Wiskundige notaties - Associatie KU Leuven

Wiskundige
notaties
Afspraken
Associatie K.U.Leuven
Tim Neijens
Katrien D’haeseleer
Annemie Vermeyen
Maart 2011
Waarom?
Wiskundetaal gebruikt veel woordenschat, dat weet elke student. Het is niet altijd even
eenvoudig te weten waarvoor welke symbolen staan. Bovendien kan je voor één bepaald
wiskundebegrip meerdere symbolen of notaties hebben. Volgende lijst overloopt de meest
voorkomende notaties in de vakantiecursus wiskunde, en eventuele andere notaties. Het is
hopelijk duidelijk dat je deze lijst niet moet gaan lezen, maar gewoon even neemt als je niet
zeker bent over de gebruikte notatie of waar de notatie voor staat.
In de lijst is gebruik gemaakt van de meest voorkomende ISO 31-11 standaarden. Een website
voor deze standaarden vind je op:
http://physics.nist.gov/cuu/pdf/sp811.pdf
Veel voorkomende symbolen en notaties
In de volgende tabel vind je in de eerste kolom de notatie of het symbool dat gebruikt wordt
in de vakantiecursus. De tweede kolom ’andere notaties’ is een kolom die mogelijke andere
notaties voor hetzelfde symbool geeft. Soms vind je op een rekentoestel of in een anderstalig
boek deze notaties. Ook is de notatie soms vakafhankelijk, naargelang de standaarden die in
een bepaalde beroepstak gebruikt worden.
1
Vergelijkingen en ongelijkheden
Volgende symbolen worden gebruikt bij vergelijkingen, ongelijkheden en het oplossen daarvan.
Notatie Andere notaties
=
6
=
<
>
≤
≥
6
>
Uitleg
’is gelijk aan’
’is niet gelijk aan’
’is strikt kleiner dan’, dus kleiner
en niet gelijk aan
’is strikt groter dan’, dus groter en
niet gelijk aan
’is veel kleiner dan’, ’veel’ is afhankelijk van de context
’is veel groter dan’, ’veel’ is afhankelijk van de context
’is kleiner dan of gelijk aan’
’is groter dan of gelijk aan’
Wiskundige notaties
Voorbeeld
3=1+2
3 6= 1 + 1
2<3
3>2
0, 001 1000000
1000000 0, 001
3 ≤ 4 maar ook 4 ≤ 4
4 ≥ 3 maar ook 4 ≥ 4
1
≈
∼
∝
⇔
⇒
2
’is ongeveer gelijk aan’, ’ongeveer’
is afhankelijk van de context
’is recht evenredig met’, ’is proportioneel met’, als de grootheid
links stijgt, stijgt de grootheid
rechts even sterk
’als en slechts als’, ’is equivalent
met’, de ene uitspraak leidt tot de
andere en omgekeerd, dit is niet
hetzelfde als een ’is gelijk aan’teken
uit de linkse uitspraak volgt de
rechtse, ’dan’, merk op dat de omgekeerde richting niet hoeft waar
te zijn zoals bij ’⇔’
π ≈ 3, 14
straal van een cirkel ∼
omtrek van de cirkel
x−1=0⇔ x=1
het is september ⇒
deze maand telt 30 dagen.
Bewerkingen en rekenen
Volgende symbolen worden gebruikt bij het maken van bewerkingen en het toepassen van een
functie op een getal.
Notatie Andere notaties
+
−
·
×
:
÷ , /
±
Uitleg
’plus’
’min’
’maal’
’gedeeld door’
’plus-minus’, boven- en ondergrens (gebruikt bij meetfouten)
|·|
’de absolute waarde van’, ’de
lengte van’, ’de modulus’ (van een
complex getal)
√
!
·
’de vierkantswortel van’
’faculteit’
Wiskundige notaties
Voorbeeld
1+3=4
3−1=2
2·3=6
6:2=3
10 ± 1 betekent 10 + 1
en 10 − 1.
a = 10 ± 1mm betekent dat a ≥ 9mm en
a ≤ 11mm.
|−3| = |3| = 3,
als a een lijnstuk is:
|a| = 3cm
|i| = 1
√
9=3
4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24,
5! = 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120
2
b·c
d·e
|
’geheel getal kleiner dan’, ook wel
floorfunctie genoemd
’geheel getal groter dan’, ook wel
ceilingfunctie genoemd
’deelt’, het linkse getal is een deler
van het rechtse
Wiskundige notaties
b3, 5c = 3
d3, 5e = 4
3|6
3
3
Verzamelingen
Notatie Andere notaties
∈
∈
/
⊂
⊆
6⊂
{, }
(, )
{|}
∪
∩
\
[, ]
{:}
Uitleg
’is een element van’, ’behoort tot’
’is geen element van’, ’behoort
niet tot’
’is een deelverzameling van’ (opgelet, in sommige boeken gebruikt
men dit symbool als teken dat
de verzameling een deelverzameling is die niet gelijk is aan de andere)
’is geen deelverzameling van’
de accolades worden gebruikt om
een verzameling aan te duiden,
de volgorde van opsomming speelt
geen rol. Men gebruikt soms de ’;’
i.p.v. ’,’ om kommagetallen van
mekaar te scheiden.
de ronde haken worden soms gebruikt om een koppel, drietal, . . .
aan te duiden, de volgorde van opsomming is belangrijk.
’de verzameling bepaald door’,
links van de streep staat een eerste basisvoorwaarde waaraan het
element voldoet, vaak element zijn
van een verzameling, rechts van de
streep een extra voorwaarde
’unie’, ’vereniging’, de elementen
van de eerste en tweede verzameling worden samengenomen
’doorsnede’, het gemeenschappelijke deel van de twee verzamelingen
’min’, de elementen die in de eerste maar niet in de tweede verzameling voorkomen
’gesloten interval’, de reële getallen tussen de aangegeven grenzen,
met beide grenzen inbegrepen
Wiskundige notaties
Voorbeeld
3∈N
−1 ∈
/N
N⊂Z
Z 6⊂ N
N = {0, 1, 2, 3, . . .}
(0, 1, −1)
{x ∈ N|x > 2} =
{3, 4, 5, . . .}
{1, 2} ∪ {−1, 2}
{−1, 1, 2}
=
{1, 2}∩{−1, 2} = {0}
{1, 2, 3}\{3, 4}
{1, 2}
=
x ∈ [3, 5] ⇔ x ≥ 3 en
x≤5
4
], [
(, )
[, [
[, )
], ]
(, ]
4
’open interval’, de reële getallen tussen de aangegeven grenzen,
maar zonder de grenzen zelf
’halfopen interval langs rechts’, de
reële getallen tussen de aangegeven grenzen, de linkergrens zit
erin, de rechter niet
’halfopen interval langs links’, de
reële getallen tussen de aangegeven grenzen, de rechtergrens zit
erin, de linker niet
x ∈]3, 5[⇔ x > 3 en
x<5
x ∈ [3, 5[⇔ x ≥ 3 en
x<5
x ∈]3, 5] ⇔ x > 3 en
x≤5
Bekende getallen en verzamelingen
Notatie Andere notaties
π
i
j
∅
N
N0
Z
Z0
φ
N
N0
Z
Z0
Uitleg
de verhouding van de omtrek van
een cirkel ten opzichte van zijn
diameter, dit is een reëel getal en
geen rationaal
het getal van Euler, wordt gebruikt
bij exponentiële en logaritmische
functies, dit is een reëel getal en
geen rationaal
het imaginaire getal i, in elektrotechniek wordt ook wel het symbool j gebruikt, dit is een complex
getal en geen reëel
de lege verzameling
de natuurlijke getallen
de natuurlijke getallen zonder 0
de gehele getallen
de gehele getallen zonder 0
Q
Q0
R
R0
Q
Q0
R
R0
de
de
de
de
e
rationale getallen, de breuken
rationale getallen zonder 0
reële getallen
reële getallen zonder 0
Wiskundige notaties
Voorbeeld
π = 3, 14159 . . .
e = 2, 71828 . . .
i2 = −1
∅ = {}
N = {0, 1, 2, 3, . . .}
N0 = {1, 2, 3, 4, . . .}
1 ∈ Z, 0 ∈ Z, −1 ∈ Z
1 ∈ Z0 , 0 ∈
/ Z0 , −1 ∈
Z0
−1 ∈ Q, 12 ∈ Q
0∈
/ Q0 , 0, 5 ∈ Q0
√
2 ∈ R, 1 ∈ R, π ∈ R
0∈
/ R0 , e ∈ R0
5
C
C
de complexe getallen
C0
C0
de complexe getallen zonder 0
Wiskundige notaties
i ∈ C, −1 ∈ C,
2 + 3i ∈ C
0∈
/ C0 , π · i + e ∈ C0
6
5
Meetkunde en goniometrie
Notatie Andere notaties
⊥
k
∠
◦
0
”
rad
vb. 10g
gon
6
Uitleg
’staat loodrecht op’
’is evenwijdig met’, ’is parallel
met’
’vormt een hoek met’, fasehoeknotatie bij complexe getallen (de
hoek die het complexe getal maakt
met de positieve x-as)
’graden, minuten, seconden’, ’degree’, ’60-delige graden’
’radialen’ (wordt vaak zonder eenheid aangeduid), ’rad’
’100-delige graden’, wordt gebruikt in zeevaart en cartografie,
’grad’
Voorbeeld
x-as ⊥ y-as
Uitleg
’de logaritme met grondtal a van
x’
’de logaritme met grondtal 10 van
x’, ’de Briggse logaritme van x’
’de logaritme met grondtal e van
x’, ’de Neperiaanse logaritme van
x’
’de sinus en de cosinus’
Voorbeeld
3
log 9 = 2
x-as ∠ y-as = 90◦ ,
i = 1∠90◦
een rechte hoek meet
90◦ 00 0”
een rechte hoek meet
π
rad
2
een rechte hoek meet
100gon of 100g
Functies
Notatie Andere notaties
a
log x
loga x
log x
ln x
sin, cos
tan
cot
sec
tg
cotg
csc
cosec
’de tangens’
’de cotangens’
’de secans’, ’het omgekeerde van
de cosinus’
’de cosecans’, ’het omgekeerde
van de sinus’
Wiskundige notaties
log 100 = 2
ln 2 = 0, 693 . . .
sin 90◦ = 1, cos 90◦ =
0
tan 45◦ = 1
√
cot 30◦ = 3
sec 60◦ = cos160◦ = 2
csc 30◦ =
1
sin 30◦
=2
7
arcsin
arccos
arctan
Arcsin,
Bgsin,
bgsin,
asin,
−1
invsin, sin
Arccos, Bgcos,
bgcos,
acos,
−1
invcos, cos
Arctan, Bgtan,
bgtan,
Bgtg,
bgtg,
atan,
−1
invtan, tan
◦
7
→
→
7
∨
∀
∃
arcsin 12 = 30◦
’de inverse functie van de cosinus’
arccos 12 = 60◦
’de inverse functie van de tangens’
arctan 1 = 45◦
’na’, samenstelling van functies
’wordt afgebeeld op’, geeft aan
dat een element wordt afgebeeld
op iets, vaak gebruikt als functienotatie
’wordt afgebeeld op’, geeft aan
dat een verzameling wordt afgebeeld in een verzameling
(g ◦ f )(x) = g (f (x))
x 7→ sin x
Uitleg
’en’, ’AND’ , ’conjunctie’, geeft
aan dat beide uitspraken waar zijn
’of’, ’OR’, ’disjunctie’, geeft aan
dat een van beide of beide uitspraken waar zijn
’niet’, ’NOT’, ’negatie’, geeft aan
dat een uitspraak niet waar is
’voor alle’
’er bestaat een’
Voorbeeld
Piet is een man ∧ Sofie
is een vrouw
Piet is een man ∨ Sofie
is een man
f : R → R : x 7→ x2
Logica
Notatie Andere notaties
∧
¬
’de inverse functie van de sinus’
∼
Wiskundige notaties
¬(1 < 0) ⇔ 1 ≥ 0
∀x ∈ N : x ≥ 0
∃x ∈ N : x = 0
8