Waar stopt oneindig?

WAAR STOPT ONEINDIG?
JACO VAN DE POL, INFORMATICA
FASCINATIE MET ONEINDIG ∞
TELLEN
 Als kinderen tellen: “wat komt er na miljoen?” En dan, en dan, en dan?
 Magie: ontelbaar
 Zeno’s paradox (490-430 BC): oneindig klein
 Achilles kan de Schildpad nooit inhalen: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, ….
 Aristoteles (384-322 BC):
 Potentieel oneindig: 0, 1, 2, 3, … het stopt nooit …
 Actueel oneindig: alleen goddelijk? (Thomas van Aquino)
 Cantor: wiskundige uit de 19e eeuw -- precieze definities
Waar stopt oneindig?
-
Jaco van de Pol
3 nov 2016
VERZAMELINGEN
 Eindige verzamelingen: {0,1,2,3} {1845,1918}
{}
 N – verzameling natuurlijke getallen: {0, 1, 2, 3, … }
 Q – verzameling rationele getallen: {½, ¾, 5
100,
218.333333…, … }
 R – verzameling reële getallen: { 2, 3, e, 𝜋, 0,101001000100001…}
 Wanneer zijn twee verzamelingen even groot?
 {0,1,2,3,4} ~ {0,1,4,9,16}
Waar stopt oneindig?
-
Jaco van de Pol
3 nov 2016
CANTOR (1845-1918)
DE WISKUNDE VAN HET ONEINDIGE HOTEL
 Twee verzamelingen zijn even groot
als je ze op elkaar kunt afbeelden
(X ~ Y als X en Y gelijkmachtig)
 Hotel met oneindig veel kamers:
 1 gast erbij?
 2x zoveel gasten?
 {0,1,2,3,4…} ~ {0,2,4,6,8,…}
 Zijn alle oneindige verzamelingen
even groot?
 N ~ Q?
 N ~ R? Nee!
Waar stopt oneindig?
-
Jaco van de Pol
3 nov 2016
CANTORS DIAGONAAL-ARGUMENT
STEL DAT ER EEN LIJST IS VAN ALLE REËLE GETALLEN TUSSEN 0 EN 1…
1. 0,123451234512345……
2. 0,100000000000000……
3. 0,314159265358979……
4. 0,000000000000100.......
5. 0,101001000100001……
6. ..………6…………………
 Beschouw de diagonaal, tel er telkens 1 bij op:
 0,215117….. Zit niet in de lijst
 Tegenspraak!
 Dus: Er is geen lijst van alle reële getallen
 N ~ R is niet waar
Waar stopt oneindig?
-
Jaco van de Pol
3 nov 2016
CARDINAALGETALLEN
 Cardinaalgetallen “meten” de grootte van een verzameling
 0,1,2,3,… (eindige cardinaalgetallen)
 ℵ0 (Alef-0): de grootte van N (aftelbaar)
 ℵ1 (Alef-1): de grootte van R (overaftelbaar)
 Continuüm hypothese (Georg Cantor, 1877):
 “Er is geen verzameling “groter” dan ℵ0 en “kleiner” dan ℵ1
 Dit is nog nooit bewezen maar ook nooit weerlegd!
 Maar Q dan? Er geldt toch: N ⊂ 𝐐 ⊂ R
Waar stopt oneindig?
-
Jaco van de Pol
3 nov 2016
ORDINAAL-GETALLEN
 Notatie-systeem voor lineair-geordende “oneindige” getallen
 Opvolger
 Limiet
 0,1,2,…. etc,etc. Limiet: 𝜔 (omega, het eerste oneindige ordinaalgetaal)
 Gewoon steeds verder:
 𝜔 + 1, 𝜔 + 2, 𝜔 + 3, 𝜔 + 4, … Limiet: 𝜔 + 𝜔 = 𝜔2
 𝜔2 + 1, … , 𝜔3,…, 𝜔4, … , 𝜔𝜔 = 𝜔2 , 𝜔3 , 𝜔4 , … 𝜔𝜔
𝜔
 𝜔𝜔 +1, … 𝜔𝜔 …. ? Wat nu? Wat komt “erna”?
 Limiet: 𝜀0 . Dit is de “kleinste oplossing” van 𝑥 = 𝜔 𝑥
 … overaftelbaar…ontoegankelijk…
 Geen enkel notatie-principe is “toereikend”.
Er is steeds een nieuw principe nodig
Waar stopt oneindig?
-
Jaco van de Pol
3 nov 2016
TERMINATIE VAN PROGRAMMA’S
EEN GROTE FRUSTRATIE VAN SOFTWARE
 Stopt dit programma wel altijd?
 Hangt de computer nu?
 Moet ik nog langer wachten?
 Input N
 Input N
 While (N>0)
 N := N-1
 While (N>0)
 N := N-1
 Input M
 While (M>0)
 M := M-1
 Termineert in 𝜔 stappen
 Termineert in 𝜔2 stappen
Waar stopt oneindig?
-
Jaco van de Pol
3 nov 2016
RIJ VAN SYRACUSE
TERMINATIE IS MOEILIJK…
 While (N>1)
 Als N=1: Klaar
 Als N even: Kies N/2
 Als N oneven: Kies N*3+1
 Vb: 5, 16, 8, 4, 2, 1
 Vb: 9, 28, 14, 7, 22, 11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
 Vraag: Komt dit altijd uit op 1?
 Niemand die het weet
 Tip: probeer 27
Waar stopt oneindig?
-
Jaco van de Pol
3 nov 2016
ALAN TURING (1912-1954)
PIONIER EN COMPUTERHELD
 WO-2: Kraakt Turing de Duitse Enigma code
met zijn eerste zelfgebouwde computer
 Als wiskundige: bedenkt de Turing Machine
(de eerste “programmeerbare” computer)
 Turing Machine:
 Eindige besturing
 lokale beslissingen
 Oneindige tape (invoer/uitvoer)
 programma = Data
 Invoer kan de “code” van een Turingmachine zijn
Benedict Cumberbatch,
The Imitation Game
Waar stopt oneindig?
-
Jaco van de Pol
3 nov 2016
TERMINATIE IS ONBESLISBAAR
 Lastig, programma’s die niet termineren
 Kunnen we geen programma schrijven die dat checkt?
 IBM had hiervoor in de beginjaren ‘50 een team programmeurs
 Alan Turing (1936):
 Een programma dat checkt of programma M termineert bij input I
KAN NIET BESTAAN
 Bewijs:
 Stel: er bestaat zo’n programma H dat het Halting Problem oplost
 Dus H(M,I) = “JA” als M(I) stopt, “NEE” als M(I) hangt
 … Tegenspraak
 Prachtige illustratie: https://www.youtube.com/watch?v=92WHN-pAFCs
Waar stopt oneindig?
-
Jaco van de Pol
3 nov 2016
ONEINDIGHEID IN BEELD? MC ESCHER, 1898-1972
GA NAAR HORSTTOREN T1300 VOOR MEER SPECTACULAIR BEELD
Citrus x2+z2= y3(1-y)3
I M A G I N A RY
W ISKUN DE IN SPRAN KELEN DE BEELDEN
Enschede
Gra tis Bezoek en
24 okt. t/ m 11 nov. 2016
Universiteit Twente, Enschede,
Locatie: GebouwHorst
Een reizende wiskundetentoonstelling,
voor het eerst in Nederland.
De schitterende beelden, unieke
3D-objecten en interactieve
visualisaties laten niemand onberoerd.
Volg ons aanbod voor leraren,
schoolklassen en gratis geleide
bezoeken op www.imaginarymaths.nl
O RG A N ISA TO REN
SPO N SO REN
O RG A N ISEREN DE UN IVERSITEITEN
Spinoza prijs
Aad van der Vaart
Stichting
Thoma s
Stieltjes
Freudenthal Instituut en M athematisch Instituut
Waar stopt oneindig?
-
Jaco van de Pol
TU Eindhoven
Universiteit Twente
Universiteit van Amsterdam
Vrije Universiteit Amsterdam
Universiteit Utrecht
Rijksuniversiteit Groningen
Universiteit Leiden
Radboud Universiteit Nijmegen
3 nov 2016