Vrijheidsgraden worden aangeduid met `df` ofwel degrees of

K = aantal fouten in de totale populatie
N = grootte van de totale populatie
k = aantal fouten in de steekproef
n = grootte van de steekproef
µ
α
σ
s
= populatiegemiddelde
= steekproefgemiddelde
= onbetrouwbaarheid
= populatiestandaardafwijking
= steekproefstandaardafwijking
> Motiveer altijd waarom je een bepaalde verdeling gebruikt a.d.h.v. de voorwaarden!!!
> Als df niet precies in de tabel staat, neem dan een lagere waarde (bv. df = 51, neem df = 50)
H 2.6 + 2.7: steekproeven
(toetsen op basis van percentage)
= kwalitatieve toets
(toetsen op basis van gemiddelde)
= kwantitatieve toets
1. Hypergeometrische verdeling
1. Student t-verdeling (tabel 13.4)
(nauwkeurigste) n/N > 0,1
n < 200
Df = n-1 (aantal vrijheidsgraden)
Nadeel:
- max. 69! (=69 faculteit)
- veel rekenwerk
T vinden:
- gegevens invullen in bovenstaande formule
- m.b.v. overschrijdingskans en df opzoeken in
tabel
Als 1 niet gaat, dan ↓
Als t al bekend is, en df of overschrijdingskans
ook, dan kun je ook het ontbrekende gegeven (df
of overschrijdingskans) opzoeken in tabel.
2. Binomiale verdeling
2. Normale verdeling (tabel 13.3)
n
Voorwaarde: N < 0,1
Voorwaarde: n ≥ 200
Z vinden:
- gegevens invullen in bovenstaande formule
- m.b.v. gegeven α opzoeken in tabel (namelijk
door α-1 te nemen)
3. Poisson verdeling
(onnauwkeurigst)
n
Voorwaarden: N < 0,1
en n ≥20
en
en e = 2,71828 (ex1)
Wat zijn vrijheidsgraden?
Vrijheidsgraden worden aangeduid met ‘df’ ofwel degrees of freedom. Het aantal vrijheidsgraden
kun je berekenen door de steekproefomvang – 1 te doen, dus n – 1.
Stel, n = 5 waarvan de som 50 is. Je hebt dus 5 getallen die samen 50 vormen.
Je hebt n-1=4 vrijheidsgraden. Dit zijn getallen die kunnen zijn wat ze willen, je kunt nemen wat je
wilt. Hier nemen we bijvoorbeeld 12, 6, 8 en 11. Deze vrijheidsgraden zijn onafhankelijk van elkaar.
Het 5e getal mag is geen vrijheidsgraad, want dit getal moet ervoor zorgen dat de som van de 5
getallen bij elkaar op 50 uitkomt.
Het 5e getal is in dit geval dus 50 – (12+6+8+11) = 13. Dit is geen vrijheidsgraad, want dit getal moet
in dit geval 13 zijn om 50 te vormen.
Chi-kwadraatverdeling (χ = chi, χ²)
Als de populatievariantie σ onbekend is, kan de chi-kwadraatverdeling gebruikt worden om een
boven- en ondergrens te schatten waartussen σ ligt. Hiervoor gebruiken we de steekproefvariantie s.
S geeft de spreiding van de steekproef aan, en wordt ook wel de standaardafwijking van de
steekproef genoemd. Omdat de steekproef normaal verdeeld is en dus 2 kanten heeft, is de totale
spreiding dus s². (bijv:
= 3, steekproefresultaten 1,2,3,4,5 en dus n = 5)
S² = Σ(steekproefresultaat n-1
)²
=
((1-3)²+(2-3)²+(3-3)²+(4-3)²+(5-3)²)
5-1
=2.5
Vervolgens heb je df nodig (n-1) en α om de χ² af te lezen in tabel 13.7.
Meer hierover in H 9, 10 en 11.
F-verdeling
Deze wordt gebruikt om te kijken of twee steekproeven dezelfde varianties hebben. S² van elke
steekproef kan berekend worden zoals hierboven of al gegeven zijn.
Dan berekenen we F =
waarbij de hoogste variantie (grootste getal) altijd boven staat.
Als we F hebben berekend, zoeken we in tabel 13.8 aan de hand van de vrijheidsgraden df en het
gegeven significantieniveau α op welke F-waarde erbij hoort. Verschilt deze van de berekende Fwaarde, dan verschillen de varianties.
Een negatieve F-waarde bestaat niet, omdat de varianties kwadraten zijn, en die zijn nooit negatief.
Interpoleren
Betekenis: Bij een serie waarnemingen een tussenliggende waarde schatten.
Stel, je hebt een t-waarde van t= 2,96 maar die staat niet in de tabel. Je wilt de overschrijdingskans
weten.
T-waarde (t)
Overschrijdingskans (α)
2,821
0,010
Overschrijdingskans voor t=2,96 >
2,960
x
3,250
0,005
2,96 – 2,821
3,250 – 2,821 x (0,005 – 0,010) + 0,010 = 0,0084
de steekproef tweezijdig is en symmetrisch, dus elke kant de helft van α.