Docentencursus relativiteitstheorie

Docentencursusrelativiteitstheorie
Opgavenbijeenkomst3,...enerismeer!‐14oktober2013
De opgaven die met een "L" zijn aangegeven, zijn op leerlingenniveau ‐ dit zijn dus opgaven die in de les of in een examen zouden kunnen voorkomen. De opgaven die met een "D" zijn aangegeven, zijn op docentenniveau. Deze opgaven zijn bedoeld om het inzicht en de kennis van de docent te verdiepen. Opgave 1 (L): Afbuiging van het licht a) Een waarnemer staat in een lift die met een constante versnelling van 10 m/s2 omhoog beweegt. In de lift is een laser gemonteerd die van de linkerwand af op de rechterwand gericht is. De laserstraal is zo gericht dat die de linkerwand horizontaal verlaat. Verwacht je dat de laserstraal hoger, lager, of even hoog op de rechterwand aankomt als die van de linkerwand vertrokken is? Licht je antwoord toe. We kiezen het inertiaalstelsel waarin de lift aan het begin van het experiment stilstaat. In dit stelsel beweegt het licht eenparig langs een horizontale lijn. De lift zelf versnelt in dit stelsel omhoog. Als het licht de rechterwang bereikt, bevindt de lift zich dus iets hoger dan aan het begin van het experiment. Voor een waarnemer die met de lift meebeweegt, lijkt het licht dus iets lager op de rechterwand te komen dan het de linkerwand verlaat. b) Beschrijf ditzelfde experiment, maar nu in een zwaartekrachtsveld. Leg uit dat uit het equivalentieprincipe volgt dat de zwaartekracht het licht afbuigt. Ook in het zwaartekrachtsveld verlaat het licht de linkerwand horizontaal. Het equivalentieprincipe zegt echter dat het resultaat van het experiment in een lift in een zwaartekrachtsveld hetzelfde moet zijn als het resultaat in de versnelde lift. Ook in het zwaartekrachtsveld komt het licht dus lager op de rechterwand terecht dan het de linkerwand verlaat. Met andere woorden: het licht wordt in het zwaartekrachtsveld naar beneden afgebogen. c) Als de lift 3 meter breed is, hoever wordt het licht dan naar beneden afgebogen? Met welke van de volgende groottes kun je deze afbuiging vergelijken? 


De grootte van een bacterie De grootte van een lichtgolf De grootte van een atoomkern Het licht overbrugt in beide experimenten de afstand van drie meter in een tijd t = Δx / c ≈ 1 x 10‐8 s. Dat het licht in het zwaartekrachtsveld een kromme baan aflegt die dus iets langer lijkt dan 3 meter kunnen we hierbij verwaarlozen. (Het minieme verschil in weglengte en tijdsduur dat zo tussen de twee experimenten lijkt te ontstaan, wordt overigens gecompenseerd door Lorentzcontractie en tijdsdilatatie, zodat het equivalentieprincipe nog altijd exact geldt.) De versnellende lift beweegt in deze tijd een afstand Δy = 1/2 a t2 ≈ 5 x 10‐16 m omhoog. De lichtstraal komt dus zoveel lager op de rechterwand terecht. Hetzelfde moet vanwege het equivalentieprincipe gelden in de stilstaande lift in een zwaartekrachtsveld. De grootte van de afbuiging van het licht in dit experiment in het aardse zwaartekrachtsveld is dus van de orde van grootte van een atoomkern. (Het waterstofatoom heeft een kern die ongeveer 1,75 x 10‐15 meter groot is, dus grofweg twee keer zo groot.) Opgave 2 (L): De Schwardzschildstraal De ontsnappingssnelheid van een bolvormig hemellichaam is te berekenen met de formule 2
Hierin is v de ontsnappingssnelheid, G=6,67 x 10‐11 m3kg‐1s‐2 de zwaartekrachtsconstante van Newton, M de massa van het hemellichaam, en R de straal ervan. a) De massa van de aarde is 5,97 x 1024 kg. De straal van de aarde is 6,37 x 106 m. Bereken de ontsnappingssnelheid vanaf het oppervlak van de aarde. Invullen van de gegeven getallen in de formule levert een ontsnappingssnelheid v ≈ 11,2 x 103 m/s dus zo'n 11 kilometer per seconde. Overigens hebben raketten die aan de aardse zwaartekracht ontsnappen beslist niet deze snelheid: zodra een raket verder van de aarde af komt, wordt de zwaartekracht natuurlijk minder, dus een raket begint met een veel kleinere snelheid, en blijft zichzelf voortstuwen tot zijn snelheid op grote hoogte groter is dan de (kleinere) ontsnappingssnelheid die daar ter plekke geldt. b) We willen de aarde samenpersen tot een bolletje dat zó klein is dat de ontsnappingssnelheid gelijk is aan de lichtsnelheid. Hoe groot moet de straal van dit bolletje zijn? Oplossen van de formule voor de ontsnappingsnelheid voor R geeft de formule 2
Invullen van v = c ≈ 3,00 x 108 m/s en de eerder gegeven waarden van G en M levert R ≈ 8,85 x 10‐3 m, dus grofweg 9 millimeter. c) Als hemellichaam A tien keer zo zwaar is als hemellichaam B, hoeveel groter is de Schwardschildstraal van hemellichaam A dan? Als beide hemellichamen precies tot een zwart gat worden samengeperst, wat is dan de verhouding van de dichtheden van de hemellichamen? De Schwardzschildstraal van een zwart gat bevindt zich op een afstand R waar de ontsnappingssnelheid gelijk is aan v = c. De constante van Newton, G, is onveranderlijk, dus we zien aan de formules hierboven dat als M tien maal zo groot wordt, de Schwardzschildstraal R ook tien maal zo groot wordt. Het volume van een bol is 4/3 π R3. Als de straal van een bol (zoals een zwart gat) tien maal zo groot wordt, wordt het volume dus 103 = 1000 maal zo groot. Een tien maal zo zwaar zwart gat bevindt zich dus in een duizend maal zo groot volume ‐ de dichtheid neemt dus af met een factor 10 / 1000 = 1/100. Door een zwart gat erg groot te maken, kunnen we de dichtheid dus steeds kleiner maken. Een zwart gat hoeft dus beslist geen extreem hoge dichtheid te hebben! Het enorme zwarte gat in het centrum van het Melkwegstelsel heeft bijvoorbeeld een dichtheid van ongeveer 1 kg per kubieke centimeter ‐ een dichtheid die maar zo'n 50 maal groter is dan die van zware metalen, en die we makkelijk in een aards laboratorium kunnen reproduceren. Opgave 3 (D): Planckeenheden De zwaartekrachtsconstante van Newton is gelijk aan G = 6,67 x 10‐11 m3kg‐1s‐2. De lichtsnelheid is gelijk aan c = 3,00 x 108 m s‐1. De massa van de aarde is gelijk aan M = 5,97 x 1024 kg. a) Vind een combinatie van G, c en M die de eenheid m heeft. Laat zien dat de getalswaarde van deze combinatie dezelfde orde van grootte heeft als de Schwardzschildstraal die we in opgave 2b hebben gevonden. Aangezien M de eenheid kg heeft, is de eenvoudigste methode om eerst een combinatie van G en c te maken waarin alleen de eenheden m en kg voorkomen. Deze combinatie is 7,41 10
/
Vermenigvuldigen met M geeft dan een grootheid in meters: 4,42 10 Op een factor 2 na is dit de grootte van de Schwardzschildstraal van de aarde die we in opgave 2b hebben gevonden. Op numerieke factoren na (die in het algemeen van orde 1 zijn) konden we alleen op grond van eenheden het eindresultaat van die berekening dus al voorspellen. De bovenstaande methode wordt "dimensionele analyse" genoemd: het is een goede manier om in te schatten op welke schaal bepaalde effecten in bepaalde theorieën een rol spelen. Hier hebben we bijvoorbeeld gezien wat de schaal is waarop de algemene relativiteitstheorie (waarin G en c een rol spelen) van belang wordt voor een object met de massa van de aarde. We voegen nu nog een derde fundamentele natuurconstante aan G en c toe: de constante van Planck, ħ = 1,05 x 10‐34 kg m2s‐1. b) Vind combinaties van G, c en ħ die respectievelijk de eenheden meter, seconde en kilogram hebben. (Hint: zoek eerst combinaties waarin één van de eenheden niet meer voorkomt; stel die vervolgens samen tot een combinatie waarin ook een tweede eenheid niet meer voorkomt, en gebruik een macht of een n‐de‐machts wortel om de overblijvende eenheid in de juiste macht te krijgen.) Wat zijn de getalswaarden van deze combinaties? Op soortgelijke wijze als boven vinden we combinaties met de juiste eenheden. Dat zijn: ħ
ħ
ħ
1,62 10
2,18 10 5,39 10
De bovenstaande combinaties worden de planckeenheden genoemd. Ze geven de lengte‐, tijd‐ en massaschaal aan waarop niet alleen de algemene relativiteitstheorie maar ook de quantummechanica een rol gaan spelen. Op deze schaal hebben we dus eigenlijk een ‐ nog altijd niet naar tevredenheid ontwikkelde ‐ theorie van de quantumzwaartekracht nodig om de natuurkunde te beschrijven. c) Alle drie de planckeenheden lijken op het eerste gezicht op onze alledaagse schaal enorm klein. Leg uit dat dit voor de planckmassa in feite niet het geval is; deze massa moeten we in zekere zin juist zien als een heel grote massa vergeleken bij de massa's die we in het dagelijks leven tegenkomen. (Hint: gebruik het begrip dichtheid in het antwoord.) We moeten de bovenstaande eenheden zien als schaalgroottes waarop quantumzwaartekrachts‐
effecten een rol spelen. Dat is dus bijvoorbeeld het geval als een massa ter grootte van de planckmassa zich bevindt binnen een gebied ter grootte van de plancklengte. Zo'n gebied is extreem klein; de resulterende dichtheid zal dan van de orde mP / lP3 zijn, dus zo'n 1097 kg/m3. Op deze schaal is de planckmassa dus een gigantisch grote massa.