C Van formule naar grafiek

C Van formule naar grafiek
NAAM:
Ik werk samen met:
WERKWIJZE
Individueel:
Je werkt de delen C1 t/m C5 en alle bijbehorende opgaven individueel door. Aan het eind van
de dag lever je deze stencils in. De volgende wiskundeochtend heb je deze stencils weer
nodig, je krijgt ze dan terug in de opstartgroep.
In tweetal:
De onderdelen checkpoint en samenvatting doe je met z’n tweeën.
Checkpoint: Na elk deel komt een checkpoint. Werk als volgt:
1. Je zoekt je samenwerkingspartner op.
2. Vraag of hij/zij het betreffende deel af heeft. Zo ja, ga naar stap 3, zo nee, werk zelf
verder aan het volgende deel totdat je partner aangeeft klaar te zijn.
3. Antwoordcontrole: Ga na of jullie overal dezelfde antwoorden hebben staan. Bespreek
verschillen en controleer of jullie de juiste antwoorden hebben gegeven. Je kunt de
antwoorden laten nakijken door een begeleider.
4. Vragenronde: Hebben jullie nog vragen? Is alles duidelijk? Geef elkaar uitleg, komen
jullie er niet uit, zoek een ander tweetal dat ook aan deel B werkt of ga naar een
begeleider voor uitleg.
5. Aftekenen: Als jullie stap 1 t/m 4 doorlopen hebben en alles snappen, dan moeten
jullie aftekenen. Je zet allebei een handtekening op je eigen stencil en op het stencil
van de ander.
Samenvatting:
Maak een samenvatting. De samenvatting mag niet groter zijn dan een A4-tje, noteer alleen
de belangrijkste dingen. Je zult deze samenvatting volgende week nodig hebben.
317493122
1
Inleiding
Jullie hebben al eens grafieken getekend met excel. Vandaag leer je zelf heel nauwkeurig een
grafiek tekenen bij een gegeven formule. Voordat je een grafiek kunt tekenen bij een gegeven
formule, leer je eerst hoe je een tabel maakt.
C1 Tabellen
Opgave 1.1
tijd (dagen)
prijs (euro)
1
100
2
120
3
140
4
160
5
180
6
200
7
220
Hierboven zie je een tabel. Deze tabel is van een autoverhuurbedrijf. Als je één dag een auto
wilt huren, kost dat €100,- . Dit kun je aflezen uit de tabel.
a) Hoeveel kost het als je een auto wilt huren voor twee dagen?
b) Hoeveel kost het als je een auto wilt huren voor zes dagen?
Bij de tabel uit opgave 1.1 hoort een formule. Die formule ziet er zo uit: P = 80 + 20 x t
In deze formule staat de P voor prijs in euro en de t voor tijd in dagen.
Stel je wilt een auto huren voor elf dagen. In plaats van de t, schrijf je nu het getal elf in de
formule:
P = 80 + 20 x 11
Nu kun je uitrekenen hoeveel de prijs is: P = 80 + 20 x 11 = 80 + 220 = 300
Het kost € 300,- om een auto elf dagen te huren.
Opgave 1.2
Hieronder staan een formule en een tabel die bij een ander autoverhuurbedrijf horen. Vul met
behulp van de formule de tabel verder in.
P = 50 + 30 x t
tijd (dagen)
prijs (euro)
317493122
1
2
3
4
5
6
7
2
Hoe maak je nu zelf een tabel?
1. Met liniaal en potlood teken je de vakjes zoals bij de tabellen hierboven.
2. In het eerste vakje (linksboven in de tabel) noteer je de letter die in de formule staat.
Het is duidelijker als je in plaats van de letter, het woord opschrijft. Dus in plaats van t
schrijf je tijd. Je moet altijd de eenheid vermelden! In de voorbeelden hierboven is
‘dagen’ de eenheid van tijd. Als je dit er niet bij schrijft, zou de eenheid ook uren,
weken, maanden enz. kunnen zijn, en dan zijn de antwoorden niet meer juist.
3. In het eerste vakje linksonder noteer je dat wat je uitrekent.
Dit staat altijd links van het =-teken in de formule. In de voorbeelden hierboven is dat
de prijs. Vergeet niet de eenheid te vermelden! In dit geval is dat euro.
4. Nu zet je getallen in de bovenste rij van de tabel.
Kies logische getallen die passen bij dat wat je wilt berekenen. In het voorbeeld
hierboven kies je bijvoorbeeld niet het getal 0,1 want je huurt een auto meestal per
dag, en niet per 0,1 dag. Het getal 300 zou ook niet logisch zijn. Een auto wordt vaak
gehuurd als je op vakantie bent, en 300 dagen op vakantie is wel erg veel. Dan kun je
van het bedrag dat je kwijt bent aan de huur van een auto, net zo goed een kleine auto
kopen!
5. Bereken met de formule welke getallen er in de vakjes van de onderste rij moeten
staan.
Opgave 1.3
Tim en Marianne gaan op vakantie naar Frankrijk. Ze willen een bungalow reserveren op een
leuke camping. Van twee campings hebben ze brochures aangevraagd. In de brochures staat
een formule waarmee je kunt berekenen hoeveel het kost om een bungalow te huren.
Camping 1: K = 95 + 30 x t
Camping 2: K = 60 + 35 x t
De K staat voor kosten in euro en de t staat voor tijd in dagen.
a) Maak voor beide formules een tabel
b) Tim en Marianne willen zeven dagen overnachten in de bungalow. Ze kiezen de
goedkoopste camping. Bij welke camping reserveren ze een bungalow?
317493122
3
Opgave 1.4
Bij een toets van natuurkunde waren maximaal 40 punten te halen. De docent heeft een
formule waarmee hij berekent welk cijfer bij een bepaald aantal punten hoort.
C = 0,25 x p
Hier is c het cijfer en p het aantal punten.
a) Stel je haalt 23 punten bij de toets, welk cijfer heb je dan?
b) Teken een tabel bij de formule. ( Je hoeft deze keer geen eenheid te vermelden, want
‘cijfer’ en ‘aantal punten’ hebben geen eenheid.)
CHECKPOINT
Stap 1 t/m 4 van checkpoint (zie werkwijze blz.1) hebben wij samen volledig
uitgevoerd voor deel C1.
Handtekening:
Handtekening samenwerkingspartner:
C2 Eigenschappen van een grafiek
Grafiek 1 hoort bij het autoverhuurbedrijf uit opgave 1.1.
Een grafiek bestaat altijd uit twee assen. De assen zijn hier met rood aangegeven. De
horizontale as wordt de x-as genoemd, de verticale as wordt de y-as genoemd.
Grafiek 1
317493122
4
Langs de x-as en de y-as staan getallen. Bij de x-as staat aangegeven dat het om de tijd gaat,
de getallen langs de y-as stellen de prijzen voor. Er staat ook altijd een eenheid bij. Bij de tijd
is dat ‘aantal dagen’ en bij de prijs is dat ‘euro’.
De blauwe stip geeft de oorsprong aan. De oorsprong is de plek waar de x-as en de y-as elkaar
snijden. De coördinaten van de oorsprong zijn altijd (0,0).
Opgave 2.1
Marjolein meet na elke 2 uur de temperatuur. De resultaten staan in grafiek 2.
a) Geef aan wat de x-as en wat de y-as is.
b) Geef met een stip aan waar de oorsprong zit.
c) Hoe warm was het na 6 uur ?
d) Geef de maximum en de minimum temperatuur.
e) Wat zou het zigzag-figuurtje op de y-as kunnen betekenen?
Grafiek 2
Bekijk nog eens grafiek 2 uit de vorige opgave. Als je kijkt naar de getallen die langs de x-as
staan, zie je dat de stap tussen de getallen telkens even groot is. Om van 0 naar 2 te gaan,
moet je er 2 bij op tellen. Om van 2 naar 4 te gaan, moet je er weer 2 bij op tellen. Je telt er
telkens 2 bij op.
Ook bij de y-as maak je telkens dezelfde stap: van 8 naar 10, van 10 naar 12, van 12 naar 14
enz. Alleen de allereerste stap op de y-as is groter: van 0 naar 8. Je mag de eerst stap wel
groter maken, maar dan moet je zo’n zigzag-figuurtje tekenen. Daarmee geef je aan dat je een
paar stappen overslaat. Zo hoef je niet alle stappen van 0 naar 2, van 2 naar 4 enz. tot en met 8
te tekenen. Dat scheelt werk en je de temperatuur komt toch niet lager dan 9 graden, dus de
stappen onder de 8 heb je niet nodig.
317493122
5
Er valt nog iets op aan grafiek 2. In het begin gaat de lijn alleen omhoog. De eerste
temperatuurmeting geeft 9°C, na twee uur is het 10°C. De temperatuur wordt steeds hoger.
We zeggen dan dat het een stijgende grafiek is.
Pas na tien uur gaat de temperatuur omlaag. Als de grafiek omlaag gaat, noemen we dit een
dalende grafiek.
Opgave 2.2
a) Geef aan bij grafiek 3 tussen welke waarden van x de grafiek stijgt.
b) Geef aan bij grafiek 3 tussen welke waarden van x de grafiek daalt.
Grafiek 3
De docent natuurkunde uit opgave 1.4 heeft een grafiek getekend bij zijn formule, zie grafiek
4.
Deze grafiek bestaat uit één rechte lijn. Een grafiek die uit één rechte lijn bestaat, noemen we
een lineaire grafiek. Grafiek 3 is geen lineaire grafiek, want die bestaat niet uit één rechte lijn.
Grafiek 4 is een stijgende grafiek. Lineaire grafieken zijn óf stijgend, óf dalend, óf ze lopen
horizontaal. Een lineaire grafiek kan nooit stijgende èn dalende (of horizontale) delen hebben,
er is altijd maar één mogelijkheid.
Bij grafiek 4 begint de lijn in de oorsprong. Bij een lineaire grafiek hoeft de lijn niet perse in
de oorsprong te beginnen, de lijn mag ook bij een ander getal op de y-as beginnen.
317493122
6
Grafiek 4
Opgave 2.3
Welke van onderstaande grafieken zijn lineair?
Grafiek 7
Grafiek 5
Grafiek 6
Grafiek 8
Grafiek 9
317493122
7
Opgave 2.4
Noteer bij de volgende tabellen of de grafieken die erbij horen stijgend of dalend zijn.
a)
Tijd (min)
Afstand (km)
b)
c)
0
0
1
0,2
2
0,4
3
0,6
4
0,8
5
1
6
1,2
7
1,4
8
1,6
9
1,8
10
2
Tijd (min)
Hoogte (m)
0
100
1
81
2
64
3
49
4
36
5
25
6
16
7
9
8
4
9
1
10
0
Aantal uren
Prijs
0
0
1
50
2
65
3
80
4
95
5
110
6
125
7
140
8
155
9
170
10
185
Opgave 2.5
Kun je aan de volgende tabel zien of de bijbehorende grafiek een lineaire grafiek is? Geef aan
of de grafiek lineair is of niet.
Tijd (uren)
Temperatuur (°C)
0
10
1
12
2
13
3
15
4
15
5
13
6
12
CHECKPOINT
Stap 1 t/m 4 van checkpoint (zie werkwijze blz.1) hebben wij samen volledig
uitgevoerd voor deel C2.
Handtekening:
Handtekening samenwerkingspartner:
C3 Een grafiek tekenen bij een tabel
Zo teken je een grafiek bij een tabel:
1. Neem ruitjespapier, potlood en liniaal. Teken een horizontale as (de x-as) met de getallen
van de bovenste rij van de tabel. Neem steeds even grote stapjes.
2. Teken een verticale as (de y-as) met de getallen van de onderste rij van de tabel. Kijk naar
het grootste getal en maak een handige verdeling.
317493122
8
3. Zet bij de assen waar het over gaat. Vergeet niet de eenheid te vermelden.
4. Teken de punten uit de tabel.
5. Teken de grafiek door deze punten.
Voorbeeld bij tabel 1:
Tijd (min)
Afstand (km)
Tabel 1
0
0
1
0,2
2
0,4
3
0,6
4
0,8
5
1
6
1,2
7
1,4
8
1,6
9
1,8
10
2
Stap 1
Stap 2
Het grootste getal van de onderste rij van de tabel is 2. Dat getal komt bovenaan de y-as.
Langs de y-as komen getallen tussen de 0 en de 2, maar ik moet wel even grote stappen
nemen. Ik kan de getallen uit de tabel nemen, maar ik kan bijvoorbeeld ook stappen van 0,4
maken in plaats van stappen van 0,2.
317493122
9
Stap 3
317493122
10
Stap 4
Teken de punten uit de tabel. Bijvoorbeeld: bij een tijd van 4 minuten hoort de afstand van 0,8
km. De coördinaten van dit punt zijn (4 ; 0,8). Teken dit punt.
Stap 5
317493122
11
Bij de volgende opgaven moet je zelf grafieken tekenen. Gebruik het ruitjespapier op de
laatste pagina’s.
Opgave 3.1
Een kaars is 8 cm lang. In de tabel hieronder zie je hoe de lengte van de kaars verandert na het
aansteken van de kaars. Maak een grafiek bij de tabel.
Tijd (uren)
Lengte (cm)
0
8
1
7
2
6
3
5
4
4
5
3
6
2
Opgave 3.2
Gedurende een week meet Tony elke dag om 12.00 uur de temperatuur. De resultaten staan in
de tabel hieronder. Maak een grafiek bij de tabel.
Tijd (dagen)
Temperatuur (°C)
1
20
2
22
3
19
4
26
5
25
6
19
7
18
Opgave 3.3
Onderstaande grafieken zijn niet helemaal goed getekend. Noteer bij elke grafiek wat er is
weggelaten of wat er niet klopt.
Grafiek 11
Grafiek 10
Grafiek 12
317493122
12
Opgave 3.4
Maak bij de volgende formule een tabel en een grafiek: P = 2 x t
P staat voor de prijs van een parkeerplaats in het centrum van Utrecht, t is het aantal uren dat
iemand geparkeerd heeft.
CHECKPOINT
Stap 1 t/m 4 van checkpoint (zie werkwijze blz.1) hebben wij samen volledig
uitgevoerd voor deel C3.
Handtekening:
Handtekening samenwerkingspartner:
C4 Meerdere grafieken in één
Hieronder zie je twee grafieken in één. Zeven lentedagen achter elkaar is de temperatuur
gemeten in Amsterdam en in Barcelona. Door beide grafieken in één plaatje te zetten, kun je
ze met goed met elkaar vergelijken. Je ziet meteen dat het in Barcelona warmer is geweest
dan in Amsterdam.
Grafiek 13
Opgave 4.1
a) Wat was de temperatuur in Amsterdam op de eerste dag? En in Barcelona?
b) Hoeveel graden verschil zat er op de eerste dag tussen Amsterdam en Barcelona?
c) Op welke dag was het verschil in temperatuur het grootst? En op welke dag het
kleinst?
d) Wat is de maximum temperatuur die bereikt is in Amsterdam? En was is de maximum
temperatuur in Barcelona?
317493122
13
Bij grafiek 13 zie je dat de waarden op de x-as voor beide grafieken hetzelfde zijn. De
waarden op de y-as zijn echter niet hetzelfde.
Omdat de x-waarden hetzelfde zijn, hoef je maar één tabel te maken voordat je de grafiek
tekent. Bij grafiek 13 hoort de tabel hieronder.
Tijd (dagen)
Temp. Amsterdam (°C)
Temp. Barcelona (°C)
Tabel 2
1
10
20
2
11
18
3
14
19
4
15
23
5
13
25
6
16
26
7
15
26
Opgave 4.2
Henk heeft bij 2 verschillende winkels kaarsen gekocht. Hij wil testen welke kaarsen het
langst blijven branden. Bij de kaarsen horen de volgende formules:
Kaars A: L = 10 – 2 x t
Kaars B: L = 6 – t
L is de lengte in cm, t de tijd in uren.
Maak één tabel voor beide formules. In de bovenste rij van de tabel komt het aantal uren te
staan. In de rijen daaronder komt de lengte van kaars A en de lengte van kaars B.
Opgave 4.3
a) Teken de grafiek van kaars A uit opgave 4.2.
b) Teken de grafiek van kaars B uit opgave 4.2 in hetzelfde plaatje als de grafiek van
kaars A.
Opgave 4.4
Bekijk de grafieken die je bij opdracht 4.3 hebt getekend en beantwoord de volgende vragen.
a) Welke kaars is het snelst opgebrand?
b) Wanneer zijn de kaarsen allebei even lang? Hoe zie je dat in de grafiek?
c) Welke kaarsen zal Henk de volgende keer weer kopen en waarom?
CHECKPOINT
Stap 1 t/m 4 van checkpoint (zie werkwijze blz.1) hebben wij samen volledig
uitgevoerd voor deel C4.
Handtekening:
Handtekening samenwerkingspartner:
317493122
14
C5 Formule en grafiek
Als je een formule bekijkt, kun je al iets zeggen over hoe de grafiek eruit zal zien, ook al heb
je nog geen tabel gemaakt.
Als je weet dat de formule lineair is, dan weet je dat de grafiek ook lineair zal zijn en dus uit
één rechte lijn bestaat.
Een lineaire formule heeft altijd de volgende vorm: Y = a x X + b
Hierin zijn a en b getallen, Y en X zijn letters.
De formule mag er ook zo uit zien: Y = b + a x X , dit is eigenlijk precies hetzelfde. In plaats
van de plus mag er ook een minnetje staan.
In de formule kan a of b ook de waarde nul hebben.
Als a = 0 dan ziet de formule er zo uit: Y = b
Als b = 0 dan ziet de formule er zo uit: Y = a x X
Als a = 1 dan ziet de formule er zo uit: Y = X + b
Opgave 5.1
Omcirkel de formules die lineair zijn.
L = a² + a – 8
Y=5xt+2
B = 23
s = 5 + t²
K=wx3
B=5–t
f = 7 x g³ + g² – g
Kijk nog eens naar de vorm van een lineaire formule: Y = a x X + b
Dit zou bijvoorbeeld de volgende formule kunnen zijn: S = 0,10 x f + 1,50 (a en b zijn nu
getallen en X en Y zijn letters).
S is het statiegeld in euro en f is het aantal flesjes bier dat je inlevert per krat. Voor een krat
krijg je € 1,50 en daarnaast nog tien cent per flesje.
Grafiek 14 hoort bij de formule voor statiegeld. Wat valt je op als je naar de getallen in de
formule kijkt, en als je naar de grafiek kijkt?
317493122
15
Grafiek 14
Als je goed kijkt zie je dat de grafiek de y-as snijdt in 1,50. Dit getal is ook terug te vinden in
de formule!
Als je een lineaire formule hebt in de vorm Y = a x X + b, dan snijdt de grafiek de y-as altijd
in b.
Opgave 5.2
Geef bij de volgende formules aan bij welke waarde de grafiek de y-as snijdt.
a) B = 3 x t + 5
b) A = 40 + 5 x d
c) Y = 3 x X
d) R = 45
Niet alleen aan de b, maar ook aan de a kun je iets zien.
Bij grafiek 15 hoort de formule Y = 0,5 x X + 1
Bij grafiek 16 hoort de formule Y = – 0,25 x X + 5
Grafiek 16
317493122
Grafiek 15
16
Opgave 5.3
a) Is grafiek 15 dalend, stijgend of horizontaal?
b) Is grafiek 16 dalend, stijgend of horizontaal?
c) Is het getal a uit de formule van grafiek 15 positief of negatief?
d) Is het getal a uit de formule van grafiek 16 positief of negatief?
Als er voor de a uit de formule Y = a x X + b een min staat, dan is de grafiek dalend.
Als de a positief is, dan is de grafiek stijgend.
Als de a gelijk is aan nul, dan is de grafiek horizontaal.
Opgave 5.4
Geef bij volgende formules aan of de bijbehorende grafiek dalend, stijgend of horizontaal is.
a) Y = 3 x X – 5
b) Z = 50
c) Y = – 2 x X – 3
d) T = 6 – 3 x a
e) B = t + 4
Ook al heb je de grafiek nog niet getekend, je kan bij een lineaire formule al aan de getallen
zien of de grafiek dalend, stijgend of horizontaal is en waar de grafiek de y-as snijdt.
CHECKPOINT
Stap 1 t/m 4 van checkpoint (zie werkwijze blz.1) hebben wij samen volledig
uitgevoerd voor deel C5.
Handtekening:
Handtekening samenwerkingspartner:
317493122
17
Samenvatting
317493122
18
Opgave 3.1
Opgave 3.2
317493122
19
Opgave 3.4
Opgave 4.3
317493122
20