De Gulden Snede

De Gulden Snede
en
De getallen van Fibonacci
De Gulden Snede
M. van Dooren
© 2004
In de oudheid al, maakten de Grieken gebruik van een wiskundige verhouding, die de Gulden
Snede heet. De Griekse wiskundige Euclides was met deze verhouding al bekend, want het
kwam voor in zijn geschriften. De naam Gulden Snede ontstaat pas rond 1835.
Vooral in hun bouwwerken en steenhouwwerk pastten de oude Grieken deze verhouding toe.
Het mooiste voorbeeld hiervan is nog wel het Parthenon.
Dit is een oude Griekse tempel, gewijd aan Athene, de godin van de wijsheid. Nu is er nog
slechts een ruïne van over, maar het is gebouwd van 477 tot 438 voor Chr. op de Akropolis,
de tempelberg in Athene onder leiding van Phidias.
Ictinus en Callicrates ontwierpen de Acropolis volgens wiskundige principes.
De tempel bestaat uit een zuilenrij, met daarop een dak. De driehoekige voorkant van zo’n
dak heet een timpaan, de rand van het dak heet de fries.
Het Parthenon is een tempel in dorische stijl, te zien aan de eenvoudige zuilen.
De afmetingen van de tempel zijn ongeveer 30m bij 70 m.
De voorkant van het gebouw is onderverdeeld
in verhoudingen van de Gulden Snede.
De Gulden snede, ook wel Gulden verhouding genoemd, is een wiskundige verhouding.
Wanneer je een lijnstuk in twee delen verdeeld op zo’n manier, dat de verhouding van de
lengte van het hele lijnstuk en de lengte van het grootste deel gelijk is aan de verhouding van
de lengte van het grootste deel en de lengte van het kleinste deel, dan heb je te maken met de
gulden snede.
Vaak wordt de constructie gedaan met de gouden rechthoek.
Het construeren van een gouden rechthoek is gemakkelijk. Je gaat uit van een willekeurig
lijnstuk, waar je eerst een vierkant mee maakt (ik neem aan dat ik dat niet in het plaatje hoef
te laten zien). Vanuit de helft van de basislijn teken je een diagonaal, met de lengte daarvan ga
je cirkelen, enzovoort:
De verhouding tussen de lange en de korte zijde van deze rechthoek leveren een waarde van
de gulden snede op.
Zo hebben we een lijnstuk verdeeld in onderdelen, die als verhouding de Gulden Snede
hebben. Deze verhouding wordt aangeduid met de Griekse letter phi (Φ)
Hoe gaan we deze verhouding nu wiskundig bepalen?
We nemen een lijnstuk AB met lengte 1 en op dit lijnstuk een punt M, zodat de verhouding
MB : AM gelijk is aan de verhouding AM : AB.
De lengte van AM noemen we x.
Hierdoor krijgen we de volgende vergelijking:
(1-x)/x = x/1
Met kruislings vermenigvuldigen komen we tot de vergelijking:
x² + x –1 = 0
Deze kunnen we oplossen met behulp van de abc-formule en we vinden dan
x = (-1 + 5)/2  0,618
of x = (-1 - 5)/2  -1,618.
De oplossing moet een positief getal zijn, zodat de Gulden snede het getal (-1 + 5)/2 is.
Met het rekenmachientje vinden we Φ = 0,61803398875.
In de literatuur wordt ook wel eens een ander getal met de Gulden Snede aangeduid, nl. het
getal 1,61803398875, dus 1 + Φ. Dit is eigenlijk 1/ Φ.
Ook in de kunst en fotografie wordt de Gulden Snede toegepast.
Een ervaren schilder of fotograaf zal de horizon meestal niet midden in beeld plaatsen, maar
bij voorkeur een stuk daarboven of daaronder. Ook het hoofdmotief komt meestal niet in het
midden. Hier speelt de Gulden Snede een rol bij de compositie. In de praktijk wordt deze dan
afgerond op 1/3, zodat een vuistregel is dat de horizon en het motief op 1/3 of 2/3 van het
beeld moeten staan.
Dat zien we ook in de schilderkunst van de Renaissance.
In Italië komt deze stroming op in de 15e eeuw en grijpt terug op bouwkunst van de Griekse
oudheid. Aan verhoudingen (hoogte, lengte, breedte) wordt veel aandacht besteed.
De Gulden Snede heeft interessante wiskundige eigenschappen:
1.
2.
De Gulden Snede lijdt tot een gelijkvormige vlakverdeling.
De Gulden Snede blijkt voor te komen in figuren met vijfvoudige symmetrie.
Dit zie je bijvoorbeeld in onderstaande tekening van een regelmatig pentagram.
Elk van de vijf driehoeken is een gelijkbenige
driehoek waarvan de zijden zich verhouden
als 1 : Φ
3.
De Gulden Snede is de verhouding van opeenvolgende getallen van Fibonacci.
De getallen van Fibonacci komen hierna ter sprake.
De Gulden Snede komt ook werkelijk in de natuur voor, zoals we zullen zien bij de getallen
van Fibonacci.
Een andere constructie van de Gulden Snede is met behulp van een rechthoekige driehoek.
In rechthoekige driehoek ABP is de basis AB = 1 en de opstaande rechthoekszijde BP = ½.
Volgens Pythagoras is dan de hypothenusa, de schuine zijde AP gelijk aan ½5.
Cirkelen we nu met P als middelpunt en PB als straal van B naar Q om, dan is PQ = ½ en
AQ = ½(-1+5).
Cirkelen we vervolgens met A als middelpunt en AQ als straal van Q naar C om, dan is
AC = ½(-1+5) en CB = ½(3-5).
De getallen van Fibonacci
M. van Dooren © 2004
Fibonacci was een Italiaans wiskundige, die in Pisa was geboren in
1175 na Chr.
Zijn werkelijke naam was Leonardo da Pisa, zoon van Bonacci. Dit
Filo da Bonacci werd verbasterd tot Fibonacci en zo is hij verder
bekend gebleven.
Hij heeft een grote rol gespeeld bij de invoering van de hindoearabische cijfers, zoals we die nu in de rekenkunde gebruiken.
Fibonacci probeerde de wiskunde te gebruiken in het dagelijkse leven
en in 1202 bedacht hij een model waarbij bekeken werd hoe snel
konijnen zich konden vermeerderen in ideale omstandigheden.
Stel je eens voor, dat een pasgeboren paar konijnen, een mannetje en een vrouwtje onder
ideale omstandigheden in een veld worden gezet, dat een luilekkerland voor konijnen is.
Konijnen kunnen paren als ze één maand oud zijn. Verder werpt een konijnen-vrouwtje aan
het eind van elke maand één paar jongen (♀ en ♂), te beginnen op een leeftijd van 2
maanden.
Stel je verder nog voor, dat de konijnen in dit veld heel gezond zijn.
Hoeveel konijnenparen zijn er dan na één jaar in dit veld?
Aan het eind van de eerste maand, dan paren de twee konijnen en hebben we dus nog steeds te
maken met één paar.
Aan het eind van de tweede maand werpt het vrouwtje een paar konijnen, zodat we nu 2 paar
konijnen hebben.
Aan het eind van de derde maand, werpt het vrouwtje nog een paar konijnen, zodat we nu 3
paar konijnen hebben.
Aan het eind van de vierde maand, werpt het vrouwtje weer een paar konijnen, maar ook het
eerstgeboren vrouwtje werpt nu haar eerste paar konijnen. In totaal hebben we nu 5 paar
konijnen.
Wanneer we nu eens goed naar de aantallen gaan kijken, dan zien we dat elk getal gelijk is
aan de som van zijn twee voorgangers.
We beginnen met 1, het tweede getal is 1 (0 + 1), het derde getal is 2 (1 + 1), het volgende
getal is 3 (1 + 2), het volgende getal is 5 (2 + 3).
Deze wetmatigheid is bedacht door Fibonacci en we kunnen zo een serie getallen maken.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, enzovoort.
Nu blijkt dat deze getallen een grote rol spelen in de natuur en dat ze heel erg veel te maken
hebben met de Gulden Snede.
Ga zelf eens na, dat bij de konijnen in het ideale veld het aantal aan het einde van de vijfde
maand 8 bedraagt.
Nu is de situatie van de konijnen een bedachte, en niet erg realistisch. Er zal heus wel eens
een hongerig vosje door het veld lopen of een liefdeshongerige rammelaar uit een ander veld
immigreren. Daarom nemen we een wat praktischer voorbeeld, namelijk dat van de bijtjes.
De honingbij is een insect, dat leeft in een bijenkorf. In die bijenkorf leeft een speciale
vrouwtjesbij, de koningin. Verder leven er een groot aantal werkers in de bijenmaatschappij
en ook bestaan er de zogenaamde darren, mannetjesbijen.
De werksters leggen geen eieren maar zijn bestemd voor andere taken, zoals hun naam al
aangeeft. De koningin is de enige dame in de korf, die eieren legt.
Nu is er met die eieren iets merkwaardigs aan de hand. De bevruchte eieren leveren de
werksters en eventueel koninginnen (dat ligt aan de voeding), maar de koningin legt ook
onbevruchte eieren en daaruit komen dan de darren, de mannetjes dus.
Kortom: mannetjesbijen hebben alleen maar een moeder en geen vader!
Bekijken we nu dan de stamboom van bijen, dan zien we het volgende:
♂—♀
│
♀
♀
│
♂
Een vrouwtjesbij heeft 2 ouders, een mannetjesbij slechts 1.
Nu bekijken we eens de familiestamboom van een mannetjesbij.
We zien dat het mannetje onder aan de stamboom 1 ouder heeft, namelijk een vrouwelijke.
Verder heeft hij 2 grootouders, omdat zijn moeder wel 2 ouders had.
Hij heeft drie overgrootouders, want zijn oma had twee ouders en zijn opa heeft slechts 1
ouder.
Ga zelf nu na, hoeveel over-overgrootouders hij had?
Ook nu zien we de Fibonacci-getallen weer opduiken:
Aantal:
ouders
grootouders
overgrootouders
over-overgrootouder
Mannetjesbij
Vrouwtjesbij
1
2
2
3
3
5
5
8
Vergelijk de Fibonacci-reeks bij vrouwtjesbijen en mannetjesbijen. Wat valt je op?
Tot zover enkele voorbeelden van de Fibonacci-getallen uit het dierenrijk.
Maar ook in het plantenrijk komen we herhaaldelijk de getallen van Fibonacci tegen.
Zo zien we dat boterbloemen 5 kroonblaadjes hebben, netzoals bijvoorbeeld ridderspoor en
akelei.
Lelies en irissen hebben 3 kroonblaadjes.
Maar ook grotere aantallen komen voor, zoals bij sommige madeliefjes, die 13 kroonblaadjes
hebben, netzoals het Jacobskruiskruid.
Wilde asters hebben er zelfs 55 of 89.
De Christusdoorn, een kamerplant heeft 2 kroonblaadjes per bloem.
Een madeliefje met 21 kroonbladeren.
En:
madeliefjes met 34 kroonbladeren.
Maar, we keren weer terug tot de wiskunde.
Gebruik makend van de Fibonacci-getallen kunnen we een vierkantje
tekenen van 1 bij 1. Daarboven tekenen we een rechthoek van 2 bij 1.
Vervolgens naast deze twee een rechthoek van 3 bij 2. En zo gaan we
door. Zie de tekening.
We noemen zo’n figuur Fibonacci rechthoeken.
Wanneer we nu in iedere rechthoek een kwart van een ingeschreven cirkel
tekenen, krijgen we als figuur een spiraal, wiens vorm ook weer vaak in de
natuur voorkomt. Zo’n spiralen zien we in de vorm van schelpen of huisjes
van slakken.
Tenslotte bekijken we nog eens de reeks van Fibonacci-getallen.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ...
Wanneer we ergens in deze reeks (niet meteen in het begin) een getal delen door zijn
opvolger, dan krijgen we een uitkomst, die een speciale eigenschap heeft.
We gaan eens wat delen: 8 : 13 = 0,615384615
21 : 34 = 0,617647059
Wat verderop in de reeks:
610 : 987 = 0,618034448.
We merken op, dat hoe verder we in de reeks vorderen, des te meer wordt de uitkomst van de
deling gelijk aan het getal Φ, dat we al kennen van de Gulden Snede.
Met andere woorden, als ne getal gedeeld wordt door zijn opvolger (het (n+1)e getal, dan is de
uitkomst precies gelijk aan Φ, de Gulden Snede, mits n maar groot genoeg is.
In de wiskunde geven we dit aan met de volgende formule:
Fn
lim F
n 

n 1
Zo zijn we dus gekomen tot de samenhang van de Gulden Snede en de getallen van Fibonacci.
Opmerkelijk is, dat de Gulden Snede al in de Griekse oudheid bekend was, terwijl Fibonacci
pas in de 13e eeuw met zijn getallen kwam.
Voor de liefhebbers nog enkele aanvullingen.
De eerste 50 getallen van Fibonacci:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765,
10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040,
1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169,
63245986, 102334155, 165580141, 267914296, 433494437, 701408733, 1134903170,
1836311903, 2971215073, 4807526976, 7778742049 en 12586269025
Om een bepaald Fibonacci-getal te weten, dat op de ne plaats in de reeks staat, kun je de
volgende formule gebruiken:
Bereken nu eens het 17e getal in de Fibonacci-reeks, die met 1 begint, en controleer of de
uitkomst correct is.
Een andere leuke formule, die met de Fibonacci-reeks te maken heeft, is de volgende:
12 + 12 + . . . + F(n)2 = F(n) x F(n+1)
Wanneer we de kwadraten van de eerst n Fibonacci-getallen bij elkaar optellen, dan is de
uitkomst gelijk aan het ne Fibonacci-getal vermenigvuldigd met het (n+1)e Fibonacci-getal.
Een andere interessante relatie met het getal Φ is de volgende:
1  1  1  1  1  1  ...
Een bewijs hiervan is als volgt:
x  1 x
Na kwadrateren
x² - x – 1 = 0
Na oplossen vinden we x = 1,618....., hetgeen precies gelijk is aan 1 + Φ