Melkvee in de wei. (uit examen VWO 2009) Koeien worden

Melkvee in de wei. (uit examen VWO 2009)
Koeien worden tegenwoordig gemolken door een zogenaamde melkrobot.
De melkrobot melkt de koe zonder dat de boer daarbij aanwezig hoeft te zijn.
In 2005 werd door de dierenbescherming het volgende persbericht gepubliceerd:
Persbericht.
“In 2002 bleef 10% van de melkveestapel in de stal.
De melkrobot heeft tot gevolg dat er steeds minder koeien in de wei komen.
De dierenbescherming is daarom tegenstander van melkrobots. Dit jaar blijft maar
liefst 17% van de melkveestapel het hele jaar in de stal. Daardoor blijven de
weilanden leeg. Als deze trend zich doorzet, verwachten wij dat over zo’n tien jaar de
helft van de melkveestapel uit het Nederlandse landschap is verdwenen.”
Noem W = het percentage melkvee dat in de wei komt.
Uit het persbericht blijkt: in 2002 komt W = 90% van het melkvee in de wei.
Ook zien we dat in 2005 nog slechts 83% van het melkvee in de wei komt.
In het persbericht is sprake van een ‘trend’, maar het wordt niet duidelijk van welk
model men daarbij is uitgegaan en waar “de helft van de melkveestapel” vandaan
komt. Enkele voor de hand liggende modellen zijn:
1.
een trend waarbij W lineair daalt;
2.
een trend waarbij W exponentieel afneemt.
Opgave 1a.
Bepaal voor het lineaire model de formule en bereken daarmee hoeveel procent van het
melkvee in 2015 in de wei komt. (tip: zet de gegevens uit het persbericht eerst in een tabel)
t
W
90%
83%
Opgave 1b.
Bepaal voor het exponentiele model de formule en bereken daarmee hoeveel procent
van het melkvee in 2015 in de wei komt.
Opgave 2.
Voor het beschrijven van de situatie op de lange duur is model 1 op grond
van wiskundige overwegingen niet bruikbaar maar model 2 misschien wel.
Leg uit waarom model 1 op de lange duur zeker niet realistisch kan zijn,
maar model 2 misschien wel.
Melkvee.
Opgave 1a
2002 90% in de wei
2005 83% in de wei.
Neem t=0 voor 2002. Dan heb ik twee punten (0,90) en (3,83).
Bepaal de lineaire formule en gebruik die om 2015 te voorspellen.
∆𝑡
−7
−7
Eerst
=
Dus 𝑊 =
𝑡 + 90 want het begingetal is 90.
3
∆𝑊
3
−7
Voor 2015 is t=13 en dus 𝑊 =
∙ 13 + 90 = 59,7%
3
Opgave 1b
Bepaal nu de exponentiële formule en gebruik die om 2015 te voorspellen.
Eerst de groeifactor. De groeifacor over 3 jaar is 83/90 = 0,9222.
1
Dus is de groeifactor over één jaar 0,92223 = 0,9734.
De formule is dus 𝑊 = 90 ∙ 0,9734𝑡
Voor 2015 is t=13 en dus 𝑊 = 90 ∙ 0,973413 = 63,4%
Opgave 2.
Als het lineair blijft dalen, dan zal W op den duur onder 0% komen en dat kan natuurlijk
niet. Bij model 2 blijft het percentage W altijd boven de 0%. (horizontale asymptoot)