DISCRETE WISKUNDE

DISCRETE WISKUNDE
Philippe CARA en Tom DENECKERE
7 februari 2010
Voorwoord
Dit zijn nota’s die nuttig kunnen zijn bij het studeren van het vak “Discrete Wiskunde”. Dit
vak wordt aan de VUB gedoceerd in het eerste bachelorjaar Wiskunde en Informatica. Voor
informatici wordt deze cursus gedoceerd in 39 uur. De wiskundigen volgen slechts 26 uur.
Een andere naam voor dit vak is “Discrete Structuren”.
Op het examen wordt vooral gepeild naar het begrip van de cursus en de wiskundige technieken die aan de basis liggen. Alle stellingen, lemma’s, gevolgen, . . . moeten gekend zijn,
met bewijs. De bewijzen die niet in de cursus staan zou de gemiddelde student zelf moeten
kunnen vinden. Er wordt dus verwacht dat deze bewijzen ook gekend zijn.
Meer informatie vind je op mijn homepage :
http://homepages.vub.ac.be/~pcara
Ik verwijs ook naar de cursusfiche voor meer technische informatie.
Achteraan deze nota’s vind je ook een bibliografie met referentiewerken die naast deze tekst
kunnen geraadpleegd worden. Zij bevatten nog meer voorbeelden en oefeningen.
Hierbij wens ik ook de studenten van de 1ste Bachelor Wiskunde van het academiejaar 2005–
2006 te bedanken voor de talrijke verbeteringen die zij aanbrachten in de tekst.
Philippe Cara
7 februari 2010
i
Inhoudsopgave
1 Een beetje brugcursus
1
1.1
Logica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Verzamelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.3
Kwantoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.4
Meerdere kwantoren en negaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.5
Deelverzamelingen en gelijke verzamelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.6
Bewerkingen met verzamelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.7
Oneindige unies en doorsneden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.8
Cartesisch product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.9
Relaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.10 Functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.11 Beeld en invers beeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.12 Geı̈nduceerde functies, restrictie en corestrictie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.13 Injecties en surjecties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.14 De samenstelling van functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.15 Inverse functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.16 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2 Stelsels en matrices
15
2.1
Stelsels van lineaire vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.2
Matrixnotatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.3
Matrices in echelonvorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.4
Oplossen van stelsels met de spilmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.5
Intermezzo: vectoren en vectorruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.6
Matrixrekenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.7
Lineaire afbeeldingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
2.8
Enkele voorbeelden van lineaire afbeeldingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
ii
INHOUDSOPGAVE
2.9
iii
Bepalen van de inverse van een matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.10 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3 Eenvoudige principes van discrete wiskunde
49
3.1
De duiventil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
3.2
Eenvoudige teltechnieken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3.2.1
Tellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3.2.2
Somprincipe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.3.1
Dubbeltellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
3.3.2
Woorden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
3.3.3
Injecties tellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
3.3.4
Bijecties tellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
3.3.5
Deelverzamelingen tellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
3.3.6
De driehoek van Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
3.3.7
Herhalingscombinaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
3.4
Het binomium van Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
3.5
Inclusie en exclusie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
3.6
Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
3.3
4 Gehele getallen
4.1
66
Gekende eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
4.1.1
Andere voorbeelden van ringen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
4.2
Welorde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
4.3
Bewijs per inductie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
4.4
Quotiënt en rest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
4.5
Grootste gemene deler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
4.6
Priemgetallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
4.7
De ϕ-functie van Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
4.8
Congruenties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
4.9
Equivalentierelaties en partities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
4.10 Modulair rekenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
4.11 De Chinese reststelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
4.12 Public key cryptography . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
4.13 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
INHOUDSOPGAVE
iv
5 Inleiding tot de graffentheorie
96
5.1
Definities en terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
5.2
Belangrijke voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
5.3
Verdere definities en eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
5.4
Eulerpaden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99
5.5
Hamiltonpaden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.6
Gerichte graffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.7
Isomorfismen tussen graffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.8
Bomen en bossen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.9
Opspannende bomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.10 Tellen van opspannende bomen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.10.1 Matrices als voorstelling van graffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.10.2 Het aantal opspannende bomen in een gegeven graf . . . . . . . . . . 112
5.11 Bipartiete graffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.12 Koppelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
5.13 Toewijzingen en het lessenroosterprobleem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
5.14 Planaire graffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.14.1 Platonische lichamen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5.15 Het kleuren van planaire graffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.16 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6 Genererende functies
136
6.1
Voorbeelden en definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
6.2
Veralgemeende binomiaalcoëfficiënten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.3
Partities van natuurlijke getallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
6.3.1
Young tableaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.4
Beroemde genererende functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
6.5
Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7 Recurrentievergelijkingen
146
7.1
Homogene eerste orde lineaire recurrentievergelijkingen . . . . . . . . . . . . 146
7.2
Homogene tweede orde lineaire recurrentievergelijkingen . . . . . . . . . . . 148
7.2.1
Twee reële wortels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
7.2.2
Twee complex toegevoegde wortels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
7.2.3
Eén reële wortel met multipliciteit twee . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
INHOUDSOPGAVE
v
7.3
Niet-homogene recurrentievergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.4
Beroemde particuliere oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
7.5
Een methode met genererende functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
7.6
Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8 Aanvullingen
8.1
8.2
157
Booleaanse algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.1.1
Eigenschappen van de Booleaanse bewerkingen . . . . . . . . . . . . . 159
8.1.2
Dualiteitsprincipe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
8.1.3
Abstracte definite van een Booleaanse algebra . . . . . . . . . . . . . . 160
8.1.4
Voorschriften voor Booleaanse afbeeldingen . . . . . . . . . . . . . . . 161
8.1.5
Schakelingenalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
8.1.6
Reductie van Booleaanse voorschriften . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Paden in graffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.2.1
Kortste paden in gewogen graffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
8.2.2
Stromen in gewogen gerichte graffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
8.2.3
Enkele toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
8.3
Compressie: Huffman en Lempel-Ziv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
8.4
Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
A De stelling van Cauchy–Binet
184
A.1 Herhaling en notatie voor determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
A.2 De stelling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
A.3 De helden van dit verhaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
B De complexe getallen
188
B.1 Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
B.2 Meetkundige interpretatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
B.3 De complexe exponentiële functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
B.4 De logaritmische functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
B.5 De complexe trigonometrische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
B.6 De complexe n-demachtswortel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
B.7 Complexe veeltermen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
Bibliografie
196
Index
197
Hoofdstuk 1
Een beetje brugcursus
Dit hoofdstuk is gebaseerd op de brugcursus “Wiskunde I” (VUB uitgaven) en hoofdstuk 0
van de cursus “Meetkunde en Lineaire Algebra” van Prof. Kieboom.
1.1 Logica
De wiskunde is opgebouwd uit “logische redeneringen”. Deze redeneringen worden in het
algemeen bestudeerd in de wiskundige discipline die “logica” heet. Logica komt uitgebreid
aan bod in de cursus “Grondslagen van de informatica I” (Prof. De Troyer). Wij zullen
de taal en notatie van de zogenaamde predikatenlogica gebruiken om redeneringen neer te
schrijven. We herhalen hier enkele notaties en begrippen:
• de implicatie: p ñ q (“Als p dan q”).
Voorbeeld. “x is deelbaar door 10 ñ x is even”.
• de negatie:
p.
Voorbeeld. “Het regent niet”.
• de contrapositie van de implicatie: p
belangrijk!
ñ q is equivalent met
q
ñ
p. Dit is zeer
Voorbeeld. Om te bewijzen dat “n2 even ñ n even” is het gemakkelijker te bewijzen dat “n
oneven ñ n2 oneven”.
• de equivalentie: p q (“p is equivalent met q”). p
qq ^ pq ñ pq of p p ñ qq ^ p p ñ qq
q is equivalent met p p
Voorbeeld. “n2 even n even”.
• negatie van de implicatie:
p p ñ qq is equivalent met p ^
q.
Opmerking. De negatie van de implicatie is niet hetzelfde als contrapositie!
1
ñ
HOOFDSTUK 1. EEN BEETJE BRUGCURSUS
2
1.2 Verzamelingen
Een fundamenteel begrip in de wiskunde is verzameling. Het is echter moeilijk dit begrip
precies te definiëren. Verzamelingen laten toe alle (wiskundige) objecten met dezelfde kenmerken te groeperen of te verzamelen.
Voorbeeld. De verzameling priemgetallen groepeert alle positieve gehele getallen die juist twee
verschillende delers bezitten.
Een object uit een gegeven verzameling heet een element. We noteren verzamelingen meestal met Latijnse hoofdletters: A, B, C, . . . , X, Y, Z. Sommige verzamelingen verdienen een
speciaal symbool:
t0, 1, 2, . . .u: de natuurlijke getallen
Z t. . . , 3, 2, 1, 0, 1, 2, . . .u: de gehele getallen
Q t ba a, b P Z ^ b  0u: de rationale getallen
• N
•
•
~
• R: de reële getallen
• C
ta
bi ~ a, b
P Ru: de complexe getallen
Merk op: Een verzameling kan gedefinieerd worden door haar elementen op te sommen
tussen accolades. We kunnen ook een algemene beschrijving geven van haar elementen
zoals in het voorbeeld van Q. Hierbij moet je het verticale streepje “ ~ ” lezen als “waarvoor
geldt”. Het symbool “P” betekent “is element van” of “behoort tot”. Meer voorbeelden:
tx P R x  0u
R t x P R x ¥ 0u
R0 t x P R x ¡ 0u
• R0
•
•
~
~
~
De lege verzameling ∅ bevat geen elementen.
px P Aq korten we af tot x R A, “x behoort niet tot A”.
1.3 Kwantoren
Sommige uitspraken of eigenschappen zijn geldig voor alle objecten in een gegeven verzameling. Om dit te noteren gebruiken we de kwantor “voor alle”: .
Voorbeeld. x P R : x2
¥ 0.
Het dubbelpunt “:” betekent in een logische uitspraak “geldt”.
Er is ook een kwantor “er bestaat” indien men wil zeggen dat een eigenschap geldt voor
minstens één element in een gegeven verzameling.
Voorbeeld. D x P R : x2
x.
HOOFDSTUK 1. EEN BEETJE BRUGCURSUS
3
Soms wil men benadrukken dat er slechts één element bestaat met de gegeven eigenschap.
Voorbeeld. D! x P R0 : x2 x.
1.4 Meerdere kwantoren en negaties
De volgorde van kwantoren heeft belang! Bijvoorbeeld
x P R : Dy P R
is waar, terwijl
: x2
y
D y P R : x P R : x2 y
onwaar is.
Opmerking. De letters die we gebruiken als variabelen hebben uiteraard geen belang:
β P R : Db P R
: β2
b
is dezelfde uitspraak als de eerste, maar anders geschreven.
Negaties van uitspraken zijn zeer belangrijk. Denk bijvoorbeeld aan het bewijs door contrapositie.
De negatie van
x P X : p p x q.
x P
X : pp xq is
Dx P
X :
pp xq en de negatie van
Dx P
X : pp xq is
Voorbeeld. De negatie van
ε P R0 : D δ P R0 : x P X : p|x a| δq ñ p| f pxq f paq| εq
is
D ε P R0 : δ P R0 : D x P X : p|x a| δq ^ p| f pxq f paq| ¥ εq
1.5 Deelverzamelingen en gelijke verzamelingen
Indien elk element van een verzameling A ook behoort tot een verzameling B, zeggen we
dat A een deelverzameling is van B of dat B de verzameling A omvat.
Symbolisch:
A € B a P A : a P B
Voor A € B schrijven we ook B  A. We hebben steeds B
deelverzamelingen heten echte deelverzamelingen van B.
Voorbeelden.
• t1, 2, 3u € N
€ Z € Q € R € C.
€
B en ∅
€
B. Alle andere
HOOFDSTUK 1. EEN BEETJE BRUGCURSUS
• Z
4
‚R
Twee verzamelingen A en B zijn gelijk indien ze dezelfde elementen hebben. Dit is het geval
als en slechts als p A € Bq ^ p B € Aq. We noteren (uiteraard) A B. Gevolg: A  B indien
p A ‚ Bq _ pB ‚ Aq, d.w.z. pD a P A : a R Bq _ pD b P B : b R Aq.
De verzameling van alle deelverzamelingen van een gegeven verzameling X noteren we
P pX q. Er geldt dus
P pX q tS verzameling ~ S € X u
1.6 Bewerkingen met verzamelingen
De doorsnede van A en B is de verzameling A X B t x P A ~ x P Bu. Twee verzamelingen A
en B heten disjunct indien A X B ∅, d.w.z. ze hebben geen elementen gemeenschappelijk.
De unie van A en B is A Y B t x ~ p x P Aq _ p x
verzameling Az B t x ~ p x P Aq ^ p x R Bqu.
t1, 2, 3u en B
Az B t1u en Bz A t4, 5u
Voorbeeld. Stel A
t2, 3, 4, 5u.
P Bqu.
Het verschil van A en B is de
Dan geldt: A X B
t2, 3u, A Y B t1, 2, 3, 4, 5u,
Als A € B, dan heet Bz A het complement van A t.o.v. B. Soms speelt een wiskundige theorie
zich volledig af in een gegeven verzameling U. In dat geval worden alle complementen
berekend t.o.v. U (tenzij anders vermeld natuurlijk). Voor A € U noteert men dan kort Ac ,
Ā of A A voor het complement U z A. De verzameling U noemt men het universum van de
theorie.
1.7 Oneindige unies en doorsneden
Zij I een verzameling. Onderstel dat voor elke i P I een verzameling Ai gegeven is. Zo
bekomen we een verzameling A t Ai ~ i P I u van verzamelingen geı̈ndexeerd door I.
t3, 4, 5, 6, 7u en Ai t1, 2, 3, . . . , iu. Dan is A3 t1, 2, 3u, A4 t1, 2, 3, 4u enz.
N0, Bj r0, 1j s, een gesloten interval in R. Dan is B1 r0, 1s, B2 r0, 12 s enz.
Voorbeeld. Stel I
Stel J
De doorsnede van alle verzamelingen geı̈ndexeerd door I definiëren we als
£ A £ A tx
P
i
~
i P I : x P Ai u
i I
en analoog definiëren we de unie
¤ A ¤ A tx
P
i I
i
~
D i P I : x P Ai u.
HOOFDSTUK 1. EEN BEETJE BRUGCURSUS
5
Voorbeeld. We keren terug naar de vorige voorbeelden. Er geldt:
¤
P
Ai
A7
,
i I
¤
P
£
P
Ai
A3
Bj
t0u.
i I
Bj
r0, 1s
j J
,
£
P
j J
1.8 Cartesisch product
Zijn A, B twee verzamelingen. Het cartesisch product van A en B is de verzameling
A B : tpa, bq ~ a P A, b P Bu
De elementen van A B heten koppels. Als pa, bq, pc, dq P A B dan geldt pa, bq pc, dq ðñ
pa cq ^ pb dq. Als a  b geldt pa, bq  pb, aq. In het algemeen zijn dus A B en B A
verschillend. Als A, B € U dan geldt A B € U U en niet A B € U!
Als A eindig is (d.w.z. A bevat een eindig aantal elementen) noteren we het aantal elementen
in A met | A| of #A. Als A en B eindig zijn geldt | A B| | A| | B|.
Voorbeelden.
• Stel A t2, 3u en B t4, 5, 6u. Vul dan zelf aan:
– AB ...
– BA ...
• Stel A r1, 3s en B r1, 2s. Dan geldt A B € R R R2 .
Notatie. A A noteren we kort A2 . Ook het Cartesisch product A A A van n keer
dezelfde verzameling schrijven we An .
1.9 Relaties
Een relatie van een verzameling A naar een verzameling B is per definitie een deelverzameling R van het cartesisch product A B.
Notatie. als pa, bq P R, schrijven we aRb.
Voorbeeld. Beschouw de verzameling A
A. Dan is:
R
t1, 2, 3, 4u en de relatie “is kleiner dan of gelijk aan” op
tpa, bq P A A a ¤ bu
tp1, 1q, p1, 2q, p1, 3q, p1, 4q, p2, 2q, p2, 3q, p2, 4q, p3, 3q, p3, 4q, p4, 4qu
~
HOOFDSTUK 1. EEN BEETJE BRUGCURSUS
6
De inverse relatie R 1 van R is per definitie
R 1 : tpb, aq ~ pa, bq
P R u.
Dit is een relatie van B naar A.
Voorbeeld. Terugkerend naar het vorige voorbeeld geldt:
R 1
tp1, 1q, p2, 1q, p3, 1q, p4, 1q, p2, 2q, p3, 2q, p4, 2q, p3, 3q, p4, 3q, p4, 4qu.
1.10 Functies
Zijn A, B verzamelingen. Een functie van A naar B is een relatie van A naar B waarbij elk
element van A precies één keer voorkomt als eerste component van een koppel in de relatie.
De verzameling A heet het domein van de functie en B is het codomein. Meestal noteren we
functies met kleine letters en vermelden we duidelijk domein en codomein. Als f € A B
een functie is, noteren we f : A ÝÑ B.
t1, 2, 3u en B ta, b, c, du, dan is f tp1, aq, p2, bq, p3, bqu een functie en R tp1, aq, p2, bq, p2, aq, p3, dqu is een relatie maar geen functie.
Voorbeeld. Als A
Het woord afbeelding is een synoniem voor functie.
Zij f : A ÝÑ B een functie. Indien pa, bq P f noteren we f paq b. Het element b P B heet
beeld van a door f en a heet een origineel van b voor f . We zeggen ook dat f het element
a op het element b stuurt, notatie: a ÞÑ b. Merk op: niet alle elementen van het codomein
hebben een origineel, maar elk element van het domein heeft wel een beeld.
Voor vele functies bestaat er een “formule” om het beeld van een willekeurig element van
het domein te berekenen. Dit heet het functievoorschrift. De volledige notatie voor een
functie wordt dan:
f : A ÝÑ B : a ÞÝÑ f paq
waarbij f paq het functievoorschrift voorstelt.
Voorbeelden.
• f : R ÝÑ R : x
• g: R
ÞÑ x2
"
5
ÝÑ R : x ÞÑ 5x
2x
als
als
x
x
¥0
0
Opmerking. Een functie wordt dus gedefinieerd door drie gegevens: domein, codomein en
functievoorschrift. Deze gegevens zijn alle even belangrijk!
HOOFDSTUK 1. EEN BEETJE BRUGCURSUS
7
1.11 Beeld en invers beeld
Voor een functie f : A ÝÑ B en S € A definiëren we het beeld van S door f als
f pS q :
t f p sq s P S u
: tb P B D s P S, f psq bu
~
~
Dus geldt zeker f pSq € B
f p Aq, het beeld van het hele domein van f , noemen we het beeld van f . We noteren dit soms
ook Im f . Im f is dus een deel van het codomein.
Dan is f pr1, 2sq r0, 4s en Im f R . Uit dit voorbeeld
leren we dat Im f dus in het algemeen niet gelijk is aan het codomein van f . Verwar dus niet beeld
en codomein!
Voorbeeld. Zij f : R
ÝÑ R : x ÞÑ x2.
Nog steeds voor f : A
als
ÝÑ B maar nu T € B, definiëren we het invers beeld van T onder f
f 1 pT q : ta
P A f paq P Tu.
~
Merk op dat f 1 pT q een notatie is en niet impliceert dat er voor f een inverse functie bestaat.
Als T een singleton tbu is, schrijven we f 1 pbq i.p.v. f 1 ptbuq.
Voorbeeld. Met f zoals in het vorige voorbeeld hebben we: f 1 p4q
t2, 2u, f 1 p1q ∅ en
1
1
f p f pr0, 1sqq f pr0, 1sq r1, 1s.
In het algemeen geldt: S € A : f 1 p f pSqq  S en, zoals het voorbeeld toont, niet f 1 p f pSqq S. We bewijzen dit even.
Bewijs. Zij f : A ÝÑ B een functie en S € A. We moeten bewijzen:
s P S : s P f 1 p f pSqq.
Maar dit is equivalent met
s P S : f psq P f pSq t f ptq t P Su,
~
wat duidelijk voldaan is.
Je zal andere gelijkaardige eigenschappen in de oefeningen bewijzen.
1.12 Geı̈nduceerde functies, restrictie en corestrictie
Als een functie f : A ÝÑ B gegeven is, kan je gemakkelijk een functie van A A naar B B
definiëren. We beelden pa, a1 q gewoon af op p f paq, f pa1 qq. Algemeen kan je functies An ÝÑ Bn
maken voor alle machten n. Je kan ook een functie maken op de delenverzameling P p Aq
van A. Door P p Aq ÝÑ P p Bq : S ÞÝÑ f pSq.
We noteren al deze functies afgeleid uit f meestal nog altijd met f en noemen ze de functies
door f geı̈nduceerd op A A (of op An of op P p Aq).
HOOFDSTUK 1. EEN BEETJE BRUGCURSUS
8
We kunnen ook beslissen om de functie f : A ÝÑ B te bekijken op een deelverzameling X
van A. Dan spreken we van de restrictie of beperking van f tot X. We noteren deze functie
met f |X . Er geldt dus
f |X : X ÝÑ B : x ÞÝÑ f p xq
We kunnen ook het codomein van de functie f beperken. Zij Y
Dan is de corestrictie van f tot Y de functie
€ B zó dat a P A : f paq P Y.
f |Y : A ÝÑ Y : x ÞÝÑ f p xq
We kunnen natuurlijk ook domein en codomein tegelijk beperken zodat we een functie
f |YX : X ÝÑ Y bekomen met voor elke x P X : f |YX p xq f p xq.
1.13 Injecties en surjecties
1 Definitie. Een functie f : A ÝÑ B heet injectief indien elk element van B hoogstens één keer
voorkomt als tweede component van een koppel in f .
Anders gezegd: elk element van B heeft hoogstens één origineel. Nog anders gezegd: indien
twee elementen van A hetzelfde beeld hebben, moeten ze gelijk zijn. In symbolen: f : A ÝÑ
B is injectief ðñ a, b P A : p f paq f pbqq ñ pa bq.
ÝÑ R : x ÞÑ x2 is niet injectief. Immers 12 p1q2 maar 1  1. Anderzijds is
ÝÑ R : x ÞÑ x2 wel injectief want a2 b2 ðñ a b, maar aangezien a, b P R , geldt a b.
Voorbeeld. f : R
g:R
We zien dat we een functie injectief kunnen maken door punten uit het domein weg te laten.
De functie g uit het voorbeeld is gewoon de restrictie van f tot R , of f |R .
2 Definitie. Een functie f : A ÝÑ B is surjectief indien Im f
B.
Anders gezegd: elk element van het codomein heeft minstens één origineel. Symbolisch:
b P B : D a P A : f paq b.
Voorbeeld. g : R
ÝÑ R : x ÞÝÑ x2 is niet surjectief. De corestrictie g|R
is dat wel.
Door het codomein te beperken kan je een functie dus surjectief maken.
Een functie die tegelijk surjectief en injectief is, heet bijectief. Een functie is bijectief
b P B : D! a P A : f paq b.
Voorbeeld. h : R
ÝÑ R
:x
ðñ
ÞÝÑ x2 is bijectief.
Een bijectie van een verzameling naar zichzelf heet een permutatie. Een zeer belangrijke permutatie is de identieke permutatie of de identiteit. Deze beeldt elk element af op
zichzelf. We noteren de identieke permutatie van een verzameling X als 1X . Er geldt dus
x P X : 1X pxq x of
1X : X ÝÑ X : x ÞÝÑ x
Opmerking. Andere notaties voor de identieke permutatie op X zijn i X , IdX of idX .
HOOFDSTUK 1. EEN BEETJE BRUGCURSUS
9
1.14 De samenstelling van functies
Beschouw twee functies f : A ÝÑ B en g : B ÝÑ C, waarbij het domein van g het codomein
van f is. Dan kunnen we op elk beeld f paq de functie g toepassen. Zo definiëren we een
nieuwe functie van A naar C die we g f noteren (lees “g na f ” omdat we eerst f toepassen
en dan g). Dus:
g f : A ÝÑ C : a ÞÑ gp f paqq.
g f
A
C
B
f p aq
a
gp b q
b
Voorbeeld. Stel f : R ÝÑ R : x ÞÑ x 1 en g : R ÝÑ R : x ÞÑ x2 . Dan zijn:
g f : R ÝÑ R : x ÞÑ gpx 1q px 1q2
f g : R ÝÑ R : x ÞÑ x 2 1
f f : R ÝÑ R : x ÞÑ x 2
g g : R ÝÑ R : x ÞÑ x 4
We merken op dat f
g  g f , dus de volgorde heeft belang.
3 Eigenschap. De samenstelling van functies is associatief: voor elke drie functies
A ÝÑ B ÝÑ C
f
geldt
g
h
ÝÑ
D
h p g f q p h gq f
Bewijs. Domeinen en codomeinen zijn duidelijk gelijk. Zij a P A, dan
ph pg f qqpaq gp f paqq
hpp g f qpaqq
hp gp f paqqq
ph gqp f paqq
pph gq f qpaq.
HOOFDSTUK 1. EEN BEETJE BRUGCURSUS
10
1.15 Inverse functies
Definitie: Zij f : A ÝÑ B een functie. Indien een functie g : B ÝÑ A voldoet aan
f
g 1B en g f 1A
dan heet g een invers voor f . We zeggen dan ook dat f inverteerbaar is.
Niet alle functies hebben een invers. Een inverse g van f : A ÝÑ B moet een functie zijn van
B naar A. Dus moet voor elke b P B precies één beeld gpbq P A voorzien worden. Bovendien
moet gelden p f gqpbq 1B pbq b. Bijgevolg moet gpbq P f 1 pbq. Opdat g : B ÝÑ A een
functie zou zijn is dus nodig dat b P B : f 1 pbq  ∅. Dit komt erop neer dat f surjectief
moet zijn.
Als f : A ÝÑ B surjectief is, zouden we als volgt een inverse g : B ÝÑ A kunnen construeren: voor elke b P B kiezen we een beeld gpbq in f 1 pbq. Maar is zulke g dan een invers van
f?
De voorwaarde g f 1 A dwingt de injectiviteit van f . Inderdaad: als f niet injectief is,
bestaan er a  a1 P A met f paq f pa1 q. Stel b : f paq, dan geldt a, a1 P f 1 pbq. Kiezen we dan
als beeld van b door g het element a, dan hebben we gpbq gp f paqq p g f qpaq 1 A paq a,
maar ook gpbq gp f pa1 qq p g f qpa1 q 1 A pa1 q a1 . Dus a a1 , wat in tegenspraak is met
a  a1 .
Als f een bijectie is, is b P B : f 1 pbq een singleton. Er is dus geen keuze voor het construeren van de inverse g. De functie g : B ÝÑ A is dan wel degelijk een inverse van f .
We hebben bewezen:
4 Stelling. Enkel bijectieve functies hebben een invers.
5 Eigenschap. Een functie heeft hoogstens één invers.
Bewijs. Zij f : A ÝÑ B en zijn g : B ÝÑ A en g1 : B ÝÑ A twee inversen. Dan geldt, b P B:
gp b q
gp1B pbqq
g1 qpbqq
pg f g1 qpbq
pg f qpg1 pbqq
1 A p g1 pbqq
g 1 p b q.
gpp f
Vermits de domeinen en codomeinen van g en g1 gelijk zijn, hebben we g g1 .
Nu we weten dat elke inverteerbare functie juist één invers heeft, kunnen we spreken over
het invers van een functie f in plaats van over een invers. We noteren de inverse functie f 1 .
Verwar dit niet met inverse beelden die voor alle functies gedefinieerd zijn, niet enkel voor
bijecties.
Voorbeeld. h : R?
R
ÝÑ R
:x
ÞÑ
ÝÑ R
x.
: x
ÞÑ x2 is een bijectie.
Haar inverse kennen we goed. Het is h1 :
HOOFDSTUK 1. EEN BEETJE BRUGCURSUS
11
1.16 Oefeningen
1. # Zij pp xq “x is deelbaar door 10” en qp xq “x is even”.
• schrijf pp xq en qp xq met symbolen
• Geef de negatie van pp xq
• Geef de conjunctie van pp xq en qp xq
• Schrijf “qp xq impliceert pp xq”, en de contrapositie ervan
• Schrijf de equivalentie van pp xq en qp xq op
Zeg van deze uitspraken of ze waar zijn of niet.
2. G
# Stel de waarheidstafel op van de exclusieve of (Xor). Ken je een uitdrukking die
equivalent is?
3. # Geef de waarheidstafels van
• pp
ñ q q ñ p q ñ pq
• q p p _ qq
• rp p ñ qq ^ pq ñ rqs ñ p p ñ rq
4. # Toon aan dat p p _ qq en p ^ q logisch equivalent zijn. Wat kan je zeggen over
p p ^ qq en p _ q?
5. # Toon aan dat p q en p p ñ qq ^ pq ñ pq logisch equivalent zijn.
6. G
# Het aantal rijen van een waarheidstabel hangt af van het aantal samenstellende uitspraken. Wat is het verband?
7. # Schrijf de waarheidstafels op voor volgende logische uitspraken en leid er een equivalente vorm voor de uitspraak uit af:
•
•
•
p pq
p p ^ qq
p p _ qq
•
p p ð qq
•
p p qq
8. G
# Een tautologie (of logische wet) is een uitspraak die steeds waar is. Toon aan dat
volgende beweringen tautologieën zijn en interpreteer:
•
•
•
•
•
p p ^ p pqq
p _ p pq
p p ^ pq p
p p ^ q q p q ^ pq
p p _ pq _ rqq pp p _ qq _ rq
9. # Is p ñ pq ñ pq logisch equivalent met p p
•
•
•
•
p pq p
p ñ p q ñ pq
p ñ p p ñ qq
p p ñ q q _ p q ñ pq
ñ qq ñ p?
HOOFDSTUK 1. EEN BEETJE BRUGCURSUS
12
10. # Noteer volgende oefeningen met behulp van kwantoren. Bepaal eventueel of de
bewering waar of vals is. Schrijf de negatie van de bewering op met kwantoren en met
woorden.
(a) “Alle mensen zijn slim.”
(b) “Er zijn mensen die groot zijn.”
(c) “Er zijn mensen die groot zijn en lang haar hebben.”
(d) “Niet alle mensen hebben kort haar.”
(e) “Alle wegen leiden naar Rome.”
(f) “Voor elke mens geldt: als hij groot is, dan is hij niet klein.”
(g) “Een geheel getal is positief.”
(h) “Elk natuurlijk getal is even.”
(i) “Sommige reële getallen zijn positief.”
11. # Schrijf alle deelverzamelingen van t1, 2, 3u.
12. G
# Hoeveel deelverzamelingen heeft een verzameling met 2 elementen? Met 3 elementen? Met n elementen?
13. G
# Wanneer behoort een element niet tot A X B? Vul aan: x R A X B . . .
14. G
# analoog: x R A Y B . . .
15. G
# analoog: x R Az B . . .
16. G
# Toon aan dat
• B  A AYB B AXB A
• A Y p A X Bq A
• A X p A Y Bq A
17. G
# Wanneer is x
R ” iP I A i ?
18. G
# Geef de betekenis in woorden van de volgende uitspraken. Zeg of ze waar of onwaar
zijn. Geef de negatie in symbolen en woorden.
x P Z, D y P Z : x y
• D x P Z, D y P N : x ¡ y
• D x P Z, y P Z : x y
• ε ¡ 0, D δ ¡ 0, x P R : | x a| δ ñ | f p xq f paq| ε
19. # Zij A t2, 3u, B t4, 5, 6u en C ta, b, c, du. Geef A B, B A, A C, C B, A2 ,
C tau.
20. # Zij A t1, 2, 3, 4u en beschouw de relatie R: “is kleiner dan of gelijk aan” op A. Geef
•
de elementen van R. Geef de inverse relatie van R.
21. G
# Zij f : A ÝÑ B een functie en S1 , S2
€ A. Bewijs dat
HOOFDSTUK 1. EEN BEETJE BRUGCURSUS
13
(a) f pS1 Y S2 q f pS1 q Y f pS2 q
(b) f pS1 X S2 q € f pS1 q X f pS2 q
Zoek voorbeelden die dit illustreren.
22. G
# Zij f : A ÝÑ B een functie die niet noodzakelijk inverseerbaar is, en S
T, T1 , T2 € B. Bewijs dat
(a) f 1 pT1 Y T2 q f 1 pT1 q Y f 1 pT2 q
€
A en
(c) f p f 1 pT qq € T
(b) f 1 pT1 X T2 q f 1 pT1 q X f 1 pT2 q
(d) f 1 p f pSqq  S
Zoek voorbeelden die dit illustreren.
ðñ b P B : f 1 pbq bevat hoogstens één element.
23. G
# Toon aan: f : A ÝÑ B is injectief
24. G
#
(a) Zij f : A ÝÑ B. Toon aan dat f
1 A f 1B f .
(b) Toon aan dat de samenstelling van 2 injecties opnieuw een injectie is.
(c) Toon aan dat de samenstelling van 2 surjecties opnieuw een surjectie is.
25. # Zij f p xq ?x, gpxq x{4 en hpxq 4x 8. Zoek het functievoorschrift voor:
(a) h g f
(b) h f
g
(c) g h f
?
(d) g f
h
(f)
26. # Zij f p xq x 3, gp xq x, hp xq x3 en jp xq
een samenstelling van de bovenstaande:
(b)
?
x3
?
2 x
(c)
x1 4
(a)
{
(d) 4x
(e)
gh
f hg
(e) f
2x. Schrijf de volgende functies als
apx 3q
(i) x9
3
(f) p2x 6q3
(j) x 6
(g) 2x 3
?
?3
(k) 2 x 3
(h) x3{2
(l)
x
3
27. G
# Toon aan voor inverteerbare functies f en g:
(a)
p f 1 q1 f
(b) p g f q1
f 1 g1
28. G
# Onderzoek of volgende functies inverteerbaar zijn. Zo ja, bepaal de inverse functies.
Zo nee, definieer een bijectie f˜ met hetzelfde voorschrift als f en bepaal p f˜q1 .
Ñ R : x ÞÑ |x|
f : R Ñ R : x ÞÑ x 1
f : R Ñ R : x ÞÑ 2x 3
?
f : R Ñ R : x ÞÑ x
?
Ñ R : x ÞÑ 2x
f : R Ñ R : x ÞÑ 1
f : R0 Ñ R : x ÞÑ 2xx3
f : R Ñ R : x ÞÑ sin x
(a) f : R
(e) f : R
(b)
(f)
(c)
(d)
(g)
(h)
3
2
HOOFDSTUK 1. EEN BEETJE BRUGCURSUS
29. G
# Zij h : Z Z
Surjectief?
Ñ
Z : hp x, yq
2x
14
3y. Bepaal het beeld van h. Is h injectief?
30. G
# Bewijs: f pS1 X S2 q f pS1 q X f pS2 q als f injectief is (zie oef. 21). Geef een voorbeeld
van een functie waarbij f pS1 X S2 q  f pS1 q X f pS2 q.
31. G
# Bepaal of volgende functies injectief zijn. Geef hun beeld.
Ñ Z : x ÞÑ 2x 1
f : Q Ñ Q : x ÞÑ 2x 1
f : Z Ñ Z : x ÞÑ x3 x
Ñ R : x ÞÑ ex
f : rπ {2, π {2s Ñ R : x ÞÑ sin x
f : r0, π s Ñ R : x ÞÑ sin x
(a) f : Z
(d) f : R
(b)
(e)
(c)
32. G
# Stel f : A Ñ B, met A
dan zeggen van f ?
(f)
X Y Y en X X Y ∅. Als f|X en f|Y injectief zijn, wat kan je
33. # Bepaal voor elk van de volgende functies f : Z
Indien niet surjectief, bepaal f pZq:
(a) f p xq x
(c) f p xq x
7
(b) f p xq 2x 3
(d) f p xq x2
5
Ñ Z of ze injectief of surjectief zijn.
(e) f p xq x2
(f) f p xq x3
x
34. # Zelfde vraag als oefening 33, waarbij f als een functie van R naar R beschouwd
wordt.
35. G
# Toon aan: als A en B verzamelingen zijn, dan geldt: p A Bq X p B Aq
p A X Bq. [examen augustus 2005]
p A X Bq 36. G
# Vul aan (gebruik €,  of ) en bewijs: als A en B verzamelingen zijn, dan geldt:
p A Bq Y p B Aq
[examen augustus 2005]
...
p A Y B q p A Y B q.