-Egypte (Noorden) verzekerde aldus de éénmaking van Egypte huwde de koningin van Neder-Egypte Neithhotep en werd de eerste pharao van de eerste dynastie stichtte de hoofdstad Memphis Narmer palet • • • • (3100 BCE) in groene schist vervaardigd palet 64 cm * 42 cm in 1898 gevonden in Hierakonpolis voorstelling van het éénwordingsproces Narmer wordt voorgesteld met de witte kroon van Opper-Egypte en met de rode kroon van Neder-Egypte Kroon van het verenigd Egypte 18 Narmer ca. 3100 BCE Narmer scepter de top van de scepter van pharao Narmer geeft een beeld van de veldtocht in Neder-Egypte en een opsomming (in hiëroglyfen) van de buit : 400 000 runderen 1 422 000 geiten 120 000 gevangenen 19 Egyptische breuken • zowel hiërogliefen, als het hiëratisch schrift, boden de mogelijkheid de omgekeerden van de natuurlijke getallen voor te stellen • er was een bijzondere notatie voor de breuken : • de Egyptenaren waren in staat elke breuk te schrijven als een som van verschillende stambreuken • het eerste deel van de Rhind papyrus geeft een tabel voor 2/n, voor alle oneven n tot en met 101 • het deelgebied getallentheorie van de wiskunde geeft een aantal patronen voor dergelijke egyptische breuken, zoals 2 1 1 2n 1 n 1 (n 1)(2n 1) 20 Vermenigvuldigen en Delen Egyptische rekenkunde werd voornamelijk herleid tot optellen en verdubbelen vermenigvuldigen van 19 en 87 19 * 87 1 2 4 8 16 _________ 1+2+16 = 19 delen van 98 door 7 delen van 35 door 8 98 / 7 35 / 8 87 ° 174 ° 348 696 1392 ° _________ 87+174+1392 = 1653 1 2 4 8 _________ 7 14 28 56 _________ 2+4+8 = 14 14+28+56 = 98 1 2 4 1/2 1/4 1/8 _________ 8 16 32 4 2 1 _______ __ 4+1/4+1/8 32+2+1 = 35 ° ° ° ° ° ° 21 The Moscow Mathematical Papyrus ca. 1850 BCE • • • • papyrus rol van ca. 5.50 m lang * 4 tot 8 cm breed in hiëratisch schrift gevonden in Thebe in 1892 aangekocht door egyptoloog Vladimir Golenischev • bevat 25 rekenkundige en meetkundige problemen • probleem 10 : de oppervlakte van een halve bol : de oplossing is te herleiden tot Opp 1 256 (4* * straal 2 ) 2 81 zodat voor π = 3.16049 • probleem 19 : voeg 4 bij anderhalf maal een hoeveelheid om 10 te bekomen probleem 14 : het volume van een afgenotte vierkante piramide de onbekende wordt aha genoemd • probleem 14 : het volume van een afgeknotte vierkante piramide, de oplossing is te herleiden tot 1 Vol h(a ² ab b ²) 3 22 The Rhind Mathematical Papyrus ca. 1650 BCE • • • • • • papyrus rol van ca. 5 m lang * 33 cm breed in hiëratisch schrift daterend van 1650 BCE gekopieerd door de scribe Ahmes van een nu verdwenen ouder manuscript gevonden tijdens illegale opgravingen in Luxor in 1858 aangekocht door de Schotse archeoloog Alexander Henry Rhind • het manuscript bevat o.a. een tabel van breuken en een reeks van 84 problemen 23 Oppervlakte van de cirkel Problemen 48 en 50 van de Rhind papyrus tonen hoe de Egyptenaren kwamen tot een degelijke benadering van de oppervlakte van de cirkel : [khet = lengtemaat, ca. 52.5 m ; 1 setjat = (1 khet)²] Probleem 48 van de Rhind papyrus : Zoek de oppervlakte van een achthoek ingeschreven in een vierkant met zijde van 9 khet. • de ruwe schets van een achthoek binnen een vierkant bevat in demotisch schrift het cijfer 9 • trisectie van de zijden met lengte d = 9 verdeelt elke zijde in 3 gelijke delen met lengte 3; • een achthoek wordt binnen het vierkant beschreven • de oppervlakte van de achthoek is . 1 d 2 7 7 28 2 S d 2 4.[ .( ) 2 ] d 2 d 2 d 2 (2r ) 2 r met d 2r , d 9 2 3 9 9 9 9 • dus is de oppervlakte van de achthoek gelijk aan 63 setjat. Probleem 50 van de Rhind papyrus : Zoek de oppervlakte van een ronde akker met een diameter van 9 khet • Ahmes stelt vast dat de oppervlakten van de cirkel en van de achthoek ong. gelijk zijn • dat bovendien 63 en 64 weinig van elkaar verschillen • zo, wordt zijn werkwijze : . • verwijder 1/9 van de diameter, • en vermenigvuldig dit met zichzelf. • daarom is de oppervlakte gelijk aan 64 setjat 1 1 8 8 16 256 2 . S d 2 S (d d )(d d ) ( d ) 2 ( .2r ) 2 ( r ) 2 r met d 2r , d 9 9 9 9 9 9 81 Benadering van π Vergelijken met de bekende formule voor de oppervlakte van de cirkel S=π.r², geeft, volgens de oplossing van probleem 48, als benadering π = 3,11111... geeft, volgens de oplossing van probleem 50, als benadering π = 3,16049... Waarom verkiest de scribe Ahmes de oplossing van probleem 50 als de beste benadering van de oppervlakte van de cirkel ? 24 Landmeten in Egypte • een muurschildering in de graftombe van Menna • Menna (ca. 1350 BCE) was ‘Scribe van de Akkers van de Pharao’, de koninklijke landmeter • zijn graftombe bevindt zich op de Westelijke Nijloever ter hoogte van Luxor Afbeelding van een muurschildering in de graftombe van pharao Ramses IX (gestorven 1106 BCE) in de Vallei van de Koningen in Luxor a=3 b=4 c=5 } hoek (a,b) = 90° de Egyptenaren kenden 1000 jaren voor Pythagoras de eigenschap dat een driehoek met zijden 3, 4, 5 rechthoekig was. 25 Kenmerken van het wiskundig denken in het Oude Egypte • tiendelig, niet-positioneel, talstelsel • • • • nadruk op het praktisch rekenen, via specifieke numerieke oefeningen meestal wordt de ‘regula falsi’ methode gebruikt nooit worden algemene procedures vermeld ontwikkeling sterk geremd door het exclusief gebruik van stambreuken • • de Egyptische meetkunde bleef intuïtief en beperkt tot toepassingen in de bouwkunde en de landmeetkunde vertoonde nooit een deductieve structuur • relatief weinig oorspronkelijke documenten zijn bewaard gebeleven (papyrus) 26 Wiskunde in Mesopotamië Standaard van de stad Ur, oorlog en vrede (ca. 2900 BCE) 27 Kaart van Mesopotamië 28 Mesopotamië - tijdslijn 0 Alexander de Grote verovert Mesopotamië -500 Darius I Persian Empire Chaldean Empire 2. Intermediate -1000 Assyrian Empire -1500 Babylonian Empire Ontstaan van Babylonië -2000 1. Intermediate Akkadian Empire -2500 Sargon verovert Mesopotamië -3000 Halfgod Gilgamesh, heerser van Uruk Sumerian Empire -3500 -4000 29 Rots van Behistun – Inscripties van Darius I ca. 500 BCE 30 Rots van Behistun – Inscripties van Darius I ca. 500 BCE • • • • beschrijving van de overwinningen van de Perzische koning Darius I (ca. 550 BCE – 486 BCE) met tekst in het Oud-Perzisch, het Elamitisch en het Babylonisch in 1835 herontdekt door Sir Henry Rawlinson (1840 – 1895), leidde tot de ontcijfering van de oude Mesopotamische teksten werd hierbij sterk geholpen door het werk van de Duitser Georg Grotefend (1775 – 1853) 1. Elamite 30 m 2. Elamite 45 m 31 Cuneïform schrift ca. 4000 BCE – ca. 100 BCE • • • • • • spijkerschrift verkregen door het drukken van een stylus in kleitabletten na het bakken van de tablet, in de oven of in de zon, ontstaan goed bewaarde tabletten gebruikt tussen het 4e millenium tot de laatste eeuw BCE bestaat uit ca. 600 tekens, zowel logograms als lettertekens tijdens de laatste periode worden enkel nog 36 alfabetische tekens gebruikt oorspronkelijk geschreven van boven naar beneden, later van links naar rechts Evolutie van het cuneiform schrift 32 Cuneiform cijferschrift 60-delig Voorbeeld : • in het oorspronkelijk cuneiform cijferschrift werd een opening gelaten om het ontbreken van een positie voor te stellen : dit leidde tot veel verwarring. Omstreeks 300 BCE werd hiervoor een symbool ingevoerd omzetting naar decimaal stelsel : oorspronkelijk, ofwel 64, ofwel 3604 1.603 57.602 46.601 40.600 met het nieuwe symbool, ondubbelzinnig 3604 1.216000 57.3600 46.60 40.1 216000 205200 2760 40 424000 • dit symbool was echter geen echte nul want werd niet gebruikt op het einde van een getal. 33 Vermenigvuldigen en delen N N2 N N2 N N2 N N2 N N2 1 1 11 2,1 21 7,21 31 16,1 41 28,1 2 4 12 2,24 22 8,4 32 17,4 42 29,24 3 9 13 2,49 23 8,49 33 18,9 43 30,49 4 16 14 3,16 24 9,36 34 19,16 44 32,16 Voorbeeld : 5 25 15 3,45 25 10,25 35 20,25 45 33,45 (29 17)2 (29 17) 2 462 122 35,16 2, 24 32,52 8,13 4 4 4 4 omzetting naar decimaal stelsel : 6 36 16 4,16 26 11,16 36 21,36 46 35,16 7 49 17 4,49 27 12,9 37 22,49 47 36,49 8 1,4 18 5,24 28 13,4 38 24,4 48 38,24 29.17 8,13 8.601 13.600 480 13 493 9 1,21 19 6,1 29 14,1 39 25,21 49 40,1 10 1,40 20 6,40 30 15,0 40 26,40 50 41,40 Produkt van twee getallen a en b Babyloniërs kenden de identiteit a.b ( a b) ( a b) 4 2 2 kleitabletten met tafels voor kwadraten waren beschikbaar 29.17 Quotiënt van twee getallen a en b a 1 a. b b Babyloniërs herleidden het quotient van twee getallen tot een produkt met het omgekeerde van de deler ; kleitabletten met tafels voor de omgekeerden waren beschikbaar 34 Rekenkunde in kleitablet MS 2317 ca 1850 BCE 1, 1, 1, 1 13 4 , 41, 37 • kleitablet, 2.9 cm * 2.9 cm * 1.4 cm • naar een eerdere versie uit Ur : • verdeel een kudde schapen (1, 1, 1, 1) tussen een bepaald aantal (13) herders • de tablet bevat drie regels : 1, 1, 1, 1 13 4 , 41, 37 naar decimaal 1.603 1.602 1.60 1 219661 13 4.602 41.60 37 16897 Inderdaad : 219661 16897 13 35 Grote getallen 10 13 29 22 58 50 54 26 59 43 09 17 31 51 06 40 • kleitablet, ca. 19e eeuw BCE, 4.5 cm * 11.7 cm * 2.8 cm • bevat een 2 rijen lang 15-tallig cuneiform getal (de tweede rij loopt verder op de achterkant van de tablet) • 13, 22, 50, 54, 59, 09, 29, 58, 26, 43, 17, 31, 51, 06, 40 • omgezet in decimaal stelsel : 104 857 600 000 000 000 000 000 000 = 20 20 36 2 -benadering in kleitablet YBC 7289 1800 à 1600 BCE 2 Kleitablet, ca. 8 cm * 8 cm, uit de periode 1800 BCE – 1600 BCE • (diagonaal) ² = 2 (zijde) ² => 2 = diagonaal / zijde • vierkant met zijde 30 heeft een diagonaal 42 ; 25 , 35 Babylonisch cuneiform talstelsel 42; 25,35 60 1 1 1 1 42; 25,35* * 42; 25,35* 2* 84;50, 70* 1, 24;51,10 * 1; 24,51,10 30 30 60 60 60 60 Omzetting naar decimaal stelsel 1.600 24.601 51.602 10.603 1 0.4000000 0.0141667 0.0000463 1.4142130 • vergelijk met 2 1.41421356..... 37 De kwadratische vergelijking • Babyloniërs gaan uit van de vorm x 2 bx a • beschouwen steeds meetkundige figuren : x² betekent de oppervlakte van een vierkant bx betekent de oppervlakte van een rechthoek a betekent een lengte • aanvaarden het feit dat een oppervlakte gelijk is aan een lengte • negeren negatieve grootheden • gebruiken de methode van ‘het vervolledigen van een vierkant’ 38 Pythagorische drietallen Een geordend drietal (a, b, c) is een Pythagorisch drietal, als en slechts als a, b, c 0 ,a b c a 2 b2 c2 en Indien a, b en c geen deler gemeen hebben wordt het drietal primitief genoemd; (3,4,5) (5,12,13) (7,24,25) (8,15,17) (9,40,41) (11,60,61) (12,35,37) (13,84,85) (15,112,113) (16,63,65) (17,144,145) (19,180,181) (20,21,29) (20,99,101) (21,220,221) (23,264,265) (24,143,145) (25,312,313) (27,364,365) (28,45,53) (28,195,197) (29,420,421) (31,480,481) (32,255,257) (33,56,65) (33,544,545) (35,612,613) (36,77,85) (36,323,325) (37,684,685) Pythagorische drietallen waren in Egypte en Babylonië bekend, meer dan duizend jaar voor Pythagoras’ tijd. Indien dan is m, n 0 , n m, (m2 n2 , 2mn, m2 n2 ) een Pythagorisch drietal. 39 Kleitablet Plimpton 322 ca. 1800 BCE 13 cm 19 cm a c • kleitablet, ca. 19 cm * 13 cm * 2 cm • een deel ontbreekt aan de linkerzijde • in 1922 gekocht door G.E. Plimpton van archeoloog E.J. Banks • door Plimpton in 1935 geschonken aan de University of Columbia • vermoedelijk afkomstig uit Larsa (Zuid-Irak) • dateert uit ca. 1800 BCE •. onderzocht vanaf 1945 • door O.E. Neugebauer, E. Robson en C. Proust • lijst van Pythagorïsche drietallen (a,b,c) 40 Reconstructie van de originele Plimpton 322 tablet Volgens Abdulrahman A. Abdulaziz University of Balamand – Libanon (Middle East) In The Plimpton 322 tablet and the Babylonian Method of generating Pythagorean Triples (31/03/2010) (kolom w, kolom l, kolom d) 41 Kenmerken van het wiskundig denken in Mesopotamië • zestigdelig, positioneel, talstelsel • • • genoteerd op kleitabletten, vooral uit de periode 1800 – 1600 BCE tabletten met tabellen, vooral rekenkundig : produkten, omgekeerden, kwadraten en vierkantswortels tabletten met oefeningen leverden geen algemene procedures, maar steeds numerieke toepassingen • veel oorspronkelijke tabletten zijn bewaard gebleven 42 Wiskunde in het Oude China Liubo – oud chinees bordspel 43 Kaart van China 44 China - tijdslijn South. Sung Dynasty North. Sung Dynasty 5 Dynasties 1000 500 0 -500 T'ang Dynasty Sui Dynasty Northern and Southern Empires Opdeling in twee koninkrijken Uitvinding van het papier door Cai Lun Three Kingdoms Eerste officiële Chinese geschiedschrijving door Szu-ma Ch’ienLater Han Dynasty Jiuzhang suanshu – Nine chapters Boekverbranding Hoofdstad verplaatst naar Ch’ang-An Laatste Chou heerser vermoord Confucius en Sun Tzu ‘The Art of War’ Mausoleum met Former Han Dynasty terracotta strijders Ch'in Dynasty Bouw Chinese muur Late Chou Dynasty Middle Chou Dynasty -1000 Verdeeldheid tussen13 kleine oorlogvoerende staten Relatieve politieke eenheid in Noord-China -1500 Eerste tekens van het Chinese schrift -2000 Luoyang werd hoofdstad Early Chou Dynasty Shang Dynasty Hsia Dynasty -2500 -3000 Legendary Period 45 Chinese decimaal talstelsel vanaf ca. 1500 BCE • • • • ontdekt in 1899 door archeologische expeditie in Xiao , prov. Henan vroeger naam Yuzhou, bakermat van de Chinese beschaving historische hoofdplaats tijdens de Handynastie inscripties op beenderen en schildpadschalen vanaf de 14 e eeuw BCE • decimaal stelsel, met additieve en multiplicatieve eigenschappen • vermits het geen positioneel stelsel was, was de 0 niet nodig • over de eeuwen heen, werd de vorm van de tekens weinig veranderd • in 718 werd door Gauthama Siddha het teken 0 voor ‘nul’ ingevoerd 4359 5080 8873 46 De Ch’in dynastie 221 BCE – 207 BCE • • • • • • eerste keizer Ch’in Shiuang, die regeerde over een verenigd China, van 221 tot 210 BCE zijn kanselier Li Si verstevigde de macht van het totalitaire centrale gezag realiseerde groeiende handel, productievere landbouw en militaire veiligheid tweedracht en verraad onder zijn zoon Ch’in Er Si, leidde tot de opkomst van de Han dynastie tijdens de Ch’in dynastie werd begonnen met de bouw van de Chinese muur het Mausoleum van de keizer wordt bewaakt door het ‘Terracotta-leger’ , ontdekt in 1974 8000 strijders, 520 trekpaarden voor 120 koetsen, 150 rijpaarden • om de eenheid van China te bevorderen besliste het totalitaire regime alle sporen van het verleden uit te wissen : • daarom werd in 213 BCE beslist tot een totale boekverbranding • enkel werken over landbouw, geneeskunde en toekomstvoorspelling bleven gespaard • 460 geleerden, die weigerden mee te werken, werden levend begraven geen documenten beschikbaar uit vroegere periodes ! 47 Oud-Chinees rod-stelsel, gebruikt op het rekenbord vanaf 4e eeuw BCE voor eenheden, voor honderdtallen, voor tienduizendtallen, algemeen voor 102n –tallen ( n ) voor tientallen, voor duizendtallen, voor honderduizendtallen, algemeen voor 102n+1 –tallen ( n ) 1234 45698 60390 75169 en 706528 en positieve en negatieve getallen decimale getallen 寸 7,5169 寸 706,528 48 Arithmetic Classic of the Gnomon and the Circular Path of Heaven Zhou Bi Suan-jing • • • • • • compilatie van de mathematische kennis uit het verleden dateert van ca. 200 BCE (na de boekverbranding) werd later (van 200 tot 1270) uitgebreid met commentaren en aanvullingen behandelt 246 problemen onder de vorm van gesprekken tussen de graaf van Zhou en zijn astroloog Shang Gao bevat o.a. een der vroegste bewijzen van de stelling van Pythagoras schets bij het bewijs van de stelling van Pythagoras De groene driehoek ABC is een rechthoekige driehoek, ^C = 90 , dus met c als schuine zijde De 4 groene driehoeken zijn congruent (ZHZ) De rode vierhoek is een vierkant met zijde c a A b Er geldt opp. rode vierkant = c² (1) Maar ook opp. rode vierkant = opp. gele vierkant vierkant + 4 * opp. rode driehoek = (b-a)² + 4 * ½ ab (2) Dus (1) = (2) c² = (b-a)² + 4 * ½ ab = a² - 2ab + b² + 2ab = a² + b² In een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde C c a B b-a b-a b 49 Nine Chapters on the Mathematical Art Jiuzhang Suanshu • • • • • • samengesteld door verscheidene wijzen tussen de 10e en de 2e eeuw BCE beperkt tot het geven van procedures voor het oplossen van de problemen compilatie door Dhang Gang (2e eeuw BCE) en Geng Shouchang (1e eeuw BCE) de titel van het boek werd voor het eerst vermeld in 179 CE positieve en negatieve getallen werden in dit werk voor het eerst ingevoerd ook aandacht voor het ‘magisch vierkant’ • • • • in 263 CE publiceerde Liu Hui een versie van de Jiuzhang Suanshu met analyses en commentaar deze versie is bewaard gebleven verscheen als gedrukt leerboek in 1084 (eerste gedrukt wiskunde boek) Liu Hui ca. 220 – ca. 280 De Jiuzhan Suanshu behandelt in 9 hoofdstukken 246 problemen van praktische aard : 1. 38 problemen : landmeetkunde , de 4 hoofdbewerkingen ; grootste gemene deler ; oppervlakte van driehoeken, rechthoeken, trapezia en cirkels ; benadering van π (probleem 32) 2. 46 problemen : ruilhandel ; overdracht van goederen 3. 20 problemen : recht en omgekeerd evenredige verdeling 4. 24 problemen : afmetingen van akkers ; vierkants- en kubiekswortels ; de cirkel en de bol, oppervlakte en inhoud 5. 28 problemen : burgerlijke bouwkunde : constructie van kanalen, dijken ; Inhouden van prisma’s, viervlakken, sectoren, cilinders, piramides, afgeknotte piramides 6. 28 problemen : distributie van goederen, evenredigheden, 7. 20 problemen : de ‘regula falsi’ 8. 18 problemen : stelsels van lineaire vergelijkingen (tot 6x6-stelsels), matrixrekenen, ook met negatieve getallen 9. 24 problemen : rechthoekige driehoeken, Pythagorische drietallen, kwadratische vergelijkingen, gelijkvormige driehoeken Titelbladzijde van de Jiuzhang Suanshu 50 Kenmerken van het wiskundig denken in het Oude China • tiendelig, niet-positoneel, talstelsel • • • • wiskunde diende vooral tot ondersteuning van de astronomie hoge nauwkeurigheid was vereist in het opmaken van de kalender en het voorspellen van astronomische fenomenen focus op het geven van procedures voor het oplossen van toepassingen meestal ontbreken deductieve bewijsvoeringen 51 Wiskunde in het Oude Indië Mohenjo Daro (26e eeuw BCE – 18e eeuw BCE) herontdekt in 1920, in huidig Pakistan 52 Kaart van het Indus-riviervallei gebied 53 Vroeg-Indische beschaving Vedas en Sulbasutras • de eerste belangrijke beschaving, de Harappa-beschaving, beleefde haar bloeitijd van 2600 BCE tot 1900 BCE • er werd geleefd in strak geplande en degelijk georganiseerde stedelijke gebieden • vanaf de 15e eeuw BCE migreerde een Arisch nomadenvolk, vanuit het Noord-Westen naar de Indus riviervallei • in deze Vedische beschaving was de bevolking verdeeld in sociale klassen • de leiding berustte bij een bevoorrechte priesterklasse, de Brahmanen Vedas • tijdens hun religieuze ceremonies werden teksten, de Vedas (15e eeuw BCE - 5e eeuw BCE), gezongen • de oudste Veda was de Rig Veda (uit het Sanskriet : lof+kennis), ontstaan tussen 1500 BCE en 1200 BCE bevat hymnes in versvorm over het ontstaan van de wereld, lofzangen aan de goden en gebeden gebundeld in 10 boeken, de mandalas werden mondeling overgeleverd en slechts voor het eerst genoteerd ca. 300 BCE oudst bewaard manuscript dateert uit 1464 • Sulbasutras zijn aanvullingen aan de Vedas, met instructies voor het bouwen van ‘citis’, de ceremoniële altaren • volgens hun geloof, waren de religieuze ceremonies slechts succesvol, indien de altaren zeer precies gebouwd waren • Sulbasutres werden o.a. samengesteld door Baudayana Apastamba Baudayana (ca. 800 BCE) Apastamba (ca. 600 BCE) • zijn de enige bron van onze kennis van de vroegste Indische wiskunde 54 Vedic citis In de Sulbasutras werd de bouw van de ceremoniële altaren, de citis, nauwkeurig beschreven : Garhaptya citi Elke laag bevat 21 stenen Links : oneven lagen (12 type 1, 9 type 2) Rechts : even lagen (16 type 1, 5 type 3) Rathacakra citi Elke laag bevat 200 stenen Links : oneven lagen Rechts : even lagen Syena citi Elke laag bevat 200 stenen Links : lagen 1, 3 en 5 Rechts : lagen 2 en 4 55 De Meetkunde van de Sulbasutras Constructie van een vierkant met gegeven zijde Constructie van een vierkant met oppervlakte gelijk aan de som van de oppervlakten van twee ongelijke vierkanten 56 De Meetkunde van de Sulbasutras Construtie van een vierkant met oppervlakte gelijk aan de oppervlakte van een gegeven rechthoek AE = AD EG = GB EB’ = EL Stel AB=a, AD=b, GL=z, dan z 2 EL2 EG 2 EB2 EG 2 (b a b 2 a b 2 a b 2 a b 2 ) ( ) ( ) ( ) ab 2 2 2 2 57 De Meetkunde van de Sulbasutras Uit Baudayana’s Sulbasutra (tussen 800 en 600 BCE) Vers 1.9 : De diagonaal van een vierkant geeft een vierkant met dubbele oppervlakte Vers 1.12 : . De som van de oppervlakten van de vierkanten van de lengte en de breedte van een rechthoek geeft de oppervlakte van het vierkant van de diagonaal (van de rechthoek) Vers 2.12 : Vermeerder de zijde met een derde en dit derde opnieuw met een vierde verminderd met een vierendertigste van dit vierde ; dit is de waarde van de diagonaal van het vierkant De diagonaal d van een vierkant met zijde a is (in modene notatie) : d a * (1 Vergelijk met 1 1 1 408 136 34 1 577 ) a*( ) a* a *1.414215. 3 4 * 3 4 * 3* 34 408 408 2 1.41421356..... 58 Kenmerken van het wiskundig denken in het Oude Indië • tiendelig, positioneel, talstelsel • • • • geschreven in het Sanskriet met nadruk op het ‘rekenen’ meetkunde (in de Sulbasutras) ten dienste van de bouw van altaren voor de godsdienst deductieve bewijsvoeringen ontbreken 59 Conclusie Het wiskundig denken in de Beschavingen van de vier Riviervalleien • de ontwikkeling van de beschavingen in de vier riviervalleien begon in het 4 e millenium BCE • : wiskundig denken ontstond als gevolg van de noden van de landbouw • de studie van de beweging van zon, maan en planeten leidde tot het berekenen van de kalender (seizoenen) opmeten van landerijen werd nodig om eigendommen te verdelen meten van hoeveelheden werd noodzakelijk om handel te drijven de wiskunde in de vier beschavingen kennen meerderegemeenschappelijke elementen in de diverse talstelsels ontbreekt de 0 redeneringen gebaseerd op specifieke voorbeelden, algemene methodes ontbreken benaderingen voor constanten waren voldoende voor het praktisch gebruik • onderlinge beinvloeding kan niet worden uitgesloten 60 Informatiebronnen Algemeen • • • • • • • • • • • Wikipedia, the free encyclopedia – www.wikipedia.org A History of Mathematics, An Introduction – V.J. Katz – 2nd edition, 1998 A History of Mathematics – U.C. Merzbach & C.B. Boyer – 3th edition, 2011 The History of Mathematics, An Introduction – D.M. Burton – 7th edition, 2011 An Episodic Histoty of Mathematics – S.G. Krantz - 2006 History of Mathematics (2 volumes) – D.E. Smith – 1958 Mathematics in Historical Context – J. Suzuki – MAA, 2009 The Britannica Guide to the History of Mathematics – edited by E. Gregersen – Britannica Educational Publishing, 2011 The Oxford Handbook of The History of Mathematics – E. Robson, J. Stedall – Oxford University Preess, 2008 Mac Tutor History of Mathematics – created by J.J. O’Connor & E.F. Robertson – School of Mathematics and Statistics –University of St-Andresws Geschiedenis van de Wiskunde – D.J. Struik - 1965 • • • • • • • • • A History of Chinese Mathematics – J.Cl. Marzloff – 1987 A History of Greek Mathematics (2 volumes) – Sir. Th. Heath – Oxford Clarendon Press, 1921 Applied Geometry of the Sulbasutras – J.F. Price Pascal’s Triangle – Tehnicclass – HighSchool Lajkovac Geometry Step by Step- A Gutierrez - http://agutie.homestead.com The Newton-Leibniz controversy over the invention of the calculus – S. Subramanya Sastry A Short History of Complex Numbers – O. Merino, University of Rhode Island – 2006 Cavalieri’s Method of Indivisibles – K. Andersen, History of Science Department, University of Aarhus - 1984, Leonhard Euler : His Life, the Man and His Works – W. Gautschi – AMS 01A50 - 2008 61 ‘De belangrijkste opgave voor de geschiedkundige van de wiskunde, en tevens zijn diepste voorrecht, is de menselijkheid van de wiskunde te verklaren, haar grootheid, schoonheid en waardigheid aan te tonen en te beschrijven hoe de nooit aflatende inzet en het verzamelde talent van vele generaties dit groots monument hebben opgebouwd, onderwerp van onze meest gewettigde trots als mens, en van onze verbazing, nederigheid en dankbaarheid als individu. Kennis van de geschiedenis van de wiskunde zal van iemand geen betere, maar wel een menselijkere wiskundige maken ; het zal zijn geest verrijken, zijn hart verwarmen en zijn bekwaamheden verruimen.’ George Sarton (Gent, 1884 – Cambridge, Ma, 1956) ‘The main duty of the historian of mathematics, as well as his fondest privilege, is to explain the humanity of mathematics, to illustrate its greatness, beauty, and dignity, and to describe how the incessant efforts and accumulated genius of many generations have built up that magnificent monument, the object of our most legitimate pride as men, and of our wonder, humility and thankfulness, as individuals. The study of the history of mathematics will not make better mathematicians but gentler ones, it will enrich their minds, mellow their hearts, and bring out their finer qualities.’ 62
