Breuken met letters 1 Eenvoudige breuken met getallen

Breuken met letters
© WISNET-HBO
update juli 2013
De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met
breuken.
Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers van de breuken niet gelijk
zijn aan 0.
Er is ook een overzicht met de rekenregels voor breuken met
Zie bij de cursus Standaardfuncties voor grafieken met breuken.
animaties.
1 Eenvoudige breuken met getallen
Eerst even repeteren of je de basisregels nog weet van het breuken optellen,
vermenigvuldigen en vereenvoudigen.
Dit gaat even zonder rekenmachine en ook zonder benaderingen met decimale punten.
Dus exact en formeel met breuken rekenen zodat je het ook met letters kunt doen.
1.1 voorbeelden
voorbeeld 1
a=
antwoord
a=
aanwijzing
als je een appel door 4 deelt heb je het vierde deel van een appel ofwel een "kwart
appel".
voorbeeld 2
antwoord
=
aanwijzing
Je mag dus teller en noemer door hetzelfde delen.
Zie voor de begrippen "teller" en "noemer" in de woordenlijst onderaan.
voorbeeld 3
=
antwoord
=
aanwijzing
Bij het optellen van breuken moeten de noemers (onder de breukstreep)
gelijknamig gemaakt worden.
=
=
voorbeeld 4
=
antwoord
=
aanwijzing
Hier worden weer breuken opgeteld dus de noemers (onder de breukstreep)
moeten gelijknamig gemaakt worden.
Het is handig om de noemer niet onnodig groot te kiezen.
Kies hier noemer 6 (en niet 18) want
oplossing
is gemakkelijk te veranderen in
.
=
=
.
voorbeeld 5
=
antwoord
=
aanwijzing
Bij het vermenigvuldigen worden tellers (boven de breukstreep) vermenigvuldigd
met elkaar en
noemers (onder de breukstreep) vermenigvuldigd met elkaar.
voorbeeld 6
=
antwoord
=
aanwijzing
Het is wat overdreven om direct al de tellers met elkaar en de noemers met elkaar
te vermenigvuldigen en daarna pas te vereenvoudigen!!
=
=
Beter kun je éérst vereenvoudigen en daarna de vermenigvuldiging doen.
=
wegstrepen
=
Wegstrepen mag dus ook schuin tegenover elkaar!!
LET OP
Dit wegstrepen kan alleen met factoren en niet met termen. (Zie eventueel
verklarende woordenlijst onderaan deze les.)
kan niet vereenvoudigd worden tot
.
Vul maar getallen in voor a en b!
kan wél vereenvoudigd worden tot
Stel
dan is
=
voorbeeld 7
Met letters kan er natuurlijk niet altijd vereenvoudigd worden.
vermenigvuldiging.
Dus
=
$
=
voorbeeld 8
Het vereenvoudigen van breuken door het wegstrepen van gelijke factoren in de teller
en noemer van de breuk.
Je moet dan natuurlijk wel factoren hebben!
Hoe is de volgende breuk vereenvoudigd?
kun je vereenvoudigen tot
aanwijzing
Maak van de vorm
een vorm met factoren.
Bekend moet zijn dat
=
Dit kun je beredeneren met behulp van het wegwerken van haakjes.
Zie uitleg hieronder
uitleg
Ontbind altijd de teller en de noemer in zoveel mogelijk factoren en ga vervolgens
overeenkomstige factoren boven en onder tegen elkaar wegstrepen. Dat komt
neer op het delen van teller en noemer door dezelfde factor.
Zorg er natuurlijk voor dat je niet deelt door 0. In het volgende mag dit
wegstrepen niet in het geval a gelijk zou zijn aan b.
LET OP
Dit wegstrepen kan alleen met factoren en niet met termen. (Zie eventueel
verklarende woordenlijst onderaan deze les.)
kan niet vereenvoudigd worden tot
.
Vul maar getallen in voor a en b!
kan wél vereenvoudigd worden tot
Stel
dan is
=
2 Werken met het min-teken
Bij breuken kan het minteken vóór de breuk staan, maar mag ook ín de breuk staan: naar
keuze in de teller (boven de streep) of in de noemer (onder de streep).
Let wel op dat als het minteken vóór de breuk staat, dat dit teken dan geldt voor de gehele
breuk.
=
of
=
2.1 Voorbeeld
Ga de volgende beweringen na.
=
=
Let op dat bij de tweede stap het minteken in de teller is gezet.
Als je het minteken ín de breuk werkt, dan kun je dat boven óf onder doen:.
en
Zie voor een animatie hiervan onder de knop Minteken in de breuk.
De breuk kan niet verder vereenvoudigd worden omdat je termen niet kunt wegstrepen!
wegstrepen
Als er factoren in de teller en de noemer van de breuk staan, kun je
gemeenschappelijke factoren wegstrepen.
Dit komt neer op het delen van teller en noemer door hetzelfde.
kan níet verder vereenvoudigd worden.
kan wél verder vereenvoudigd worden als b (en c) niet gelijk is aan 0.
Immers als er tussen a en b een spatie staat, dan wil dat zeggen a
2.2 Voorbeeld
Ga de volgende bewering na
b.
=
=
Let op dat bij de tweede breuk het minteken voor deze breuk in de teller gewerkt is:
.
Zie voor een animatie hiervan onder de knop Minteken in de breuk.
Oefening 1
Werk het minteken zo mooi mogelijk in de breuk.
=
antwoord
Oefening 2
Werk het minteken zo mooi mogelijk in de breuk.
=
antwoord
3 Breuken vermenigvuldigen en delen (breuken in de
breuk)
Ga naar de oefeningen met vermenigvuldigen en delen.om te kijken of je de oefeningen
kunt maken zonder hulp.
Lukt het niet goed, bekijk dan de aparte oefeningen en voorbeelden van paragraaf
vermenigvuldigen met breuken en delen met breuken.
Bekijk de voorbeelden en doe de oefeningen met pen en papier.
3.1 Vermenigvuldigen met breuken
Bij het vermenigvuldigen van breuken kun je de tellers met elkaar vermenigvuldigen en
de noemers met elkaar vermenigvuldigen.
(Denk ook aan
=
.)
Vergeet niet te vereenvoudigen als dat kan, dat wil zeggen dat je teller en noemer door
hetzelfde mag delen.
Zie daarvoor ook de aanwijzing bij voorbeeld 6 in paragraaf 1.1.
=
Er is hier boven en beneden een a en een b weggestreept.
3 b.
Beneden de streep staat in totaal: b a.
Je kunt dan inderdaad één a en één b boven en onder wegstrepen.
Dit wegstrepen kan alleen met factoren en niet met termen. (Zie eventueel
verklarende woordenlijst onderaan deze les.)
kan NIET vereenvoudigd worden tot
kan wél vereenvoudigd worden tot
(Schuin wegstrepen kan dus ook.)
Voorbeeld 1
=
Voorbeeld 2
Zie uitleg aan het begin van deze paragraaf.
Verder moet je het nodige weten van machten, te vinden in de cursus Algebra 1 bij
Wisnet.
Voorbeeld 3
=
Zie voor het werken met het minteken paragraaf 2.
Voorbeeld 4
=
=
Kun je nog niet goed met machten omgaan, dan is er een les met oefeningen met
machten.
Zoek deze zonodig op met behulp van de zoekfunctie (trefwoordenlijst).
Voorbeeld 5
Vermenigvuldigen van twee breuken.
Vermenigvuldig de tellers én de noemers met elkaar.
=
aanwijzing
Dus
moet in zijn geheel vermenigvuldigd worden met b.
Als je met haakjes werkt, zie je het beter.
=
.
Zo doe je ook met de noemer
=
Oefeningen om zelf te doen
Met pen en papier! Herleid de volgende breuken tot een zo eenvoudig mogelijke
vorm.
vraag 1
=
antwoord
vraag 2
=
antwoord
vraag 3
=
antwoord
3.2 Delen met breuken (breuken in de breuk)
Er is een aparte les over dit onderwerp met meer voorbeelden en een makkelijker
begin.
Bekend is dat als je deelt door 2, dan vermenigvuldig je eigenlijk met
. (Je neemt dan
de helft wordt ook wel gezegd.)
Andersom geldt dat ook: als je deelt door
, dan vermenigvuldig je eigenlijk met 2.
Voorbeeld 1
Vereenvoudig de volgende samengestelde breuk.
=
antwoord: teller en noemer met hetzelfde vermenigvuldigen
Het komt neer op: teller en noemer met hetzelfde vermenigvuldigen.
Hier is teller en noemer is hier met a vermenigvuldigd zodat het ook direct
opgeschreven kan worden als:
=
Nu de teller haakjes wegwerken en de noemer vereenvoudigen:
Voorbeeld 2
Vereenvoudig de volgende samengestelde breuk
=
antwoord door teller en noemer met a te vermenigvuldigen
Bij deze breuk ga je de teller én de noemer met a vermenigvuldigen en vervolgens
de haakjes wegwerken.
=
Nu teller én noemer met a vermenigvuldigen:
=
Werk nu boven en onder de buitenste haakjes weg:
=
Let op dat
.
Let op! Er kan in deze breuk NIETS weggestreept worden.
Er staan immers min-tekens en plus-tekens.
Vergelijk de situatie met de volgende als er sprake was geweest van een
vermenigvuldiging waarbij je kunt wegstrepen.
wegstrepen
Bij de volgende breuk staat er een vermenigvuldiging!!! en kan er weggestreept
worden!
Er is een duidelijk verschil met de oorspronkelijke opdracht!
=
Dit kan vereenvoudigd worden tot
aanwijzing
Er kan nu namelijk de hele factor (
) in zijn geheel boven en onder
weggestreept worden, omdat er sprake is van een vermenigvuldiging.
Dit was dus een ander vraagstuk dan de oorspronkelijke waar het ging om de
volgende vorm:
Daarin kan dus niet zo gemakkelijk iets worden weggestreept.
voorbeeld 3 LET OP, DEZE IS BELANGRIJK!
Vereenvoudig de volgende vorm:
=
tip
Vermenigvuldig teller en noemer met
antwoord
Vermenigvuldigen met
in de teller en in de noemer levert het volgende:
=
=
aanwijzing
Een veelgemaakte fout is dat je misschien denkt dat
aan
. Dit is niet waar!!!
Wél waar is
=
gelijk zou zijn
=
Oefening om zelf te doen
Deze vragen gaan over het delen met breuken.
Je ziet dan breuken in een breuk.
Let goed op wat de hoofdbreukstreep is.
vraag 1
Vereenvoudig de volgende vorm
=
aanwijzing
Er zijn meer mogelijkheden om dit aan te pakken.
Eerst kunnen de haakjes weggewerkt worden en daarna kan de teller en de
noemer beiden met a vermenigvuldigd worden.
Let hierbij op hoe de haakjes weggewerkt dienen te worden!
Kijk bijvoorbeeld eerst eens naar de teller van de breuk die gegeven is
=
Dit kun je vereenvoudigen tot:
Doe hetzelfde met de noemer en ga vervolgens teller én noemer met a
vermenigvuldigen.
Vergeet niet dit met pen en papier te doen. Uit het hoofd kan haast niet!
antwoord
vraag 2
Vereenvoudig de volgende samengestelde breuk.
=
antwoord
Kom tot het antwoord in een paar verschillende stappen met pen en papier!
vraag 3
Herleid de volgende samengestelde breuk zo goed mogelijk.
=
tip 1
Werk eerst de haakjes weg in de noemer
tip 2
Vermenigvuldig nu alles in de teller én alles in de noemer met
tip 3
Je kunt het nu verder zo laten staan of in de teller ontbinden in factoren, dat kan
ook, in de hoop dat er nog iets weg te strepen valt.
Er valt niets meer weg te strepen dus zo kan het ook blijven staan.
antwoord
Eventueel kunnen in de teller de haakjes nog weggewerkt worden. Echter er
kan niets weggestreept worden!.
vraag 4
Herleid de volgende samengestelde breuk zo goed mogelijk.
=
tip
Werk de haakje weg in de noemer en vermenigvuldig teller en noemer met 9 .
antwoord
Werk eventueel de haakjes weg in de teller van dit antwoord.
3.3 Haakjes wegwerken en ontbinden in factoren
Als je breuken wilt vereenvoudigen, is het handig om gelijke factoren boven en onder de
breukstreep tegen elkaar te kunnen wegstrepen.
Het verschil van twee kwadraten kun je ontbinden in twee factoren.
Werk de haakjes weg in het rechter lid en kijk wat er komt.
oefening 1
Werk de haakjes weg van de volgende vorm:
=
antwoord
oefening 2
Werk de haakjes weg van de volgende vorm:
=
antwoord
oefening 3
Ontbind in factoren:
=
antwoord
oefening 4
Ontbind in factoren:
=
antwoord
aanwijzing
Dit is natuurlijk hetzelfde als
Ga dat na.
=
.
Zie eventueel verder voor oefeningen en zelftoetsen met Haakjes wegwerken en een
oefening met Ontbinden in factoren.
Als je dat kunt, zal dat helpen met het doorzien van sommige vereenvoudigingen met
breuken.
In paragraaf 5 ontbinden zie je een overzicht van de meest voorkomende ontbindingen.
Leer ze van voor naar achter en van achter naar voor uit het hoofd!
3.4 Oefeningen met vermenigvuldigen en delen
Vereenvoudigings oefeningen.
Vraag 1
Schrijf de volgende vermenigvuldiging als één breuk.
=
antwoord
Eerst alle getallen en dan de letters achtereenvolgens op alfabet.
Vraag 2
Schrijf de volgende vermenigvuldiging als één breuk.
=
aanwijzing
De factoren (
) en (
) kunnen als geheel weggestreept worden boven
en onder de streep.
Dat wil dus zeggen dat je de teller en de noemer van de uiteindelijke breuk door
hetzelfde deelt.
Hoe dat werkt zie je nog even in paragraaf voorbeeld 8 van paragraaf 1.1.
antwoord
Vraag 3
Schrijf de volgende vermenigvuldiging als één breuk.
=
aanwijzing
Schrijf
als
(verschil van twee kwadraten paragraaf 4.3)
zodat gelijke factoren boven en onder weggestreept kunnen worden.
Als je dit niet goed kunt, oefen dan met het wegwerken van haakjes. Zie daarvoor
bij de External Links: Haakjes wegwerken.
LET OP
Dit wegstrepen kan alleen met factoren en niet met termen. (Zie eventueel
verklarende woordenlijst onderaan deze les.)
kan niet vereenvoudigd worden tot
.
Vul maar getallen in voor a en b!
kan wél vereenvoudigd worden tot
Stel
dan is
=
antwoord
Ga na dat er boven en onder de factor
een factor .
vraag 4
Vereenvoudig de volgende breuk
kan worden weggestreept en ook nog
antwoord
Teller en noemer ontbinden:
Gelijke factoren wegstrepen wat neerkomt op teller en noemer delen door de factor
.
Lukt het niet goed met deze drie vragen, bekijk dan de aparte oefeningen en
voorbeelden van paragraaf vermenigvuldigen met breuken en delen met breuken.
4 Breuken optellen en aftrekken en vereenvoudigen
De volgende breuken moeten steeds samengenomen worden tot één breuk.
Vergeet niet zoveel mogelijk te vereenvoudigen.
Bij breuken met verschillende noemers, moeten de noemers eerst gelijknamig gemaakt
worden, voordat ze samengenomen kunnen worden.
4.1 Voorbeeld 1
=
=
uitleg
Kies een gemeenschappelijke noemer zó dat het niet veel moeite kost om de breuken
die samengenomen moeten worden gelijknamig te maken.
In dit geval kan de breuk
gemakkelijk geschreven worden als
de noemer met 2 te vermenigvuldigen.
=
4.2 Voorbeeld 2
.
door de teller en
=
=
=
uitleg
Kies de gemeenschappelijke noemer: .
Bij de tweede breuk kan deze noemer gerealiseerd worden door de teller én de
noemer van deze tweede breuk met c te vermenigvuldigen.
Vervolgens kijk je naar de tellers en neem de breuken samen.
4.3 Voorbeeld 3
=
breuken gelijknamig maken
De eerste breuk teller en noemer met
vermenigvuldigen
De tweede breuk teller en noemer met
vermenigvuldigen
De derde breuk teller en noemer met 2 vermenigvuldigen
=
Uitleg
Kies als gemeenschappelijke noemer
.
Kies de gemeenschappelijke noemer nooit groter dan nodig is!!!
Bij de eerste breuk hoeft de teller en de noemer dan alleen nog maar vermenigvuldigd
te worden met
en bij de tweede breuk is dat met
.
Bij de derde breuk kun je volstaan met teller en noemer met 2 te vermenigvuldigen
om de noemer
te maken.
4.4 Oefeningen om zelf te doen
Met pen en papier de volgende breuken vereenvoudigen .
Ga steeds op de rode inputregel staan en druk op Enter om de vraag te zien.
Kijk eventueel naar de uitgewerkte voorbeelden met uitleg: voorbeeld 1 of voorbeeld 2 of
voorbeeld 3 voor de manier van opschrijven.
vraag 1
=
Aanwijzing
De tweede breuk teller en noemer met c vermenigvuldigen zodat de noemers gelijk
worden.
Anwoord
vraag 2
=
Aanwijzing
De noemer van de tweede breuk kun je schrijven als
minteken zijn deze twee breuken snel gelijknamig te maken.
, dus met een
Let ook op dat
te ontbinden in factoren is als
twee kwadraten.)
Ga eventueel ook naar paragraaf 6 waar je meer hierover leert.
Antwoord
(Verschil van
vraag 3
=
Aanwijzing
Het getal 2 kun je schrijven als
weer hetzelfde als
.
Antwoord
vraag 4
=
Aanwijzing
Je kunt
schrijven als
Antwoord
vraag 5
=
Aanwijzing
Je kunt 1 schrijven als
Antwoord
en dat is met de haakjes weggewerkt
Let hierbij op het minteken voor de middelste breuk dat dus voor die héle breuk
staat.
vraag 6
=
Aanwijzing
Bedenk dat je
kunt schrijven als
en dat je 1 kunt schrijven als
.
Antwoord
5 Werken met ontbinden in factoren
5.1 Voorkennis
Het is beslist noodzakelijk dat je goed kunt ontbinden in factoren als je op een beetje
niveau met breuken wilt leren omgaan.
De omgekeerde bewerking is het wegwerken van haakjes. Daarover is ook
oefenmateriaal beschikbaar.
Zie ook al een korte aanwijzing met oefeningen in paragraaf 4.3 haakjes wegwerken en
ontbinden.
Daarin staan oefeningen van het verschil van twee kwadraten. Een schema van de
meest voorkomende ontbindingen is het volgende:
(zoveel mogelijk buiten
haakjes halen)
(het verschil van twee
kwadraten)
Verder hebben we nog het soort waarbij je twee getallen moet zien te vinden om het
kloppend te maken.
Leer deze vier soorten in ieder geval uit het hoofd en oefen ermee om ze snel te kunnen
herkennen.
Leer het van achter naar voren en van voor naar achteren.
De vorm met de haakjes (ontbonden in factoren) is het meest geschikt voor het
wegstrepen van overeenkomstige factoren in teller en noemer van een breuk!
5.2 vereenvoudigen van breuken
Bij het vereenvoudigen van breuken kun je steeds proberen om teller en noemer van een
breuk door hetzelfde te delen.
Dit komt neer op het wegstrepen van gelijke factoren boven en onder de streep.
Zoals je in voorbeeld voorbeeld 7 van paragraaf 2 en vooral voorbeeld 8 van paragraaf
2 hebt gezien, moet je hiervoor ontbinden in factoren goed kunnen.
Heel veel vereenvoudigen van breuken komt neer op het goed kunnen ontbinden in
factoren.
Kijk nog eens bij het onderdeel Ontbinden in factoren als je hierover een extra les wilt
hebben.
voorbeeld
Noemer ontbinden in factoren
=
Teller en noemer door t delen (t wegstrepen dus).
=
toelichting
Als je niet zou ontbinden in factoren, dan had je ook geen factoren kunnen
wegstrepen!
Je kunt namelijk alleen factoren wegstrepen.
Doe ook nog eens het voorbeeld 8 van paragraaf 1 met de uitleg erbij om te zien
hoe dit gaat .
5.3 Optellen en aftrekken van breuken (op niveau)
Bij het optellen en aftrekken van breuken, moet je eerst zoveel mogelijk factoren in de
noemer maken om te kunnen zien welke noemer je uiteindelijk kiest als
gemeenschappelijke noemer om de breuken samen te kunnen nemen.
Als je niet ontbindt in factoren dan komt het vaak voor dat je misschien wel veel te grote
en ingewikkelde noemers kiest.
Denk aan het optellen van
.
Je gaat dan ook niet noemer 54 kiezen om de twee breuken op te tellen.
=
=
=
=
Veel handiger is:
=
=
dan hoef je later vaak ook niet nog een keer verder te eenvoudigen.
voorbeeld
Schrijf de volgende twee breuken als één breuk en vereenvoudig zoveel mogelijk.
=
aanwijzing 1
Ga eerst de twee noemers ontbinden in factoren en bepaal wat de
gemeenschappelijke noemer het beste zou kunnen zijn.
=
Ontbinden van de noemers:
=
aanwijzing 2
=
Het snelst is om bij de eerste breuk in de teller en de noemer met s te
vermenigvuldigen en dat bij de tweede breuk te doen met de factor t.
=
aanwijzing 3
De breuken hebben nu dezelfde noemer gekregen en kunnen samen genomen
worden.
=
=
aanwijzing 4
Gelukkig stond de noemer nog in de ontbonden vorm (de haakjes in de noemer
liever niet meteen wegwerken!)
Er kan nu nog een factor in de teller en in de noemer weggestreept worden
namelijk de factor (
).
vraag 1
=
Aanwijzing
Bedenk dat je
en dat je
kunt schrijven als
kunt schrijven als
.
Antwoord
Bij de eerste breuk kan teller en noemer ontbonden worden:
De eerste breuk kan dus vereenvoudigd worden.
De noemers zijn nu gelijk dus de breuken kunnen samen genomen worden.
LET OP! Hier gaat het vaak fout. Zet voor de zekerheid eerst even haakjes om
eerst
bijelkaar te houden en werk nu de haakjes weg.
Herleiden:
Eventueel het minteken vóór de breuk (maar dat hoeft niet)
vraag 2
=
Aanwijzing
De noemer van de breuk kun je schrijven als
twee kwadraten).
(Het verschil van
Antwoord
vraag 3
=
Aanwijzing
De noemer van de breuk kun je schrijven als
twee kwadraten).
Antwoord
vraag 4
=
(Het verschil van
Aanwijzing
Bij de eerste breuk teller en noemer met
vermenigvuldigen en bij de tweede
breuk teller en noemer met
vermenigvuldigen.
Antwoord
Gelijke noemers maken
Breuken samen nemen
Boven de breukstreep haakjes wegwerken en herleiden
Onder de breukstreep ook haakjes wegwerken.
vraag 5
=
Aanwijzing
Bij de eerste breuk teller en noemer met
vermenigvuldigen en bij de tweede
breuk teller en noemer met
vermenigvuldigen.
Antwoord
Door te kijken bij vraag 8 zou je zelf kunnen herleiden en dan het antwoord vinden:
vraag 6
=
aanwijzing
De noemer van de tweede breuk kun je ontbinden in factoren als
(Het verschil van twee kwadraten).
Daarna kun je bij de eerste breuk teller en noemer met
vermenigvuldigen.
Ga eventueel ook naar paragraaf 6 waar je meer hierover leert.
antwoord
Noemer van de tweede breuk ontbinden.
Gelijke noemers maken.
Breuken samen nemen.
Herleiden.
x
vraag 7
=
aanwijzing
Ontbind de noemer van de eerste breuk
en bepaal dan welke noemer je kiest om de noemers gelijknamig te maken. Dan
kies je dus noemer
antwoord
Gelijknamig maken.
Bij de tweede breuk de haakjes in de teller uitwerken.
En nu OPLETTEN! want hier gebeuren altijd fouten mee!
Breuken samen nemen en voor de zekerheid
Haakjes wegwerken:
Herleiden:
Klaar.
bijelkaar houden: