Open Les Wiskunde 25 januari 2005

Open Les Wiskunde
‘een wandeling over de Möbius band’
Open Les Wiskunde
F.J. Brandsma 1
Wiskunde is méér dan rekenen
Deze les: Oppervlakken
Topologie:
- Eigenschappen van oppervlakken die
niet veranderen wanneer je het
oppervlak “buigt” (niet
knippen/scheuren/plakken)
– Hoe zien oppervlakken eruit?
– Hoe zitten ze aan elkaar vast?
Open Les Wiskunde
F.J. Brandsma 2
Tweezijdig begrensd oppervlak:
• Twee kanten
• Als je in een vaste richting loopt ‘val je eraf’
• Om van de ene naar de ander kant te komen moet je
over de rand
Open Les Wiskunde
F.J. Brandsma 3
Tweezijdig gesloten oppervlak:
• Je kunt aan elke kant een ‘wandeling’ maken waarbij
je in hetzelfde punt terugkomt
• Om aan de andere kant te komen moet je nog steeds
over de rand
Open Les Wiskunde
F.J. Brandsma 4
Bestaat er ook een éénzijdig gesloten oppervlak ?
• Je kunt een wandeling maken en in hetzelfde punt terugkomen
• Je kunt overal komen zonder over een rand heen te moeten
August Möbius (1790-1868): ‘Ja zo’n oppervlak
bestaat’
De Möbius band:
Open Les Wiskunde
F.J. Brandsma 5
Hoe maak je een Möbius band ?
1.
Neem de lange strook papier
2.
Draai de uiteinden zo dat er een ‘kronkel’ in de strook komt
Open Les Wiskunde
F.J. Brandsma 6
3.
Plak het aan elkaar zodat het woordje FINISH net onder het
woordje START komt
4.
Loop met je vinger vanaf START langs Klas 1, Klas 2, Klas 3,
Klas 4, Klas 5, en Klas 6 naar FINISH.
Je hebt het Cygnus Gymnasium doorlopen zonder eraf te vallen!
Open Les Wiskunde
F.J. Brandsma 7
Knip een tweezijdig gesloten oppervlak open langs het midden.
Je krijgt twee aparte tweezijdig gesloten oppervlakken

Open Les Wiskunde
F.J. Brandsma 8
Maak nu een Möbius band van de strook met de
streep in het midden.
Knip de band open langs de middelste streep.
Wat krijg je ??
Open Les Wiskunde
F.J. Brandsma 9
• Maak nu een Möbius band van de strook waar twee lijnen
opstaan.
• Knip de band open op een derde van de rand. Begin ergens op
een van de twee lijnen en knip door.
Open Les Wiskunde
F.J. Brandsma 10
Wat krijg je nu ????
Open Les Wiskunde
F.J. Brandsma 11