Fysica/Inleiding - Toelatingsexamen geneeskunde

www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Deze tekst komt oorspronkelijk van het Wikibooks-boek "Fysica". De tekst is gelicenseerd onder de
GNU-licentie voor vrije documentatie (GFDL).
Tobe Baeyens, Koos Jol, ''Huibc'', ''Nijdam'', en andere bijdragers, 'Fysica', Wikibooks, de vrije
encyclopedie, 18 augustus 2007, 06:32 (UTC), < http://nl.wikibooks.org/wiki/Fysica> [accessed 18
augustus 2007]
Fysica/Inleiding
Inhoud
1 Inleiding
1.1 Wat is Fysica?
1.2 De wetenschappelijke methode
1.3 Meten van fysische grootheden (eenheden).
1.4 Tabel van grootheden en eenheden
1.5 Meetnauwkeurigheid, benaderingsregels (significante cijfers).
1.6 Grafische voorstellingen

1.6.1 rechtevenredigheid

1.6.2 omgekeerd evenredigheid
1.7 Van eenvoudige naar algemeen geldige formuleringen
Inleiding
Wat is Fysica?
Fysica gaat over het gedrag van materie in ruimte en tijd. Het woord materie
moet breed worden opgevat. Het kan gaan om massa op macroscopische
schaal, maar ook om bijvoorbeeld straling of individuele elementaire deeltjes. De
natuurkundige bestudeert de eigenschappen van de elementen en verbindingen,
zoals bijvoorbeeld faseovergangen, kristalstructuur, viscositeit en
warmtegeleiding, en probeert het hoe en waarom van deze eigenschappen te
verklaren.
De wetenschappelijke methode
Fysica gebruikt de wetenschappelijke methode.
Men vertrekt van waarnemingen of metingen.
1
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Op grond van die waarnemingen probeert de natuurkundige zich een beeld te
vormen van de achterliggende regels.
De afgeleide regels worden samengevat in een theorie, die meestal in de
vorm van een wiskundige formule wordt weergeven.
Met een natuurkundige theorie is het mogelijk om voorspellingen te doen over het
gedrag van het natuurkundige fenomeen dat bestudeerd wordt. Die
voorspellingen worden vergeleken met de waarnemingen. Als de voorspellingen
blijken te kloppen, probeert men meer voorspellingen te doen en te controleren.
Als de voorspellingen niet blijken te kloppen, wordt een nieuwe theorie gezocht.
Meten van fysische grootheden (eenheden).
Een micrometer wordt gebruikt om kleine afstanden te meten
Een horloge wordt gebruikt om tijd te meten
Een natuurkundige grootheid is een eigenschap van een systeem die kan
gemeten worden. Een grootheid meten doe je door de grootheid te vergelijken
met een eenheid. Enkele voorbeelden van natuurkundige grootheden zijn lengte
(of afstand), massa, volume. Een natuurkundige eenheid is een maat waarin
natuurkundige grootheden kunnen worden uitgedrukt.
bijvoorbeeld, meter, kilogram, of liter.
Door te meten kunnen eigenschappen van voorwerpen bepaald worden. Een
eenvoudig voorbeeld: Een vloeistof heeft een bepaalde temperatuur. Door te
meten kan deze temperatuur bepaald worden. Dit gebeurt door een thermometer
2
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
enige tijd in de vloeistof te steken. Er wordt vervolgens een waarde afgelezen. De
grootheid temperatuur wordt gemeten in de SI-eenheid K (Kelvin).
Tabel van grootheden en eenheden
Grootheid
Symbool
Eenheid
Symbool
Speciale namen en symbolen
lengte
l
meter
m
massa
m
kilogram
kg
tijd
t
seconde
s
temperatuur
T
kelvin
K
elektrische
stroom
I
ampère
A
Andere grootheden
oppervlak
A
m2
volume
V
m
dichtheid
ρ
kg·m
snelheid
v
m·s-1
3
-3
Meetnauwkeurigheid, benaderingsregels (significante
cijfers).
Een meetresultaat is nooit 100% juist. Elk meettoestel heeft zijn beperkingen.
Met een chronometer kan je meten tot op 0,01 sec.
Met een meetlat kan je meten tot op de millimiter.
Met een keukenweegschaal kan je meten tot op de gram.
De meetnauwkeurigheid wordt bepaald door het meettoestel waarmee de meting
wordt uitgevoerd. Bij een fysische meting moet je altijd aangeven wat de
meetnauwkeurigheid is.
Indien met meetresultaten ingen worden uitgevoerd, moeten de resultaten
worden afgerond. Als een getal eindigd op een cijfer van 0-4, moet er naar
beneden worden afgerond. Bij waarden van 5-9, wordt naar boven afgerond.
Naast deze afrondigsregel hebben we nog twee belangrijke regels:
Regel voor som- en verschil
De meetnauwkeurigheid van het resultaat mag niet groter zijn dan de
meetnauwkeurigheid van de minst nauwkeurige meting.
Voorbeeld: 9,10 − 7,594 = 1,51 (Want het getal met het minste decimalen (2
decimalen) is bepalend, dus ronden we af op 2 decimalen).
3
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Regel voor product en quotiënt
Het aantal significante cijfers van het resultaat mag niet groter zijn dan het aantal
significante cijfers van de meting met het minst aantal significante cijfers.
Voorbeeld: 4,23 * 6,2 = 26 (Want het getal met de minste cijfers (2 cijfers) is
bepalend, dus ronden we af op 2 cijfers).
Grafische voorstellingen
rechtevenredigheid
Rechtevenredigheid betekent in fysische termen een vaste verhouding tussen
grootheden. Men noteert voor de rechtevenredige grootheden A en B: A ~ B ("A
is rechtevenredig met B").
De rechtevenredigheid van A en B betekent dus: A/B=c, wat vaak geschreven
wordt als: A = cB; het getal "c" heet de evenredigheidsconstante.
Rechtevenredigheid van A en B (A ~ B) betekent dus dat wanneer A met een
bepaalde factor toeneemt, ook B met diezelfde factor toeneemt.
Grafisch betekent een rechtevenredig verband een rechte lijn door de oorsprong.
De meetkundige betekenis van de evenredigheidsconstante is de
richtingscoëfficiënt.
omgekeerd evenredigheid
Men noemt twee grootheden omgekeerd evenredigheid als hun product een
vaste waarde heeft. Dus zijn A en B omgekeerd evenredig als AB=c, waarin het
getal "c"weer een evenredigheidsconstante is.
Omgekeerd evenredigheid van A en B betekent dus dat wanneer A bijvoorbeeld
3 keer zo groot wordt, B juist 3 keer zo klein wordt, dus door 3 gedeeld moet
worden.
Grafisch betekent een omgekeerd evenredig verband een hyperbool.
Experimentele bevindingen tussen fysische grootheden leveren vaak
evenredigheden op. Uit de combinatie van evenredigheden en het invoegen van
constanten komt men tot betrekkingen tussen grootheden, die fysische wetten
genoemd worden.
Een voorbeeld is de tweede wet van Newton, over de relatie tussen de kracht F,
de massa m en de versnelling a. Uit de bevindingen F ~ m en F ~ a wordt
gevonden: F = ma. Vermits kracht geen zelfstandige grootheid is, maar
4
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
gedefinieerd wordt door m en a, kan de eenheid van kracht zo gekozen worden
dat de evenredigheidsconstante gelijk is aan 1.
Van eenvoudige naar algemeen geldige formuleringen
Veel grootheden in de fysica worden in een eenvoudige voorstelling beschreven
als het resultaat van een deling. Zo wordt snelheid eenvoudig gedefinieerd als
Δx/Δt . Dit is een formulering die beroep doet op een interval Δt in de tijd. Maar
wat als de snelheid voortdurend verandert? Dan is dat natuurlijk maar een
benadering, een gemiddelde gedurende het interval Δt. De ogenblikkelijke
snelheid krijgt men als men het interval zeer klein neemt. Dan schrijft men geen
Δ meer, maar een "d":
Wiskundig zegt men dat v de afgeleide is van x naar de tijd. Als afgeleide is v
gedefinieerd als de limiet van Δx/Δt wanneer Δt naar 0 gaat. Dan gaat natuurlijk
ook Δx naar 0, maar de verhouding van beide hoeft niet naar 0 te gaan.
Grootheden die in een eenvoudige formulering gedefinieerd werden als een
quotiënt zullen dus wiskundig correct gedefinieerd worden als een afgeleide.
Andere grootheden worden bij een eenvoudige voorstelling gedefinieerd als een
product. B.v. arbeid = kracht × afgelegde weg. Als de kracht echter van punt to
punt verandert, zoals b.v. bij het indrukken van een veer, dan zal men beroep
moeten doen op een integraal. De wiskundig correcte definitie van arbeid wordt
dan:
De wetten van de beweging worden eerst afgeleid voor punten en puntmassa's.
Wanneer men met de uitgebreidheid van reële voorwerpen rekening moet
houden, dan voert men dat ook meestal in 2 stappen in. Als een muur op een
metalen of betonnen balk rust en men wil berekenen hoe die zal doorbuigen, dan
zal men geen goed resultaat bekomen door gewoon te rekenen alsof het totale
gewicht van de muur in het massacentrum van de muur zit en zich alleen in het
midden van de balk laat voelen. Men moet rekening houden met de verdeling van
het gewicht over de hele lengte van de balk. Als de muur uit bakstenen
opgetrokken is, dan zou men reeds een goede benadering hebben als men voor
elke baksteen rekent met zijn gewicht als aangrijpend in het massacentrum van
de baksteen. Men zal dan werken met formules waarin een som over alle
bakstenen voorkomt. Iets als:
X=
∑ m ...
i
i
5
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
met mi de massa van elke baksteen. Wanneer de muur in beton is gegoten, dan
heeft men een continu medium en zal men de som vervangen door een
integraal:
X=
∫
....dm
Vol
Dikwijls is het handig om probleem eerst te beschrijven met een som-formulering
aan de hand van een paar punten om daarna over te gaan op een beschrijving
voor een continue verdeling en een integraal.
6
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Fysica/Deeltjesmodel
Inhoud
1 Algemene eigenschappen van de materie en het deeltjesmodel
1.1 Massa, volume, dichtheid
1.2 Deelbaarheid
1.3 Oplosbaarheid
1.4 Diffusie
1.5 Cohesie en adhesie
1.6 Aggregatietoestanden en faseovergangen

1.6.1 Aggregatietoestanden

1.6.2 Faseovergangen

1.6.3 Smelten en stollen

1.6.4 Verdampen en condenseren

1.6.5 Sublimeren en verrijpen
1.7 Deeltjesmodel.

1.7.1 Vaste stoffen

1.7.2 Vloeistoffen

1.7.3 Gassen
1.8 Toetsen van het deeltjesmodel - Brownse beweging
Algemene eigenschappen van de materie en het
deeltjesmodel
Massa, volume, dichtheid
Massa: De massa geeft aan hoeveel materie een object bevat. De massa van
een stof wordt uitgedrukt in kg (kilogram). Massa is niet afhankelijk van
temperatuur en druk.
Volume: Het volume duidt aan welke hoeveelheid ruimte wordt ingenomen
door een stof. Het volume van een stof kan je berekenen of meten. Het
volume van een stof wordt uitgedrukt in m3 (kubieke meter). Het volume van
een vaste hoeveelheid (massa) stof is afhankelijk van de temperatuur en van
de omgevingsdruk.
7
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Dichtheid: De dichtheid van een stof geeft aan hoeveel materie een bepaald
volume van deze stof bevat. Goud (denk aan Archimedes) heeft een grotere
dichtheid dan plastic. De dichtheid wordt uitgedrukt in kg/m 3 (kilogram per
kubieke meter). Daar de dichtheid samengesteld is uit volume en massa en
daar volume afhankelijk is van temperatuur en druk zal de dichtheid dit
logischerwijs ook zijn. Bij het vergelijken van dichtheden is het dus
noodzakelijk dit te doen onder dezelfde omstandigheden.
Dichtheid kan makkelijk proefondervindelijk geïllustreerd worden, neem emmer
met water, elke stof met een dichtheid kleiner dan die van water zal blijven
drijven (olie, plastiek, ....) elke stof met een dichtheid groter dan die van water zal
zinken (alle metalen).
Deelbaarheid
Oplosbaarheid
Als een stof met een vloeistof gemengd kan worden, noemt men zo'n stof
oplosbaar.
De stof die men in de vloeistof oplost, noemt men de opgeloste stof. Het ontstane
mengsel noemt men de oplossing. De vloeistof noemt men het oplosmiddel.
De concentratie c of sterkte van een oplossing geeft aan hoeveel stof er is
opgelost per hoeveelheid oplossing (of oplosmiddel).
8
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Hierin is:
C: de concentratie (g/l)
OS: hoeveelheid opgeloste stof (g)
OM: de hoeveelheid oplosmiddel (l)
Een verzadigde oplossing is een oplossing waarin de maximale hoeveelheid
van een stof is opgelost. Het is niet mogelijk om nog meer van de stof op te
lossen in een zelfde hoeveelheid oplosmiddel.
De concentratie van een verzadigde oplossing komt overeen met de maximale
oplosbaarheid van die oplossing.
Opgaven:
Een suikerklontje van 5 g wordt opgelost in een tas (150 ml) koffie. Bereken de concentratie
suiker in de koffie.
Zeewater heeft een concentratie van 50 g/l. Bereken hoeveel zout er zit in 200 ml zeewater.
Diffusie
Diffusie is de spontane verspreiding van deeltjes in stilstaande vloeistoffen en
gassen, als gevolg van de thermische beweging van de deeltjes.
Een voorbeeld van diffusie is een druppel kleurstof in water die zich in de loop
van de tijd verspreid, waardoor alle vloeistof na verloop van tijd dezelfde kleur
heeft. Dit proces verloopt sneller in warm water dan in koud water omdat de
snelheid van de thermische beweging in warm water hoger is.
Aangezien de thermische beweging een volkomen willekeurig karakter heeft, zal
een bepaalde soort deeltjes altijd diffunderen van plaatsen waar zij aanvankelijk
een hogere concentratie hadden, naar plaatsen waar zijn oorspronkelijk een
lagere concentratie bezaten, tot overal dezelfde concentratie bereikt is.
Cohesie en adhesie
Cohesie is de onderlinge aantrekkingskracht tussen gelijksoortige deeltjes.
Adhesie is de aantrekkingskracht tussen verschillende soorten deeltjes.
Wanneer in een buis met een vloeistof de cohesiekracht van de vloeistof groter is
dan de adhesiekracht met de buiswand, dan zal het vloeistofoppervlak bol staan
9
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
(vb: kwik). Wanneer de cohesiekracht kleiner is dan de adhesiekracht met de
buiswand zal het vloeistofoppervlak hol zijn (vb.: water).
Aggregatietoestanden en faseovergangen
Aggregatietoestanden
De aggregatietoestand van een stof is de staat waarin een stof zich bevindt. Men
gaat daarbij meestal uit van een chemische zuivere stof. Er zijn drie
aggregatietoestanden:
vast (S)
vloeibaar (L)
gasvormig (G)
Veel zuivere stoffen komen in drie aggregatietoestanden voor. Bij een lage
temperatuur vormen ze een vaste stof, bij wat hogere temperatuur een vloeistof
en bij een nog hogere temperatuur een gas.
Er is nog een vierde weinig bekende aggregatietoestand: Plasma. Plasma is de
fase waarin de stof zo sterk verhit wordt (duizenden graden Celsius) dat ze
elektrisch geleidend wordt. De elektronen van het atoom draaien hierbij niet meer
rond de kern, maar hebben zoveel energie opgenomen dat ze als het ware los
zijn gescheurd van de atoomkern en tussen de kernen door bewegen. Dit plasma
komt in de vrije natuur enkel voor in de kernen van sterren.
10
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Faseovergangen
Smelten en stollen
De overgang van een stof in de vaste fase naar de vloeibare fase heet smelten.
Voor een zuivere stof geldt dat het smelten plaats vindt bij een vaste
temperatuur. Deze temperatuur heet het smeltpunt. Een mengsel vertoont vaak
geen vaste temperatuur tijdens het smelten, maar een langzaam toenemende
temperatuur; dit heet het smelttraject.
ijs smelt bij 0°C tot water
chocola smelt bij ca. 35°C tot gesmolten chocola
Het omgekeerde proces heet stollen; of voor water specifiek ook wel bevriezen.
Verdampen en condenseren
Verdamping betekent dat een vloeistof overgaat in de gasfase. Verdamping kan
optreden als de vloeistof zijn kookpunt bereikt. Ook als een vloeistof aan een
drogere lucht is blootgesteld treedt verdamping op.
In de eenvoudigste betekenis van dit woord is condensatie het van gas- of
dampvorm overgaan naar vloeibare vorm.
Wanneer warme, vochtige lucht afkoelt, zal de waterdamp in deze lucht
condenseren. Dat komt omdat warmere lucht meer waterdamp kan bevatten dan
koude lucht. Denk daarbij maar aan stoom, waarbij de lucht bijna 100% water
bevat, terwijl het duidelijk is dat als het vriest, de lucht maar heel weinig water
kan bevatten (het bevriest dan immers). Dit is goed in een woning waar te nemen
als na lang douchen de waterdamp is gecondenseerd tegen de koudere spiegels
11
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
en de tegels. Condensatie geschiedt doordat de lucht door het koudere oppervlak
afkoelt en zodoende het dauwpunt bereikt. Een ander voorbeeld is de dauw,
waarbij 's nachts de lucht afkoelt en het water in die lucht neerslaat
(condenseert). De absolute vochtigheid in de lucht neemt dus af bij een
temperatuurstijging, terwijl daardoor dus bij een temperatuurdaling de relatieve
vochtigheid zal toenemen.
Bij condensatie van vocht uit de lucht komt warmte vrij, deze is gelijk aan het
omgekeerde van de verdampingswarmte.
Sublimeren en verrijpen
droog ijs (vast) verandert in koolstofdioxide (gas)
Het is voor sommige stoffen onder bepaalde condities mogelijk om de
vloeistoffase over te slaan. Voor de overgang tussen vast en gas spreekt men
van sublimeren, bij overgang van gas direct naar vaste stof spreekt men
eveneens wel van sublimeren of van verrijpen (of rijpen); ook desublimeren vindt
men terug voor de overgang van gas naar vaste stof.
Zo is een blok zeep hier een goed voorbeeld van. Een blok zeep is een vaste
stof, maar de geur ontstaat door verdamping van een laagje. Een ander
voorbeeld is een mottenbal, deze vaste stof verdampt snel, de geur houdt motten
tegen.
Proef: Sublimatie
Benodigdheden: proefbuis, watten, warm water, joodschilfers
Breng enkele joodschilfers in een proefbuis met een stop en verwarm dit in
warmwaterbad (onder de trekkast). Na verloop van tijd ontstaan paarse dampen.
Het vaste dijood sublimeert tot gasvormig dijood.
12
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Wat heb ik geleerd:
Deeltjesmodel.
Bij de de faseovergangen is het niet nodig dat de chemische bindingen in de
moleculen van de stof worden veranderd. Bijvoorbeeld de vloeistof water kan bij
lagere temperatuur overgaan in ijs en bij hogere temperatuur in waterdamp,
onder bepaalde omstandigheden stoom genaamd. Deze drie fasen zijn allemaal
opgebouwd uit hetzelfde H 2O molecule.
Vaste stoffen
In een vaste stof zitten de deeltjes dicht tegen elkaar. Daardoor hebben ze geen
bewegingsruimte en is de vorm vast. Meestal trillen ze rond een vaste plek.
Vloeistoffen
In een vloeistof bestaan ook sterke aantrekkende krachten tussen de deeltjes,
maar de deeltjes zitten niet erg lang aan elkaar vast. Anders dan in een vaste
stof vinden er voortdurend verschuivingen plaats. Deeltjes bewegen door elkaar
heen, maar trekken wel voortdurend aan elkaar. De stof vloeit. Er is niet veel lege
ruimte tussen de moleculen. Een vloeibare stof is een stof die zijn vorm niet
behoudt, maar wel een vast volume heeft.
Gassen
In een gas zijn de aantrekkende krachten te klein om de snel bewegende deeltjes
aan elkaar te plakken. Het grootste deel van de tijd bewegen de moleculen van
een gas vrijwel zonder last te hebben van andere deeltjes. Er is lege ruimte
tussen de deeltjes.
Gassen zijn dus goed samendrukbaar, hebben een grote poreusheid, botsen
tegen de wanden aan, beschikken over wanorde, hebben een hoge potentiële en
lage kinetische energie.
Toetsen van het deeltjesmodel - Brownse beweging
De Brownse beweging is een natuurkundig verschijnsel ontdekt door botanicus
Robert Brown in 1827 toen hij als een van de eersten naar zeer kleine deeltjes, in
het geval van Brown stuifmeelkorrels, keek onder de microscoop. Hij merkte op
dat de deeltjes, hoewel bestaande uit dode materie, een onregelmatige eigen
13
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
beweging vertoonden en volgens een toevallig aandoend patroon in alle
richtingen weg konden schieten. Door deze aaneenschakeling van toevallige
verplaatsingen verwijdert een dergelijk deeltje zich langzaam van zijn oorsprong
in de loop van de tijd.
Deeltjes waaraan de Brownse beweging goed waar te nemen is zijn o.a.
rookdeeltjes in lucht en de roetdeeltjes in verdunde Oost-Indische inkt.
Vergelijk dit met een boot op zee, een klein roeibootje gaat heen en weer van de
golven terwijl een groot vrachtschip quasi onbeweeglijk blijft.
De verklaring van de Brownse beweging is dat zeer kleine deeltjes, net zoals alle
moleculen onderhevig zijn aan botsingen met talloze moleculen van het gas of de
vloeistof waar ze in zweven. De hardste botsingen daarvan brengen voldoende
energie over om microscopisch waarneembare bewegingen te veroorzaken. De
Brownse beweging is dus een van de indirecte bewijzen voor het bestaan van
moleculen en de warmtebeweging daarvan.
14
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Fysica/Optica
Inhoud
[verbergen]
1 Optica
1.1 De camera obscura
1.2 Lichtbronnen
1.3 Donker lichaam
1.4 Ondoorschijnende, doorschijnende en doorzichtige voorwerpen
1.5 Lichtbundels en lichtstralen
1.6 Lichtsnelheid
1.7 Rechtlijnige voortplanting van het licht in een homogeen medium en schaduwvorming

1.7.1 Een zonsverduistering

1.7.2 Een maansverduistering

1.7.3 De schijngestalten van de maan
1.8 Weerkaatsing van licht

1.8.1 Beeldvorming bij vlakke spiegels
1.9 Breking van het licht

1.9.1 De Wet van Snellius

1.9.2 Omkeerbaarheidsprincipe

1.9.3 Grenshoek
2 Totale weerkaatsing
2.1 Lenzen

2.1.1 Brandpunten

2.1.2 De drie hoofdstralen

2.1.3 Beeldvorming bij de bolle lens


2.1.3.1 Eerste geval: v > 2f

2.1.3.2 Tweede geval: v = 2f

2.1.3.3 Derde geval: 2f > v > f

2.1.3.4 Vierde geval: v = f

2.1.3.5 Vijfde geval: f > v
2.1.4 Lenzenformules

2.1.4.1 Eerste lenzenwet

2.1.4.2 Tweede lenzenwet
15
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be

2.1.4.3 Wiskundig bewijs voor de tweede lenzenwet
2.2 Toepassingen
[]

2.2.1 Het vergrootglas

2.2.2 Het oog

2.2.3 De telescoop

2.2.4 Het fototoestel
Optica
Optica is het deel van de fysica dat eigenschappen van het licht beschrijft, en
zich bezighoudt met de verschijnselen die zich voordoen als licht invalt op
voorwerpen.
Reeds in de 17de eeuw ontdekte Christiaan Huygens dat licht zich net zo
gedroeg als een golf op een wateroppervlak. Enkele jaren later beweerde Isaac
Newton echter dat licht bestaat uit deeltjes. Met beide theorieën kan je een deel
van de eigenschappen van het licht verklaren.
Door de eigenschappen van het licht te bestuderen, zijn veel toepassingen
ontstaan.
[]
De camera obscura
Een camera obscura (Latijn voor donkere kamer) is een verduisterde doos,
waarbij in een van de wanden een klein gaatje is aangebracht. Het hierdoor
invallende licht werpt een afbeelding van de buitenwereld op de
tegenoverliggende wand. Als de achterwand van de camera obscura doorzichtig
wordt gemaakt (bijvoorbeeld met matglas), is de afbeelding van buitenaf te zien.
Voordat de lichtgevoelige plaat was ontdekt (rond 1800), was de camera obscura
een kermisattractie. Men kon immers de wereld buiten ongezien bespieden. Met
spiegels werd er voor gezorgd dat de afbeelding weer rechtop kwam te staan.
Kunstschilders gebruikten de camera obscura als hulpmiddel om de werkelijkheid
nauwkeurig over te kunnen nemen op hun doek. In de Victoriaanse tijd werden er
camera's obscura gebouwd ter grootte van een huis, waarin men tegen betaling
een blik kon werpen op de omgeving.
[]
Lichtbronnen
16
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Licht moet ergens vandaan komen. Een voorwerp dat zelfstandig licht uitzendt,
noemt men een directe lichtbron. Voorbeelden van directe lichtbronnen zijn:
de zon
een gloeilamp
een glimworm
een kaars
een ster
[]
Donker lichaam
Een voorwerp dat geen licht uitzendt, noemt men een donker lichaam. Een
donker lichaam kan wel licht weerkaatsen. Voorbeelden van donkere lichamen
die licht weerkaatsen, zijn:
de maan
een spiegel
het oog van een kat
een fietsreflector
een persoon
een bank
Er zijn ook voorwerpen die weinig of geen licht weerkaatsen. Voorwerpen die
donker van kleur zijn, weerkaatsen slechts weinig licht, maar absorberen het.
[]
Ondoorschijnende, doorschijnende en doorzichtige
voorwerpen
Als je achtereenvolgens een glazen plaat, een blad papier en een stuk karton
voor een lamp plaatst, kun je het volgende waarnemen:
Door de glazen plaat kun je de lamp duidelijk zien. De glazen plaat is een
doorzichtig voorwerp.
Door het blad papier kun je het licht van de lamp wel zien, maar de lamp zelf
is niet duidelijk zichtbaar. Een blad papier is een doorschijnend voorwerp.
Door het stuk karton kun je noch de lamp, noch het licht van de lamp zien.
Een stuk karton is een ondoorschijnend voorwerp.
17
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
[]
Lichtbundels en lichtstralen
Omdat licht zich in principe rechtlijnig voortplant, stellen we ons licht voor als
bestaande uit lichtstralen. In werkelijkheid bestaat licht niet uit stralen, maar kan
licht beschreven worden als elektromagnetische golven of als deeltjes die men
fotonen noemt. Het blijkt echter heel handig om de werking van bijvoorbeeld
spiegels en telescopen uit te leggen door gebruik te maken van een model
waarin licht als stralen wordt opgevat.
Een lichtbron zendt lichtstralen uit, die we gezamenlijk als lichtbundel aanduiden.
De stralen in een lichtbundel kunnen ten opzichte van elkaar verschillende
richtingen hebben.
Een lichtbundel met stralen die uit elkaar gaan, noemen we een divergerende
lichtbundel.
Een lichtbundel met stralen die evenwijdig zijn, noemen we een parallelle
lichtbundel. De belangrijkste lichtbron is de zon. De zon is heel ver van ons
verwijderd, zodat de lichtstralen die op aarde invallen bijna evenwijdig zijn. Het
zonlicht op aarde is dus bij benadering een parallelle lichtbundel.
Soms gaan de lichtstralen van een lichtbundel naar elkaar toe. Zo'n lichtbundel
noemen we een convergerende lichtbundel.
[]
Lichtsnelheid
Licht plant zich in vacuüm en in de meeste stoffen (media) voort met een zeer
grote snelheid. De lichtsnelheid in vacuüm is 299 792 458 m/s. Dit is een exacte
waarde omdat de meter is gedefinieerd als: 'De afstand die licht in vacuüm in
1/299792458 seconde aflegt'. Daaruit volgt dus dat licht in één seconde
299792458 meter aflegt.
Deze waarde wordt vaak afgerond naar 300 000 kilometer per seconde. In
natuurkundige formules wordt de lichtsnelheid meestal aangegeven met de letter
18
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
c. In andere media, zoals lucht en water, is de lichtsnelheid lager dan in vacuüm.
Verschillende media hebben in principe verschillende lichtsnelheden. We zeggen
dat zij verschillende optische dichtheden hebben.
[]
Rechtlijnige voortplanting van het licht in een
homogeen medium en schaduwvorming
Aangezien licht zich rechtlijnig voortplant, kan het niet achter ondoorschijnende
voorwerpen komen. Het niet verlichte gebied achter een ondoorschijnend
voorwerp noemen we schaduw. De vorm van de schaduw wordt bepaald door de
vorm van het voorwerp. Wiskundig gezien is een schaduw de projectie van een
voorwerp, waarbij de projectierichting overeenkomt met de richting van de
lichtstralen.
schaduw in het zand
[] Een zonsverduistering
Een zonsverduistering is een fenomeen, waarbij het licht van de zon de aarde
niet bereikt, omdat de maan in de weg van het licht zit. Eigenlijk is het niet de
zon, maar een gedeelte van de aarde, dat verduisterd wordt. De zon wordt door
de maan bedekt en lijkt daardoor vanaf de aarde verduisterd te zijn.
[] Een maansverduistering
Een maansverduistering doet zich voor wanneer de aarde precies tussen de zon
en de maan staat. Normaal weerkaatst de maan het licht van de zon naar de
aarde, maar tijdens een maansverduistering staat de aarde in de weg en
ontvangt de maan geen zonlicht; de maan bevindt zich in de schaduw van de
aarde. Een maansverduistering kan enkel plaatsvinden bij volle maan.
19
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
[] De schijngestalten van de maan
De maan draait om de aarde. De lichtstralen van de zon verlichten altijd slechts
het halve oppervlak van de maan. Afhankelijk van de stand van de maan, is het
gedeelte van het maanoppervlak dat we vanaf aarde zien geheel verlicht (volle
maan), gedeeltelijk verlicht of onverlicht (nieuwe maan).
Omdat we enkel het verlichte deel van de maan kunnen zien lijkt het alsof de
maan van vorm verandert. Dit noemen we de schijngestalten van de maan.
Men onderscheidt vijf schijngestalten:
1. nieuwe maan (1)
2. eerste kwartier (2)
3. halve maan (3 + 7)
20
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
4. volle maan (5)
5. laatste kwartier (8)
Schijngestalten van de maan: Applet van het Walburgcollege waarmee de schijngestalten van de
maan kunnen bekeken worden.
[]
Weerkaatsing van licht
Als licht invalt op een voorwerp, zal het licht terugkaatsen en van richting
veranderen. Het is doordat licht weerkaatst wordt dat we voorwerpen die geen
licht uitzenden (donkere lichamen), kunnen zien.
Dat licht weerkaatst wordt is zo vanzelfsprekend, dat het bijna overbodig lijkt om
de weerkaatsing van licht verder te onderzoeken. Toch is het belangrijk om dit
verschijnsel te bestuderen.
Als men een smalle lichtbundel op een witte muur laat schijnen, ziet men een
lichtvlek op de muur. Als men dezelfde lichtbundel op een spiegel laat schijnen,
ziet men geen lichtvlek. De oorzaak hiervan is de verschillende manier waarop
het licht weerkaatst wordt door het voorwerp.
Als je de muur met een microscoop zou bestuderen, zou je zien dat deze heel
veel oneffenheden bevat. De muur zal het licht in alle richtingen weerkaatsen. Dit
noemen we diffuse weerkaatsing. De spiegel is helemaal vlak en zal het licht in
één richting terugkaatsen. Enkel indien we ons in de weerkaatste lichtbundel
bevinden, zullen we de lichtstralen kunnen zien.
21
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Een lichtstraal die invalt op een voorwerp, valt altijd in op een bepaald punt van
het voorwerp. Het invalspunt is het punt waar de invallende straal het voorwerp
raakt. De lijn die loodrecht op het voorwerp staat en door het invalspunt gaat,
noemen we de normaal. De hoek die de invallende lichtstraal maakt met de
normaal, noemen we de invalshoek, en de hoek die de weerkaatste lichtstraal
maakt met de normaal, noemen we de weerkaatsingshoek.
De wet van de terugkaatsing luidt als volgt: De invalshoek van een lichtstraal is
altijd gelijk aan de weerkaatsingshoek.
We kunnen m.b.v. een experiment deze wet controleren. Door te onderzoeken
welke invalshoek overeenkomt met welke weerkaatsingshoek, kunnen we
controleren dat deze wet inderdaad klopt.
[] Beeldvorming bij vlakke spiegels
Bij vlakke spiegels zien we als gevolg van de wijze van terugkaatsen van de
lichtstralen, een spiegelbeeld op gelijke afstand van de spiegel als het voorwerp
voor de spiegel, en in afmetingen daaraan gelijk. De afstand van een punt tot een
rechte is de afstand van dat punt tot het voetpunt van de loodlijn uit dat punt op
die rechte.
[]
Breking van het licht
Als een lichtstraal vanuit de lucht een wateroppervlak treft en z'n weg in het water
vervolgt, treedt een welbekend verschijnsel op: de lichtstraal gaat niet rechtdoor,
maar wordt gebroken. Als gevolg daarvan zien we een stok die gedeeltelijk in het
water staat alsof er een knik in zit. Dit verschijnsel heet breking van het licht; het
doet zich voor telkens wanneer licht het grensvlak passeert tussen media van
verschillende optische dichtheid.
22
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Indien we een lichtstraal loodrecht op een wateroppervlak laten invallen, zal de
lichtstraal niet breken. Als we in stilstaand water recht naar beneden kijken, ziet
alles er gewoon uit.
Als licht van een stof met lage dichtheid, overgaat in een stof met hogere
dichtheid, breekt het licht naar de normaal toe. De hoek tussen de gebroken
lichtstraal en de normaal noemen we de brekingshoek. De brekingshoek zal
kleiner zijn dan de invalshoek.
De verhouding tussen de invalshoek en de brekingshoek wordt bepaald door de
optische dichtheid of brekingsindex van elk medium waar de lichtbundel
doorheen loopt. Dit verschijnsel kunnen we samenvatten in volgende wet:
[] De Wet van Snellius
Hierin is:
n1: de brekingsindex van de eerste stof
n2: de brekingsindex van de tweede stof
Θ1: de invalshoek
Θ2: de brekingshoek
Breking van lichtstralen: Applet van Walter Fendt waarmee de breking van lichtstralen bij
verschillende stoffen kan bekeken worden.
23
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Breking van licht: Les van natuurkunde.nl over de breking van licht.
[] Omkeerbaarheidsprincipe
[] Grenshoek
Als licht het grensvlak treft van een optisch minder dichte stof, is er een
invalshoek waarbij de brekingshoek juist 90° is. Er treedt dan geen breking meer
op, maar het grensvlak fungeert als spiegel en er treedt volledige reflectie op. In
formulevorm betekent dit dat θ2 = 90°.
Dit fenomeen wordt o.a. gebruikt bij glasvezelkabels.
[]
Totale weerkaatsing
[]
Lenzen
Wanneer we een druppel olie op een blad papier bekijken, wordt het beeld onder
de druppel vervormd. Dit komt doordat de druppel olie het licht breekt. De
druppel gedraagt zich als een bolle lens.
Een lens is een doorzichtig voorwerp dat begrensd wordt door minstens één
gebogen oppervlak.
Bolle lenzen zijn in het midden dikker dan aan de zijkanten.
Holle lenzen zijn in het midden dunner dan aan de zijkanten.
24
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
[] Brandpunten
Een evenwijdige bundel evenwijdig met de hoofdas wordt door de lens gebroken,
waarna de gebroken stralen samenkomen in een punt op de hoofdas. Dat punt
wordt een brandpunt van de lens genoemd. Er zijn twee brandpunten, gelegen
aan weerszijden van de lens op gelijke afstanden van de lens. De afstand tussen
het midden van de lens en een brandpunt heet de brandpuntsafstand. De naam
brandpunt verwijst ernaar dat het licht van de zon dat geconcentreerd wordt in
het brandpunt, de temperatuur in het brandpunt zo hoog doet oplopen, dat
materiaal kan ontbranden. In figuren wordt een brandpunt gewoonlijk
aangegeven met de hoofdletter F en de brandpuntsafstand met de kleine letter f
van het Latijse focus.
[] De drie hoofdstralen
Bij de beeldconstructie zijn er 3 hoofdstralen, van waaruit een beeld kan worden
opgebouwd:
Eén evenwijdig aan de hoofdas, die na de hoofdas wordt afgebogen door het
brandpunt (parallelstraal).
Een straal, recht door het optisch middelpunt. Deze lichtstraal wordt niet
gebroken (centrumstraal).
Een straal door het brandpunt, die in de lens wordt gebroken en vanaf daar
evenwijdig aan de hoofdas verder gaat (brandstraal).
25
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
[] Beeldvorming bij de bolle lens
Men kan bij een lens het beeld construeren m.b.v. twee van de drie hoofdstralen.
We voeren een aantal begrippen in:
f is de brandpuntsafstand.
v is de afstand van het voorwerp tot de lens
b is de afstand van het beeld tot de lens
V is de grootte van het voorwerp
B is de grootte van het beeld
[] Eerste geval: v > 2f
De voorwerpsafstand is groter dan het dubbele van de brandpuntsafstand. In dit
geval staat het beeld omgekeerd en is het verkleind. Een toepassing die gebruik
maakt van dit geval is het fototoestel. De werkelijkheid wordt verkleind en
omgekeerd op een film of CCD geprojecteerd.
[] Tweede geval: v = 2f
De voorwerpsafstand is gelijk aan het dubbele van de brandpuntsafstand. In dit
geval staat het beeld omgekeerd en is het even groot.
26
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
[] Derde geval: 2f > v > f
De voorwerpsafstand is groter dan de brandpuntsafstand maar kleiner dan het
dubbele van de brandpuntsafstand. Het beeld staat omgekeerd en is vergroot.
Een toepassing die gebruik maakt van dit geval is een diaprojector. De dia
(voorwerp) wordt vergroot op een scherm geprojecteerd.
[] Vierde geval: v = f
De voorwerpsafstand is gelijk aan de brandpuntsafstand. In dit geval is er geen
beeld. De stralen treden als een evenwijdige bundel uit. Dit werd toegepast in
kleinere zoeklichten die voor de bundelvorming met een lens waren uitgerust.
[] Vijfde geval: f > v
De voorwerpsafstand is kleiner dan de brandpuntsafstand. In dit geval is het
beeld virtueel. Het staat rechtop en is vergroot. Een toepassing die gebruik maakt
van dit geval is een vergrootglas.
27
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
[] Lenzenformules
[] Eerste lenzenwet
Hierin is:
N: de vergrotingsfactor
v: de afstand van het voorwerp tot de lens (m)
b: de afstand van het beeld tot de lens (m)
V is de grootte van het voorwerp (m)
B is de grootte van het beeld (m)
[] Tweede lenzenwet
Hierin is:
f: de brandpuntsafstand (m)
v: de afstand van het voorwerp tot de lens (m)
b: de afstand van het beeld tot de lens (m)
De afstand van het voorwerp tot de lens (v), wordt de voorwerpsafstand
genoemd. De afstand van het beeld tot de lens (b), wordt de beeldafstand
genoemd.
28
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Als v heel groot is, dan is 1/v ongeveer gelijk aan nul. De tweede lenzenwet
wordt dan:
[] Wiskundig bewijs voor de tweede lenzenwet
Je kan de tweede lenzenwet bewijzen m.b.v. gelijkvormige driehoeken.
[]
Toepassingen
[] Het vergrootglas
Bij het vergrootglas is v < f. Het voorwerp staat dus dichter bij de lens dan het
brandpunt. In dat geval krijg je een virtueel beeld. Het beeld staat rechtop; aan
dezelfde kant als het voorwerp en is vergroot.
[] Het oog
De voorste oogkamer, die de voornaamste lenswerking van het oog verzorgt,
projecteert samen met de ooglens voor de scherpstelling, een scherp, kopstaand
beeld op het netvlies. De lichtsterkte ervan wordt, net als bij een camera,
geregeld door een diafragma. Bij de mens heeft het regenboogvlies de functie
van diafragma. Kringspiertjes trekken dit afhankelijk van de lichtsterkte in meer of
mindere mate dicht.
29
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Op het netvlies bevinden zich lichtgevoelige zenuwcellen, die een signaal naar
de hersenen afgeven dat afhankelijk is van de hoeveelheid licht op de plaats van
de cel op het netvlies. Alle prikkels tezamen worden door de oogzenuw naar de
hersenen getransporteerd, die er een beeld van maken.
[] De telescoop
In een telescoop zitten meerdere lenzen. Vaak is het ook een combinatie van
lenzen met spiegels. Het beeld is sterk vergroot. Met een telescoop kun je goed
hemellichamen bekijken omdat een telescoop sterk vergroot.
[] Het fototoestel
Bij een fototoestel zorgt de lens voor een verkleind reeel beeld. Dit beeld staat op
zijn kop en komt terecht in de achterkant van de camera. Vroeger zat daar een
filmrolletje. Na ontwikkelen kon dat worden afgedrukt en had je foto's. In een
digitale camera zitten daarlichtgevoelige cellen. Die sturen informatie door naar
een geheugenkaart. Met een digitale camera kunnen foto's worden afgedrukt,
maar ook kun je ze op TV afbeelden of op je computer bekijken.
30
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Opgaven:
Als er bij een optreden rook over het podium wordt geblazen, kan je duidelijk de stralenbundels
van de spots zien. Verklaar hoe dit komt.
Hoe komt het dat je in een aangedampte spiegel geen beeld meer kan waarnemen?
Waarom zijn de muren in een filmzaal meestal zwart? Waarom is het doek waarop geprojecteerd
wordt wit? Hoe kan je een zwarte kat in een wit sneeuwlandschap projecteren.
Je kijkt naar een duiker die zich in een zwembad bevindt. Bevindt deze duiker zich a) dieper of b)
minder diep dan waar jij hem ziet? Verklaar m.b.v. een tekening.
Een lichtjaar is de afstand die het licht aflegt in één jaar. Bereken hoeveel km een lichtjaar is.
Op aarde is de hemel overdag blauw, wit of grijs. Op de maan is de hemel overdag zwart. Hoe
kan dit?
De maan draait elke 28 dagen eenmaal rond de aarde. Een maansverduistering komt veel minder
voor. Verklaar hoe dit komt.
Indien er een maansverduistering is, kan iedereen die zich op het juiste halfrond bevindt
bewonderen. Indien er een zonsverduistering is, dan kunnen slechts weinig mensen deze
bewonderen. Verklaar het verschil.
Een lichtstraal gaat over van lucht naar water. De invalshoek bedraagt 25°. Bereken de
brekingshoek.
Een lichtstraal gaat over van lucht naar glas. De brekingshoek bedraagt 15°. Bereken de
invalshoek.
Een bolle lens geeft een scherp beeld op een afstand van 120 cm. De brandpuntsafstand
bedraagt 60 cm. Bereken op welke afstand het voorwerp staat, en bereken de vergroting.
Een bolle lens geeft een scherp beeld van 20 cm hoog op een afstand van 60 cm. De
brandpuntsafstand bedraagt 40 cm. Op welke afstand staat het voorwerp, en hoe groot is het
voorwerp?
Oplossingen
31
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Fysica/Krachten
< Fysica
Inhoud
[verbergen]
1 Wat is een kracht?
2 Uitwerking van een kracht
2.1 Zwaartekracht
2.2 Inertiekracht
2.3 Veerkracht
2.4 Middelpuntzoekende en middelpuntvliedende kracht
2.5 Archimedeskracht
3 Optellen van krachten
3.1 Grafische methode
3.2 Krachten optellen met dezelfde werklijn
4 Krachten als vectoren
[] Wat is een kracht?
Een kracht heeft vier eigenschappen:
een grootte
een richting
een zin
een aangrijpingspunt
Daarom stellen we een kracht voor door een vector.
[] Uitwerking van een kracht
[] Zwaartekracht
Hierin is:
F: de kracht waarmee de voorwerpen elkaar aantrekken (N)
m1: de massa van voorwerp 1 (kg)
32
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
m2: de massa van voorwerp 2 (kg)
3
-2
-1
G: Universele gravitatieconstante (m s kg ).
d: afstand tussen de twee voorwerpen (m)
[] Inertiekracht
Tweede wet van Newton
Een voorwerp versnelt onder de invloed van een kracht. De
versnelling is in de richting van de kracht, recht evenredig met de
grootte van de kracht en omgekeerd evenredig met de massa van het
voorwerp.
Hierin is:
F: de kracht op een voorwerp (N)
m: de massa van het voorwerp (kg)
a: de versnelling die het voorwerp ondergaat (m/s²)
In vrije val is de versnelling gelijk aan de valversnelling. Deze bedraagt op aarde
ongeveer 9,81 m/s².
[] Veerkracht
De uitwerking van een kracht op een veer kan je beschrijven met de Wet van
Hooke
Wet van Hooke
De uitrekking van een veer is recht evenredig met de kracht die op de
veer wordt uitgeoefend.
Hierin is:
33
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
F: de kracht op de veer(N)
k: de krachtconstante (N/m)
x: de uitrekking (m)
De werking van de dynamometer steunt op deze wet.
[] Middelpuntzoekende en middelpuntvliedende kracht
Om een voorwerp een gekromde baan te laten volgen is een kracht nodig
loodrecht op de baan. Deze wordt middelpuntzoekende kracht genoemd.
Hierin is:
F: de kracht op het voorwerp uitgeoefend om het de kromming te laten
volgen (N)
v: snelheid van het voorwerp (m/s)
r: kromtestraal van de baan die het voorwerp beschrijft (m)
m: de massa van het voorwerp (kg)
Een voorwerp bevindt zich in een cirkelvormige baan rond de aarde indien deze
kracht even groot is als de zwaartekracht.
Wanneer men zich in auto bevindt die een bocht maakt, heeft men de indruk dat
men naar buiten geduwd wordt. In feite probeert ons lichaam verder te gaan in
rechte lijn. Als men denkt binnen een draaiend assenkruis, dan heeft men dus de
indruk dat er een kracht is die alles naar buiten duwt. Men noemt dit de
middelpuntvliedende kracht. Er is echter geen ander voorwerp dat die kracht op
ons uitoefent. Deze indruk is het resultaat van de traagheid waarmede ons
lichaam zich verzet tegen een richtingsverandering. Daarom noemt men het ook
traagheidskracht of inertiekracht. Deze kracht beantwoordt aan de formule
hierboven maar is naar de buitenkant van de bocht gericht. Of men over een
middelpuntzoekende of een middelpuntvliedende kracht moet spreken hangt dus
af van het feit of men de situatie beschrijft vanuit een standpunt buiten de auto of
van een standpunt binnen de auto, meer algemeen: vanuit een vast assenkruis of
een roterend assenkruis.
34
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
[] Archimedeskracht
Wet van Archimedes
De opwaartse kracht die een lichaam in een vloeistof ondervindt is
gelijk aan het gewicht van de verplaatste vloeistof.
Deze opwaartse kracht wordt daarom de archimedeskracht genoemd. Dezelfde
wet geldt ook voor voorwerpen die zich in een gas bevinden.
Hierin is:
F: de opwaartse kracht (N)
g: de valversnelling (op onze breedtegraad: 9,81 m/s²)
ρ: de dichtheid van de vloeistof of gas waarin het voorwerp zich
bevindt (kg/m3)
V: Het volume van het voorwerp (m 3)
De archimedeskracht wordt toegepast door vissen en duikboten om te stijgen en
te dalen: als het volume van een voorwerp (in dit geval van de vis of de duikboot)
groter wordt, wordt ook de archimedeskracht groter. Als de archimedeskracht
groot genoeg is stijgt het voorwerp. Vissen gebruiken hiervoor een zwemblaas.
Duikboten werken met een ingewikkeld systeem van tanks.
Wet van Archimedes: Applet van Walter Fendt waarmee je de Wet van Archimedes kan onderzoeken.
Er bestaan nog een groot aantal veel gebruikte vormen van krachten. Onder
andere de wrijvingskracht, lift kracht en elektromagnetische kracht.
[] Optellen van krachten
[] Grafische methode
Een kracht is een vector. Vectoren kan je optellen met de kopstaart-methode.
35
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Om de vector a en b op te tellen verschuif je de staart van vector b naar de kop
(pijl) van vector a.
Je vindt de som van a en b, door de staart van vector a te verbinden met de kop
van vector b.
Optellen van vectoren: Applet van Walter Fendt waarin het optellen van vectoren m.b.v. de kopstaartmethode wordt duidelijk gemaakt.
[] Krachten optellen met dezelfde werklijn
Indien twee krachten dezelfde werklijn hebben en dezelfde zin, kan men de
grootte van de resulterende kracht vinden, door de grootte van ene kracht op te
tellen bij de grootte van de andere kracht.
Indien twee krachten dezelfde werklijn hebben en een verschillende zin, kan men
de grootte van de resulterende kracht vinden, door de grootte van ene kracht af
te trekken van de grootte van de andere kracht.
[]
Krachten als vectoren
Nemen we de algemene vorm van Newton's wet:
36
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Hierin is:
F: de kracht op een voorwerp (N)
m: de massa van het voorwerp (kg)
a: de ondergane versnelling (m/s²)
De grootheden F en a in de formule zijn vectoren terwijl de massa m een scalaire
grootheid is. Vectoren worden in het vetjes aangeduid. Zoals uit de formule blijkt,
kunnen we verscheidene krachten bij elkaar optellen. Om dit correct te doen
moeten we ze als vectoren behandelen. De vector, waarover wij het hebben, is
niets meer dan een pijltje, die de grootte heeft van de kracht en in de richting
wijst van de kracht. Deze kun je opschrijven als een kolommetje met getallen:
Hierin is:
Fx: x-component van de kracht (N)
Fy: y-component van de kracht (N)
Fz:: z-component van de kracht (N)
Nu wordt optellen opeens gemakkelijk! Dit is namelijk gewoon component gewijs.
Een voorbeeld van zo een optelling:
En willen we de grootte van een kracht bepalen, dan kunnen we gewoon
pythagoras gebruiken:
37
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Hierin is:
Fx: x-component van de kracht (N)
Fy: y-component van de kracht (N)
Fz: z-component van de kracht (N)
Omgekeerd kan dit nu natuurlijk ook, men kan uit de grootte van de kracht en de
bijbehorende hoeken met de assen, de losse componenten bepalen. Zo kun je
met het inproduct de hoek tussen twee vectoren berekenen:
Hierin is:
: Vector-u
: Vector-v
θ: Hoek tussen vectoren
In het geval je de x-component wilt weten kun je deze formule gebruiken. Immers
je weet dat
. Hierin is ex een zogenaamde eenheidsvector. Zijn
vector representatie is:
We nemen nu als voorbeeld θ = 180, dit is de hoek
die de vector maakt met de x-as, en
:
Zoals je ziet is het optellen van krachten een stuk gemakkelijker geworden met
vectoren. Een oefening om te zien, dat deze methode even juist is als de
grafische methode:
Opgaven:
38
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Teken een assenstelsel en teken vanuit de oorsprong twee krachten. Bepaal met beide methode
de absolute lengte van de som van de krachten, de hoek tussen de krachten, de x en y
componenten van de som van de krachten.
Oplossingen
Als de gemeten en berekende kracht gelijk is dan heb je het goed.
39
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Fysica/Druk
< Fysica
Inhoud
[verbergen]
1 Druk
2 Druk in vloeistoffen
3 Druk in gassen
3.1 De luchtdruk
3.2 De eigenschappen van een gas
3.3 Ideale gassen
3.4 Wet van Boyle en Mariotte
3.5 Drukwet van Gay-Lussac
3.6 Volumewet van Gay-Lussac
3.7 Algemene ideale gaswet
3.8 Toepassingen: vloeistofmanometer
[]
Druk
Met druk wordt aangegeven wat de kracht per oppervlakte-eenheid is. Eigenlijk is
druk de oppervlaktedichtheid van de op het oppervlak uitgeoefende kracht en
bepalen we de kracht die op een bepaald oppervlak wordt uitgeoefend aan de
hand van de druk. Voor een kleine oppervlakte, is de kracht erop het produkt van
de druk ter plaatse en de oppervlakte.
Wordt op een oppervlak met oppervlakte A gelijkmatig een kracht F uitgeoefend ,
dan is de druk p gegeven door:
Hierin is:
p: de druk (Pa)
F: de kracht (N)
2
A: de oppervlakte (m )
40
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Een druk "p" op een oppervlak "A" veroorzaakt een kracht "F=p.A" die loodrecht
staat op dat oppervlak. Druk wordt gemeten in de eenheid Pascal; 1 Pa = 1 N/m 2.
Een andere eenheid voor druk is de Bar. 1 Bar = 1000 hPa (= 10 5Pa).
[]
Druk in vloeistoffen
In tegenstelling tot een vaste stof, bestaat een vloeistof uit deeltjes die ten
opzichte van elkaar kunnen bewegen. Je kan de beweging van deze deeltjes
vergelijken met de beweging van ballen in een ballenbad.
Op een lichaam dat is ondergedompeld in een vloeistof zullen de vloeistofdeeltjes
in alle richtingen een druk uitoefenen. Anders dan bij een vaste stof is bij een
vloeistof de richting van het oppervlak van het lichaam niet van belang. In een
bepaald punt van de vloeistof wordt op elk oppervlak van gelijke grootte dezelfde
kracht uitgeoefend. Dit wordt verwoord in de:
Wet van Pascal
Druk, uitgeoefend op een deel van een vloeistof, plant zich in alle
richtingen voort met dezelfde grootte.
De druk in een vloeistof noemen we de hydrostatische druk. De hydrostatische
druk is de druk die ontstaat door het gewicht van de hoeveelheid vloeistof boven
het meetpunt. Deze druk werkt in alle richtingen gelijk en wordt ook uitgedrukt in
de eenheid Pascal. 1 Pa = 1 N/m2.
Je kan de hydrostatische druk met dezelfde formule berekenen als deigene die
gebruikt wordt om de druk bij vaste stoffen te berekenen.
41
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
De kracht F in de vloeistof wordt veroorzaakt door de massa van de vloeistof die
zich boven het meetpunt bevindt.
De massa van de vloeistof die zich boven het meetpunt bevindt hangt af van de
dichtheid van de vloeistof boven het meetpunt, en het volume van de vloeistof
boven het meetpunt.
Uit de vorige formules volgt:
We kunnen de hydrostatische druk dus eenvoudig berekenen met volgende
formule:
Hierin is:
p: de hydrostatische druk (Pa)
ρ: de dichtheid van de vloeistof (N)
h: de afstand tussen het meetpunt en de oppervlakte van de
vloeistof (m)
g: de gravitatiekracht (9,81 N/kg)
Met dezelfde formule kan je ook de hydrostatische druk in een gas berekenen.
Vloeistofdruk: Applet van Walter Fendt waarmee je kan uitzoeken hoe de vloeistofdruk toeneemt
de diepte.
[]
Druk in gassen
[]
De luchtdruk
De luchtdruk wordt veroorzaakt door het gewicht van de hoger gelegen
luchtlagen. De dichtheid van droge lucht op zeeniveau bedraagt 1,293 kg*m-3
(oftewel: 1,293 kg/m3). Lucht neemt in dichtheid bij 32 km hoogte af tot minder
42
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
dan 1% van de dichtheid. Ter illustratie is de dichtheid van lucht op de top van de
Mount Everest (8845m) ca. 0,425 kg*m-3.
[]
De eigenschappen van een gas
De gasvormige toestand is een van de drie aggregatietoestanden van de
materie. Deze toestand heeft een aantal unieke kenmerken.
Een stof in gasvormige toestand neemt de vorm en het volume aan van de ruimte
waar het in opgesloten zit. Van de drie aggregatietoestanden heeft de
gasvormige toestand de kleinste dichtheid. Gassen zijn ook beter samendrukbaar
dan vaste stoffen en vloeistoffen. De deeltjes waaruit een gas bestaat bewegen
zeer snel. Indien deze deeltjes opgesloten zitten in een afgesloten ruimte, dan
zullen deze deeltjes botsen met de wanden van deze afgesloten ruimte. Er
ontstaat een kracht op de afgesloten ruimte. Deze kracht wordt de druk van het
gas genoemd.
[]
Ideale gassen
Een ideaal gas bevat de volgende eigenschappen:
De grootte van de gasdeeltjes is verwaarloosbaar.
De gasdeeltjes bewegen volledig willekeurig en botsen vaak met andere
deeltjes. Deze botsingen zijn volkomen elastisch.
De gasdeeltjes beïnvloeden elkaar niet.
De gemiddelde bewegingsenergie van de gasdeeltjes is recht evenredig
met de temperatuur van het gas.
De luchtdruk wordt gemeten met een barometer
43
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Er zijn drie gaswetten die gelden voor ideale gassen.
[]
Wet van Boyle en Mariotte
Wanneer we een bepaalde hoeveelheid gas in een afgesloten ruimte stoppen
(bijvoorbeeld een cilinder) en het volume verkleinen (door middel van
bijvoorbeeld een zuiger) gaat de dichtheid omhoog. Een hogere dichtheid
betekent meer deeltjes per oppervlakte-eenheid dus meer botsingen. Hierdoor
zal de kracht op de wanden van de afgesloten ruimte groter worden. De druk
neemt toe.
Uit metingen blijkt:
Hierin is:
p: de druk van het gas
V: het volume van het gas
Wet van Boyle en Mariotte
De druk is omgekeerd evenredig aan het volume.
De wet van Boyle-Mariotte kan ook geschreven worden als:
bij constante temperatuur is:
Wet van Boyle en Mariotte
Het product van de druk (p) en het volume (v) is constant! Op
voorwaarde dat de temperatuur constant blijft.
[]
Drukwet van Gay-Lussac
Als het volume van een gas gelijk gehouden wordt maar het gas verwarmd wordt,
verhoogt de druk. Bij een hogere temperatuur zullen de deeltjes sneller bewegen.
44
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
De botsingen zullen dus heviger zijn. De kracht op de afgesloten ruimte zal groter
zijn. De druk neemt toe.
Uit metingen blijkt:
Hierin is:
p: de druk van het gas (Pa)
T: de temperatuur van het gas (Kelvin)
Drukwet van Gay-Lussac
De druk is recht evenredig aan de temperatuur.
[]
Volumewet van Gay-Lussac
Volumewet van Gay-Lussac
Als de druk van een gas gelijk gehouden wordt maar het gas
verwarmd wordt, vergroot het volume.
[]
Algemene ideale gaswet
Samengevat geeft dit de algemene ideale gaswet
p.V = n.R.T
Hierin is:
R: de gasconstante. R heeft een waarde van 8,31 J/(K.mol)
n: de hoeveelheid gas in de cillinder (mol)
45
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
[]
Toepassingen: vloeistofmanometer
Een manometer is een U-vormige buis, de ene kant is in contact met de
atmosfeer (en dus op atmosfeerdruk); de andere helft verbonden met de te
meten druk. De buis is gevuld met een vloeistof (kwik, alcohol, water). Wanneer
de twee drukken gelijk zijn, bevinden de twee vloeistofoppervlakken zich op
hetzelfde niveau. Stijgt de te meten druk dan daalt de vloeistof in die kant van de
manometer.
Volgens de hydrostatische wet kunnen we het drukverschil berekenen:
Voor kleine drukverschillen gebruikt met alcohol, voor grotere kwik, het verschil
ligt hem in de dichtheden van de vloeistoffen.
Opgaven:
Bereken de druk op de bodem van het diepste punt in de oceaan (11 000 m). Bereken ook de
kracht die inwerkt op een vis met een oppervlakte van 600 cm2.
Een auto rijdt in een rivier en zinkt tot op 3 m diepte. Bereken de kracht die nodig is om een deur
2
te openen met een oppervlakte van 1,3 m .
Bereken het drukverschil tussen de bovenkant en de onderkant van een vat van 76 cm hoog
indien het zich in water van 25 °C bevindt. De dichtheid van het water is 0,997 g/cm 3.
Welke hoogte moet een luchtlaag hebben, om kwik in een barometer een kwikkolom van 76 cm te
veroorzaken? Neem voor de dichtheid van kwik 13,6 g/cm 3 en voor de dichtheid van lucht een
gemiddelde van 0,0012 g/cm 3.
Bij een druk van 100 000 Pa heeft een gas een volume van 200 ml. Bereken het volume van
hetzelfde gas bij een druk van 90 000 Pa.
3
Een hoeveelheid zuurstof neemt 40 m in bij een druk van 1 bar. Bereken het volume bij 0,8 bar.
De temperatuur blijft constant.
Een hoeveelheid Neon neemt 200 ml in bij een temperatuur van 100°C. Bereken het volume bij
0°C. De druk blijft constant.
Een hoeveelheid Helium heeft bij 12°C een volume van 10 ml. Welk volume heeft dezelfde
hoeveelheid gas bij 36°C?
Een hoeveelheid zuurstof neemt 5 l ruimte in bij een druk van 0,5 bar en een temperatuur van
0°C. Bereken hoeveel volume de zuurstof inneemt in de normtoestand.
46
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
1 mol gas neemt 1 kubieke meter ruimte in bij 0°C. Bereken de druk van het gas.
In een gasfles van 8 l zit 750 g CO2. Hoeveel bedraagt de gasdruk bij 20°C. De molaire massa
van C is 12 g/mol en de molaire massa van O is 16 g/mol.
Oplossingen
47
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Fysica/Energie
< Fysica
Inhoud
[verbergen]
1 Arbeid en energie
2 Arbeid
3 Vermogen
4 Energie
4.1 Kinetische energie
4.2 Potentiële energie

4.2.1 Hoogte-energie

4.2.2 Veer-energie
5 Behoud van mechanische energie
6 Wet van behoud van energie
7 Rendement
8 Energie en milieu
[]
Arbeid en energie
In dit hoofdstuk zal je ontdekken dat arbeid en energie heel veel te maken
hebben met elkaar. Dankzij energie wordt het mogelijk om arbeid te verrichten,
en arbeid is het proces waarbij energie wordt omgezet of verplaatst.
Met andere woorden:
Een voorwerp met veel energie kan veel arbeid verrichten.
Bij het verrichten van arbeid staat het object dat de arbeid verricht energie af
aan het object waarop de arbeid verricht wordt.
[]
Arbeid
Het heeft gevroren en ik ga mijn zoontje schaatsen leren. Hij heeft zijn schaatsen
aan en het kost me nauwelijks moeite om hem voort te duwen. Ik hoef (bijna)
48
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
geen arbeid te verrichten. Als we uitgeschaatst zijn til ik hem van het ijs. Dat kost
me wel moeite; nu moet ik wel arbeid verrichten.
In beide gevallen verplaats ik mijn zoontje. In het eerste geval zonder dat er een
kracht tegenwerkt en in het tweede geval tegen de zwaartekracht in.
Indien op een voorwerp een kracht F wordt uitgeoefend, en er is een verplaatsing
Δx in de richting van die kracht, dan kunnen we zeggen dat de kracht een arbeid
verricht.
Hierin is:
W: de verrichte arbeid (J)
F: de kracht in de richting van de verplaatsing (N)
Δx:: de verplaatsing (m)
De eenheid van arbeid is de joule (J) ofwel de newton-meter (Nm).
Indien de verplaatsing niet in de richting van de kracht is, dan verricht alleen de
component van de kracht die in de richting van de verplaatsing werkt, arbeid. Als
er tussen de verplaatsing en de kracht een hoek α is, heeft die component de
grootte:
Voor de arbeid volgt dan :
Hierin is:
W: de verrichte arbeid (J)
F: de kracht (N)
Δx: de verplaatsing (m)
α de hoek tussen de kracht en de verplaatsing (graden)
49
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Je duwt een voorwerp 20 m vooruit. Hiervoor heb je een kracht nodig van 15
N in de richting van de verplaatsing. Hoeveel arbeid heb je verricht op het
voorwerp?
Stap 1: Onderzoek wat er gegeven is
De uitgeoefende kracht F = 15 N
De verplaatsing Δx = 20 m
De kracht en de verplaatsing hebben dezelfde richting. F x = 15 N. Alle
gegevens staan in de juiste eenheden. Er moet dus niets omgerekend
worden.
Stap 2: Onderzoek wat er gevraagd is
Er wordt gevraagd hoeveel arbeid er verricht wordt. W = F.Δx.
Stap 3: Vul de juiste waarden in de formule in, en bereken de oplossing
W = F.Δx = 15 N . 20 m = 300 Nm = 300 J
Er wordt op het voorwerp een arbeid van 300 J verricht. Omdat de kracht en
de verplaatsing in dezelfde richting werken, is het antwoord positief.
Opgaven:
Wordt er in de volgende gevallen arbeid op het onderlijnde voorwerp verricht?
Je schopt tegen een bal.
Je duwt tegen een muur.
Regendruppels vallen naar beneden.
[]
Vermogen
Je moet van je baas straatstenen in een wagen laden. Het is een groot
verschil of je elke seconde een steen in de wagen moet leggen of dat je voor
elke steen een minuut de tijd heb. Per steen lever je steeds dezelfde arbeid,
maar de arbeid die je per seconde moet leveren is in het eerste geval 60
keer zo groot als in het tweede geval. Men zegt dat er in het eerste geval
een groter vermogen ontwikeld wordt.
Het vermogen is de verhouding van de arbeid die verricht wordt tot de
tijdsduur die hiervoor nodig is.
50
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Hierin is:
P: het vermogen (W)
ΔW: de geleverde arbeid (J)
Δt:: de tijdsduur (s)
De eenheid voor vermogen is de watt (W). Eén watt komt overeen met een
verrichte arbeid van 1 joule per seconde.
Een andere bekende, maar verouderde, eenheid voor vermogen is de
paardenkracht (pk), die in verschillende landen een verschillende definitie
(en waarde) had. De meest gebruikte paardenkracht is ongeveer 736 watt.
Een gloeilamp met een vermogen van 60 watt gebruikt een hoeveelheid
energie van 60 joule per seconde. Een praktische, niet-SI-eenheid, die
rechtstreeks van de watt is afgeleid is de kilowattuur. Dit is een eenheid van
energie.
Opgaven:
Bereken hoeveel joule overeenkomt met 1 kWh.
[]
Energie
Onze belangrijkste energiebron is de zon. De energie van de zon wordt op
aarde in verschillende andere energievormen omgezet:
windenergie
warmte
51
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
elektrische energie
bewegingsenergie (bv. wind, stromend water,...)
hoogte-energie
...
[]
Kinetische energie
Een windmolen zet kinetische energie om in elektrische energie
Kinetische energie of bewegingsenergie is een vorm van energie die een
lichaam heeft doordat het beweegt. De kinetische energie van een
bewegend voorwerp is evenredig met de massa m van het object en het
kwadraat van de grootte v van de snelheid:
Hierin is:
Ekin: de kinetische energie van het voorwerp (J)
m: de massa van het voorwerp (kg)
v: de snelheid van het voorwerp (m/s)
Een trein van 600 ton rijdt tegen 120 km/h. Bereken de kinetische energie.
Stap 1: Onderzoek wat er gegeven is
52
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
De massa van de trein m = 600 ton
De snelheid v = 120 km/u
De gegevens staan niet in de juiste eenheden en moeten dus omgerekend
worden.
m = 600 ton = 600 000 kg (1 ton = 1000 kg)
v = 120 km/u = 33,33 m/s (1 m/s = 3,6 km/u)
Stap 2: Onderzoek wat er gevraagd is
Er wordt gevraagd hoeveel kinetische energie de trein bevat. E kin =
(m.v2)/2.
Stap 3: Vul de juiste waarden in de formule in, en bereken de oplossing
Ekin = (m.v2)/2 = (600 000 kg . (33,33 m/s) 2)/2 = 33 333 333 J = 33 MJ
De kinetische energie van de trein bedraagt 33 MJ.
[]
Potentiële energie
Een voorwerp dat energie heeft maar niet beweegt, bezit potentiële energie.
Er zijn verschillende soorten potentiële energie.
[]
Hoogte-energie
Als je een voorwerp opheft, verricht je arbeid. Dit betekent dat er energie van
jou naar het voorwerp gaat. Deze energie wordt in het voorwerp opgeslagen
in de vorm van hoogte-energie.
53
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Epot = mgh
Hierin is:
Epot: de potentiële energie van het voorwerp (J)
m: de massa van het voorwerp (kg)
g: de valversnelling op het aardoppervlak (m/s2)
h: de hoogte van het voorwerp t.o.v. de beginhoogte (m)
Deze formule geldt enkel op de aarde daar ze onderstelt dat de
aantrekkingskracht van de aarde constant is. Je mag eender welke hoogte
als beginhoogte kiezen. Op de beginhoogte is er geen hoogte-energie. Om
te voorkomen dat je met negatieve getallen moet rekenen, kan je best de
beginhoogte in het laagste punt kiezen.
Als een voorwerp dat zich op een hoogte bevindt, naar beneden valt, dan
wordt zijn potentiële energie omgezet in kinetische energie. Hoe langer het
valt, hoe meer potentiële energie wordt omgezet in kinetische energie.
Hoeveel hoogte-energie krijgt een blokje met een massa van 1 kg als het 4
m opgehoffen wordt?
Stap 1: Onderzoek wat er gegeven is
De massa van het voorwerp m = 1 kg
De hoogte h = 4 m
Stap 2: Onderzoek wat er gevraagd is
Er wordt gevraagd hoeveel hoogte-energie het blokje krijgt. E pot = mgh.
Stap 3: Vul de juiste waarden in de formule in, en bereken de oplossing
Epot = mgh = 20 kg . 9,81 m/s2 . 4 m = 784,8 J
Het voorwerp krijgt 784,8 J hoogte-energie.
[]
Veer-energie
54
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Hierin is:
Epot: de potentiële energie van het voorwerp (J)
k: de krachtconstante van de veer (N/m)
x: de uitrekking van de veer gemeten vanaf de niet-uitgerokken
toestand(m)
Opgaven:
Een mountainbiker is bezig met een afdaling. Op een hoogte van 160 m heeft hij een snelheid
van 45 km/h. De totale massa van de mountainbiker bedraagt 95 kg. Bereken de kinetische
energie van de mountainbiker. Bereken de hoogte-energie van de mountainbiker.
Een scheepslift brengt in 6 minuten een vrachtschip van 1000 ton van een laag gelegen kanaal,
naar een kanaal dat 73 meter hoger ligt.
Hoeveel arbeid verricht de scheepslift op het vrachtschip. Bereken.
Welk vermogen ontwikkeld de scheepslift.
De scheepslift wordt elektrisch aangedreven. Hoeveel kost het aan electriciteit om het schip
omhoog te brengen? (1 kWh kost 0,30 euro).
Om een veer 5 cm uit te rekken, moet je een arbeid van 12 J verrichten. Bereken de
veerconstante.
Plaats de volgende energievormen in de juiste categorie: warmte, kernenergie, getijdenenergie,
zonne-energie, windenergie, kernenergie, veerenergie. Kies uit kinetische energie of potentiële
energie.
[]
Behoud van mechanische energie
55
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Kinetische en potentiële energie zijn vormen van mechanische energie. De
totale mechanische energie van een voorwerp, kan je vinden door alle
kinetische energie en alle potentiële energie van het voorwerp op te tellen.
Em = Ek + Ep
Hierin is:
Em: de totale mechanische energie van het voorwerp (J)
Ek: de kinetische energie van het voorwerp (J)
Ep: de potentiële energie van het voorwerp (J)
Opgaven:
Een metalen bal van 2 kg is bevestigd aan een touw. De bal wordt logelaten in punt A en slingert
voorbij punt B (het laagste punt). Bereken de snelheid van de metalen bal in punt B.
Een speelgoedgeweertje schiet m.b.v. een veer pijltjes af. Eén pijltje weegt 15 g. De veer heeft
een veerconstante van 4000 N/m. Bij het laden van het pijltje wordt de veer 3 cm ingedrukt.
Bereken de snelheid waarmee het pijltje het speelgoedgeweer verlaat. Bereken hoe hoog je een
pijltje maximaal kan schieten indien je loodrecht omhoog schiet.
Een wagen rijdt van een heuvel. De wagen vertrekt uit stilstand en de heuvel is 20 m hoog.
Bereken de snelheid van de wagen wanneer hij aan de voet van de heuvel is aangekomen. Er
gaat geen energie verloren.
Een kind zit op een schommel en wordt één meter omhoog getrokken. Bereken de snelheid
waarmee het kind voorbij het laagste punt gaat.
Een steen van 200 g wordt afgeschoten met een katapult. De katapult heeft een krachtconstante
van 50 N/m en werd 60 cm uitgerokken. Bereken de snelheid van de steen bij het verlaten van de
katapult.
Een man van 75 kg springt 2 m hoog, en komt dan terecht op een trampoline. Bereken hoe ver de
trampoline uitrekt indien de krachtconstante van de trampoline 1000 N/m is.
[]
Wet van behoud van energie
56
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
De wet van behoud van energie houdt in dat er geen energie kan verdwijnen
of onstaan. Energie wordt nooit gemaakt, en gaat nooit verloren. Energie kan
alleen maar omgezet worden in een andere vorm, of overgezet worden op
een ander voorwerp.
Opgaven:
Bereken hoeveel elektrische energie in een spaarlamp van 12 W wordt omgezet in licht en
warmte als deze 3 uur brandt.
kringloop van water
Op de volgende figuur wordt de kringloop van water afgebeeld. Bespreek de energieomzettingen
die plaatsvinden. Welke energiebron veroorzaakt deze kringloop.
[]
Rendement
57
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Bij een energieomzetting wordt energie omgezet in nuttige en niet-nuttige
energie. De verhouding van de nuttige energie tot de totale energie noemen
we het rendement.
Hierin is:
η: het rendement
En: de nuttige energie (W)
Et:: de totale energie (W)
Je kan het rendement ook berekenen uitgaande van het vermogen:
58
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Hierin is:
η: het rendement
Pn: het nuttige vermogen (W)
Pt:: het totale vermogen (W)
Een gloeilamp zet bijna 95% van de gebruikte energie om in warmte. Slechts
5% wordt dus echt gebruikt voor licht. Meestal is deze warmte niet nuttig. Er
gaat dus veel energie verloren. Het rendement geeft aan welk deel van de
totale energie nuttig gebruikt kan worden. Het rendement van onze gloeilamp
is 5%.
[]
Energie en milieu
Steenkool, aardolie en aardgas zijn fossiele brandstoffen. Fossiele
brandstoffen zijn ontstaan uit organisch materiaal (planten en dieren). Dit
organisch materiaal is miljoenen jaren geleden afgestorven, en werd onder
hoge druk en hoge temperatuur omgezet in fossiele brandstoffen. Fossiele
brandstoffen bevatten zeer veel energie, en zijn heel gemakkelijk te
gebruiken. Een groot deel van de elektriciteit wordt opgewekt met fossiele
brandstoffen.
Fossiele brandstoffen hebben op lange termijn veel nadelen. Ze zijn erg
vervuilend en dragen bij aan het broeikaseffect (door het opwarmen van de
aarde smelten de poolkappen, stijgt de zeespiegel, verandert het klimaat,...).
Bovendien zijn fossiele brandstoffen geen onuitputtelijke bron van energie.
Ooit, en dat duurt niet zo lang meer, geraken ze op.
59
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Bij het produceren van elektriciteit m.b.v. kernenergie, worden er minder
schadelijke stoffen uitgestoten, maar het radioactief afval vormt een groot
probleem.
Hernieuwbare energie is, zoals de naam het zegt, energie die nooit
opgeraakt. Zonne-energie, windenergie, geothermische energie, goflenergie,
energie uit biomassa,... zijn allemaal bronnen van energie die zullen blijven
bestaan totdat de zon explodeert. Dit kan nog miljarden jaren duren. Hopelijk
is de mens er tegen dan in geslaagd om de aarde achter zich te laten!
60
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Fysica/Elektriciteit
< Fysica
Inhoud
[verbergen]
1 Statische elektriciteit
1.1 Atoommodel
1.2 Lading
1.3 Eenheid van lading
2 Toepassingen met elektrische lading
3 Geleiders en isolatoren
4 Wet van Coulomb
5 Elektrisch veld
6 Potentiaal
7 Elektrische stroom
8 conventionele stroomzin en elektronenstroomzin
9 Spanning
10 Spanningsbron
11 Stroomkring
12 meten van stroom en spanning
13 Weerstand
14 wet van Ohm
14.1 De geleidbaarheid
14.2 Soortelijke weerstand
15 Schakeling van weerstanden
15.1 serie
15.2 parallel
16 Stroom- en spanningsverdeling
17 Energie en vermogen van de elektrische stroom
18 Warmte
19 Symbolen
20 Veiligheid
[]
Statische elektriciteit
Heb je het al eens meegemaakt dat je op een droge dag een wollen pul aantrok
en een soort geknetter hoorde? Of dat je je haar aan het kammen was, en er een
61
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
haar aan je gezicht plakte? Of dat je de klink van de wagen vastnam en een
kleine schok kreeg? Al deze verschijnselen hebben te maken met statische
elektriciteit. Statische elektriciteit is elektriciteit die statisch is, dus die niet
beweegt. Het waren de Grieken die voor het eerst ontdekte dat als je over een
stuk barnsteen (amber) wrijft, dit kleine stukjes papier aantrekt. Het barnsteen is
door het wrijven elektrisch geladen en het is deze lading die de papiertjes
aantrekt. Het Griekse woord voor barnsteen is "elektron", en daarvan is ons
woord elektriciteit afgeleid. Maar wat is eigenlijk elektrische lading? Daarvoor
bekijken we hoe materie is opgebouwd.
[] Atoommodel
Alle materie bestaat uit atomen, die elektrisch neutraal zijn. Ze zijn dus niet
elektrisch geladen. Dat betekent niet dat atomen geen ladingen bevatten.
Atomen zijn opgebouwd uit elektronen, protonen en neutronen. Een elektron
heeft een negatieve lading en een proton een positieve lading die in grootte gelijk
is aan de lading van een elektron; neutronen hebben geen lading. Atomen zijn
niet geladen omdat ze evenveel elektronen als protonen hebben. De negatieve
lading van de elektronen compenseert de positieve lading van de protonen.
In een atoom bevinden de neutronen en protonen zich dicht bij elkaar: ze vormen
de kern van het atoom. De elektronen bewegen rond de kern op relatief grote
afstand. Indien atomen tegen elkaar botsen, kan het zijn dat een elektron
loskomt. Het atoom blijft dan achter met meer protonen dan elektronen, en is
positief geladen. Geladen atomen noemen we ionen.
Opgaven:
Het element lithium heeft drie protonen. Hoeveel elektronen heeft een neutraal lithium atoom?
[] Lading
Als je met een ballon over een stuk stof beweegt, zullen sommige elektronen
loskomen van het stuk stof en op de ballon terecht komen. De ballon wordt
negatief geladen en het stuk stof blijft positief geladen achter.
Het stuk stof is positief geladen, de ballon negatief. Als we de ballon tegen het
stuk stof brengen zien we dat deze aan elkaar vast hangen. Dit komt doordat
tegengestelde ladingen elkaar aantrekken. Neem je twee ballonnen en geef je ze
beide een negatieve lading door ze over een stuk stof te wrijven, dan zou je zien
62
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
dat ze elkaar afstoten als ze bij elkaar zou gebracht worden. Dit komt doordat
gelijke ladingen elkaar afstoten.
Elektrische lading kan ook worden aangetoond met sommige kammen. Eerst
moet je de kam elektrisch laden. Dit kan je doen door droog haar te kammen. Als
je dan de kam bij een dun straaltje water uit de kraan houdt, zal het waterstraaltje
door de kam worden aangetrokken. Dit komt doordat watermoleculen een kant
hebben die positieve geladen is en een andere kant die negatief geladen is. De
negatief geladen kant van de moleculen zullen aangetrokken worden door de
positief geladen kam.
Opgaven:
Een negatieve lading wordt in de buurt van een waterstraal gehouden. Wat gebeurt er met de
waterstraal?
Als er veel lading bij elkaar is, kan de afstoting zo sterk worden dat de lading zich
door de lucht gaat verplaatsen en je een vonk te zien krijgt. Een vonk is gewoon
een stroom van elektronen door de lucht. Een voorbeeld van lading die zich
verplaatst door de lucht, is bliksem.
Bliksem ontstaat doordat verschillende luchtlagen over elkaar wrijven. Hierdoor
gaan ladingen overspringen van de ene naar de andere luchtlaag. Indien de
lading tussen een luchtlaag en de grond te groot wordt, zal de lading zich door de
lucht naar de grond verplaatsen: je ziet een bliksemschicht.
Met een Van der Graaf-generator kun je ladingen opwekken. Het toestel bestaat
uit een rubberen riem waarop aan één kant lading aangebracht wordt. De riem
transporteert de lading naar het binnenste van een metalen bol, waar de lading
63
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
afgenomen wordt en naar de buitenkant van de bol stroomt. De bol wordt zo
steeds meer geladen.
[] Eenheid van lading
Hoe wordt lading gemeten en wat is de eenheid waarin lading wordt uitgedrukt?
Men zou de hoeveelheid lading kunnen uitdrukken in het aantal ladingen van een
elektron. Maar de lading van een elektron is zo gering, dat men met zeer grote
getallen te maken zou krijgen. Er is gekozen voor een praktische eenheid, de
coulomb (C), die overigens weer tamelijk groot is, maar die gerelateerd is aan
twee zgn. grondeenheden in de natuurkunde, nl. de seconde en de ampère. Voor
ons doel is het de omgekeerde wereld, want de ampère is de eenheid voor
ladingstransport.
Een coulomb is een hoeveelheid lading die door een elektrische stroom van 1
ampère in 1 seconde getransporteerd wordt. Er zijn tegenwoordig speciale
condensatoren met een capaciteit van 1 farad, zoals dat heet. Dat betekent dat
een dergelijk condensator, opgeladen tot een spanning van 1 volt, juist een
lading bevat van 1 coulomb.
De lading van een elektron is ongeveer -1,6022×10-19 coulomb.
[]
Toepassingen met elektrische lading
[] Geleiders en isolatoren
Stoffen waar lading zich makkelijk door kan verplaatsen noemt men geleiders.
Stoffen waar lading zich niet door kan verplaatsen, heten isolatoren. Veel stoffen
zijn geen isolatoren, maar ook geen goede geleiders; ze bieden een zekere
weerstand aan het ladingstransport. Er zijn ook stoffen die men halfgeleiders
noemt. Ze vertonen een specifieke manier van geleiden, anders dan bij gewone
geleiders. Ze vormen de basis voor de moderne elektronica.
[]
Wet van Coulomb
De wet van Coulomb beschrijft de kracht die twee elektrische ladingen op elkaar
uitoefenen. Als de ladingen beide positief zijn, of beide negatief, oefenen zij een
afstotende kracht op elkaar uit. Zijn zij tegengesteld, dan is de kracht een
aantrekkende.
Hierin is:
64
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
F: de kracht die de ladingen op elkaar uitoefenen (N)
q1 en q2: de grootte van de twee ladingen (C)
r: is de afstand tussen de ladingen (m)
9
2
-2
k: de constante van Coulomb (8,9876 * 10 Nm C )
[]
Elektrisch veld
Omdat elektrische ladingen een kracht op elkaar uitoefenen, zegt men wel dat
een lading een elektrisch veld veroorzaakt. Een andere lading ondervindt een
kracht als gevolg van dat veld. Die kracht F is evenredig met de sterkte E van het
veld en de grootte q van die lading, dus:
Samen met de wet van Coulomb betekent dat:
Hierin is:
E: het elektrisch veld op een afstand r van de lading (N/C)
Q: de lading die het veld veroorzaakt (C)
k: de constante van Coulomb
Het veld zal groter zijn in de buurt van de lading, en afnemen van de lading
weg. Indien een lading zich in een elektrisch veld bevindt, zal er op die lading
een kracht werken. De lading is geen vector, maar de kracht op de lading is
een vector. Ook het elektrisch veld stellen we voor door een vector. Als de
lading positief is, zal de kracht op de lading dezelfde richting hebben als de
elektrische veldvector. Als de lading negatief is zal de lading een kracht
ondervinden die tegengesteld is aan de elektrische veldvector.
Elektrisch veld
Een verzameling van vectoren die aangeven welke kracht een lading
zou voelen als ze zich in het veld bevond.
65
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Veldlijnen: Met veldlijnen kunnen we een voorstelling maken van het
elektrisch veld. Een veldlijn geeft de richting van het veld aan. De sterkte van
het veld wordt aangeduid door de dichtheid van de veldlijnen.
[]
Potentiaal
De verschillende geladen deeltjes op een geladen voorwerp zullen elkaar
onderling afstoten en zo de neiging hebben het voorwerp te willen verlaten.
We drukken dat uit door te zeggen dat het voorwerp een elektrische
spanning of potentiaal heeft. Door meer lading van hetzelfde teken toe te
voeren wordt deze spanning verhoogd. Het zal steeds meer moeite kosten
nieuwe lading van hetzelfde teken toe te voegen. De moeite die we moeten
doen is een maat voor de elektrische spanning. Eigenlijk moeten we steeds
van het spannings- of potentiaalverschil spreken tussen het geladen
voorwerp en een ander. Als we van de spanning of potentiaal zonder meer
spreken bedoelen we het spanningsverschil met een neutraal voorwerp. Een
neutraal voorwerp heeft per definitie de spanning 0. We kunnen de potentiaal
van een voorwerp bepalen door een kleine lading vanuit het oneindig naar
het voorwerp te brengen. In het oneindig is de potentiaal 0. De benodigde
arbeid gedeeld door de lading (dus de hoeveelheid arbeid per eenheid van
lading) is de potentiaal. We meten de potentiaal in volt (V); 1 V is dus 1 joule
per coulomb. Met statische voltmeters kan van een geladen voorwerp de
potentiaal gemeten worden.
[]
Elektrische stroom
Brengen we een geladen geleider in contact met een ongeladen, dan zal een
deel van de lading van de geladen geleider wegvloeien naar de ongeladen.
Ook als er contact gemaakt wordt tussen twee geladen geleiders met
veschillende potentiaal, zal er lading van de geleider met de hogere
potentiaal naar de geleider met de lagere potentiaal vloeien. We zeggen dat
er een elektrische stroom loopt.
Elektrische stroom is het verplaatsen van lading, meestal in de vorm van
elektronen, maar ook andere ladingsdragers, zoals ionen, kunnen aan de
elektrisch stroom bijdragen. De sterkte van elektrische stroom is de
hoeveelheid lading die perseconde verplaatst wordt. Men meet de
stroomsterkte in ampère (A); 1 A is gelijk aan 1 coulomb per seconde.
[]
conventionele stroomzin en elektronenstroomzin
66
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Traditioneel wordt elektrische stroom uitgedrukt als de verplaatsing van
positieve lading. Zelfs nu we weten dat elektrische stroom in de meeste
gevallen wordt veroorzaakt door het verplaatsen van negatief geladen
elektronen (in tegengestelde richting van de stroomzin), blijft de oude
definitie van kracht: in een metalen geleider gaat de richting van de stroom
dus tegen de bewegingsrichting van de elektronen in.
[]
Spanning
Potentiaalverschil
De arbeid per ladingseenheid die nodig is om de lading van één punt
naar een tweede punt te verplaatsen.
Spanning
Potentiaalverschil tussen twee punten.
Spanning wordt uitgedrukt in de eenheid volt (Symbool: V) en heeft als SIgrootheid het symbool U.
Eén volt is één joule per coulomb.
Een spanning bestaat enkel tussen twee punten! Men spreekt daarom over
"de spanning over iets".
Hoogspanning
[]
Spanningsbron
67
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Spanningsbron symbool
Batterijcel symbool
Batterij symbool
Een gelijkspanningsbron is een elektrische component die twee polen heeft
waarop een vaste gelijkspanning staat. Een van de polen is negatief en de
andere positief. De negatieve pool heeft een teveel aan elektronen en de
positieve pool heeft een tekort aan elektronen. Het potentiaalverschil tussen
deze twee is de bronspanning.
Wanneer beide polen in verbinding komen door middel van een geleider,
zullen ze elkaars potentiaalverschil in evenwicht brengen. Maar willen we de
spanning behouden, dan moet er een manier zijn om steeds opnieuw het
potentiaalverschil te herstellen.
Bij een batterij gebeurt dit door middel van een elektrochemische reactie. Dat
is een chemische reactie die vrije elektronen opwekt.
Naast een batterij zijn er ook nog andere manieren om spanning op te
wekken, bijvoorbeeld door middel van magnetisme (generator), licht
(fotovoltaïsche cel), ...
Een ideale spanningsbron zal altijd evenveel spanning leveren. Maar helaas
is in praktijk niets ideaal. Elke praktische spanningsbron heeft een inwendige
weerstand (Ri) die veroorzaakt wordt door de opbouw van de bron.
Denkbeeldig kun je de inwendige weerstand voorstellen als een weerstand
die in serie staat met een ideale bron. Hoe kleiner de inwendige weerstand
hoe beter.
Wanneer een bron niet in een schakeling is opgenomen, bevindt zich tussen
de klemmen de ideale bronspanning (dus de volledige spanning die de bron
68
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
kan leveren). Men spreekt over de openklemspanning, vaak aangeduid met
symbool E. Maar zodra er een verbinding tussen beide polen ontstaat, zal de
bron nooit zoveel spanning kunnen leveren. Waarom zal duidelijk worden
wanneer we het gaan hebben over serieschakelingen.
Batterij
[]
Stroomkring
[] meten van stroom en spanning
[] Weerstand
Een weerstand is een elektrische component dat de stroom in een kring
beperkt. Weerstanden worden gebruikt als onderdeel in elektrische
netwerken. Een weerstand heeft een waarde die uitdrukt in welke mate de
stroom hinder ondervindt: de weerstandswaarde.
Een variabele weerstand is een weerstand waarvan de waarde veranderd
kan worden door beweging, lichtinval, spanning, temperatuur of
mechanische vervorming. Ze worden gebruikt in digitale meetinstrumenten.
LDR (light dependant resistor): weerstand afhankelijk van lichtintensiteit
NTC-weerstand (negatieve temperatuurcoëfficiënt): weerstand afhankelijk
van temperatuur
[]
wet van Ohm
Wet van Ohm
Voor een geleider geldt dat bij constant houden van de temperatuur de
verhouding van de spanning op de uiteinden van de geleider en de
69
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
stroom door de geleider een constante is typisch voor die geleider.
Hierin is:
I: de stroom (A)
U: de spanning of het potentiaalverschil (V)
R: de weerstand (Ω)
Wet van Ohm: Applet van Walter Fendt waarmee je de wet van Ohm kan onderzoeken.
[] De geleidbaarheid
Het omgekeerde van weerstand is de elektrische geleidbaarheid (G), deze
wordt uitgedrukt in Siemens (S):
Hierin is:
G: de geleidbaarheid (S)
[] Soortelijke weerstand
De weerstand van een component kan berekend worden uit zijn fysische
eigenschappen. De waarde van een weerstand is afhankelijk van drie
dingen:
De weerstand is recht evenredig met de lengte l van de component:
70
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
De weerstand is recht evenredig met de soortelijke weerstand (of
weerstandscoëfficiënt) ρ van het materiaal
De weerstand is omgekeerd evenredig met de oppervlakte van de
dwarsdoorsnede A van het materiaal
Hierin is:
R: de weerstand
ρ: de soortelijke weerstand
l: de lengte (m)
A: de oppervlakte van de dwarsdoorsnede (m 2)
Als voorbeeld berekenen we de weerstand van een blok koper.
Een blok koper heeft een doorsnede van 1 cm2 en een lengte van 5 cm. We
berekenen de weerstand:
[]
Schakeling van weerstanden
[] serie
Denk eens na wat er gebeurt met de stroom als deze door bovenstaande
schakeling loopt. Er is nergens een vertakking dus de elektrische stroom kan
71
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
nergens weg. Daarom zal dezelfde stroom door de twee weerstanden stromen.
Laat ons deze stroom I noemen.
De totale weerstand voor de hele schakeling is eenvoudig te berekenen. Het is
gewoon R1 plus R 2.
Req = R1 + R2
Indien n weerstanden in serie geschakeld worden berekenen we de totale
weerstand met volgende formule:
Indien we de weerstanden en de stroom kennen, kunnen we makkelijk met de
wet van Ohm de spanning over de weerstanden berekenen.
[] parallel
Parallelschakelingen zijn iets ingewikkelder dan serieschakelingen omdat ze
vertakkingen bevatten. De elektronen komen dus op een splitsing en moeten
kiezen welke tak ze nemen. Kijk naar de figuur hierboven. Op punt X splitst de
stroom zich. De elektronen kunnen of door weerstand R 1 of door weerstand R2
gaan, maar niet door beide. Om de totale weerstand van de schakeling te vinden,
berekenen we met de wet van Ohm de stroomsterkte in elke tak van de
schakeling.
Voor bovenste tak van de schakeling geldt:
voor onderste tak geldt:
De totale stroom is:
I = I1 + I2
72
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
De vervangingsweerstand berekenen we door de spanning te delen door de
totale stroom:
De vervangingsweerstand bij de parallelschakeling berekenen we met de
volgende formule:
Indien slechts twee weerstanden parallel geschakeld zijn, kan voor de
vervangingsweerstand geschreven worden:
[]
Stroom- en spanningsverdeling
[] Energie en vermogen van de elektrische stroom
Het (elektrische) vermogen dat door een stroom in een weerstand wordt
ontwikkeld is het product van de spanning over de weerstand en de
stroomsterkte:
P = U.I
Hierin is:
P: het vermogen (W)
U: de spanning (V)
I: de stroom (A)
Door de wet van Ohm toe te passen, kunnen voor het vermogen ook schrijven:
73
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Elektrische energie kan dus gebruikt worden om een motor aan te drijven:
Proef: Een heel eenvoudige elektromotor maken
Benodigdheden: Geïsoleerde koperdraad (geharstkoperdraad, bvb. met
polyurethaan van rs-components.com Nr. 357-744), balpen, mes, batterij, 2
paperclips, kleefband, een magneet met een duidelijke polen (sommige
(koelkast)magneten hebben noord- en zuidpool kort bij elkaar zitten, en zijn
daarom ongeschikt)
Wind de spoel een aantal malen rond een balpen; zorg dat de 2 uiteinden enkele
centimeters blijven uitsteken. Buig de uiteinden zo, dat ze mooi in elkaars
verlengde liggen, en dat de spoel mooi kan draaien als ze op de uiteinden rust.
Verwijder met een mes aan één kant een deel van de isolatie rond de koperdraad:
bvb. alleen de linkerhelft van de omtrek (als de spoel plat op tafel ligt). Verwijder
aan de andere kant van de spoel de volledige omtrek.
Buig de 2 paperclips, en kleef ze vast, zodat ze de spoel kunnen dragen en
tegelijkertijd contact maken met de 2 polen van de batterij.
Wat heb ik geleerd: De stroom vloeit in een stroomkring: batterij, paperclip,
spoel, paperclip, batterij.
De spoel draait in 2 fasen; gedurende een halve slag vloeit er geen stroom door;
in die fase draait ze door traagheid.
In de andere fase zal de stroom in de spoel een magneetveld opwekken, zodat de
spoel eerst afgestoten wordt, zich daardoor draait en daarna met zijn andere kant
aangetrokken wordt door de magneet. Doordat de spoel draait, rust ze plots weer
op de geïsoleerde draad, waardoor geen stroom meer door de spoel vloeit, en het
opgewekte magneetveld verdwijnt. De spoel draait nu door traagheid verder.
[]
Warmte
De wet van Joule geeft het verband weer tussen de hoeveelheid warmte die in
een bepaalde tijd in een weerstand wordt ontwikkeld door een elektrische
stroom.
74
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Q = I2.R.t
Hierin is:
Q: de hoeveelheid energie die in de weerstand wordt omgezet in warmte in (J)
I: de stroom die door een weerstand stroomt (A)
R: de grootte van de weerstand (Ω)
t: de tijd waarover wordt gemeten (s)
[]
Symbolen
Tien symbolen die worden gebruikt bij het tekenen van een stroomkring.
Als je een keer makkelijk een schakeling of stroomkring wil tekenen, zijn er
symbolen bedacht die de verschillende onderdelen voorstellen. Elk symbool is
meestal makkelijk te tekenen. Rechts staan tien van die symbolen.
[]
Veiligheid
Elektriciteit kan gevaarlijk zijn. Gelukkig is er van alles aan gedaan om het zo
veilig mogelijk te houden. Daar gaat deze paragraaf over. Hij is verdeeld in
tussenkopjes.
Isolatie en veilige spanning
Elektriciteitsdraden zijn voor de veiligheid geïsoleerd. Bovendien werkt
elektronisch speelgoed op batterijen, want dat is ook veel veiliger.
75
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Overbelasting
Als er teveel stroom wordt gebruikt, spreek je van overbelasting. Hierdoor
worden de stroomdraden (te) heet. Ze kunnen zo heet worden, dat er
uiteindelijk brand kan ontstaan. Er is een beveiliging tegen overbelasting. Die
behandelen we zo meteen.
Kortsluiting
Bij kortsluiting is de stroom kort gesloten. Hij gaat rechtstreeks van de + naar de
-. De stroom wordt op die manier heel groot. Hierdoor worden de draden heet
en ontstaat er uiteindelijk brand.
De smeltveiligheid
Een smeltveiligheid is een soort doosje wat ervoor zorgt dat de stroom gelijk
wordt uitgeschakeld als de stroom te groot wordt. Daar wordt een dun draadje
voor gebruikt. Dit draadje smelt dan door bij overbelasting en kortsluiting. Aan
de achterkant van de smeltveiligheid zit een verklikker. Die geeft aan of de
smeltveiligheid nog in orde is. Als hij er niet meer zit, moet hij vervangen
worden. De verklikker zit niet meer op zijn plaats als er kortsluiting of
overbelasting is geweest.
In een woonhuis worden drie verschillende smeltveiligheden gebruikt. De kleur
van de verklikker van de grootste smeltveiligheid die gebruikt mag worden, is
grijs. De verklikker is gekleurd omdat je dan kunt zien voor welke maximale
stroom hij geschikt is.
Groen is 6 ampère.
Rood is 10 ampère.
Grijs is 16 ampère.
76
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Fysica/Magnetisme
< Fysica
Inhoud
[verbergen]
1 Eigenschappen van de permanente magneten
2 Veldlijnenbeeld van een permanente magneet en bij stroomvoerende geleiders
3 Krachtwerking van een permanente magneet op een stroomvoerende geleider
4 Elektromagneten en praktische toepassingen
[]
Eigenschappen van de permanente magneten
[]
Veldlijnenbeeld van een permanente magneet en bij
stroomvoerende geleiders
Magneetveld rond een staafmagneet: Applet van Walter Fendt waarin het magneetveld rond een
staafmagneet wordt zichtbaar gemaakt (engels).
Magneetveld rond een geleider: Applet van Walter Fendt waarin het magneetveld rond een rechte
stroomvoerende geleider wordt gesimuleerd.
[]
Krachtwerking van een permanente magneet op een
stroomvoerende geleider
Het magnetisch veld van een rechte stroomvoerende geleider:
Hierin is:
77
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
B: magnetisch veld (T)
-6
µ: permeabiliteit van de middenstof (µ = 1,257. 10 (T.m)/A))
I: stroom (A)
r: afstand (m)
Het magnetisch veld van een stroomvoerende spoel:
Hierin is:
B: magnetisch veld (T)
µ: permeabiliteit van de middenstof (µ = 1,257. 10-6 (T.m)/A))
I: stroomsterkte (A)
N: aantal windingen
l: lengte van de spoel (m)
Lorentz-kracht: Applet van Walter Fendt die de Lorentz-kracht demonstreert, uitgeoefend op een
stroomvoerende geleider in het magneetveld van een hoefijzermagneet.
[]
Elektromagneten en praktische toepassingen
De magneet beweegt in de spoel
De wijzer wijkt uit naar links. Er stroomt dus een kleine stroom
De magneet wordt stilgehouden als ze zich in de spoel bevindt
De wijzer komt terug naar het midden. Er stroomt dus geen stroom meer.
De magneet beweegt uit de spoel.
De wijzer wijkt uit naar rechts. Er stroomt dus opnieuw een kleine stroom maar
deze keer in de andere richting.
De proef wordt herhaald maar nu wordt de magneet zeer traag in de spoel
gebracht.
78
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
De wijzer wijkt nog steeds uit, maar deze keer is de uitwijking veel kleiner. Er
stroomt dus een veel kleinere stroom.
De proef wordt herhaald maar nu wordt de magneet omgedraaid.
De wijzer wijkt uit in de andere richting.
De proef wordt herhaald maar nu wordt de magneet stilgehouden, en
beweegt de spoel.
De wijzer wijkt in dezelfde richting uit.
Besluit:
Als de spoel en de magneet t.o.v. elkaar bewegen, dan zal er een stroom
lopen door de spoel.
Hoe sneller de relatieve beweging, hoe groter de stroom.
Als de magneet of de bewegingsrichting wordt omgedraaid, dan zal ook de
stroomzin veranderen.
79
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Fysica/Mechanica
< Fysica
Als je een voorwerp los laat, valt het naar beneden. Dat weet iedereen. Hoe komt
dat? Doordat de zwaartekracht van de aarde werkt op alle voorwerpen die je om
je heen ziet. Maar hoe snel valt het?
Over die vraag hebben geleerden eeuwenlang nagedacht. Pas na de
middeleeuwen kwam Galileo Galileï met het begin van de oplossing. En het was
Isaac Newton, die er als eerste in slaagde de wetten van de mechanica te
ontdekken. Ook vandaag de dag werken we nog steeds met deze
"Bewegingswetten van Newton".
Meestal ligt een voorwerp gewoon stil. Hoe zou je het zelf in beweging zetten? Er
zijn twee manieren: Trekken of duwen. De zwaartekracht heeft, wat dat betreft,
een duidelijke keuze gemaakt: Hij trekt!
Maar of je nou trekt of duwt, natuurkundigen zeggen dat je een kracht op het
voorwerp uitoefent. Daar gaat het om. Dat inzicht is te danken aan Isaac Newton
en daarom is ook de eenheid van kracht naar hem genoemd: Newton
Onze vraag is dus: Hoe snel valt een voorwerp? Maar Galileï ontdekte al, dat
voorwerpen niet met een constante snelheid vallen! Hoe langer ze vallen, hoe
sneller ze gaan. Galileï woonde in Pisa en hij beklom dan ook vaak de toren van
Pisa om voorwerpen naar beneden te gooien en te kijken, wat ermee gebeurde.
Maar dat was niet zo praktisch. De dingen die hij naar beneden gooide lagen al
heel snel op de grond en het was van bovenaf ook moeilijk te zien, wat er
onderweg precies gebeurde. Daarom bouwde hij een soort knikkerbaan in zijn
huiskamer. Daarmee kon hij dezelfde gebeurtenissen in een soort 'slow motion'
bekijken. Hij zag dat de knikker in de eerste seconde 1 meter rolde, in de tweede
seconde 3 meter en in de derde seconde 5 meter. Waarschijnlijk heeft hij zijn
experimenten toen voortgezet in de tuin of op zolder, maar in elk geval ontdekte
hij, dat de knikker in de vierde seconde 7 meter aflegde.
Het patroon is duidelijk: "Elke volgende seconde legt de knikker een afstand af,
die evenredig is met het volgende oneven getal." Als we dieper zijn ingegaan op
het werk van Newton, zullen we begrijpen hoe dat komt.
Het voorwerp wordt dus versneld, doordat er een kracht op wordt uitgeoefend.
Newton ondekte de verbazend simpele formule, waarmee je kunt uitrekenen
hoeveel het voorwerp versneld wordt:
80
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
F = ma
In woorden: "Kracht (F) is gelijk aan massa (m) maal versnelling (a)."
De formule is simpel, maar wat wordt ermee bedoeld? Om te beginnen moeten
we begrijpen waar we het over hebben: Kracht, massa en versnelling.
Kracht is niet zo moeilijk te begrijpen: Het geeft aan hoe hard je tegen een
voorwerp duwt, of er aan trekt. Dat wordt dus gemeten in Newton, afgekort N.
Massa zegt iets over hoe zwaar een voorwerp is. Maar dat is al een stuk minder
gemakkelijk te begrijpen. Je kunt een voorwerp op de weegschaal leggen en dan
zie je hoeveel het 'weegt'. Het lijkt simpel, maar als je je weegschaal meeneemt
naar de maan ligt het er maar aan wat voor soort weegschaal je gebruikt,
hoeveel hetzelfde voorwerp daar 'weegt'.
De meeste weegschalen werken tegenwoordig met een veer. Hoe zwaarder het
voorwerp, dat op de schaal wordt gelegd, hoe verder de veer wordt uitgerekt. Als
jouw weegschaal ook zo werkt zul je zien dat een voorwerp, dat op aarde 6 kilo
weegt, op de maan opeens maar 1 kilo lijkt te wegen! Is je weegschaal
daarentegen een ouderwetse balans, dan moet je op de andere schaal nog
steeds dezelfde gewichten neerleggen als op aarde. Met deze weegschaal lijkt
het voorwerp dus ook op de maan 6 kilo te wegen! Welke weegschaal heeft nou
gelijk?
De ouderwetse balans heeft gelijk! De massa van een voorwerp is altijd
hetzelfde. Dat de massa op de maan kleiner lijkt, komt doordat de
aantrekkingskracht van de maan kleiner is dan die van de aarde. Een
weegschaal met een veer wordt daardoor gefopt, maar een balans niet, doordat
het effect net zo werkt op het voorwerp dat je wilt wegen als op de gewichten die
je op de andere schaal zet. De massa wordt gemeten in kilogram, afgekort kg.
Versnelling is het moeilijkste van deze drie begrippen. Galileï had al ontdekt, dat
snelheid van een vallend voorwerp voortdurend toeneemt. Als de snelheid
toeneemt spreken we van een versnelling, maar het is moeilijk om die te meten.
Het is zelfs moeilijk om de snelheid van een voorwerp op een bepaald moment
te meten. Galileï's knikker rolde in de eerste seconde 1 meter. Maar betekent dat
dat de knikker een snelheid had van 1 meter per seconde (afgekort 1 m/s)? Nee,
niet precies. 1 m/s is alleen maar de gemiddelde snelheid in de eerste seconde.
De snelheid verandert voortdurend en dat maakt het zo lastig om hem te meten.
81
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Als je bijvoorbeeld de snelheid van een auto wilt meten, dan kun je dat doen door
twee punten te kiezen op de route waar de auto langskomt. Je noteert hoe laat
de auto op punt A is en hoe laat hij op punt B is. De gemiddelde snelheid over
dat traject is de afstand tussen de twee punten, gedeeld door de tijd, die de auto
er over doet. Maar we willen geen gemiddelde snelheid weten! We willen precies
weten, hoe snel de auto reed om half twee 's middags. En dat is niet op deze
manier te meten! We meten altijd het gemiddelde over een traject, nooit de
snelheid op een bepaald moment.
Galileï zag dit wel, maar hij kon het probleem niet oplossen. Newton loste het wel
op en daarmee droeg hij niet alleen bij aan onze kennis over de natuurkunde,
maar ook aan die over de wiskunde!
Hier zie je de meetresultaten van Galileï in een grafiek uitgezet. Horizontaal is de
tijd uitgezet en verticaal de totale afgelegde afstand. Je ziet dat de grafiek elke
seconde een knik heeft. Zo is het in werkelijkheid natuurlijk niet, de snelheid van
de knikker verandert de hele tijd, niet 1x per seconde. Dat het er zo uit ziet, komt
alleen doordat we maar een paar meetpunten hebben en die met rechte lijnen
met elkaar hebben verbonden.
82
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
De helling (of "Richtingscoëfficiënt") van de lijnstukken komt overeen met de
gemiddelde snelheid van de knikker op dat stuk van het traject. Tussen t=0 en
t=1 is de gemiddelde snelheid 1 m/s en de lijn heeft een richtingscoëfficiënt van
1. Tussen t=1 en t=2 is de gemiddelde snelheid 3 m/s en de richtingscoëfficiënt is
3. Tussen t=2 en t=3 zijn ze beide gelijk aan 5 enzovoort. Dat zijn dus inderdaad
die opeenvolgende oneven getallen, die Galileï had ontdekt.
Maar je kunt aan de knikken duidelijk zien, dat deze lijn geen goede weergave is,
van wat er in werkelijkheid gebeurt.
Als we meer meetpunten gebruiken, gaat de lijn er wel vloeiender uitzien. Bij
t=0,5 blijkt de knikker nog maar 25 cm afgelegd te hebben. Bij t=1,5 is de totaal
afgelegde afstand 2,25 m en bij t=2,5 is de totale afstand 6,25 m. Hiernaast is het
resultaat afgebeeld, dat we krijgen als we deze extra meetpunten gebruiken.
Maar waar zijn nu de oneven getallen van Galileï gebleven? Ze zijn er nog
steeds! Dat is gemakkelijk te zien, als we de afgelegde afstand in elke halve
seconde niet weergeven in decimale notatie, maar als breuken. We krijgen dan:
1/4, 3/4, 5/4, 7/4, 9/4, 11/4...
83
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Er zijn ook nog steeds knikken te zien, vooral in de eerste seconde. We zouden
nog meer meetpunten kunnen gebruiken, maar het wordt wel erg moeilijk om dat
met de hand te meten.
En er is nog een probleem: De lijn ziet er vloeiender uit, maar hij bestaat nog
steeds uit rechte lijnstukken en knikken. Er zijn nu zelfs nog meer knikken, dan in
de eerste grafiek. Ze vallen alleen wat minder op. Je kunt nog verder gaan, door
bijvoorbeeld elke kwart seconde een meting te doen enzovoort... Maar het blijven
rechte lijnstukjes. En steeds meer knikken!
En dat is nu het probleem, dat Newton heeft opgelost. Hij bedacht een methode
om de lijn op te delen in oneindig veel, oneindige kleine stukjes. Ja, dan zijn er
ook oneindig veel knikken. En dat is precies de bedoeling! Een lijn met oneindig
veel knikken is overal geknikt. Met andere woorden, het is een kromme lijn! En
dat klopt ook met de werkelijkheid.
Ik denk, dat oplettende lezers in de grafiek allang de parabool
s = t^2
hebben herkend. Die is niet zo moeilijk te tekenen. Maar het is inderdaad een
kromme lijn. Je kunt er op elk punt je lineaal tegenaan leggen om een raaklijn te
tekenen. De helling van je raaklijn geeft de snelheid weer van het voorwerp op
dat moment. En dat is wat we willen weten.
Maar is dat ook uit te rekenen? Laten we met iets gemakkelijkers beginnen. Hoe
rekenen we de gemiddelde afstand over een traject uit? Dat hebben we al eerder
gedaan: We noteren hoe laat een auto twee punten, A en B, passeert. De
gemiddelde snelheid was dan de afstand tussen de punten A en B gedeeld door
het verschil tussen de twee genoteerde tijden. In formulevorm:
Waarin sA de afstand is tussen het begin van de route tot punt A en sB de afstand
van het begin van de route tot punt B. tA en tB stellen de momenten voor dat de
auto respectievelijk punt A en punt B passeerde.
Als we de positie s schrijven als een functie f(t) van de tijd, dan gaat dit er zo uit
zien:
84
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Om deze formule wat overzichtelijker te maken, gebruiken we een hulpvariabele
h, die het verschil aangeeft tussen de tijstippen tA en tB, dus h = tB - tA. Dan wordt
de formule:
Als we nu naar onze waarnemingen van de knikker kijken, dan kunnen we eens
wat getallen invoeren en kijken of de formule werkt. Na een seconde had de
knikker 1 meter afgelegd. dus tA = 1 en sA = 1 of f(tA) = 1. Na twee seconden had
de knikker in totaal 1+3=4 meter afgelegd. dus tB = 2 en sB = 4 of f(tB) = 4 en
omdat h = tB - tA = 2 - 1 = 1 geldt ook f(tA + h) = 4!
Precies de drie meter, die de knikker in de tweede seconde rolde en dus precies
de gemiddelde snelheid in die seconde. Het kan ook met kleinere stapjes. In de
derde halve seconde, dus tussen tA = 1 en tB = 1,5 rolde de knikker van sA = 1 naar
sB = 2,25. Als we dat invullen, krijgen we:
Omdat we de vorm van de grafiek allang geraden hebben, hoeven we geen
moeizame metingen meer te doen, we kunnen gewoon op elk tijdstip uitrekenen,
waar de knikker zich bevindt volgens de formule:
s = f(t) = t2
Zo kunnen we bijvoorbeeld uitrekenen, wat de uitkomst zou zijn bij een meting
over de kwart seconde van t=1 tot t=1,25:
85
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Door steeds kleinere waarden voor h te kiezen, bereken je de gemiddelde
snelheid over een steeds korter deel van de afgelegde weg. Maar je kunt niet
zomaar oneindig veel, oneindig kleine stapjes maken! Het zou betekenen, dat h
gelijk aan nul wordt en als je dat invult, dat staat er:
Delen door nul mag niet! En als je dan ook nog eens nul door nul deelt, dan is de
uitkomst echt niet te voorspellen. Newton had dat heel goed in de gaten. Maar hij
was brutaal en hij dacht: "Laat ik maar eens kijken, hoever ik kan gaan." Hij wilde
gaan tot het uiterste en dat noemde hij, als Engelsman "The limit". Hij schreef dat
op in deze vorm:
Je spreekt dat uit als "De limiet voor h nadert to nul van..." ...van dat wat er
achter staat. Als we onze functie s = f(t) = t2 als voorbeeld nemen, dan kunnen we
proberen om dit uit te rekenen:
Boven de deelstreep kunnen we t2 en - t2 tegen elkaar wegstrepen:
Verder zien de boven en onder de deelstreep een gemeenschappelijke term h,
die kunnen we ook wegstrepen:
86
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Maar nu is het sommetje opeens niet moeilijk meer! We hoeven niet meer door h
te delen, dus we kunnen gewoon 0 voor h invullen!
Geweldig! We kunnen nu de snelheid niet alleen uitrekenen op 1 punt, we
kunnen de snelheid van het voorwerp op elk moment uitrekenen! We kunnen de
snelheid nu ook schrijven als een functie van de tijd v = v(t) = 2t
Wat we hier zojuist gedaan hebben is te danken aan het inzicht van Newton.
Newton vond deze techniek uit, die bekend staat als differentiëren. En dat
vergrootte niet alleen onze inzicht in vallende lichamen, maar ook ons inzicht in
de Wiskunde!
Maar we zijn er nog steeds niet! De formule F = ma ging over de versnelling van
een voorwerp, niet over de snelheid. We hebben gezien, dat de gemiddelde
snelheid van een voorwerp is uit te rekenen als de mate waarin het voorwerp van
positie veranderd, gedeeld door de tijd, die het daarover doet. De snelheid op
een bepaald moment rekenen we uit, door net te doen, alsof we de gemiddelde
snelheid over een oneindig kort traject in een oneindigkorte tijd kunnen
uitrekenen.
Nu is het nog maar een kleine stap van snelheid naar versnelling. De kunnen de
gemiddelde versnelling definieren als de mate waarin een voorwerp van snelheid
veranderd, gedeeld door de tijd die het daar over doet. In formule:
Waarin vA de snelheid is op punt A en vB de snelheid op punt B. tA en tB stellen
weer de momenten voor dat het voorwerp respectievelijk punt A en punt B
passeerde.
Dat lijkt ontzettend veel op de formule, die we vonden voor de gemiddelde
snelheid. Natuurlijk willen we ook nu de versnelling op elk tijdstip weten, we zijn
niet te vreden met een gemiddelde versnelling.
Daarom gaan we dezelfde truc opnieuw toepassen. We schrijven de snelheid als
functie van de tijd: v = v(t). We hadden al uitgerekend, dat voor de knikker geldt:
v(t) = 2t. Om de versnelling op elk moment te bepalen, gaan we weer
differentieren:
87
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Ja! Er komt gewoon 2 uit. De versnelling van deze knikker is overal hetzelfde.
Vandaar, dat hij steeds harder gaat! Hij beweegt met een constante versnelling
of, zoals natuurkundigen zeggen: "Het is een eenparig versnelde beweging."
88
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Fysica/Kernfysica
< Fysica
Inhoud
[verbergen]
1 Structuur van de atoomkern
2 Massadefect
3 Natuurlijke radioactiviteit
4 Kunstmatige radioactiviteit
5 Samenvatting
[]
Structuur van de atoomkern
Het verband beschrijven tussen de stabiliteit van een atoomkern en het aantal en
soorten nucleonen die de atoomkern bevat.
Atoomnummer, massagetal, isotopen.
Het massagetal en ladingsgetal verwoorden en in verband brengen met elkaar.
Atoommodel, kernmodel, atoomnummer, neutronental, massagetal en
ladingsgetal.
Als inleiding in overleg met de leraar chemie enkele begrippen herhalen zoals:
isotopen, atomaire massa-eenheid, elektronvolt.
We maken gebruik van een simulatie (een van de pijlers van ict) waarbij atomen
opgebouwd worden met elektronen en twee soorten quarks.
Bij de beschrijving van de structuur van de atoomkern de quarks beschrijven als
de meest elementaire bouwstenen van het atoom.
Een atoom bouwen
We vertrekken van het waterstofatoom dat bestaat uit 1 elektron en 1 proton. Het
atoomnummer Z van het waterstofatoom is 1 omdat het aantal protonen 1
bedraagt. Het aantal elektronen bedraagt eveneens 1. Atoomnummer Z = aantal
protonen (met positieve elektrisch lading +Z.e) = aantal elektronen (met
negatieve elektrische lading –Z.e). Een atoom is neutraal omdat de som van de
positieve en negatieve elektrische ladingen nul is.
Een neutron (zonder elektrische lading) is opgebouwd uit 2 down quarks en 1 up
quark. Als dit neutron in de kern toegevoegd wordt dan krijgen we een
deuteriumatoom dat stabiel is. Er zijn dan evenveel protonen als neutronen.
89
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Het deuteriumatoom (H-2 = D-2) is een isotoop van het waterstofatoom (H-1)
omdat het ook 1 proton heeft. Het atoomnummer Z van het deuteriumatoom is
zoals dit van het waterstofatoom 1. Het aantal nucleonen (protonen en
neutronen) van het deuteriumatoom bedraagt 2. Het massagetal A van het
deuteriumatoom bedraagt 2, dit van het waterstofatoom 1. Het aantal neutronen
N van het deuteriumatoom bedraagt A – Z = 2 – 1 = 1.
N=A-Z
We maken nog een neutron en voegen dit aan de kern toe. De derde isotoop van
het waterstofatoom is het tritiumatoom (H-3 = T-3) dat niet stabiel is. Dit is
radioactief. Een radioactief atoom vertoont radioactief verval. Er zijn dubbel
zoveel neutronen als protonen en dat is geen evenwichtige toestand. Het
atoomnummer Z van het tritiumatoom is zoals dit van het waterstofatoom 1. Het
aantal nucleonen (protonen en neutronen) van het tritiumatoom bedraagt 3. Het
massagetal A van het tritiumatoom bedraagt 3. Het aantal neutronen N van het
tritiumatoom bedraagt A – Z = 3 – 1 = 2. We maken een proton met 1 down quark
en 2 up quarks.
Als dit proton in de kern toegevoegd wordt dan krijgen we een heliumion (He +).
Er zijn 2 protonen en 2 neutronen in de kern. Er is 1 elektron op de eerste schil
rond de kern. Het ion is niet neutraal omdat er 2 protonen zijn en slechts 1
elektron. We voegen een elektron toe op dezelfde schil als het eerste elektron
om een heliumatoom (He-4) te krijgen. We maken nog een neutron en voegen dit
aan de kern toe. We krijgen een tweede isotoop van het heliumatoom.
He-5 is radioactief omdat er 3 neutronen en 2 protonen zijn in de kern. En dat is
ook geen evenwichtige toestand. Een toestand waarbij er meer protonen zijn in
de kern dan neutronen is ook niet zo stabiel.
Fundamentele wisselwerkingen beschrijven en in verband brengen met
structuren en energietransformaties. Fundamentele natuurkrachten zijn
gravitatiekracht, elektromagnetische kracht, zwakke en sterke kernkracht.
Bij de beschrijving van de atoomkern de sterke kernkracht vergelijken met de
andere fundamentele krachten wat betreft de dracht en de sterkte.
De stabiliteit van een atoomkern heeft te maken met de krachten tussen de
nucleonen. Protonen stoten elkaar af omdat ze een gelijksoortige lading hebben
(elektromagnetische kracht). Er moet nog een andere kracht zijn die aantrekkend
is opdat de kern stabiel zou zijn. Deze kracht tussen de nucleonen is de (sterke)
kernkracht. Vandaar dat er niet alléén protonen maar ook neutronen in de kern
90
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
moeten aanwezig zijn om die met elkaar in evenwicht te houden. Tussen de
positieve protonen in de kern en de rond de kern ronddraaiende negatieve
elektronen is er een aantrekkende kracht (elektromagnetische kracht) die zorgt
voor de middelpuntzoekende kracht. Zo is ook het atoom stabiel.
Binnen de kern zijn de (sterke) kernkrachten overheersend, buiten de kern zijn
het de elektromagnetische krachten. De elektromagnetische krachten nemen af
met de tweede macht van de afstand, de kernkrachten met een hogere macht
dan twee van de afstand. De sterke kernkracht of sterke wisselwerking is de
sterkste van de vier fundamentele natuurkrachten uit de natuurkunde. Naast de
(sterke) kernkracht en de elektromagnetische kracht hebben we nog de (zwakke)
kernkracht en de gravitatiekracht.
Er kunnen nog meer elektronen, protonen en neutronen toegevoegd worden bij
de vorige simulatie tot we een koolstofatoom (C-12) opgebouwd hebben.
Maar feitelijk hebben we nu al voldoende stof vergaard om een hoofdstuk van
een klassieke cursus te lezen over kernfysca die te vinden is op het (inter)net.
We houden het voorlopig maar bij
1. Moleculen, elementen en atomen
2. De opbouw van een atoom
3. Isotopen, isobaren, nucliden
Cursus
[]
Massadefect
Uit de massaverandering de bindingsenergie en de bindingsenergie per nucleon
berekenen. Dat een atoom stabiel is kan berekend worden: als de massa van de
samenstellende elementaire deeltjes (protonen, neutronen, elektronen) groter is
dan die van het opgebouwde atoom dan is het atoom stabiel.
Stabiliteit
Zoek de massa van het proton, het neutron, het elektron en van het
koolstofatoom. Dat kan zowel in een (papieren) boek als op het (inter)net. Ze
staan ook in onderstaande tabel.
elementair deeltje proton
neutron
elektron
91
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
massa
1,00728 u 1,00867 u 0,00055 u
De totale massa van de samenstellende elementaire deeltjes is 12,09900 u, de
massa C-12 atoom = 12,00000 u (1 u = 1/12 massa C-12 atoom), het
massadefect is +0,0990 u en dus groter dan nul. C-12 is stabiel.
We kunnen het niet laten u enkele opdrachten te laten uitvoeren!
Toon aan dat een deuteriumatoom stabiel en een tritiumatoom radioactief is.
Toon aan dat He-4 stabiel en He-5 radioactief is.
Forum
Massa van He-4 atoom = 4,00260 u.
Massa 2 H-1 atomen = 2.1,00783 u = 2,01566 u
(2 protonen + 2 elektronen)
Massa 2 neutronen = 2.1,00867 u = 2,01734 u *Totale massa van de
samenstellende
elementaire deeltjes = 4,03300 u
Het verschil is 0,0304 u.
Het heliumatoom is dus lichter dan zijn bouwstenen. Er verdwijnt dus massa als
een kern uit zijn onderdelen wordt opgebouwd. Deze massa wordt omgezet in
energie te bereken met de formule van Einstein
E=m.c2
E = 0,0304.1,66.10-27 kg . 9 . 1016 m²/s²= 4,54176.10-12 J = 4,54176.10-12/1,60.1019
eV = 2,8386.10 7 eV = 28,386 MeV
Deze energie is de bindingsenergie tussen de nucleonen.
Voor He-4 hebben we een bindingsenergie per nucleon van 28,386 MeV/4 =
7,0965 MeV.
Een radioactief atoom vervalt.
We bekijken dan ook een voorbeeld daarvan.
Natuurkunde.nl
Maak gebruik van een nuclidenkaart.
92
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Het moet niet meer gezegd worden dat het zowel eentje kan zijn op papier als
eentje op je scherm.
Nuclidenkaart
Toon aan dat de bindingsenergie per nucleon voor C-12 kleiner is dan deze van
Co-58.
En nog eens bekijken we de pedagogische wenken van een leerplan.
Het verschil tussen de kernmassa en de som van de massa’s van de
samenstellende nucleonen leidt tot de definitie van massaverandering.
De atomaire massa-eenheid (u) wordt hier ook duidelijk gedefinieerd.
Bij de verklaring van de massaverandering kunnen de begrippen bindingsenergie
en bindingsenergie per nucleon ingevoerd worden.
Het is niet de bedoeling de grafische voorstelling van de bindingsenergie per
nucleon in functie van het massagetal te behandelen.
Ook bij chemische reacties heeft men massadefect.
Maar wel verwaarloosbaar klein.
Lees hier meer over.
Forum
Bij kernreacties hebben we het best niet over exo-therme en endo-therme
reacties maar over exo-energetische en endo-energetische reacties omdat de
grootte-orde van de energiëen niet dezelfde is.
Ook bij dagdagelijkse fysische verschijnselen heeft men massadefect.
En ook dan is dit verwaarloosbaar klein.
Lees hier meer over.
Wikipedia
Een afgesloten thermoskan met 1 liter water heeft een hogere massa wanneer
het water 80°C is dan wanneer het 20°C is.
Het verschil in inwendige energie (bewegings- en potentiële energie van de
watermoleculen) is 2,5 × 10 5 J, dus het verschil in massa is 2,8 × 10-12 kg.
Dit is moeilijk of niet meetbaar.
Wanneer een deeltje en zijn antideeltje elkaar annihileren, verdwijnen ze geheel.
Annihilatie
93
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Bereken de energie die vrijkomt bij de anihilatie van een elektron en een positron.
[]
Natuurlijke radioactiviteit
De verschillende soorten kernstraling en hun eigenschappen zoals ioniserend en
doordringend vermogen beschrijven.
Natuurlijke radioactiviteit: aard en eigenschappen van α-, β- en γ-straling.
De eigenschappen van ioniserende straling worden besproken.
Onder ioniserende straling verstaan we straling die in tegenstelling tot licht bij
absorptie in een middenstof ionen vormt.
Röntgenstraling en radioactieve straling zijn vormen van ioniserende straling.
De aard en de eigenschappen van alfa-, bèta- en gammastralen beschrijven.
Natuurlijke radioactiviteit: alfa-, bèta en gammastraling, aard en eigenschappen
van de straling. Stoffen die uitzichzelf straling uitzenden noemen we radioactieve
stoffen, soms spreken we in dit verband ook van radioactieve straling, beter is te
spreken over ioniserende straling, doordat deze straling de stoffen in de
omgeving kan ioniseren.
We raadplegen eveneens de vertrouwde Wikipedia.
Alfastraling
Betastraling
Gammastraling
Aandacht hebben voor mogelijke misvattingen die leerlingen hebben over
radioactieve straling.
Alle radioactieve straling is gevaarlijk.
Bestraald voedsel of een voorwerp is daarna ook radioactief.
Een radioactief vervalproces heeft tot gevolg dat er in de bron een aantal
deeltjes verdwijnen.
Voor radioactieve bestraling bestaat er geen afscherming.
Voor iedere soort straling kan telkens de aard en de verklaring gegeven worden.
Hierbij kunnen de transmutatieregels van Soddy worden gebruikt.
Het vervalmechanisme kan verklaard worden met behulp van het elementaire
deeltjesmodel.
94
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
De vervalvergelijking van een radioactieve kern opstellen, als gegeven is welke
straling wordt uitgezonden.
De karakteristieke vervalprocessen van alfa-, bèta- en gammastralen
beschrijven.
We kunnen het terug niet laten u terug aan het werk te zetten.
Stel de nucliden voor als
A
A-4
A
ZX,
Z-2X’, Z-1X’
en de kernstraling als
4
0
0
2α, -1β, 0γ.
Haal uit de vervalvergelijkingen die in de Wikipedia gegeven worden de drie
transmutatieregels van Soddy.
238
92U
→ 23490Th + 42He2+
170
69Tm
99
43Tc
→ 17070Yb + 0-1e
→ 9943Tc + γ
Het vervalproces van een radionuclide in functie van de halveringstijd grafisch
voorstellen en berekeningen uitvoeren waarbij de halveringstijd een rol speelt.
Halveringstijd, desintegratieconstante.
Activiteit en eenheid: becquerel.
Het verval van radioactieve kernen is een statistisch proces.
Het is dus onmogelijk om te voorspellen of een bepaalde kern vroeg of wel laat
vervalt.
Vast staat, dat gedurende een bepaalde tijdsduur die eigen is aan de
radionuclide, de helft van het aantal kernen vervalt.
Die tijdsduur noemen we de halveringstijd.
De activiteit van de radionuclide is dan gehalveerd.
Hoe kleiner de halveringstijd, hoe instabieler het radioactief atoom.
De radioactieve vervalwet leidt men wiskundig af en stelt men grafisch voor.
De halveringstijd verwoorden en in verband brengen met de activiteit van een
radioactieve bron, het vervalproces grafisch beschrijven.
Een grafische voorstelling van A (massagetal) als functie van Z (atoomnummer)
is voor de leerlingen is een goede visuele hulp bij de beschrijving van een
vervalreeks van een radioactieve bron.
Radioactief verval: halveringstijd.
95
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Activiteit, eenheid: becquerel.
Ook hier raadplegen we de Wikipedia.
Radioactief verval
Simulatie
Waarom worden er meestal geen leerlingenproeven gedaan met radioactieve
straling?
Je zou voor een stralingspracticum een radioactieve stralingsbron en een
Geigerteller nodig hebben.
Waarom blijft de radioactieve stralingsbron niet altijd bruikbaar?
Leerlingenproef.
Een experiment in verband met radioactieve verschijnselen uitvoeren. Het
uitvoeren van leerlingenproeven met radioactieve bronnen is praktisch moeilijk,
wel kan de leraar met een beperkt aantal bronnen (behorende tot Klasse IV) een
aantal demonstratieproeven uitvoeren.
Invloed van de afscherming voor een bepaald type van straling.
Afbuiging van bètastralen in een magnetisch veld.
Bepaling van de halveringstijd van een radioactieve bron.
Noteer met hoeveel kernen de animatie begint: N0 = ………
Druk op Start. Kijk hoe de kernen vervallen en druk op Pauze voor t = 1,00T.
Noteer hoeveel nog niet vervallen kernen er dan nog zijn: ……………….
Noteer hoeveel vervallen kernen er dan zijn: ……………….
Wat wordt bedoeld met het symbool T ? …………………………………….
In de grafiek onder de applet staat N/N0 op de verticale as. Streep door wat niet
van toepassing is:
N is het aantal nog niet vervallen / vervallen kernen
Druk eerst op Reset.
Druk op Start om het verval te laten beginnen.
Druk op Pauze om de onderstaande tabel in te vullen.
Als het niet onmiddellijk lukt, begin je na het drukken op Reset gewoon opnieuw.
Met de meetresultaten uit de tabel ga je het (N,t)-diagram tekenen.
Zet eerst bij de assen de grootheden, de eenheden en de juiste schaalverdeling.
96
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Verbind de punten met een zo vloeiend mogelijke lijn.
Hoe kun je controleren of je inderdaad een exponentieel verband hebt gekregen?
Stel de formule op voor N: N = .... × ....
De wiskundige schrijfwijze van de vervalwet (exponentiële functie) in de klas
bespreken in overleg met de leraar wiskunde.
Ga nu naar de volgende applet (de vertaling zal misschien ooit te vinden zijn op
NatSim)
Activiteit
Bekijk voor een aantal isotopen wat er gebeurt bij een korte halveringstijd in
vergelijking met een langere halveringstijd.
Streep door wat niet van toepassing is.
Bij een grote halveringstijd vervallen de kernen snel/langzaam.
Streep door wat niet van toepassing is.
De activiteit bij een kleine halveringstijd is groter/kleiner.
Ouderdomsbepaling.
Het radioactief verval van in de natuur voorkomende isotopen wordt bij
wetenschappelijk onderzoek gebruikt om de ouderdom van voorwerpen te
bepalen.
Bij wijze van voorbeeld wordt de koolstofdateringsmethode besproken die
bruikbaar is voor voorwerpen die samengesteld zijn uit dood plantaardig of dierlijk
materiaal.
Uit de halveringstijd de ouderdom van een voorwerp berekenen of grafisch
afleiden.
Daar vertelt volgend werkstuk meer over
Werkstuk
Transmutatiereeksen.
De drie natuurlijke transmutatiereeksen kunnen worden ingevoerd waarbij één
reeks bij wijze van voorbeeld in detail kan worden uitgewerkt.
Een grafische voorstelling van A (atoommassa) als functie van Z (atoomnummer)
kan hier verduidelijking brengen.
De transmutatiereeksen zijn te bestuderen met een simulatie.
97
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Transmutatiereeksen
Deze simulatie zegt in het geheel niet wat je moet doen!
Noteer de opeenvolgende kernreacties voor het verval van U-235.
Detectiemethoden.
Een aantal detectiemethoden zoals de filmbadge, de GM-teller, de nevelkamer.
Bij het bespreken van verschillende detectiemethoden kan men het onderscheid
maken tussen detectoren die de aanwezigheid van radioactieve straling
aantonen (bv. de filmbadge) en diegene die de radioactiviteit meten (bv. de
geiger-müllerteller.
Een detectiemethode beschrijven voor ioniserende straling.
Bij de bespreking van de detectiemethoden kunnen volgende methoden aan bod
komen: een geiger-mullerteller, een nevelsporenkamer, filmbadge,
halfgeleiderdedector.
Mogelijkheid voor de uitvoering van een leerlingenproef zijn: de bouw van een
nevelsporenkamer.
Informatie over filmbadges vinden we op
Filmbadge
De kosmische straling werd ontdekt door Hess met behulp van een
stratosfeerballon en een GM-teller.
Onderzoeksvraag.
Komt de achtergrondstraling die gemeten wordt door een GM-teller uit de aarde
of van ergens anders vandaan?
Kosmische straling
Samenwerken met andere vakken.
De geschiedenis van het atoombegrip, de atoomstructuur en het gebruik van het
periodiek systeem komen uitgebreid en uitgediept aan bod in de lessen Chemie.
Bij het bespreken van de natuurlijke radioactiviteit moet men met deze
voorkennis zeker rekening houden.
In de lessen aardrijkskunde wordt de radioactieve vervalwet voor de absolute
ouderdomsbepaling met de C-14 en de K-Ar methode toegepast.
Een relatie met biologie kan worden gelegd door het bespreken van enkele
effecten van de radioactieve straling op de mens.
98
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
De aandacht vestigen op de aanwezigheid van de radioactieve bronnen in de
natuurlijke omgeving, zoals de aanwezigheid van radon in de klas of in de
woonkamer, gezondheidsaspecten van het wonen.
Door de problematiek rond de verwerking van het radioactief afval ter sprake te
brengen is er een verband met milieueducatie.
[]
Kunstmatige radioactiviteit
Bij kunstmatige radioactiviteit wordt de samenstelling van stabiele zware
atoomkernen door beschieting met deeltjes (bv. neutronen) gewijzigd.
Er ontstaan splijtingsproducten en er komt energie vrij.
De massa van de kern in verband brengen met de energie die vrijkomt bij
kernsplijting.
Kernsplijting beschrijven.
We komen meer te weten over kernsplijting op de website
Kernsplijting
We worden verantwoordelijk voor wat misgaat in een applet over een kernreactor
Kerncentrale
Op de website NatSim Light treffen we ook een applet over de kettingreactie aan
Kettingreactie
Er komt ook energie vrij als we twee lichte atoomkernen fuseren tot één iets
zwaardere kern.
De massa van de kern in verband brengen met de energie die vrijkomt bij
kernfusie.
Kernfusie beschrijven.
Bij kernsplijting en kernfusie het verband leggen tussen het massadefect en
bindingsenergie van de kern en hierbij de vergelijking E = mc² gebruiken.
We komen meer te weten over kernfusie op de website
Fusie
en daar vinden we ook een simulatie over de tokamak
Tokamak
Op de website van Science in School treffen we een artikel over ITER aan
99
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
ITER
Door beschieten van atoomkernen met deeltjes is het mogelijk radioactieve
elementen te creëren die op de aarde niet voorkomen (transuranen).
Radio-isotopen worden niet alléén aangemaakt in een kernreactor maar ook met
deeltjesversnellers.
Een applet over de lineaire versneller vinden we op de website
Lineaire versneller
Een applet over de cyclotron vinden we op de website
Cyclotron
Meer informatie over de cyclotron vinden we op de website
Wikipedia
Als context het Europese onderzoekscentrum van de CERN toelichten als
belangrijk centrum voor onderzoek van elementaire deeltjes.
Toepassingen en gevaren van radioactieve straling.
Technische ontwerpen beschrijven en gebruiken in verband met natuurlijke en
kunstmatige radioactiviteit.
De radioactieve stoffen worden veelvuldig toegepast.
Deze toepassingen situeren zich op verschillende vlakken:
bijvoorbeeld in de geneeskunde waar men tracer- en stralingstechnieken
gebruikt,
in de landbouw en de industrie gebruikt men sterilisatietechnieken
en in de archeologie en kunst gebruikt men de activeringsanalyse.
Meer informatie over tracers krijgen we op de link
Tracers
Voor de verschillende gebieden wordt een stralingsdeskundige opgeleid voor een
bepaalde specialisatie.
Toepassingen van ioniserende straling verklaren in de industrie en techniek.
Diverse toepassingen in geologie, geneeskunde, biologie, chemie
Radiotherapie
Het belang van fysische kennis in verschillende opleidingen illustreren.
100
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Klinisch fysicus, radioloog, milieutechnicus.
Klinisch fysicus
Leerlingen maken kennis met beroepen waarbij de fysische kennis of de
technische principes worden toegepast zoals: elektrotechnicus,
stralingsdeskundige, afvalbeheerder, brandweerman, experten bij medische
beeldvorming of bij het gebruik van fotonica, astrofysici, vaste stoffysici, geofysici
...
Een duik in de natuurkunde leert ons veel over Natuurkunde in het ziekenhuis
Medische beeldvorming
Je komt meer te weten over het leven van een astrofysicus op de link
Very Large Telescope
[]
Samenvatting
Het gebruikelijke atoommodel beschrijft een atoom als een positief geladen kern
met negatieve elektronen die als een wolk daaromheen zwerven. De kern
bestaat uit positief geladen protonen en neutronen, die zoals de naam aangeeft
elektrisch neutraal zijn. De lading van een proton is tegengesteld, maar in grootte
gelijk aan de lading van een elektron. In de normale neutrale toestand zijn er
evenveel elektronen in de elektronenwolk als protonen in de atoomkern. Als er
echter een of meer elektronen worden weggenomen, is het atoom niet meer
neutraal. Het is dan een geladen deeltje, ook wel een ion genoemd. Straling die
in staat is een elektron van een atoom weg te schieten en het atoom daarmee
achter te laten als ion, wordt "ioniserende straling" genoemd. De straling die bij
radioactiviteit wordt uitgezonden is ioniserende straling. Ze wordt soms
"radioactieve straling" genoemd. Dit is in zoverre onjuist dat de stof zelf
radioactief is, niet de straling. Er zijn meerdere soorten ioniserende straling: alfa
(α)-, bèta (β)- en gammastraling (γ) zijn veel voorkomende vormen. Kernfusie is
het samensmelten van de kernen van verschillende atomen, waarbij een ander
element wordt gevormd. Wanneer atomen van lichte elementen zoals waterstof
samensmelten, komt energie vrij. Het fuseren van zware atomen kost juist
energie. De overgang tussen licht en zwaar ligt bij het element IJzer.
Informatie afkomstig van http://nl.wikibooks.org Wikibooks NL. Wikibooks NL is
onderdeel van de wikimediafoundation.
101
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Fysica/Kinematica
< Fysica
De kinematica, de bewegingsleer, bestudeert en beschrijft de beweging van
lichamen. Het gaat om de plaats en snelheid van het lichaam in ruimte en tijd, en
de veranderingen daarin.
Daarbij wordt onderscheid gemaakt in verschillende soorten beweging:
Eenparige beweging: het lichaam beweegt met constante snelheid
Eenparig versnelde beweging: het lichaam ondergaat een constante
versnelling
Niet-eenparige beweging: de snelheid verandert, de versnelling is niet
constant
De kinematica houdt zich niet bezig met de oorzaak van de beweging, en de
veranderingen die in bewegingen kunnen optreden: dat is het terrein van de
dynamica.
Inhoud
[verbergen]
1 Eenparige rechtlijnige beweging
1.1 afgelegde weg
1.2 plaats
1.3 verplaatsing
1.4 snelheid
1.5 grafische voorstelling
1.6 Niet-eenparige rechtlijnige beweging
1.7 versnelling
2 Eenparig versnelde rechtlijnige beweging
2.1 Valbeweging
3 Meerdimensionale beweging
3.1 Vector
3.2 Positie
3.3 Verplaatsing
3.4 Gemiddelde snelheid
3.5 Momentane snelheid
3.6 Versnelling
102
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
3.7 De eenparige cirkelvormige beweging
[]
Eenparige rechtlijnige beweging
De eenvoudigste vorm van beweging is wel de beweging met constante snelheid
langs een rechte lijn. Daarbij worden steeds in gelijke perioden gelijke afstanden
afgelegd.
Opgaven:
Een voorwerp is in evenwicht wanneer
Het voorwerp niet beweegt.
Het voorwerp aan alle kanten ondersteund wordt.
Het voorwerp een eenparige rechtlijnige beweging uitvoert.
De resulterende kracht op het voorwerp nul is.
[] afgelegde weg
De beweging kan worden beschreven door de weg s die in de tijd t sinds het
begin van de beweging, is afgelegd. De afgelegde weg is een eenvoudige fuctie
van de tijd t:
.
[] plaats
Ook kan de beweging beschreven worden door de plaats x op op de lijn op het
tijdstip t. Als de beweging begon in het punt x0, geldt:
.
[] verplaatsing
Als een voorwerp zich op een tijdstip t1 op de plaats x1 bevindt en op een tijdstip
t2 op de plaats x2, is de verplaatsing in de tijdsduur Δt = t2 − t1:
[] snelheid
De gemiddelde snelheid vgem van een object dat over een afstand Δx beweegt
gedurende een tijdsduur Δt kunnen we als volgt berekenen:
[] grafische voorstelling
103
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Opgaven:
Tussen de stad Shanghai en het vliegveld van Shanghai rijdt een magneettrein (Maglev). De
magneettrein overbrugt het 20 kilometer lange traject in 7 minuten. Bereken de gemiddelde
snelheid van de Maglev over dit traject.
Een hardloper en een wandelaar zijn 120 m van elkaar verwijdert en bewegen naar elkaar toe. De
hardloper heeft een snelheid van 16 km/h. De wandelaar heeft een snelheid van 6 km/h.
Bereken waar en wanneer de twee elkaar ontmoeten.
Maak een duidelijke grafiek en controleer hiermee je berekeningen.
[] Niet-eenparige rechtlijnige beweging
[] versnelling
De versnelling a is de verandering van de snelheid van het object over de tijd,
en is de afgeleide van de snelheid.
Indien een voorwerp eenparig rechtlijnig beweegt, is de versnelling gelijk aan
nul.
[]
Eenparig versnelde rechtlijnige beweging
Indien een voorwerp vanaf plaats x0 met beginsnelheid v 0 versnelt met een
constante versnelling a, is de plaats van het voorwerp als functie van de tijd:
Valbeweging
De snelheid van een vallend voorwerp neemt voortdurend toe. Als de snelheid
toeneemt spreken we van een versnelling, maar het is moeilijk om die te meten.
Het is zelfs moeilijk om de snelheid van een voorwerp op een bepaald moment
te meten. Galileï's knikker rolde in de eerste seconde 1 meter. Maar betekent dat
dat de knikker een snelheid had van 1 meter per seconde (afgekort 1 m/s)? Nee,
niet precies. 1 m/s is alleen maar de gemiddelde snelheid in de eerste seconde.
De snelheid verandert voortdurend en dat maakt het zo lastig om hem te meten.
Als je bijvoorbeeld de snelheid van een auto wilt meten, dan kun je dat doen door
twee punten te kiezen op de route waar de auto langskomt. Je noteert hoe laat
de auto op punt A is en hoe laat hij op punt B is. De gemiddelde snelheid over
dat traject is de afstand tussen de twee punten, gedeeld door de tijd die de auto
104
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
er over doet. Maar we willen geen gemiddelde snelheid weten! We willen precies
weten, hoe snel de auto reed om half twee 's middags. En dat is niet op deze
manier te meten! We meten altijd het gemiddelde over een traject, nooit de
snelheid op een bepaald moment.
Galileï zag dit wel in, maar hij kon het probleem niet oplossen. Newton loste het
wel op en daarmee droeg hij niet alleen bij aan onze kennis over de natuurkunde,
maar ook aan die over de wiskunde!
Hier zie je de meetresultaten van Galileï in een grafiek uitgezet. Horizontaal is de
tijd uitgezet en verticaal de totale afgelegde afstand. Je ziet dat de grafiek elke
seconde een knik heeft. Zo is het in werkelijkheid natuurlijk niet, de snelheid van
de knikker verandert de hele tijd, niet 1x per seconde. Dat het er zo uit ziet, komt
alleen doordat we maar een paar meetpunten hebben en die met rechte lijnen
met elkaar hebben verbonden.
De helling (of "Richtingscoëfficiënt") van de lijnstukken komt overeen met de
gemiddelde snelheid van de knikker op dat stuk van het traject. Tussen t=0 en
t=1 is de gemiddelde snelheid 1 m/s en de lijn heeft een richtingscoëfficiënt van
1. Tussen t=1 en t=2 is de gemiddelde snelheid 3 m/s en de richtingscoëfficiënt is
105
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
3. Tussen t=2 en t=3 zijn ze beide gelijk aan 5 enzovoort. Dat zijn dus inderdaad
die opeenvolgende oneven getallen, die Galileï had ontdekt.
Maar je kunt aan de knikken duidelijk zien, dat deze lijn geen goede weergave is,
van wat er in werkelijkheid gebeurt.
Als we meer meetpunten gebruiken, gaat de lijn er wel vloeiender uitzien. Bij
t=0,5 blijkt de knikker nog maar 25 cm afgelegd te hebben. Bij t=1,5 is de totaal
afgelegde afstand 2,25 m en bij t=2,5 is de totale afstand 6,25 m. Hiernaast is het
resultaat afgebeeld, dat we krijgen als we deze extra meetpunten gebruiken.
Maar waar zijn nu de oneven getallen van Galileï gebleven? Ze zijn er nog
steeds! Dat is gemakkelijk te zien, als we de afgelegde afstand in elke halve
seconde niet weergeven in decimale notatie, maar als breuken. We krijgen dan:
1/4, 3/4, 5/4, 7/4, 9/4, 11/4...
Er zijn ook nog steeds knikken te zien, vooral in de eerste seconde. We zouden
nog meer meetpunten kunnen gebruiken, maar het wordt wel erg moeilijk om dat
met de hand te meten.
106
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
En er is nog een probleem: De lijn ziet er vloeiender uit, maar hij bestaat nog
steeds uit rechte lijnstukken en knikken. Er zijn nu zelfs nog meer knikken, dan in
de eerste grafiek. Ze vallen alleen wat minder op. Je kunt nog verder gaan, door
bijvoorbeeld elke kwart seconde een meting te doen enzovoort... Maar het blijven
rechte lijnstukjes. En steeds meer knikken!
En dat is nu het probleem, dat Newton heeft opgelost. Hij bedacht een methode
om de lijn op te delen in oneindig veel, oneindige kleine stukjes. Ja, dan zijn er
ook oneindig veel knikken. En dat is precies de bedoeling! Een lijn met oneindig
veel knikken is overal geknikt. Met andere woorden, het is een kromme lijn! En
dat klopt ook met de werkelijkheid.
Ik denk, dat oplettende lezers in de grafiek allang de parabool
s = t^2
hebben herkend. Die is niet zo moeilijk te tekenen. Maar het is inderdaad een
kromme lijn. Je kunt er op elk punt je lineaal tegenaan leggen om een raaklijn te
tekenen. De helling van je raaklijn geeft de snelheid weer van het voorwerp op
dat moment. En dat is wat we willen weten.
Maar is dat ook uit te rekenen? Laten we met iets gemakkelijkers beginnen. Hoe
rekenen we de gemiddelde afstand over een traject uit? Dat hebben we al eerder
gedaan: We noteren hoe laat een auto twee punten, A en B, passeert. De
gemiddelde snelheid was dan de afstand tussen de punten A en B gedeeld door
het verschil tussen de twee genoteerde tijden. In formulevorm:
Waarin sA de afstand is tussen het begin van de route tot punt A en sB de afstand
van het begin van de route tot punt B. tA en tB stellen de momenten voor dat de
auto respectievelijk punt A en punt B passeerde.
Als we de positie s schrijven als een functie f(t) van de tijd, dan gaat dit er zo uit
zien:
Om deze formule wat overzichtelijker te maken, gebruiken we een hulpvariabele
h, die het verschil aangeeft tussen de tijstippen tA en tB, dus h = tB - tA. Dan wordt
de formule:
107
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Als we nu naar onze waarnemingen van de knikker kijken, dan kunnen we eens
wat getallen invoeren en kijken of de formule werkt. Na een seconde had de
knikker 1 meter afgelegd. dus tA = 1 en sA = 1 of f(tA) = 1. Na twee seconden had
de knikker in totaal 1+3=4 meter afgelegd. dus tB = 2 en sB = 4 of f(tB) = 4 en
omdat h = tB - tA = 2 - 1 = 1 geldt ook f(tA + h) = 4!
Precies de drie meter, die de knikker in de tweede seconde rolde en dus precies
de gemiddelde snelheid in die seconde. Het kan ook met kleinere stapjes. In de
derde halve seconde, dus tussen tA = 1 en tB = 1,5 rolde de knikker van sA = 1 naar
sB = 2,25. Als we dat invullen, krijgen we:
Omdat we de vorm van de grafiek allang geraden hebben, hoeven we geen
moeizame metingen meer te doen, we kunnen gewoon op elk tijdstip uitrekenen,
waar de knikker zich bevindt volgens de formule:
s = f(t) = t2
Zo kunnen we bijvoorbeeld uitrekenen, wat de uitkomst zou zijn bij een meting
over de kwart seconde van t=1 tot t=1,25:
Door steeds kleinere waarden voor h te kiezen, bereken je de gemiddelde
snelheid over een steeds kortere periode. Om de snelheid op een bepaald
moment te berekenen, zou je een periode met lenge 0 moeten nemen. Dat kan
natuurlijk niet. Het zou betekenen, dat niet alleen h gelijk wordt aan nul, maar ook
de in die periode afgelegde weg. En door 0 kun je niet delen! En als je dan ook
nog eens nul door nul deelt, dan is de uitkomst echt niet te voorspellen. Newton
had dat heel goed in de gaten. Maar hij was brutaal en hij dacht: "Laat ik maar
eens kijken, hoever ik kan gaan." Hij wilde gaan tot het uiterste en dat noemde
hij, als Engelsman "the limit". Hij schreef dat op in deze vorm:
Je spreekt dat uit als "De limiet voor h nadert to nul van..." ...van dat wat er
achter staat. Als we onze functie s = f(t) = t2 als voorbeeld nemen, dan kunnen we
proberen om dit uit te rekenen:
108
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Boven de deelstreep kunnen we t2 en - t2 tegen elkaar wegstrepen:
Verder zien de boven en onder de deelstreep een gemeenschappelijke term h,
die kunnen we uitdelen, zolang h nog ongelijk aan 0 is:
Maar nu is er opeens geen probleem meer! We kunnen gewoon de waarde 0
voor h invullen!
Geweldig! We hebben nu de snelheid uitgerekend op elk moment t! We kunnen
de snelheid nu dus schrijven als een functie van de tijd
Wat we hier zojuist gedaan hebben is te danken aan het inzicht van Newton.
Newton bedacht deze techniek, die bekend staat als differentiëren. En dat
vergrootte niet alleen ons inzicht in vallende lichamen, maar ook ons inzicht in de
wiskunde!
Maar we zijn er nog steeds niet! De formule F = ma ging over de versnelling van
een voorwerp, niet over de snelheid. We hebben gezien, dat de gemiddelde
snelheid van een voorwerp is uit te rekenen als de mate waarin het voorwerp van
positie veranderd, gedeeld door de tijd, die het daarover doet. De snelheid op
een bepaald moment rekenen we uit, door net te doen, alsof we de gemiddelde
snelheid over een oneindig kort traject in een oneindigkorte tijd kunnen
uitrekenen.
Nu is het nog maar een kleine stap van snelheid naar versnelling. De kunnen de
gemiddelde versnelling definieren als de mate waarin een voorwerp van snelheid
veranderd, gedeeld door de tijd die het daar over doet. In formule:
109
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Waarin vA de snelheid is op punt A en vB de snelheid op punt B. tA en tB stellen
weer de momenten voor dat het voorwerp respectievelijk punt A en punt B
passeerde.
Dat lijkt ontzettend veel op de formule, die we vonden voor de gemiddelde
snelheid. Natuurlijk willen we ook nu de versnelling op elk tijdstip weten, we zijn
niet te vreden met een gemiddelde versnelling.
Daarom gaan we dezelfde truc opnieuw toepassen. We schrijven de snelheid als
functie van de tijd: v = v(t). We hadden al uitgerekend, dat voor de knikker geldt:
v(t) = 2t. Om de versnelling op elk moment te bepalen, gaan we weer
differentieren:
Ja! Er komt gewoon 2 uit. De versnelling van deze knikker is overal hetzelfde.
Vandaar, dat hij steeds harder gaat! Hij beweegt met een constante versnelling
of, zoals natuurkundigen zeggen: "Het is een eenparig versnelde beweging."
[]
Meerdimensionale beweging
[] Vector
Indien we een twee- of driedimensionale beweging willen voorstellen, hebben we
te maken met meer dan een coördinaat. Het is gebruikelijk en overzichtelijk om
gebruik te maken van vectoren. Een vector heeft een
zin
richting
grootte
Een vector wordt vaak genoteerd als een symbool met een pijltje erboven. Zo
stellen we de positie voor door of , een vector met twee of drie coördinaten.
[] Positie
We geven de positie van een bewegend punt op het tijdstip t weer door:
[] Verplaatsing
Als een punt beweegt van de positie
op het tijdstip t1 naar de positie
op het tijdstip t2, is de verplaatsing:
[] Gemiddelde snelheid
110
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
De tijd die nodig was voor de bovengenoemde verplaatsing bedraagt
,
zodat voor de gemiddelde snelheid gedurende deze verplaatsing geldt:
[] Momentane snelheid
We willen ook graag weten wat de (momentane) snelheid op een bepaald tijdstip
is. We proberen dat te weten te komen door het tijdsinterval Δt steeds kleiner te
nemen en wel door t2 steeds dichter bij t1 te nemen. In de limiet, voor Δt naar 0,
krijgen we:
.
Algemeen vinden we voor de snelheid op het tijdstip t:
.
[] Versnelling
Als gedurende een beweging de snelheid verandert, spreken we van versnelling.
Versnelling kan bijvoorbeeld inhouden dat een voorwerp sneller of langzamer
gaat bewegen of van richting verandert. Als de snelheid op het tijdstip t1 gelijk is
aan
en op het tijdstip t2 gelijk aan
versnelling in dat tijdsinterval:
, is de gemiddelde
Ook hier vinden we de momentane versnelling op het tijdstip t door het
tijdsinterval Δt naar 0 te laten gaan:
.
De schuine worp: Applet van Walter Fendt waarmee een horizontale, een verticale of een schuine
worp kan worden gesimuleerd.
[] De eenparige cirkelvormige beweging
111
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Een belangrijk voorbeeld van de tweedimensionale beweging is de eenparige
cirkelvormige beweging.
Een voorwerp beweegt op een cirkel met straal r en middelpunt de oorsprong. De
hoeksnelheid ω geeft aan hoe de hoek verandert als functie van de tijd. De
beweging is eenparig, zodat in gelijke tijden gelijke hoeken worden doorlopen,
wat inhoudt dat de hoeksnelheid ω constant is. In een tijd Δt beweegt het
voorwerp zich over een hoek Δθ = ωΔt. Voor de positie
geldt:
en in een rechthoekig assenkruis:
en
,
waarbij we er van uitgegaan zijn dat de beweging in het punt (1,0) is begonnen.
We kunnen de beweging dus ook beschrijven door:
.
Daaruit vinden we de snelheid als:
.
Dit is een vector met constante grootte
en richting volgens
,
dus loodrecht op
, en dus rakend aan de cirkel.
Voor de versnelling leiden we af:
.
De versnelling is dus een vector met constante grootte:
en richting volgens
, dus naar het middelpunt van de cirkel gericht en
daarom centripetale (middelpuntzoekende) versnelling geheten.
112
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
De afstand waarover bewogen wordt in een tijdsinterval Δt is rωΔt, de snelheid is
dus:
Dit is de grootte van de snelheid. De snelheid is een vector, met grootte ω.r en
als richting de raaklijn aan de cirkel. De grootte van de snelheid is constant maar
de richting verandert voortdurend, dus de massa wordt versneld.
Op dezelfde manier als hierboven kunnen we aantonen dat de grootte van de
normale versnelling gelijk is aan:
.
De versnelling is naar binnen gericht, naar het middelpunt, langs de straal van de
cirkel. Dit is de centripetale versnelling. Deze versnelling kunnen we als vector
schrijven als:
Opgaven:
Verklaar waarom een passagier naar de kant wordt gedrukt, als een auto door de bocht gaat.
Een blokje van 10 kg versnelt met 2 m/s2. Bereken de resulterende kracht die inwerkt op het
blokje.
Een resulterende kracht van 12 N werkt in op een blokje van 100 mg. Bereken de versnelling van
het blokje onder invloed van deze kracht indien er geen wrijvingskrachten zijn.
Waarom is het interessanter een bocht aan de binnenkant te nemen dan aan de buitenkant?
Bedenk dat als je met twee naast elkaar de bocht ingaat en naast elkaar wilt uit de bocht komen,
je dan de bocht met zelfde ω moet doorlopen. Gebruik dus de formule in ω om de versnelling te
bepalen.
113
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Fysica/Meerdimensionale kinematica
< Fysica
Inhoud
[verbergen]
1 De definities
1.1 Verbanden
1.2 Eenparige en eenparig versnelde beweging

1.2.1 Eenparige beweging

1.2.2 Eenparig versnelde beweging
2 De vectoriële formules
2.1 Cartesische coördinaten
2.2 Poolcoördinaten

2.2.1 Het assenkruis voor snelheid en versnelling

2.2.2 Praktisch gebruik van poolcoördinaten

2.2.3 De term 2.vr.ω
2.3 Normale en tangentiële versnelling
[]

2.3.1 Tangentiële versnelling

2.3.2 Normale versnelling

2.3.3 Voorbeeld
De definities
In de kinematica bestudeert men de beweging van een punt door alleen zijn
positie in de loop van de tijd te beschouwen, zonder te zoeken naar de oorzaken
van de beweging. De beweging is geheel beschreven als men de positie van het
punt kan geven als functie van de tijd. Uit de positie kunnen grootheden als
snelheid en versnelling afgeleid worden, die beide in het algemeen ook functies
van de tijd zijn. In de kinematica treden dus vooral de volgende grootheden op :
- de positie
- de snelheid: dit is de verandering van de positie als functie van de tijd, of, meer
wiskundig, de afgeleide van de positie naar de tijd.
- de versnelling: de verandering van de snelheid als functie van de tijd of de
afgeleide van de snelheid naar de tijd.
De positie van een bewegend punt kan men echter op verschillende manieren
vastleggen en dat geeft aanleiding tot verschillende vormen van "snelheid":
114
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
1.
Als een punt een baan doorloopt, kan men de positie weergeven m.b.v. de
afstand langs de baan voorgesteld door s(t). De grootheid s(t) stelt de afstand
tot de positie op hettijdstip t voor, gemeten langs de baan, vanaf een gekozen
referentiepunt O. Men moet hierbij nog een positieve richting kiezen voor het
doorlopen van de baan. De tegenovergestelde richting is dan automatisch de
negatieve richting. Men spreekt in dat geval ook over positieve en negatieve zin
voor het doorlopen van de baan. De afstand langs de baan s(t) is een scalaire
functie en ook de afgeleiden, zoals snelheid en versnelling langs de baan, zullen
scalaire functies zijn. Voor de bepaling van snelheid en versnelling langs de baan
hoeft de juiste vorm van de baan niet bekend te zijn.
Door s naar de tijd te differentiëren, krijgt men de snelheid langs de baan:
Deze snelheid is op het teken na gelijk aan de grootte van de snelheidsvector,
die tangentieel aan de baan gericht is.
De afgeleide van deze snelheid levert de versnelling langs de baan:
.
De index t staat voor "tangentieel" omdat dit alleen de tangentiële component
betreft van de versnellingsvector, zoals die hieronder gedefinieerd wordt.
Het aspect richting slaat bij al deze grootheden enkel op de zin die men voor het
doorlopen van de kromme gekozen heeft. Zo zal het het teken van de snelheid
en versnelling de richting van de beweging langs de baan aangeven, dwz. in
postieve of in negatieve zin. Men heeft maar een beperkte informatie over de drie
betrokken grootheden, maar deze is in vele gevallen voldoende.
2.
Men verkrijgt alle informatie over de beweging, door de positievector
, de
plaats in de ruimte op het tijdstip t, als functie van de tijd te geven. De afgeleiden
hiervan zullen nu ook vectoriële grootheden zijn. Zo is de snelheidsvector:
en de versnellingsvector:
115
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Om deze formules te gebruiken voor berekeningen, zal men een of ander
coördinatensysteem moeten kiezen.
3.
Bij een cirkelbeweging (met straal r) is het voldoende de hoek θ op te geven
t.o.v. een referentielijn of -positie om de positie van een punt volledig te bepalen.
I.p.v. een lineaire snelheid v krijgt men nu een hoeksnelheid:
en de hoekversnelling:
In de meeste formules waarin θ, ω en α voorkomen, zoals de later af te leiden
formule an = r.ω2, is de hoek in radialen uitgedrukt en niet in de meer bekende
graden, ω in radialen per seconde (symbool: rad/s) en α in radialen per seconde
kwadraat (symbool: rad/s2)
[]
Verbanden
De eerste vraag die hierbij rijst is natuurlijk wat het verband is tussen al deze
grootheden.
Er is geen directe relatie tussen s en
er een verband tussen v = ds/dt en
zelf. Wel blijkt
=
. Hierdoor is
, nl.:
Wat de versnelling betreft, blijkt at juist de tangentiële component van te zijn,
dus rakend aan de baan. Merk op dat |v |en |at| beide de grootte van de
tangentiële componenten zijn van de vectoriële grootheden. De snelheidsvector
is echter zuiver tangentieel, zodat |v| meteen ook de grootte van is, zoals
hierboven al opgemerkt, terwijl de versnellingsvector naast de tangentiële
component at, soms nog een component an loodrecht op de baan heeft.
[]
Eenparige en eenparig versnelde beweging
In de kinematica houdt men zich niet bezig met de oorsprong van de
versnellingen. In de dynamica wordt door de wet van Newton een verband
gelegd tussen krachten als oorzaak van een beweging en de versnelling. Als
men de krachten kent die op een voorwerp werken, kan men zijn versnelling
berekenen en zou men door integreren moeten komen tot de snelheid en de
positie van dat voorwerp.
116
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Dit "integreren" is echter een beetje sneller gezegd dan gedaan. In de praktijk
komt dit neer op het oplossen van een differentiaalvergelijking.
Er zijn echter eenvoudige bewegingen, waarbij dit integreren eenvoudig is. Dit
zijn bewegingen zonder versnelling, de eenparige bewegingen, en bewegingen
met constante versnelling, de eenparig versnelde bewegingen.
[]
Eenparige beweging
Men spreekt van een eenparige beweging als de beweging met constante
snelheid verloopt, dus zonder versnelling. Als er geen versnelling is, moet de
snelheid constant zijn. Men vertrekt dan hiervan voor het bepalen van de positie.
1. Als at = 0 is, heeft men een eenparige beweging langs een kromme. Uit v =
ds/dt volgt dan:
Hierin is s0 de integratieconstante. Als t=0 staat er dat s(0) = s 0. De index 0 (nul)
slaat dus, hier en in alle volgende formules op het ogenblik t=0, niet op de
oorsprong.
2. Als de vector
is, volgt analoog uit
De baan is een rechte lijn gericht langs de snelheid, die vanaf het punt
constante snelheid gevolgd wordt.
met
3. Als de hoekversnelling α = 0 is, heeft men een eenparige cirkelbeweging
met constante hoeksnelheid ω.
[]
Eenparig versnelde beweging
Men spreekt van een eenparig versnelde beweging als de beweging met
constante versnelling verloopt. Door integratie kan men formules voor de
snelheid en voor de positie afleiden.
1. Als at constant is, volgt uit dv/dt = a t dat de snelheid v(t) als primitieve functie
moet beantwoorden aan:
en uit v=ds/dt dat:
,
117
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
2. Als de totale vector
uit
constant is (dus van richting en van grootte!) dan volgt
:
en uit
waarin
voor de positie:
de beginpositie (op t=0) en
de beginsnelheid is.
De posities vormen een parabool. In drie dimensies ligt die in het vlak bepaald
door de beginsnelheid en de versnelling en heeft de richting van de versnelling
als symmetrie-as.
Enkel bij rechtlijnige beweging zijn bovengenoemde situaties gelijkwaardig en
is zowel de eerste als de tweede reeks formules geldig. In dat geval is er geen
normale versnelling, dwz. een versnellingscomponent loodrecht op de baan, en is
de tangentiële component ook de totale versnelling. In alle andere gevallen is of
at niet constant of is de totale
niet constant. Gezien de verbanden tussen deze
grootheden is het onmogelijk dat beide constant zouden zijn bij een kromlijnige
beweging.
3. Op volledig analoge manier krijgt men voor de cirkelbeweging met constante
hoekversnelling α = α0:
en
[]
De vectoriële formules
[]
Cartesische coördinaten
Er werd hierboven reeds opgemerkt dat men, om de vectoriële formules te
gebruiken voor numerieke berekeningen, moet teruggrijpen naar een of andere
coördinatenrepresentatie van de betrokken vectoren. Meest bekend is hier de
cartesische voorstelling. Hierbij wordt een onbeweeglijk assenkruis gebruikt. De
positievector
heeft in 2 dimensies dan coördinaten die we meestal aanduiden
met x(t) en y(t) (liever niet r x en ry!), de snelheid
krijgt de coördinaten v x(t) en
vy(t) en de versnelling
krijgt de coördinaten a x(t) en ay(t). Voor de coördinaten
van de snelheid gelden de betrekkingen:
118
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
en voor de versnelling:
[]
Poolcoördinaten
[]
Het assenkruis voor snelheid en versnelling
Een andere voorstelling in twee dimensies, die voor de technische toepassingen
zeer dikwijls interessanter is, is door middel van poolcoördinaten. Na de keuze
van een referentiepunt, de pool, en een referentierichting, wordt de positie
weergegeven door een koppel van twee parameters: de afstand r tot de pool en
de hoek θ tussen de voerstraal en de referentierichting. De afstand r is hier een
strikt cartesische afstand, dus nooit negatief. Er moet een positieve zin
afgesproken worden voor θ. Dit is meteen ook de positieve zin voor de afgeleiden
van θ. Dikwijls kiest men hiervoor de draairichting linksom, de tegenwijzerzin, de
richting tegen de klok in, omdat dat overeenkomt met de positieve zin in een
tweedimensioneel cartesisch assenkruis met x-as naar rechts en y-as omhoog.
Dit is echter geenszins verplicht en men mag de zin kiezen die het best bij de
gegeven situatie past. B.v. bij het probleempje van de auto die een brug oprijdt
juist op het ogenblik dat die begint te draaien (cfr.infra), is het logisch om de zin
van de hoekversnelling van de brug als positieve zin te nemen.
Merk op dat r en θ geen componenten zijn van een vector.
assenkruis voor snelheid en versnelling afgeleid uit de poolcoördinaten
De snelheid en de versnelling worden wel op de gebruikelijke manier als
vector beschreven. Deze componenten worden beschouwd t.o.v. een assenkruis
waarvan
119
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
- de oorsprong normaal in het beschouwde punt gekozen wordt;
- de r-as wijst in de richting van toenemende r (dus steeds van de pool weg)
- de θ-as staat loodrecht op de r-as, 90° gedraaid in de zin van toenemende θ
(of: in de positieve zin voor θ )
De componenten van de snelheid zijn:
: de radiale component
: de transversale of θ component.
Bemerk dat beide gewone snelheden zijn, die in m/s uitgedrukt worden als r in
meters en t in seconden worden uitgedrukt. In het voorbeeld hierboven is v r
positief maar vθ negatief.
Men kan gemakkelijk de betekenis zien van de termen: v r is de snelheid van de
radiale verplaatsing, v θ komt overeen met de omtreksnelheid van een punt op
een cirkel met straal r.
De componenten van snelheid en versnelling kunnen afgeleid worden uit
rechthoekige coördinaten. We kiezen een assenkruis met oorsprong in de pool
en de x-as langs de referentielijn. Dan geldt:
De afgeleiden naar t, voor de eenvoud aangegeven met een accent, zijn:
Langs de voerstraal, met richting (cos(θ),sin(θ)) is er dus een component r' en
loodrecht daarop, in de richting (-sin(θ),cos(θ)) een component rθ' = rω .
Voor de tweede afgeleiden:
Langs de voerstraal, met richting (cos(θ),sin(θ)) is er dus een component:
120
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
en loodrecht daarop, in de richting (-sin(θ),cos(θ)) de component:
.
De componenten zijn dus:
=
,
Als r in meters en de tijd t in seconden uitgedrukt zijn, is de eenheid van beide
componenten m/s2
De bovengegeven afleiding kan ook meetkundig gegeven worden:
In de figuur zien we de baan en op de tijdstippen t en t'=t+dt de snelheden met
hun radiale en transversale componenten (op t' aangeduid met een accent).
Apart geschetst staan de verschillende componenten voor de radiale en
transversale richtingen op t. Doordat op t' de hoek met dθ is toegenomen, zijn de
richtingen veranderd. De radiale component vr(t) van de snelheid is veranderd in
vr(t + dt)cos(dθ) − vθ(t + dt)sin(dθ) en de transversale van vθ(t) in vθ(t + dt)cos(dθ) +
vr(t + dt)sin(dθ). Voor de componenten van de versnelling vinden we dus:
en
121
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Bemerk dat men op niveau snelheid telkens 1 term heeft voor elke component en
op niveau versnelling telkens 2 termen. De betekenis van de versnellingstermen
is ook eenvoudig: ar bestaat uit de versnelling van de radiale verplaatsing + de
normale versnelling van de cirkelbeweging. a θ bestaat uit wat de tangentiële
versnelling zou zijn bij een cirkelbeweging en een speciale term die verder
verklaard wordt.
[]
Praktisch gebruik van poolcoördinaten
Voor het bepalen van de radiale en transversale componenten van snelheid en
versnelling bij gebruik van poolcoördinaten r en θ speelt de hoek θ zelf geen rol.
Wel de voerstraal r, en van beide parameters de eerste en tweede afgeleide. De
voorkomende grootheden zijn dus:
Wanneer men snelheid en versnelling in poolcoördinaten moet gebruiken, moet
men dus beginnen met zich eerst af te vragen wat men over deze 5 grootheden
weet. Als men voor deze elementen numerieke waarden kent, dan kan men alle
componenten van snelheid en versnelling berekenen en indien nodig de
versnelling ook omrekenen naar normale en tangentiële versnelling.
Voorbeeld
Nemen we als voorbeeld het probleem van de auto op de brug. Op het ogenblik
dat een auto een brug oprijdt, begint deze te draaien met een hoekversnelling
van 1/6 rad/s2 De snelheid van de auto op de brug is 5 m/s . Bereken de snelheid
en versnelling van de auto als de auto 15 m ver is op de brug.
Dit is een goed probleem voor poolcoördinaten omdat de beweging een
combinatie is van een draaiende drager met daarop een beweging door het
122
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
centrum van de rotatie (radiale beweging). Als pool moeten we een stilstaand
punt hebben. Dat wordt dus het midden van de brug. Als positieve zin voor de
hoekgrootheden kiezen we de zin van de hoekversnelling α, wijzerzin dus. Wat
weten we over de 5 basiselementen?
r = 15 - 11 = 4 m voorbij 't midden.
vr = +5 m/s (snelheid van de wagen op de brug, volgens de positieve zin van de
r-as)
De afgeleide, d2r/dt2, hiervan is nul daar v r constant is.
De hoeksnelheid ω is niet rechtstreeks gegeven, wel de hoekversnelling α . ω
moet dan volgen uit de betrekking: ω(t) = ω 0 + αt = 0 + 1/6 x 3 = ½ rad/s
α = 1/6 rad/s2.
Hieruit volgen dan door eenvoudig invullen in de formules van poolcoördinaten
de verschillende componenten van snelheid en versnelling:
vθ = r. ω = 4.1/2 = 2 m/s
ar = d2r/dt2 - r.ω2 = 0 - 4.(1/2)2 = -1 m/s2
aθ = r.α + 2.vr.ω = 4.1/6 + 2.5.1/2 = 5 2/3 m/s2 = 5,667 m/s2
Snelheid en versnelling staan bijna loodrecht op elkaar. Met de formules
hieronder zal men een grote normale versnelling en een kleine tangentiële
versnelling bekomen.
De meest voorkomende fout is dat men een functie maakt voor de positie van de
auto op de brug:
r = 11- v.t want op t = 0 moet r = 11 m zijn.
123
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Voor t = 3 levert deze functie echter een negatieve waarde voor r, nl. - 4 m, wat
onaanvaardbaar is. Deze functie is enkel geldig vóór de auto het midden van de
brug bereikt heeft. Eens de wagen voorbij het midden is moet men schrijven r =
v.t - 11.
Bemerk dat de eerste functie voor v r de waarde -5 m/s levert. Dit is de correcte
waarde vooraleer de auto het midden bereikt. Controleer dit door het assenkruis
te tekenen als de wagen nog voor het midden is! (r-as moet naar buiten wijzen, v r
is naar het centrum van de brug)
[]
De term 2.vr.ω
De fysische betekenis van deze term kan gemakkelijk worden aangetoond. Hij
treedt alleen op als iemand zich in een draaiend systeem bevindt EN zijn afstand
tot het rotatiecentrum verandert. Dit is feitelijk een vorm van Coriolisversnelling.
Kijken we hiervoor naar de figuur hiernaast. Als iemand in het punt P1 staat
(afstand r1), dan heeft hij een omtreksnelheid v θ1. Als hij in P2staat (afstand r2)
heeft hij een evenredig grotere omtreksnelheid v θ2.
Veronderstellen we nu dat iemand op het ogenblik t 0 in P1 vertrekt en met een
constante vr naar P2 marcheert. Na een tijd Δt komt hij dan in P2 . Doordat zijn
afstand tot het rotatiecentrum van r1 toegenomen is tot r2, is zijn omtreksnelheid
toegenomen van v θ1 tot v θ2 . Voor deze toename met Δv θ is er een versnelling in
de richting van v θ nodig geweest. Voor constante vr en ω kan deze berekend
worden als Δv θ/Δt = ((r2 - r1)*ω)/((r2 - r1)/vr) = vr*ω . Dit is dus het effect van de
verandering van r.
Als de man van buiten naar binnen komt, moet v r negatief gerekend worden en
wordt deze term negatief. De omtreksnelheid van de man moet dan kleiner
worden, hij moet afgeremd worden. Hiervoor is een versnelling nodig die
tegengesteld is aan v θ .
124
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
De term vr*ω komt echter nog een tweede maal voor. Op het ogenblik dat de
man in P2 toekomt, zal het systeem gedraaid zal zijn t.o.v. de vertrekpositie. Op
dat ogenblik marcheert de man niet meer in de oorspronkelijke richting van P 2,
maar misschien in de richting van P'2. De richting van vr verandert dus
voortdurend. Ook dit vraagt een versnelling loodrecht op v r en gelijk aan vr*ω ( de
top van vr beschrijft een cirkel in de ruimte van de snelheden) Zo komt men aan
2*vr*ω.
[]
Normale en tangentiële versnelling
De versnelling kan niet alleen ontbonden worden in componenten volgens
verschillende assenkruisen, ze kan ook ontbonden worden in een normale en
tangentiële component. De tangentiële component is rakend aan de baan,
parallel met de snelheid. De normale component is gericht naar het
kromtemiddenpunt van de baan. Hieronder volgt een overzicht van de formules
om van een de componenten in een ortogonaal assenkruis over te gaan naar
normale of tangentiële versnelling.
In de uiterste standen van de slinger is er alleen een tangentiële component a t
van de versneling en in de laagste stand alleen een normale component a n.
[]
Tangentiële versnelling
1 - Volgens de definitie:
In 2 dimensies kan hiervoor geschreven worden:
125
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Alhoewel de richting van de assen veranderlijk is bij poolcoördinaten, mag deze
formule ook gebruikt worden met poolcoördinaten omdat de grootte van een
vector een invariant is voor rotatie.
2 - Door projectie op de raaklijn aan de baan
De tangentiële component van de versnelling is de projectie van de versnelling
op de raaklijn aan de baan, die gegeven is door de snelheid. De projectie kan
men bepalen door het scalaire product van de versnelling met een
eenheidsvector volgens de raaklijn. Die kan men construeren door de snelheid te
delen door de norm ervan. In een ortogonaal assenkruis is een scalair product
eenvoudig uit te rekenen.
Dit is een interessante formule wanneer de componenten van a en v al bekend
zijn in een ortogonaal assenkruis. De formule is ook bruikbaar voor numerieke
waarden op een bepaald ogenblik. En als in twee dimensies een van de
componenten van a of v nul is, staat er in de teller nog hoogstens één term.
3 - Volgens de stelling van Pythagoras:
4 - Voor een cirkelbeweging:
[]
Normale versnelling
1 - Volgens de definitie:
waarin ρ de kromtestraal van de baan in het beschouwde punt is. Voor een cirkel
is dat de straal r. Deze betrekking wordt echter meestal gebruikt om ρ te bepalen,
waarbij an via een andere weg bekend moet zijn.
2 - door projectie op de normaal
De normaal is een eenheidsvector loodrecht op de snelheid. Voor de projectie op
de normaal moet men a vermenigvuldigen met de sinus van de hoek tussen
snelheid en versnelling. Deze sinus kan men uit het vectoriëel product halen
gedeeld door de norm van a en v. Hierdoor valt a onder en boven weg. In een
vlak systeem heeft dit vectoriëel product maar één component, die men dan ook
gemakkelijk kan uitschrijven:
126
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
De indices 1 en 2 mogen vervangen worden door x en y of door r en θ. Dit is
weer een zeer interessante formule om dezelfde redenen als vermeld bij de
tangentiële versnelling.
3 - Volgens de stelling van Pythagoras:
4 - Voor een cirkelbeweging:
[]
Voorbeeld
Toegepast op het voorbeeld van de auto op de brug met in poolcoördinaten v(5;
2) en a(-1; 5,667), telkens met de 3e formule:
(i lopend over r en θ)
(met index 1 = r en index 2 = θ )
Ter controle: de grootte van a moet in alle ontbindingen dezelfde zijn:
O.K.
127
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Bemerk dat het kromtemiddelpunt van de baan in de richting van a n ligt, niet in
het midden van de brug.
128
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Fysica/Rotatie kinematica
< Fysica
Bij rotatie kan men een onderscheid maken tussen de rotatie rond een as met
vaste richting en de algemene rotatie. De eerste beweging kan beschreven
worden met vrij eenvoudige formules, die sterk parallel lopen met de formules
voor de lineaire beweging. Het algemene geval speelt zich af in 3 dimensies,
doet beroep op vectoriële producten en matrixingen en is daardoor vele malen
complexer.
Wanneer men met een fiets rechtdoor rijdt, eventueel over een vertragingsbult,
dan valt de beweging van de wielen onder het eerste geval. De as beweegt wel,
maar de richting ervan verandert niet. Wanneer men echter een in een boog rond
een putje in het fietspad rijdt, dan valt de beweging onder het algemene geval.
De beweging van veel draaiende onderdelen in machines valt ook onder de
eerste beschrijving.
Bij rotatie rond een as met vaste richting zijn de formules ééndimensioneel.
Men kan dus spreken van ééndimensionele rotatie. Dikwijls wordt deze
beweging ook vlakke beweging genoemd, omdat alle punten van het voorwerp
blijven bewegen in een vlak loodrecht op de rotatieas.
We hebben het hier uitsluitend over onvervormbare voorwerpen.
Inhoud
[verbergen]
1 Grootheden
2 Basiswet
3 Formule van Steiner
4 Voorbeelden
4.1 Kracht werkend op een wiel
4.2 Schijf in een lus
5 Afgeleide wetten
5.1 Impulsmoment
5.2 Arbeid, potentiële en kinetische energie
6 Basiswet
129
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
7 Impulsmoment
8 Gyroscopisch effect
9 Trillende autowielen
10 Hoofdtraagheidsassen
11 Het rechterlid: de afgeleide van L
12 Kinetische energie - Behoud van impulsmoment
12.1 Kinetische energie
12.2 Behoud van impulsmoment
13 Bron
[]
Grootheden
We moeten spijtig genoeg beginnen met het verduidelijken van een reeks
termen. Wanneer een voorwerp kan draaien rond een as, kan men zijn positie
specifiëren via een hoek θ gemeten vanuit een referentiepositie. Als het voorwerp
draait, dan heeft het een hoeksnelheid ω. Als die snelheid verandert, dan is er
sprake van een hoekversnelling α. Men krijgt dus de volgende parallel tussen
lineaire beweging of translatie en rotatie:
translatie
positie
hoek θ eenheid: radialen
positievector
eerste afgeleide snelheid
tweede afgeleide versnelling
rotatie
m/s
hoeksnelheid ω rad/s
2
m/s2 hoekversnelling α rad/s
Dit levert analoge formules als voor de lineaire beweging. Ook voor een
eenparige rotatie geldt: θ(t)= θ 0 + ω.t
Voor een eenparig versnelde rotatie: θ(t) = θ 0 + ω0.t + α.t2/2
Als vector wordt ω voorgesteld door een vector volgens de rotatie as. Bij rotatie
rond een as met vaste richting zal ook α volgens deze as liggen. Er zijn dan maar
2 mogelijkheden voor de zin van beide. Volgens één richting zal men de waarden
van ω en α als positief rekenen, volgens de andere als negatief. Zolang men
geen vectoriële producten gebruikt, kan men vrij kiezen welke zin men positieve
zin noemt.
Het moment van een kracht t.o.v. de as is gelijk aan het product van de
component van de kracht in een vlak loodrecht op de as met de afstand van de
as tot de drager van die component. In de meeste gevallen gaat het over
krachten die werken in een vlak loodrecht op de rotatieas, b.v. als je op de
pedalen van uw fiets duwt, zodat de component hierboven in feite de volledige
kracht is. Dan krijgen we dus het klassieke moment = kracht x krachtarm.
130
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
In het algemeen kan men de beweging van een voorwerp (b.v. een fietswiel)
beschrijven als de beweging van een referentiepunt (b.v. de as) en een rotatie
van het voorwerp rond een as door dat referentiepunt. Het blijkt dat die rotatie
onafhankelijk is van het referentiepunt, maar typisch voor het voorwerp. De
formules voor het beschrijven van deze beweging worden sterk vereenvoudigd
als men een as beschouwt die ofwel stilstaat ofwel door het massacentrum van
het voorwerp gaat. In dat laatste geval zal men meestal de beweging moeten
beschrijven als samengesteld uit 2 bewegingen: een beweging van het
massacentrum + een rotatie rond een as door het massacentrum. Voorbeelden
vindt men infra.
[]
Basiswet
Nemen we een zeer eenvoudig voorbeeld van 1 massa m op een afstand r van
een as. Die as wordt aan het draaien gebracht door een riem die over een schijf
loopt. De riem trekt aan de schijf met kracht F op afstand d van de as. Volgens
de wet van de hefbomen kan men stellen dat deze kracht zich zal laten voelen op
de massa als een kracht F' volgens de formule F.d = F'.r . Dit is in feite een
momentenvergelijking die zegt dat het moment van F t.o.v. de as hetzelfde moet
zijn als het moment van F' t.o.v. de as. Anderzijds is de versnelling a van de
massa te schrijven als r.α (r.alfa). De wet van Newton zegt nu: F' = ma .
Vermenigvuldigen we beide leden met r dan bekomen we: r.F' = r.m.a .
Gebruiken we nu de bovenstaande gelijkheden dan kunnen we dit schrijven als :
d.F = m.r2.α
De grootheid m.r2 heet het traagheidsmoment van m t.o.v. de as en wordt
normaal voorgesteld als I. We kunnen de formule dus lezen als :
het moment van de kracht t.o.v. de as moet gelijk zijn aan
traagheidsmoment x hoekversnelling.
Voor een meer realistische situatie met een reëel voorwerp i.p.v. juist één massa,
zal men dit voorwerp beschouwen als opgebouwd uit kleine massa's. We moeten
dan de som nemen over al deze massa's en als er meerdere krachten zijn ook
over de momenten van alle krachten. Dit levert dan de echte basisformule voor
de rotatie:
131
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
waarin MasF staat voor het moment van F t.o.v. de as, Ias het traagheidsmoment
is t.o.v. dezelfde as, gedefinieerd als
van elk punt tot de as.
of als
, met r = afstand
Voor tabellen van traagheidsmomenten t.o.v. verschillende assen, zie
oppervlaktetraagheidsmoment.
[]
Formule van Steiner
Als men een traagheidsmoment uitgerekend heeft t.o.v. een as en men heeft
later het moment nodig t.o.v. een andere as, dan kan men zich afvragen of men
volledig opnieuw moet beginnen met de berekening of men zijn vorig resultaat
nog kan gebruiken. Een zekere Steiner vond dat dat laatste kan, op voorwaarde
dat men vertrekt van een as door het massacentrum. Dan is het
traagheidsmoment t.o.v. elke parallelle as door punt P gegeven door:
IP = Ic + m.d2
met m de totale massa van het voorwerp en d de afstand tussen de 2 assen.
Voorbeelden infra.
[]
Voorbeelden
[]
Kracht werkend op een wiel
We behandelen als 1e voorbeeld een wiel dat rolt zonder slippen.
a. Eerste aanpak: rotatie rond as door massacentrum
De rotatie vergelijking: r.W = IC.α
Bemerk dat F niet voorkomt in deze vergelijking omdat F door de as wijst en dus
geen moment heeft t.o.v. de as. We hebben nog aanvullende vergelijkingen
nodig. We moeten dus ook de translatievergelijking opschrijven:
F - W = m.aC
Er is een verband tussen aC en α:
aC = r.α
132
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Als we het wiel als een volle schijf beschouwen, dan is IC = m.r2/2
We krijgen dan als oplossing:
Bemerk dat er duidelijk wrijving moet zijn om het wiel te doen draaien.
Nota: De wrijving die nodig is om het wiel te doen draaien levert geen energie
aan het wiel of onttrekt geen energie eraan. Het punt waarop de kracht werkt
staat immers stil (en het komt verticaal toe en vertrekt verticaal, dus loodrecht op
de kracht). In de praktijk is er wel energie nodig om iets te doen rollen en weet
men dat een hard opgpompte fietsband gemakkelijker rolt. Dit komt omdat er in
de praktijk altijd een contactvlak is i.p.v. alleen een contactpunt. Hierdoor zijn er
verticale reactiekrachten van de grond die voor het centrum van het wiel
passeren en dus een tegenwerkend moment veroorzaken.
b. Tweede aanpak: ogenblikkelijke rotatie rond het contactpunt met de grond
Het contactpunt P met de grond moet dezelfde snelheid hebben als de grond,
anders is het wiel aan het slippen. P is dus een stilstaand punt en we kunnen de
beweging ook beschrijven als een ogenblikkelijke rotatie rond P met zelfde α. We
moeten nu echter met het raagheidsmoment t.o.v. P werken. Dit berekenen we
met de formule van Steiner:
IP = IC + m.r2 = 3m.r2/2
De rotatie vergelijking wordt nu:
r.F = IP.α
Dit levert rechtstreeks hetzelfde resultaat.
Bemerk echter dat deze aanpak niet kan gevolgd worden bij een slippend wiel,
want dan staat het punt P van het wiel niet stil. De eerste aanpak blijft wel geldig,
maar het verband tussen aC en α vervalt.
[]
Schijf in een lus
Als 2e voorbeeld nemen we een schijf in een lus van een touw.
We beschrijven de beweging als een beweging van het massacentrum en een
rotatie rond een as door het massacentrum. Als we voor momenten en
hoekversnelling linksdraaiend als positieve zin nemen, dan bekomen we:
r.F - r.S = IC.α
133
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
T.o.v. een as door het middelpunt van de schijf, doet de kracht F de schijf immers
naar links en de spanning in het touw de schijf naar rechts draaien. Het gewicht
wijst door die as en levert dus geen moment t.o.v. die as. Als de schijf omhoog
beweegt, zal de spanning S in het touw kleiner zijn dan F. Er moet immers een
netto moment zijn dat linksdraaiend is.
Dit levert 1 vergelijking in 2 onbekenden. We hebben nog bijkomende
vergelijkingen nodig. Dit wordt weer de translatievergelijking. Met projectie op
een as die omhoog gericht is krijgen we:
F + S - G = m.aC
Er is een verband tussen aC en α. Het touw links staat stil. We krijgen dus
opnieuw:
aC = r.α
De oplossing wordt:
Men ziet dat F minstens de helft van het gewicht moet zijn om de schijf omhoog
te laten bewegen.
Bij F = G/2 is ook S = G/2 en is α = 0: de schijf hangt in evenwicht.
Men zou dit voorbeeld ook kunnen oplossen door de rotatievergelijking op te
schrijven t.o.v. het punt waar het touw de schijf raakt, analoog aan de tweede
aanpak hierboven. Dat is immers ook een stilstaand punt. Dan zullen F en G
voorkomen in de rotatievergelijking, maar S niet.
[]
Afgeleide wetten
[]
Impulsmoment
Bij translatie kent men grootheid mv die impuls of hoeveelheid van beweging
heet. Bij rotatie heeft men een impulsmoment L (in het Engels "angular
momentum", in het Duits "Drehimpuls", vandaar in het Nederlands ook soms
"draaiimpuls"). Het impulsmoment is feitelijk gedefinieerd als de som van de
momenten van de impulsen van alle punten van het voorwerp t.o.v. de rotatieas,
maar deze formule kan bij vlakke beweging vereenvoudigd worden tot:
impulsmoment Las = Ias.ω, met zin als ω.
134
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Door de basiswet van de rotatie te integreren in de tijd komt men tot de
impulsmomentstelling, die men voor 1 voorwerp kan opschrijven als:
waarbij het rechterlid te begrijpen is als het impulsmoment op ogenblik t 2 - het
impulsmoment op ogenblik t1.
Voor meerdere voorwerpen moet men alleen rekening houden met de
momenten van de uitwendige krachten:
Als de som van de uitwendige momenten nul is, dan zal het totale impulsmoment
constant zijn. Dit is de wet van behoud va impulsmoment:
In d praktijk berekent men het impulsmoment op een eerst ogenblik en op een
tweede ogenblik en stelt dan dat beide moeten gelijk zijn
Voorbeeld:
Als voorbeeld bij behoud van impuls beschouwen we een satelliet die uitgezet
wordt met een hoeksnelheid ω0 . De satelliet bestaat uit een centraal deel en
twee zonnepanelen. Bij het uitzetten zijn de zonnepanelen opgevouwen langs de
satelliet, na het uitzetten worden ze open geplooid. Het centrale deel van de
satelliet heeft een gegeven traagheidmoment IC, de zonnepanelen hebben een
massa mp en afmetingen l x b.
Alhoewel de satelliet in een baan rond de aarde beweegt onder invloed van de
aantrekkingskracht van de aarde, heeft deze aantrekkingskracht geen invloed op
de rotatie van de satelliet rond zijn eigen as. De aantrekkingskracht op alle delen
van de satelliet kunnen immers vervangen worden door 1 resultante die aangrijpt
in het massacentrum en dat ligt op de rotatieas. Die kracht heeft dus geen
moment t.o.v. die rotatieas, m.a.w. heeft geen invloed op de rotatie van de
satelliet. De voorwaarde voor behoud van impulsmoment is dus voldaan.
135
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Om het totale traagheidsmoment van de satelliet te berekenen, moeten we het
traagheidsmoment kennen van een vlakke plaat. Hiervoor zijn echter 2
mogelijkheden:
ofwel t.o.v. van een as loodrecht op de plaat (as 1 in de figuur), als in de
eindsituatie. Dan hebben we: I1 = m(L2 + B2)/12
ofwel t.o.v. van een as in het vlak van de plaat (as 2 in de figuur), als in de
beginsituatie. Dan hebben we: I2 = mB2/12
We moeten natuurlijk ook weer gebruikmaken van de formule van Steiner.
Beginsituatie
Itot,begin = IC + 2.(mp.d2+ mp.b2/12)
Eindsituatie:
Itot,einde = IC + 2.[mp.(d + l/2)2 + mp.(b2 + l2)/12]
Volgens het behoud van impulsmoment moet nu gelden:
Itot,begin.ω0 = Itot,einde.ωeinde
Einde voorbeeld --Als men het impulsmoment moet berekenen van een voorwerp dat rond een
bewegende as draait, t.o.v. van een punt P buiten de as door het
massacentrum, dan geldt voor een vlak systeem:
L = MP mvC + IC.ω
In sommige landen is dit bekend als de eerste formule van König.
Voorbeeld: het impulsmoment van de schijf uit het 2e voorbeeld t.o.v. het
bevestigingspunt van het touw:
L = r.mvC + IC.ω = 3mr2ω/2
want vC = rω
[]
Arbeid, potentiële en kinetische energie
Men kan ook een arbeid W berekenen die een moment levert bij verdraaiing van
het voorwerp:
met M = moment van de kracht t.o.v. de rotatieas. Bemerk dat een koppel van
krachten geen arbeid levert bij een translatie (de som van beide krachten is 0).
En vermogen wordt dan natuurlijk P = M.ω
136
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Kinetische energie:
- stilstaande as:
Ek = I.ω2/2
- bewegende as:
Ek = mvC2/2 + IC.ω2/2
Dit is de (tweede) formule van König. De eerste term kan men zien als de
bijdrage van de translatie kinetische energie.
Hoe kan men beroemd worden met zo'n eenvoudige formule? De uitwerking van
(a+b)2 levert 3 termen: a2 + 2ab + b2. Wanneer men de beweging van een
voorwerp beschrijft als de beweging van een referentiepunt en een beweging
t.o.v. dat referentiepunt, dan zou men in de kinetische energie normaal ook 3
termen aantreffen. Alleen als men als referentiepunt het massacentrum neemt,
blijkt dat de kruistermen, van de vorm a.b, wegvallen en alleen de 2 zuivere
kwadraten overblijven.
Voorbeeld: kinetische energie van het wiel uit het eerste voorbeeld We kunnen
de beweging op 2 manieren beschrijven:
als een samenstelling van een translatie van het massacentrum met een rotatie
rond een as door het massacentrum. Dan moeten we de formule van König
gebruiken met in dit geval IC = m.r2/2:
Ek = mvC2/2 + m.r2.ω2/4
daar vC = r.ω wordt dit:
Ek = 3.m.r2.ω2/4
als een zuivere rotatie rond het stilstaande punt P, het contactpunt met de grond.
Dan moeten we het traagheidsmoment t.o.v. P gebruiken. We hebben dat hoger
uitgerekend en vonden
IP = 3.m.r2/2
Hiermede vinden we dadelijk:
Ek = IP.ω2/2 = 3.m.r2.ω2/4
Potentiële energie kan door rotatie opgestapeld worden in b.v. een spiraalveer:
E p= C.θ2/2
met C een veerconstante, maar nu met dimensies Nm/rad
137
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Men ziet dat er een perfect parallellisme is tussen de formules van translatie en
rotatie. Samen met de hoger gegeven parallellen, ziet men dat de rol van massa
overgenomen wordt door het traagheidsmoment, de rol van de kracht door het
moment van de kracht.
Algemene rotatie
Hireboven werd het geval besproken van de rotatie rond een as met vaste
richting. Deze as mag bewegen, maar hij mag niet veranderen van richting. Ik
heb dat eendimensionele rotatie genoemd. Het is absoluut nodig dat men het
begin van dat eerste deel gelezen en begrepen heeft om dit vervolg te kunnen
begrijpen. De algemene of driedimensionele rotatie is immers veel ingewikkelder
dan de eendimenisonele, om verscheidene redenen. Vooreerst speelt alles zich
af in 3 dimensies. Die moeten we echter in een perspectieftekening proberen
voor te stellen. Wie weinig ruimtelijk inzicht heeft kan hiermede problemen
hebben. Vervolgens gedragen de systemen die we hier bekijken zich absoluut
niet zoals intuïtief verwacht. En tenslotte moet men beroep doen op enige meer
gevorderde wiskunde, zoals matrices en vectoriële producten, om alles in
formules te gieten.
We zullen proberen om eerst een kwalitatieve beschrijving en verklaring te
geven van een paar fenomenen en daarna een meer grondige wiskundige
aanpak.
Een eenvoudig voorbeeld van een situatie waarbij de eendimensionele aanpak
niet meer werkt is gegeven in de figuur hiernaast. De rotatie-as van het wiel
verandert voortdurend van richting. Dit valt dus niet onder de vorige formules.
[]
Basiswet
Men kan het rechterlid van de wet van Newton schrijven als m.a, maar ook als de
afgeleide van de impuls p = m.v als:
138
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Op analoge manier is de basiswet voor de rotatie te schrijven als:
of in woorden: de som van de momenten van de uitwendige krachten moet
gelijk zijn aan de verandering van het impulsmoment.
Bij de eendimensonele rotatie moeten we het moment nemen van alle krachten
t.o.v. de rotatie-as. Hier moeten we het moment nemen t.o.v. een punt P. Voor de
eenvoud van de formules voert men normaal een assenkruis in zodat dat punt de
oorsprong van het assenkruis is. Wiskundig wordt dat moment dan gegeven door
het vectoriële product van de positievector van het aangrijpingspunt van die
kracht met de kracht. We vertellen later hoe dit juist moet. Eerste vraag is nu: wat
is het impulsmoment in het algemene geval?
[]
Impulsmoment
De notie van impulsmoment kwam ook reeds voor bij eendimensionele rotatie.
Daar werd het impulsmoment geschreven als L = Iω. Hier moet men teruggrijpen
naar de definitie als som van de momenten van de impulsen van alle
(punt)massa's t.o.v. een punt:
Die vi kan men echter schrijven in functie van de hoeksnelheid ω m.b.v. een
vectorieel product als
Als men dat invoert in de vorige formule krijgt
men een behoorlijk complexe formule om uit te werken. Het resulaat kan
eenvoudig voorgesteld worden, mits de complexiteit een beetje te verschuiven,
als:
De 3 x 3 matrix noemt men de traagheidstensor. Men spreekt van een tensor
omwille van de manier waarop de elementen veranderen bij verandering van het
assenkruis. Het is altijd mogelijk om een assenkruis te kiezen, vast verbonden
aan het voorwerp, zodat deze matrix vereenvoudigd wordt tot:
Het assenkruis waarin men deze eenvoudige vorm bekomt heet een
hoofdtraagheidsassenkruis en de assen ervan zijn hoofdtraagheidsassen
139
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
(sorry voor de zware termen!). In het voorbeeld hieronder werd een schuin
assenkruis gebruikt omdat de assen dan hoofdtraagheidsassen zijn. Verder
wordt nog uitvoerig gehandeld over hoofdtraagheidsassen.
Het traagheidsmoment uit de eendimensionele rotatie komt overeen met het
element Izz, het traagheidsmoment t.o.v. de z-as. Het algemene geval is dus
minstens 3x zo ingewikkeld als het eendimensionele. De traagheidsmomenten
t.o.v. de 3 assen worden nu gedefinieerd als:
of als
,
en analoog voor de 2 andere. Bemerk dat
gewoon het kwadraat is van
de afstand van het punt tot de x-as. Zie traagheidsmoment voor tabellen met de
traagheidsmomenten van enkel voorwerpen.
Uit bovenstaande formule volgt ook dat en normaal niet meer dezelfde
richting hebben. Kijken we b.v. naar de situatie in voorbeeld 2.
Een vector die ronddraait is een veranderende vector. Volkomen algemeen geldt
dat als de afgeleide van een vector loodrecht staat op de vector, de grootte van
de vector ongewijzigd blijft maar de richting continu verandert: de vector draait
rond. Het meest bekende geval is de beweging met constante snelheid van een
punt op een cirkel. De positievector van dat punt draait rond en de
snelheidsvector is steeds loodrecht op de positievector. Maar ook de
snelheidsvector draait rond in de ruimte van de snelheden. De verandering
daarvan (de afgeleide) is de middelpuntzoekende versnelling en deze staat
loodrecht op de snelheid (wijst naar het middelpunt). In beide bovenstaande
figuren hebben we zo'n ronddraaiende impulsmomentvector.
Deze elementen zijn voldoende om een reeks interessante effecten te
bespreken.
[]
Gyroscopisch effect
Keren we even terug naar de eerste figuur. Het impulsmoment heeft een
component volgens de z-as veroorzaakt door ω2 en een component volgens de
y-as veroorzaakt door ω1. De z-component is constant, alleen de y-component
draait rond. De top ervan heeft een snelheid evenwijdig aan de x-as en volgens
de positieve zin ervan. Volgens de basiswet van de rotatie moet er een uitwendig
moment geleverd worden in dezelfde richting en zin.
140
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Op het wiel grijpen volgende krachten aan:
- het gewicht in het massacentrum
- een tegengestelde kracht van de grond om die op te vangen.
De som van deze beide krachten is nul en we kunnen ze verder vergeten.
Er is ook nog een kracht nodig die het centrum van het wiel naar binnen trekt en
zo de middelpuntzoekende versnelling kan veroorzaken. Deze levert geen
moment t.o.v. de oorsprong.
Het uitwendige moment kan alleen geleverd worden door een koppel van
supplementaire krachten, één van de grond op het wiel(omhoog) en één in de
bevestiging in de oorsprong omlaag. Door de rotatie gaat het wiel dus harder op
de grond drukken.
Afbeelding:Rotatie 3D vb3.png
Wanneer men het wiel maar aan 1 zijde ondersteunt, krijgt men een zeer
eigenaardige reactie (zie figuur hiernaast). Het gewicht en de reactie in het
steunpunt vormen een koppel met moment M, voor te stellen als een vector die
horizontaal en naar achter gericht is (rechtsdraaiende schroef). Volgens de
basiswet moet de punt van de impulsvector nu ook naar achter bewegen. Hij
moet rond een verticale as beginnen draaien. Men noemt deze rotatie ook de
precessie. Waar een wiel dat niet draait gewoon zou vallen, begint een draaiend
wiel rond te draaien. Op het einde vindt men links naar video's van dit fenomeen.
We krijgen zo de eigenaardige situatie dat een moment loodrecht op de rotatie
een rotatie uitlokt die opnieuw loodrecht staat op deze vectoren. Dit eigenaardige
gedrag staat bekend als gyroscopisch effect en heeft zeer veel toepassingen in
het dagelijkse leven.
Omgekeerd: als men een sneldraaiend voorwerp doet draaien om een as
loodrecht op zijn rotatie, dan reageert het door te proberen weg te draaien
volgens een rotatierichting loodrecht op de beide. Dit kan men gemakkelijk zelf
vaststellen. Als men een draaiend fietswiel vasthoudt aan uiteinden van de as,
met de as horizontaal, en men probeert het wiel te kantelen om de as verticaal te
brengen, dan voelt men een eigenaardige reactie van het wiel. Als men probeert
om één uiteinde omhoog en het ander omlaag te brengen, dan oefent men een
koppel uit als op de figuur hiernaast. Het wiel zal proberen rond een verticale as
te draaien. Normaal probeert men ogenblikkelijk om die ongewenste beweging te
stoppen, wat betekent dat men nu horizontale krachten gaat uitoefenen op de as.
Dat is precies wat nodig is om het wiel te doen kantelen, wat het dan ook zal
doen.
141
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Een sneldraaiend voorwerp laat veel moeilijker zijn richting veranderen dan een
niet-draaiend voorwerp: er moet een groter moment op uitgeoefend worden en in
een andere richting. Daarom geeft men kogels en andere projectielen een
draaiende beweging. Daarom ook geeft men aan een discus of een frishbee een
roterende beweging mee.
Wanneer een fietser bij het nemen van een bocht naar de binnenzijde van de
bocht leunt, dan veroorzaken zijn gewicht en de verticale reactie van de grond
ook een koppel dat de fietswielen de bocht doet nemen. De wielen van een fiets
draaien echter niet snel en wegen niet veel, zodat dit effect niet zo belangrijk is.
De situatie is totaal anders bij motoren. Daar draaien de wielen wel snel en ze
zijn veel zwaarder. Motorrijders gebruiken het gyroscopisch effect op 2 manieren:
om hun motor te doen hellen en om hem de bocht te doen nemen. Vanaf
snelheden boven de 40 km/u zal een motorrijder bij het ingaan van de bocht een
duwtje geven op zijn stuur in tegengestelde richting van de bocht. Dit zal het
voorwiel niet doen draaien maar wel doen kantelen volgens de langsas van de
motor. Als de motorrijder dan mee gaat hellen, creëert hij opnieuw een koppel dat
helpt om zijn motor door de bocht te draaien.
Het gyroscopisch effect zorgt ook voor supplementaire krachten op de lagers van
de turbines van straalvliegtuigen als die een bocht nemen.
Het effect wordt natuurlijk ook gebruikt in het gyrokompas en in gyroscopen voor
automatische besturing. Voor wie filmpjes en veel meer informatie wil over het
gyroscopisch effect in allerhande toepassingen kan vertrekken van
http://www.gyroscopes.org/
[]
Trillende autowielen
Wanneer men een nieuwe band laat zetten op een autowiel, dan wordt dat thans
ook altijd uitgebalanceerd om te vermijden dat het wiel bij hoge snelheid gaat
trillen. Waarvoor dit nodig is kan men begrijpen aan de hand van het tweede
voorbeeld, de rechthoekige plaat die draait rond een diagonaal. De L-vector
verandert voortdurend van richting en dat vraagt een moment loodrecht op de
rotatie-as en de L-vector. Dit moment moet geleverd worden door 2 krachten in
de lagers: de krachten FA en FB op de figuur hiernaast. Die krachten moeten
meedraaien met de plaat.
Men kan de noodzaak van deze krachten ook begrijpen als men denkt in termen
van middelpuntvliedende krachten (of traagheidskrachten). Wanneer de
142
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
rechthoek draait, zullen de delen naast de as naar buiten willen bewegen alsof er
een kracht FT1 en FT2 op werkt. Deze krachten moeten opgevangen worden door
FA en FB. Men kan ook begrijpen dat als de plaat kon draaien rond haar
middelpunt, ze zou draaien tot ze horizontaal ligt. Dan liggen de beide
middelpuntvliedende krachten in elkaars verlengde en veroorzaken geen rotatie
meer (moment is nul). Dan draait de rechthoek ook volgens een
hoofdtraagheidsas en ligt L volgens de rotatie-as.
Conclusie: een voorwerp probeert altijd volgens een hoofdtraagheidsas te
draaien. Als dat niet het geval is moeten er voortdurende krachten op
uitgeoefend worden om het in de gevraagde positie te houden. Wanneer er enige
elasticiteit is in de bevestiging zal dat aanleiding geven tot trillen of slingeren.
Bij een niet uitgebalanceerd wiel valt de hoofdtraagheidsas van het wiel niet
samen met de rotatie-as. Door kleine gewichtjes toe te voegen kan men beide
wel doen samenvallen en verdwijnt het trillen.
Bemerk dat de theorie van de ééndimensionele rotatie niets kan zeggen over dit
trillen. Bij die theorie kijkt men immers alleen naar de componenten van de
verschillende grootheden volgens de rotatie-as. Die theorie zegt niets over wat in
de 2 andere dimensies gebeurt.
[]
Hoofdtraagheidsassen
Hierboven werd de meest algemene vorm van de traagheidstensor gegeven met
de formules voor de diagonaalelementen.
De nevendiagonaalelementen worden traagheidsproducten genoemd en
worden berekend als:
of als
Deze tensor is een symmetrische matrix, d.i. Ixy = Iyx.
Men kan deze matrix visualiseren en dan bekomt men een ellipsoïde, d.i. het
volume dat men bekomt door een ellips rond een hoofdas te laten draaien. Het
lijkt dus een beetje op een rugbybal. Een ellipsoïde heeft 3 symmetrievlakken die
loodrecht op elkaar staan. De snijlijnen van deze vlakken vormen 3 symmetrieassen. Als men deze assen gebruikt om de traagheidstensor te bepalen, bekomt
men altijd de eenvoudige diagonaalvorm. Een traagheidstensor kan men dus
altijd herleiden tot een diagonaalvorm mits een gepast assenkruis te kiezen.
Wanneer een voorwerp zelf symmetrie-elementen bevat, dan kan men op basis
daarvan een hoofdtraagheidsassenkruis vinden. De regels hiervoor zijn:
143
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
- elke symmetrie-as is een hoofdtraagheidsas, waar men ook de oorsprong kiest
op die as;
- een as loodrecht op een symmetrievlak is een hoofdtraagheidsas als de
oorsprong in het symmetrievlak ligt.
Om een assenkruis te gebruiken voor berekeningen volgens bovenstaande
formules, moet de oorsprong van het assenkruis echter in het massacentrum
vallen of in een stilstaand punt.
Men kan dit illustreren m.b.v. een homogene rechthoekige balk. Zulk een balk
heeft drie symmetrievlakken, die 3 symmetrie-assen bepalen. Deze snijden
elkaar in het massacentrum. Deze symmetrie-assen kan men dus gebruiken als
hoofdtraagheidsassen (eerste figuur). Wanneer men de oorsprong van het
assenkruis horizontaal verplaatst naar A, dan blijft het een
hoofdtraagheidsassenkruis: de y-as is een symmetrie-as, de x- en z-assen staan
loodrecht op een symmetrievlak en de oorsprong ervan ligt in het symmetrievlak
(figuur 2). Echter voor de berekeningen is alleen het punt A bruikbaar want alleen
dat is een stilstaand punt.
Wat gebeurt er als men het onderste hoekpunt als oorsprong neemt? Dat is een
stilstaand punt, maar dan heeft men geen hoofdtraagheidsassenkruis meer.
Alleen de x-as is nog een hoofdtraagheidsas. De traagheidsproducten Iyz = Izy
zullen verschillen van 0. Men kan ze berekenen als (met h=hoogte, b=breedte en
d=dikte van de balk):
De impulsmomentvector L wordt dan:
Deze impulsmomentvector heeft dus een y-component en zal dus ronddraaien
met de balk.
Izz t.o.v. het hoekpunt werd hierbij afgeleid uit Izz t.o.v. het massacentrum m.b.v.
de formule van Steiner (zie eendimensionele rotatie). T.o.v. het massacentrum:
144
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
T.o.v. het hoekpunt:
Er is nog een andere manier om L te berekenen. Volgens de
verplaatsingsformule moet L in het onderste hoekpunt gelijk zijn aan de L
berekend in het massacentrum vermeerderd met het moment van de impuls van
het massacentrum t.o.v. dat hoekpunt. In formules:
Met een totaal andere aanpak bekomt men precies hetzelfde als het vorige, zoals
het hoort.
[]
Het rechterlid: de afgeleide van L
Opdat de traagheidstensor onafhankelijk zou zijn van de tijd (tenminste bij
onvervormbare voorwerpen), heeft men een assenkruis gebruikt vast verbonden
aan het voorwerp. Als men de afgeleiden van de impulsmomentvector L berekent
door differentiëren van de componenten in dat assenkruis, heeft men alleen de
verandering van L binnen dat assenkruis. Men noemt dit de relatieve
verandering. Om de absolute verandering te hebben, d.i. zoals iemand die ziet
die buiten het assenkruis staat, moet men nog rekening houden met het feit dat
de impulsmomentvector mee rond draait met het assenkruis, meegesleept wordt
met de beweging van het assenkruis. Als een vector ronddraait beschrijft zijn
eindpunt een cirkel. Bij een vlak systeem wordt de snelheid van een punt op een
cirkel gegeven als r.ω . In 3 dimensies moet men een vectorieel product
gebruiken:
. Dit levert als uiteindelijke formule:
De tweede term in deze formule kan men de sleepverandering noemen.
Bij de voorbeelden die tot nu toe gezien werden zijn de projecties van L in het
bewegend assenkruis constant. De eerste term, de relatieve verandering is dus
telken 0. De sleepverandering wordt voor het 2e voorbeeld:
145
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Daar Ixx groter is dan Iyy ligt dat resultaat volgens de negatieve z-as. De punt van
L beweegt op het getekende ogenblik inderdaad naar achter.
Er is één uitzondering op de regel dat het assenkruis meedraait met het
voorwerp. Wanneer men een rotatiesymmetrisch voorwerp heeft, zoals het wiel in
het 1ste voorbeeld, en dat voorwerp draait rond die symmetrie-as, dan zal men
het assenkruis deze laatste rotatie NIET laten volgen. Het is duidelijk dat de
traagheidsmomenten volgens de x- en z-as niet veranderen als het wiel draait.
De massaverdeling t.o.v. die assen blijft dezelfde. Men bekomt dus reeds een
constante traagheidstensor door het assenkruis alleen ω 2 te laten volgen. De
impulsmoment vector is:
Ook hier is de relatieve verandering 0 (de componenten zijn constant). De
sleepverandering is:
En dat is een resultaat volgens de positieve x-as, zoals uit de figuur verwacht
wordt.
Nota 1. Als men het assenkruis toch volledig zou laten meedraaien met het wiel,
dan moet men wel bedenken dat enige ogenblikken na de getekende stand, de zas niet meer verticaal omhoog en de x-as niet meer horizontaal zouden zijn.
Beide zouden iets linksom gedraaid zijn. De vector ω 2 blijft echter wel verticaal
naar beneden gericht. Binnen het (bewegend) assenkruis moet men die dan
beschrijven als een vector die met hoksnelheid ω 1 rond draait in het xz-vlak,
maar in tegengestelde zin van ω1. Het is als met iemand in de trein die de indruk
heeft dat het station weg rijdt i.p.v. zijn trein. Dan zouden er wel afgeleiden zijn
van ω2 en dus een relatieve verandering van L. Deze termen zouden echter
wegvallen tegen even grote maar tegengestelde termen in de sleepverandering.
Het is dan natuurlijk efficiënter en veiliger om een aanpak te volgen waarbij deze
termen nooit berekend worden. Dat gebeurt door het assenkruis niet te laten
meedraaien met ω1.
Nota 2. De rotatie rond de symmetrie-as, hier ω1, noemt men de
spilomwenteling (in het Engels : spin). In de literatuur wordt het verschil tussen
146
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
de hoeksnelheid van een assenkruis dat volledig vast is aan het voorwerp of een
assenkruis dat de spilomwenteling niet volgt, aangegeven door met een kleine ω
of een grote Ω te werken. De hier gevolgde formulering met een ω assenkruis voor de
sleepverandering dekt beide gevallen en is zelfverklarend.
[]
Kinetische energie - Behoud van impulsmoment
[]
Kinetische energie
Wanneer de traagheidstensor gediagonaliseerd is, is de kinetische energie van
rotatie gegeven door:
In het algemeen geldt: Ekin = ωT.I.ω/2
Voor een vrij bewegend voorwerp zal men opnieuw beroep moeten doen op de
(2e) stelling van König (zie eendimensionele rotatie):
Ekin = kinetische energie van de translatie van het massacentrum + kinetische
energie van rotatie rond een as door het massacentrum.
[]
Behoud van impulsmoment
Wanneer er geen uitwendige momenten op een voowerp werken, dan kan het
impulsmoment van dat voorwerp zich niet wijzigen (basisformule!). Er geldt dan
een behoud van impulsmoment. De basisformule is echter een vectoriële wet en
dan kunnen er soms geen uitwendige momenten zijn t.o.v. één bepaald richting.
Dan geldt er een behoud van het impulsmoment t.o.v. die richting (of: van de
projectie van het impulsmoment op die richting).
In de dagelijkse werkelijkheid ondervinden alle voorwerpen een
aantrekkingskracht van de aarde. Verticale krachten hebben echter geen
moment t.o.v. een verticale as. Er bestaat dan ook een vrij spectaculaire proef
i.v.m. het behoud van impulsmoment in verticale richting. De proef is ook in
verschillende "exploratoria" aanwezig.
De proef gebruikt een persoon die plaats neemt op een stoel (of plateau) die
gemakkelijk kan draaien rond een verticale as (een geperfectionneerde
bureaustoel). Men geeft aan de persoon een wiel, met een as met 2 stevige
handvatten. Soms wordt een fietswiel gebruikt waarvan de velg met lood gevuld
is om een groter traagheidsmoment te bekomen. De persoon houdt de as eerst
horizontaal en men brengt het wiel vrij snel aan het draaien. Dan vraagt men de
persoon om de as verticaal te brengen. Tot zijn grote verbazing zal hij in
tegenstelde zin van het wiel beginnen draaien. Brengt hij de as weer horizontaal
147
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
dan stopt hij. Draait hij de as in de ander richting naar de verticale stand, dan
draait hij in de andere richting.
Verklaring
De enige uitwendige krachten die op de persoon en het wiel werken zijn
aantrekkingskrachten van de aarde. Dat zijn verticale krachten en ze hebben dus
geen moment t.o.v. de verticale as van de stoel. Ze kunnen m.a.w. geen rotatie
rond de as op gang brengen of die rotatie op enige manier beïnvloeden. Bij het
begin van de proef is het impulsmoment volgens een verticale gelijk 0: de
persoon draait niet en het wiel heeft een horizontaal impulsmoment. De som van
het impulsmoment van de persoon en de verticale component van het
impulsmoment van het wiel, berekend t.o.v. de as van de stoel, moet dus steeds
0 blijven. Daarom gaat de persoon, met het wiel in de handen, in
tegenovergestelde richting van het wiel beginnen draaien. Een kort Quicktime
filmpje over deze proef kan men vinden op Behoud van Impulsmoment
Het mechanisme hierachter is vrij eenvoudig. Uit het gedeelte over het
gyroscopisch effect weten we dat er een verticaal moment moet uitgeoefend
worden op het wiel om de as ervan rond een horizontale as te laten kantelen. De
persoon ondervindt de reactie van het moment dat hij op het wiel uitoefent en
begint daaardoor zelf te draaien.
Om te berekenen hoe snel de man zal draaien, heeft men het impulsmoment van
het fietswiel t.o.v. de as van de stoel nodig. Hiervoor moet men beroep deon op
de formule dat voor een vrij bewegend voorwerp geldt:
met
= baanimpulsmoment, d.i. impulsmoment van het massacentrum, waaraan
men de totale massa van het voorwerp toekent;
= impulsmoment t.o.v. een as door het massacentrum (S van "spin").
Zij hier:
Iw : traagheidsmoment van het wiel t.o.v. zijn as
ωw : hoeksnelheid van het wiel
mw : totale massa van het wiel
Im : traagheidsmoment van man+stoel t.o.v. de as van de stoel
ωm : hoeksnelheid van man+stoel
d = afstand tussen as van het wiel (in verticale stand) en as van de stoel
148
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
De snelheid van met massacentrum is natuurlijk d.ωm .
Als de man de as van het fietswiel verticaal heeft moet dus gelden, na projectie
op de verticale:
149
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Fysica/Dynamica
< Fysica
Inhoud
[verbergen]
1 Wetten van Newton
1.1 Traagheidswet
1.2 F = m.a
1.3 Wet van actie - reactie
2 Wrijvingskrachten
2.1 De normaalkracht
2.2 Wrijving
3 Algemene gravitatiewet
4 Wetten van Kepler
[]
Wetten van Newton
Isaac Newton
De Engelse natuurkundige Isaac Newton, die van 1642 tot 1727 leefde, ontdekte
drie basiswetten van de mechanica.
[]
Traagheidswet
Traagheid
Een voorwerp waarop de resulterende kracht nul is, zal in rust blijven als
150
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
het in rust was, en zal met dezelfde snelheid blijven bewegen als het aan
het bewegen was.
Dit betekent dus dat de snelheid van een voorwerp niet zal veranderen indien er
op dit voorwerp geen kracht inwerkt.
Dit betekent dat als een voorwerp stilstaat of beweegt met een constante
snelheid de netto kracht in elke richting gelijk moet zijn aan nul:
ΣF = ΣFx = ΣFy = 0
Bij een constante snelheid (dus ook bij rust), is de som van alle krachten gelijk
aan nul. Dit geldt in alle richtingen. Als de som van de krachten niet gelijk is aan
nul, dan zal het voorwerp versnellen of vertragen.
Opgaven:
Hoe komt het dat een fietser die op een vlak wegdek rijdt, en stopt met trappen, na een tijd tot
stilstand komt?
Waarom mag je nooit een zwaar voorwerp op de hoedenplank leggen in de auto?
Hoe komt het dat je wordt meegesleurd als je uit een rijdende auto springt?
Verklaar de werking van een airbag.
[]
F = m.a
Indien we wel een resulterende kracht laten inwerken op een voorwerp, dan zal
dit voorwerp gaan versnellen. De versnelling hangt af van de traagheid van het
voorwerp (of de weerstand van het voorwerp tegen verandering van beweging).
De traagheid van een voorwerp hangt af van zijn massa. Newton ondekte de
volgende verbazend simpele formule, waarmee je kunt uitrekenen hoeveel het
voorwerp versneld wordt:
F = m.a
Een voorwerp met massa m waarop een kracht F werkt, ondergaat een
versnelling a volgens de vergelijking: F = m . a
Formule:
151
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Hierin is:
F: de kracht op het voorwerp (N)
m: de massa van het voorwerp (kg)
a: de versnelling van het voorwerp (m/s2)
De tweede wet van Newton: Applet van Walter Fendt die een proef simuleert waarmee de tweede wet
van Newton kan worden aangetoond.
[]
Wet van actie - reactie
Indien je met al je kracht en duimspijker in de muur drukt, dan zal er een afdruk
van de duimspijker in je vinger staan. Jij oefent een kracht uit op de duimspijker,
maar de duimspijker oefent een even grote kracht uit op jouw vinger. Bij het
uitoefenen van krachten is er altijd een interactie tussen sytemen: Het systeem
dat de kracht uitgeoefend en het systeem waarop de kracht wordt uitgeoefend.
Newton ontdekte dat het onmogelijk is om een voorwerp een kracht uit te
oefenen, zonder dat het voorwerp een even grote kracht op jou uitoefent.
Actie - reactie
Als een voorwerp een kracht F op een ander voorwerp uitoefent, gaat
deze kracht gepaard met een even grote, maar tegengestelde kracht -F
van het tweede op het eerste voorwerp. Deze wet wordt vaak samengevat
als: actie = reactie (maar met tegengestelde zin).
Opgaven:
Waarom kan je een zeilboot niet vooruit te duwen door tegen de mast te duwen?
Een raket in de ruimte heeft 100 MJ energie nodig om te versnellen van 0 tot 100 m/s. Hoeveel
152
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
energie heeft een zelfde raket nodig om af te remmen van 100 tot 0 m/s?
Als een auto ergens tegenaan botst, staat hij bijna ogenblikkelijk stil. De remweg
bij een botsing is heel kort. De absolute waarde van de versnelling a is dus ook
zeer groot. Omdat |a| zeer groot is, is ook |F| zeer groot. Dat geldt ook voor de
krachten die op iedereen die in de auto zit, werken.
De krachten op de inzittenden moeten uiteraard zo klein mogelijk blijven. Daarom
wordt ervoor gezorgd, dat de remweg voor de mensen zo lang mogelijk is:
Auto's hebben een kreukelzone: Ze worden zo gebouwd, dat bij een botsing de
complete voorkant in elkaar plooit.
Als een auto botst rekken de gordels een eindje uit.
[]
Wrijvingskrachten
[]
De normaalkracht
Als de resulterende kracht op een voorwerp niet gelijk is aan nul, dan zal een
voorwerp versnellen of vertragen. Dit is de traagheidswet van Newton. Als we op
een stoel zitten, dan is er een kracht van ons lichaam op de stoel. Toch gaat de
stoel niet versnellen. Er moet dus een kracht zijn die ons op onze plaats houdt.
Dit is de normaalkracht. De normaalkracht staat altijd loodrecht op het oppervlak
waarmee het voorwerp in contact is. Bij een voorwerp dat zich op een helling
bevindt, zal de normaalkracht dus niet vertikaal zijn, maar loodrecht op de helling.
[]
Wrijving
Als twee oppervlakken ten opzichte van elkaar bewegen, en elkaar raken, dan
zal er een weerstand zijn tegen deze beweging. Deze weerstand noemen we
wrijving. Omwille van wrijving is het moeilijk de eerste wet van Newton te
geloven: Een voorwerp waarop de resulterende kracht nul is, zal in rust blijven
als het in rust was, en zal met dezelfde snelheid blijven bewegen als het aan het
bewegen was. Wrijving wordt voorgesteld door een kracht: de wrijvingskracht. De
wrijvingskracht is altijd tegengesteld gericht aan de verplaatsingsrichting.
153
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Bijvoorbeeld, als een stoel naar rechts wordt geschoven oefent de vloer op de
stoel een kracht naar links uit. De wrijvingskracht kan men berekenen met de
volgende formule:
Fw = μFn
Hierin is:
Fw: wrijvingskracht (N)
µ: wrijvingsfactor
Fn: normaalkracht (N)
De wrijvingsfactor is een getal dat de mate van wrijving tussen twee lichamen
aangeeft. De wrijvingsfactor hangt af van de gebruikte materialen. Bijvoorbeeld,
ijs op metaal heeft een zeer lage wrijvingsfactor (ze glijden gemakkelijk over
elkaar heen; daarom kan een schaatser zo hard gaan). Rubber op steen,
daarentegen, heeft een hoge wrijvingsfactor (rubber schoenen op stoeptegels
glijden niet gemakkelijk). De grootte van het contactoppervlak is niet van invloed
op de wrijvingskracht, mits de totale kracht loodrecht op het oppervlak gelijk blijft.
De wrijvingscoëfficiënt moet experimenteel (door metingen) bepaald worden, hij
kan niet worden berekend.
De energie die verloren gaat omwille van de wrijving wordt omgezet in warmte.
Enkele oude methoden om vuur te maken, zijn gebaseerd op de hitte die door
wrijving ontstaat, bijvoorbeeld door een stokje snel rond te draaien in een licht
ontbrandbare stof.
Hieronder vind je enkele wrijvingscoëfficiënten. De indien je vertrekt vanuit rust,
moet je de statische wrijvingscoëfficiënt gebruiken. Indien de twee voorwerpen
ten opzichte van elkaar bewegen, moet je de dynamische wrijvingscoëfficiënt
gebruiken. De dynamische wrijvingscoëfficiënt is altijd kleiner dan de statische
wrijvingscoëfficiënt.
Materiaal
Dynamisch Statisch
Rubber op beton (droog) 0.68
0.90
154
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Rubber op beton (nat)
0.58
Rubber op asfalt (droog) 0.67
0.85
Rubber op asfalt (nat)
0.53
Rubber op ijs
0.15
Gewaxte ski op sneeuw
0.05
0.14
Hout op hout
0.30
0.42
Staal op staal
0.57
0.74
Koper op staal
0.36
0.53
Teflon op teflon
0.04
Als het rempedaal van een auto wordt ingetrapt, wordt de beweging van de auto
vertraagd. Er ontstaat een wrijvingskracht tussen de rubberen banden van de
auto en het asfalt. Zolang de auto niet begint te slippen bereken je deze
wrijvingskracht met behulp van de statische wrijvingscoëfficiënt (0,85). Als de
wagen eenmaal aan het slippen is, moet je de dynamische wrijvingscoëfficiënt
(0,67) gebruiken. Een wagen die aan het slippen is, zal minder snel tot stilstand
komen dan een wagen die op een goede manier remt zonder te slippen.
Hellend vlak: Applet van Walter Fendt die toont welke krachten inwerken op een voorwerp dat op een
hellend vlak naar boven wordt getrokken.
[]
Algemene gravitatiewet
Twee voorwerpen ondervinden van elkaar een aantrekkende kracht; zijn de
respectievelijke massa's m1 en m2 dan ondervinden beide een aantrekkende
155
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
kracht, zwaartekracht of gravitatiekracht geheten, in de richting van het andere
object ter grootte van
Hierin is:
-11
2
2
G: de gravitatieconstante (6,67·10 Nm /kg )
r: de afstand tussen de beide objecten (m)
De gravitatiekracht is altijd een aantrekkingskracht. De werklijn van de kracht is
de lijn die de zwaartepunten van de twee voorwerpen verbindt. Men kan zich
afvragen, indien men twee knikkers op een plaat legt, waarom trekken deze
elkaar niet aan? Volgens de algemene gravitatiewet oefenen deze namelijk een
kracht op elkaar uit, en dat is ook zo, maar door het feit dat de
gravitatieconstante vreselijk klein is, en de massa van twee knikkers in het niets
vervaagt, zijn deze krachten quasi te verwaarlozen.
Naam
Diameter Afstand tot de zon
(km)
(km)
Zon
1.392.000
0 1,989×1030
4879
57.910.000 3,302×1023
Venus
12.104
108.208.930 4,856×1024
Aarde
12.756
149.597.870 5,9742×1024
6794
227.936.640 6,419×1023
Jupiter
142.984
778.412.010 1,899×1027
Saturnus
120.536
1.426.725 400 5,685×1025
51.118
2.870.972.200 8,683×1025
Mercurius
Mars
Uranus
Massa
(kg)
156
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Neptunus
49.572
4.498.252.900 1,0243×1026
Opgaven:
Twee vrachtwagens van 10 ton staan op 20 m van elkaar. Bereken de aantrekkingskracht tussen
deze twee vrachtwagens.
Bereken de aantrekkingskracht tussen de aarde en de maan.
oplossingen
[]
Wetten van Kepler
De wetten van Kepler zijn drie wetten, opgesteld door Johannes Kepler, die de
bewegingen van de planeten beschrijven.
Eerste wet
Alle planeten bewegen zich rond de zon in elliptische banen, waarbij de
zon zich in één van de brandpunten van de ellips bevindt.
Tweede wet
De snelheid van een planeet in haar omloopbaan verandert zodanig dat in
gelijke tijdsintervallen de oppervlakte, bestreken door de rechte lijn tussen
de zon en de planeet, gelijk is.
157
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Als de twee grijsgekleurde vlakken even groot zijn, dan kost het dus even veel
tijd voor de planeet om van A naar B te gaan, als om van C naar D te gaan.
De tweede wet van Kepler: Applet van Walter Fendt waarin de perkenwet wordt gesimuleerd voor de
verschillende planeten.
Derde wet
Het kwadraat van de omlooptijd (P) van een planeet is evenredig met de
derde macht van haar gemiddelde afstand (a) tot de zon.
Isaac Newton toonde later aan dat de wetten van Kepler verklaard konden
worden door zijn gravitatietheorie.
158
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Fysica/Trillingen
< Fysica
Inhoud
[verbergen]
1 Trillingen
1.1 Harmonische trilling

1.1.1 bewegingsvergelijking
1.2 De veer
1.3 De slinger

1.3.1 grafische voorstelling van trillingen
1.4 Resonantie
[]
Trillingen
Een trilling is een periodiek herhaalde beweging. Dit wil zeggen dat eenzelfde
beweging zich op dezelfde manier en op vaste tijdsstippen herhaalt. Een trilling
wordt vaak veroorzaakt door de verstoring van een stabiele evenwichtsituatie.
Enkele voorbeelden van een trillend systeem:
Een massa op een veer die in beweging is gebracht
Een slinger in een klok
Geluid als trilling van de lucht.
Er bestaan 3 soorten trillingen:
de vrije trilling: trilling die niet ondergevig is aan energieverliezen
de gedempte trilling: trilling waar er energie verloren gaaat waardoor het systeem
terukeert naar zijn evenwichtstoestand
de gedwongen trilling: trilling waarbij je continu een continue uitwendige kracht
geeft die de engergieverliezen compenseert
De vaste tijdsduur tussen twee herhalingen heet de periode T van de trilling en
het aantal trillingen in een tijdseenheid de frequentie f. Tussen beide bestaat de
vanzelfsprekende relatie:
159
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Hierin is:
T: De periode of de tijd nodig om één volledige trilling uit te voeren (s)
f: de frequentie of het aantal trillingen uitgevoerd per seconde (Hz)
amplitude (A): De grootte van de uitwijking (m)
pulsatie (ω): De snelheid waarmee de trilling wordt uitgevoerd (rad/s)
Opgaven:
De periode van een geluid bedraagt 0,01 seconde. Bereken de frequentie.
[]
Harmonische trilling
De eenvoudigste trilling is de harmonische trilling.
[] bewegingsvergelijking
De verplaatsing die hoort bij deze trilling, gezien in de tijd, heeft de vorm van een
sinus. De verplaatsing van deze trilling x wordt geschreven als:
Hierin is:
A: de amplitude van de trilling (m)
ω: de hoekfrequentie van de trilling (rad/s)
t: de tijd (s)
Bij deze formule is de tijdsschaal zo gekozen, dat de verplaatsing bij t=0, gelijk is
aan 0.
Een trillende voorwerp heeft naast een verplaatsing ook een snelheid en een
versnelling die in de tijd variëren.
Omdat de snelheid v de afgeleide is van de plaats naar de tijd, geldt voor de
snelheid:
160
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
De versnelling a is de afgeleide van de snelheid:
Zoals je ziet lijkt de vorm van de snelheid en de versnelling sterk op die van de
verplaatsing. Ze bezitten ook dezelfde frequentie. De verplaatsing en de
versnelling zijn met elkaar in tegenfase (dat wil zeggen dat als de versnelling
positief is, de verplaatsing negatief is en omgekeerd. De snelheid en de
verplaatsing zijn 90 graden uit fase. De snelheid bereikt zijn maximum als de
verplaatsing nul is.
Dit is te aanschouwelijk te maken aan de trillingsbeweging van een slinger, zoals
een schommel. De snelheid van de schommel is maximaal als de schommel door
de middenpositie gaat (de uitwijking is daar nul). De snelheid is echter gelijk aan
nul als de schommel in een uiteinde staat (de uitwijking is daar maximaal). Op
dat punt keert de snelheid ook van teken om (de grafiek van de snelheid gaat
door nul).
[]
De veer
Een massa hangt aan een veer en wordt in beweging gebracht. Uit de tweede
wet van Newton kunnen we nu afleiden dat de versnelling van de veer gegeven
wordt door:
Een vergelijking van dit type is een differentiaalvergelijking.
Differentiaalvergelijkingen zijn moeilijk op te lossen, omdat er geen eenduidige
manier bestaat om deze vergelijkingen op te lossen.
Er bestaan manieren om differentiaalvergelijkingen als deze op te lossen. Bij dit
probleem zullen we onze kennis van het systeem (een massa aan een veer)
gebruiken om de oplossing te vinden zonder de differentiaalvergelijking te
moeten oplossen.
We weten dat de massa heen en weer beweegt met een periode die
onafhankelijk is van de amplitude van het systeem. Een functie die voldoet aan
161
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
deze eisen is de sinusfunctie. We vervangen x in onze differentiaal vergelijking
door de functie
met ω een constante.
Indien we de functie in de differentiaalvergelijking invullen vinden we
Merk op dat de sinusfunctie wegvalt. We houden ω 2=k/m over.
ω is de hoeksnelheid van het trillend systeem. Uit ω kunnen we de periode
afleiden:
De periode hangt niet af van de amplitude A.
Trillende veer: Deze Java applet van Walter Fendt laat de verandering zien in uitwijking, snelheid,
versnelling, kracht en energie van een trillende veer.
[]
De slinger
Een slinger bestaat uit een massa aan het uiteinde van een staaf, die aan de
bovenzijde draaiend is opgehangen. Een slinger werkt alleen in een
zwaartekrachtsveld. Als de massa opzij getrokken wordt en daarna losgelaten,
zal de massa heen en weer bewegen onder de invloed van de zwaartekracht.
Voor een slinger met een puntmassa aan het einde van een massaloze staaf met
een lengte l wordt de hoek θ gedefinieerd als de hoek tussen de staaf en de
vertikaal. De versnelling van de massa wordt dan gegeven door
. g is
hierin de versnelling door de zwaartekracht en is gelijk aan de hoekversnelling
vermenigvuldigd met de lengte van de staaf. Hieruit volgt de volgende
differentiaalvergelijking:
Als de amplitude klein is, geldt
162
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
.
Als de slinger op tijdstip 0 onder de hoek θ0 staat, die ook gelijk is aan de
maximale hoek, voldoet de volgende functie aan de differentiaal vergelijking:
Dit is de formule voor een eenvoudige harmonische beweging, waarin de factor
gelijk is aan
waarin T0 de periode van een volledige oscillatie is (heen en terug). Omdat geldt
wordt de periode van een volledige trilling eenvoudig gevonden. Dit is de Wet van
Huygens:
Hieruit blijkt dus dat de trillingtijd van een slinger op zeeniveau alleen afhangt van
de lengte. Met een slinger kan men dus ook kleine afwijkingen van g bepalen.
Hieruit blijkt ook dat een slinger met dezelfde lengte op de maan, waar de
zwaartekracht kleiner is, langzamer zal slingeren dan op aarde.
Dit effect heeft Vening Meinesz gebruikt om de vorm van de aarde te meten
tijdens zijn beroemde reizen met de marine.
Slinger: Deze Java applet van Walter Fendt laat de verandering zien in uitwijking, snelheid,
versnelling, kracht en energie van een slinger.
[] grafische voorstelling van trillingen
[]
Resonantie
Resonantie: Applet van Walter Fendt waarin het resonantieverschijnsel wordt zichtbaar gemaakt
m.b.v. een veer.
163
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Fysica/Golven
< Fysica
Inhoud
[verbergen]
1 Golven
1.1 Longitudinale en transversale golven
1.2 Lopende golven
1.3 Ontstaan
1.4 bewegingsvergelijking van een eendimensionale golf
1.5 energie van een golf
1.6 eigenschappen van golven

1.6.1 terugkaatsing

1.6.2 buiging

1.6.3 interferentie

1.6.4 breking

1.6.5 Het dopplereffect
1.7 Lichtgolven
[]

1.7.1 Interferentie

1.7.2 Buiging

1.7.3 Polarisatie

1.7.4 Staande golven
Golven
In de natuur vind je verschillende soorten golven terug:
Geluidsgolven
Golven van de zee
Golf in een touw
Lichtgolven
Sommige golven hebben een medium nodig om zich voort te planten:
watergolven planten zich voort in water, geluidsgolven planten zich voort in lucht
(of een ander medium),...
Licht is ook een soort golf. Het is een elektromagnetische golf. De golflengte
bepaalt de kleur van het licht.
164
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Spectrum van zichtbaar licht van 400 tot 700 nanometer
Licht is maar een deel van het spectrum van elektromagnetische golven. Tot dit
spectrum behoren in volgorde radiogolven, microgolven, infraroodgolven,
zichtbaar licht, ultraviolet, röntgenstraling en gammastraling.
Infraroodfoto van een hond
Het bijzondere van elektromagnetische golven is dat er geen medium nodig is
waarin de golven zich voortplanten. In tegenstelling tot geluid bijvoorbeeld, dat
zich niet in een vacuüm kan voortplanten, kan licht zich prima door een verder
totaal lege ruimte voortbewegen. Elektromagnetische golven planten zich in het
luchtledige voort met een snelheid van 299 792 458 m/s.
[]
Longitudinale en transversale golven
transversale golven: De richting waarin de golf uitwijkt staat loodrecht op de
voortplantingsrichting
longitudinale golven: De richting waarin de golf uitwijkt is dezelfde als de
voortplantingsrichting
Elektromagnetische golven gedragen zich als transversale golven.
Opgaven:
165
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Wat is het verschil tussen transversale en longitudinale golven.
Oplossingen
[]
Lopende golven
De golflengte is de afstand tussen twee toppen van een golf. Er is een directe
relatie tussen golflengte en frequentie:
Hierin is:
λ: de golflengte (m)
v: de voortplantingsnelheid van de golf (m/s)
f: de frequentie van het golfverschijnsel (Hz)
[]
Ontstaan
[] bewegingsvergelijking van een eendimensionale golf
Hierin is:
y(t,x): de uitslag op tijdstip t en afgelegde weg x
166
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
A: de amplitude (m)
ω: de pulsatie of hoeksnelheid (rad/s)
t: de tijd (s)
k: het golfgetal
x: de afgelegde weg (m)
Opgaven:
Een transversale golf heeft een voortplantingssnelheid van 30 m/s en een frequentie van 1,2 Hz.
Bereken de golflengte van deze golf.
Oplossingen
Zwevingen: Deze applet van Walter Fendt laat zien hoe zwevingen ontstaan.
[]
energie van een golf
Opgaven:
Een luidspreker heeft een geluidsvermogen van 30 W. Bereken het geluidsniveau op 1 m afstand.
Hoe groot is het geluidsniveau op 5 m afstand ?
Een toeter maakt een geluidsniveau van 50 dB. Bereken het geluidsniveau van 4 toeters.
Oplossingen
[]
eigenschappen van golven
[] terugkaatsing
[] buiging
[] interferentie
167
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Interferentie van twee golven: Deze applet van Walter Fendt toont de interferentie van twee golven.
[] breking
[] Het dopplereffect
Straaljager die door de geluidsmuur vliegt
Het dopplereffect is een verschijnsel dat optreedt wanneer een waarnemer en
een trillingsbron zich ten opzichte van elkaar bewegen. Het effect bestaat erin
dat, afhankelijk van de bewegingsrichting, de waargenomen frequentie van de
golf hoger dan wel lager is dan de frequentie van de trillingsbron. Bij nadering
van waarnemer en bron lijken de trillingen elkaar sneller op te volgen dan de
frequentie van de bron, en is de waargenomen frequentie dus hoger dan de
bronfrequentie. Bij onderlinge verwijdering lijken ze elkaar langzamer op te
volgen en is de waargenomen frequentie lager. Het dopplereffect komt voor bij
alle soorten golven.
Het is belangrijk te beseffen dat de frequentie van de golf die de bron voortbrengt
niet verandert. Je kan dit proberen te begrijpen met volgende vergelijking. Stel
dat iemand elke seconde een bal naar jou gooit. De bal vliegt door de lucht met
een constante snelheid. Als de persoon die de ballen gooit stilstaat, zul jij elke
seconde een bal krijgen. Als de persoon echter naar je toe beweegt, zal je meer
dan één bal per seconde ontvangen, want de afstand tussen twee toekomende
ballen zal afnemen. Het tegenovergestelde is waar als de ballengooier van je
weg gaat.
Het is de golflengte die beïnvloed wordt als de bron naar je toe beweegt, als
gevolg daarvan wordt ook de waargenomen frequentie beïnvloed.
168
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Hierin is:
f: de waargenomen frequentie (Hz)
fo: de werkelijke frequentie van de bron (Hz)
v: de voortplantingsnelheid van de golf (m/s)
vbron: de snelheid van de bron t.o.v. de waarnemer (m/s)
Het dopplereffect vindt ook plaats wanneer een waarnemer zich beweegt ten
opzichte van een bron.
Hierin is:
f: de waargenomen frequentie (Hz)
fo: de werkelijke frequentie van de bron (Hz)
vwaarnemer: de snelheid van de waarnemer t.o.v. de bron (m/s)
v: de voortplantingsnelheid van de golf (m/s)
169
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Een voorbeeld van het dopplereffect: Applet van Walter Fendt waarin het Doppler effect wordt
uitgelegd met behulp van een rijdende ziekenwagen.
[]
Lichtgolven
[] Interferentie
[] Buiging
[] Polarisatie
Opgaven:
Een zeegolf verplaatst zich in 3 seconden over een afstand van 20 meter. De afstand tussen twee
opeenvolgende golftoppen is 4 meter. Bereken de frequentie waarmee een stilliggend bootje op
en neer beweegt.
De afstand tussen twee opeenvolgende golftoppen op zee is 7,5 m. De golftoppen leggen 12 m af
in 4 s. Wat is de frequentie waarmee een boei op en neer gaat in dit water?
Een man in de bergen roept en hoort na 4 seconden zijn echo terugkomen. Bereken de afstand
tussen man en de bergwand waarop de golf is weerkaatst.
Een luidspreker geeft een toon van 880 Hz. Bereken de golflengte van het geluid.
Oplossingen
[] Staande golven
Met een staande golf wordt bedoeld een golf waarbij de locaties van de knopen
(geen amplitude) en buiken (maximale amplitude) een vaste plek in de ruimte
hebben. Dit in tegenstelling tot een lopende golf.
170
www.toelatingsexamen-geneeskunde.be
Een staande golf kan ontstaan als een golf tegen twee vaste punten
gereflecteerd wordt. Een voorbeeld is een geluidsgolf in een gesloten pijp. Door
interferentie dooft op bepaalde punten de amplitude uit, op andere punten wordt
de amplitude versterkt.
Opgaven:
Twee synchrone luidsprekers staan 3 m uit elkaar en geven een toon van 440 Hz. Bereken de
afstand tussen twee naast elkaar liggende knopen.
Een radar zendt golven uit met een golflengte van 0,05 m. Deze golven worden teruggekaatst
door een voorwerp dat beweegt met een snelheid van 25 m/s naar de radar toe. Bereken het
frequentieverschil tussen de uitgezonden golven en teruggekaatste golven.
Oplossingen
Staande golven: Met deze applet van Walter Fendt wordt het ontstaan van staande golven duidelijk
gemaakt (engels).
Staande golven in een luchtkolom: Deze applet van Walter Fendt laat de harmonische trillingen van
een luchtkolom zien in een buis.
171