Haakjes - de Wageningse Methode

Haakjes
Opdracht
Elk groepje krijgt een aantal kaartjes. Voer de opdrachten op de kaartjes uit.
© 2012
Op dit werk zijn de bepalingen van Creative Commons van toepassing. Iedere gebruiker is vrij het
materiaal voor eigen, niet-commerciële doeleinden aan te passen. De rechten blijven aan de
Wageningse Methode.
Buiten het boekje bij Haakjes
Probleem 1
-
-
Het
omgekeerde
van 3 is .
Kies een getal ongelijk aan 0.
Maak een nieuw getal door het
gekozen getal bij zijn omgekeerde
op te tellen.
Maak een ander nieuw getal door het gekozen getal van zijn
omgekeerde af te trekken.
Kwadrateer de nieuwe getallen en trek het kleinste kwadraat van het
grootste af.
Opdracht 1
Voer deze actie een paar keer uit. Je krijgt een opvallend resultaat. Formuleer
een vermoeden. Formuleer het vermoeden ook in formuletaal.
Opdracht 2
Bewijs de formule van opdracht 1.
Probleem 3
-
Kies vier opvolgende gehele getallen.
Vermenigvuldig het grootste met het kleinste getal; vermenigvuldig ook
de andere twee.
Opdracht 1
Voer deze actie een paar keer uit. Wat valt je op? Formuleer een vermoeden.
Formuleer het vermoeden ook in formuletaal.
Opdracht 2
Bewijs de formule van opdracht 1.
Probleem 2
Kies twee positieve gehele getallen.
Tel de getallen bij elkaar op en trek ze van elkaar af.
Kwadrateer beide uitkomsten.
Trek het kleinste kwadraat af van het grootste kwadraat; noteer de
uitkomst.
Bereken het product van de twee getallen waarmee je begonnen bent.
Opdracht 1
Voer deze actie een paar keer uit. De twee genoteerde uitkomsten hangen
opvallend samen.
Formuleer een vermoeden. Formuleer het vermoeden ook in formuletaal.
Opdracht 2
Bewijs de formule van opdracht 1.
Probleem 4
Bereken:
13+1 ; 24+1 ; 35+1 ; 46+1
Opdracht 1
Zet de rij hierboven voort. Formuleer een vermoeden. Formuleer het
vermoeden ook in formuletaal.
Opdracht 2
Bewijs de formule van opdracht 1.
Opdracht 3
Doe hetzelfde als in opdracht 1 en 2 voor vier opvolgende even getallen.
Buiten het boekje bij Haakjes
2
Probleem 5
Ga na dat
(3)2=9+2 ; (4)2=16+2; …; …; (10)2=100+2
Opdracht 1
Formuleer een vermoedenover het kwadrateren van deze speciale breuken.
Formuleer het vermoeden ook in formuletaal.
Opdracht 2
Bewijs de formule van opdracht 1.
Probleem 6
Bereken:
13–04 ; 24–15 ; 35–26 ; 46–37
Opdracht 1
Zet de rij hierboven voort.
Formuleer een vermoeden. Formuleer het vermoeden ook in formuletaal.
Opdracht 2
Bewijs de formule van opdracht 1.
Opdracht 3
Doe hetzelfde als in opdracht 1 en 2 met het kwadrateren van de speciale
breuken 2, 3, 4, …,….
Opdracht 3
Doe hetzelfde als in opdracht 1 en 2 met een zelf ontworpen rijtje.
Probleem 7
Kies drie opvolgende positieve gehele getallen.
Bereken de kwadraten van deze getallen
Tel het grootste en het kleinste kwadraat op en trek daar 2 keer het
middelste kwadraat van af.
Noteer de uitkomst.
Probleem 8
Opdracht 1
Voer deze actie een paar keer uit. Je krijgt een opvallend resultaat. Formuleer
een vermoeden. Formuleer het vermoeden ook in formuletaal.
Opdracht 2
Je bent begonnen met "drie opvolgende positieve gehele getallen". Je kunt elk
van de vier cursieve woorden veranderen. Onderzoek of er dan weer iets moois
aan de hand is.
Buiten het boekje bij Haakjes
Bereken
(1)2, (2)2, (3)2, (4)2, …
Opdracht 1
Kun je zonder te rekenen voorspellen wat (10)2 is?
Formuleer een vermoeden.
Formuleer het vermoeden ook in formuletaal.
Opdracht 2
Bewijs de formule.
Opdracht 3
Doe hetzelfde voor de rij 152, 252, 352, 452, …
3
Toelichting voor de docent
Het doel van de lessuggestie is oefenen met haakjes in de algebra. En dat niet in saaie rijtjessommen,
maar in interessante formules.
Waar?
Deze lessuggestie hoort bij het hoofdstuk Haakjes van klas 2.
De opdrachten kunnen ook in de derde klas gebruikt worden om de algebrakennis nog eens op te
frissen, bijvoorbeeld aan het begin van een hoofdstuk als Vierkantsvergelijkingen
Duur
Een of twee lessen
Hoe?
Laat de leerlingen in groepjes werken. Geef elk groepje twee problemen.
De oplossingen kunnen mondeling of schriftelijk gepresenteerd worden.
Nodig
Maak kartonnen kaartjes, op elk kaartje één opdracht.
Variant
De problemen kunnen ook aan het begin van het hoofdstuk gegeven worden zonder naar de
‘bewijzen’ van de formules te vragen. De bewijzen kunnen de leerlingen aan het einde van het
hoofdstuk gevraagd worden.
Bij probleem 9 kan ook gevraagd worden zelf de formulevorm op te schrijven.
Antwoorden
2
2
1 
1

1.  x     x    4
x 
x

2. a  b  a  b  4ab
3. Die opeenvolgende getallen zijn bijvoorbeeld: k, k+1, k+2, k+3.
Er geldt: k(k+3)=(k+1)(k+2)–2
De vier opeenvolgende even getallen zijn bijvoorbeeld: k, k+2, k+4, k+6.
De formule hierbij is: k(k+6)=(k+2)(k+4)–8
2
2
4. n(n+2)+1=(n+1)2
2
1
1

5.  x    x 2  2  2 
x
x

2
1
1

2
x    x  2 2
x
x


6. De formule hierbij is: n(n+2)–(n–1)(n+3)=3
Bij opdracht 3 bijvoorbeeld:
22–13=1; 33–24=1; 44–35=1,…
De formule hierbij is: n2–(n+1)(n–1)=1
of: 22–40=4; 33–51=4; 44–62=4; 1010–812=4,…
De formule hierbij is: n2–(n+2)(n–2)=4
7. Die opeenvolgende getallen zijn bijvoorbeeld: k, k+1, k+2.
De formule hierbij is: k2+(k+2)2–2(k+1)2=2
Bij opdracht 3:
Buiten het boekje bij Haakjes
4