in de ban van wiskunde

Voorstelling van het boek:
‘IN DE BAN VAN WISKUNDE’
‘Het cultuurverschijnsel mathematica in beschaving, kunst, natuur en leven’
Het boek is bedoeld voor een breed publiek ter promotie van de wiskunde.
Voor wiskundeleraren in het bijzonder biedt het boek een kleine synthese van de componenten van hun vak en de
maatschappelijke en culturele aspecten ervan. Deze laatste kunnen inspiratie bieden voor motiverende elementen bij het
onderwijs van de wiskunde.
Het is weinig relevant talrijke illustraties en voorbeelden van de alomtegenwoordigheid van wiskunde in de natuur en de
diverse aspecten van cultuur te geven, zonder vooraf duidelijk te maken wat wiskunde inhoudt en hoe haar methode werkt.
De benadering van eenvoudige concrete inhouden is daarbij onvermijdelijk
Het boek bevat daarom vier hoofdstukken in een logische volgorde, die echter onafhankelijk van elkaar kunnen gelezen
worden. De lezer die niet graag begint met inhoudelijke inspanningen kan best beginnen met hoofdstuk 3 en 4, daarin kan
hij dan de rol en betekenis van de andere hoofdstukken ontdekken.
Hoofdstuk 1
Hoofdstuk 2
Hoofdstuk 3
Hoofdstuk 4
‘Hoe zit wiskunde in elkaar?’
‘Hoe werkt wiskunde?’
‘Wiskunde en beschaving’
‘Wiskunde in natuur en kunsten’
Het is hier onmogelijk om het boek van 400 bladzijden volledig door te lichten. De inhoudstafel spreekt voor zichzelf.
We beperken ons tot een aantal onderwerpen in elk hoofdstuk die in het belangstellingsveld van het onderwijs van de
wiskunde liggen.
1
Hoe zit wiskunde in elkaar
In het eerste hoofdstuk gaan we wat dieper in op de methodiek van de begripsvorming in de wiskunde en het probleem van
de consistentie.
1a Begripsvorming in de wiskunde.
Bij de opbouw van de wiskunde zijn begrippen onontbeerlijk. De verwerving van die begrippen geschiedt volgens graduele
stappen waarbij herkenning en omschrijving voorafgaan aan strenge definities en axiomatische formulering. De
bewustwording van de verschillende methoden wordt dan een element van vorming en creativiteit. We illustreren dit met
een aantal voorbeelden.
Het begrip ‘ruit’
Een ruit is een vierhoek met de specifieke eigenschap van onderling gelijke zijden te hebben. De definitie van ‘ruit’ kan dus
gegeven worden met behulp van twee voorgaande begrippen, m.n. ‘vierhoek’ en ‘gelijke lengten’, en met het principe van
de specificatie of selectie uit de verzamelingenleer.
Het is echter duidelijk dat we dit principe niet oneindig in achterwaartse zin op al die noodzakelijk voorafgaande begrippen
kunnen blijven toepassen. Willen we ooit iets begrijpen moeten we starten met begrippen die niet met deze methode worden
aangebracht, m.n. met ongedefinieerde termen of grondbegrippen, zoals bijvoorbeeld ‘punten ’ en ‘rechten’.
De grondbegrippen ‘punt’ en ‘rechte’
Hoe verkrijgen de begrippen ‘punt’ en ‘rechte’ toch betekenis als we er geen definities van kunnen geven?
Dat gebeurt op een wijze zoals we schaakstukken leren kennen en gebruiken. Om bijvoorbeeld uit te leggen wat een ‘loper’
is kan men zich niet baseren op de uiterlijkheden van het stuk, want bij schaakspelen van verschillende etnische makelij is
zowel de grondstof als de vorm erg verscheiden. Men zal echter wel de regels van positie en beweging van een ‘loper’
t.o.v.de andere schaakstukken moeten aangeven. Impliciet is dus het begrip ‘loper’ bepaald door het geheel van die
‘incidentierelaties’ van het schaakspel. Hetzelfde geschiedt in de meetkunde voor de grondbegrippen ‘punt’ en ‘rechte’ door
hun onderlinge incidentierelaties te vermelden. Bijvoorbeeld: ‘een rechte is een oneindige verzameling van punten’, ‘twee
verschillende punten behoren tot precies één rechte’, enz.
In de ban van Wiskunde
2
16-11-2007
Het begrip ‘georiënteerde hoek’
Voor sommige begrippen is het vrij moeilijk om de voorgaande methoden toe te passen, enerzijds omdat voor het principe
van de selectie niet altijd een bovenverzameling beschikbaar is, en anderzijds omdat het geheel van de axiomatische context
dikwijls te complex is om ineens te introduceren, terwijl men toch alle aspecten ervan nodig heeft. Dat is bijvoorbeeld het
geval met het begrip ‘georiënteerde hoek’. Ook het begrip ‘blauw’ is niet zo maar predicatief of axiomatisch adequaat te
beschrijven.
Bestaat er dan nog een andere methode om begrippen aan te brengen? Volgens Aristoteles ontstaan begrippen door het
proces van analyseren, abstraheren en benoemen. Dat is een methode die we in de wiskunde veelvuldig toepassen met
behulp van equivalentierelaties, partities en afbeeldingen. Die equivalentierelaties worden dikwijls gedefinieerd door middel
van een groep van transformaties. We illustreren dat voor het begrip ‘georiënteerde hoek’.
We gebruiken georiënteerde tweebenen (koppels halve rechten met een gemeenschappelijke oorsprong) als termen en
noemen twee dergelijke tweebenen equivalent als er een verplaatsing (samenstelling van een even aantal lijnspiegelingen)
bestaat die het ene lijnstuk op het andere afbeeldt. Omdat de verplaatsingen een groep vormen is deze relatie reflexief (de
identieke transformatie van het vlak is een verplaatsing), symmetrisch (de inverse van een verplaatsing is een verplaatsing)
en transitief (de samenstelling van twee verplaatsingen is een verplaatsing), dus een equivalentierelatie.
We brengen nu alle equivalente tweebenen onder in een zelfde klasse en zeggen dat deze klasse een georiënteerde hoek
bepaalt. Deze hoeken kunnen we representeren op een cirkel met behulp van een vast punt en een variabel punt
In de ban van Wiskunde
3
16-11-2007
Dit drietrapsmodel kan toegepast worden op vele wiskundige begrippen:
natuurlijke getallen: de equivalente termen zijn gelijkmachtige verzamelingen
rationale getallen: de equivalente termen zijn koppels gehele getallen met kruiselingse gelijke producten
reële getallen: de equivalente termen zijn decimale uitdrukkingen die eenzelfde punt van een geijkte rechte bepalen
onthoofde reële getallen: de equivalente termen zijn reële getallen met eenzelfde staart (mantisse)
lengten: de equivalente termen zijn isometrische lijnstukken
vectoren: de equivalente termen zijn equipollente koppels punten
restklassen modulo p: de equivalente termen zijn gehele getallen waarvan het verschil een p-voud is
nevenklassen van een deelgroep D van een groep G,♦ equivalente termen zijn elementen a en b van G waarvoor een
element d in D bestaat waarvoor a♦d = b
In de ban van Wiskunde
4
16-11-2007
Het begrip ‘bidecimaal getal’
Deze methode kan nu aangewend worden om op een abstracte wijze begrippen te creëren.
_
_
Als termen gebruiken we decimale uitdrukkingen met twee komma’s in, b.v. ...33,2,13 en 47,5,1299... (met 5 = -5) .
Om hier begrippen te kunnen aan verbinden moeten we er een equivalentierelatie op definiëren. Dit kan zelfs op
verschillende manieren gebeuren.
Definitie 1 door twee componenten te onderscheiden (twee modellen)
Definitie 2 door drie componenten te onderscheiden (twee modellen)
Aantal begrippen verbonden met een eindige verzameling
Met elke equivalentierelatie in een verzameling stemt een partitie van die verzameling overeen en omgekeerd. De klassen
van die partitie bepalen een (abstract) begrip. We kunnen dus het aantal begrippen verbonden met een eindige verzameling
bepalen door het aantal partities van die verzameling te tellen. Die kunnen we bekomen uit de getallen van Stirling.
Als P(n,i) het aantal partities is van een verzameling met n elementen in i klassen dan bestaat er een reductieformule om
P(n+1,i) te berekenen uit P(n,i-1) en P(n,i), m.n.
P(n+1,i) = P(n,i-1) + i P(n,i)
Dit is eenvoudig in te zien door het bijkomend element ofwel in een afzonderlijke klasse toe te voegen aan de i-1 klassen
van de partities van de n elementen, ofwel beurtelings in een klasse van de i klassen van de partities van n elementen bij te
stoppen. Dat laatste kan dan op i manieren gebeuren.
Omdat P(n,1) = 1 en P(n,n) = 1 voor elke n kan dan de volgende driehoekstabel opgesteld worden voor de getallen van
Stirling.
Door de som te maken op een rij voor een bepaalde n-waarde vinden we het totaal aantal partities van een verzameling met
n elementen en dus het aantal begrippen verbonden met die verzameling.
In de ban van Wiskunde
5
16-11-2007
De strijd om de universalia
Deze drietrapsmethode (relateren, indelen, benoemen) is als het ware ook het kinderbed van de meeste dagelijkse begrippen.
Bijvoorbeeld de indeling van de veestapel op een erf in kippen, schapen, varkens, koeien, paarden, enz. op basis van
gemeenschappelijk kenmerken, of van gescheiden hokken of van naamkaartjes rond hun nek.
In de middeleeuwen werd met het schuim op de lippen gestreden tussen realisten, nominalisten en andere Abelards om de
prioriteit van een van de componenten van het drietrapsmodel op de andere te poneren. Plato hield het bij zijn ‘Ideeën’ als
‘universalia ante res’, voor hem was dus het model prioritair. Aristoteles verdedigde het analytische standpunt van ‘de
universalia in res’, en legde daarmee de klemtoon op de equivalentierelatie. Van Ockham poneerde dan weer boudweg het
nominalistische standpunt van de ‘universalia post res’, en vond daarmee de afbeelding op de namen essentieel. Maar voor
wiskundigen is dat alles niet meer relevant omdat al die componenten elkaar wederzijds definiëren. Wat niet belet dat de
verschillende componenten wel degelijk een andere taak vervullen.
1b Het probleem van de consistentie
Op het moment dat de studie van de meetkunde of de getallenleer aangevat wordt, ligt de klemtoon nog niet op het deductief
aspect van de wiskunde, evenmin op het axiomatische karakter van de geïntroduceerde begrippen en relaties. Slechts op het
ogenblik dat de eerste bewijzen gegeven worden is het nodig de wezenlijke aspecten hiervan geleidelijk meer en meer onder
de aandacht te brengen: ‘Waarom worden bewijzen gegeven?, ‘Welke zijn de logische middelen?’, ‘Waarop kunnen of
moeten we uiteindelijk terugvallen?’, ‘Hoe vermijden we tegenspraken en vicieuze cirkels?, enz. Het is ondenkbaar dat de
essentie van wiskunde, m.n. de axiomatische deductieve methode, toegepast op stellingen en hun bewijzen, in een
curriculum wiskunde van zes jaar nooit ter sprake zou komen.
Het intuïtieve voorkomen van punten, rechten, vlakken, getallen en hun relaties wekt van bij de aanvang voorstellingen die
eigenschappen triviaal doen lijken en redeneringen schijnbaar overbodig maken. Dat komt het kritische denken niet ten
goede. Verderop lijkt het dan overbodig om het gemakkelijk verworven terrein nog prijs te geven. Probeer in de hogere
cyclus maar eens uit te leggen dat op een reële rechte nergens twee punten tegen elkaar liggen en dat er toch geen gaten zijn
in die rechte. Dat komt omdat men gedurende lange tijd punten als stipjes en rechten als lijnen heeft gezien.
Om de leerling te laten aanvoelen wat grondbegrippen en axioma’s zijn moet getoond worden hoe een theorie kan
vervlochten worden met een model, dat dan zowel de consistentie van de theorie als de exploratie van nieuwe stellingen kan
ondersteunen. De stap naar meerdere modellen voor eenzelfde structuur gaat dan een volledige abstractie van de concepten
bewerkstelligen. Daar liggen dan de springplanken voor analogie, veralgemening en modificaties die de mathematische
geest zijn vleugels geven.
Het trip-trap spel
De aanzet van de wiskunde, hetzij getallenleer hetzij meetkunde, kan vergeleken worden met de introductie van een spel
met elementaire stukken en regels. Om beter te doen aanvoelen welke delicate situaties daarbij optreden is het best van een
nieuw onbekend spel als voorbeeld te nemen: het trip-trap spel.
In dit spel zijn er drie soorten basisstukken: trippen, trappen en bingo’s en drie basisregels:
drie trippen vormen een trap
twee trappen een bingo
er zijn precies 4 bingo’s, 12 trappen en 36 trippen
Zonder te weten waarover het gaat kan je toch nieuwe regels afleiden
6 trippen vormen een bingo
3 trippen en een trap vormen een bingo
er kunnen maximaal 16 bingo’s gevormd worden, enz.
Om het spel concreet te kunnen spelen hebben we een model nodig waarin zowel de basisstukken als de regels een
representatie hebben. Bijvoorbeeld kunnen we als eerste model een gewoon kaartspel van 52 kaarten nemen. We
representeren de bingo’s door de azen, de trappen door de beeldkaarten en de trippen door de cijferkaarten. Drie
cijferkaarten hebben de waarde van een beeldkaart, twee beeldkaarten die van een aas, enz.
Maar we kunnen ook een model geven dat de axioma’s op een meer intuïtieve wijze gaat ondersteunen.
In de ban van Wiskunde
6
16-11-2007
Zo kunnen we in de meetkunde ook te werk gaan door bijvoorbeeld punten door stipjes en rechten door lijnen, of punten
door coördinaten en rechten door vergelijkingen te representeren.
Onafhankelijkheid en consistentie van uitspraken
Door ook eens een ander model van een incidentie meetkunde te geven kan zowel de onafhankelijkheid van uitspraken als
de onderlinge consistentie ervan aangetoond worden.
Bijvoorbeeld toont het volgende Cayley-Klein model aan dat het Euclidische parallellenaxioma onafhankelijk is van de
andere incidentieaxioma’s, m.n. ‘een rechte bevat oneindig vele punten’ en ‘twee verschillende punten behoren tot precies
één rechte’.
In dit model zijn de punten de inwendige punten van een open schijf en de rechten de koorden van die schijf. Noemen we
de koorden die geen gemeenschappelijke inwendige punten hebben evenwijdige rechten, dan is het duidelijk dat door een
punt buiten een gegeven rechte er oneindig vele evenwijdige rechten aan die rechte bestaan. Het axioma van Euclides van
de unieke evenwijdige rechte is dus niet samen waar met de hoger gegeven incidentieaxioma’s en is er dus geen
noodzakelijk gevolg van. Bovendien toont dit model ook aan dat de hyperbolische meetkunde consistent is (mits de
euclidische meetkunde dit is, want het model ontleent zijn elementen aan deze meetkunde).
Zo blijkt ook de elliptische meetkunde consistent uit het model van een bol: neem als punt één paar tegenpunten van
eenzelfde middellijn van die bol en als rechten de grote cirkels van die bol. Naast de hoger gegeven elementaire
incidentieaxioma’s geldt dan bovendien dat er door een punt buiten een gegeven rechte geen enkele evenwijdige rechte
bestaat aan die rechte, want twee grote cirkels van een bol snijden elkaar steeds in twee tegenpunten van eenzelfde
middellijn en dus in één punt van deze ruimte.
De rampzaligheid van contradictie en inconsistentie
In de binaire logica blijkt dat uit het optreden van één contradictie in een theorie de contradictie van alle uitspraken in die
theorie volgt. Vermits (p en niet p) → q een tautologie is (want een implicatie is steeds waar als het antecedens vals is) zou
uit het optreden van (p en niet p) met de modus ponens, (r en r → q) ⇒ q , elke willekeurige uitspraak q afgeleid worden en
hierin kan dan, wegens het substitutiebeginsel, q evengoed vervangen worden door ‘niet q’.
Zo’n ziektekiem is dus niet plaatselijk in te dijken, maar vergiftigd de hele theorie tot een absurde wereld. We moeten
bijgevolg ten alle prijzen elke contradictie vermijden en zeker al geen tegenstrijdige axioma’s selecteren.
De stelling van Gödel en haar gevolgen
De consistentie van een theorie wordt aangetoond via een model waarin de theorie zich incarneert. Dat model wordt echter
steeds geconstrueerd met behulp van elementen ontleend aan een andere theorie, waarvan de consistentie dan zelf moet
vooropstaan. Maar hoe zijn we nu zeker van de consistentie van die laatste theorie? Door weer de constructie van een ander
model! Zo ontlenen we de hoger gegeven modellen van de hyperbolische en elliptische meetkunde aan de euclidische
meetkunde. Een model voor de euclidische meetkunde kunnen we met coördinaten en vergelijkingen vasthangen aan de
theorie van de reële getallen, deze laatste weer aan die van de rationale getallen, om uiteindelijk terug te vallen op
natuurlijke getallen.
In de ban van Wiskunde
7
16-11-2007
Uiteraard kunnen we ons hierbij geen oneindige processie of vicieuze cirkel permitteren. Bestaat de mogelijkheid van een
absoluut consistentiebewijs (zie de Hilbertproblemen van 1900), m.a.w. kunnen we de consistentie van de theorie van de
natuurlijke getallen, voor bijvoorbeeld de axioma’s van Peano, aantonen met de middelen van die theorie zelf?
Uit de voorgaande paragraaf blijkt de volgende metatheoretische uitspraak: ‘als een theorie niet consistent is dan zijn alle
uitspraken (ook de ontkenningen ervan) afleidbaar’. Door contrapositie blijkt dan: ‘als ten minste één uitspraak niet
afleidbaar (bewijsbaar) is dan is de theorie consistent.
Uit de Stelling van Gödel (G) blijkt dat in de theorie van de natuurlijke getallen een propositie kan geformuleerd worden
die van zich zelf zegt dat ze onbewijsbaar is. Willen we dat de theorie van de natuurlijke getallen consistent blijft dan
moeten we aannemen dat deze propositie onbeslisbaar is , want uit het bewijs ervan zou precies ook de ontkenning ervan
bewezen zijn. De aanwezigheid van onbewijsbare uitspraken is dus goed nieuws voor de consistentie van de theorie. Maar,
toonde Gödel ook aan, deze laatste uitspraak, ‘de theorie is consistent’ (C), kan zelf geen bewijs hebben in de theorie, want
dan zou uit de implicatie C → G met de modus ponens ook G afleidbaar zijn, wat juist niet mag als de theorie consistent wil
blijven. Wiskundigen hebben sindsdien leren leven met onvolledigheid en de onmogelijkheid van absolute consistentie.
Zoals André Weil het formuleerde:
‘God bestaat want de wiskunde is consistent, en de duivel bestaat ook want we kunnen het niet bewijzen’
Hoofdstuk Hoe zit wiskunde in elkaar
1
2
3
4
5
6
7
Wiskunde en de menselijke rede
Wiskunde en taal
Waar komen de wiskundige begrippen vandaan?
3.1 Gedefinieerde begrippen
3.2 Grondbegrippen
3.3 Klassen van termen
3.4 Abstracte creatie van begrippen
3.5 Aantal begrippen verbonden met een eindige verzameling
3.6 De strijd om de universalia
Waarheid en consistentie
4.1 Waar en onwaar
4.2 Connectoren
4.3 Oplossingen van logische problemen
4.4 Tautologieën
4.5 Redeneringen en bewijzen
4.6 Substitutiebeginsel
4.7 Contradictie en inconsistentie
4.8 Bewijs uit het ongerijmde
4.9 Van logica naar computer
4.10 Elegantie in de taal
Theorie en model
Structuren
Metatheorie en de stelling van Gödel
Slot
15
16
20
22
22
23
24
33
37
41
43
43
46
49
53
54
55
56
59
60
66
68
74
82
89
In de ban van Wiskunde
8
16-11-2007
2 Hoe werkt wiskunde
In het tweede hoofdstuk gaan we even dieper in op enkele aspecten van het onderwijs van de meetkunde.
Vlakke en ruimtelijke analytische meetkunde
Nadat de vlakke en ruimtelijke meetkunde voldoende synthetisch zijn ontwikkeld, komt het moment waarop een brug wordt
geslagen naar de analytische meetkunde. Dat is nodig om de kracht van de algebraïsche middelen beschikbaar te stellen en
om de wegen naar veralgemening open te leggen. De toegepaste wetenschappen moeten noodgedwongen voorbij drie
dimensies kunnen gaan. Daarbij worden verschillende types vergelijkingen van rechten en vlakken opgesteld en in stelsels
ondergebracht. We houden hier een pleidooi om in die context voorrang te verlenen aan de vectoriële vergelijking of, wat
op hetzelfde neerkomt, het geheel van de parametervergelijkingen. Dit om verschillende redenen. Vooreerst is het aantal
parameters in dergelijke vergelijkingen precies gelijk aan de dimensie van de deelruimten of affiene ruimten die ze
beschrijven, wat niet het geval is voor de cartesiaanse vergelijkingen of de stelsels ervan. Vervolgens is de structuur van de
affiene ruimten, als nevenklassen van een bepaalde deelruimte, direct terug te vinden in de vorm van die vergelijkingen, wat
de vertolking van problemen met behulp van richtvectoren of richtingsgetallen helder houdt. Tenslotte ligt de weg naar
veralgemening en een doorbraak van de dimensie zo open, we moeten alleen maar een coördinaatgetal meer invoegen..
Om ook de metrische eigenschappen algebraïsch te kunnen vertolken moet het scalair product van (punt-)vectoren worden
ingevoerd. Een elegante weg om dit te doen is te steunen op de stelling van Pythagoras en haar omgekeerde, die
ondertussen reeds synthetisch gekend zijn. Op die manier is ook van bij de introductie al het verband duidelijk tussen dit
scalair product en de norm van een vector, de orthogonaliteit van vectoren en de cosinus van een koppel vectoren.
Met behulp van deze elementen kan men nog grotere veralgemeningen in het vooruitzicht stellen zoals alternatieve scalaire
producten, bijvoorbeeld die van Minkowski-ruimten (die hun nut voor de theorie van de relativiteit hebben bewezen) en
zelfs van willekeurige vectorruimten voorzien van een scalair product, bijvoorbeeld van de vectorruimte van de continue
functies op een gesloten interval met als scalair product de bepaalde integraal van het product van twee dergelijke functies
over dit interval.
In de ban van Wiskunde
H o o f d s t u k 2 Hoe werkt wiskunde?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
16-11-2007
91
De koninklijke weg naar meerdimensionale en niet-euclidische meetkunde92
1.1 De sneltrein van de analytische meetkunde
92
1.2 De wereld van de incidentiemeetkunde
110
1.3 Geodeten op een gekromd oppervlak
115
Besluit
116
Van het lege niets tot bizarre oneindigheden
117
2.1 De oneindige rij van de natuurlijke getallen
117
2.2 Een oneindige stoet van kardinaalgetallen
118
2.3 Transfiniete ordinaalgetallen
126
Besluit
127
Verbazende verjaardagen en vestiairetoestanden
128
3.1 Happy birthday to you and you
129
3.2 Is dat mijn hoed wel of is het die van Euler?
132
3.3 Paradoxen in de kansrekening
136
Besluit
139
Van avondwandeling tot operationele netwerken
140
4.1 De zeven bruggen van Königsberg
140
4.2 Euleriaanse paden
141
4.3 Problemen uit de grafentheorie
144
Besluit
147
Ideale maten van ‘Miss Blikkenbus’ en ‘Mister Fritzak’
148
5.1 Cilinder met gegeven volume en minimale oppervlakte
148
5.2 Kegel met gegeven inhoud en minimale manteloppervlakte
150
Besluit
152
Aan je staart kan ik zien of je betrouwbaar bent
153
6.1 Controlenummers
154
6.2 Foutencorrectie met Hamming-codes
158
Besluit
162
Betovering van fractalen en deterministische chaos
163
7.1 Iteratie als recept voor fractalen
165
7.1 Chaotisch gedrag van deterministische systemen
174
Besluit
183
Reductieve algoritmen voor de worteltrekking
184
8.1 Verdelingen van een interval met een parallellograaf
184
8.2 Recursieformules en nomograms voor de worteltrekking
189
Besluit
196
Slot
197
In de ban van Wiskunde
10
16-11-2007
3 Wiskunde en beschaving
In hoofdstuk 3 illustreren we de impact van wiskundige vernieuwingen op de acceleraties van de opeenvolgende
beschavingsgolven. We onderscheiden daarbij vier opmerkelijke perioden.
3a Van nomadendom naar een agrarische cultuur
Toen de occasionele voedselvergaring door jacht, visvangst en het plukken van vruchten en gewassen door zwervende
nomadenstammen overging in de geplande activiteiten van landbouw,veeteelt, urbanisatie en ruilhandel ontwikkelden zich
indrukwekkende antieke culturen, meestal langs de vruchtbare oevers van grote rivieren zoals de Tigris en de Eufraat, de
Nijl, de Indus en de Ganges, de Hoang-ho en de Yang-tse.
Het beheer van de veeteelt en de oogsten, de problemen rond landmeting , irrigatie en urbanisatie, de systematisering van de
tijdmeting en de astronomische observaties, het vastleggen van reisroutes in land- en zeekaarten, het ontwerp van
muntsystemen en metriekstelsels, de complexe administratie van gemeenschappen, enz. noopten tot een ontwikkeling van
een praktische rekenkunde en meetkunde. Deze werd niet als een theorie van eigenschappen en formules doorgegeven
maar eerder in de vorm van vuistregels geïllustreerd op voorbeelden, zoals bijvoorbeeld dat van de Egyptische touwtrekkers
3b De omwenteling van de Griekse theoretische geest
Met de Grieken grijpt een totale omwenteling plaats in de geestesgesteldheid van de antieke culturen tot op dat ogenblik.
Met de logos als rationeel verklarend beginsel zien in een tijdspanne van amper 100 jaar zowel de dialectische filosofie, de
formele logica als de deductieve wiskunde het levenslicht en dat in een gemeenschap van slechts een paar duizend mensen.
De Grieken waren enkel geïnteresseerd in theoretisch inzicht en allesbehalve in praktische toepassingen. De
getallenmystiek van de Pythagoreërs en de ideeënleer van Plato zijn kenmerkend voor hun esoterische denken. De
minachting voor materiële experimenten en alles wat met de handenarbeid van de slaven te maken had, bracht mee dat de
Griekse wetenschap erg speculatief was en zich van de werkelijkheid niet veel aantrok. Bijvoorbeeld volstond zo voor hen
een model van epicykels, gebaseerd op de volgens Aristoteles ideale cirkelvorm, als een mogelijke verklaring voor de
onregelmatige en schijnbaar retrograde bewegingen van de planeten.
Toch is het die rationele geest die de westerse beschaving blijvend zal kenmerken en later in de nadagen van de renaissance
het verbluffend avontuur van de natuurwetenschappen op gang zal brengen.
3c Van een agrarische naar een industriële cultuur
In de zeventiende eeuw komt er een heropleving van de antieke cultuur en het vrije denken. De inductieve praktijk van het
experiment in combinatie met de rationele methode brengt de onstuitbare zegetocht van de natuurwetenschappen opgang.
Vele wiskundige vernieuwingen: decimale getallen, logaritmen, kanstheorie, analytische meetkunde en vooral de
differentiaal- en integraalrekening staan te dienste van het intensieve en ingewikkelde rekenwerk bij het ontwerp van een
nieuwe wereldsysteem en de revolutie van een efficiënte mechanica en dynamica. De wereld wordt ontraadseld als een
hemels mechanisch uurwerk. De toepassingen van de calculus in zowat alle dynamische systemen maakt in de achttiende en
vooral negentiende eeuw de industriële vooruitgang mogelijk. Bijvoorbeeld kan met behulp van differentialen de
ogenblikkelijke snelheid en versnelling van de verandering van continue processen berekend worden en omgekeerd kan met
behulp van de integraalrekening uit de snelheid weer de kwantiteit van de verandering teruggevonden worden.
In de ban van Wiskunde
11
16-11-2007
3d Intrede in de moderne tijd
In de negentiende eeuw kent de wiskunde andermaal een explosieve groei en vernieuwing. Geleidelijk aan maakt ze zich
los van het weliswaar vruchtbare kader van de mechanica en de economie en gaat een meer verdiepende en abstracte weg
op: niet-euclidische meetkunde, matrices en quaternionen, arithmetisering van de analyse met een grondige fundering van
reële getallen, limieten en convergente rijen en reeksen, de verzamelingenleer met zijn uitstapjes in het oneindige,vergezeld
van een trits van verbijsterende paradoxen. Dat proces zal uitmonden in een kritisch grondslagenonderzoek en een inbraak
van de wiskunde in de logica. De redeneervormen van Aristoteles die gedurende meer dan drieëntwintig eeuwen van
gebruik en onderzoek nauwelijks enige wijzigingen hadden ondergaan worden door het geniale werk van Georges Boole en
Gottlob Frege in de vorm van een eenvoudige algebraïsche structuur gegoten. Alhoewel daarmee de theoretische basis voor
een algoritmische verwerking van informatie al aanwezig was, zal het toch nog tot de tweede helft van de twintigste eeuw
duren vooraleer de technologische voorwaarden voor de realisatie ervan in de moderne computer en zijn aanverwanten
vervuld waren. En zo beleven we nu andermaal in het verlengde van het esoterische denkwerk van wiskundige breinen de
nieuwe beschavingsgolf van een geautomatiseerde informatiecultuur.
Hoofdstuk 3 Wiskunde en beschaving
1
2
3
Inleiding 199
Van nomadendom naar een agrarische cultuur
1.1 Oeroude getallen
1.2 De Egyptische landmeters
1.3 De Babylonische sterrenkundigen
1.4 Het tientallig cijfersysteem van de Hindoes
1.5 Chinese rekenstokjes
1.6 De kalenders van de Maya’s
Besluit
De omwenteling van de Griekse theoretische geest
2.1 Thales van Milete
2.2 De school van Pythagoras in Croton
2.3 De paradoxen van Zeno van Elea
2.4 De vijf Platonische lichamen
2.5 De Aristoteliaanse logica
2.6 Het rationele model van de ‘Elementen’ van Euclides
2.7 De olympische allure van Archimedes
Besluit
Van een agrarische naar een industriële cultuur
3.1 De geniale vondst van de decimale breuken
3.2 Het rekencomfort van de ‘wonderbaarlijke’ logaritmen
3.3 Een nieuw wereldbeeld
3.4 De geboorte van de mechanica
3.5 De innige omhelzing van de algebra en de meetkunde
3.6 De wegen van het toeval
3.7 De ontraadseling van de ‘hemelse mechaniek’
Besluit
199
202
203
204
207
211
213
215
217
218
219
221
226
227
233
236
241
244
245
249
251
254
256
257
260
264
271
In de ban van Wiskunde
12
4 Intrede in de moderne tijd
4.1 De abstracte sprong naar een niet-euclidische meetkunde
4.2 De geboorte van de moderne algebra
4.3 De grondige fundering van de analyse
4.4 De fascinatie van het oneindige
4.5 De bronnen van de informaticastroom
Slot
16-11-2007
272
272
275
278
279
283
286
4 Wiskunde in de natuur en de kunsten
In dit hoofdstuk geven we onder andere bijzondere aandacht aan de rij van Fibonacci en de gulden verhouding. Deze
worden niet alleen veelvuldig aangetroffen in natuurlijke groeifenomenen maar worden ook wegens hun esthetische
impressie aangewend in talrijke kunstvormen.
4a De rij van Fibonacci
In het bekende boek ‘Liber Abaci’ uit 1202 van Leonardo van Pisa (Fibonacci), dat heeft bijgedragen aan de uiteindelijke
doorbraak van het decimale rekensysteem in het Westen, vinden we ook het beroemde probleem in verband met de aangroei
van een konijnenpopulatie en dat onder voor konijnen nogal gedisciplineerde voortplantingsregels:
Hoeveel konijnenparen zijn er na n maanden als
- men begint met één ouderpaar
- dit paar na één maand vruchtbaar wordt en dan één nieuw paar voortbrengt
- vervolgens voor elk nieuw paar hetzelfde geschiedt
- verondersteld wordt dat alle paren die n maanden in leven blijven?
De analyse van het probleem voert naar een recursieve formule. Als An het aantal konijnenparen is na n maanden dan geldt:
An = An-2 + An-1
Dit geeft de rij van Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
Alhoewel je niet moet hopen deze aantallen met een reëel konijnpaar te realiseren is er toch het opmerkelijke feit dat deze
aantallen worden teruggevonden in verschillende vormen van de natuur die met groei te maken hebben.
Dat blijkt een verklaring te hebben in de groeiwijze van kleine stukjes plantenweefsel die zich in spiraalvorm onder een
constante hoek ontwikkelen om een maximale bezetting van de beschikbare ruimte te realiseren, die de structuur compact
en stevig maakt. Meestal is dit een hoek van 137,5°. De resterende hoek van een volledige omwenteling is dan
360° -137,5° = 222,5° en nu blijkt 222,55 : 137,5 = 1,618... . Slimme natuur!
In de ban van Wiskunde
13
16-11-2007
Dat vinden we ook terug in de groeipatronen van schelpen en hun logaritmische spiralen.
Als we een term van de Fibonacci-rij delen door zijn voorgaande term dan bekomen we een quotiënt dat op oneindig
convergeert in het irrationale getal φ = 1,618... = (√5 + 1):2, m.n. de gulden verhouding.
4b De gulden verhouding
Als we een lijnstuk of een andere grootheid verdelen in twee ongelijke delen zodat het grootste deel staat tot het kleinste
zoals het geheel tot het grootste dan is die verhouding een welbepaald getal dat we de gulden verhouding noemen.
We zeggen dan dat we dat lijnstuk verdeeld hebben in de middelste en uiterste reden.
Uit x1 + x2 = a volgt x2 = a - x1 en met x1 ≥ x2 dus
x1
a
=
a − x1 x1
of
x1² + a x1 – a² = 0
of
⎜⎛−1 + 5 ⎟⎞a
⎝
⎠
x1 =
2
We vinden we dan voor de gulden verhouding:
a : ((√5 – 1)a : 2)= (√5 + 1):2 = 1,618...
Merk op dat dan
en
1
5 −1
=
= ϕ − 1 = 0, 618 L 1 / φ = (√5 - 1) / 2 = φ – 1 = 0,618...
2
ϕ
φ² = φ + 1
De gulden verhouding wordt onder andere aangetroffen in het menselijke lichaam: de navel zou het lichaam in de gulden
verhouding verdelen, de elleboog de arm, de ogenlijn het aangezicht, enz. Het is de Romeinse architect Vitruvius die deze
verhoudingen heeft aangewezen en als inspiratie voor de grondregels in zijn ‘Tien boeken der Archtectuur’ heeft genomen.
Later zal Leonardo Da Vinci deze in zijn tekeningen overnemen.
4c Gulden figuren
Gulden figuren zijn figuren waarbij in de verhoudingen van de zijden of diagonalen de gulden verhouding terug te vinden
is.
Gulden rechthoeken
Bij een gulden rechthoek is de verhouding van de lengte tot de breedte gelijk aan φ. De constructie van een gulden
rechthoek kan gebeuren uitgaande van een vierkant ABCD, met bijvoorbeeld een zijde gelijk aan 1,op de volgende wijze:
Gulden rechthoeken planten zich eenvoudig voort door wegneming van een vierkant met een zijde gelijk aan de breedte of
toevoeging van een vierkant met een zijde gelijk aan de lengte ervan. Door in die opeenvolgende vierkanten kwartcirkels te
construeren die op elkaar aansluiten, ontstaat een soort spiraal die de gulden spiraal wordt genoemd en die een goede
benadering is van de logaritmische spiraal.
Een welgevormde mensenhand past in een gulden rechthoek en een menselijk embryo ontwikkelt zich in de baarmoeder
volgens een gulden spiraal.
In de ban van Wiskunde
14
16-11-2007
Gulden driehoeken
Er zijn twee soorten gulden driehoeken:
-
een scherphoekig gelijkbenige driehoek met een tophoek van 36°,
hierin is de verhouding van een been tot de basis gelijk aan φ.
een stomphoekige gelijkbenige driehoek met een tophoek van 108°,
hierin is de verhouding van de basis tot een been gelijk aan φ.
Ook deze driehoeken planten zich eenvoudig voort door weglating of toevoeging van soortgelijke driehoeken zoals
aangegeven in de volgende tekeningen.
Regelmatige vijfhoeken en tienhoeken
Omdat in regelmatige vijfhoeken en tienhoeken, in combinatie met de diagonalen, gulden driehoeken voorkomen met zowel
tophoeken van 36° als van 108°, krioelt het in die figuren van de guldenverhoudingen. In vijfarmige zeesterren worden die
verhoudingen dan ook teruggevonden.
4d Machten van de gulden verhouding en de rij van Fibonacci
Er bestaat een wederzijdse innige band tussen de rij van Fibonacci en de gulden verhouding.
In de rij van Fibonacci kan de gulden verhouding berekend worden uit de quotiënten van twee opeenvolgende termen.
Maar bovendien kan in de natuurlijke machten van de gulden verhouding, die als een eerstegraadsveelterm in φ kunnen
geschreven worden, de rij van Fibonacci op een dubbele wijze teruggevonden worden.
In de ban van Wiskunde
15
16-11-2007
Uit φ² = 1φ + 1 volgen
φ³ = φ² φ = (φ + 1) φ = φ² + φ = (φ + 1) + φ = 2 φ + 1
φ4 = φ³ φ =(2 φ + 1) φ = 2 φ² + φ = 2(φ + 1) + φ = 3 φ + 2
φ5 = φ4 φ = (3 φ + 2) φ = 3 φ² + 2 φ = 3(φ + 1) + 2 φ = 5 φ + 3
...
φn = An φ + An-1
Een wonderlijke band tussen speelse konijnen en de gulden snede!
4e De gulden snede in de kunst
De gulden verhouding wordt als zeer esthetisch ervaren en wordt dan ook veelvuldig toegepast in verschillende vormen
van de beeldende kunst maar ook in muziekcomposities en de poëtische literatuur. We volstaan met enkele voorbeelden.
In de piramide van Cheops vinden we in een dwarsdoorsnede (cheopssectie) de gulden verhouding terug in de verhouding
van een been tot de hoogte van de bekomen gelijkbenige driehoek.
Bij het Parthenon van Athene is het vooraanzicht in een gulden rechthoek geconstrueerd. Ook in tal van andere
verhoudingen zoals deze van de hoogte van de zuilen en het fronton is φ terug te vinden.
Het theater van Epidauros heeft twee gescheiden blokken van rijen zitbanken met respectievelijk 21 en 34 rijen, twee
opeenvolgende termen van de rij van Fibonacci.
In de ban van Wiskunde
16
16-11-2007
De ‘Notre Dame’ van Parijs is geconstrueerd in een guldendriehoek met een tophoek van 36°, en in de verhoudingen van de
verschillende gevelpartijen is φ terug te vinden.
De architect Le Corbusier ontwierp in zijn modulor een model met twee schalen, een rode en een blauwe, waarin de gulden
verhouding en de opeenvolgende machten ervan vertolkt worden. Hij gebruikt deze verhoudingen voortdurend in zijn
ontwerpen zoals voor dit huis in de buurt van Parijs. Het hele gebouw,de vensters en de terrasopeningen zijn in gulden
rechthoeken gevat.
In het schilderij ‘De geboorte van Venus’ van Boticelli staat de navel van Venus op de gulden hoogte. De groepen van de
winden (links) en de figuur van de Gratie (rechts) zijn in gulden rechthoeken ingeschreven.
In de ban van Wiskunde
17
16-11-2007
Een ander schilderij van Boticelli, m.n. ‘De Lente’, is in de breedte opgebouwd op twee gulden driehoeken met een tophoek
van 36°.
Ook Leonardo Da Vinci was verslingerd op de gulden snede zoals we in zijn ‘Mens van Vitruvius’, zijn ‘Mona Lisa’ en
‘Het Laatste Avondmaal’ kunnen nagaan.
Fra Luca Paccioli schreef in 1509 een werkje over ‘De Divina Proporzione’ (‘Over de Goddelijke Verhouding’).
In het volgend schilderij is hij afgebeeld als lesgever en toont de wijsvinger van de linkerhand de gulden verhouding.
In de ban van Wiskunde
1
2
18
16-11-2007
Hoofdstuk 4 Wiskunde in natuur en kunsten
291
Wiskunde in de natuurlijke vormen
292
1.1 De vergelijkingen van de kosmos
1.2 De vormen van de dingen dicht bij ons
Besluit
294
303
317
Wiskundige structuren in de kunst
318
2.1 De vormen en de technieken van de bouwkunst
Besluit
2.2 Beeldende kunsten
Besluit
2.3 Wiskunde en muziek
Besluit
2.4 Wiskunde en literatuur
Besluit
Slot
Epiloog
Slot
318
334
335
348
349
368
369
378
379
380
Doorheen het boek is er een filosofische draad verweven die de vraag stelt naar de diepere redenen van de onloochenbare
efficiëntie van wiskunde om natuurlijke processen te beschrijven en te beheersen. Zit het universum rationeel in elkaar en
heeft het dit diepste kenmerk als instrument meegegeven bij de ontwikkeling van intelligent leven?