Stelsels lineaire vergelijkingen

Stelsels lineaire vergelijkingen
Het oplossen van een stelsel lineaire vergelijkingen kan zo

x1 − x2 + 2x3 =



2x1 − 3x2 + 3x3 =



−x1 + 4x2 − x3 =
(
:
5
1
5
2
4
3
2
− 2· 1
: −x2 − x3 = −5
A
3
+
:
B
1
3x2 + x3 =
B + 3 · A : −2x3 = −6
=⇒
9
x3 = 3.
Dit gaat veel overzichtelijker door het (schoon)vegen van een aangevulde matrix :

1 −1
2
 2 −3
3
−1
4 −1
 

5
1 −1
2 5
5  ∼  0 −1 −1 −5 
4
0
3
1 9
 

1 −1
2 5
1 −1 2 5
1 1 5  .
∼  0 −1 −1 −5  ∼  0
0
0 −2 −6
0
0 1 3

Dit proces heet Gauss eliminatie. De vetgedrukte getallen worden pivots genoemd. De
oplossing kan nu gevonden worden door terugsubstitutie :

x − x2 + 2x3 = 5


 1
x2 + x3 = 5



x3 = 3
=⇒

x = 3


 3
x2 = 5 − x3 = 5 − 3 = 2



x1 = 5 + x2 − 2x3 = 5 + 2 − 6 = 1.
De Gauss eliminatie kan ook gecombineerd worden met de terugsubstitutie :

1
 2
−1

1
∼ 0
0
−1
2
−3
3
4 −1
0 3 1 1 0 1  
5
1
5 ∼ 0
4
0
 
10
1
5 ∼ 0
3
0
 
1
0
3
−1
2 5
−1 −1 −5  ∼  0 −1 −1
0
0 −2
3
1 9

0 0 1
1 0 2  .
0 1 3
Dit proces heet Gauss-Jordan eliminatie.
1

10
−5 
−6
We spreken dus over het (schoon)vegen van een (aangevulde) matrix. Hierbij werken we naar
een echelonvorm (Gauss eliminatie) of een gereduceerde echelonvorm (Gauss-Jordan
eliminatie).
Definitie 1. Een matrix heet een echelonmatrix als geldt :
1. Alle eventuele nulrijen staan onderaan
2. Elke andere rij begint met meer nullen dan de voorgaande rij
Zo’n matrix heet een gereduceerde echelonmatrix als bovendien geldt :
3. Elk eerste van nul verschillende element in een rij (pivot) is 1
4. In elke kolom met zo’n 1 (pivotkolom) staan verder alleen nullen (zowel eronder als
erboven)
Stelling 1. Elke (aangevulde) matrix is rijequivalent met precies één gereduceerde echelonmatrix (zie : Appendix A, geen tentamenstof ).
Voor een stelsel (lineaire) vergelijkingen hebben we nu drie mogelijkheden. Een stelsel vergelijkingen heeft
1. geen oplossingen (zo’n stelsel heet strijdig)


1 0 0 1
 0 1 0 2  ; 0 · x1 + 0 · x2 + 0 · x3 = 3
0 0 0 3
2. oneindig veel oplossingen


1 0 0 1
 0 1 0 2 
0 0 0 0
=⇒
heet een valse vergelijking.

 x1 = 1
x2 = 2

x3 is vrij te kiezen.
x1 en x2 heten basisvariabelen (behorende bij de twee pivots) en x3 heet een vrije
variabele.
3. precies één oplossing

1 0 0 1
 0 1 0 2 
0 0 1 3

=⇒

 x1 = 1
x2 = 2

x3 = 3.
Nu zijn x1 , x2 en x3 alledrie basisvariabelen (behorende bij de drie pivots).
2
Voorbeeld 1. Bepaal de oplossing van het stelsel

− 2x2 +



x1 + x2 +



−3x1 + 2x2 −

0
 1
−3

1

0
∼
0
−2
4
1
3
2 −14
1
3 1 −2 1 −1  
0
1 ∼
2
 
1
1


0
0
∼
1
0
De oplossing is dus :
vergelijkingen
4x3 = 0
3x3 = 1
14x3 = 2.
 
1
1
3 1
0 −2
4 0  ∼ 
−3
2 −14 2
 
1 0
0
5 1


0 1
1 −2 0
∼
0
1 1
0 0

1
0 
5
1
1
3
0 −2
4
0
5 −5

0 −4
0 2  .
1 1

x = −4


 1
x2 = 2



x3 = 1.
Voorbeeld 2. Beschouw het stelsel vergelijkingen

x1 − x2 +
x3 =
2



−x1 + 2x2 − 3x3 = −4



2x1
+ αx3 =
β
(α, β ∈ R).
Voor welke waarde(n) van α en β heeft het stelsel
1. geen oplossingen ? (strijdig)
2. oneindig veel oplossingen ? (welke ?)
3. precies één oplossing ? (welke ?)
 
1 −1
1 2
1 −1
1
 −1
2 −3 −4  ∼  0
1 −2
2
0
α β
0
2 α−2

 
2
1 0 −1
−2  ∼  0 1 −2
β−4
0 0 α+2

0
−2  .
β
1. Geen oplossingen als α + 2 = 0 en β 6= 0, dat wil zeggen : α = −2 en β 6= 0.
2. Oneindig veel oplossingen als α + 2 = 0 en β = 0, dat wil zeggen
Dan volgt :




x1 − x3 = 0




1 0 −1 0


 0 1 −2 −2  =⇒
x
−
2x
=
−2
=⇒
2
3




0 0
0 0


x3 is vrij
3
: α = −2 en β = 0.
x1 = x3
x2 = −2 + 2x3
x3 is vrij.
Dit heet een parametervoorstelling van de algemene oplossing (de verzameling van
alle oplossingen).
3. Precies één oplossing als α + 2 6= 0 (en β willekeurig), dat wil zeggen : α 6= −2. Dan
volgt :


 
 
β
1 0 −1 0
1 0 −1 0
1 0 0 α+2
−2 + 2β 
 0 1 −2 −2  ∼  0 1 −2 −2  ∼ 
0
1
0

β
α+2  .
β
0 0 α+2 β
0 0 1 0 0
1 α+2
α+2
De oplossing is dus :

β
x1 = α+2



x2 = −2 +



β
x3 = α+2
.
2β
α+2
Vectorvergelijkingen
Vectoren in
R2
:
u=
2
1
,
v=
−1
3
=⇒
u+v =
2−1
1+3
=
1
4
.
De uitdrukking
x1 u + x2 v = x1
2
1
+ x2
−1
3
=
2x1 − x2
x1 + 3x2
met
x1 , x2 ∈ R
heet een lineaire combinatie van de vectoren u en v.
De nulvector o =

Vectoren in Rn :


u=

u1
u2
..
.
un

0
0


,

is de plaatsvector van de oorsprong O.



v=

v1
v2
..
.
vn






=⇒


u+v =

u1 + v1
u2 + v2
..
.
un + vn



.

Stel v 1 , v 2 , . . . , v p ∈ Rn en c1 , c2 , . . . , cp ∈ R, dan geldt :
c1 v 1 + c2 v 2 + . . . + cp v p
heet een lineaire combinatie van de vectoren v 1 , . . . , v p . De getallen c1 , . . . , cp heten de
gewichten van de lineaire combinatie.
4
Voorbeeld 3. Beschouw de vectoren

 
 
 

1
1
1
1
a1 =  0  , a2 =  1  , b =  2  en c =  2  .
−1
0
1
3
Vraag : Zijn de vectoren b en c lineaire combinaties van de vectoren a1 en a2 ?


   
  

1
1
1
x1 + x2
1









0
1
2
x2
2 .
x1 a1 + x2 a2 = b ⇐⇒ x1
+ x2
=
⇐⇒
=
−1
0
1
−x1
1
Dit komt overeen met het stelsel vergelijkingen :







x1 + x2 = 1
x2 = 2
−x1
= 1
 
 

1 1 1
1 1 1
1 0 −1
=⇒  0 1 2  ∼  0 1 2  ∼  0 1 2  .
0 0 0
−1 0 1
0 1 2

Dus : x1 = −1 en x2 = 2, dat wil zeggen : b = −a1 + 2a2 .
Evenzo :
y1 a1 + y2 a2 = c ⇐⇒







y1 + y2 = 1
 

1 1 1
1 0 −1
=⇒  0 1 2  ∼  0 1 2  .
−1 0 3
0 0 2

y2 = 2
−y1
= 3
Dit stelsel is strijdig. Dat wil dus zeggen dat c geen lineaire combinatie van a1 en a2 is.
x1 a1 + x2 a2 + . . . + xn an = b
=⇒

 a1 a2 . . . an b  .

Een aangevulde matrix kan dus opgevat worden als een beschrijving van een stelsel lineaire
vergelijkingen, maar ook als een vectorvergelijking.
Definitie 2. Span{v 1 , . . . , v p } := {c1 v 1 + . . . + cp v p | c1 , . . . , cp ∈ R} heet het opspansel van
de vectoren v 1 , . . . , v p . Dit is dus de verzameling van alle lineaire combinaties van v 1 , . . . , v p .
In voorbeeld 3 geldt dus : b ∈ Span{a1 , a2 } en c ∈
/ Span{a1 , a2 }.
5