materie in een magnetostatisch veld.

MATERIE IN EEN MAGNETOSTATISCH VELD.
§1 Inleiding.
Wij zullen bij de behandeling van de verschijnselen die optreden, wanneer er materie
aanwezig is in een magnetostatisch veld, nagaan wat de gevolgen zijn van het vasthouden aan
twee voor het vacuüm gevonden wetten, aan de wet van Ampère (Y&F 29-20) 1) en aan de
(magnetische) fluxstelling (Y&F 28-8). Ook houden wij vast aan de wet van Faraday (Y&F
30-3):
r
r
∫ B ⋅ ds = µ I
0 omsloten
,
r
r
∫∫ B ⋅ dA = 0 en ε
ind
g .o
=−
dΦ
dt
Omdat er nieuwe verschijnselen gaan optreden, zullen wij met de drie genoemde wetten niet
uitkomen. Er zullen enige nieuwe definities nodig zijn en er zal een vierde wet bijkomen.
§ 2 Relatieve magnetische permeabiliteit.
In het vervolg van dit hoofdstuk zullen wij herhaaldelijk gebruik maken van de solenoïde S
met N windingen van figuur 1, waarbij wij dan zullen onderstellen dat de lengte l van de
solenoïde veel groter is dan de diameter. De oppervlakte van de doorsnede is A. Door de
windingen loopt een stroom I. Bevindt de solenoïde zich in vacuüm dan noemen we hem
"leeg". Als de ruimte binnen de solenoïde geheel is gevuld met materie ma, zeggen we dat hij
"gevuld" is.
l
ma
Figuur 1
We gaan uit van de volgende proef:
We nemen aan dat door de solenoïde S in vacuüm een stroom I loopt, die men in de tijd zo
verandert dat dI/dt een bepaalde constante waarde heeft. Dan treedt over de spoel een
constante e.m.k. van inductie εv = - Lv dI/dt op. (Y&F 31-7). Hierna brengt men materie
binnen in de spoel (zie figuur 1). Men laat de stroom I weer zo veranderen dat dI/dt dezelfde
waarde heeft als boven. Er treedt nu een e.m.k. van inductie εmat op die in veel gevallen weer
constant is maar verschilt van εv.
We voeren dan een coëfficiënt van zelfinductie L in die volgt uit
ε mat
= − Lmat dI / dt .
De verhouding Lmat / Lv = εmat / εv = µr is karakteristiek voor het materiaal waarmee de
solenoïde gevuld werd; men noemt deze de relatieve magnetische permeabiliteit van dat
1)
Young and Freedman, University Physics 9th edition.
1
materiaal. µr kan nog wel afhankelijk zijn van de temperatuur of (bij gassen) van de druk. Uit
de definitie van µr volgt dat deze grootheid dimensieloos is.
In onderstaande tabel zijn waarden van µr voor enkele stoffen opgenomen.
Tabel
Media
Vacuüm
Lucht
Argon
Koper
Chroom (180 C)
ijzer
µr
1,00000.. (per definitie)
1,0000004
0,99999991
0,999991
1,000311
tot ≈ 300
Een stof. waarvoor µr < 1 noemt men diamagnetisch.
Een stof, waarvoor µr > 1 noemt men paramagnetisch.
Er zijn ook stoffen of omstandigheden waarbij εmat / εv bij dezelfde waarde van dI/dt niet
constant is maar afhangt van de waarde die de stroom door de spoel heeft. Dit geval doet zich
voor bij paramagnetische stoffen bij zeer hoge waarden van de stroom door de solenoïde. Ook
bestaan er ferromagnetische stoffen. Bij deze zijn de eigenschappen in een magnetisch veld
niet alleen afhankelijk van I en dI/dt maar bovendien van de waarden die I tevoren gehad
heeft.
In het vervolg zullen we allereerst aannemen dat εmat / εv = µr een constante is. Hoe µr
gedefinieerd wordt als dit niet het geval is zal later worden behandeld.
§3 Invloed van een magnetisch veld op de materie.
Wij vragen ons nu af, wat er in de materie gebeurt wanneer deze in een magnetisch veld
wordt gebracht.
Om een antwoord op deze vraag te vinden gaan wij wat nader in op de in §2 beschreven
proef, waarbij we ons de solenoïde leeg of geheel gevuld denken. Op beide situaties passen
we de wetten toe waaraan we volgens §1 willen vasthouden.
Voor de lege solenoïde geldt:
ε v = −N
r
r
dB
d
d
dI
Φ v = − − N ∫∫ Bv ⋅ dA = − AN v = − Lv
dt
dt A
dt
dt
Voor de gevulde solenoïde geldt:
2
ε v = −N
r
r
dB
d
d
Φ mat = − − N ∫∫ Bmat ⋅ dA = − AN mat
dt A
dt
dt
Omdat εmat = µr εv volgt hieruit:
dBv
L dI
dBmat µ r Lv dI
= v
en
=
dt
AN dt
dt
AN dt
Laten we I toenemen van 0 tot I1 dan geldt :
L
Bv = v
AN
∞
L
µ r Lv
dI
∫0 dt dt = ANv I1 en Bmat = AN
∞
dI
∫ dt dt =
0
µ r Lv
I1
AN
zodat Bmat = µr Bv
d
d
c
b
l'
c
b
Figuur 2
Figuur 3
Passen we de wet van Ampère toe op de gesloten weg abcd voor de lege spoel (zie figuur 2)
dan vinden we Bv = µ0 I N / l . Nu is zoals wij gezien hebben in het algemeen Bmat ≠ Bv . Voor
de solenoïde, gevuld met materie (zie figuur 3) kan, omdat I even groot is, alleen aan de wet
van Ampère voor de weg abcd worden voldaan indien er door deze weg, behalve de stroom
I l’ N / l nog een andere stroom wordt omsloten, die bij I moet worden opgeteld zodat we
kunnen zeggen Bmat = µ0 Itotaal N / l. Omdat we be en ad heel klein kunnen kiezen, hebben wij
kennelijk te maken met een oppervlaktestroom.
Om aanwijzingen te vinden, waar deze oppervlaktestroom aan te danken is, beschouwen we
het gedrag van de individuele atomen der materie wanneer deze in een magnetostatisch veld
worden geplaatst. Daarbij zullen wij in het bijzonder moeten letten op het bewegen der
elektronen in het atoom.
Ieder elektron dat in het atoom om de positieve kern wentelt is op te vatten als een
kringstroompje en bezit dus een magnetisch moment. Bovendien draait elk elektron om een
eigen as, zoals bijvoorbeeld een tol. Ook de kernen van sommige atoomsoorten vertonen dit
verschijnsel. Men spreekt van de spin van elektron of kern. In alle drie gevallen heeft men te
maken met roterende lading. De drie effecten samen maken dat de individuele atomen van de
r
materie een magnetisch moment mat kunnen bezitten. Voor de meeste atomen geldt dat de
magnetische momenten van alle afzonderlijke elektronen elkaar compenseren, zodat zij van
nature geen magnetisch moment bezitten. Deze atomen krijgen pas een magnetisch moment
wanneer zij in een magnetisch veld worden
gebracht. Het blijkt dat de richting van dit
r
moment tegengesteld is aan die van B ; wij hebben hier te maken met de atomen waaruit de
diamagnetische stoffen zijn opgebouwd.
3
Om in te zien, hoe de kringstroompjes in de atomen een oppervlakte-stroom kunnen
veroorzaken beschouwen we een loodrechte doorsnede van een cilindrisch stuk materie. Als
er geen magnetisch veld is, zijn de richtingen van de atomaire kringstroompjes chaotisch
verdeeld als in figuur 4a. Zij compenseren elkaar zowel binnen in de materie als aan de
omtrek.
m
m
Figuur 4a
Figuur 4b
Figuur 4c
Wordt een zeer sterk homogeen magnetisch veld evenwijdig aan de cilinderas aangebracht
dan zullen de kringstroompjes een richting krijgen, die past bij het aangelegde veld, zoals in
figuur 4c is getekend. Binnen in de materie zijn de stroomrichtingen van de aan elkaar
grenzende gedeelten van twee kringstroompjes tegengesteld en compenseren zij elkaar.
Alleen aan het oppervlak van de materie is de stroomrichting van naast elkaar gelegen
stroomkringetjes dezelfde. De totale stroombijdrage van deze kringetjes aan het oppervlak
van de materie vormt de gezochte oppervlaktestroom.
Het zojuist besproken volledige richten van de kringstroompjes treedt pas op bij zeer sterke
magnetische velden. Bij kleinere velden zijn de atomaire kringstroompjes minder volledig
gericht, zoals in figuur 4b is getekend. Het resultaat zal zijn, dat de stroompjes binnen in het
materiaal elkaar nog steeds compenseren, maar aan de omtrek niet volledig. Er treedt een
oppervlaktestroom op, die echter kleiner is dan bij het volledig richten der atomen. Men zegt,
dat de materie is gemagnetiseerd.
§4 Magnetisatie en magnetisatiestroom.
Het magnetisch moment der atomen, die van nature zo’n moment bezitten, is altijd aanwezig;
het wordt niet door het veld opgewekt. Wij
kunnen het richten van de kringstroompjes in
een magnetisch veld op de volgende manier
met behulp van het magnetisch moment
beschrijven.
Figuur 5
4
Als gevolg van de temperatuurbeweging liggen de richtingen van de magnetische momenten
der atomen kris-kras door elkaar en compenseren zij elkaar als er geen magnetostatisch veld is
(zie figuur 5). In een magnetostatisch veld is de potentiële energie van zo’n magnetisch
r
r
moment m at , dat een hoek α maakt met de magnetische inductie B gelijk aan − mat B cos α
(Y&F 28-27). De magnetische momenten zullen trachten zich zodanig in te stellen dat hun
potentiële energie minimaal is. Dit zou het geval zijn als α = 0 was, dat wil zeggen als alle
r
magnetische momenten in de richting van B zouden staan. Hierin worden de atomen
gehinderd door de temperatuurbeweging, maar gemiddeld wijzen er meer magnetische
r
momenten in de richting van B dan er tegenin (zie figuur 6) en het beschouwde stuk materie
r
bezit als geheel een magnetisch moment ∑ mat .
B
B
B
B
B
B
B
Figuur 6
r
Wij voeren nu in het begrip magnetisatie M van de materie, dat is het magnetisch moment
r
r
per eenheid van volume: M = ∑ m at / V .
r
r
M is een vector, waarvoor men als positieve richting de richting van B in de materie heeft
gekozen.
De eenheid van M wordt gevonden uit de eenheid van ( IA / V) en is dus A/m.
r
r
r
Opmerking: In bepaalde kristallen wijkt de richting van M af van die van B (of − B ). Wij
r
r
beschouwen echter homogene, isotrope stoffen, waarin M en B dezelfde of tegengestelde
richtingen hebben.
r
We kunnen een verband leggen tussen de ingevoerde grootheid M en de magnetisatiestroom
Im aan de hand van het voorbeeld van een cilindrisch stuk magnetisch materiaal waarvan de
asrichting samenvalt met die van het magneetveld (zie figuur 7). De lengte is l en de
doorsnede heeft oppervlakte A.
5
n
l
l
M
m
B
A
Figuur 7a
B
A
Figuur 7b
Volgens de definitie is nu het magnetisch moment van de cilinder gelijk aan M A l, terwijl dit
moment anderzijds gelijk is aan Im A.
Hieruit volgt:
r
r
I
M = m = J ms
l
r
De oppervlaktestroomdichtheid J ms van de magnetisatiestroom wordt magnetisatiestroomdichtheid genoemd en heeft de dimensie A/m.
r
r
Door de relatie tussen M en J ms te schrijven als
r r
r
M × n mat = J ms
r
brengen we het verband naar voren dat bestaat tussen de richting van M ten opzichte van het
r
r
oppervlak en de richting van J ms : de vector n mat is de eenheidsvector in de richting van de
normaal op het oppervlak van het materiaal, in de zin van binnen naar buiten. Zonder bewijs
r
r
stellen we nu dat dit verband algemeen geldig is, ook als M niet loodrecht op n mat staat en
r
ook als M binnen het voorwerp niet overal gelijk is (in dat geval geldt de formule voor de
r
waarde van M ter plaatse, aan het oppervlak).
r
r
Een voorbeeld waarbij M homogeen is, maar niet loodrecht op n mat vinden we bij een bol
van magnetisch materiaal (zie figuur 8). Wanneer we deze bol in een homogeen magneetveld
r
plaatsen blijkt dat binnen de bol M homogeen wordt. De magnetisatiestroomdichtheid
r
r
varieert nu met de hoek tussen M en n mat . Is deze hoek α, dan geldt
r
r
J ms = M sin α .
6
d
α
a
n mat
M
c
M
b
B
Figuur 8
We beschouwen nu
r r
M
∫ ⋅ ds langs een gesloten kring abcd, gelegen in het vlak van tekening,
heengaande binnen het oppervlak en teruggaande buiten het oppervlak van het magnetische
r
r r
r
r
materiaal. Binnen het materiaal geldt M ⋅ ds = M sin α ds , buiten het materiaal is M = 0,
dus
r r
∫ M ⋅ ds =
abcd
dus
∫
abcd
b
r
r r
r
M sin α ds = ∫ M × nmat ds ;
a
r r
M
∫ ⋅ ds = I m,omsloten
abcd
Deze stelling heeft weer algemene geldigheid.
De magnetisatiestroom is, zoals uit het bovenstaande blijkt, een aan de materie gebonden
stroom; in tegenstelling hiermee noemen we stromen in geleiders of vrij bewegende geladen
deeltjes vrije stromen. Wanneer een homogeen isotroop magnetisch materiaal in een
homogeen magnetisch veld wordt geplaatst bevinden de magnetisatiestromen zich aan het
oppervlak. Ook in een niet-homogeen magneetveld is dat het geval, zolang er geen vrije
stromen door het materiaal lopen. Lopen er wel vrije stromen door het materiaal, dan ontstaan
er ook magnetisatiestromen in het materiaal.
In een niet-homogeen magnetisch materiaal kunnen wel magnetisatiestromen voorkomen
zonder de aanwezigheid van vrije stromen.
Zou men een willekeurig gevormd stuk magnetisch materiaal vervangen door vacuüm en
tegelijkertijd vrije stromen van de juiste grootte aanbrengen op de plaatsen waar eerst
magnetisatiestromen aanwezig waren, dan zou men overal weer dezelfde magnetische
r
inductie B verkrijgen als tevoren met het stuk materie. Men kan zeggen dat het magnetische
veld met materie wordt veroorzaakt door de (vrije) stromen van het oorspronkelijke veld in
samenwerking met de magnetisatiestromen.
Wij schrijven dus:
Itotaal = Ivrij + Im
7
en
rs
rs
r
J totaal
= J vrij
+ J ms
en beschouwen nu nogmaals de solenoïde S van § 2. De stroom door de windingen is nu dus
Ivrij. Is de solenoïde leeg, dan vinden we de magnetische inductie Bv met behulp van de wet
van Ampère:
rs
Bv = µ 0 NI vrij / l = µ 0 J vrij
Wordt de solenoïde gevuld met een magnetisch materiaal terwijl de stroom door de windingen
dezelfde blijft, dan zien we dat ook de magnetisatiestromen een bijdrage gaan leveren, dus
rs
rs
r
= µ 0 J vrij
+ J ms
Bmat = µ 0 J totaal
§5 Magnetische veldsterkte.
r
r
Geen der grootheden B en M kan direct worden gevonden uit de vrije stromen. Om te
beschikken over een veldgrootheid, waarvoor dit wel het geval is, voeren we nu een nieuwe
r r
vectorgrootheid in, de magnetische veldsterkte H . H wordt gedefinieerd door middel van de
betrekking:
r r
r
H = B / µ0 − M
of
r
r r
B = µ 0 (H + M )
r
r
r
Omdat in het algemeen M dezelfde richting2 heeft als B heeft ook H dezelfde richting als
r
B.
De dimensie van H wordt gevonden uit de eenheid van ( B / µ0 ) ofwel de eenheid van ( M )
en is gelijk aan Am-1.
Voor de gevulde solenoïde van §2 vinden we:
s
s
H = B / µ 0 − M = ( J vrij
+ J ms ) − J ms = J vrij
.
s
, met andere woorden:
Hieruit zien we dat H alleen afhangt van de vrije stroomdichtheid J vrij
H is onafhankelijk van de aard van de materie waarmee de solenoïde is gevuld.
§6 De wet van Ampère voor de magnetische veldsterkte.
De magnetische veldsterkte in een met materie gevulde solenoïde is volgens §5:
s
H = J vrij
= NI vrij / l
Wij berekenen
r
r
∫ H ⋅ ds
voor de rechthoek abcd van figuur 9:
r
r
r
Voor diamagnetische stoffen is M tegengesteld aan B gericht. Voor deze stoffen is M echter klein, zodat
r
r
H toch de richting van B behoudt.
2
8
d
c
a
b
M
Im
l
Figuur 9
r r b r r c r r d r r a r r
H
∫ ⋅ ds = ∫ H ⋅ ds + ∫ H ⋅ ds + ∫ H ⋅ ds + ∫ H ⋅ ds =
abcd
a
b
c
d
= H ⋅ l + 0 + 0 + 0 = J s ,vrij ⋅ l = N ⋅ I vrij ,omsloten
Deze wet geldt algemeen, hetgeen wij als volgt kunnen laten zien:
r
De magnetische inductie Bmat in een ruimte, waarin materie voorkomt, denken we ons
veroorzaakt door vrije stromen Ivrij en magnetisatiestromen Im.
r
Dan luidt de wet van Ampère voor B :
∫
r
r
Bmat ⋅ ds = µ 0 I totaal , omsloten = µ 0 ( I vrij , omsloten + I m , omsloten )
r
Omdat men kan zeggen dat de magnetisatie M wordt veroorzaakt door de magnetisatier
r r
stromen (zie §4), geldt voor M afzonderlijk ook de wet van Ampère, dus ∫ M ⋅ ds = I m, omsloten
Uit het bovenstaande volgt:
r
r
r
r
r
r
∫ H ⋅ d s = µ ∫ B ⋅ ds − ∫ M ⋅ ds = ( I
1
vrij , omsloten
+ I m, omsloten ) − I m , omsloten = I vrij , omsloten
0
Men noemt de gevonden betrekking de wet van Ampère voor de magnetische veldsterkte. Het
is de in §1 bedoelde vierde wet, die als er materie in het magnetostatische rveld is, moet
worden toegevoegd aan de drie grondwetten nl. de wet van Ampère voor B , de magnetische
fluxstelling en de wet van Faraday.
Omsluit een kromme k een vrije ruimtestroom, dan kunnen wij de wet van Ampère voor de
r
magnetische veldsterkte formuleren met behulp van het begrip vrije stroomdichtheid J vrij :
r
r
r
∫ H ⋅ ds = ∫∫ J
k
vrij
r
⋅ dA
omsloten
Omdat we te maken hebben met onveranderlijke stromen volgt voor dit geval uit de wet van
r
r
behoud van elektrische lading, dat ∫∫ J vrij ⋅ dA = 0 . Brengen we nu door de kromme k twee
g .o .
9
oppervlakken A en B aan, die samen een gesloten oppervlak vormen dan geldt
r
r
J
d
A
⋅
= 0 , d.w.z. de stroom, die door B het gesloten oppervlak verlaat is even groot als
vrij
∫∫
A+ B
de stroom, die door A binnenkomt. Hieruit volgt, dat de vorm van het oppervlak, dat door k
wordt aangebracht er bij de formulering van de wet van Ampère niet toe doet, mits het maar
de kromme tot rand heeft, waarover de lijnintegraal van het linkerlid werd genomen.
§7 Magnetische flux in materie; de fluxstelling.
Bij de behandeling van de magnetische materialen zijn we er van uit gegaan dat de
r r
fluxstelling: ∫∫ B ⋅ dA = 0 geldig zou blijven. De daarna ontwikkelde theorie leidde tot het
g .o .
invoeren van magnetisatiestromen. Daar
r
r
∫∫ B ⋅ dA nul is onafhankelijk van de aanwezigheid
g .o.
van stromen wordt de geldigheid van de fluxstelling door deze magnetisatiestromen niet
aangetast.
r
r
Zolang we ons in éénzelfde medium bevinden is overal B = µ 0 µ r H met constante µr zodat
r r
voor integratieoppervlakken die geheel in één medium liggen ook ∫∫ H ⋅ dA = 0 . Wanneer het
g .o .
integratieoppervlak door twee of meer media met verschillende
r
waarden van µr loopt heeft de oppervlakte-integraal van H niet meer
noodzakelijk de waarde nul. Bij een vlakke plaat van magnetisch
materiaal, geplaatst loodrecht op de veldrichting is bijvoorbeeld
r r
H
∫∫ ⋅ dA ≠ 0 voor een doosje waarvan het bovenvlak buiten en het
ondervlak binnen de plaat ligt (figuur 10). Dit is dus juist op een plaats
waar de magnetisatiestromen zich niet bevinden.
B
Figuur 10
Bij een staafmagneet bevinden zich bij de
r r
uiteinden gebieden waar ∫∫ H ⋅ dA ≠ 0 . We
g .o .
noemen deze de polen van de magneet (figuur 11).
Figuur 11
De waarde van
r
r
∫∫ H ⋅ dA berekend over een gesloten oppervlak dat een einde van de magneet
omvat noemen we de poolsterkte van de magneet.
r
r r
Op grond van de identiteit B = µ 0 ( H + M ) geldt voor
r r
M
∫∫ ⋅ dA hetzelfde als voor
g .o.
10
r r
H
∫∫ ⋅ dA .
g .o.
§8 Magnetische susceptibiliteit.
r
In een punt, gelegen binnen de materie, is in het algemeen de magnetisatie M een functie van
r
de magnetische veldsterkte H ter plaatse. Vaak is deze functie een eenvoudige
r
evenredigheid, althans voor niet te grote waarden van H . We definiëren nu de magnetische
r
r
susceptibiliteit χm van de beschouwde stof door de betrekking M = χ m H . Voor niet te grote
r
H is dus veelal χm een constante.
De dimensie van χm wordt gevonden uit:
dim(χm) = dim( M / H ) = 1 ; χm is dimensieloos.
Opmerking 1: Bij stoffen die bestaan uit atomen met een van nul verschillend magnetisch
r
r
moment bereikt M voor grote waarden van H een verzadigingswaarde. In dit geval is dus
r
r
M niet meer evenredig met H , en dus χm niet constant.
Opmerking 2: In afwijking van het bovenstaande gebruikt men ook de definitie χm = ∂M / ∂H,
welke alleen equivalent is met onze definitie als M recht evenredig is met H.
De magnetische susceptibiliteit χm hangt samen met de relatieve magnetische permeabiliteit
µr van de materie.
Beschouwen we, om dit verband te vinden, nog eens de solenoïde van §2. Bij dezelfde stroom
I door de windingen van de lege en de gevulde solenoïde volgt uit de wet van Ampère voor H:
Hv = Hmat =N I / l.
Uit B = µ0 (H + M ) en M = χm H volgt dan:
Bv = µ 0 NI / l en Bmat = µ 0 (1 + χ m ) NI / l
en ook Φ v = Bv ⋅ A = µ 0 NIA / l en Φ mat = Bmat ⋅ A = µ 0 (1 + χ m ) NIA / l
Als we nu I zodanig laten veranderen dat dI / dt voor de lege en voor de gevulde solenoïde
dezelfde waarde heeft, is
ε v = − N dΦ v / dt = −( µ 0 N 2 A / l ) dI / dt
en
ε mat
= − N dΦ mat / dt = −{µ 0 N 2 (1 + χ m ) A / l } dI / dt
Volgens de in §2 gegeven definitie is µ r = ε mat / ε v = 1 + χ m
Het gevonden verband is algemeen geldig, we kunnen dus schrijven:
r
r
r
Bmat = µ 0 (1 + χ m ) H = µ 0 µ r H = µ H .
11
§9 Energiedichtheid van het magnetostatisch veld in materie.
Als vereenvoudigd geval beschouwen we het homogene magnetische veld binnen de gevulde
solenoïde S van §2. De stroom I door S wordt geleverd door een ideale stroombron met
spanning V. Als I verandert, ontstaat er een e.m.k. van inductie ε ind over de spoel waarvan
wij de weerstand verwaarlozen. Dan volgt uit de spanningswet van Kirchhoff (Y&F 27-6):
V + ε ind = 0
De door de batterij in de tijd dt aan de solenoïde geleverde energie bedraagt:
dW = VIdt = −ε ind Idt
Nu is
ε ind
= − NdΦ / dt = − NAdB / dt en H = N I / l. Hieruit volgt:
dW = A l H dB
Al is het volume van de materie in de solenoïde, dus de per eenheid van volume door de
stroombron in de tijd dt aan het magnetische veld geleverde energie bedraagt dW = H dB. Is in
B = µ H de µ een constante, dan vinden we voor de energiedichtheid van het magnetostatische
veld:
H
w = µ ∫ H ' dH ' = 12 µH 2 = 12 µ 0 µ r H 2 = 12 BH =12 B 2 / µ
0
Deze uitkomst geldt algemeen, ook als het magnetisch veld niet homogeen is.
In dit geval geldt voor een willekeurig volume V:
W = ∫∫∫ 12 µ 0 µ r H 2 ( x, y , z ) dx dy dz .
V
De energiedichtheid kan ook als volgt worden geschreven:
w = 12 BH = 12 µ 0 ( H + M ) H = 12 µ 0 H 2 + 12 µ 0 HM
De energiedichtheid bestaat dus uit twee delen. Het eerste deel is alleen afhankelijk van de
veldsterkte H, dus bij vaste I onafhankelijk van de materie en het tweede is de
energiedichtheid in de materie ten gevolge van het feit dat deze gemagnetiseerd is. Men
noemt 12 µ 0 HM de magnetisatie-energiedichtheid.
§10 Grensvoorwaarden voor het stationaire magnetische veld.
Uit de hoofdwetten die in paragraaf 6 en 7 zijn geformuleerd is een aantal uitspraken af te
leiden voor het verloop van magnetische velden aan de grens van twee media met
verschillende relatieve permeabiliteit µr1 en µr2.
Wij nemen aan dat de materialen 1 en 2 beide homogeen en isotroop zijn en dat er langs het
oppervlak geen vrije stroom loopt. In het algemeen zal aan weerszijden van het grensvlak de
12
magnetische veldsterkte en dus ook de magnetische inductie een hoek maken met de normaal
op het oppervlak.
r
r
r
r
De vectoren H 1 en H 2 en dus ook B1 en B2 maken resp. een hoek α1 en α2 met de normaal
op het oppervlak (zie figuur 12).
H2
lengte ab=lengte cd=l
opp. bovenvlak is A
B2
α2
α2
B1
a
H
b
a
b
d
c
d
c
medium 2
medium 1
α1
α1
Figuur 12a
Figuur 12b
Wij passen nu de kringintegraalstelling voor het magnetische veld toe op de kring abcd in het
vlak van tekening. De omsloten vrije stroom is nul, in het grensvlak is slechts een gebonden
stroom aanwezig:
H2 l sin α2 – H1 l sin α1 = 0 en dus H2 sin α2 = H1 sin α1.
Men zegt ook: de tangentiële component van de magnetische veldsterkte is continu.
Beschouwen wij abcd als doorsnede van een doosje waarvan boven- en ondervlak de
oppervlakte A hebben, dan kunnen wij op dat doosje de stelling voor de magnetische flux
toepassen: De totale flux is nul. In het limietgeval waarbij de hoogte van het doosje naar nul
gaat geldt:
B2 A cos α2 – B1 A cos α1 = 0 en dus B2 cos α2 = B1 cos α1.
Men zegt ook: de normale component van de magnetische inductie is continu.
Omdat aan weerszijden van het grensvlak geldt
r
r
r
r
B1 = µ 0 µ r H 1 en B2 = µ 0 µ r H 2
kan men met behulp van de zojuist afgeleide grensvoorwaarden bewijzen dat
µ r1 tan α1
=
µ r 2 tan α 2
Men kan zeggen dat de veldlijnen aan het grensvlak van twee media worden gebroken. Deze
breking wordt door de zojuist afgeleide betrekking beschreven.
13
§11 Ontmagnetiserend veld en ontmagnetiserende factor.
Plaatst men een stuk materie in een magnetisch veld dan zal de magnetische veldsterkte zowel
binnen de materie als daarbuiten anders zijn dan tevoren. Deze veranderingen worden
veroorzaakt doordat de materie wordt gemagnetiseerd. Het berekenen van de nieuwe
veldsterkte is slechts in enkele eenvoudige gevallen mogelijk.
a) Een vlakke plaat materie A staat loodrecht op de richting van de veldsterkte van een
homogeen magnetostatisch veld in vacuüm (figuur 13). De dikte van de plaat is klein ten opzichte van zijn overige afmetingen. Als gevolg van deze veronderstelling kunnen de
veldverstorende effecten van de randen van de plaat verwaarloosd worden.
A
b
c
Hv
a d
Figuur 13
De magnetische inductie was oorspronkelijk overal B0.
Na het aanbrengen van A wordt buiten A de inductie Bv en in de materie Bmat.
De magnetisatiestroom op de rand van de plaat bevindt zich op zeer grote afstand van het
midden. Daarom is bij benadering Bmat = B0. De fluxstelling, toegepast op het doosje abcd,
levert op Bmat = Bv = B0. Daaruit volgt Hv = µr Hmat. De veldsterkte Hmat in de plaat kunnen we
nu beschouwen als de resultante van het oorspronkelijke veld H0 en een tweede veldsterkte
samenhangend met de magnetisatiestromen. De laatstgenoemde veldsterkte noemt men de
ontmagnetiserende veldsterkte Hontm en het hierbij behorende veld het ontmagnetiserend veld
r
r
r
r
r
r
dus: H mat = H 0 + H ontm en H mat = H 0 − H ontm , waaruit volgt:
r
r
r
r
r
H ontm = H 0 − H mat = ( µ r − 1) H mat = χ m H mat .
r
r
r
r
r
r
Maar ook geldt M = χ m H mat , zodat H ontm = M en H ontm = − M .
14
b) Een staaf materie is met zijn as evenwijdig aan de richting van de veldsterkte in een
homogeen magnetostatisch veld in vacuüm geplaatst (zie figuur 14).
Hv
H
a
b
d
c
Figuur 14
De diameter van de staaf is klein ten opzichte van zijn lengte. Als gevolg van deze onderstelling kunnen de veldverstorende effecten veroorzaakt door de uiteinden van de staaf worden
verwaarloosd. Dit betekent dat Bv = B0.
Omdat er geen vrije stroom is, levert de wet van Ampère, toegepast op de rechthoek abcd van
figuur 8 het volgende op: Hmat = Hv , waaruit nu volgt:
Hontm = H0 – Hmat ≈ Hv – Hmat = 0
c) Als het uitwendige veld homogeen is en het stuk materie een willekeurige vorm heeft, kan
men met behulp van de basisvergelijkingen van het magnetostatische veld (zie paragraaf 6 en
7) het ontmagnetiserende veld als functie van de plaats in het stuk materie in principe berekenen. Indien het stuk
r materie de vorm heeft van een ellipsoïde, waarvan één der hoofdassen in
de richting van H staat, vindt men dat het ontmagnetiserende veld eveneens homogeen is
(figuur 15).
v
mat
ontm
a
b
d
c
Figuur 15
15
De gevallen a) en b) zijn nu te beschouwen als limietgevallen van ellipsoïden: de plaat is een
ellipsoïde waarvan de hoofdas in de veldrichting veel kleiner is dan de beide andere, de staaf
is een ellipsoïde waarvan de hoofdas veel langer is dan de beide andere.
r
In het geval van de ellipsoïde met de hoofdas evenwijdig aan de richting van H 0 geldt steeds
r
r
dat het ontmagnetiserende veld H ontm evenredig is met de magnetisatie M :
r
r
r
r
H ontm = H mat − H 0 = − N M
Men noemt N de ontmagnetiserende factor; voor de dunne vlakke plaat geldt, zoals gebleken
is, dat N = 1, voor de lange dunne staaf geldt N = 0. In het geval van een bol vindt men
N = 1/3. In het algemeen hangt N niet af van de aard van de materie, doch alleen van de vorm
en steeds is 0 ≤ N ≤ 1. Bij de behandeling van het ontmagnetiserende
veld hebben we ons (om
r
historische redenen) bediend van de veldgrootheid H . Beter in overeenstemming
r met
de behandeling van het
r ontpolariserende veld in dielektrika was geweest om B te gebruiken.
We hadden dan een Bontm gekregen als rechtstreeks gevolg van de magnetisatiestromen,
r
echter in een paramagnetische stof gelijkgericht met B0 . Het op het eerste gezicht verrassende
r
resultaat dat door het toevoegen van uitsluitend magnetisatiestromen een H ontm ontstaat
r
terwijl H was ingevoerd om een veldgrootheid te hebben die uitsluitend van de vrije stromen
r
afhangt kan langs deze omweg plausibel worden gemaakt. Overigens is het verband tussen H
r r
en de vrije stromen alleen afgeleid in de vorm van een integraalstelling ∫ H ⋅ ds = I vrij , omsl . Bij
r r
beschouwing van figuur 15 lijkt het ook heel aannemelijk dat ∫ H ⋅ ds langs de kring abcd de
r
waarde nul zou kunnen hebben daar zowel langs ab als langs cd H kleiner is dan voordat het
voorwerp werd aangebracht.
§12 De toroïde met luchtspleet.
Een ringvormige solenoïde (toroïde) is op een smalle spleet ter breedte b na opgevuld met een
(ferro-) magnetisch materiaal. (zie figuur 16). De lengte van de hartlijn van de toroïde is l. Wij
verwaarlozen het verschil tussen de lengtes van de verschillende cirkels C binnen de toroïde
die concentrisch met de hartlijn zijn.
K
(N windingen)
c
α
l
d
Figuur 16
16
Ook de randeffecten bij de spleet worden verwaarloosd omdat deze zeer smal is gedacht. Het
aantal windingen van de toroïde is N, de stroom door de windingen I. We gaan nu de wet van
r r
Ampère ∫ H ⋅ ds = I vrij , omsl toepassen op een cirkel C nabij de hartlijn. Als de spleet zeer smal
is mogen we aannemen dat nabij de hartlijn de inductielijnen van het B-veld nagenoeg
concentrische cirkels zijn, ook in het vacuüm. Dan geldt dat nabij die hartlijn overal, in de
materie én in de spleet, B dezelfde waarde heeft (fluxstelling toegepast op een doosje dat half
in de spleet en half in de materie ligt). Voor H geldt dan µ0 Hs = µ0 µr Hmat; op grond van de
wet van Ampère is (l - d) Hmat + d Hs = N I ; hieruit volgt:
H mat =
µ r NI
µ 0 µ r NI
NI
; Hs =
; Bs =
.
l + d ( µ r − 1)
l + d ( µ r − 1)
l + d ( µ r − 1)
Het gevonden resultaat voor B moeten we vergelijken met de waarde die we verkregen
zouden hebben zonder aanwezigheid van het materiaal: dan was B = µ0 N I / l door het
aanbrengen van het magnetische materiaal hebben we deze waarde bij dezelfde stroomsterkte
I vergroot met een factor µ r l /{l + d ( µ r − 1)} , dus maximaal met een factor ≈ µr als (µr - 1)d
klein is t.o.v. l (door de grote waarde die µr bij ferromagnetische materialen kan bereiken
geldt dit alleen voor een zeer smalle luchtspleet; ook bij wat grotere waarden van d is de winst
nog aanzienlijk).
Op deze wijze kan men tussen de poolschoenen van
een magneet B-waarden van 1 à 2 tesla bereiken.
De magneet en de spoelen worden dan vaak
uitgevoerd als figuur 17 en niet in de vorm van een
toroïde.
Figuur 17
Het hierboven afgeleide resultaat voor Hmat verschilt van wat men krijgt als de wet van
Ampère wordt toegepast op een integratiekring K (figuur 16) in de veronderstelling dat buiten
de toroïde geen magneetveld aanwezig is: deze redenering zou opleveren ( α/2π ) l Hmat =
( α/2π ) N I dus Hmat = N I / l. De verklaring voor dit onjuiste resultaat is dat ook het gedeelte
r r
van K dat buiten de toroïde ligt een bijdrage tot ∫ H ⋅ ds levert tengevolge van hier aanwezige
strooivelden die nabij de ronden van de spleet “naar buiten lekken” (figuur 18).
17
Figuur 18
Figuur 19
Wanneer de luchtspleet niet meer smal is t.o.v. de lengte van de hartlijn laat ook de boven
gebruikte benadering ons in de steek: we zien in figuur 19 hoe dan de veldlijnen gaan
“uitpuilen” buiten de torusvormige spoel, en hoewel er nog wel nabij de hartlijn een veldlijn
zal voorkomen in de vorm van een concentrische cirkel zien we aan de veranderende
onderlinge afstand van de veldlijnen dat de waarde van B langs deze veldlijn niet meer overal
gelijk is. Een soortgelijke situatie komt voor hij een gedeeltelijk met ijzer gevulde solenoïde
(figuur 20).
Figuur 20
Wanneer zowel het gevulde als het ongevulde deel lang zijn t.o.v.de diameter van de spoel,
dan is op grote afstand van het grensvlak zowel in het ijzer als in de lucht het B-veld
homogeen. Vlak bij de as (ver van het cilindrische oppervlak) geldt dat op het grensvlak
Bmat = Blucht , maar in een gebied ter weerszijden van het grensvlak zal de waarde van B op de
as toch veranderen van de hoge waarde midden in het ijzer naar de veel lagere waarde midden
in het lege gedeelte van de spoel. Ook hier lekt een gedeelte van de flux weg naar buiten de
solenoïde.
18
§ 13 Overzicht van definities, wetten en formules voor het magnetostatische veld in
materie.
Definities:
Wetten:
µr = Lmat / Lv
∫∫ B ⋅ dA = 0
r
r
(magn. Fluxstelling)
g .o.
r
M=
magn. moment
r r
B
∫ ⋅ ds = µ0 ( I vrij ,omsl. + I m, omsl. )
r
(Ampère voor B )
per vol.eenh.
r r
r
H = B / µ0 − M
r r
M
∫ ⋅ ds = I m, omsl.
χm = M / H
r r
H
∫ ⋅ ds = I vrij
r
(Ampère voor H )
ε ind
(Faraday)
µ = µ0 µ r
Φ=
r
r
∫∫ B ⋅ dA
= − dΦ / dt
opp. A
Formules:
r
r
r
B = µ 0 µ r H = µH
r
r
r
B = µ0 ( H + M )
µr = 1 + χ m
r
r
H ontm = − NM
w = 12 BH = 12 µH 2 = 12 B 2 / µ = 12 µ 0 H 2 + 12 µ 0 HM
19