Effectieve weerstand en de Pseudoinverse

S.E. Hurkmans
E↵ectieve weerstand en de
Pseudoinverse
Bachelorscriptie
Scriptiebegeleiders: Dr. J.L. Dorsman,
Dr. F.M. Spieksma
Datum Bachelorexamen: 21 augustus 2016
Mathematisch Instituut, Universiteit Leiden
Inhoudsopgave
1 Inleiding
3
2 Robuustheid en e↵ectieve weerstand
4
3 De Laplaciaan
6
4 E↵ectieve weerstand en Laplaciaan pseudoinverse
11
5 Methode voor een klasse speciale symmetrische matrices
14
6 E↵ectieve Weerstand en alternatief voor Laplaciaan pseudoinverse
19
7 Toepassing op Amsterdams metronetwerk
24
7.1 Het Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7.2 De Resultaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7.3 Conclusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7.3.1 Vraag 1: Heeft de aanleg van de Noord-Zuidlijn een positieve invloed op de e↵ectieve weerstand van het Amsterdamse metronetwerk? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7.3.2 Vraag 2: Zou het aanleggen van een lijn tussen Centraal
Station en Station Sloterdijk een positieve invloed hebben
op de e↵ectieve weerstand tussen de twee knopen en op
de totale e↵ectieve weerstand van het netwerk? . . . . . . 28
7.3.3 Slotconclusies en mogelijk vervolgonderzoek . . . . . . . . 29
Appendices
31
A Codes
31
Code 1
31
Code 2
31
Code 3
32
B Graaf Amsterdams Metronetwerk
33
C Tabellen met procentuele verschillen e↵ectieve weerstand per
knoop
34
2
1
Inleiding
Om ons heen zijn veel verschillende soorten netwerken te vinden. Zo zijn er
bijvoorbeeld metronetwerken, netwerken van wegen, telefoonnetwerken en elektriciteitsnetwerken. Het is voor deze netwerken van groot belang dat ze goed
functioneren, ook als er een deel beschadigd is. Als we een netwerk door een
graaf representeren, dan verstaan we onder beschadigen het wegvallen van een
tak. Het netwerk functioneert dan nog wel, als alle knopen in het netwerk te
bereiken zijn. We zeggen ook wel dat het belangrijk is dat het netwerk robuust
is. Hoe minder gevoelig voor storingen, des te robuuster het netwerk is. Om
duidelijk te maken wat robuustheid precies is, geven we eerst een definitie.
Definitie 2.1 Robuustheid is het vermogen van een netwerk om te functioneren na een beschadiging aan het netwerk.
Om te bepalen hoe robuust een netwerk is of om netwerken te kunnen vergelijken op basis van robuustheid, moeten we robuustheid kwantificeren. Daarvoor
is een maat nodig. Er zijn door de jaren heen meerdere maten bedacht waarmee
de robuustheid van een netwerk gekwantificeerd kan worden. In deze scriptie
beschouwen we de inverse van de totale e↵ectieve weerstand als maat voor de
robuustheid van een netwerk. Deze maat is voorgesteld door D.J. Klein en M.
Randić [6]. De keuze voor de e↵ectieve weerstand als maat van robuustheid lijkt
goed overeen te komen met onze intuı̈tie.
In Hoofdstuk 2 introduceren we het begrip “e↵ectieve weerstand” als natuurkundig begrip. Hierbij wordt niet diep ingegaan op de natuurkundige achtergronden. In Hoofdstuk 3 introduceren we de zogenaamde Laplaciaan en zijn
pseudoinverse en laten we zien hoe we deze kunnen berekenen. In Hoofdstuk 4
bewijzen we dat de Laplaciaan en zijn pseudoinverse gebruikt kunnen worden
om de e↵ectieve weerstand tussen twee knopen en de e↵ectieve weerstand van
het totale netwerk te berekenen. In Hoofdstuk 5 bekijken we een vermoedelijk
numeriek stabielere methode, waarbij via vegen een alternatieve pseudoinverse
van de Laplaciaan wordt bepaald. Tijdens het onderzoek bleek dat deze methode feitelijk al beschreven staat in [2]. In Hoofdstuk 6 zullen we bewijzen
dat we uit de matrix die we met deze alternatieve methode verkrijgen ook de
e↵ectieve weerstand tussen twee knopen en de e↵ectieve weerstand van het totale netwerk kunnen berekenen. Tot slot behandelen we in Hoofdstuk 7 een
toepassing op het Amsterdamse metronetwerk met behulp van de gevonden resultaten. We bekijken of de Noord-Zuidlijn en een extra lijn tussen Centraal
Station en Station Sloterdijk een positieve invloed hebben op de robuustheid
van het netwerk. Hieruit volgt het opmerkelijke resultaat dat het toevoegen van
de lijn tussen Centraal Station en Station Sloterdijk een grotere reductie geeft
van de totale e↵ectieve weerstand dan het toevoegen van de Noord-Zuidlijn.
3
2
Robuustheid en e↵ectieve weerstand
Als maat voor robuustheid zullen we de inverse van de e↵ectieve weerstand gebruiken. In dit hoofdstuk zullen we kort behandelen waarop het begrip “e↵ectieve weerstand” gebaseerd is en hoe dit berekend wordt. In latere hoofdstukken
zullen alternatieve berekeningswijzen behandeld worden.
De e↵ectieve weerstand is een term die afkomstig is uit de natuurkunde. Het
netwerk wordt dan gezien als een elektrisch circuit. Hierbij wordt aan elke tak
(i, j) een weerstand rij toegekend. Er wordt een spanningsbron over een gegeven tweetal knopen uit het netwerk, knoop a en knoop b, gezet en we laten een
gegeven stroom lopen van knoop a naar knoop b. Voor het tweetal knopen a en
b kunnen we het netwerk van takken tussen de knopen vervangen door één tak
(a, b), met behoud van spanning en stroom. De vervangingsweerstand voor de
bijbehorende samengevoegde takken, Rab , noemen we de e↵ectieve weerstand
tussen knoop a en knoop b. De e↵ectieve weerstand kan worden uitgerekend
met behulp van wetten voor serie- en parallelschakeling van elektrische circuits.
[4]
Voor twee weerstanden, met waarden r1 en r2 , die in serie zijn geschakeld,
geldt dat deze weerstanden vervangen kunnen worden door een weerstand met
waarde r1 + r2 . Voor twee weerstanden, met waarden r1 en r2 , die parallel
geschakeld zijn, geldt dat deze vervangen kunnen worden door een weerstand
1
met waarde 1
1 . Zie ter illustratie de onderstaande figuur. [4]
+
r1
r2
a
r1
r2
r1
a
b
b
r2
Rab = r1 + r2
Rab =
1
r1
1
+ r1
2
Figuur 1: Serie- en parallelschakeling van weerstanden
De analyse van het netwerk staat toe, dat de takken van een netwerk gewichten
hebben, die het belang van de takken kwantificeren. In het geval dat de gewichten van de takken van het netwerk de afstanden tussen twee knopen aangeven,
is de weerstand van een tak gelijk aan de afstand. Dit zorgt ervoor dat langere
paden een grotere e↵ectieve weerstand veroorzaken dan kortere paden. Als de
gewichten van de takken de geleiding tussen twee knopen voorstellen, dan is de
weerstand gelijk aan de inverse van het gewicht. Zo zorgen we ervoor dat de
e↵ectieve weerstand van in serie geschakelde paden groter is dan de e↵ectieve
weerstand van in parallel geschakelde paden. Het toevoegen van takken of gewichten zorgt er daarmee voor dat de e↵ectieve weerstand Rab niet toeneemt. [4]
4
De bovenstaande methode is echter vooral handig voor kleine netwerken. Hoe
groter het netwerk, hoe moeilijker het wordt om voor elk paar knopen deze berekeningen uit te voeren. Daarnaast is het zo dat niet elk netwerk als elektrisch
netwerk kan worden geı̈nterpreteerd. In deze gevallen moet de weerstand echter
ook te definiëren zijn. Daarom is een handigere methode gevonden, waarbij de
e↵ectieve weerstand wordt berekenen met behulp van de Laplaciaan. In het
volgende hoofdstuk zullen we uitleggen hoe dit werkt.
5
3
De Laplaciaan
In dit hoofdstuk introduceren we de Laplaciaan en zijn pseudoinverse en laten
we zien hoe we deze pseudoinverse kunnen berekenen. Ook laten we zien dat de
pseudoinverse van de Laplaciaan een specifieke vorm is van de Moore-Penrose
pseudoinverse. In Hoofdstuk 4 zullen we bespreken hoe de Laplaciaan en zijn
pseudoinverse kunnen worden gebruikt om de e↵ectieve weerstand te berekenen. We beperken ons hierbij tot netwerken die worden gerepresenteerd door
normale, samenhangende, ongerichte grafen.
Definitie 3.1 Zij G = (V, E) een normale, ongerichte, samenhangende graaf,
met V de verzameling knopen en E de verzameling takken. Dan is de Laplaciaan L de n ⇥ n matrix met de elementen:
8
>
als i = j
< di
Lij =
1
als (i, j) 2 E
>
:
0
anders,
waarbij di de graad van de knoop i is.
De Laplaciaan heeft dus op de diagonaal de graden van de knooppunten staan
en verder een 1 als (i, j)de element wanneer er een tak is tussen knoop i en
knoop j. Hieruit volgt dat de rijsommen gelijk zijn aan 0. De Laplaciaan karakteriseert de graaf waarmee hij geassocieerd is volledig. Dus als de Laplaciaan
gegeven is, kunnen we altijd de originele graaf weer reconstrueren. [4]
We kunnen ook de Laplaciaan definiëren voor een gewogen, ongerichte, samenhangende graaf met gewichten w(i,j) voor de takken (i, j).
Definitie 3.2 Zij G = (V, E) een gewogen, normale, ongerichte, samenhangende graaf met V de verzameling knopen en E de verzameling takken. Laat
w(i,j) 0 het gewicht van tak (i, j) zijn, (i, j) 2 E. Dan is de gewogen Laplaciaan LW de n ⇥ n matrix met de elementen:
8
Pn
>
als i = j
<wi = j=1 w(i,j)
LW
=
w(i,j)
als (i, j) 2 E
ij
>
:
0
anders.
Als er in een elektrisch netwerk een spanningsbron tussen knoop a en knoop
b wordt aangesloten, kunnen we met de stroomwet van Kircho↵ en wet van
Ohm de spanning berekenen. Bij gegeven stroom 1 en gegeven weerstanden
komt dit neer op het berekenen van de e↵ectieve weerstand Rab voor elke knoop
a en knoop b in een elektrisch netwerk. [4]
6
Deze kan als volgt berekend worden:
(a) Bepaal x 2 Rn met LW x = (ea
(b) Rab = xa
eb )
xb .
Als LW niet-singulier zou zijn, dan zou de oplossing van het bovenstaande stelsel berekend kunnen worden via de inverse van LW . Uit de definitie van de
Laplaciaan blijkt echter dat de rij- en kolomsommen van zowel de gewogen als
ongewogen Laplaciaan nul zijn. Daardoor is de constante vector gelijk aan 1
een eigenvector bij eigenwaarde 0 . Dus is de Laplaciaan singulier en daarmee
niet inverteerbaar. We kunnen echter wel de zogenaamde pseudoinverse van de
Laplaciaan berekenen. Deze pseudoinverse kunnen we gebruiken om de e↵ectieve weerstand van de geassocieerde graaf te bepalen. [4]
Definitie 3.3 Zij A een n ⇥ m reële matrix. De Moore-Penrose pseudoinverse
A+ van A is de unieke n ⇥ m matrix met de volgende eigenschappen:
(i) A+ A = (A+ A)>
(ii) AA+ = (AA+ )>
(iii) AA+ A = A
(iv) A+ AA+ = A+ .
Hierbij is B > de getransponeerde van B. [3]
Een specifiek geval van de Moore-Penrose pseudoinverse is de pseudoinverse
van de Laplaciaan.
Definitie 3.4 De pseudoinverse (LW )+ van de Laplaciaan wordt gedefinieerd
als de matrix die voldoet aan de volgende eisen [4]:
1. (LW )+ 1n = 0 ;
2. Voor elke w, v ? 1n geldt dat (LW )+ w = v dan en slechts dan als
LW v = w.
Met 1n wordt hier de constante vector gelijk aan 1 met n elementen bedoeld.
Merk op dat dit een iets helderder formulering is dan in [4]. De bovenstaande
eisen betekenen dus dat de pseudoinverse (LW )+ inverteert op de loodrechtn >
ruimte 1?
n = {x 2 R |x ?1n = 0} en 1n op 0 afbeeldt.
7
LW is een symmetrische matrix. Dus LW is diagonaliseerbaar. Het gevolg hiervan is dat LW een orthonormale basis van eigenvectoren heeft. Hieruit volgt
dat LW = U DU 1 = U DU > , waarbij U de n ⇥ n-matrix is met de genormeerde
eigenvectoren als kolommen en
0
0
B0
B
D = B.
@ ..
0
0
W
2
..
.
···
···
···
..
.
1
0
0
..
.
W
n
0
C
C
C,
A
de diagonaalmatrix met de corresponderende eigenwaarden. [4]
Met behulp van diagonalisatie volgt dat (LW ) goed gedefinieerd is en uniek
is vastgelegd. In het bijzonder geldt dat (LW )+ = U D+ U 1 , waarbij
0
1
0 0 ···
0
1
B0
···
0 C
W
B
C
2
D+ = B
..
.. C
..
B ..
C.
.
.
. A
@.
1
0 ···
0
W
n
Uit de verificatie van de eigenschappen van de Moore-Penrose pseudoinverse,
zie hieronder, volgt met behulp van diagonalisatie dat de pseudoinverse (LW )+
ook een Moore-Penrose pseudoinverse is.
(i)
(LW )+ LW
=
U D+ U
=
> >
1
(U ) (D ) D U
=
(U DD+ U > )> = (U D+ DU
+
1
U DU
+ >
1
>
U DU
= U D+ DU
1
>
1 >
)
1 >
=
(U D U
)
=
((LW )+ LW )> ;
=
=
U DU 1 U D+ U 1 = U DD+ U
(U > )> D> (D+ )> U >
=
(U D+ DU > )> = (U DD+ U
(ii)
LW (LW )+
1
+
=
(U DU
=
(LW (LW )+ )> ;
8
UD U
1 >
)
1
1 >
)
(iii)
LW (LW )+ LW
=
=
=
=
U DU 1 U D+ U 1 U DU 1
+
1
U DD
0 DU
1
0 0 ··· 0
B0 1 · · · 0C
B
C
U B.
..
. C DU
..
@ ..
. .. A
.
0 ···
0 1
U DU
1
1
= LW ;
(iv)
(LW )+ LW (LW )+
=
U D+ U
=
+
+
1
UD
0 DD U
0 0 ···
B0 1 · · ·
B
U B.
..
..
@ ..
.
.
=
0
=
+
UD U
1
···
1
1
U DU
0
U D+ U
1
1
0
0C
C +
.. C D U
.A
1
1
W +
= (L ) .
De pseudoinverse van de Laplaciaan is dus een Moore-Penrose pseudoinverse.
Als gevolg daarvan is het de unieke matrix die voldoet aan Definitie 3.3.
Voorbeeld 3.1
Beschouw de volgende graaf G:
c
1
2
a
b
2
De Laplaciaan van G is
LW
0
3
=@ 2
1
2
4
2
1
1
2A .
3
De eigenwaarden van LW zijn 1 = 0, 2 = 6 en 3 = 4, met bijbehorende
eigenvectoren
0 1
0 1
0 1
1
1
1
v1 = @1A , v2 = @ 2A en v3 = @ 0 A .
1
1
1
9
Dan geldt
0 1
p
U=
B p13
@ 3
p1
3
p1
6
p2
6
p1
6
1
0
0
0C
A en D+ = @0
p1
0
p1
2
2
0
1
6
0
1
0
0 A,
1
4
zodat de pseudoinverse van LW gegeven wordt door
0 1
10
1 0 p1
p
p1
p1
0 0 0
3
6
2
B
B 13
0C
(LW )+ = @ p13 p26
A @0 16 0 A @ p6
p1
p1
p1
p1
0 0 14
3
6
2
2
0
1
11
4
7
1 @
4 8
4A .
= 72
7
4 11
Uit (a) volgt nu dat voor x 2 Rn geldt x = (LW )+ (ea
c 2 R. Daarnaast geldt
p1
3
p2
6
0
1
p1
3
p1 C
6A
p1
2
eb ) + c · 1n met
xa xb = (ea eb )> (LW )+ (ea eb )+(ea eb )> ·c·1n = (ea eb )> (LW )+ (ea eb ).
Met (b) geldt dan dat Rab = xa xb onafhankelijk is van c. Daarmee is Rab de
unieke oplossing uit het stelsel vergelijkingen (a) en (b).
In het volgende hoofdstuk zullen we zien dat we LW en (LW )+ kunnen gebruiken om de e↵ectieve weerstand tussen knopen en de e↵ectieve weerstand
van het totale netwerk te berekenen.
10
4
E↵ectieve weerstand en Laplaciaan pseudoinverse
In het vorige hoofdstuk hebben we gezien hoe we een pseudoinverse van LW
kunnen vinden. Op grond van elektrische weerstanden kan vervolgens Rab gedefineerd worden voor een algemeen netwerk. Verder zullen we aantonen dat
aan de hand van Rab en aan de hand van de Laplaciaan de totale e↵ectieve
weerstand kan berekenen.
Definitie 4.1 Zij G = (V, E) een gewogen, normale, ongerichte, samenhangende graaf met V de verzameling knopen en E de verzameling takken. Laat
w(i,j) 0 het gewicht van tak (i, j) zijn, (i, j) 2 E. Zij LW de Laplaciaan van
G. Dan geldt dat de e↵ectieve weerstand Rab tussen knoop a en knoop b gelijk
is aan:
Rab = (ea
eb )> (LW )+ (ea
eb ) = (LW )+
aa
W +
2(LW )+
ab + (L )bb
(1)
W +
waarbij (LW )+
ij het (i, j)-de element van de pseudoinverse (L ) is.
Merk op dat dit overeenkomt met de elektrische weerstand zoals in Theorem
4.1 uit [4].
Gevolg 4.1 Uit (1) volgt Rij = Rji en Rii = 0 voor alle i en j.
Bewijs
Rij = (LW )+
ii
W +
W +
2(LW )+
ij + (L )jj = (L )jj
W +
2(LW )+
ji + (L )ii = Rji .
De tweede gelijkheid volgt uit de symmetrie van (LW )+ .
Rii = (LW )+
ii
W +
2(LW )+
ii + (L )ii = 0.
De robuustheid van een netwerk moeten we enkel via één getal meten. Dus
we moeten de e↵ectieve weerstand van het totale netwerk weten. Deze is gedefineerd als de som van de e↵ectieve weerstanden van elk tweetal knopen in het
netwerk.
Definitie 4.2 [4] De totale e↵ectieve weerstand is de som van de e↵ectieve
weerstanden over alle knopenparen:
Rtot =
n
X1
n
X
Rij .
i=1 j=i+1
We kunnen de totale e↵ectieve weerstand ook schrijven als functie van de nietnul eigenwaarden van de Laplaciaan.
11
Stelling 4.1(Klein en Randić, 1993) [6] De totale e↵ectieve weerstand is gelijk aan de vergelijking
n
X
1
Rtot = n
.
W
i=2
i
Bewijs
We maken gebruik van het bewijs van Theorem 4.2 uit [4]. Met Gevolg 4.1 geldt
Rii = 0 en Rij = Rji . Dan kunnen we de totale e↵ectieve weerstand als volgt
schrijven:
Rtot
=
=
=
=
n
n
X
X
Rij
1
2
Rij
i=1 j=i+1
n X
n
X
1
2
n
i=1 j=1
n
n
X
X
(LW )+
ii
W +
2(LW )+
ij + (L )jj
i=1 j=i+1
n
X
1> (LW )+ 1
(LW )+
ii
i=1
=
n tr((LW )+ ).
De laatste gelijkheid volgt uit het feit dat (LW )+ overeenkomt met de nulafn
X
1
beelding op sp{1}. We kunnen nu concluderen dat Rtot = n
, omdat het
W
i=2
i
spoor tr(LW )+ gelijk is aan de som van de eigenwaarden van (LW )+ .
Voor de totale e↵ectieve weerstand geldt het volgende:
Stelling 4.2 De totale e↵ectieve weerstand is strikt dalend als er takken worden
toegevoegd of gewichten worden verhoogd.
Bewijs Zie het bewijs van Theorem 4.8 uit [4].
In het volgende voorbeeld worden Definitie 4.1, Definitie 4.2 en Stelling 4.1
toegepast om de totale e↵ectieve weerstand te berekenen.
12
Voorbeeld 4.1
We gebruiken dezelfde matrix als in Voorbeeld 3.1, namelijk
LW
0
3
=@ 2
1
2
4
2
1
1
2A met (LW )+ =
3
0
11
1 @
4
72
7
4
8
4
1
7
4A
11
Als we de totale e↵ectieve weerstand Rtot willen uitrekenen met toepassing van
Definitie 4.1 en Definitie 4.2 krijgen we:
R12
R13
R23
zodat
8
8
3
= 11
72 + 72 + 72 = 8 ,
11
14
11
= 72 + 72 + 72 = 12 ,
8
8
3
= 72
+ 72
+ 11
72 = 8 ,
3
1
3
tot
R = 8 + 2 + 8 = 54 .
Met toepassing van Stelling 4.1 krijgen we:
Rtot = 3 · ( 14 + 16 ) = 54 .
De pseudoinverse (LW )+ kan via spectraaldecompositie berekend worden. Het
doel is om een efficiëntere, numeriek stabielere methode te vinden. Daarvoor
zullen we in het volgende hoofdstuk eerst een bepaald type symmetrische matrices bestuderen, waaraan ook de Laplaciaan voldoet.
13
5
Methode voor een klasse speciale symmetrische matrices
Zij A een n ⇥ n symmetrische matrix van rang (n 1) waarvoor geldt dat
A · 1n = 0. Merk op dat de Laplaciaan LW uit Hoofdstuk 3 hier ook aan voldoet. Gauss-Jordan eliminatie toegepast op de n ⇥ 2n matrix (A|I) geeft de
n ⇥ 2n matrix (T |S). Aangezien A een singuliere matrix is, geldt dat T niet
de identiteitsmatrix is. S is dus niet gelijk aan A 1 . Er geldt echter wel dat
SA = T , omdat we dezelfde rijoperaties op A uitvoeren als op I, waardoor T
respectievelijk S ontstaan.
S en T zijn niet uniek. Als echter in de eerste stap van de Gauss-Jordan eliminatie de n de rij 0 wordt gemaakt, levert Gauss-Jordan eliminatie wel de
unieke matrices S en T op. Voor dit geval zullen we de structuur van T en S
afleiden. Vervolgens zullen we met behulp van S en T een matrix S 0 bepalen
die als alternatief voor de Laplaciaan pseudoinverse gebruikt kan worden.
Definitie 5.1 A[i1 ,i2 ,....,ik ] is de matrix A zonder de rijen en kolommen met
indices i1 , ..., ik
Zij A een n ⇥ n symmetrische matrix van rang (n 1) met A · 1n = 0. Pas
Gauss-Jordan eliminatie toe op de n ⇥ 2n matrix (A|I), met als eerste stap het
optellen van de eerste (n 1) rijen bij de n de rij.
Lemma 5.1
Het resultaat van de bovengenoemde Gauss-Jordan eliminatie is de n ⇥ 2n matrix (T |S) met
0
1
B
B0
T =B
B.
@ ..
0
0
..
.
..
.
0
···
···
1
···
1
1
.. C
. C
C,
C
1A
0
0
B
B
S=B
@
1
A[n]1
···
···
1
0
.. C
.C
C
0A
1
en SA = T .
Bewijs
Door het toepassen van Gauss-Jordan eliminatie op de n ⇥ 2n matrix (A|I),
krijgen we als resultaat een n ⇥ 2n matrix (T |S). Hierbij is T de gereduceerde
rij-echelon vorm van de matrix A. Het optellen van de eerste (n 1) rijen bij
de laatste rij, geeft als resultaat dat (0 · · · 0|1 · · · 1) de laatste rij van (T |S) is.
Met deze rij wordt vervolgens verder niks meer gedaan tijdens het vegen.
Immers er is gegeven dat A · 1n = 0n en dat A symmetrisch is, oftewel A = A> .
14
>
>
Hieruit volgt dat 0n = (A1n )> = 1>
n A = 1n A. Uit het feit dat T in geredu>
ceerde rij-echelon vorm staat en dat 1n A = 0>
de rij van T
n volgt dat de n
gelijk is aan de nulvector. Aangezien geldt dat n 1 = rang(A) = rang(A> ),
volgt dat de rij- en kolomruimte gelijk zijn. Dus de n-de rij van T is de enige
nulrij.
Stel A[n] is singulier. Dan geldt dat rang(A)  n 2. Aangezien dit in tegenspraak is met de aanname, geldt dus dat A[n] niet singulier is. Hieruit volgt
dat de identiteitsmatrix ontstaat, als we A vegen op de eerste n 1 rijen en
kolommen. Dus T[n] = I[n] en S[n] = A[n]1 .
We voeren alleen elementaire rijoperaties uit, dus de eigenschap dat de rijsommen 0 zijn blijft behouden. Wegens het feit dat A rang (n 1) heeft en dat
T in gereduceerde rij-echelon vorm staat, zijn slechts twee elementen ongelijk 0
per rij i, 1  i  n 1, namelijk 1 en 1. Uit het feit dat T[n] = I[n] , geldt dat
alleen het n-de element van elke rij gelijk kan zijn aan 1. Dus de n-de kolom
van T0ziet1er als volgt uit:
1
B .. C
B C
N = B . C.
@ 1A
0
Dus T is van de gegeven vorm.
Aangezien we dezelfde rij-operaties toepassen op I als op A en we de eerste
(n 1) rijen optellen bij de n-de rij, bestaat de onderste rij van S uit 1Tn . Er
>
geldt 1>
n A = 0n . Dus er wordt in de rijoperaties die gebruikt worden om A
naar T te transformeren, geen gebruik gemaakt van de n-de rij van A. Hierdoor
wordt de n-de rij van I ook niet gebruikt in de rijoperaties die I naar S transformeren. Aangezien de laatste kolom van I op het n de element na gelijk is
aan 0, geldt nu ook dat alle eerste n 1 elementen van de laatste kolom van S
gelijk zijn aan 0. Hierboven werd al aangetoond dat S[n] = A[n]1 . Dus ook S is
van gegeven vorm.
Tot slot weten we dat SA = T , want de rij-opreaties die A naar T transformeren, transformeren I naar S.
We willen S gebruiken om Rab en Rtot te berekenen. Het is echter niet direct duidelijk hoe we dat kunnen doen. Bijvoorbeeld geldt in het algemeen niet
dat tr(S) = tr((LW )+ ) (zie pagina 20). Het doel is nu S te transformeren tot
een matrix S 0 met de eigenschap tr(S 0 ) = tr((LW )+ ). Dat wil zeggen dat we
eisen dat de eigenwaarden van S 0 gelijk zijn aan die van (LW )+ . We zullen
hieronder een matrix S 0 met de gewenste eigenschappen construeren.
Bovenstaande eis impliceert dat er moet gelden dat:
15
1. S 0 heeft eigenwaarde 0.
2. 8 x, y?1n geldt S 0 y = x , Ax = y.
N.B. De eerste eis voor de pseudoinverse van LW uit Definitie 3.4 is verzwakt.
Op grond van de berekening van Rab doormiddel van (a) en (b) blijkt deze eis
niet nodig te zijn.
Laat x?1n en y = Ax. SA = T impliceert dan Sy = SAx = T x. Met de
standaardvorm van T , zoals in Lemma 5.1, geldt nu dat Sy = x xn · 1n .
Dit impliceert dat
X
(Sy)i =
i
X
Sy = x
xi
xn · 1n
nxn =
(⇤)
nxn
i
1 XX
Sij yj = xn ,
n i j
oftewel,
1X X
Sij
n j
i
!
yj =
xn .
(⇤⇤)
Uit Sy = x xn · 1n volgt dat S al bijna een pseudoinverse van A is. Er moet
echter nog gecorrigeerd worden voor de term xn · 1n . Uit (⇤⇤) volgt dat we een
matrix krijgen die corrigeert voor de term xn ·1n voor alle vectoren die loodrecht
staan op 1n , als we n1 maal de som van kolomsommen van S aftrekken van elke
1
rij van S. Definieer dus S 0 := S
· 1n · 1>
n · S. In Stelling 5.1 zullen we
n
0
bewijzen dat S voldoet aan de bovenstaande eisen.
We kunnen al het bovenstaande samenvatten in het volgende algoritme:
Algoritme 5.1
1. Tel de eerste (n
1) rijen van (A|I) op bij de n
2. Bepaal A[n]1 via het vegen van (A[n] |In
0
B
B
3. S = B
@
1
4. S 0 = S
A[n]1
···
···
1
0
.. C
.C
C.
0A
1
1
· 1n · 1>
n · S.
n
16
1 ).
de rij.
Met het volgende voorbeeld laten we zien hoe het algoritme wordt toegepast.
Voorbeeld 5.1
Pas Algoritme 5.1 toe op de matrix
0
3
2
@ 2 4
1
2
0
3
1. @ 2
0
2.
A[n]1
3. S =
=
2
4
0
✓1
01
2
@1
4
1
0
4. S 0 = @
2
1
4
1 1
2 0
0 1
◆
1
4 .
3
0
1
1
1
2
3
1
0
0 A.
1
1
1 0 0
0 1 0 A.
0 0 1
8
1
4
3
8
1
1
12
1
3
5
12
1
0
0A .
1
7
24
1
6
11
24
1
1
3
1A
.
3
2
3
Vergelijk dit met Voorbeeld 3.1. Dan geldt inderdaad dat het spoor van S,
5
W +
W +
tr(S) = 15
8 , en het spoor van (L ) , tr((L ) ) = 12 , niet overeenkomen. We
5
0
W +
zien echter wel dat tr(S ) = tr((L ) ) = 12 . Duidelijk geldt S 0 6= (LW )+ .
We zullen nu aantonen dat de eigenwaarden van S 0 en (LW )+ altijd overeenkomen.
Stelling 5.1
Laat {0, 2 , ..., n } de eigenwaarden zijn van LW met bijbehorend orthogonaal
stelsel van eigenvectoren {1n , v2 , ...., vn }. Dan heeft S 0 :
(1) eigenwaarden
1
i
bij eigenvectoren vi met i = 2, ..., n.
(2) eigenwaarde 0 met multipliciteit 1.
Bewijs
We bekijken eerst de eigenwaarden
1
2
, ...,
17
1
n
. Laat i 2 {2, ..., n} en x = vi . Dan
geldt LW vi =
S 0 i vi
i vi
en invullen in (⇤) geeft dan S i vi = vi
(vi )n 1n .
1
· 1n · 1>
n · S · i vi .
n
1
(vi )n · 1n
· 1n · 1>
(vi )n · 1n )
n (vi
n
1
(vi )n · 1n
((vi )1 (vi )n + (vi )2 (vi )n + ... + (vi )n
n
1
(vi )n · 1n
((vi )1 + (vi )2 + ... + (vi )n n(vi )n )1n
n
1
(vi )n · 1n
( n(vi )n )1n
n
(vi )n · 1n + (vi )n · 1n
=
S i vi
=
vi
=
vi
=
vi
=
vi
=
vi
=
vi
De vijfde vergelijking volgt uit het feit dat vi ?1n . Dus geldt S 0 vi =
i 6= 0. Dus uitspraak (1) is bewezen.
We bekijken nu het geval
is. Namelijk:
0
>
1>
n S = 1n S
1
1
i
(vi )n )1n
vi voor
0
= 0. Er geldt dat 1>
n een linkereigenvector van S
1 >
>
· 1 · 1n · 1>
n S = 1n S
n n
1
>
· n · 1>
n S = 0n = 0n · 1n .
n
Aangezien 1n een linkereigenvector is van S 0 , geldt dat 1n een rechtereigenvector
is van (S 0 )> . Daarmee geldt dat 0 een eigenwaarde is van (S 0 )> . Verder geldt
er dat
⇣
⌘
⇣
⌘
>
>
det (S 0 )>
I = det (S 0 )>
I
= det (S 0 )>
( I)> =
det S 0
I > = det (S 0
I) .
Het karakteristiek polynoom en daarmee de eigenwaarden van (S 0 )> en S 0 zijn
gelijk, dus 0 is ook een eigenwaarde van S 0 .
In het volgende hoofdstuk zullen we aantonen dat we de geconstrueerde matrix S 0 ook kunnen gebruiken voor het berekenen van de e↵ectieve weerstand
Rab tussen knoop a en knoop b en de totale e↵ectieve weerstand Rtot . Op
dezelfde manier zijn Rab en Rtot ook uit te drukken in termen van S.
18
6
E↵ectieve Weerstand en alternatief voor Laplaciaan pseudoinverse
In Hoofdtsuk 4 is gebleken dat we met de Laplaciaan en de pseudoinverse van
de Laplaciaan de e↵ectieve weerstand kunnen berekenen. In dit hoofdstuk laten
we zien dat we met behulp van de algemene methode voor symmetrische matrices ook de e↵ectieve weerstand Rab tussen knoop a en knoop b en de totale
e↵ectieve weerstand Rtot kunnen berekenen.
Uit de combinatie van Stelling 5.1 en Definitie 4.1 kunnen we een uitdrukking
van Rab in S 0 vinden.
Gevolg 6.1
Rab = (ea
eb )> S 0 (ea
eb ).
Bewijs
Uit Stelling 4.1 volgt dat S 0 x = (LW )+ x voor alle x?1n , omdat 1?
n = sp{v2 , ..., vn }
waarbij v2 , ..., vn de eigenvectoren van LW zijn horende bij de eigenwaarden
?
0
W +
2 , ..., n ongelijk aan 0. S werkt dus hetzelfde op 1n als (L ) . Uit het feit
0
W +
dat (ea eb )?1n volgt dat S (ea eb ) = (L ) (ea eb ). Dus uit Definitie 4.1
volgt dan
Rab = (ea
eb )> (LW )+ (ea
eb ) = (ea
eb )> S 0 (ea
eb ).
Met Stelling 4.1 en Stelling 5.1 kunnen we de totale e↵ectieve weerstand Rtot
als functie van het spoor van S 0 , tr(S 0 ), schrijven.
Gevolg 6.2
Zij S 0 = S
1
tot
· 1n · 1>
= n · tr(S 0 ).
n · S. Dan geldt dat R
n
Bewijs
W
W
Laat {0, W
2 , ..., n } de eigenwaarden zijn van L . Uit Stelling 5.1 volgt dan
dat {0, 1W , .... 1W } de eigenwaarden van S 0 zijn. Dus het spoor van S 0 is gelijk
n
2
aan
n
X
1
tr(S 0 ) = 0 +
.
i=2
i
Uit Stelling 4.1 volgt dan, dat
Rtot = n · tr(S 0 ).
19
Met behulp van het bovenstaande gevolg kunnen we de totale e↵ectieve weerstand Rtot ook uitdrukken in S.
Gevolg 6.3
1>
n · S · 1n .
Rtot = n · tr(S)
Bewijs
Uit Gevolg 6.2 geldt Rtot = n · tr(S 0 ). Verder is het een feit dat S 0 ontstaat uit
S door de kolomsommen van de rijen van S af te trekken. Daarmee kunnen we
het spoor van S 0 als volgt uitdrukken in S:
!
n
n
X
X
0
1
tr(S ) = tr(S) n ·
Si1 + ... +
Sin = tr(S) n1 · 1>
n · S · 1n .
i=1
i=1
Uit het bovenstaande volgt dat
Rtot = n · tr((LW )+ ) = n · tr(S) ,
1
n
· 1>
n · S · 1n = 0n .
1
Uit [5] volgt echter dat alle elementen van (LW
groter of gelijk zijn aan 0.
[n] )
Daarmee geldt dat alle elementen van S[n] groter of gelijk zijn aan 0. Dus alle
kolomsommen van S zijn groter dan 0. Daarmee geldt n1 · 1>
n · S · 1n 6= 0n . Dus
geldt tr((LW )+ ) 6= tr(S).
We zullen nu laten zien dat we de e↵ectieve weerstand Rab tussen knopen a
en b ook kunnen berekenen met behulp van S. We hebben S 0 dus niet nodig
voor het berekenen van Rab .
Lemma 6.1
Er geldt Rab = (ea
a = 1, ..., n 1.
eb )> S(ea
eb ) en in het bijzonder geldt Ran = Saa ,
Bewijs
We hebben S 0 gedefinieerd als S 0 := S
Rab = (ea
volgt
Rab = (ea
eb )
>
✓
S
1
n
· 1n · 1>
n · S. Uit
eb )> S 0 (ea
eb )
◆
1
>
· 1n · 1n · S (ea
n
20
eb ).
Oftewel,
Rab
=
=
=
>
✓
◆
1
>
· 1n · 1n · S (ea eb )
n
◆
>1
>
(ea eb )
· 1n · 1n · S (ea
n
(ea eb )
S
✓
(ea eb )> S
(ea
eb ) > S
0 (ea
>
=
(ea
eb ) S(ea
=
Saa
Sab
eb )
eb )
eb )
Sba + Sbb .
De derde gelijkheid volgt uit het feit dat (ea eb )> ?1n .
Als we voor b knoop n kiezen, dan geldt dat San = Sna = Snn = 0. Oftewel dat
Ran = Saa .
Tot slot volgt uit Lemma 6.1 nog een alternatieve methode om Rab te kunnen berekenen. Hierbij drukken we Rab uit in termen van LW .
Stelling 6.1
Rab =
det(LW
[a,b] )
det(LW
[a] )
.
Bewijs
Kies A = LW . Een gevolg van de regel van Cramer is de volgende stelling [7] :
Als B een n ⇥ n inverteerbare matrix is dan geldt
B
1
=
1
adj B,
det B
waarbij adjB de geadjungeerde van B is.
Hieruit kunnen we dan ook concluderen dat
B[n]1 =
We hebben dat T en
0
1 0
B
B0 . . .
T =B
B.
..
@ ..
.
0 0
1
adjB[n] .
det B[n]
S uit Lemma 5.1 van de volgende vorm zijn:
1
0
1
···
1
s11
···
s1n 1
0
.. C
B ..
.. C
..
···
. C
.
.
.C
C en S = B
B
C.
C
@sn 11 · · · sn 1n 1 0A
1
1A
1
···
···
1
···
0
21
Hieruit kunnen we concluderen dat S[n] = (LW
[n] )
Saa
1
. Dan volgt dat:
=
(S[n] )aa
=
1
((LW
)aa
[n] )
1
(adj LW
[n] )aa
det LW
[n]
=
=
det LW
[a,n]
det LW
[n]
.
Uit Lemma 6.1 volgt dat Ran = Saa . Dus met het bovenstaande volgt dan
Ran =
det LW
[a,n]
det LW
[n]
.
Aangezien we te maken hebben met een netwerk, kunnen we via hernummering
elke knoop b als knoop n kiezen. De formule is dus onafhankelijk van welke rij
en kolom we verwijderen [2].
Stelling 6.1 is een bekende stelling en is bijvoorbeeld terug te vinden in [1].
Het bewijs dat hiervoor normaal gesproken wordt gegeven, is een vrij lang bewijs via een energieminimalisatie-argument. Het bovenstaande bewijs is een veel
directer, alternatief bewijs voor Stelling 6.1.
In het volgende voorbeeld worden Gevolg 5.2, Stelling 6.2 en Definitie 4.2 toegepast om de totale e↵ectieve weerstand te berekenen.
Voorbeeld 6.1
We gebruiken dezelfde voorbeeldmatrix als in Voorbeeld 3.1, Voorbeeld 4.1 en
Voorbeeld 5.1, namelijk
0
1
0 1
1
7
1
3
2
1
12
24
3
1
1A
2A met S 0 = @ 13
LW = @ 2 4
.
6
3
5
11
2
1
2 3
12
24
3
Door toepassing van Gevolg 5.2 krijgen we:
Rtot = 3 · (
1
12
1
6
+ 23 ) = 54 .
Door toepassing van Stelling 6.1 en Definitie 4.2 krijgen we:
R12 =
R13 =
det(3)
3
✓
◆= .
8
4
2
det
2 3
det(4)
1
✓
◆= .
2
4
2
det
2 3
22
R23 =
det(3)
3
✓
◆= .
8
3
1
det
1 3
Rtot =
3 1 3
5
+ + = .
8 2 8
4
De uitkomsten uit Voorbeeld 4.1 zijn gelijk aan de bovenstaande uitkomsten.
Het is interessant dat er verschillende methoden zijn om de e↵ectieve weerstand
te berekenen.
23
7
Toepassing op Amsterdams metronetwerk
Aan de hand van de resultaten in de voorgaande secties zullen we de e↵ectieve
weerstand van het metronetwerk van Amsterdam analyseren. We zijn hierbij
geı̈nteresseerd in de volgende twee vragen:
1. Heeft de aanleg van de Noord-Zuidlijn een positieve invloed op de e↵ectieve
weerstand van het Amsterdamse metronetwerk?
2. Zou het aanleggen van een lijn tussen Centraal Station en Station Sloterdijk een positieve invloed hebben op de e↵ectieve weerstand tussen de
twee knopen en op de totale e↵ectieve weerstand van het netwerk?
We bekijken de volgende vier netwerken:
• GO : Het oorspronkelijke metronetwerk van Amsterdam. Dit is hoe het
huidige Amsterdamse metronetwerk eruit ziet.
• GN Z : Het metronetwerk van Amsterdam met Noord-Zuidlijn.
• GCS : Het metronetwerk van Amsterdam zonder Noord-Zuidlijn en met
een extra lijn tussen Amsterdam Centraal en Amsterdam Sloterdijk.
• GN Z,CS Het metronetwerk van Amsterdam met Noord-Zuidlijn en met
een extra lijn tussen Amsterdam Centraal en Amsterdam Sloterdijk.
Voor elk van de gevallen kijken we naar de totale e↵ectieve weerstand van het
netwerk en naar de e↵ectieve weerstand tussen knoop Centraal Station en knoop
Station Sloterdijk, zodat we deze later kunnen vergelijken. Voor de netwerken
GN Z en GN Z,CS bekijken we ook nog de totale e↵ectieve weerstand van de
knooppunten die niet bij de Noord-Zuidlijn horen om te kijken wat voor invloed
de Noord-Zuidlijn op de gemeenschappelijke knopen met GO heeft.
7.1
Het Model
Het Amsterdamse metronetwerk met Noord-Zuidlijn kunnen we modelleren als
een ongerichte, samenhangende graaf met 57 knopen. Het Amsterdamse metronetwerk zonder Noord-Zuidlijn kunnen we modelleren als een ongerichte, normale, samenhangende graaf met 52 knopen. De knopen corresponderen met de
metrohaltes. De matrices die we hebben gebruikt, zijn de gewogen Laplacianen
van de verschillende variaties van het metronetwerk dat we bestuderen. Als
gewichten op de takken hebben we het aantal lijnen tussen de corresponderende
metrohaltes gekozen.
Voor de berekening hebben we gebruik gemaakt van drie matlabcodes die in
Appendix A zijn opgenomen.
In deze codes hebben we gebruik gemaakt van het feit dat S[n] = (LW )[n]1
24
zoals in het bewijs van Stelling 6.1. Als formules in de eerste twee matlabcodes
hebben we Rab = (ea eb )> S(ea eb ) en Ran = Saa (zie Lemma 6.1) gebruikt.
n
n
X1 X
Verder is gebruik gemaakt van Definitie 4.1 die zegt dat Rtot =
Rij .
i=1 j=i+1
Met de eerste code kunnen we R
knopen 1 tot en met n berekenen.
tot
en Rij met 1  i < j  n tussen de
Aangezien het aantal knopen van de netwerken GN Z en GN Z,CS (n = 57) groter
is dan het aantal knopen van GO en GCS (n = 52), kun je de totale e↵ectieve
weerstanden van deze netwerken niet goed vergelijken. Dit is opgelost door in
plaats van de totale e↵ectieve weerstand van GN Z en GCS,N Z de som over de
e↵ectieve weerstanden Rij van de oorspronkelijke knooppunten te nemen. Deze
kan wel vergeleken worden met de totale e↵ectieve weerstand van GO en GCS .
Dit kan gedaan worden met behulp van de tweede code.
Met de laatste code berekenen we Rtot van de vier netwerken. Deze code maakt
gebruik van Gevolg 6.3. De code is lager in complexiteit, waardoor deze code
significant sneller is voor hele grote netwerken. Als we alleen geı̈nteresseerd zijn
in de totale e↵ectieve weerstand van een netwerk is het beter om deze code te
gebruiken.
25
7.2
De Resultaten
Hieronder is een weergave van de vier netwerken. In Appendix B is een grafische weergave van het netwerk opgenomen met genummerde knooppunten en
gewichten op takken in het geval deze groter zijn dan 1.
Figuur 2: netwerk GO (links) en netwerk GN Z (rechts)
Figuur 3: netwerk GCS (links) en netwerk GN Z,CS (rechts)
In de onderstaande tabel staan de resultaten weergegeven die met behulp van
26
de matlabcodes zijn gegenereerd. Voor alle vier de netwerken is de totale effectieve weerstand Rtot en de e↵ectieve weerstand tussen Centraal Station (C)
en Station Sloterdijk (S) berekend. Voor de netwerken GN Z en GN Z,CS hebben we ook de totale e↵ectieve weerstand van de knopen uit het oorspronkelijke
51 X
52
X
tot
netwerk, R52
=
Rij , berekend.
i=1 j=i+1
Tabel 1: Resultaten E↵ectieve Weerstand
Netwerk
Rtot
tot
R52
GO
GN Z
GCS
GN Z,CS
12551
14167
11120
12622
n.v.t.
12213
n.v.t.
10879
27
E↵ectieve Weerstand
tussen C en S
10,6
7,8947
1,6825
1,6329
7.3
7.3.1
Conclusie
Vraag 1: Heeft de aanleg van de Noord-Zuidlijn een positieve
invloed op de e↵ectieve weerstand van het Amsterdamse metronetwerk?
We vergelijken eerst netwerk GO en netwerk GN Z . Uit de resultaten volgt dat
RN Z,tot 12, 9% hoger is dan RO,tot . Dit is in tegenstelling met wat we verwachten, want volgens Stelling 4.2 zou Rtot moeten afnemen met het toevoegen
takken . De reden voor deze hogere e↵ectieve weerstand in netwerk GN Z is
dat niet alleen takken worden toegevoegd, maar ook knopen. Deze nieuwe knopen zorgen ervoor dat het totale netwerk gevoeliger wordt voor beschadigingen,
omdat er bij beschadiging mogelijk geen alternatieve route voor deze nieuwe
knopen bestaat.
Doordat hieruit niet gelijk duidelijk is wat de invloed van de Noord-Zuidlijn
is op de knopen uit het oorspronkelijke netwerk, bekijken we de verandering
van Rtot van de oorspronkelijke knopen. We zien in de resultaten dat deze
2, 7% lager is dan RO,tot in netwerk GO .
Ook hebben we de onderlinge e↵ectieve weerstand tussen deze 52 knopen berekend. In Appendix C zijn tabellen opgenomen waarin we de procentuele verandering kunnen zien van de e↵ectieve weerstand tussen tweetallen oorspronkelijke
knopen in netwerk GO en in netwerk GN Z . We zien dat voor elk tweetal knopen de e↵ectieve weerstand Rij met 1  i < j  52 gelijk is gebleven of is
gedaald. Er is een grote afname van e↵ectieve weerstand tussen de tweetallen
knopen 1 tot en met 20 en 23 tot en met 27. De grootste procentuele afname
is de e↵ectieve weerstand tussen knoop 1 en knoop 2, namelijk 47, 4%. Dit is
precies zoals we zouden verwachten, omdat kortere routes hierbij van grotere
toegevoegde waarde zijn. Dit bevestigt dat de e↵ectieve weerstand een goede
maat voor robuustheid is.
De totale e↵ectieve weerstand RN Z,tot is hoger dan RO,tot , dus de Noord-Zuidlijn
maakt het totale netwerk minder robuust. Uit het bovenstaande blijkt echter
wel dat de Noord-Zuidlijn zorgt voor een robuuster oorspronkelijk netwerk. Het
toevoegen van de Noord-Zuidlijn aan het metronetwerk heeft dus een positieve
invloed op het oorspronkelijke netwerk.
7.3.2
Vraag 2: Zou het aanleggen van een lijn tussen Centraal Station en Station Sloterdijk een positieve invloed hebben op de
e↵ectieve weerstand tussen de twee knopen en op de totale
e↵ectieve weerstand van het netwerk?
Op basis van de resultaten kan een vergelijking worden gemaakt tussen de verschillende netwerken met betrekking tot de invloed die een lijn tussen Centraal
Station en Station Sloterdijk heeft op de robuustheid van het netwerk. Er
wordt hierbij gekeken naar de procentuele verschillen van de totale e↵ectieve
28
weerstand, de totale e↵ectieve weerstand van het oorspronkelijke netwerk en
het verschil van de e↵ectieve weerstand tussen Centraal Station (C) en Station
Sloterdijk (S). De uitkomsten worden weergegeven in de onderstaande tabel.
Tabel 2: Procentuele verschillen E↵ectieve Weerstand met lijn tussen Centraal
Station en Station Sloterdijk
Vergelijking
Netwerken
GCS
t.o.v.
GO
GN Z,CS
t.o.v. GN Z
GN Z,CS
t.o.v. GO
Procentueel
Verschil
Rtot
11, 4% lager
Procentueel Verschil
tot
R52
n.v.t.
Procentueel Verschil
E↵ectieve Weerstand
tussen C en S
84, 1% lager
10, 9% lager
10, 9% lager
79, 3% lager
n.v.t
13, 3% lager
79, 3% lager
Uit de tabel kunnen we concluderen dat een lijn tussen Centraal Station en
Station Sloterdijk het netwerk robuuster maakt, want de e↵ectieve weerstand
daalt in alle netwerken. Een lijn tussen Centraal Station en Station Sloterdijk
heeft zelfs een grotere invloed op de daling van de totale e↵ectieve weerstand
van het oorspronkelijke netwerk dan het toevoegen van de Noord-Zuidlijn aan
het netwerk.
7.3.3
Slotconclusies en mogelijk vervolgonderzoek
De totale e↵ectieve weerstand van het oorspronkelijke netwerk daalt zowel met
het toevoegen van de Noord-Zuidlijn als met het toevoegen van een lijn tussen
Centraal Station en Station Sloterdijk. Dus de robuustheid van het oorspronkelijke netwerk neemt toe. Deze toename van robuustheid is intuı̈tief logisch,
omdat er meerdere alternatieve routes zijn. Dit bevestigt dat de e↵ectieve weerstand een goede maat voor de robuustheid is.
Het is vrij opmerkelijk dat het toevoegen van een lijn tussen Centraal Station en
Station Sloterdijk een grotere invloed heeft of de afname van Rtot dan het toevoegen van de Noord-Zuidlijn. Dit hadden we in eerste instantie niet verwacht,
omdat het slechts één lijn is die toegevoegd wordt tussen Centraal Station en
een niet centraal in het netwerk gelegen knooppunt. De Noord-Zuidlijn daarentegen verbindt twee knooppunten die meer centraal in het netwerk liggen (zie
Appendix B). Een verklaring kan zijn dat het toevoegen van de Noord-Zuidlijn
voornamelijk van invloed is op de knooppunten 1, 3, 4, 14, 15, en 23 tot en
met 27, omdat deze het dichtst in de buurt van de Noord-Zuidlijn liggen. Deze
knooppunten hebben allen al een hogere graad in vergelijking tot de meeste
knooppunten in het netwerk en daardoor meerdere alternatieve routes. Het
29
toevoegen van nog een alternatieve route heeft dan minder invloed op de robuustheid.
Het toevoegen van en lijn tussen Centraal Station en Station Sloterdijk lijkt
dus een goedkopere oplossing dan het toevoegen van de Noord-Zuidlijn, terwijl
het wel een hogere robuustheid oplevert. Dit is een eerste stap in het ontwerp
voor een beter netwerk. In toekomstig onderzoek kan overwogen worden om
zaken mee te modelleren zoals de fysieke afstand tussen knooppunten, de tijd
die het kost om van het ene knooppunt naar het volgende knooppunt te gaan
en de kosten van het aanleggen van nieuwe lijnen.
30
Appendices
A
Codes
Code 1
1
2
3
% I k v e r w i j d e r de n de kolom en r i j van matrix A
A( n , : ) = [ ] ;
A( : , n ) = [ ] ;
4
5
6
% S i s de i n v e r s e van A
S = i n v (A) ;
7
8
9
% C r e e e r een l e g e nxn matrix voor de e f f e c t i e v e w e e r s t a n d
R = zeros (n) ;
10
11
12
% C r e e e r een ( n 1)x ( n 1) i d e n t i t e i t s m a t r i x
E = eye ( n 1) ;
13
14
15
16
17
18
19
% Voor e l k paar knopen v u l R met de e f f e c t i e v e w e e r s t a n d
f o r i= 1 : n 2
f o r j = i +1:n 1
R( i , j ) = (E ( : , i ) E ( : , j ) ) ’ ⇤ S ⇤ (E ( : , i ) E ( : , j ) ) ;
end
end
20
21
22
23
24
% Vul l a a t s t e kolom van R
f o r i= 1 : n 1
R( i , n )=S ( i , i ) ;
end
25
26
27
% Som van a l l e e f f e c t i e v e w e e r s t a n d e n
Rtot=sum ( sum (R) )
Code 2
1
2
3
% I k v e r w i j d e r de n de kolom en r i j van matrix A
A( n , : ) = [ ] ;
A( : , n ) = [ ] ;
4
5
6
% S i s de i n v e r s e van A
S = i n v (A) ;
7
8
9
% C r e e e r een l e g e nxn matrix voor de e f f e c t i e v e w e e r s t a n d
R = zeros (n) ;
31
10
11
12
% C r e e e r een ( n 1)x ( n 1) i d e n t i t e i t s m a t r i x
E = eye ( n 1) ;
13
14
15
16
17
18
19
20
% Voor e l k paar knopen v u l R met de e f f e c t i e v e w e e r s t a n d
% A l l e e n voor de knopen 1 52 om zo de e f f . w . van knopen
53 57 t e n e g e r e n
f o r i= 1 : n 6
f o r j = i +1:n 5
R( i , j ) = (E ( : , i ) E ( : , j ) ) ’ ⇤ S ⇤ (E ( : , i ) E ( : , j ) ) ;
end
end
21
22
23
% Som van a l l e e f f e c t i e v e w e e r s t a n d e n
Rtot=sum ( sum (R) )
Code 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
%l e g e v e c t o r
z=z e r o s ( n 1 ,1) ;
% V e r i j d e r e n n de r i j en kolom
A( : , n ) = [ ] ;
A( n , : ) = [ ] ;
%S i s de i n v e r s e van A
S=i n v (A) ;
% V u l l e n van v e c t o r z met d i a g o n a a l e l e m e n t e n van S
f o r i =1:n 1
z ( i , 1 )=S ( i , i ) ;
end
%kolomsommen van S + 1
s=sum ( S )+o n e s ( 1 , n 1) ;
%kolomsommen a f t r e k k e n van d i a g o n a a l e l e m e n t e n
c=z ’ (1/ n ) ⇤ s ;
% t o t a l e e f f e c t i e v e w e e r s t a n d ( met c o r r e c t i e voor
v e r i j d e r d e r i j / kolom )
Rtot=n ⇤ ( sum ( c ) +1 (1/n ) )
32
B
Graaf Amsterdams Metronetwerk
54
(Station Sloterdijk(S)) 7
6
53
1 (Amsterdam Centraal (C))
55
(3)
8
56
23
(3)
9
57
24
(3)
10
25
(3)
11
26
(3)
12
27
2 (2) 15 (2) 3
13
(3)
4
14
52
(2)
5
(2)
51
48
47
28
30
29
16
31
(2)
49
50
17
32
(2)
46
18
44
45
43
33
(2)
42
19
(2)
41
20
(2) 21 (2) 22
40
35
34
36
37
38
Metrohalte
39
33
a
(x)
b Gewicht x op tak tussen knoop a en b
Extra lijn tussen C en S
Noord-Zuidlijn
C
Tabellen met procentuele verschillen e↵ectieve
weerstand per knoop
De volgende tabellen geven het procentuele verschil weer tussen tweetallen knopen in Netwerk GO en GN Z . Hierbij is alleen gekeken naar de knopen 1 tot en
met 52. Voor de tabellen gelden de volgende opmerkingen:
• In de tabellen staan alleen Rij met 1  i < j  52 weergegeven. Deze
keuze is gemaakt vanwege het overzicht. Aangezien geldt dat Rij = Rji
(uit Gevolg 4.1), kan de onderste helft van de tabel, die nu gelijk is aan 0,
afgeleid worden uit de bovenste helft.
• Voor de plekken waar “ 0” staat is het procentuele verschil verwaarloosbaar klein.
34
Tabel 3: E↵ectieve weerstanden tussen tweetallen knopen 1 t/m 5 en 1 t/m 52
Knopen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2
-47.5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
3
-34.23
-13
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
35
4
-26.5
-21.25
-8.33
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
5
-26.67
-16.25
-3.33
-2.5
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Tabel 4: E↵ectieve weerstanden tussen tweetallen knopen 6 t/m 14 en 1 t/m 52
Knopen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
6
-13.57
0
-1.3
-3.21
-2.45
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
7
-14.74
0
-1.44
-3.54
-2.71
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
8
-16.13
0
-1.62
-3.95
-3.02
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
9
-17.81
0
-1.86
-4.47
-3.42
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
36
10
-19.88
0
-2.17
-5.15
-3.94
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
11
-22.5
0
-2.6
-6.07
-4.64
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
12
-25.91
0
-3.25
-7.39
-5.65
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
13
-30.54
0
-4.33
-9.44
-7.22
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
14
-37.17
0
-6.5
-13.08
-10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Tabel 5: E↵ectieve weerstanden tussen tweetallen knopen 15 t/m 22 en 1 t/m
52
Knopen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
15
-40.65
-6
-6
-14.55
-10
-0.32
-0.35
-0.4
-0.46
-0.55
-0.67
-0.86
-1.2
-2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
16
-22.07
-12.38
-1.82
-1.11
0
-2.34
-2.57
-2.86
-3.21
-3.66
-4.26
-5.1
-6.34
-8.39
-6.88
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
17
-18.82
-10
-1.25
-0.71
-0
-2.24
-2.45
-2.71
-3.02
-3.42
-3.94
-4.64
-5.65
-7.22
-5.24
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
18
-16.41
-8.39
-0.95
-0.53
-0
-2.15
-2.34
-2.57
-2.86
-3.21
-3.66
-4.26
-5.1
-6.34
-4.23
-0
-0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
37
19
-14.55
-7.22
-0.77
-0.42
-0
-2.06
-2.24
-2.45
-2.71
-3.02
-3.42
-3.94
-4.64
-5.65
-3.55
-0
-0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
20
-13.06
-6.34
-0.65
-0.34
-0
-1.98
-2.15
-2.34
-2.57
-2.86
-3.21
-3.66
-4.26
-5.1
-3.06
-0
-0
-0
-0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
21
-11.85
-5.65
-0.56
-0.29
0
-1.91
-2.06
-2.24
-2.45
-2.71
-3.02
-3.42
-3.94
-4.64
-2.68
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
22
-10.85
-5.1
-0.49
-0.26
0
-1.84
-1.98
-2.15
-2.34
-2.57
-2.86
-3.21
-3.66
-4.26
-2.39
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Tabel 6: E↵ectieve weerstanden tussen tweetallen knopen 23 t/m 27 en 1 t/m
52
Knopen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
23
-4
-43.06
-29.85
-22
-22.1
-11.47
-12.49
-13.7
-15.18
-17.02
-19.36
-22.45
-26.71
-32.97
-36.39
-17.79
-14.89
-12.8
-11.23
-10
-9.01
-8.2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
24
-8.5
-38.64
-25.52
-17.5
-18.08
-9.5
-10.37
-11.41
-12.69
-14.29
-16.35
-19.1
-22.97
-28.81
-32.19
-14.03
-11.46
-9.69
-8.39
-7.4
-6.62
-5.99
-4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
38
25
-13
-34.23
-21.25
-13
-13.57
-7.67
-8.4
-9.27
-10.35
-11.71
-13.48
-15.89
-19.35
-24.72
-27.62
-10
-7.92
-6.55
-5.59
-4.87
-4.32
-3.88
-8.5
-4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
26
-17.5
-29.85
-16.32
-8.5
-9.06
-6.01
-6.59
-7.3
-8.19
-9.31
-10.8
-12.85
-15.86
-20.71
-23.02
-6.17
-4.68
-3.77
-3.15
-2.71
-2.38
-2.12
-13
-8.5
-4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
27
-22
-25.52
-12.14
-4
-4.55
-4.51
-4.97
-5.52
-6.22
-7.12
-8.31
-10
-12.54
-16.82
-19.07
-2.7
-1.92
-1.49
-1.22
-1.03
-0.89
-0.79
-17.5
-13
-8.5
-4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Tabel 7: E↵ectieve weerstanden tussen tweetallen knopen 28 t/m 33 en 1 t/m
52
Knopen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
28
-18.82
-10
-1.25
-0.71
-0
-2.24
-2.45
-2.71
-3.02
-3.42
-3.94
-4.64
-5.65
-7.22
-5.24
-0
-0
-0
-0
-0
-0
-0
-14.89
-11.46
-7.92
-4.68
-1.92
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
29
-14.55
-7.22
-0.77
-0.42
-0
-2.06
-2.24
-2.45
-2.71
-3.02
-3.42
-3.94
-4.64
-5.65
-3.55
-0
-0
-0
-0
-0
-0
-0
-11.23
-8.39
-5.59
-3.15
-1.22
-0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
30
-11.85
-5.65
-0.56
-0.29
-0
-1.91
-2.06
-2.24
-2.45
-2.71
-3.02
-3.42
-3.94
-4.64
-2.68
-0
-0
-0
-0
-0
-0
-0
-9.01
-6.62
-4.32
-2.38
-0.89
-0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
39
31
-10
-4.64
-0.43
-0.23
-0
-1.78
-1.91
-2.06
-2.24
-2.45
-2.71
-3.02
-3.42
-3.94
-2.16
-0
-0
-0
-0
-0
-0
-0
-7.53
-5.47
-3.52
-1.91
-0.7
-0
-0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
32
-8.65
-3.94
-0.36
-0.19
-0
-1.67
-1.78
-1.91
-2.06
-2.24
-2.45
-2.71
-3.02
-3.42
-1.8
-0
-0
-0
-0
-0
-0
-0
-6.46
-4.65
-2.97
-1.59
-0.58
-0
-0
-0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
33
-7.62
-3.42
-0.3
-0.16
-0
-1.57
-1.67
-1.78
-1.91
-2.06
-2.24
-2.45
-2.71
-3.02
-1.55
-0
-0
-0
-0
-0
-0
-0
-5.66
-4.05
-2.57
-1.37
-0.5
-0
-0
-0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Tabel 8: E↵ectieve weerstanden tussen tweetallen knopen 34 t/m 52 en 1 t/m
52
Knopen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
34
-7.57
0
-0.65
-1.65
-1.26
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.15
-1.23
-1.2
-1.18
-1.15
-1.13
-1.1
-1.08
-6.32
-5.17
-4.12
-3.18
-2.36
-1.2
-1.15
-1.1
-1.06
-1.02
-0.98
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
35
-7.92
0
-0.68
-1.73
-1.33
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.16
-1.29
-1.26
-1.23
-1.2
-1.18
-1.15
-1.13
-6.61
-5.41
-4.32
-3.34
-2.47
-1.26
-1.2
-1.15
-1.1
-1.06
-1.02
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
36
-8.3
0
-0.72
-1.83
-1.4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.17
-1.36
-1.33
-1.29
-1.26
-1.23
-1.2
-1.18
-6.94
-5.69
-4.54
-3.51
-2.61
-1.33
-1.26
-1.2
-1.15
-1.1
-1.06
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
37
-8.72
0
-0.76
-1.93
-1.48
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.18
-1.44
-1.4
-1.36
-1.33
-1.29
-1.26
-1.23
-7.3
-5.99
-4.78
-3.7
-2.75
-1.4
-1.33
-1.26
-1.2
-1.15
-1.1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
38
-9.19
0
-0.81
-2.05
-1.57
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.19
-1.52
-1.48
-1.44
-1.4
-1.36
-1.33
-1.29
-7.7
-6.32
-5.06
-3.92
-2.91
-1.48
-1.4
-1.33
-1.26
-1.2
-1.15
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
39
-9.72
0
-0.87
-2.18
-1.67
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.21
-1.61
-1.57
-1.52
-1.48
-1.44
-1.4
-1.36
-8.15
-6.69
-5.36
-4.16
-3.1
-1.57
-1.48
-1.4
-1.33
-1.26
-1.2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
40
-10.3
0
-0.93
-2.33
-1.78
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.22
-1.72
-1.67
-1.61
-1.57
-1.52
-1.48
-1.44
-8.65
-7.11
-5.71
-4.43
-3.3
-1.67
-1.57
-1.48
-1.4
-1.33
-1.26
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
41
-10.96
0
-1
-2.5
-1.91
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.24
-1.84
-1.78
-1.72
-1.67
-1.61
-1.57
-1.52
-9.21
-7.59
-6.1
-4.74
-3.54
-1.78
-1.67
-1.57
-1.48
-1.4
-1.33
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
42
-11.71
0
-1.08
-2.7
-2.06
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.26
-1.98
-1.91
-1.84
-1.78
-1.72
-1.67
-1.61
-9.86
-8.13
-6.54
-5.1
-3.81
-1.91
-1.78
-1.67
-1.57
-1.48
-1.4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
43
-12.57
0
-1.18
-2.93
-2.24
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.29
-2.15
-2.06
-1.98
-1.91
-1.84
-1.78
-1.72
-10.6
-8.76
-7.06
-5.52
-4.13
-2.06
-1.91
-1.78
-1.67
-1.57
-1.48
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
40
44
-13.57
0
-1.3
-3.21
-2.45
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.32
-2.34
-2.24
-2.15
-2.06
-1.98
-1.91
-1.84
-11.47
-9.5
-7.67
-6.01
-4.51
-2.24
-2.06
-1.91
-1.78
-1.67
-1.57
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
45
-14.74
0
-1.44
-3.54
-2.71
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.35
-2.57
-2.45
-2.34
-2.24
-2.15
-2.06
-1.98
-12.49
-10.37
-8.4
-6.59
-4.97
-2.45
-2.24
-2.06
-1.91
-1.78
-1.67
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
46
-16.13
0
-1.62
-3.95
-3.02
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.4
-2.86
-2.71
-2.57
-2.45
-2.34
-2.24
-2.15
-13.7
-11.41
-9.27
-7.3
-5.52
-2.71
-2.45
-2.24
-2.06
-1.91
-1.78
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
47
-17.81
0
-1.86
-4.47
-3.42
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.46
-3.21
-3.02
-2.86
-2.71
-2.57
-2.45
-2.34
-15.18
-12.69
-10.35
-8.19
-6.22
-3.02
-2.71
-2.45
-2.24
-2.06
-1.91
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
48
-19.8 8
0
-2.17
-5.15
-3.94
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.55
-3.66
-3.42
-3.21
-3.02
-2.86
-2.71
-2.57
-17.02
-14.29
-11.71
-9.31
-7.12
-3.42
-3.02
-2.71
-2.45
-2.24
-2.06
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
49
-22.5
0
-2.6
-6.07
-4.64
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.67
-4.26
-3.94
-3.66
-3.42
-3.21
-3.02
-2.86
-19.36
-16.35
-13.48
-10.8
-8.31
-3.94
-3.42
-3.02
-2.71
-2.45
-2.24
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
50
-25.91
0
-3.25
-7.39
-5.65
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-0.86
-5.1
-4.64
-4.26
-3.94
-3.66
-3.42
-3.21
-22.45
-19.1
-15.89
-12.85
-10
-4.64
-3.94
-3.42
-3.02
-2.71
-2.45
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
51
-30.54
0
-4.33
-9.44
-7.22
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-1.2
-6.34
-5.65
-5.1
-4.64
-4.26
-3.94
-3.66
-26.71
-22.97
-19.35
-15.86
-12.54
-5.65
-4.64
-3.94
-3.42
-3.02
-2.71
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
52
-37.17
0
-6.5
-13.08
-10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-2
-8.39
-7.22
-6.34
-5.65
-5.1
-4.64
-4.26
-32.97
-28.81
-24.72
-20.71
-16.82
-7.22
-5.65
-4.64
-3.94
-3.42
-3.02
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Referenties
[1] R.B. Bapat, I. Gutman, and W. Xiao. A simple method for computing
resistance distance. Z. Naturforsch, 2003.
[2] S. Boyd, A. Ghosh, and A. Saberi. Minimizing e↵ective resistance of a graph.
SIAM Review, 50(1):37–66, 2008.
[3] R. Bulirsch and J. Stoer. Introduction to numerical analysis. Springer, fourth
edition, 1993.
[4] W. Ellens. E↵ective resistance. Masterscriptie, Universiteit Leiden, 2011.
[5] D. Ertiningsih, M.N. Katehakis, L.C. Smit, and F.M. Spieksma. Level product form QSF processes and an analysis of queues with Coxian interarrival
distribution. Accepted at Naval Research Logistics, 2015.
[6] D.J. Klein and M. Randić. Resistance distance. Journal of Mathematical
Chemistry, 12:81–95, 1993.
[7] D.C. Lay. Linear Algebra and its applications. Pearson, 2012.
41