Speciale Relativiteitstheorie

Speciale Relativiteitstheorie
Prof. Dr J.J. Engelen
NIKHEF/Onderzoekinstituut HEF
met medewerking van
Drs. B. Mooij, Dr E. de Wolf, Drs. A. Heijboer
Inhoudsopgave
1 Inleiding
3
2 De Galileitransformatie
5
2.1
Coördinatenstelsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2
Plaats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3
Snelheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.4
Versnelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.5
Voorkeurstelsel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.6
Elektromagnetische golven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3 Lorentztransformatie
11
3.1
De Lorentztransformatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2
Bolvormige lichtgolf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3
Eenvoudige afleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3.1
pagina 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3.2
pagina 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3.3
pagina 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4
Notatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.5
Viervectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Consequenties van de Lorentztransformatie
4.1
19
Tijddilatatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
i
ii
INHOUDSOPGAVE
4.2
Lorentzcontractie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.3
Niet-relativistische limiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.4
Kosmische stralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.5
Tweelingparadox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.6
Minkowski-diagrammen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5 Optellen van snelheden
25
5.1
Volgens de Galileitransformatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.2
Volgens de Lorentztransformatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6 Lorentztransformatie van impuls en energie
6.1
29
Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.1.1
Elastische botsing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.1.2
Nieuwe definitie impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
6.1.3
Definitie relativistische impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
6.2
Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.3
De impuls-energie viervector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.4
Energie en massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
6.5
Massaloze deeltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7 Toepassingen
37
7.1
Kernfusie en Kernsplijting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
7.2
Annihilatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7.3
Paarcreatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.4
Het relativistische Doppler-effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7.5
Roodverschuiving en het uitdijende heelal
7.6
Deeltjesproductie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.6.1
Impuls en energie in het zwaartepuntssysteem . . . . . . . . . . . . 41
7.6.2
Impuls en energie in het labsysteem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
INHOUDSOPGAVE
7.6.3
Gemakkelijkere methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
8 Het elektromagnetische veld
8.1
1
45
Lorentztransformatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
A Aanvullende uitleg bij de afleiding van de Lorentztransformatie
i
B Verdere aanvullende uitleg bij de afleiding van de Lorentztransformatie iii
C Lorentztransformatie in willekeurige richting
D Doppler effect
v
vii
2
INHOUDSOPGAVE
Hoofdstuk 1
Inleiding
In 1905 publiceerde Albert Einstein zijn grensverleggende artikel Zur Elektrodynamik bewegter Körper - Over de elektrodynamica van bewegende lichamen. In de inleiding van dit
artikel geeft Einstein een voorbeeld van een ’asymmetrie’ in de wetten van elektriciteit en
magnetisme die hij onbevredigend vindt en die hij vervolgens opheldert.
Dit is het voorbeeld :
Een bewegende magneet geeft aanleiding tot een elektrisch veld in de buurt van de magneet. Indien zich in dit elektrische veld een geleider bevindt gaat er in die geleider een
stroom lopen. Omgekeerd: Is de magneet in rust en wordt de geleider door het magneetveld bewogen dan ontstaat er volgens de gangbare theorie geen elektrisch veld maar wél
een stroom in de geleider.
Intuı̈tief is het duidelijk, of in elk geval aantrekkelijk, dat alleen de relatieve beweging van
magneet en geleider bepalen hoe groot de stroom is die in de geleider opgewekt wordt.
Einstein zocht en vond de correcte manier om tegen dit probleem aan te kijken, maar niet
alleen tegen dìt probleem. Zich baserend op twee postulaten vond hij het correcte kader
voor de hele mechanica, de elektrodynamica en, zo is onze vaste overtuiging, voor welke
natuurkundige theorie dan ook, de meest moderne theorieën inbegrepen. Dit kader, de
speciale relativiteitstheorie, is het onderwerp van dit college. 1
1
Geı̈nspireerd door ’Classical Electrodynamics’, J.D.Jackson (John Wiley and Sons Inc.), 3rd ed., 1999
3
4
HOOFDSTUK 1. INLEIDING
Hoofdstuk 2
De Galileitransformatie
2.1
Coördinatenstelsel
Gebeurtenissen spelen zich af op zekere plaatsen en tijdstippen. Een plaats beschrijven
we t.o.v. een coördinatenstelsel en tijd meten we met een klok.
y
P(x, y, z)
r
O
x
z
Figuur 2.1: Driedimensionaal, orthogonaal coördinatenstelsel
In figuur.2.1 is een rechtshandig, orthogonaal, driedimensionaal coördinatenstelsel weergegeven. Een vector ~r wijst vanuit de oorsprong naar een punt waarvan de positie door drie
getallen, de coördinaten, x, y en z wordt aangegeven.
5
6
2.2
HOOFDSTUK 2. DE GALILEITRANSFORMATIE
Plaats
y
y’
v
S
O
S’
O’
x
x’
Figuur 2.2: Tweedimensionaal, orthogonaal coördinatenstelsel S 0 beweegt met constante
snelheid v t.o.v. coördinatenstelsel S
Indien we verschijnselen beschrijven die zich in een plat vlak afspelen is een tweedimensionaal coördinatenstelsel voldoende. In figuur.2.2 is een tweedimensionaal coördinatenstelsel
0
S getekend en een tweedimensionaal coördinatenstelsel S dat met constante snelheid v
beweegt t.o.v. S, in de x-richting. We vragen ons nu af hoe we coördinaten (van bijvoorbeeld de baan van een puntmassa) gemeten t.o.v. S kunnen uitdrukken in de coördinaten
0
(van het zelfde verschijnsel) gemeten t.o.v. S . Het antwoord kan gemakkelijk worden
verkregen:
y0 = y
(2.1)
x0 = x − vt
(2.2)
waar t de tijd voorstelt. (Als beginvoorwaarde hebben we gekozen dat op tijd t = 0 de
0
coördinatenstelsels S en S samenvallen.)
2.3
Snelheid
De snelheid in de x-richting is per definitie de afgeleide van de x-coördinaat naar de tijd:
Vx ≡
dx(t)
dt
0
Ten opzichte van S geldt:
0
0
Vx
dx
=
dt
2.4. VERSNELLING
7
en dus volgt
0
Vx = Vx − v
(2.3)
We hebben als vanzelfsprekend aangenomen dat
0
t
= t
0
d.w.z. we hebben aangenomen dat de tijd in S en S op identieke wijze verloopt. Het zal
in de loop van dit college blijken dat we deze ’vanzelfsprekendheid’ moeten herzien!
Formules 2.1 en 2.2 zijn overigens ook volstrekt voor de hand liggend (en zullen we later
óók moeten herzien!): als een fietser zich met snelheid Vx over een weg beweegt (stelsel
S) en een voetganger (stelsel S 0 ) zich met een snelheid v in dezelfde richting over die weg
0
beweegt, dan beweegt de fietser t.o.v. de voetganger met snelheid Vx = Vx − v. Gaan
0
fietser en voetganger even hard, d.w.z. Vx = v, dan is hun relatieve snelheid Vx = 0. Dít
resultaat zullen we niet hoeven te herzien!
2.4
Versnelling
De versnelling is per definitie de afgeleide van de snelheid naar de tijd :
ax ≡
dVx
dt
Omdat v constant is is nu gemakkelijk na te gaan dat:
0
ax = ax
(2.4)
0
Versnellingen, en dus krachten (F̄ = mā), zijn dus gelijk in S en S . Meer in het algemeen
0
blijkt dat de wetten van de mechanica er hetzelfde uitzien in S en S . Als we hier even over
nadenken is dit een heel bevredigend en gewenst resultaat. Het zou een onaantrekkelijk
idee zijn dat de natuurwetten zouden afhangen van de ’toevallige’ bewegingstoestand van
de natuurkundige die deze wetten opspoort.
Formules 2.1 en 2.2 staan bekend als de Galileitransformatie. Met behulp van deze formules kunnen we dus coördinaten gemeten in het ene coördinatenstelsel, transformeren naar
coördinaten in het andere coördinatenstelsel. Wiskundig gezien is deze transformatie heel
eenvoudig, maar natuurkundig gezien is de observatie dat de wetten van de mechanica
hun vorm behouden (’gelijk blijven’) van diepgaande betekenis. We zouden het als volgt
kunnen formuleren: natuurkundig gezien zijn alle coördinatenstelsels 1 equivalent. Of nog
anders: er is geen coördinatenstelsel dat onze voorkeur verdient. Laten we nu deze stelling
eens ter discussie stellen.
1
We beperken ons in dit college tot coördinatenstelsels die met constante snelheid ten opzichte van
elkaar bewegen.
8
2.5
HOOFDSTUK 2. DE GALILEITRANSFORMATIE
Voorkeurstelsel
Is er een coördinatenstelsel dat onze voorkeur verdient?
Golven, zoals geluidsgolven, bestaan dankzij een medium. Geluidsgolven zijn niets anders
dan een periodieke opeenvolging van verdikkingen en verdunningen van het medium lucht.
Voor golfverschijnselen blijkt er wel degelijk een coördinatenstelsel te bestaan dat onze
voorkeur verdient: het coördinatenstelsel ten opzichte waarvan het medium in rust is. Niet
alleen is de vergelijking die de plaats- en tijdsafhankelijkheid van de geluidsgolf (dus in feite
van de luchtdruk) beschrijft - de wiskundige formulering slaan we over- het eenvoudigst
in dit ’voorkeurs-coördinatenstelsel’, de vergelijking ziet er na een Galileitransformatie
wezenlijk anders uit.
Strikt genomen is er in dit specifieke voorbeeld nog steeds niets aan de hand, want de
mechanische wetten die op microscopische schaal geluidsgolven beschrijven voldoen nog
steeds aan de eerder genoemde Galilei-invariantie. Een ander golfverschijnsel liet zich niet
zo gemakkelijk verklaren.
2.6
Elektromagnetische golven
De theorie van elektromagnetische verschijnselen, waar in de inleiding van deze syllabus
reeds naar verwezen werd, zal in de verdere opleiding nog uitgebreid aan de orde komen.
De theorie is gebaseerd op de zogenaamde Maxwell-vergelijkingen die aan het eind van
de 19e eeuw reeds bekend waren. We gaan hier niet op de details in, maar vermelden
dat de Maxwell-vergelijkingen als oplossingen hebben: elektromagnetische golven die zich
voortplanten met een bepaalde snelheid c (die we alleen maar te weten kunnen komen
door te meten).
De eenvoudigste oplossing is een vlakke golf: wat zich als een golf voortbeweegt is een
elektrisch veld E en, loodrecht daarop, een magnetisch veld B:
E
voortplantingsrichting
(snelheid c)
B
Figuur 2.3: Elektromagnetische golf
Radiogolven, lichtgolven, Röntgenstralen zijn allemaal voorbeelden van elektromagnetische golven, allemaal gekarakteriseerd door dezelfde voortplantingssnelheid c (waarin
2.6. ELEKTROMAGNETISCHE GOLVEN
9
verschillen ze?). c is experimenteel bepaald :
c = 299792458 m/s
(ongeveer 300000 km/s = 3 · 108 m/s)
De vraag die de natuurkunde zich stelde in de periode vóór Einstein was: wat is het
medium waarin elektromagnetische golven, zoals lichtgolven, zich bewegen? Het ’natuurlijke’ coördinatenstelsel om elektromagnetische verschijnselen te beschrijven is dan het
coördinatenstelsel ten opzichte waarvan dit medium in rust is. Zoals Einstein zou laten
zien was dit de verkeerde vraag, zo’n medium (’de ether’) bestaat eenvoudigweg niet! We
komen er op terug.
10
HOOFDSTUK 2. DE GALILEITRANSFORMATIE
Hoofdstuk 3
Lorentztransformatie
De eerste laboratorium-metingen van de lichtsnelheid stammen uit 1849 en werden uitgevoerd door Fizeau. Ook toonde hij aan dat de lichtsnelheid in een snelstromende vloeistof,
zeg met snelheid v in de voortplantingsrichting van het licht, NIET toeneemt tot c + v
zoals op basis van de Galileitransformatie verwacht zou worden.
Beroemde experimenten van Michelson en Morley om de beweging van de aarde door een
stilstaande ether aan te tonen leverden een negatief resultaat op. De lichtsnelheid werd in
twee loodrecht op elkaar staande richtingen gemeten: indien de aarde door een stilstaande
ether beweegt zouden voor de snelheid van het licht in de twee richtingen verschillende
waarden gemeten moeten worden. Er werd geen verschil gevonden.
Einstein zette een rigoureuze stap. Hij was ervan overtuigd dat er een relativiteitsprincipe
moest bestaan dat zowel gold voor mechanica als voor elektromagnetisme, maar dat de
Galileitransformatie niet het antwoord was. Einsteins relativiteitstheorie is gebaseerd op
twee postulaten:
1. Het relativiteitsprincipe
De natuurwetten en de resultaten van alle experimenten uitgevoerd in een zeker
referentiestelsel zijn onafhankelijk van de translatiebeweging van het systeem. 1 In
0
de woorden van Einstein: als coördinatenstelsel S met constante snelheid rechtlijnig
beweegt t.o.v. coördinatenstelsel S dan verlopen natuurkundige verschijnselen t.o.v.
0
S volgens precies dezelfde natuurwetten als t.o.v. S.
2. Constantheid van de lichtsnelheid
De lichtsnelheid is eindig en onafhankelijk van de bewegingstoestand van de lichtbron. Het is de limietsnelheid voor natuurkundige objecten. (In dit tweede postulaat
wordt impliciet aangenomen dat de lichtsnelheid als fundamentele natuurconstante
1
We gebruiken de woorden referentiestelsel en coördinatenstelsel door elkaar. De hier bedoelde equivalente coördinatenstelsels worden ook wel inertiaalstelsels genoemd: dat zijn dus referentiestelsels waarin
dezelfde krachten werken, c.q. ’waarop’ geen krachten werken, cf 2.4
11
12
HOOFDSTUK 3. LORENTZTRANSFORMATIE
een universele rol speelt en niet alleen van belang is voor verschijnselen waar licht
bij betrokken is.)
3.1
De Lorentztransformatie
Het tweede postulaat is duidelijk in tegenspraak met de Galileitransformatie en het is
nu onze taak een transformatie te vinden (het eerste postulaat zegt in feite dat die er
moet zijn) die in overeenstemming is met het tweede postulaat. Deze transformatie is in
1905 door Einstein gevonden en is bekend geworden onder de naam Lorentztransformatie.
De afleiding ervan is wiskundig gezien zeer eenvoudig, maar vereist, zoals we zullen zien,
nogal wat hersengymnastiek.
3.2
Bolvormige lichtgolf
Een opmerkelijke consequentie van het tweede postulaat wordt geı̈llustreerd door het volgende gedachtenexperiment. Een persoon A bevindt zich in de oorsprong van coördinaten0
0
stelsel S en een persoon B in de oorsprong van S . S beweegt t.o.v. S in de positieve
0
x-richting met snelheid v. Op t = 0 valt de oorsprong van S samen met die van S , d.w.z.
vallen A en B samen. Op t = 0 ontsteekt A heel eventjes een lampje waardoor zich een
bolvormige lichtgolf gaat uitbreiden. A bevindt zich in het middelpunt van de bolvormige
golf. Een bol met straal R en de oorsprong van het coördinatenstelsel als middelpunt
wordt beschreven door de formule:
x2 + y 2 + z 2 = R2 (t)
Voor een lichtgolf die zich uitbreidt met snelheid c geldt na een tijd t: R = ct en dus:
x2 + y 2 + z 2 = c2 t2
x2 + y 2 + z 2 − c2 t2 = 0
(3.1)
Precies dezelfde redenering kunnen we echter volgen voor persoon B. Ook B denkt zich
in het midden van de bolvormige lichtgolf te bevinden, het tweede postulaat zegt immers
0
dat ook voor B het licht zich met snelheid c uitbreidt. Voor B, dus t.o.v. S , geldt nu
geheel in analogie met hierboven :
x02 + y 02 + z 02 = c2 t02
x02 + y 02 + z 02 − c2 t02 = 0
(3.2)
0
0
0
In ons specifieke voorbeeld (beweging in de x-richting) geldt x 6= x (y = y , z = z ) dus
0
moeten we wel concluderen t 6= t (Aftrekken van 3.1 en 3.2 levert x2 − x02 = c2 (t2 − t02 )
3.3. EENVOUDIGE AFLEIDING
13
ct
vt
B
A
A,B
t=0
tijd t, zoals A het ziet
ct’
vt’
A
B
tijd t’, zoals B het ziet
Figuur 3.1: Bolvormige lichtgolf
en dus t2 − t02 6= 0) . We komen tot de verrassende conclusie dat de tijd voor B anders
verloopt dan voor A!
Bij elk referentiestelsel hoort niet alleen een eigen plaatsmeting maar ook een eigen tijdmeting. Hoe plaats en tijd van een bepaald natuurkundig verschijnsel zoals geldend in
0
S worden uitgedrukt in plaats en tijd van hetzelfde verschijnsel t.o.v. S wordt gegeven
door de Lorentztransformatie, die we nu zullen afleiden.
In elk geval weten we al (zie boven) dat zal moeten gelden:
02
02
02
2
02
x + y + z − c2 t = x2 + y 2 + z 2 − c2 t2
(3.3)
We zeggen dat de grootheid x2 + y 2 + z 2 − c2 t2 invariant is onder Lorentztransformaties.
3.3
3.3.1
Eenvoudige afleiding
pagina 1
0
0
We definiëren coördinatenstelsels S en S weer als voorheen: S beweegt t.o.v. S met
0
constante snelheid v in de positieve x-richting. Op t = t = 0 valt de oorsprong van
Strikt genomen kunnen we op dit moment alleen concluderen dat x02 + y 02 + z 02 − c2 t02 = K(x2 +
y + z 2 − c2 t2 ) met K een constante. Het zal blijken dat K = 1.
2
2
14
HOOFDSTUK 3. LORENTZTRANSFORMATIE
0
S samen met die van S . Een lichtflits, uitgezonden in de positieve x-richting, bevindt
0
0
zich op plaats x = ct, d.w.z. x − ct = 0. T.o.v. S geldt x0 − ct = 0 (zelfde c, tweede
postulaat!). Aan beide vergelijkingen wordt voldaan als geldt;
0
0
x − ct = λ(x − ct)
(3.4)
waar λ een constante is die we nog moeten bepalen. We kunnen uiteraard dezelfde redenering volgen voor een lichtflits die wordt uitgezonden in de negatieve x-richting. Dan
vinden we dat moet gelden:
0
0
x + ct = µ(x + ct)
(3.5)
Ook µ is een nog nader te bepalen constante. Optellen resp. aftrekken van 3.3 en 3.5
levert:
λ−µ
λ+µ
0
x =
x−
ct
2
2
0
ct =
λ+µ
λ−µ
ct −
x
2
2
We definiëren twee nieuwe constanten, a = λ+µ
en b =
2
vergelijkingen:
0
x = ax − bct
0
ct = act − bx
λ−µ
2
en verkrijgen de overzichtelijke
(3.6)
(3.7)
waar we nog steeds als taak hebben om a en b te bepalen (d.w.z. uit te drukken in v, de
parameter die de transformatie definiëert.)
3.3.2
pagina 2
0
Voor de oorsprong van S geldt t.o.v. S:
x = vt
0
en t.o.v. S uiteraard:
0
x =0
Invullen in 3.6 levert dan dat moet gelden:
b
v= c
a
(3.8)
Nu gebruiken we het relativiteitsprincipe in de volgende redenering: een meetlat die langs
0
0
de x -as ligt, in rust t.o.v. S , heeft, gezien vanuit S dezelfde lengte als diezelfde meetlat,
0
gelegen langs de x-as, in rust t.o.v. S, gezien vanuit S !
3.3. EENVOUDIGE AFLEIDING
15
v
S
S’
x’
Figuur 3.2: Meetlat
• Observatie 1
0
Op een zekere tijd t in S kunnen we dus de lengte van de meetlat t.o.v. S bepalen,
bijvoorbeeld op t = 0. We vinden dan met behulp van 3.6:
0
x = ax
• Observatie 2
0
Omgekeerd vinden we op t = 0, m.b.v. 3.6 en 3.7 en gebruikmakend van 3.8:
0
x = a(1 −
v2
)x
c2
Wanneer we zeggen dat de lengte van de meetlat l0 is, dan bedoelen we: de lengte is l0 in
0
het systeem waarin de meetlat in rust is. Observatie 1 (meetlat in rust in S gefotografeerd
vanuit S) leert dan:
l0 = al
waar l dus de lengte t.o.v. S is, d.w.z. ten opzichte van het coördinatenstelsel waarin de
0
lat beweegt. Observatie 2 (S gefotografeerd vanuit S ) levert op:
l = a(1 −
v2
)l0
c2
Het combineren van deze resultaten levert dan het volgende resultaat op:
1
a= q
1−
v2
c2
16
3.3.3
HOOFDSTUK 3. LORENTZTRANSFORMATIE
pagina 3
Degenen die achterdochtig worden van deze nogal veel woorden kostende afleiding vinden
de volgende beschouwing misschien eleganter.
We pikken de afleiding op na formule 3.8 en schrijven 3.6 en 3.7 als :
0
x = a(x − vt)
(3.9)
v
0
ct = a(ct − x)
c
(3.10)
0
Bovenstaande transformatie geldt als S beweegt in de positieve x-richting, dus met snel0
heid +v, t.o.v. S. Maar we kunnen ook S als rustsysteem kiezen en S als het bewegende
0
systeem zien dat t.o.v. S naar links beweegt, d.w.z. met snelheid −v. De inverse
transformatie wordt dan onmiddellijk uit de bovenstaande verkregen door ’accenten te
verwisselen’ (de accenten slaan immers op het bewegende systeem en die rol wordt nu
overgenomen door S) en door v te vervangen door −v. Dit levert:
0
0
x = a(x + vt )
(3.11)
v 0
0
ct = a(ct + x )
c
(3.12)
(Merk op dat deze redenering alleen correct is als a ongevoelig is voor het teken van
v. Gelukkig blijkt dat zo te zijn volgens het eerste postulaat.) Indien we 3.11 en 3.12
0
gebruiken om t in t en x uit te drukken en het resultaat vervolgens vergelijken met 3.10
vinden we
1
a= q
2
1 − vc2
Aldus hebben we de Lorentztransformatie gevonden:
x − vt
0
x =q
2
1 − vc2
t − xv
2
t =q c
2
1 − vc2
0
In ons specifieke geval, relatieve beweging langs de x-as, geldt verder
0
y =y
0
z =z
Ga nu na dat formule 3.3 inderdaad klopt.
3.4. NOTATIE
3.4
17
Notatie
In de literatuur wordt vaak de volgende notatie gebruikt: β =
v
c
en γ =
q 1
2
1− v2
. De
c
Lorentztransformatie wordt dan:
0
x = γ(x − βct)
0
ct = γ(ct − βx)
(3.13)
(3.14)
De inverse Lorentztransformatie wordt dan
0
0
x = γ(x + βct )
0
0
ct = γ(ct + βx )
(3.15)
(3.16)
De ruimte-tijd symmetrie, d.w.z. de verwevenheid van x en ct, de volstrekt gelijkwaardige
rol van beide grootheden, is in deze notatie heel duidelijk.
3.5
Viervectoren
Natuurkundige verschijnselen spelen zich dus af in een vierdimensionale wereld : 3 drie
ruimte dimensies en een tijd dimensie die nauw verweven zijn. Een ’plaats’ in deze vierdimensionale wereld wordt dus aangegeven door vier getallen, een vierdimensionale vector:
(x, y, z, ct). Deze vector transformeert onder Lorentztransformaties volgens de formules die we zojuist gevonden hebben. Zo’n vector noemen we een viervector. De norm
(’grootte’ in deze speciale ruimte) van de viervector is gelijk aan x2 + y 2 + z 2 − c2 t2 en
is invariant onder Lorentztransformaties. Later zullen we zien dat impuls en energie ook
een viervector vormen.
3
Moderne en uit theoretisch oogpunt aantrekkelijke natuurkundige theoriën (’string theories’) hebben
aan vier dimensies niet genoeg.
18
HOOFDSTUK 3. LORENTZTRANSFORMATIE
Hoofdstuk 4
Consequenties van de
Lorentztransformatie
4.1
Tijddilatatie
We zullen nu enkele consequenties, of toepassingen zo men wil, van de Lorentztransformatie bespreken.
spiegel
spiegel
spiegel
spiegel
t=0
’tik’, t=t1
Figuur 4.1: Een lichtklok
0
0
Beschouw een klok die we plaatsen in de oorsprong van S : voor deze klok geldt dus x = 0
en in systeem S (zie formule. 3.13) x = βct(= vt). Indien we dit invullen in formule. 3.14
vinden we:
0
ct = γ(ct − β 2 ct)
0
t = γt(1 − β 2 )
t
γ
(4.1)
t = γt0
(4.2)
0
t =
19
20
γ=
HOOFDSTUK 4. CONSEQUENTIES VAN DE LORENTZTRANSFORMATIE
q 1
2
1− v2
0
> 1 en dus t < t. Met andere woorden: indien in systeem S 1 seconde voorbij
c
is dan is voor de bewegende klok minder dan 1 seconde verlopen: bewegende klokken
lopen langzamer! Dat dit werkelijk zo is is experimenteel uit en te na aangetoond. We
zullen er verderop kort op terugkomen. Er is een eenvoudige manier om formule. 4.1, die
de tijddilatatie beschrijft, af te leiden. Hiertoe definiëren we de lichtklok: twee parallelle
spiegels waar een lichtflits tussen heen en weer kaatst (figuur 4.1). Elke weerkaatsing
definiëert een ’tik’ van de klok.
spiegel
spiegel
spiegel
spiegel
t=0
’tik’, t=t1> t 2
Figuur 4.2: Bewegende lichtklok
Laat zien dat een klok, bewegend als in figuur 4.2, ’tikt’ als gegeven door formule. 4.1
4.2
Lorentzcontractie
We bekijken nu een bewegende stok, zoals we in feite al gedaan hebben bij het afleiden
van de Lorentztransformatie. De stok heeft t.o.v. het coördinatenstelsel waarin hij in rust
is een lengte l0 . Wat is dan de lengte t.o.v. het coördinatenstelsel waarin hij beweegt?
0
0
Wij nemen een stok die langs de x -as ligt, met het linker uiteinde in de oorsprong van S
0
0
en die in rust is t.o.v. S . Voor de x -coördinaat van het rechter uiteinde geldt dus:
0
xR = l0
en voor het linker uiteinde geldt:
0
xL = 0
De overeenkomstige x-coördinaten in S volgen uit 3.15:
0
xR = γ(l0 + βctR )
0
xL = γβctL
De lengte l t.o.v. S is:
l = xR − xL
4.3. NIET-RELATIVISTISCHE LIMIET
21
0
0
l = γ{l0 + βc(tR − tL )}
(4.3)
Het is heel belangrijk dat we ons realiseren dat de lengte l t.o.v. S gelijk is aan xR − xL ,
waar xR en xL op dezelfde tijd t.ov. S bepaald worden, dus tR = tL . Met behulp van 3.14
volgt dan:
0
ctR = γ(ctR − βxR )
0
ctL = γ(ctL − βxL )
Aftrekken van de vergelijkingen levert:
0
0
c(tR − tL ) = −γβ(xR − xL ) = −γβl
Dit resultaat vullen we in in 4.3 en we vinden:
l = γ(l0 − γβ 2 l)
l(1 + β 2 γ 2 ) = γl0
Aangezien γ 2 =
1
1−β 2
(definitie) volgt nu:
l=
l0
γ
(4.4)
l is dus kleiner dan l0 : de bewegende stok is korter! Het in formule 4.4 weergegeven
resultaat staat bekend onder de naam Lorentz-contractie.
4.3
Niet-relativistische limiet
We zien dat wanneer v c de Lorentz-factor γ =
r
1
2
1− v2
vrijwel gelijk is aan 1 en
c
relativistische effecten geen rol van betekenis spelen. Een voertuig met een lengte van 4
m dat met 100 km/uur beweegt is 2 · 10−18 m korter dan wanneer het in rust is. Dat is
0.2 % van de diameter van een proton...
4.4
Kosmische stralen
Onze atmosfeer wordt voortdurend gebombardeerd door kosmische straling. Kosmische
stralen zijn deeltjes van vaak hoge energie die ons uit het heelal bereiken, o.a. (in
feite voornamelijk) protonen 1 . Deze protonen raken stikstof- of zuurstofkernen op grote
hoogte, tientallen kilometers boven het aardoppervlak. We weten dat bij die botsingen
1
Oorsprong, energiespectrum en samenstelling van kosmische stralen vormen interessante, nog lang
niet opgehelderde onderwerpen van wetenschappelijk onderzoek.
22
HOOFDSTUK 4. CONSEQUENTIES VAN DE LORENTZTRANSFORMATIE
o.a. muonen (symbool voor een muon: µ) geproduceerd worden. We weten 2 ook dat
muonen in rust in ons laboratorium een (gemiddelde) levensduur hebben van τ = 2.2 µs
= 2.2 · 10−6 s. Volgens de niet-relativistische formule zou een µ, zelfs als het met de
lichtsnelheid c bewoog, slechts (gemiddeld) een afstand cτ = 659 m afleggen. We nemen
de muonen echter op het aardoppervlak waar, dus ze reizen pakweg 30 km. Dus hun
levensduur, gezien door een waarnemer op aarde, is een factor 30000 / 659 groter dan
de levensduur in het rustsysteem van het muon. Dus: γ = 30000 / 659 = 45.5 waaruit
volgt v = 0.9995 c. De muonen reizen dus vrijwel met de lichtsnelheid en leven dankzij
de tijddilatatie lang genoeg om 30 km te overbruggen.
4.5
Tweelingparadox
De resultaten van de relativiteitstheorie kunnen aanleiding geven tot ’tegenstellingen’ die
de theorie ter discussie stellen. Het gaat hier dan om schijnbare tegenstellingen, paradoxen, die ons er alleen maar voor waarschuwen dat de theorie zorgvuldig en correct
geı̈nterpreteerd dient te worden. Laten we als voorbeeld nemen: tijddilatie, ’bewegende
klokken lopen langzamer’.
0
0
Vanuit S zien we een met S meebewegende klok langzamer lopen, vanuit S zien we een
in S in rust zijnde klok langzamer lopen.
0
Dat lijkt in tegenspraak, wie heeft er nu gelijk, de waarnemer in S of die in S ? Natuurlijk hebben ze allebei gelijk en is er geen tegenspraak. Wanneer we twee klokken
willen vergelijken moeten we dat in hetzelfde referentiestelsel op dezelfde plaats doen.
Indien we de klokken uit het voorbeeld vervangen door leden van een tweeling, waarvan er
één op aarde blijft en de ander vertrekt in een ruimteschip dan doet zich dezelfde situatie
voor: beiden nemen waar dat de ander minder snel oud wordt en dat is volkomen in
orde. Het ’probleem’ ontstaat wanneer de ruimtereiziger besluit om huiswaarts te keren
om de andere helft van de tweeling te bezoeken. Dan blijkt de ruimtereiziger wel degelijk
jonger te zijn. (Dit is geverifiëerd met aan boord van vliegtuigen vervoerde nauwkeurige klokken.) Maar: het omkeren van de ruimtereiziger is niet te beschrijven als een
eenvoudige Lorentztransformatie, anders gezegd: het rustsysteem van de ruimtereiziger,
0
S , is geen inertiaalsysteem. Systeem S is dat wel en daarom is het correct de situatie
vanuit S te beschrijven en in S is de ruimtereiziger inderdaad langzamer verouderd dan
de achterblijver.
4.6
Minkowski-diagrammen
Een aardige manier om de Lorentztransformatie te illustreren is via zogenaamde Minkowskidiagrammen. Indien we het x−ct vlak voorstellen m.b.v. twee loodrecht op elkaar staande
2
Vakgebied : hoge-energiefysica
4.6. MINKOWSKI-DIAGRAMMEN
23
0
assen zoals in fig. 4.3 dan wordt in deze figuur de x -as beschreven door een lijn die volgt
0
uit de eis ct = 0, dus (zie formule 3.14.) ct = βx, m.a.w. door een lijn met rich0
tingscoëfficiënt β. Op analoge wijze vinden we de lijn die de ct as beschrijft uit de eis
0
x = 0, dus (zie formule 3.13.) x = βct, of ct = βx . Dit is een lijn met richtingscoëfficiënt
0
0
1
. D.w.z. de x -as maakt met de x-as een hoek α zó, dat tgα = β en de ct -as maakt met
β
de ct-as dezelfde hoek α zoals in figuur 4.3 (Ga na.).
ct
ct’
lichtkegel: x=ct
B
x’
A
α
α
−βγ
x
Figuur 4.3: Minkowski diagram
In figuur 4.3 is ook aangegeven de lijn x = ct: de relatie tussen plaats en tijd voor een
lichtstraal. Deze lijn wordt ook wel als de lichtkegel aangeduid. Twee ’gebeurtenissen’
A en B worden verbonden door een zogenaamde wereldlijn. De lijn AB in figuur 4.3
zou een eenparig bewegend deeltje kunnen voorstellen. Verder is in de figuur aangegeven
0
0
hoe het punt (x, ct) = (0, 1) transformeert naar (x , ct ) = (−βγ, γ). (Ga na m.b.v. de
Lorentztransformatie.)
Minkowski-diagrammen illustreren op heldere wijze allerlei kwalitatieve eigenschappen
van de Lorentztransformatie, zoals de betrekkelijkheid van het begrip gelijktijdigheid (ga
na) e.d. In zeker zin zijn deze diagrammen echter ook verraderlijk, omdat de meetkunde
van ruimte-tijd niet dezelfde is als de meetkunde van depruimte alleen. In het bijzonder is
de grootte van een plaatsvector ~r = (x, y, z)pgelijk aan x2 + y 2 + z 2 . De grootte van de
ruimte-tijd vector ~r = (x, y, z, ct) is echter x2 + y 2 + z 2 − c2 t2 . Deze grootte wordt dus
berekend volgens een andere metriek. Om dit te ondervangen zette Minkowski zelf niet ct
maar ict op de tijdas uit ((ict)2 = −c2 t2 ). Dan is de standaard metriek te gebruiken. Deze
truc is echter niet altijd vol te houden. We zullen de discussie hier niet verder voeren.
24
HOOFDSTUK 4. CONSEQUENTIES VAN DE LORENTZTRANSFORMATIE
Hoofdstuk 5
Optellen van snelheden
5.1
Volgens de Galileitransformatie
y
y’
S
S’
v
V’
x
x’
Figuur 5.1:
Stel een
snelheid
snelheid
object heeft een snelheid V~ 0 t.o.v. referentiestelsel S 0 . S 0 beweegt t.o.v. S met
v in de positieve x-richting (zie figuur 5.1). T.o.v. S beweegt dit object met
~
V en de vraag is nu: wat is de samenhang tussen V~ 0 en V~ ?
Volgens de Galileitransformatie is het antwoord simpel :
Vx0 = Vx − v
Vy0 = Vy
Vz0 = Vz
25
26
HOOFDSTUK 5. OPTELLEN VAN SNELHEDEN
We hebben echter gezien dat de Galileitransformatie niet in overeenstemming is met de
relativiteitstheorie. Daarom gaan we uit van de Lorentztransformatie om de correcte
formules voor de snelheidtransformatie te vinden.
5.2
Volgens de Lorentztransformatie
Per definitie geldt:
Vx0
dx0
= 0
dt
Vul nu in (formule 3.13):
x0 = γ(x − βct)
dan vinden we:
Vx0 = γ
dx
dt
− βγc 0
0
dt
dt
Verder geldt (’kettingregel’):
dx
dx dt
=
0
dt
dt dt0
en dus vinden we:
Vx0 = (γ
dt
dx
− βγc) 0
dt
dt
en aangezien
Vx =
dx
dt
wordt dit
Vx0 = (γVx − βγc)
dt
dt0
(5.1)
Nu gebruiken we (formule 3.16):
ct = γ(ct0 + βx0 )
waaruit volgt:
βγ 0
dt
=γ+
V
0
dt
c x
invullen hiervan in formule 5.1 levert dan:
Vx0 =
Vx − βc
1 − βc Vx
Merk op, dat als Vx = c we vinden dat ook Vx0 = c. We kunnen een lichtstraal dus niet
inhalen, geheel en al in overeenstemming met het eerste postulaat!
5.2. VOLGENS DE LORENTZTRANSFORMATIE
27
Ook Vy0 en Vz0 blijken (anders dan y 0 en z 0 ) onder een Lorentztransformatie in de x-richting
te veranderen:
Vy0 =
dy 0
dy
dy dt
=
=
dt0
dt0
dt dt0
= Vy (γ +
βγ 0
V )
c x
Hieruit vinden we m.b.v. de transformatieformule voor Vx0 hierboven:
Vy0 =
Vy
γ(1 − βc Vx )
Vz0 =
Vz
γ(1 − βc Vx )
en net zo:
28
HOOFDSTUK 5. OPTELLEN VAN SNELHEDEN
Hoofdstuk 6
Lorentztransformatie van impuls en
energie
6.1
Impuls
Een ’object’, denk voor het gemak aan een puntmassa, met massa m en snelheid ~v heeft,
per definitie, een impuls
p~ = m~v
Een belangrijke reden om de grootheid impuls in de mechanica in te voeren is het feit
dat impuls een behouden grootheid is. Dit betekent dat een mechanisch systeem dat aan
zijn lot overgelaten wordt (een enkel deeltje; twee botsende deeltjes; het heelal) of iets
preciezer geformuleerd: een gesloten 1 mechanisch systeem steeds dezelfde impuls heeft.
6.1.1
Elastische botsing
We bekijken als voorbeeld twee elastisch botsende puntmassa’s ieder met massa M zoals
aangegeven in figuur 6.1.
In systeem S 0 dat met puntmassa 2 mee beweegt in de x-richting ziet de situatie er uit
als in figuur 6.2
In systeem S betekent impulsbehoud:
{px (1) + px (2)}voor = {px (1) + px (2)}na
{py (1) + py (2)}voor = {py (1) + py (2)}na
1
D.w.z. niet wisselwerkend met de omgeving.
29
30
HOOFDSTUK 6. LORENTZTRANSFORMATIE VAN IMPULS EN ENERGIE
S
y
y
S
1
1
vvoor
vy
vx
2
na
botsing
voor
botsing
- vy
vna
vx
2
x
x
Figuur 6.1: Botsende deeltjes in S
y’
S’
v
y’
S’
v’
x
x
1
-v’(1)
y
v’(1)
y
-v’(1)
x
v’(2)
y
-v’(1)
x
1
2
-v’(2)
y
voor
botsing
na
botsing
2
x’
x’
Figuur 6.2: Botsende deeltjes in rustsysteem S’ van deeltje 2 (zie fig. 6.1)
(We hebben ons voorbeeld zó gekozen dat de totale impuls in zowel de x-richting als de
y-richting gelijk is aan 0.)
Uit impulsbehoud volgt dat de impulsverandering van puntmassa 1 gelijk is in grootte en
tegengesteld in richting aan de impulsverandering van puntmassa 2:
px (1)voor − px (1)na = −(px (2)voor − px (2)na )
py (1)voor − py (1)na = −(py (2)voor − py (2)na )
In S 0 moet impulsbehoud ook gelden (2de postulaat). In de x-richting geldt dit zonder
meer: zowel de impulsverandering van 1 als 2 is nul.
In de y-richting lijken we echter op een probleem te stuiten. M.b.v. de transformatieformules voor de snelheid vinden we:
r
−v
vx2
y
vy0 (1) =
1
−
(6.1)
2
c2
1 + vx2
c
vy0 (2) =
vy
1−
vx2
c2
r
1−
vx2
c2
(6.2)
6.1. IMPULS
31
Indien we de impuls weer definiëren als M vy0 (1) resp. M vy0 (2) dan zien we dat de impulsverandering van puntmassa 1, 2M vy0 (1), niet gelijk is in grootte aan die van puntmassa
2, 2M vy0 (2). M.a.w. impulsbehoud impliceert dat we onze definitie van impuls moeten
herzien!
6.1.2
Nieuwe definitie impuls
We zien dat de Lorentztransformatie in de x-richting de snelheid in de y-richting doet
veranderen en dat is de bron van onze ’moeilijkheden’. We proberen nu een definitie
van impuls te vinden zó dat een transformatie in de x-richting de impuls in de y-richting
onveranderd laat. Terugkerend naar ons voorbeeld willen we dus:
p0y (2) = py (2)
We schrijven formeel (het is maar een poging):
M20 vy0 (2) = M2 vy
en invullen van 6.2 levert nu:
M20
r
vx2
c2
(6.3)
1 + vcx2
=q
M1
vx2
1 − c2
(6.4)
= M2
1−
Een analoge redenering voor puntmassa 1 levert:
2
M10
We zien dus dat een correcte definitie van impuls de volgende vorm zal hebben:
p = fs M v
waar fs een kinematische factor is die samenhangt met het referentiesysteem waarin we
kijken, M de massa is en v de snelheid.
Hierdoor geı̈nspireerd schrijven we nu:
M20 = aM
M2 = bM
M10 = qM
M1 = rM
Omdat de puntmassa’s 1 en 2 t.o.v. S in feite dezelfde beweging uitvoeren (’verwisselbaar
zijn’) zal moeten gelden b = r.
32
HOOFDSTUK 6. LORENTZTRANSFORMATIE VAN IMPULS EN ENERGIE
Maken we nu gebruik van 6.3 en 6.4 dan zien we:
r
1−
a = b
vx2
c2
2
1 + vx2
q = bq c
2
1 − vcx2
Dit zijn twee vergelijkingen met drie onbekenden en zonder extra inspiratie kunnen we
niet verder komen dan:
r
v2
M20 = b 1 − 2x M
c
M2 = bM
2
M10
1 + vx2
= bq c M
2
1 − vcx2
M1 = bM
We zouden de massa nu kunnen herdefiniëren als M = bM maar dat is onbevredigend
want dan zou M de massa zijn zoals die geldt in systeem S en we willen de massa definiëren
als een eigenschap van een object (deeltje), onafhankelijk van de bewegingstoestand.
6.1.3
Definitie relativistische impuls
Zonder een meer volledige beschouwing, waarin we ook energie betrekken, zitten we vast.
We gaan daarom een redelijke gok maken van b en laten zien dat deze gok in overeenstemming is met een consistente definitie van impuls en energie.
Bekijk nog eens:
M1 = M2 = bM
b hangt af van v (niet van de richting van v) en we vermoeden dat b → 1 als v → 0, of
liever vc → 0. Hier is onze gok (weliswaar met voorkennis....):
1
b= q
1−
vx2 +vy2
c2
Dit leidt tot de definitie van relativistische impuls:
M~v
p~ = q
1−
(6.5)
v2
c2
6.2. ENERGIE
33
M.a.w. een massa M met snelheid ~v = (vx , vy , vz ), dus v 2 = vx2 + vy2 + vz2 , heeft een impuls
als in formule 6.5 aangegeven. Als vc → 0 is p~ = M~v . Voor de grootte van de impuls geldt
dus:
Mv
p= q
2
1 − vc2
of
p = M βγc
6.2
(6.6)
Energie
Net als impuls (px , py , pz ) blijkt het mogelijk een andere fundamentele, behouden grootheid
te definiëren, de energie. Zo is de energie van een vrij bewegende puntmassa M en snelheid
v, in de niet-relativistische mechanica gelijk aan 21 M v 2 , ook wel de kinetische energie
genoemd.
Indien we ook energiebehoud willen laten gelden onafhankelijk van het referentiestelsel
waarin we kijken, dan moet ook de definitie van energie herzien worden en natuurlijk ook
weer zó, dat in de limiet vc → 0 de formule 12 M v 2 teruggevonden wordt. We zullen hier
geen poging doen de goede formule ’af te leiden’ maar, omgekeerd, de goede formule aan
de litteratuur ontlenen en aantonen dat ze werkt. 2
We schrijven:
M c2
E=q
2
1 − vc2
of
E = M γc2
Indien
v
c
(6.7)
1 dan geldt:
1
q
1−
v2
c2
v2
∼
=1+ 2
2c
en in de niet-relativistische limiet vinden we dus:
1
E = M c2 + M v 2
2
Dit is precies de bekende kinematische energie plus een constante, M c2 . (Energiebehoud
wordt door dergelijke constanten uiteraard netjes in tact gelaten.)
2
De oorspronkelijke afleiding van Einstein maakt gebruik van elementaire maar in dit stadium van het
curriculum nog niet behandelde theorie van elektrodynamica.
34
6.3
HOOFDSTUK 6. LORENTZTRANSFORMATIE VAN IMPULS EN ENERGIE
De impuls-energie viervector
Het is nu gemakkelijk om na te gaan hoe impuls en energie transformeren onder een
Lorentztransformatie.
Een puntmassa heeft een impuls p~ (snelheid ~v ) en energie E in S.
S 0 beweegt met snelheid V (het symbool v is al vergeven aan de snelheid van de puntmassa
t.o.v. S) in de positieve x-richting t.o.v. S. T.o.v. S 0 zijn impuls p~0 en energie E 0 dan:
p0x = γ(px − β
E
)
c
p0y = py
p0z = pz
E0
E
= γ( − βpx )
c
c
waar γ =
q 1
2
1− V 2
= √1
c
1−β 2
Merk op, dat dit precies dezelfde transformatie is als die van (~r, ct) met de rol van ~r
overgenomen door p~ en die van ct door Ec .
Net zoals c2 t2 − x2 − y 2 − z 2 = c2 t02 − x02 − y 02 − z 02 , d.w.z. c2 t2 − x2 − y 2 − z 2 invariant
is onder Lorentztransformaties, geldt dit nu ook voor
E2
E 02
2
2
2
02
02
−
p
−
p
−
p
=
− p02
x
y
z
x − py − pz
c2
c2
Uitrekenen levert:
E 2 − p2x c2 − p2y c2 − p2z c2 = M 2 c4
of
M c2 =
6.4
p
E 2 − p~2 c2
Energie en massa
Voor een deeltje in rust geldt dus de beroemde formule
E = M c2
Een spectaculaire consequentie van deze ’equivalentie van massa en energie’ is dat massa,
in principe, in energie kan worden omgezet.
6.5. MASSALOZE DEELTJES
6.5
35
Massaloze deeltjes
We zien dat de relativiteitstheorie massaloze deeltjes toelaat:
E = pc
leidt tot
M =0
Aangezien uit formules 6.6 en 6.7 volgt dat
p=
E
β
c
(ga na) geldt voor massaloze deeltjes dus:
p=
pc
β = pβ
c
Hieruit volgt dat β = 1, dus v = c. M.a.w. massaloze deeltjes bewegen met de lichtsnelheid.
36
HOOFDSTUK 6. LORENTZTRANSFORMATIE VAN IMPULS EN ENERGIE
Hoofdstuk 7
Toepassingen
7.1
Kernfusie en Kernsplijting
Wanneer een proton p en een neutron n bij elkaar gebracht worden kunnen ze een verbinding aangaan en een kern van deuterium (’zwaar waterstof’) d vormen. De massa’s van
p, n, en d zijn nauwkeurig gemeten:
mp = 938.27231 MeV/c2
mn = 939.56563 MeV/c2
md = 1875.61339 MeV/c2
De gebruikte eenheid, MeV/c2 , verdient een nadere toelichting. Uit de relatie E = mc2
volgt dat massa kan worden uitgedrukt in eenheden van energie gedeeld door c2 , een
constante. In ’MKSA’ eenheden is de eenheid van energie de Joule, maar het is ook
mogelijk - en in de hoge-energiefysica gebruikelijk - de elektronvolt, eV, te kiezen. Een
elektronvolt is de hoeveelheid energie die een eenheidslading oppikt bij het doorlopen van
een potentiaalverschil van 1 Volt. De eenheidslading (lading van het elektron) is gelijk
aan 1.6 · 10−19 Coulomb, dus 1 eV = 1.6 · 10−19 J, 1 MeV = 106 eV.
Voor:
Na:
p
n
d
gamma
Figuur 7.1:
Omdat de massa van het deuteron (= deuteriumkern) kleiner is dan de som van de massa’s
van de samestellende delen, proton en neutron, moet er bij de vorming van het deuteron
37
38
HOOFDSTUK 7. TOEPASSINGEN
dus energie zijn vrijgekomen! Indien p en n bij elkaar gevoegd worden met verwaarloosbare
snelheid, dan moet gelden dat de energie die vrijkomt gelijk is aan
E = m p c2 + mn c2 − md c2
= 2.22455 MeV
Deze energie komt vrij in de vorm van een foton:
p+n→d+γ
(Een foton is massaloos; het is een kwantum van het elektromagnetische veld; cf. fotoelectrisch effect.) Strikt genomen komt niet alle ’ontbrekende massa’ ten goede aan de
energie van het foton. Zelfs als vóór de reactie p en n t.o.v. elkaar in rust zijn, zal na de
reactie het γ wegschieten (met de lichtsnelheid) en om impulsbehoud te garanderen moet
d in tegengestelde richting bewegen, met dezelfde impuls (zie figuur 7.1). Door de grootte
van de d massa is dep
met deze impuls samenhangende energie erg klein. (Immers, indien
2
pc mc , dan E = p2 c2 + m2 c4 ' mc2 ).
De hierboven besproken reactie is een voorbeeld van kernfusie. Meer in het algemeen blijkt
dat lichte kernen kunnen samensmelten tot zwaardere terwijl er, net als in het voorbeeld
hierboven, energie vrijkomt. Alle kernen tot en met ijzer kunnen op deze manier via fusie
met ’energiewinst’ geproduceerd worden (cf. het ’opbranden’ van sterren). Omgekeerd
blijken zwaardere kernen (een bekend voorbeeld is Uranium) zwaarder te zijn dan de ’som
der delen’ en komt er bij splijting van deze kernen energie vrij.
7.2
Annihilatie
In 1932 werd door Anderson in kosmische stralen een nieuw deeltje ontdekt, met een
massa gelijk aan die van het elektron, maar met tegengestelde en dus positieve, lading: het
positron (e+ ). Het positron is het anti-deeltje van het elektron. Een precieze omschrijving
van het begrip anti-deeltje vereist een voltooide academische natuurkunde-opleiding en
meer, hier volstaan we met de vaststelling dat e+ en e− elkaar kunnen ’annihileren’ tot
twee (massaloze!) fotonen:
e+ + e− → γ + γ
(Vraag: Waarom kan de reactie e+ + e− → γ, d.w.z. annihilatie naar één foton niet
plaatsvinden?). Indien het ’annihilatie in rust’ betreft zal gelden Eγ1 = Eγ2 = me c2 (= 511
keV), waar Eγ1,2 de energie van de fotonen is en me de elektronmassa (= positronmassa).
7.3. PAARCREATIE
7.3
39
Paarcreatie
Omgekeerd is het ook mogelijk dat een foton een elektron-positron paar creëert (’paarcreatie’):
γ + Z → e+ + e− + Z
Z staat hier voor een atoomkern. Een foton kan niet spontaan in een e+ e− -paar vervallen,
maar heeft een ander object nodig om mee te wisselwerken. Dit object moet elektrisch
geladen zijn, anders ’voelt’ het foton het niet. De wisselwerking is nodig, omdat het proces
γ → e+ e− alleen, energie- en impulsbehoud schendt.
7.4
Het relativistische Doppler-effect
Wanneer een geluidsbron zich naar ons toe beweegt zal de toonhoogte toenemen in vergelijking met de situatie waarin de bron in rust is. Van een zich verwijderende geluidsbron is
de toonhoogte juist lager. Dit ’Doppler-effect’ is gemakkelijk te verklaren. De opgewekte
geluidsgolven zijn niets anders dan elkaar opvolgende verdikkingen en verdunnigen van
de lucht. Beweegt de bron naar ons toe dan volgen deze verdikkingen en verdunnigen
elkaar sneller op, de geluidsgolf heeft dus een hogere frequentie (hogere toonhoogte) en
voor een zich verwijderende bron geldt precies het omgekeerde. We hebben gezien dat
voor lichtgolven geen medium bestaat en dat de lichtsnelheid constant is. Toch is wel
degelijk vast te stellen of een gegeven lichtbron 1 zich t.o.v. ons beweegt of niet.
We hebben gezien dat voor licht per definitie de relatie E = pc moet gelden (Deze relatie
geldt immers als v = c.). De Lorentztransformatie voor een lichtstraal die zich in de
x-richting beweegt ziet er dan als volgt uit (ga na):
E 0 = γ(1 − β)E
Dit kunnen we ook schrijven als:
E0 =
s
1−β
E
1+β
D.w.z. in coördinatenstelsel S 0 dat met snelheid βc in de richting van de lichtstraal
meebeweegt is de
qenergie van de lichtstraal kleiner (het licht is verschoven naar het rood)
met een factor
1−β
,
1+β
Omgekeerd, bewegen we met snelheid βc naar een lichtbron toe,
q
dan neemt de energie van het licht toe met een factor 1+β
(het licht is verschoven naar
1−β
het violet). Met behulp van de relatie E = hν (de energie van een lichtquantum, een
1
D.w.z. een lichtbron met een in het rustsysteem van die lichtbron gegeven frequentie.
40
HOOFDSTUK 7. TOEPASSINGEN
foton, van licht met frequentie ν; h is een natuurconstante, de constante van Planck)
volgt:
s
1−β
ν0 =
ν
1+β
en voor de golflengte λ =
c
ν
volgt
λ0 =
7.5
s
1+β
λ
1−β
Roodverschuiving en het uitdijende heelal
Het licht uitgezonden door de vele duizenden melkwegstelsels in het heelal blijkt verschoven te zijn naar lagere golflengtes (’roodverschuiving’) t.o.v. wat verwacht zou worden
op basis van standaard spectra. M.a.w. deze melkwegstelsels verwijderen zich van onze
eigen Melkweg, met een snelheid die te bepalen is m.b.v. bovenstaande formule voor relativistische Dopplerverschuiving. Het heelal dijt uit! Deze observatie was een belangrijke
bron van inspiratie voor de ’Big Bang’ theorie van het ontstaan van het heelal.
7.6
Deeltjesproductie
p, E
voor
na
Lab-systeem
Figuur 7.2:
Een spectaculair voorbeeld van een typisch relativistisch effect is de productie van ’elementaire’ deeltjes bij botsingen tussen dergelijke deeltjes. We geven een voorbeeld:
p + p → p + p + π0
of, in een meer gebruikelijke notatie
pp → ppπ 0
7.6. DEELTJESPRODUCTIE
41
Betekenis: twee protonen botsen op elkaar en er komen uit de botsing weer twee protonen
te voorschijn plus een ander deeltje (’Er wordt massa gecreëerd’). We stellen ons het
experiment als volgt voor: een bundel protonen wordt versneld tot een zekere energie en
valt in op een doelwit bestaande uit protonen 2 . Gegeven is dat protonen een massa Mp
= 938 MeV/c2 hebben en dat het π 0 deeltje een massa Mπ = 135 MeV/c2 heeft. De vraag
is nu: welke energie, resp. welke impuls moet de protonbundel minstens hebben, opdat
bovenstaande reactie kan verlopen? In figuur 7.2 is de reactie schematisch weergegeven.
7.6.1
Impuls en energie in het zwaartepuntssysteem
Het inkomende proton heeft impuls p~ en energie E, die we willen bepalen. De overeenkomstige viervector is dus: Pb = (~pc, E). Het doelwit heeft een vierimpuls: Pd = (~0, Mp c2 ).
Om Pb kwantatitief te bepalen realiseren we ons het volgende: vanuit het zwaartepuntssysteem bezien is de minimale impuls p~∗ , resp. energie E ∗ waarbij de reactie kan verlopen
die impuls waarbij - in het zwaartepuntssysteem - de deeltjes in de eindtoestand in rust
zijn. Zie figuur 7.3.
p*, E*
-p*, E*
p
pi0
p
voor
na
CM-systeem
Figuur 7.3:
We kiezen ons assenstelsel zó, dat p~∗ = (p∗ , 0, 0) en (dus) p~ = (p, 0, 0). In het CMsysteem geldt dat de viervector van het bundel-proton gelijk is aan Pb∗ = (p∗ , 0, 0, E ∗ ) en
die van het doelwit is Pd∗ = (−p∗ , 0, 0, E ∗ ). De totale vierimpuls vóór de botsing in het
CM-systeem is dus:
P ∗ = Pb∗ + Pd∗ = (0, 0, 0, 2E ∗ )
De totale vierimpuls na de botsing in het CM-systeem is, in de ’minimale’ situatie die wij
beschouwen:
P 0∗ = (0, 0, 0, 2Mp c2 + Mπ c2 )
Uit energie- en impulsbehoud volgt
P ∗ = P 0∗
2
In de praktijk: waterstof, bestaande uit protonen en elektronen. Elektronen zijn echter veel kleiner
dan protonen, zodat het ingaande proton vrijwel altijd een proton in het waterstof raakt.
42
HOOFDSTUK 7. TOEPASSINGEN
en dus:
1
E ∗ = Mp c 2 + Mπ c 2
2
p∗ volgt verder uit:
p∗ =
7.6.2
1 q ∗2
E − Mp2 c4
c
Impuls en energie in het labsysteem
Nu kunnen we de gevraagde energie en impuls, E en p, in het Lab-systeem bepalen via
een Lorentztransformatie. Dat is de ’moeilijke’ manier die we eerst zullen illustreren.
Vervolgens doen we het op de gemakkelijke manier.
De Lorentztransformatie die we zoeken moet −p∗ transformeren naar 0 en moet de bijbehorende E ∗ transformeren naar Mp c2 :
!
!
!
0
γ βγ
−p∗ c
=
Mp c 2
βγ γ
E∗
0 = −γp∗ c + βγE ∗
Mp c2 = −βγp∗ c + γE ∗
We hebben in feite slechts één van deze vergelijkingen nodig om te vinden:
p∗ c
E∗
E∗
γ =
Mp c 2
β =
Nu vinden we p en E uit:
pc
E
!
=
γ
βγ
βγ
γ
1
=
Mp c 2
!
p∗ c
E∗
E ∗ p∗ c
p∗ c E ∗
pc =
2E ∗ p∗ c
Mp c 2
E =
p∗ c2 + E ∗2
Mp c 2
!
!
p∗ c
E∗
!
7.6. DEELTJESPRODUCTIE
43
M.b.v. de eerder gevonden uitdrukkingen voor E ∗ en p∗ vinden we nu:
p
(Mp + 12 Mπ ) Mπ2 + 4Mp Mπ
p
=
c
Mp
= 777 MeV
(Bepaal nu de bijbehorende energie E; bepaal de snelheid van de protonen.)
7.6.3
Gemakkelijkere methode
Nu de meer rechtstreekse, gemakkelijkere methode:
Pb + Pd = (pc, 0, 0, E + Mp c2 )
is een viervector
Pb∗ + Pd∗ = (0, 0, 0, 2E ∗ )
is de getranformeerde van deze viervector
De norm (de ’grootte’) van een viervector is invariant onder Lorentztransformaties, dus:
(Pb + Pd )2 = (Pb∗ + Pd∗ )2
(E + Mp c2 )2 − p2 c2 = 4E ∗2
(Let op het − teken!) Uitwerken hiervan levert hetzelfde resultaat als hierboven (ga na).
44
HOOFDSTUK 7. TOEPASSINGEN
Hoofdstuk 8
Het elektromagnetische veld
De fundamentele wetten van elektriciteit en magnetisme, zoals die reeds in de 19e eeuw
bekend waren, zijn de volgende:
• de wet van Coulomb (kracht tussen elektrische ladingen; elektrisch veld opgewekt
door elektrische lading);
• de wet van Ampère (elektrische stroom wekt een magneetveld op);
• de wet van Faraday (’inductie’; veranderend magneetveld wekt elektrisch veld op).
Verder nam men waar dat er kennelijk wel elektrische maar geen magnetische ladingen
(’monopolen’) in de natuur voorkomen. Al deze kennis, uitgebreid met een wezenlijke
uitbreiding van de wet van Ampère (namelijk dat een veranderend elektrisch veld een
magneetveld opwekt) leidde J.C. Maxwell in 1865 tot de formulering van de Maxwellvergelijkingen waarin alle fundamentele kennis over elektriciteit en magnetisme in samenhang is weergegeven.
Zoals uit de wet van Faraday en de (verbeterde) wet van Ampère al blijkt, kunnen elektrische en magnetische velden niet onafhankelijk van elkaar beschreven worden: we spreken
dan ook van elektromagnetische velden. Voor de lege ruimte (die geen lading bevat, niet
polarizeerbaar en niet magnetiseerbaar is) zien de Maxwell-vergelijkingen er heel een~ = (Ex , Ey , Ez ) en het magnetische veld
voudig uit. Nemen we het elektrische veld E
~ = (Bx , By , Bz ), dan geldt:
B
∂Bz ∂By
∂Ex
=
−
∂t
∂y
∂z
Voordat we verder gaan maken we twee opmerkingen:
• de afgeleiden naar tijd en plaats zijn partiële afgeleiden (zie Methoden en Technieken)
45
46
HOOFDSTUK 8. HET ELEKTROMAGNETISCHE VELD
• de vergelijking zoals hier opgeschreven geldt in het SI (Système International) van
eenheden. De vergelijkingen worden mooier in Gaussische eenheden, en daarop
zullen we nu overgaan.
1 ∂Ex
∂Bz ∂By
1 ∂Bx
∂Ey ∂Ez
=
−
;
=
−
c ∂t
∂y
∂z
c ∂t
∂z
∂y
1 ∂Ey
∂Bx ∂Bz
1 ∂By
∂Ez ∂Ex
=
−
;
=
−
c ∂t
∂z
∂x
c ∂t
∂x
∂z
1 ∂Ez
c ∂t
=
∂By ∂Bx
1 ∂Bz
∂Ex ∂Ey
−
;
=
−
∂x
∂y
c ∂t
∂y
∂x
Deze vergelijkingen kunnen als volgt heel compact worden opgeschreven:
~
~
1 ∂E
~ B
~ ; 1 ∂ B = −∇x
~ E
~
= ∇x
c ∂t
c ∂t
Oplossen van deze vergelijkingen levert een elektromagnetische golf, zoals weergegeven in
figuur 2.3.
8.1
Lorentztransformatie
Door nu te eisen (eerste en tweede postulaat) dat in systeem S 0 , bewegend langs de x-as
van S met snelheid v, geldt:
~0
~0
1 ∂E
~ 0 xB
~ 0 ; 1 ∂ B = −∇
~ 0 xE
~0
=
∇
c ∂t0
c ∂t0
en door gebruik te maken van de Lorentztransformatie voor x, y, z, t zoals we die reeds
hebben gevonden, kunnen we nu vinden:
Ex0 = Ex
; Bx0 = Bx
Ey0 = γ(Ey − βBz ) ; By0 = γ(By + βEz )
Ez0 = γ(Ez + βBy ) ; Bz0 = γ(Bz − βEy )
Laten we nu terugkeren naar het voorbeeld in Hoofdstuk 1. We vervangen ’geleider’ door
’eenheidslading’, waarmee we niets afdoen aan de essentie van het voorbeeld.
~ waar E
~ het elektrische veld is ter
De kracht uitgeoefend op een puntlading is F~ = q E,
plekke van de puntlading, in het systeem waarin de puntlading in rust is. Indien de
~ een snelheid v heeft, vinden we dus
puntlading t.o.v. het magneetveld B
Fy = −qγβBz en Fz = qγβBy
8.1. LORENTZTRANSFORMATIE
47
Het uitrekenen van het elektrisch veld op de plaats van de puntlading in het rustsysteem
van de puntlading is dus de correcte en unieke manier om dit probleem te benaderen.
(Merk op, dat de Lorentzkracht op lading q, die met snelheid v in de x-richting een Bveld By , Bz doorloopt, gelijk is aan Fy = −qβBz en Fz = qβBy . We zien dus dat de
relativistische correcte beschrijving, hierboven, een extra factor γ oplevert.)
48
HOOFDSTUK 8. HET ELEKTROMAGNETISCHE VELD
Bijlage A
Aanvullende uitleg bij de afleiding
van de Lorentztransformatie
We zoeken een transformatie die zowel geldt voor een naar rechts lopende lichtgolf als
voor een naar links lopende lichtgolf. Daarom moet zowel aan vergelijking 3.3 als aan
vergelijking 3.5 voldaan zijn. Verder moet de transformatie elke coördinaat (x, ct) van
een proces beschreven t.o.v. S transformeren in een coördinaat (x0 , ct0 ) beschreven t.o.v.
S 0 . In het bijzonder kunnen we de beweging van de oorsprong van S 0 (x0 = 0) beschouwen beschreven t.o.v. S: als x0 = 0, dan x = vt. Deze laatste conditie, samen met
vergelijkingen 3.3 en 3.5 (of samen met vergelijkingen 3.6 en 3.7) levert dan:
x0 = a(x − vt)
v
ct0 = a(ct − x)
c
In paragraaf 3.1.2 staan twee redeneringen om uiteindelijk a te bepalen. Indien we zouden
postuleren :
x02 − c2 t02 = x2 − c2 t2
dan zouden we, via invullen van bovenstaande transformaties, óók het juiste resultaat
vinden (ga na):
a = q
i
1
1−
v2
c2
iiBIJLAGE A. AANVULLENDE UITLEG BIJ DE AFLEIDING VAN DE LORENTZTRANSFORMAT
Bijlage B
Verdere aanvullende uitleg bij de
afleiding van de
Lorentztransformatie
S
S’
v
x,x’
Figuur B.1:
Voor het front van een lichtgolf geldt in S: x = ct en in S 0 : x0 = ct0 (zie figuur B.1)
Waarom mag je dan niet concluderen dat geldt:
x − vt = x0 , waar x = ct en x0 = ct0
dus waarom geldt niet:
ct − vt = ct0
terwijl wel aan het uitgangspunt van de constantheid van de lichtsnelheid is voldaan?
Bekijk nu de situatie in figuur B.2. Nu zouden we concluderen:
ct0 + vt0 = ct
iii
ivBIJLAGE B. VERDERE AANVULLENDE UITLEG BIJ DE AFLEIDING VAN DE LORENTZTRA
S’
S
v
x,x’
Figuur B.2:
Beide situaties zijn equivalent (de ’inverse’ van elkaar) en leiden tot de conclusie t = t0 ,
maar deze conclusie is in tegenspraak met de constantheid van de lichtsnelheid. Als we
proberen:
ct − vt = act0
ct0 + vt0 = act
dan vinden we:
a =
r
1−
v2
c2
en dus:
v
(1 − )ct
2
c
1 − vc2
t0 = q
0
t
=
s
1
1 − vc
t
1 + vc
Dit betekent dat licht, dat in S 0 (d.w.z. licht uit een bron in rust in S 0 ) een frequentie ν0
heeft, in S een kleinere frequentie heeft:
s
1 − vc
ν =
ν0
1 + vc
Dit is precies het Doppler effect.
(Let op: de in paragraaf 7.4 gegeven formule slaat op een lichtbron in rust in S, gezien
vanuit S 0 .)
Bijlage C
Lorentztransformatie in willekeurige
richting
S’
S
SR
S’R
vy
v
vx
Figuur C.1:
Indien S 0 beweegt t.o.v. S met snelheid ~v = (vx , vy , vz ), hoe ziet dan de Lorentztransformatie eruit? In het voorgaande hebben we steeds gewerkt met ~v = (v, 0, 0). Hier geven
we de afleiding van de Lorentztransformatie voor ~v = (vx , vy , 0) en generaliseren dan naar
~v = (vx , vy , vz ).
Bepaal de coördinaten x, y t.o.v. coördinatenstelsel SR dat volgt uit S door S zó te
draaien, dat de x-as langs ~v komt te liggen (zie figuur C.1). Dan geldt:
!
!
!
vy
vx
xR
x
v
v
=
yR
− vvy vvx
y
De Lorentztransformatie van SR naar SR0 is nu de bekende Lorentztransformatie langs de
v
vi
BIJLAGE C. LORENTZTRANSFORMATIE IN WILLEKEURIGE RICHTING
x-as:
x0R = γ(xr − βctR )
ct0R = γ(ctR − βxR )
yR0 = yR
√
met β =
v
c
=
vx2 +vy2
c
en γ = √ 1
1−β 2
. Natuurlijk geldt tR = t en t0R = t0 . We bepalen nu
x0 en y 0 door x0R en yR0 terug te roteren, d.w.z.
!
!
vx
− vvy
x0
v
=
vy
vx
y0
v
v
x0R
yR0
!
Invullen en doorrekenen levert nu:
ct0 = γ(ct − βx x − βy y)
x0 = x +
(γ − 1)
(βx x + βy y)βx − γβx ct
β2
y0 = y +
(γ − 1)
(βx x + βy y)βy − γβy ct
β2
Het is nu gemakkelijk het meest algemene resultaat, voor ~v = (vx , vy , vz ), op te schrijven:
(γ − 1) ~
(β · ~r)β~ − γctβ~
r~0 = ~r +
β2
ct0 = γ(ct − β~ · ~r)
met ~r = (x, y, z) en r~0 = (x0 , y 0 , z 0 ).
Bijlage D
Doppler effect
S
v
Figuur D.1:
Een lichtbron die zich voortbeweegt met snelheid v loodrecht op de richting van het
uitgezonden licht (zie figuur D.1) heeft in het eigen rustsysteem een frequentie ν0 . Als
gevolg van tijddilatatie is de waargenomen frequentie ν1 dan:
ν1 =
r
1−
v2
ν0
c2
Men noemt dit ook wel het transversale Doppler effect. Anders gezegd: de trillingstijd
(de tijd gedurende welke één golflengte wordt uitgezonden) is T0 voor de bron en T1 voor
de waarnemer:
T0
T1 = q
1−
v2
c2
Meer in het algemeen kan de lichtbron een snelheid v1 loodrecht op de richting van het
uitgezonden licht hebben en een snelheid vr in de richting ervan (zie figuur D.2).
Indien de trillingstijd van het uitgezonden licht in het rustsysteem van de lichtbron gelijk
vii
viii
BIJLAGE D. DOPPLER EFFECT
S
vr
v
v1
Figuur D.2:
is aan T0 dan is deze in S nu gelijk aan:
T1 = q
ν1 = ν0
T0
1−
r
v12 +vr2
c2
1−
vr2 + v12
c2
Gedurende deze tijd beweegt de bron over een afstand vr T1 van de waarnemer af. De golf
(één trilling) moet daarom een afstand cT1 + vr T1 afleggen en dit kost een tijd T2 :
cT1 + vr T1
c
vr
= (1 + )T1
c
vr
T0
= (1 + ) q
c
v 2 +v 2
1 − 1 c2 r
r
vr −1
v2 + v2
= (1 + )
(1 − 1 2 r )ν0
c
c
T2 =
ν2
In het speciale geval dat v1 = 0, vr = v:
ν2
r
v −1
v2
= (1 + )
(1 − 2 )ν0
c
c
s
1−β
=
ν0
1+β
de bekende Doppler verschuiving.