I - Edurep Delen

I. Cijfers en getallen.
Wij zijn opgegroeid met het 10-tallig stelsel, wat wil zeggen dat wij gebruik maken van de
symbolen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en 9. Deze symbolen noemen wij in de reken- en wiskunde
altijd cijfers. Aan deze cijfers kunnen we eenheden toevoegen zoals meter, euro, appels,
weken, maanden etc. Het zal duidelijk zijn dat wij uitsluitend dezelfde eenheden bij elkaar
kunnen optellen of van elkaar kunnen aftrekken: 3 euro + 5 euro is gelijk aan 8 euro, maar 15
appels + 4 peren blijft zoals het er staat. Voor delingen en vermenigvuldigingen mogen de
eenheden wel verschillend zijn! Wij komen hier later op terug.
Als wij alleen 7 neerschrijven, dan kan dit het cijfer 7 zijn maar ook het getal 7. Hier is geen
eenduidigheid, maar dit zal nooit tot misverstanden aanleiding geven. Schrijven wij meer dan
een cijfer, zoals 23 of 36190, dan noemen wij dit getallen.
Getallen zijn opgebouwd uit eenheden, tientallen, honderttallen, duizendtallen …etc., altijd in
de volgorde van rechts naar links en te beginnen met de eenheden.
Merk op dat: 100 =1, 101 = 10, 102 =100, 103 =1000, 104 = 10000, …etc.
Bekijk onderstaande rangschikking:
106
5
105
3
104
7
103
8
102
5
101
0
100
4
Het getal 5378504 is opgebouwd uit:
4 eenheden, 0 tientallen, 5 honderttallen, 8 duizendtallen, 7 tienduizendtallen, 3 honderdduizendtallen en 5 miljoentallen. Dit getal spreek je uit als 5 miljoen 378 duizend 504.
II. Letter-rekenen.
In de wiskunde wordt heel vaak gebruik gemaakt van letters. Dat dit heel handig is tonen de
volgende voorbeelden aan:
1. Altijd geldt: 2 + 3 = 3 + 2 , 5 + 18 = 18 + 5, …etc.. Als wij nu getallen voorstellen
door letters, kunnen wij dus zeggen dat voor de som (optelling) van de “getallen” a en
b altijd geldt dat a + b = b + a. Deze eigenschap van de optelling noemen wij de
commutatieve eigenschap: bij optellingen mag je de getallen van plaats verwisselen
zonder dat de uitkomst daardoor verandert. Deze eigenschap geldt ook voor de
vermenigvuldiging: a x b = b x a.
Voor de deling en de aftrekking geldt deze eigenschap niet:
6 3
2  3  3  2 en  .
(  betekent: is niet gelijk aan)
3 6
2. Als wij het “getal” a met het “getal” b vermenigvuldigen, dan schrijven wij a  b, maar
vaak wordt de punt tussen de twee letters weggelaten en schrijven wij ab.
Als wij een getal met een letter vermenigvuldigen, dan schrijven wij bijvoorbeeld
3  a of, als er geen misverstand mogelijk is, kortweg 3a. Zo betekent 3xy niets anders
dan drie maal het “getal” x maal het “getal” y.
1
3. Vooral in de natuur- en scheikunde wordt heel veel van formules gebruik gemaakt.
Een bekend voorbeeld is de tweede Wet van Newton: kracht = massa x versnelling.
Voor de kracht gebruikt men de hoofdletter F, voor de massa de letter m en voor de
versnelling de letter a. In formulevorm wordt dit dus: F = ma.
1
De formule voor de afgelegde weg is: s (t )  v0t  at 2 . Als je niet de beschikking
2
hebt over de wiskundige schrijfwijze met letters, kun je geen formules opstellen en
zou je dus voluit moeten schrijven: “de afgelegde weg s (na t seconde) is gelijk aan de
beginsnelheid (v0) maal de tijdsduur (t) van de beweging, vermeerderd met een half
maal de versnelling (a) maal de tijdsduur (t) in het kwadraat”. Dit is natuurlijk lang
niet zo kort en overzichtelijk als het gebruik van de formule.
III. Bewerkingen.
In de rekenkunde kennen wij de volgende bewerkingen (vaak operaties genoemd):
Bewerking
Optelling (som)
Aftrekking (verschil)
Vermenigvuldiging (product)
Deling (quotiënt)
Machtsverheffing
Worteltrekking
Symbool
Voorbeeld
+
x
12 + 4 = 16
12 – 4 = 8
12 x 4 = 48
: of / of ^
12
3
4
12^3 = 123 = 12 x 12 x 12 = 1728
4 2
12 : 4 = 12 / 4 =
Bij het rekenen spelen ronde haakjes ( en ), rechte haakjes [ en ] en accolades { en } een zeer
belangrijke rol. Met deze 3 symbolen geven wij een zogenaamde prioriteit ofwel een voorkeur aan voor de volgorde van de berekeningen.
De volgorde bij het uitvoeren van berekeningen is altijd:
1. eerst uitrekenen wat tussen de ronde haakjes staat, dan wat tussen de rechte haakjes
staat en tenslotte wat tussen de accolades staat;
2. machtsverheffen;
3. van links naar rechts lezend: delen of vermenigvuldigen, wat je het eerst tegenkomt;
4. worteltrekken;
5. optellen of aftrekken, de volgorde doet er niet toe.
Als je met letters “rekent”, kun je natuurlijk bij 3( x  2 y ) niet eerst uitrekenen wat tussen de
haakjes staat! In zo’n situatie moet je eerst de haakjes wegwerken, door de “getallen” x en
-2y met 3 te vermenigvuldigen. Dit levert op: 3 x  6 y.
2
Voorbeelden.
1. 20  15 : 3 x 5  10  20  5 x 5  10  20  25  10  45  10  35.
2. 20  15 : (3 x 5)  10 = 20 +15 : 15-10 = 20 +1-10 = 21-10 =11.
3. 3 x {28  2 x [12  8  2 x (3  2)]  4} 
3 x {28  2 x [12  8  2 x 5]+4}=
3 x {28  2 x [12  8  10]  4} 
3 x {28  2 x 14+4}=
3 x {28  28  4} 
3 x 4  12.
4. 15 km : 3 seconde 
15 km
 5 km / s.
3 sec.
5. 7 N x 6 meter  42 Nm.
N is de kracht in Newton.
Merk op dat bij de voorbeelden 4 en 5 de eenheden verschillend zijn!
6.
12 : 3 x 4  6 4 x 4  6 16  6 10 1



 .
2 x (3  5)  4 2 x 8+4 16  4 20 2
ALS JE LETTERS GEBRUIKT MOET JE EERST DE HAAKJES WEGWERKEN. WANNEER ER EEN
GETAL OF LETTER VOOR DE HAAKJES STAAT, MOET JE ALLE GETALLEN EN/OF LETTERS DIE
TUSSEN DE HAAKJES STAAN DAARMEE VERMENIGVULDIGEN.
7. 3(a  b)  4(2b  3)  3a  3b  8b  12  3a  11b  12.
8.
p[5  2(1  a )  1]  p[5  2  2a  1]  p[2  2a]  2 p  2ap.
In het volgende voorbeeld eerst de ronde haakjes wegwerken,
dan de rechte haakjes en tenslotte de accolades!!
9. x{3  2[ x  2( y  x)  6(1  y )]} 
x{3  2[ x  2 y  2 x  6  6 y ]} 
x{3  2[3x  4 y  6]} 
x{3  6 x  8 y  12} 
x{6 x  8 y  9}  6 x 2  8 xy  9 x.
IIIa. Delers.
Onder de delers van een getal verstaan wij die getallen, die bij deling door zo’n getal als
uitkomst een geheel getal opleveren. De getallen 1, 2, 3 en 6 zijn delers van het getal 6 want
als je 6 deelt door 1, 2, 3 of 6 dan zijn de uikomsten steeds weer gehele getallen. Het getal 4 is
dus geen deler van 6 want 6 : 4 = 1,5 en dat is geen geheel getal.
3
IIIb. Priemgetallen.
Priemgetallen zijn getallen die precies twee delers hebben, dus de getallen: 2, 3, 5, 7, 11, 13,
17, 19, 23, 29, 31, …etc..
IIIc. Factoren.
De getallen die in een vermenigvuldiging voorkomen noemen wij factoren.
Priemfactoren zijn factoren die tevens priemgetal zijn.
In de vermenigvuldiging: 3 x 6 x 11 x 18 zijn de getallen 3 en 11 priemfactoren.
60ab 2 c 3 bestaat uit een factor 60, een factor a, twee factoren b en drie factoren c.
60 is te ontbinden in de priemfactoren 2.2.3.5 = 22.3.5.
OPMERKING:
als er een getal vóór een letter staat, zoals bijvoorbeeld 4m, dan noemen wij zo’n getal de
coëfficiënt .
IIId. Grootste Gemeenschappelijke Deler (ggd).
De delers van het getal 12 zijn: D12 = { 1, 2, 3, 4, 6, 12}.
De delers van het getal 18 zijn: D18 = { 1, 2, 3, 6, 9, 18}.
De grootste deler die de getallen 12 en 18 gemeenschappelijk hebben is het getal 6.
Wij noteren dit als volgt: ggd (12, 18) = 6.
Het begrip ggd heb je nodig bij het vereenvoudigen van breuken.
IIIf. Kleinste Gemeenschappelijke Veelvoud (kgv).
De veelvouden van het getal 12 zijn: V12 = { 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, …}.
De veelvouden van het getal 18 zijn: V18 = { 18, 36, 54, 72, 90, 108, …}.
Het kleinste veelvoud dat de getallen 12 en 18 gemeenschappelijk hebben is het getal 36.
Wij noteren dit als volgt: kgv (12, 18) = 36.
Het begrip kgv heb je nodig bij het gelijknamig maken van breuken.
4
IV. Breuken.
Een breuk bestaat uit een teller (t) en een noemer (n) en stelt eigenlijk een deling van een
getal door een ander getal voor of een verhouding van twee getallen.
t
Wij kunnen een breuk symbolisch voorstellen door:  q of door t : n  q :1.
n
De waarde van een breuk, dus de uitkomst van de deling, noemen wij quotiënt (q).
3
3
 3 : 4  0, 75. De schrijfwijze 0,75 noemen wij de decimale notatie voor .
4
4
3
Zo is 0,375 de decimale schrijfwijze voor de breuk .
8
1
De decimale schrijfwijze voor de breuk is 0,3333333…en omdat de deling 1 gedeeld door
3
3 nooit “op nul” uitkomt noemen wij deze breuk een repeterende (herhalende) breuk.
Een verkorte notatie voor 0,3333333… is 0, 3 dus met een schuin streepje door de 3.
4
Zo is  0,571428 571428 571428 ...  0,571428 . Om aan te geven dat de groep cijfers
7
574128 steeds herhaald wordt, schrijven wij dan ook: 0,571428, dus met een schuin streepje
door de 5 en een schuin streepje door de 8.
IVa. Optellen en aftrekken van breuken.
3
5
en hebben verschillende noemers, zijn dus niet gelijknamig en kunnen
4
8
daarom niet direct bij elkaar opgeteld of van elkaar afgetrokken worden.
1 1 11 2 1
  . Dus een half plus nog een half is weer een
Een veel gemaakte fout is:  
2 2 22 4 2
half!
De breuken
ALS BREUKEN DEZELFDE NOEMERS HEBBEN MOET JE ALLEEN DE TELLERS OPTELLEN (OF
VAN ELKAAR AFTREKKEN). ANDERS MOET JE ZE EERST GELIJKNAMIG MAKEN.
Dus:
1 1 11 2
 
  1.
2 2
2
2
Elk getal, dus ook een breuk, verandert niet van waarde wanneer dat getal of die breuk met 1
wordt vermenigvuldigd. Van deze eigenschap maken wij gebruik om twee of meer breuken
bij elkaar op te tellen of van elkaar af te trekken.
Voorbeelden:
2 3 2 x 4 3 x 7 8 21 29
1
 




 1 . Merk op: kgv (7, 4) = 28.
1.
7 4 7 x 4 4 x 7 28 28 28
28
Wij hebben
2
4
3
7
met (  1) vermenigvuldigd en
met (  1) .
7
4
4
7
5
2.
5 4 5 x 3 4 x 2 15 8
7
 

   . Merk op: kgv (6, 9) = 18.
6 9 6 x 3 9 x 2 18 18 18
Wij hebben
3.
5
3
4
2
met ( 1) vermenigvuldigd en
met (  1) .
6
3
9
2
12 2
 is een vereenvoudiging: teller en noemer door 6 delen: ggd (12, 18) = 6.
18 3
LET OP:
5
2
5 2 15 2 17
betekent     .
3
1 3 3 3 3
IVb. Vermenigvuldigen en delen van breuken.
Het vermenigvuldigen van breuken is vrij eenvoudig: tellers met elkaar vermenigvuldigen en
noemers met elkaar vermenigvuldigen.
2 5 2 5 x 2 10
1
5
 x 

3 .
Merk op dat wij voor 5 ook kunnen schrijven.
1
3 1 3 1x 3 3
3
3 5 15
3
2 13 11 143
8
x  . 2 x3  x 
9 .
7 4 28
5
3 5 3 15
15
5x
3 3
1 3 3 5 45 9
1
x x2  x x 
  1 . (ggd (45, 40) = 5, dus teller en noemer delen door 5).
4 5
2 4 5 2 40 8
8
Bij het vermenigvuldigen van breuken moet je altijd goed kijken of je eerst kunt vereenvoudigen, dus tellers en noemers door hetzelfde getal delen:
3 8 12 28 1 x 2 x 2 x 4
x x
x

 16. (3 delen door 3, 8 door 4, 12 door 6 en 28 door 7).
4 6 7
3
1 x 1 x 1 x1
Wanneer je twee breuken op elkaar moet delen, maak je daar een vermenigvuldiging van:
DELEN DOOR EEN BREUK (GETAL) IS HETZELFDE ALS VERMENIGVULDIGEN MET HET
OMGEKEERDE VAN DIE BREUK (DAT GETAL).
Het omgekeerde:
1
2
7
3
1
van 3 is , van
is , van
is ,
3
7
2
5
3
 
5
Het tegengestelde:
van 7 is -7,
van -12 is 12, van –xy is xy,
van
1
8
is  8 ,
8
1
van 3ac is -3ac,
6
…etc..
etc..
Voorbeelden:
5
1
5x ;
4
4
1.
6
3 18
2
1
6x 
 4  4 . Uitkomsten altijd vereenvoudigen.
4 4
4
2
4
 
3
2.
2 14
3  3  14 x 4  56  1 23 .
3 11 3 11 33
33
2
4
4
3.
5 3
x  1. Kruislings “wegstrepen”.
3 5
4.
4x8 4
48 4 8
 x 8  8, maar:
   1  2  3.
4
4
4
4 4
4
OPMERKINGEN:
1.
Als a en b getallen voorstellen, dan geldt altijd: a  b  b  a en a x b  b x a.
We noemen deze eigenschap de commutativiteit van de optelling en van de
vermenigvuldiging. Deze eigenschap geldt niet voor de aftrekking en voor de
deling. Immers:
6  4  4  6 en 6 x 4  4 x 6, maar:
4 - 6  6 - 4 en 6 : 4  4 : 6.
(  betekent: is niet gelijk aan).
2.
a
bestaat niet, want delen door 0 is zinloos en mag dus niet!!
0
0
0
 0 en heeft geen betekenis, is onbepaald.
a
0
3.
3a betekent: drie maal het getal a en is dus niets anders dan a + a + a.
4.
2
2c
c betekent het tweederde deel van c en is gelijk aan
.
3
3
5.
Twee getallen zijn elkaars tegengestelde als hun som 0 is.
6.
Twee getallen zijn elkaars omgekeerde als hun product 1 is.
7
t a t b a  n t b  a  n
 


.
n b n b b  n
bn
ONTHOUD:
t a t a
 
.
n b n b
t a t b t b
:   
.
n b n a na
LET OP: 3  4 betekent 3 maal 4 en t  b , of tb, betekent t maal b.
Voorbeelden:
1.
3 2 3  5 2  4 15 8 23
3
 




1 .
4 5 4  5 5  4 20 20 20
20
2.
a 4 ab 12 ab  12
 


.
3 b 3b 3b
3b
3.
4.
5.
5 5 3 15
1
   7 .
2 1 2 2
2
3
3a
c 3a c 1
1
 3a 

   c  c.
6a
6a 6a 1 2
2
c
12ab 4a
12ab a  b 12ab
:



 3b.
a  b a  b a  b 4a
4a
V. Procenten.
Procent betekent letterlijk: het honderdste deel en de notatie hiervoor is: %.
Hoeveel is 6,25 % van 350?
6,25 % betekent dus eigenlijk 6,25 per honderd en als breuk geschreven is dat dus
6, 25
625

 0, 0625.
100 10000
Het antwoord wordt dus: 0,0625 x 350 = 21,875.
8
Een bedrag van € 235 wordt met 19 % verhoogd. Hoeveel wordt het nieuwe bedrag?
Het nieuwe bedrag wordt: € 235 + 0,19 x € 235 = 1,19 x € 235 = € 279,65.
Een bedrag van € 235 wordt met 19 % verlaagd. Hoeveel wordt het nieuwe bedrag?
Het nieuwe bedrag wordt: € 235 - 0,19 x € 235 = 0,81 x € 235 = € 190,35.
Een hoeveelheid neemt toe van 83 tot 127, hoeveel % is de toename?
NIEUW = 127, OUD = 83.
Nieuw - Oud
127  83
x 100 % 
x 100 %  53%.
De toename is dan:
Oud
83
Een hoeveelheid neemt af van 249 tot 180, hoeveel % is de afname?
NIEUW = 180, OUD = 249.
De afname is dan:
Nieuw - Oud
180  249
x 100 % 
x 100 %   27, 7 %.
Oud
249
Dus 27,7 % minder.
Een hoeveelheid neemt toe met 14,5 %. De hoeveelheid wordt nu 160. Hoeveel had je?
OUD
x 1,145 = NIEUW
NIEUW =
OUD =
(100 % + 14,5 % = 114,5 % = 1,145)
160.
160
 139, 7.
1,145
Een hoeveelheid neemt af met 7 %. De hoeveelheid wordt nu 80. Hoeveel had je?
OUD
x 0,93 = NIEUW
NIEUW =
80.
(100 % - 7 % = 93 % = 0,93)
OUD =
80
 86.
0,93
BESTUDEER DE VOLGENDE VOORBEELDEN ZEER GOED:
6  3  9  6  9  3 en 3  9  6
6 x 3  18  6 
18
18
en 3 
3
6
3 15

is hetzelfde als: 3 : 4  15 : 20 .
4 20
Merk op: 3 x 20 = 4 x 15.
9
OEFENINGEN – I.
Let op: steeds de antwoorden zoveel mogelijk vereenvoudigen!
1.
2.
a)
5
4


18 45
b)
1 5 1
  
12 6 18
c)
4
1
 0, 05  
25
10
3 5
d) 2  1 
7 9
a) 7[12  3{5  2 (18  12)  3}  2]  40 
b) 39:13  3  5 16: 4  2  4 
c) 4 (2a  3b)  a (2  b)  b (2  a) 
d)
3.
Welke is de grootste en welke is de kleinste breuk:
a)
4.
5.
6.
3 5 1
3 1
(  )  2(  ) 
2 6 9
8 6
7 2 5 5 7
, , , , .
9 3 6 8 12
b)
3 5 19 7 11
, , , , .
4 6 24 8 12
3 3
a) 4 : 3 
8 4
3
2
b) 2 x 5 
5
3
1 1
c) 8 : 
3 10
1
d) 4 : 9 
3
a) Bereken ggd(8, 12)
b) Bereken ggd(18, 72, 108)
c) Bereken kgv(4, 18)
d) Bereken kgv(16, 24, 32)
a) Wanneer zijn twee getallen elkaars tegengestelde? Geef voorbeeld.
b) Wanneer zijn twee getallen elkaars omgekeerde? Geef voorbeeld.
c) Wat is een fractie? Geef een voorbeeld.
d) Wat is een expressie? Geef een voorbeeld.
7.
Schrijf alle priemgetallen tussen 70 en 90 op.
8.
Harry betaalt € 80 voor een artikel waar hij 12 % korting op heeft gekregen. Hoeveel
kostte het artikel?
10
9.
Een winkelier koopt een partij TV’s in voor € 645 per toestel. Hij verkoopt ze voor
€ 875 per toestel. Hoeveel % bedraagt zijn winst?
10.
Iemand koopt een artikel in en krijgt 40 % korting. Vervolgens verkoopt hij dat artikel
met 20 % winst. Hij ontvangt € 72,00.
Wat was de oorspronkelijke prijs van dat artikel?
9
deel van 340?
17
11.
Hoeveel is het
12.
Wat is het repeterend deel van de breuk
13.
Wat betekent 34 en hoe groot is dat getal in het 10-tallig stelsel?
14.
Schrijf op hoe je het getal 497380256 uitspreekt.
15.
Bekijk de breuk
6
?
7
1
. Tot welke waarde nadert deze breuk als je voor a steeds grotere
a
getallen dan 1 invult?
16.
Dezelfde vraag als bij vraag 15, maar dan als je voor a steeds kleinere getallen dan 1,
maar nog wel groter dan 0, invult?
17.
Geef voorbeelden dat de deling en aftrekking niet commutatief zijn.
Onder de groeifactor g verstaan wij de verhouding:
nieuw bedrag
.
oud bedrag
Als een bedrag van 225 verhoogd wordt tot 325, dan is de groeifactor dus ongeveer 1,44.
Het bedrag neemt dus toe met ongeveer 44 %. Ga dit zelf goed na.
Ook als een bedrag verlaagd wordt, spreken wij toch van een groeifactor.
18.
Een bedrag wordt verhoogd van 175 naar 250. Bereken de groeifactor g en het
percentage.
19.
Een bedrag wordt verlaagd van 475 naar 325. Bereken de groeifactor g en het
percentage.
20.
100 % + 17,8 % = 117,8 %. Dan is g = …….
100 % - 4,3 % = 95,7 %. Dan is g = ……….
11