Semi-technische introductie tot elementaire

í Semi-technische introductie tot
elementaire deeltjesfysica î
Inhoud
§1. Inleiding
§2. De atoombouw
2.1 De kern en het elektron
2.2 Quarks
2.3 Mesonen en fotonen
2.4 Hyperonen
2.5 Isospin, vreemdheid, baryongetal, leptongetal en hyperlading
2.5.1 Isospin
2.5.2 Vreemdheid
2.5.3 Baryongetal
2.5.4 Leptongetal
2.5.5 Hyperlading
§3. Kwantummechanica
3.1 Golffuncties
3.2 Potentiaalsprong
3.3 Potentiaalput
3.4 Potentiaalberg
3.5 Formele theorie van de kwantummechanica
3.6 Relativistische kwantummechanica
§1. Inleiding
De klassieke mechanica of newtoniaanse mechanica behandelt de dynamica, de
statische fysica en verschillende onderverdelingen van die wetenschappelijke
takken. Al de besproken onderwerpen zijn tot op een redelijk niveau voor te
stellen. Men behandelt de zwaartekracht, de krachtentheorie in het algemeen,
snelheid, versnelling, de verschillende soorten beweging et cetera.
Ook al wordt daarbij soms gebruik gemaakt van ver doorgedreven wiskunde,
blijft men voor de amateur of hobbyist binnen een waarneembaar gebied.
De wetenschap van het onmetelijk kleine echter, is volledig te danken aan de
groei van de abstracte wiskunde. Fysica, een wetenschap die vroeger op eigen
benen stond, is nu niet meer denkbaar zonder het formalisme van de hedendaagse
wiskundige theorieën. Vooral in de kwantumfysica wordt die uiterst abstracte
mathematica op grote schaal toegepast, wat echter niet wil zeggen dat het
abstractieniveau in de toepassing afneemt; in tegendeel, dat wordt meestal nog
vergroot.
Zo is de operatieruimte in de kwantumfysica niet eens een reële ruimte in de
strikte zin van het woord, maar een ingewikkelde mathematische structuur, die
men een hilbertruimte noemt. Die ruimte heeft weliswaar banden met de
euclidische vectorruimten, maar maakt meer fundamentele operaties mogelijk,
noodzakelijk om de opbouw van een atoom te kunnen begrijpen.
Volgens Newton doet alles in de natuur zich voor volgens vaste wetten, die
men bij wijze van spreken niet kan overtreden. Een strenge causaliteit en een
zuiver determinisme heersen. Licht is volgens hem een bron waaruit kleine
deeltjes worden geslingerd, die onze ogen treffen en de waarneming mogelijk
maken. Christiaen Huygens echter, een Nederlands geleerde, was er van overtuigd
dat licht golven uitzendt. Alb ert Einstein stelde beiden tevreden met wat we nu
kennen als de golfdeeltjedualiteit. Een golf gedraagt zich klaarblijkelijk soms als
een deeltje en vice versa.
Ten slotte kwam men ertoe licht te beschouwen als kleine pakketjes energie of
kwanta, onderhe vig aan de golfdeeltjedualiteit. We kennen de lichtkwanta beter als
fotonen, naar het Grieks voor licht. Kwanta schonken het bestaan aan de
kwantumfysica. Naar analogie met Newtons theorieën trachtte men ook de
verschijnselen op subatomair niveau (wat zich in het atoom bevindt) te verklaren.
Toen men echter concludeerde dat Newtons wetten daar geen steek meer hielden,
moest men noodgedwongen de nieuwe theorie van de kwantummechanica
ontwikkelen. De natuurkunde sloeg tot dan toe ongekende wegen in en het
onmogelijke bleek mogelijk.
§2. De atoombouw
2.1 De kern en het elektron
Niels Bohr was een van de eersten die een degelijk, fundamenteel atoommodel
beschreven. Hij stelde dat negatief geladen elektronen rond de positieve kern
(nucleus) van het atoom banen beschrijven, die zich op welbepaalde afstanden van
de atoomkern bevinden. Die banen noemde hij elektronenschillen.
We zullen de algemeen aanvaarde opbouw van het atoom in detail beschrijven.
De louter wetenschappelijke geschiedenis achter het atoommodel is niet zozeer
van belang in het licht van de latere filosofische aspecten. Het is echter wel
noodzakelijk een vrij accuraat beeld te bezitten van de bouwstenen van de materie.
Materie bestaat uit moleculen en moleculen bestaan uit atomen. Atomen zijn
opgebouwd uit een kern, omgeven door een elektronenwolk, die een negatieve
elektrische lading draagt. De kern of nucleus bestaat uit de nucleonen of kerndeeltjes:
protonen, positief geladen en neutronen, niet geladen.
De onvermijdelijke vraag rijst hoe positieve deeltjes bij elkaar kunnen blijven
zitten. Normaliter verwacht men afstoting. Die is er ook, maar wordt
overwonnen door twee factoren. Enerzijds fungeren de neutronen als een soort
lijm; anderzijds is er de sterke kernkracht, die begint te werken wanneer protonen
heel dicht bij elkaar worden gebracht. Die geheimzinnige atoomkracht is nog
steeds het onderwerp van grondig onderzoek. We weten echter dat bij het vormen
van een kern energie vrijkomt.
In de fysica bestaat een wet die zegt dat energie niet zomaar kan ontstaan noch
verloren kan gaan. Dat is de wet van behoud van energie. Om het probleem van de
vrijkomende energie op te lossen, moeten we het massadefect van de atoomkern
aanhalen.
Wanneer men de gewichten van de protonen, neutronen en elektronen van een
koolstofatoom bij elkaar optelt, kunnen we logischerwijze verwachten uit te
komen op het totaal gemeten gewicht. Dat is echter niet het geval. Het reële
gewicht van het atoom blijkt kleiner dan het theoretisch berekende!
Albert Einstein leerde ons in de relativiteitstheorie dat massa en energie
gelijkwaardig zijn, zelfs identiek (E=mc²). De zogezegd verloren gegane massa is
omgezet in energie, die vrijkomt bij het ontstaan van de atoomkern.
De elektronen bewegen aan bijna lichtsnelheid rond de kern en dat is meteen
een van de redenen waarom ze zich niet bij de nucleus voegen. Hoe dichter een
elektron bij de kern zit, in de laagste schillen, hoe lager zijn potentiële energie omdat
het dichter bij het verwezenlijken van een neutrale lading zit als gevolg van de
aantrekkende positieve protonen in de kern. Hoe verder het elektron verwijderd is
van de kern, hoe groter zijn potentiële energie, hoe sterker de aantrekking.
Op de verschillende schillen kunnen zich slechts een beperkt aantal elektronen
bevinden. Dat aantal kan worden berekend met de volgende formule: 2n². n is het
hoofdkwantumgetal, toegekend aan elke schil. De hoofdschillen worden aangeduid met
de hoofdletters K,L,M,N met n=1,2,3,4.
De hoofdschillen worden op hun beurt onderve rdeeld in subschillen, aangeduid
met de kleine letters s,p,d,f,g,h. Het overeenkomstig kwantumgetal, het
nevenkwantumgetal, is l=0,1,2,3,4,5. De eerste vier subschillen kunnen respectieve lijk
2,6,10 en 14 elektronen bevatten.
Iedere subschil bestaat uit elektronenbanen of orbitalen, respectievelijk uit 1,3,5,7,
die elk maximaal 2 elektronen kunnen herbergen. Het kwantumgetal van de banen
heet het magnetisch kwantumgetal m, waarvan de waardenindeling complexer is.
Het beweegt niet alleen rond de kern van het atoom, het elektron roteert tevens
rondom een ingebeelde as en verkrijgt daardoor een spin, aangeduid met het
spinkwantumgetal s, dat slechts twee waarden heeft: +½ of -½, de enige twee
mogelijkheden om zich ten opzichte van een magnetisch veld te oriënteren,
parallel (spin up) of antiparallel (spin down). Het magnetische veld wordt
opgespannen door de beweging van de elektrische geladen elektronen.
Wolfgang Pauli ten slotte stelde in zijn Pauli-verbod dat in een atoom nimmer
twee elektronen voorkomen met dezelfde vier kwantumgetallen. Een elektron
wordt namelijk beschreven door een kwantumtoestand. Dat is een opeenvolging
van de verschillende kwantumgetallen, waarmee heel het atoom kan worden
gekarakteriseerd (elektronenconfiguratie).
2.2 Quarks
Waaruit bestaan protonen, neutronen en elektronen? Elektronen blijken
fundamentele deeltjes te zijn, die niet verder kunnen worden opgedeeld. Protonen
en neutronen daarentegen zijn opgebouwd uit quarks, waarvan er zes soorten
bestaan: up (u), down (d), strange (s), charmed (c), top (t) en bottom (b), per twee
onderverdeeld in drie energieniveaus. Quarks zouden eveneens fundamentele
deeltjes zijn. Zij bezitten theoretisch een deel van de elementairlading (d.i. de
lading van een elektron), respectievelijk: + 2/3, -1/3, -1/3, +2/3, +2/3 en -2/3.
Een proton en een neutron bestaan elk uit drie quarks. Bijvoorbeeld het proton:
udc (de ladingen van de quarks opgeteld geven +1, de lading van een proton).
2.3 Mesonen en fotonen
In het atoom zelf spelen zich verschillende reacties of beter, interacties af tussen de
verschillende deeltjes. In de kern worden mesonen uitgewisseld. Er zijn drie
belangrijke soorten mesonen: π +, π 0 en π -. Later ontdekte men ook het bestaan van
K+- en K0-mesonen. Tussen een proton en een neutron kan een π +- of een π -meson uitgewisseld worden. Mesonen noemt men ook wel virtuele deeltjes of
pionen. Ze bestaan uit twee quarks: een quark en een antiquark. Dat laatste deeltje
behoort tot de groep van de antideeltjes, de bouwmaterialen van de antimaterie.
De interacties in de kern noemen we sterke interacties. De interacties tussen
elektronen, door middel van fotonen, heten elektromagnetische interacties. Er bestaan
ook zwakke interacties (vb. het uiteenvallen van mesonen) en
zwaartekrachtinteracties met behulp van gravitonen, waarvan het bestaan nog niet is
aangetoond. Dat zijn de vier fundamentele krachten. Het hedendaagse theoretische
onderzoek poogt een unificatie van die vier krachten te vinden: ze met andere
woorden, terugvoeren op verschijningsvormen van een en dezelfde kracht. Wat de
elektromagnetische, zwakke en ook wel sterke interacties betreft, blijkt het
onderzoek in de goede richting te evolueren. Enkel de zwaartekracht valt voorlopig
uit de boot. De theorie die men uiteindelijk wil bewerkstelligen, heet GUT, wat
staat voor Grand Unified Theory.
2.4 Hyperonen
Onder hyperonen verstaat men deeltjes die meer wegen dan een proton. Zo heeft
men: Σ +, Σ -, Σ 0, Ξ 0, Ξ- en Λ0. Ze worden ook vreemde deeltjes genoemd. Het zijn
verschillende combinaties van eerder besproken deeltjes.
2.5 Isospin, vreemdheid, baryongetal, leptongetal en hyperlading
2.5.1 Isospin
De isospin is een kwantumgetal toegekend aan de deeltjes dat vooral gebruikt wordt
ter classificatie ervan. Zo kent men een proton isospin ½ toe en een neutron
isospin - ½. Men doet dit zo omdat beide deeltjes zich vrijwel identiek gedragen.
Enkel een massaverschil (een neutron weegt iets minder dan een proton) wordt
teweeg gebracht door elektromagnetische wisselwerking.
Bij sterke interacties gedragen ze zich identiek, uitsluitend verschillend door
hun isospinwaarde. De wet van isospinbehoud zegt dat de totale isospinwaarde
voor en na een sterke interactie dezelfde moet zijn.
Het Λ0-deeltje bijvoorbeeld ontstaat door sterke interactie. Het deeltje valt
uiteen in een proton en een π --meson. Aan het Λ0 -deeltje wordt de isospinwaarde 0
toegekend. Als men weet dat het π --meson isospin -1 heeft, blijkt de wet van
isospinbehoud niet op te gaan: 0 is namelijk niet gelijk aan ½ + (-1). Wanneer men
echter een proton en een π - meson samenbrengt, onstaan er twee deeltjes. Naast het
Λ0-deeltje ontstaat tevens een K0-meson. Dat meson heeft isospin -½. Nu is -1 +
½ = 0 + (-½). De wet gaat op.
2.5.2 Vreemdheid
Schijnbaar moet het K0-meson een nieuwe soort lading bezitten die behouden
blijft bij sterke interacties. Zo kan men aannemelijk maken dat K0 samen met Λ0
bij sterke interacties zal moeten geproduceerd worden. Die nieuwe lading noemt
men de vreemdheid van het deeltje. Men kent K0 en K+ vreemdheid +1, Λ0 -1 en de
nucleonen en de π-mesonen 0 toe. Wanneer nu een K0-meson en een Λ0-deeltje
ontstaan door een interactie tussen een nucleon en een π --meson, dan is zowel voor
en na de reactie de vreemdheid gelijk aan nul. Volgens die regels is het in paren
gevormd worden van vreemde deeltjes of hyperonen begrijpelijk geworden.
2.5.3 Baryongetal
De wet van baryonbehoud: tijdens een reactie mag het aantal baryonen niet
verminderen, tenzij zowel een baryon als zijn antideeltje gelijktijdig verdwijnen in
een annihilatie proces. Baryonen behoren naast mesonen tot de deeltjesgroep van
de hadronen, waaronder ook protonen en neutronen geclassificeerd zijn. Baryonen
vallen tijdens reacties niet helemaal uiteen in mesonen en leptonen (elektron,
elektron-neutrino, tau, tau-neutrino, muon, muon-neutrino ), maar leveren in het
uiteindelijke vervalproduct minstens één (anti)proton. Deeltjes die een proton
opleveren, krijgen baryongetal +1, de andere -1 toegewezen. Zo heeft een
antineutron baryongetal -1.
2.5.4 Leptongetal
Analoog met het baryongetal: er is tevens sprake van de wet van leptonbehoud en
antideeltjes krijgen eveneens een negatieve leptonwaarde.
2.5.5 Hyperlading
De hyperlading is de som van de vreemdheid en het baryongetal.
§3. Kwantummechanica
3.1 Golffuncties
Elementaire deeltjes worden geassocieerd met golven, die zich voortplanten in een
materieveld. Het elektron als deeltje bezit hierdoor een onbepaaldheid in plaats.
Men kan niet berekenen waar het zich precies zal bevinden, maar enkel afgaan op
een waarschijnlijkheid. Cirkel- of ellipsvormige banen, waar de plaats in de
klassieke betekenis steeds bepaald is, zijn dus volstrekt uit den boze. De
kwantummechanica voerde indeterminisme in.
Het elektron is een typisch voorbeeld van de golfdeeltjedualiteit. Soms gedraagt
het zich als golf, soms als deeltje. De verschijningsvorm hangt louter af van het
type van experiment om het elektron waar te nemen.
De waarschijnlijkheidsdichtheid duidt aan waar men het elektron met grote of
met kleine kans kan aantreffen. De waarschijnlijkheid wordt bepaald door het
kwadraat van de golffunctie waaraan het elektron als staande golf voldoet. Een
staande golf is een golf die beperkt is tot een bepaald gebied.
De amplitude van een golf is zij n golfhoogte. Wanneer de intensiteit van een
golf is gegeven, is de amplitude in ieder punt van de ruimte bepaald. In punten
waar de amplitude groter is, heeft de golf een grotere intensiteit. De amplitude van
de materiegolf noemen we de golffunctie, die wiskundig wordt bepaald. De totale
golffunctie hangt af van vier ruimtetijdcoördinaten bij ééndeeltjessystemen. Bij ndeeltjessystemen hangt ze af van 4n coördinaten. Elk betrokken deeltje in het
systeem heeft als het ware zijn specifieke ruimtetijdcoördinaten.
Een bondige beschrijving van wat subatomaire deeltjes zijn, werd gegeven door
Niels Bohr: ‘Geïsoleerde materiële deeltjes zijn abstracties, want de eigenschappen
ervan kunnen alleen maar gedefinieerd en waargenomen worden door middel van
hun wisselwerking met andere systemen.’ (cursivering van de auteur).
3.2 Potentiaalsprong
We hebben reeds aangegeven dat een elektron, wanneer het zich dicht bij de kern
bevindt, een lage potentiële energie heeft. Een elektron kan evenwel opgetild
worden naar een hoger potentiaalniveau door interactie met fotonen. Het atoom
bevindt zich dan in een aangeslagen of geëxciteerde toestand. Dat fenomeen heet
een potentiaalsprong.
De verschillende golffuncties die bij het probleem horen, zijn bepaald door de
schrödingervergelijking, een bewegingsvergelijking voor subatomaire deeltjes die
in eerste kwantisatie enkel gebruikt kan worden voor eenvoudige deeltjesproblemen
(voor gecompliceerde n-deeltjessystemen wendt men de vergelijking aan in het
kwantumveld in tweede kwantisatie).
Het elektron doet iets vreemd tijdens de sprong. Uit de
waarschijnlijkheidsdichtheid blijkt dat het elektron in een gebied kan
terechtkomen waar zijn bewegingsenergie negatief is. Dat is volgens Newtons
wetten volstrekt verboden. De natuur kan die wetten enkel overtreden door juist
datgene te laten gebeuren wat we niet verwachten.
3.3 Potentiaalput
Een potentiaalput is een begrensd gebied waarin een deeltje gevangenzit. De
golffunctie wordt tevens bepaald door de schrödingervergelijking. Aan de grenzen
van de put is de functie nul (de continuïteitsvoorwaarden).
Met behulp van die voorwaarden kan men de energie van het deeltje berekenen
langs een ingewikkelde wiskundige weg. Het blijkt uiteindelijk dat die energie
gekwantiseerd is. Dat wil zeggen dat het deeltje zich niet om het even welke
energiewaarde kan eigen maken, maar slechts een beperkt aantal waarden die een
discrete reeks vormen. Aan die verschillende energiewaarden kunnen
verschillende golffuncties voldoen. De ontaardingsgraad g is gelijk aan het aantal
golffuncties bij een gegeven energie.
3.4 Potentiaalberg
Een potentiaalberg is een gebied waar het elektron zich volgens Newtons wetten
niet kan bevinden omdat zijn bewegingsenergie er negatief is. Uit de werkelijkheid
blijkt echter dat het wel mogelijk is (bijvoorbeeld in een ammoniakmolecule NH3 ).
Het deeltje kan als het ware door het gebied heen dringen. Vanuit een klassiek
standpunt is het alsof het deeltje zich op een bepaald ogenblik ergens bevindt en
even later op een andere plaats zonder dat het de afstand tussen beide posities heeft
afgelegd.
3.5 Formele theorie van de kwantummechanica
Om informatie in te winnen over de bewegingen en de gedragingen van
subatomaire deeltjes maakt men gebruik van verfijnde wiskundige instrumenten
of operatoren. Dat zijn wiskundige uitdrukkingen die ondermeer informatie
verschaffen over plaats, impuls, impulsmoment, kinetische energie, potentiële
energie, spindichtheid en de totale energie van een systeem. De totale energie in
functie van de tijd wordt bepaald door middel van de hamiltonoperator. Men laat een
operator wiskundig inwerken op een golffunctie, waaruit men vervolgens
eigenwaarden en eigenfucties bepaald, die de energieën en hun overeenkomstige
functies voorstellen.
3.6 Relativistische kwantummechanica
De relativistische kwantummechanica is het prille begin van het samengaan van
relativiteitstheorie en kwantummechanica. Het gedrag van een elektron wordt
beschreven met de diracvergelijking. Die vergelijking heeft steeds twee oplossingen.
Een voor het gekende elektron, een andere voor een deeltje identiek aan het
elektron, maar met een positieve lading! Men noemt dat deeltje het anti-elektron
of positron. Het deeltje is daadwerkelijk aangetroffen alsook antiprotonen en
-neutronen. Men concludeerde dat er naast de gekende materie ook antimaterie
moest bestaan. Experimenteel onderzoek stelde vast dat voor elke brok materie een
brok antimaterie betstaat. Echter, wanneer grote hoeveelheden materie ontstaan, is
de overeenkomstige ontstane hoeveelheid antimaterie veel kleiner.