Een rekenmodel voor kinderen die moeite hebben inzicht te krijgen

Een rekenmodel voor kinderen die moeite hebben
inzicht te krijgen in posities van cijfers in getallen,
meercijferige getallen, kommagetallen, het tientallig
stelsel.
- ontstaan door het werken met een kind met NLD
- door Jolanthe Jansen
februari 2004
GETALLENBLOKKEN
Een rekenmodel voor kinderen die moeite hebben inzicht te krijgen in posities van cijfers in
getallen,meercijferige getallen, kommagetallen, het tientallig stelsel.
- ontstaan door het werken met een kind met NLD
Achtergrond
Door het werken met een kind met NLD ontstond de behoefte aan een model om te leren
omgaan met de posities van cijfers in getallen.
Door de afkeur van visuele input (door een minder sterke ontwikkeling op dit gebied) en de sterke
voorkeur voor bekende bewerkingen is het risico groot dat deze kinderen leren rekenen met cijfers
en getallen, zonder dat deze een werkelijke betekenis hebben. (Hier is een vergelijking te trekken
naar woordenschat: Een woord is gekend en wordt gebruikt, echter zonder dat het qua betekenis en
context voldoende inhoud heeft gekregen.)
Dit is een van de redenen waarom het werken met getallenlijnen (en modellen die naar
getallenlijnen toewerken - bij de meeste kinderen een inzichtbrenger bij uitstek) vaak niet effectief
zijn bij deze kinderen: Ze doen een beroep op visuele vermogens, inzicht en toepassing.
Inzichtelijk denken is voor deze kinderen vrijwel onmogelijk. Zelfstandig toepassen van het
geleerde in nieuwe situaties levert ook veel problemen op. Pas wanneer vaardigheden
geautomatiseerd zijn, kunnen ze door deze kinderen effectief en zelfstandig worden ingezet.
Het model zou dus hulp moeten bieden bij het automatiseren van de positie van cijfers in getallen.
Daar pas werkelijk gewerkt kan worden met geautomatiseerde aspecten, dient niet alleen de
getalspositie, maar ook het bijpassende formele beeld, de getalskenmerken, het taalgebruik en het
beeld van het concrete materiaal geautomatiseerd en gekoppeld worden.
In tegenstelling tot andere kinderen wordt het werken met concreet materiaal niet verlaten tot dit
een onderdeel vormt van het geautomatiseerde geheel. Ook de getalskenmerken (plaats; bestaat uit
... cijfers) dienen geautomatiseerd te worden.
Omdat kinderen met NLD talig zeer vaardig zijn, is het belangrijk ieder aspect van de posities van
getallen te begeleiden met taal. Deze taal moet ook inzicht verschaffend zijn, dus aangeven wat de
werkelijke betekenis van een cijfer is.
Door bovengenoemde aspecten steeds te blijven gebruiken en benoemen, worden deze aspecten
geautomatiseerd en ook de koppeling tussen deze aspecten wordt geautomatiseerd.
Het werken met de getallenblokken brengt dus kunstmatig (geautomatiseerde associatieve)
verbindingen tussen het formele cijfermatige aspect, de getalskenmerken, hoeveelheden en
verhoudingen, taalaspecten en concreet materiaal. In feite ontstaat er een geautomatiseerd "denknetwerk". Dit netwerk kan als referentiekader dienen om te leren omgaan met andere aspecten op
rekengebied.
Keuze van het visuele beeld:
De opbouw moet zeer concreet gebeuren, vanuit telbare en meetbare begrippen. Daarbij is het
noodzakelijk van een vaste rekeneenheid uit te gaan, waarbij zichtbaar gemaakt moet worden hoe
getallen zich ten opzichte van elkaar verhouden.
Rekengeld wordt vaak als structuurbrengend model gebruikt om inzicht te krijgen in hoeveelheden.
Het kind leert dan dat bepaalde munten een vaste waarde vertegenwoordigen.
Echter: Op geen enkele meetbare of zichtbare manier is de verhouding tussen 1 euro en 1 cent
duidelijk te maken. Rekengeld is dus geen geschikt concreet materiaal, verstrekt geen inzicht.
1
Eenheden, tientallen en honderdtallen in drop
Bij het getoonde model is gebruik gemaakt van dropjes, omdat het kind waarmee ik het eerst op
deze manier gewerkt heb dol was op dropjes. Met verschillende soorten dropjes (maat, lengte) is
op concreet niveau het verschil in lengte / grootte zichtbaar, telbaar en bespreekbaar te maken.
Natuurlijk kan er ook gekozen worden voor ander materiaal, dat aan elkaar meetbaar is.
De rekeneenheid is het bekende knoopdropje. Dit is het uitgangspunt voor rekenen met eenheden,
tientallen en honderdtallen.
De tientallen worden vertegenwoordigd door trekdroppen (op maat geknipt tot de lengte van 10
knoopdropjes). Benoemen gebeurt als: 1 trekdrop van 10 dropjes lang.
Voor het honderdtal viel de keus op een dropveter (op lengte gemaakt: de lengte van 10
trekdroppen, of 100 knoopdropjes). Benoemen als: 1 dropveter van 100 dropjes lang.
Opbouw:
1 De droppen en vaste manier van benoemen worden geïntroduceerd.
Door veel oefenen en manipuleren wordt het visuele beeld, gevoel voor maat en hoeveelheden
en vaste manier van benoemen samen geautomatiseerd.
2. De getallenblokken (afbeelding 1) worden geïntroduceerd, samen met de cijfers
(afbeelding 2).
afb. 1
de getallenblokken
afb. 2
de cijfers
De "dropkaarten" met afbeeldingen van de verschillende soorten drop (afbeelding 3) krijgen
hun plaats op de getallenblokken.
dropkaarten
stippenkaarten
waardekaarten
afb. 3
2
Door te manipuleren met cijfers op de getallenblokken en te vertalen naar dropjes (concreet
maar ook in de getallenblokken), wordt de koppeling hoeveelheid / maat (concreet materiaal),
symbool (dropkaartje), positie van het cijfer (door plaats op het getallenblok) bijbehorend
verbaal benoemen en het formele cijfer gekoppeld.
Na een aantal malen manipuleren worden ook de waardekaarten 1, 10 en 100 geïntroduceerd
(zie afbeelding 3).
Voorbeeld: Hier ligt 2 in het blok bij het kaartje van de dropjes, dat betekent dat er 2 dropjes
zijn, kijk hier leggen we 2 dropjes. Andersom: Hier liggen 2 dropjes, ze horen bij
het blok met het dropje, we leggen een 2 neer voor 2 dropjes. Op dezelfde manier
worden de plaats van de trekdrop en dropveter geïntroduceerd en door veel
manipuleren met bijbehorende taal geautomatiseerd.
3. De stippenkaarten worden geïntroduceerd (zie afbeelding 3). En verwijzen naar de hoeveelheid
cijfers waaruit een getal in werkelijkheid bestaat. 1 stip verwijst naar een getal met 1 cijfer, 2
stippen verwijst naar een getal met 2 cijfers, 3 stippen verwijst naar een getal met 3 cijfers.
We nemen dit mee in het benoemen van getallen en aantallen.
afb. 4
alle kaarten zijn in gebruik; het getal 142
4. Getallen uit het rekenboek worden "vertaald" naar de getallenblokken. Ook getallen die
genoemd worden, worden "vertaald"naar de getallenblokken.
Voorbeeld: Hier staat 142. De 1 betekent 1 dropveter van honderd dropjes, we noemen dat
honderd. De 4 betekent 4 trekdroppen van ieder 10 dropjes, we noemen dat
veertig. De 2 betekent 2 dropjes. Als we het hele getal in dropjes neerleggen,
moeten we honderdtweeënveertig dropjes neerleggen (afb. 4)
Pratend en benoemend wordt gemanipuleerd met drop, cijferkaarten, posities en stippenkaarten tot
het geheel samen geautomatiseerd is
3
Kommagetallen
Vanuit bovengenoemde gedachtengang is ook het werken met kommagetallen opgebouwd.
Als rekeneenheid is een heel grote (snoep-) spek gekozen. Dit is het uitgangspunt voor rekenen met
helen, tienden, honderdsten. De tienden worden vertegenwoordigd door repen spek (de spek wordt
samen met het kind in tien repen geknipt). Deze worden benoemd als: 1 van de 10 repen van de
hele spek. Voor het maken van de honderdsten werden de tiendenrepen in 10 losse blokjes geknipt.
Deze worden benoemd als 1 van de honderd stukjes van de hele spek.
Het visuele beeld van de hele spek, repen spek en stukjes spek, de positie in de getallenblokken, de
hoeveelheid cijfers (stippenkaarten) en het bijbehorende taalgebruik worden weer gezamenlijk
geautomatiseerd. (Hiervoor is een komma bevestigd op de getallenblokken). Werkwijze en
volgorde van aanbieden als boven bij de dropjes:
Opbouw:
1 De spek, repen spek en stukjes van de spek worden gezamenlijk geknipt en de vaste manier van
benoemen wordt geïntroduceerd.
Door veel oefenen en manipuleren wordt het visuele beeld, gevoel voor maat en hoeveelheden
en vaste manier van benoemen samen geautomatiseerd.
2. De getallenblokken worden geïntroduceerd, samen met de cijfers (zie afbeelding 1 en 2).
De "spekkaarten" met afbeeldingen van de hele spek, een reep spek en de kleine stukjes spek
(afbeelding 5) krijgen hun plaats op de getallenblokken.
spekkaarten
stippenkaarten
waardekaarten
afb. 5
Door te manipuleren met cijfers op de getallenblokken en te vertalen naar (delen van de) spek
(concreet maar ook in de getallenblokken), wordt de koppeling hoeveelheid / maat (concreet
materiaal), symbool (spekkaartje), positie van het cijfer (door plaats op het getallenblok)
bijbehorend verbaal benoemen en het formele cijfer gekoppeld.
Na een aantal malen manipuleren worden ook de kaartjes 1, 10 en 100 geïntroduceerd (zie
afbeelding 5).
Voorbeeld: Hier ligt 1 in het blok bij het kaartje van de hele spekken, dat betekent dat er 1
hele spek is, kijk hier leggen we 1 spek. Hier ligt 5 in het blok van de repen spek,
dat betekent dat er 5 repen van de 10 repen van de spek zijn. Kijk, we leggen 5
repen spek. Andersom: Hier ligt 1 spek, die hoort bij het blok met de hele spek,
we leggen een 1 neer voor 1 hele spek. Hier liggen 5 repen spek, die horen bij het
blok met de repen spek. Kijk we leggen een 5 bij het blok met de repen spek. Dat
betekent 5 van de 10 repen van de hele spek. Op dezelfde manier wordt de plaats
4
van de stukjes spek geïntroduceerd en door veel manipuleren met bijbehorende
taal geautomatiseerd.
3. De stippenkaarten worden geïntroduceerd (zie afbeelding 5). En verwijzen naar de hoeveelheid
cijfers waaruit een getal in werkelijkheid bestaat. 1 stip verwijst naar een getal met 1 cijfer, 2
stippen verwijst naar een getal met 2 cijfers, 3 stippen verwijst naar een getal met 3 cijfers.
0,1 wordt verwoord als: Geen hele spek (de 0,) 1 van de 10 repen van de spek(de 1).
0,32 wordt verwoord als: Geen hele spek (de 0,) , 3 van de tien repen van de spek (de 3) en 2
van de honderd stukjes van de spek.
Voor de stippenkaarten is het van belang dat ook de positie van de hele spek meetelt voor het
aantal cijfers: 0,1 heeft twee cijfers, dus 2 stippen (vergelijk tien, tienden: beide twee cijfers,
dus twee stippen; 100, 0,01 beide 3 cijfers dus drie stippen).
In de getallenblokken heeft de 0 bij 0,1 dus een wezenlijke functie: Deze vertelt dat er niet een
hele spek is, maar een stuk van de spek (zo wordt dit ook verwoord).
4. Getallen uit het rekenboek worden "vertaald" naar de getallenblokken. Ook getallen die
genoemd worden, worden "vertaald"naar de getallenblokken.
Voorbeeld: Hier staat 1,56. De 1 betekent 1 hele spek. De 5 betekent 5 van de 10 repen van
de spek, we noemen dat vijf tienden. De 6 betekent 6 stukjes van de honderd
stukjes van de spek, we noemen dat zes honderdsten. Als we het hele getal in
spekken neerleggen neerleggen, leggen we een hele spek neer, 5 repen en 6
kleine stukjes. Om dit neer te kunnen leggen hebben we twee hele spekken
nodig; een hele spek en één om te verknippen. (afb. 6)
afb. 6
alle kaarten voor kommagetallen zijn in gebruik; het getal 1,56
Pratend en benoemend wordt gemanipuleerd met spek, cijferkaarten, posities en stippenkaarten tot
het geheel samen geautomatiseerd is
Door te manipuleren, benoemen en verwoorden ontstaat op deze manier ook een geautomatiseerd
"denk-netwerk":
Hoeveelheden / verhoudingen, taalaspecten, concreet materiaal, getalskenmerken en formeel
weergeven in cijfers worden in samenhang met elkaar geautomatiseerd. Daardoor ontstaan ook
5
hierbij automatische, associatieve verbindingen. Dit geautomatiseerde model kan als basis dienen
voor verhoudingen en procenten; rekenen met geld en meten.
Kerngedachte achter het werken met de getallenblokken is het complete netwerk met alle aspecten
te automatiseren.
Doordat kinderen met NLD goed om kunnen gaan met geautomatiseerde vaardigheden en op
verbaal niveau associatief kunnen denken is het mogelijk het geleerde toe te passen in nieuwe
situaties en daardoor het werken met getallenlijnen, meten, verhoudingen, procenten inzichtelijker
te maken.
Uitgangspunt is het hele getal (dropje en spek), dit staat letterlijk en figuurlijk centraal.
afb. 7
getallenblokken en kaarten compleet
6