Proefstudeerdag Wiskunde: Rekenkundige rijen zoeken

Proefstudeerdag Wiskunde: Rekenkundige rijen zoeken
Vrijdag 17 april 2015
Een rekenkundige rij van lengte k is een rij van k getallen waarbij het verschil tussen twee opeenvolgende
termen van de rij steeds hetzelfde is. Dit is een voorbeeld van een rekenkundige rij van lengte 6:
2, 5, 8, 11, 14, 17.
Opgave 1
(a) Bedenk zelf een voorbeeld van een rekenkundige rij van lengte 5.
(b) Geef een rekenkundige rij van lengte 2 en een rekenkundige rij van lengte 1.
In de volgende twee opgaven bekijken we de getallen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. We geven ieder getal een kleur,
waarbij we steeds maar de keuze hebben uit dezelfde twee kleuren, paars en oranje. Als we dat doen krijgen
we een kleuring van de getallen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 met 2 kleuren. Een voorbeeld:
1
2
3
4
5
6
7
8.
Opgave 2
(a) Kun je in dit voorbeeld een rekenkundige rij van lengte 3 vinden in de paars gekleurde getallen? En in
de oranje getallen?
(b) Hoeveel verschillende kleuringen met 2 kleuren zijn er van de getallen 1,2,3,4,5,6,7,8?
(c) Stel we kleuren de getallen 1 en 2 paars, het getal 3 oranje en de getallen 4 en 5 weer paars. Het begin
van de kleuring ziet er dus zo uit:
1 2 3 4 5 6 7 8.
Kun je nu de nog overgebleven getallen zo kleuren dat zowel de paarse als de oranje getallen geen rekenkundige
rij van lengte 3 bevatten?
We gaan op zoek naar alle kleuringen van de getallen 1,2,3,4,5,6,7,8 met twee kleuren, paars en oranje,
waarbij zowel de paarse getallen als de oranje getallen geen rekenkundige rij van lengte 3 bevatten. Om dit
te doen gaan we op een systematische manier door alle mogelijke kleuringen heen. Uit Opgave 2(b) weten
we dat dit er best veel zijn, dus we moeten het een beetje slim aanpakken.
Opgave 3
(a) Stel we kleuren de getallen 1 en 2 paars. Als we geen rekenkundige rijen van lengte 3 willen, dan moet
het getal 3 wel oranje worden. Het begin van de kleuring ziet er dus als volgt uit:
1
2
3 4
5
6
7
8.
Hoe kun je de overige getallen kleuren, zodat uiteindelijk zowel de paarse als de oranje getallen geen
rekenkundige rij van lengte 3 bevatten?
(b) Stel we kleuren het getal 1 paars en het getal 2 oranje. Het begin van de kleuring ziet er dus als volgt
uit:
1 2 3 4 5 6 7 8.
Hoe kun je nu de overige getallen kleuren, zodat uiteindelijk zowel de paarse als de oranje getallen geen
rekenkundige rij van lengte 3 bevatten?
(c) Hoeveel kleuringen van de getallen 1,2,3,4,5,6,7,8 met de kleuren paars en oranje bestaan er zodat zowel
de paarse als de oranje getallen geen rekenkundige rij van lengte 3 bevatten?
1
Een priemgetal is een geheel getal groter dan 1 dat alleen door zichzelf en door 1 deelbaar is.
Opgave 4
Geef een rekenkundige rij van lengte 5 die alleen uit priemgetallen bestaat.
De laatste twee opgaven gaan over oneindige sommen. Die zullen we nodig hebben in onze zoektocht
naar andere verzamelingen van getallen die rekenkundige rijen bevatten. Bij oneindige sommen tellen we
oneindig veel positieve getallen bij elkaar op. Een voorbeeld:
1 1 1
1
+ + +
+ ··· .
2 4 8 16
Het is in dit specifieke geval niet moeilijk om in te zien dat deze oneindige som gelijk is aan 1, zie het plaatje
hieronder.
0
1
2
3
4
7
8
15
16
1
In het algemeen kunnen zich twee gevallen voordoen: de oneindige som is gelijk aan een getal, zoals hierboven,
of de oneindige som wordt oneindig.
Opgave 5
Laat r een getal zijn tussen 0 en 1. De oneindige som 1+r +r2 +r3 +r4 +r5 +· · · heet de meetkundige reeks.
Stel dat deze som gelijk is aan een getal s, dus
1 + r + r2 + r3 + r4 + r5 + · · · = s.
Laat zien dat dan geldt s − rs = 1 en leid hieruit af dat dan
1 + r + r2 + r3 + r4 + r5 + · · · =
1
.
1−r
Opgave 6 ? Deze opgave is bedoeld als uitdaging voor diegenen die dat leuk vinden ?
In deze opgave bekijken we de harmonische reeks: 1 + 12 + 31 + 14 + 15 + · · · . We laten zien dat deze oneindige
som oneindig groot wordt. Dit doen we in een aantal stappen.
(a) Laat n een geheel getal groter dan of gelijk aan 1 zijn. Laat zien dat
1
1
1
1
n
1
1
+
+
+ ··· +
+
≥
= .
n+1 n+2 n+3
2n − 1 2n
2n
2
(b) Schrijf sn voor de som van de eerste n termen, dus
sn = 1 +
1 1 1 1
1
+ + + + ··· + .
2 3 4 5
n
Laat zien dat voor iedere n geldt s2n ≥ sn + 12 en dat geldt s4n ≥ sn + 1.
(c) Er geldt s1 = 1. Uit opgave (b) volgt dan dat s4 ≥ 2, s16 ≥ 3, s64 ≥ 4, enzovoort. In het algemeen geldt
dus dat s4n ≥ n + 1. Voor welke n geldt dan dat s4n ≥ 100? En voor welke n geldt dat s4n ≥ 4567?
(d) Laat zien dat er voor ieder geheel getal M groter dan 1 een n bestaat zodat sn ≥ M .
(e) Als we zouden schrijven
1 1 1 1
s = 1 + + + + + ··· ,
2 3 4 5
dan geldt s > sn voor iedere n. Laat zien dat hieruit volgt dat s > M voor ieder geheel getal M . Dit
betekent dat de oneindige som oneindig groot wordt.
2