opgaven lineaire algebra 2

OPGAVEN
BIJ HET COLLEGE
LINEAIRE ALGEBRA 2
********
R.J.Kooman
Universiteit Leiden
najaar 2007
0
In de opgaven gebruiken we de notatie K voor het lichaam van scalairen van een vectorruimte. In
alle gevallen mag verondersteld worden dat K = R of C.
I. Algemene begippen.
Vectorruimten, lineaire deelruimten, dimensie en basis.
1. Ga na of de volgende verzamelingen vectorruimten zijn: indien dit niet het geval is, geef dan aan
aan welke van de axioma’s 1-8 niet is voldaan.
µ ¶
x
met de gebruikelijke optelling en scalaire
a. V is de verzameling geordende paren reële getallen
y
µ ¶ µ ¶
λx
x
.
=
vermenigvuldiging λ
y
y
µ ¶ µ ¶
x1
x2
b. V als in (a) maar met de gebruikelijke scalaire vermenigvuldiging en optelling
+
=
y1
y2
µ
¶
x1 + x2 + 1
.
y1 + y2 + 1
c. De verzameling reële inverteerbare 2×2-matrices met de gebruikelijke (componentsgewijze) optelling
en scalaire vermenigvuldiging.
µ ¶
z
2
d. De verzameling vectoren in C van de vorm
met de gebruikelijke componentsgewijze optelling
z̄
en scalaire vermenigvuldiging.
µ
¶
a b
e. De verzameling van alle bovendriehoeksmatrices
met de gebruikelijke optelling en scalaire
0 c
vermenigvuldiging.
f. R∞ , de verzameling van alle oneindige rijtjes (x1 , x2 , . . .) reële getallen met de componentsgewijze
optelling en scalaire vermenigvuldiging.
2. Ga van de volgende deelverzamelingen W ⊂ V na of het lineaire deelruimten zijn van de vectorruimte V .
a. V = M(n × n, C) en W is de deelverzameling van echte bovendriehoeksmatrices, d.w.z. A =
(Aij ) ∈ W als Aij = 0 voor j ≤ i.
b. V = M(n × n, C) en W bestaat uit de antisymmetrische n × n-matrices (m.a.w. A ∈ W als
AT = −A).
c. V = Cn en W = Rn .
d. V = Cn en W bestaat uit de vectoren (x1 , x2 , . . . , xn )T zodanig dat x1 + . . . + xn = 0.
e. V = P (C) is de vectorruimte van polynomen met complexe coëfficiënten en W is de verzameling
van polynomen in V van graad precies n (n > 0) samen met het nulpolynoom.
f. V is de vectorruimte van continue reële functies op [−1, 1] en W bestaat uit de functies f ∈ V
zodanig dat f (1) = 0.
f. V als in (e), W bevat de functies f ∈ V met f (0) = 1.
g. V = R∞ , W bestaat uit alle rijtjes (x1 , x2 , . . .) zodanig dat alle componenten xi op eindig veel na
nul zijn.
1
3. Laat V een vectorruimte zijn. Bewijs dat voor alle v ∈ V geldt dat (−1) · v = −v.
4. U en W zijn lineaire deelruimten van een vectorruimte V .
a. Toon aan dat de doorsnede U ∩ W een lineaire deelruimte van V is.
b. Is de vereniging U ∪ W een lineaire deelruimte van V ?
c. Beredeneer dat de som U + W = {u + w|u ∈ U, w ∈ W } de kleinste lineaire deelruimte van V is
die zowel U als W bevat.
5. Bepaal van de volgende lineaire deelruimten W van V de dimensie en geef een basis van W aan:
a. V = M(n × n, C) en W = Symn (C), de symmetrische n × n-matrices.
b. V als in (a), W = Antn (C), de antisymmetrische n × n-matrices.
c. V = P (C) en W bestaat uit de polynomen P van graad hoogstens N zodanig dat P (−1) = 0.
d. V = P (C), W = span{1 − X, X − X 2 , X 2 − X 3 , 1 − X 3 }.
e. V = C(R), de vectorruimte van continue reële (of complexe) functies op R,
W = span{1, sin x, cos x, sin2 x, cos2 x}.
f. V = P (C) en W bestaat uit de polynomen van graad hoogstens N zodanig dat P (1) = 0 en
P 0 (0) = 0.
6. De hermites geadjungeerde U ∗ van een complexe matrix U is de matrix die wordt verkregen door
U te transponeren en vervolgens de alle elementen van de matrix complex te conjugeren, m.a.w.
T
U ∗ = U T = U . Een vierkante complexe matrix U heet hermites resp. antihermites als U = U ∗
resp. U = −U ∗ .
a. Toon aan dat alle hermitese n × n-matrices een reële vectorruimte vormen. Bepaal ook de dimensie
en geef een basis aan.
b. Doe hetzelfde voor de antihermitese n × n-matrices.
c. Vormen de hermitese resp. antihermitese n × n-matrices ook een complexe vectorruimte?
Lineaire afbeeldingen en matrices.
7. Ga van de volgende afbeeldingen T : V → W na of het lineaire afbeeldingen zijn. Zo ja, bepaal dan
het bereik im(T ) = T (V ) en de kern ker(T ). Geef tevens aan of T injectief dan wel surjectief is.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
V
V
V
V
V
V
V
= P3 (C) (de polynomen van graad hoogstens 3), W = P4 (C) en T (p)(x) = xp(x).
= W = P3 (C) en T (p)(x) = p(x + 1).
= W = R3 en T (x) = x × a waarbij a ∈ R3 een vaste vector is.
= W = C[a, b] (de reële continue functies op [a, b] ⊂ R), T (f ) = f 2 .
Rb
= C[a, b], W = R, T (f ) = a f (x)e−x dx.
= W = R∞ , T (x1 , x2 , . . .) = (0, x1 , x2 , . . .).
= W = R∞ , T (x1 , x2 , . . .) = (x2 , x3 , . . .).
2
µ
¶
a b
= a + d.
c d
i. V = C 1 [a, b], de vectorruimte van continu differentieerbare functies op [a, b], W = C[a, b] en
T (f ) = f 0 .
h. V = M(2 × 2, C), W = C en T
8. Laat V, W vectorruimten zijn. T : V → W is een lineaire afbeelding.
a. Zij U een lineaire deelruimte van V . Bewijs dat het beeld T (U ) een lineaire deelruimte is van W .
b. Ga na dat dim(T (U )) ≤ dim(U ) (hint: laat zien dat T (U ) wordt opgespannen door de beelden van
de basisvectoren van U ).
9. Bepaal de matrix van de volgende lineaire afbeeldingen:
a. T : Pn (C) → Pn (C) gegeven door T (p) = p0 t.o.v. de basis {1, X, X 2 , . . . , X n }.
b. T : Pn (C) → Pn+1 (C) gegeven door T (p) = Xp t.o.v. de bases {1, X, X 2 , . . . , X n } en
{1, X, . . . , X n+1 }.
c. T : M(2 × 2, C) → M(2 × 2, C) gegeven door T (A) = AT t.o.v. de basis {E11 , E12 , E21 , E22 }
waarbij de elementaire matrix Eij de matrix is met een 1 in de i-e rij en j-e kolom, en verder overal
nullen (m.a.w. (Eij )k` = δik δj` ).
d. T : M(2
µ × 2, C)¶→ M(2 × 2, C) gegeven door T (A) = AB t.o.v. dezelfde basis als in (c), waarbij
1 −1
.
B=
−1 2
10. Laat V = AH3 de (reële) vectorruimte van de antihermitese 3 × 3-matrices zijn (vergelijk opgave
7).
a. Toon aan dat de afbeelding C : AH3 → AH3 gegeven door C(U ) = Ū een inverteerbare lineaire
afbeelding is.
b. Bepaal de matrix van C t.o.v. een zelfgekozen basis.
µ
¶
1
i
11a. T : C → C is een lineaire afbeelding met matrix A =
t.o.v. de standaardbasis
1 − i −3i
{e1 , e2 }. C2 kan ook opgevat worden als een vierdimensionale reële vectorruimte W met basis
{e1 , e2 , ie1 , ie2 }. Bepaal de matrix van T : W → W ten opzichte van deze basis.
2
2
b. Laat nu T : Cn → Cn een lineaire afbeelding zijn met standaardmatrix A + iB. Hierbij zijn A en
B reële n × n-matrices. Vat nu T op als een afbeelding T̃ : W → W van de 2n-dimensionale reële
vectorruimte W = span{e1 , . . . , en , ie1 , . . . , ien }. Druk de matrix van T̃ uit in termen van A en B.
12. Toon aan: als V een vectorruimte van dimensie 2 is en T : V → V een lineaire afbeelding
µ
¶ zodat
0 ∗
T 2 = 0, dan is er een basis van V zodat de matrix van T t.o.v. deze basis de vorm
heeft.
0 0
3
Vectorruimte-isomorfismen, algebra’s.
13. Laat V = M(n × n, K). Voor A ∈ V definiëren we de afbeelding ψA : V → V gegeven door
ψA (X) = [A, X] waarbij [A, X] = AX − XA de commutator van A en X is.
a. Ga na dat ψA een lineaire afbeelding is.
µ
¶
0 −1
b. Laat n = 2, K = C en J =
. Geef de matrix van ψJ t.o.v. een zelfgekozen basis in V en
1 0
bepaal de rang van ψJ .
c. Ga na of er een A ∈ V bestaat zodanig dat ψA een vectorruimte-isomorfisme is
d. Ga na dat de afbeeldingen ψA voor A ∈ V een lineaire deelruimte van L(V ) vormen. Beschouw nu
de afbeelding T : V → L(V ) gegeven door T (A) = ψA . Toon aan dat T lineair is. Is T surjectief?
Is T injectief?
14. Laat V = M(n × n, K). Zij A een inverteerbare matrix in V .
a. Bewijs dat de afbeelding φA : V → V met φA (M ) = AM A−1 een vectorruimte-isomorfisme is.
µ
¶
0 −1
b. Neem n = 2 en laat A =
. Bepaal de matrix van φA t.o.v. de basis {E11 , E12 , E21 , E22 }
1 0
van V (waarbij (Eij )kl = δik δjl ).
De vectorruimte V met de matrixvermenigvuldiging is een algebra. Een vectorruimte-isomorfisme
φ : W → W 0 tussen twee algebra’s W, W 0 heet een algebra-isomorfisme als tevens φ(a·b) = φ(a)·φ(b)
waarbij · de vermenigvuldiging in de algebra’s W en W 0 aangeeft.
c. Ga na dat φA een algebra-isomorfisme is.
15. Laat zien dat de verzameling van n × n-bovendriehoeksmatrices, resp. stricte bovendriehoeksmatrices met de gewone matrixoptelling en -vermenigvuldiging algebra’s zijn.
Basistransformaties, directe som en projectie.
16a. Bepaal de standaardmatrix van een loodrechte (of orthogonale) spiegeling in de x1 -as in R2 .
b. Zij ` de lijn met vergelijking x2 = −2x1 in R2 . Bepaal m.b.v. basistransformatiematrices en het
resultaat van (a) de standaardmatrix van loodrechte spiegeling in `.
c. P : R2 → R2 is de projectie op de lijn x1 − x2 = 0 langs de lijn x1 + 2x2 = 0. Bepaal de
standaardmatrix van P .
 
1
17. Beschouw de vectorruimte V = R3 met lineaire deelruimten U = span{ 3  en W = {x ∈ R3 :
0
x1 − x3 = 0}. P : V → V is de projectie op W langs U .
a. Toon aan dat V = U ⊕ W .
4
b. Wat is de rang van P ?
c. Bepaal de standaardmatrix van P .
18a. Beschouw de vectorruimte K n voor n ≥ 2 (K = R of C). P : K n → K n wordt gegeven door
P (x1 , x2 , x3 . . . , xn ) = (0, 0, x3 , . . . , xn ). Toon aan dat P een projectie is. (N.B. Projecties zijn
lineaire afbeeldingen, dus laat ook zien dat P lineair is!)
b. Beschouw de vectorruimte C = C([−1, 1], K) van K-waardige continue functies op [−1, 1]. Toon
aan dat de afbeelding P : C → C gegeven door P f (x) = (f (x) + f (−x))/2 een projectie is.
19. Laat V = Pn (C) de vectorruimte van polynomen p(X) = an X n +. . .+a1 X +a0 van graad hoogstens
n zijn met complexe coëfficiënten a0 , . . . , an en met de gebruikelijke optelling en vermenigvuldiging.
U = {p ∈ V : p(1) = p0 (1) = 0} en W = span{1, X}.
a. Toon aan dat U een lineaire deelruimte is van V .
b. Bewijs aan dat {(X − 1)2 , (X − 1)3 , . . . , (X − 1)n } een basis is van U .
c. Bewijs dat Pn = U ⊕ W .
π : Pn → Pn is de lineaire afbeelding gegeven door π(p)(X) = p(1) + p0 (1)(X − 1).
d. Bepaal de matrix van π t.o.v. de basis {1, X, X 2 , . . . , X n }.
e. Leg uit dat π de projectie op W langs U is (m.a.w. π is de projectie op de tweede component van
de directe som in (c)).
20. Beschouw de vectorruimte van reële n × n-matrices V = M(n × n, R). De afbeeldingen S : V → V
en A : V → V gegeven door S(X) = 12 (X + X T ) en A(X) = 21 (X − X T ) zijn lineaire afbeeldingen
(ga dit na).
a. Bepaal de deelruimten ker(S) en ker(A) en geef de dimensies. Laat zien dat
V = ker(S) ⊕ ker(A).
b. Ga na dat A en S projecties zijn, dat A + S = idV en bepaal im(A) en im(S).
21. Laat a, b ∈ Rn met (standaard-inproduct) a · b = 1. Bewijs dat de afbeelding P : Rn → Rn
gegeven door P (x) = x − (x · a)b een projectie is. Bepaal ker(P ) en im(P ).
22. Laat V = M(n×n, R). Symn0 (R) is de deelverzameling van symmetrische n×n-matrices met spoor
nul (het spoor van een n × n-matrix A = (aij ) is de som van de elementen op de hoofddiagonaal
Pn
n
i=1 aii ), Ant (R) is de lineaire deelruimte van antisymmetrische n × n-matrices en E =span{In }.
a. Laat zien dat E, Antn (R) en Symn0 (R) lineaire deelruimten van V zijn.
b. Bewijs dat V = Symn0 (R) ⊕ Antn (R) ⊕ E.
c. Bepaal een uitdrukking voor de projecties op de afzonderlijke componenten van de directe som in
(b).
5
23. Zij V een vectorruimte. Een lineaire afbeelding S : V → V heet een spiegeling als V = U ⊕ W voor
zekere lineaire deelruimten U, W van V en S(u) = u voor u ∈ U , S(w) = −w voor w ∈ W .
a. Toon aan: S is een spiegeling dan en slechts dan als 12 (S + idV ) een projectie is.
b. Toon aan: S is een spiegeling dan en slechts dan als S 2 = idV .
Quotiëntruimten.
24. Ga na dat gelijkvormigheid van matrices een equivalentierelatie op V = M(n × n, K) is.
25. Laat V een vectorruimte en W een lineaire deelruimte zijn. Bewijs dat de afbeelding Q : V → V /W
gegeven door Q(v) = v̄ lineair is. Ga na dat Q surjectief is en bepaal ker(Q).
26. Zij V = P (C) de vectorruimte van polynomen met complexe coëfficiënten. Zij verder q(X) =
X 6 − X. W is de lineaire deelruimte van polynomen p(X) in V die deelbaar zijn door q(X), m.a.w.
te schrijven zijn in de vorm p(X) = q(X)r(X) met r(X) een polynoom in V .
a. Geef een basis van W aan.
b. Wat is de dimensie van de quotiëntruimte V /W ? Geef ook een basis voor V /W aan.
c. Ga na of het stelsel polynomen
{X − 1, X 2 − X, X 3 − X 2 , X 4 − X 3 , X 5 − X 4 , X 6 − X 5 }
(al dan niet) lineair onafhankelijk is modulo W .
De lineaire afbeelding T : V → V is gegeven door T (p)(X) = X 3 p(X).
d. Ga na dat T de lineaire deelruimte W invariant laat, d.w.z. T (W ) ⊂ W .
e. Geef de matrix aan van de quotiëntafbeelding T : V /W → V /W t.o.v. de in onderdeel b gekozen
basis.
27a. Laat W = span{(1, 2, 0)} ∈ R3 . Is het stelsel {e1 , e2 } lineair onafhankelijk modulo W ? En {e1 , e3 }?
b. Laat H ∈ C4 de lineaire deelruimte zijn gegeven door x1 + x2 + x3 + x4 = 0 en x1 − x4 = 0. Geef
een basis aan voor C4 /H. Is het stelsel {e2 , e3 } lineair onafhankelijk modulo H? En {e1 , e4 }? En
{(1, 2, 0, −1), (0, 1, 1, 2)}?
c. Laat V = M(3 × 3, C) en laat A, S : V → V als in opgave 20 zijn. Ga na of het stelsel matrices
{I3 , E12 +E23 , E21 +E32 } (waarbij I3 de eenheidsmatrix is en Eij de elementaire matrices (vergelijk
opgave 14)) lineair onafhankelijk is modulo ker(S) en modulo ker(A).
6
28. Bepaal in de volgende gevallen de quotiëntafbeelding T̄ : V /W → V /W (geef de matrix aan t.o.v.
een geschikte basis of geef de beelden van een stelsel basisvectoren):
i. V = C2 , T : V → V gegeven door T (x, y) = (x, 2y); W = span{e1 }, resp. span{e2 }.
ii. V = C2 , T (x, y) = (x + 2y, y), W = span{e1 }.
Varia.
29a. Beschrijf de vectorruimte R⊗n .
b. Laat V een vectorruimte over K zijn. Toon aan dat V en V ⊗ K isomorfe vectorruimten zijn.
c. Laat zien dat Rn ⊗ Rm isomorf is met een vectorruimte Rp voor zekere p en bepaal p.
d. Laat V en W eindig-dimensionale vectorruimten zijn. Bewijs dat V ⊗ W isomorf is met de vectorruimte L(V, W ) van lineaire afbeeldingen van V naar W . Kies bases van V en W en geef expliciet
een isomorfisme aan (gebruik zo nodig matrices). (Opmerking: het isomorfisme is afhankelijk van
de keuze van de bases en is niet-kanoniek, zie ook hoofdstuk V).
30. V is een (reële of complexe) vectorruimte van dimensie 2. We kiezen een basis {a1 , a2 } van V .
a. Wat is dim(V ⊗ V )?
b. Geef een vector in V ⊗ V aan die niet te schrijven is als een tensorproduct v ⊗ v 0 (met v, v 0 ∈ V ).
Zij w ∈ V . Beschouw de afbeelding T : V → V ⊗ V gedefinieerd door T (v) = v ⊗ w.
c. Toon aan dat T lineair is. Is T injectief? Is T surjectief?
31. Laat U ⊂ C3 een tweedimensionale (complexe) lineaire deelruimte zijn.
a. Laat zien dat U ∩ R3 6= {0}.
b. Is het mogelijk dat R3 ⊂ U ?
32. Zij V een vectorruimte. Voor a ∈ V is de translatie over a gegeven door Ta (v) = v + a voor v ∈ V .
a. Ga na dat Ta niet-lineair is voor a 6= 0V .
b. Zij S : V → V een lineaire afbeelding. Toon aan dat er voor elke a precies één b ∈ V is zodat
Tb STa lineair is en bepaal b.
33. Zij V een vectorruimte en U een lineaire deelruimte van V . Voor a ∈ V is de getransleerde U + a
gedefinieerd als de verzameling {v ∈ V : v = u + a voor u ∈ U }. Merk op dat de getransleerde van
een lineaire deelruimte i.h.a. geen lineaire deelruimte is (waarom niet?). Lineaire deelruimten van
een vectorruimte samen met hun getransleerden noemen we affiene deelruimten.
Laat U, W lineaire deelruimten van V zijn zodanig dat V = U ⊕ W en laat a, b ∈ V . Bewijs dat de
doorsnede van de affiene deelruimten U + a en W + b precies één element bevat.
7
34. Laten x1 , . . . , xn verschillende reële getallen zijn. Zij S = {x1 , . . . , xn } en laat W de vectorruimte
zijn van alle reële functies f : S → R, met puntsgewijze optelling en scalaire vermenigvuldiging.
a. Laat zien dat W n-dimensionaal is.
Pn−1
Zij Pn−1 de vectorruimte van alle polynomen p(x) = j=0 aj xj van graad hoogstens n − 1 met
reële coëfficiënten aj en met puntsgewijze optelling en scalaire vermenigvuldiging. Definieer de
(restrictie)afbeelding Res: Pn−1 → W door
(Res p)(xk ) = p(xk )
voor k = 1, . . . , n.
b. Laat zien dat Res een lineaire afbeelding is.
c. Toon aan dat Ker Res = {0}.
d. Bewijs dat er voor iedere keuze van reële getallen c1 , . . . , cn precies één polynoom p van graad
hoogstens n − 1 is, zodanig dat p(xk ) = ck voor k = 1, . . . , n.
35. In deze opgave beschouwen we de vectorruimte V = P (C) van polynomen met complexe coëfficiënten.
Laat x1 , . . . , xn n verschillende complexe getallen zijn voor zekere n > 0. Verder zijn de polynomen
(x − x1 ) · . . . (x d
− xj ) . . . · (x − xn )
P1 , . . . , Pn gedefinieerd d.m.v. Pj (x) =
, waarbij het dakje
d
(xj − x1 ) · . . . (xj − xj ) . . . · (xj − xn )
aangeeft dat de betreffende termen worden weggelaten.
Beschouw de afbeelding P : V → V gegeven door
P (g) =
n
X
g(xj )Pj .
j=1
a. Laat zien dat P een projectie is.
b. Beschrijf de lineaire deelruimten ker(P ) en im(P ) van V . Geef tevens een basis aan van beide
deelruimten.
8
II. Determinant en spoor.
1. Bereken de volgende waarden van het Levi-Civitasymbool:
²21 , ²231 , ²4321 , ²3142 .
2. Bij een permutatie p van n elementen definiëren we de bijbehorende permutatiematrix P via Pij =
δi,p(j) .
a. Laat zien dat als P en Q de permutatiematrices bij permutaties p en q zijn, dan is P Q de permutatiematrix bij de permutatie pq.
b. Ga na dat de determinant van een permutatiematrix P gelijk is aan het teken σ(p) van de bijbehorende permutatie p.


−i 0
1
3. Bereken de determinant van de matrix 12  0 2i −1 .
i
1
0

1
0

0

4. Gegeven is de n × n-matrix A =  ..
.

0
1
1
0
..
.
0
1 0

1 1
1 1

1 1

.. .. . Bewijs dat det(A) = 1.
. .

1 1
1 ...
1 ...
1 ...
.. . .
.
.
0 ...
0 ...
0
1

als i = j
2
5. Laat An de n × n-matrix zijn gegeven door (An )ij = −1 als |i − j| = 1

0
als |i − j| ≥ 2
en laat Dn = det(An ).
a. Bewijs dat Dn = 2Dn−1 − Dn−2 voor n ≥ 3.
b. Bewijs m.b.v. volledige inductie dat Dn = n + 1.
6. Bewijs dat voor a1 , a2 . . . , an ∈ R geldt dat
¯
¯ 1 + a1
¯
¯ 1
¯
¯ 1
¯
¯ .
¯ ..
¯
¯ 1
1
1 + a2
1
..
.
1
1
1 + a3
..
.
...
...
...
..
.
1
1
...
¯
¯
¯
¯
¶
µ
¯
1
1
1
¯
+
+ ... +
.
¯ = a1 a2 a3 . . . an 1 +
¯
a1
a2
an
¯
¯
1 + an ¯
1
1
1
..
.
9
7. Zij A = (aij ) een antisymmetrische n × n-matrix, d.w.z AT = −A.
a. Bewijs dat det(A) = 0 als n oneven is.
In de rest van de opgave nemen we aan dat n even is. Beschouw de n × n-matrix

0
 −a1

 0

A= .
 ..

 0
0
a1
0
−a2
..
.
0
a2
0
..
.
...
...
...
..
.
0
0
0
..
.
0
0
0
0
...
...
0
−an−1
0
0
0
..
.








an−1 
0
waarbij a1 , . . . , an−1 complexe getallen zijn.
b. Bewijs dat det(A) = (a1 a3 . . . an−1 )2 .
Laat nu n = 4.
c. Bewijs dat det(A) het kwadraat is van een polynoom in de coëfficiënten van A.
Opmerking: (b) en (c) zijn speciale gevallen van een algemeen resultaat: als A = (aij ) een antisymmetrische n × n-matrix is en n is even, dan is er een polynoom (genoteerd als Pf(A)) in de
coëfficiënten aij van A zodanig dat (Pf(A))2 = det(A). Pf(A) heet de Pfaffiaan van A. (Dit resultaat kan (onder meer) worden bewezen door tegelijkertijd links en rechts rijen en kolommen te
vegen om de vorm in (b) te verkrijgen en te gebruiken dat det(U T AU ) = det(A) als det(U ) = 1.)
8a. Bewijs dat
¯
¯a b
¯
¯d a
¯
¯c d
¯
¯b c
¯
c d ¯¯
b c ¯¯
= (a + b + c + d)(a + ib − c − id)(a − b + c − d)(a − ib − c + id).
a b ¯¯
d a¯
Een dergelijk type determinant heet een circulant en wordt genoteerd als C(a, b, c, d).
b. Formuleer en bewijs een soortgelijke identiteit voor circulanten C(a1 , . . . an ) van
¯
¯ a1
¯
¯ a2
¯
c. Een circulant van orde n wordt soms ook gedefinieerd als C 0 (a1 , . . . , an ) = ¯ .
¯ ..
¯
¯a
n
0
Wat is het verband tussen C(a1 , . . . , an ) en C (a1 , . . . , an )?
orde n.
a2
a3
..
.
...
...
..
.
an
a1
..
.
a1
. . . an−1
¯
¯
¯
¯
¯
¯.
¯
¯
¯
9. Bewijs m.b.v. de Wronskiaan dat het stelsel functies {1, x, x2 , x3 , . . .} lineair onafhankelijk is in de
vectorruimte C([a, b]).
10
10a. Laat a1 , . . . , an verschillende reële of complexe getallen zijn. Bewijs dat de functies ea1 x , . . . , ean x
lineair onafhankelijk zijn in de vectorruimte C([a, b]) van continue (reële of complexe) functies op
het interval [a, b] (a < b).
b. Bewijs dat het stelsel functies {1, cos nx, sin nx}∞
n=1 lineair onafhankelijk in C([a, b]) is.
µ
¶
A C
11. Laat M een n × n-matrix zijn van de vorm
. Hierbij zijn A en B vierkante matrices.
O B
Toon aan dat det(M ) = det(A) det(B). Druk M −1 uit in termen van A, B, C in het geval dat A
en B inverteerbaar zijn.
12. Zij A = (aij ) een n × n-matrix. Laat à = (Aij ) de matrix van cofactoren van A zijn. Toon aan
dat det(Ã) = (det(A))n−1 .
13. (twee formules voor uitproducten.) In deze opgave bewijzen we de volgende twee identiteiten in
R3 :
i. (a × b, c × d) = (a, c)(b, d) − (a, d)(b, c).
ii. (a × b) × c = (a, c)b − (b, c)a.
a. Laat A, B de 3 × 3-matrices gegeven door A = (a, b, c × d) en B = (c, d, a × b) zijn. Toon aan dat
det(A) = det(B) = (a × b, c × d).
b. Bewijs formule (i) door det AT B op twee manieren te berekenen: (i) m.b.v. (a) en (ii.) door de
matrix AT B uit te schrijven.
c. Leid formule (ii) uit (i) af. Gebruik dat (x × y, z) = det(x, y, z) = (x, y × z) voor x, y, z ∈ R3
(vergelijk de vorige opgave).
14. Laat a1 , . . . , ak , b1 , . . . , b` vectoren in Rn zijn. A is de n × k-matrix met kolomvectoren a1 , . . . , ak
(we noteren dit als A = (a1 , . . . , ak ) en B = (b1 , . . . , b` ).


a1 · b1 a1 · b2 . . . a1 · b`
 a2 · b1 a2 · b2 . . . a2 · b` 


a. Toon aan dat (AT B) =  .
..
.. .
.
.
.
 .
.
.
. 
ak · b 1
ak · b2
...
ak · b`
b. Laat a1 , . . . an een orthogonaal stelsel vectoren in Rn zijn (dus ai · aj = 0 als i 6= j). Bewijs dat
√
| det(a1 , a2 , . . . an )| = ka1 kka2 k . . . kan k waarbij kxk = x · x.
¯
¯
¯ δip δiq δir ¯
¯
¯
c. Bewijs m.b.v. (a) dat ²ijk ²pqr = ¯¯ δjp δjq δjr ¯¯.
¯ δkp δkq δkr ¯
11
15. (een generalisatie van het uitwendig product.)
a. Laat a1 , . . . , an−1 ∈ Rn lineair onafhankelijke vectoren zijn. Bewijs dat er een unieke vector
b ∈ Rn bestaat zodat (x, b) = det(x, a1 , . . . an−1 ) voor alle x ∈ Rn (merk op dat de afbeelding
x → det(x, a1 , . . . , an−1 ) een lineaire afbeelding is van Rn naar R). In het geval dat n = 3 is
b = a1 × a2 . We noteren in het algemene geval b = a1 × a2 × . . . × an−1 .
b. Bereken e1 × e2 × e3 in R4 (ei is de i-de standaardbasisvector ).
 
 
 
0
1
1






1
 0  , c =  1 .
c. Bereken in R4 de vector a × b × c voor a = 
,
b
=
1
1
0
1
1
1
d. Laat a1 , . . . , an−1 een lineair onafhankelijk stelsel vectoren in Rn zijn. Bewijs dat voor het volume
van het n−1-blok opgespannen door a1 , . . . , an−1 geldt dat V (a1 , . . . , an−1 ) = ka1 ×a2 ×. . .×an−1 k.
(Aanwijzing: laat an een vector zijn die orthogonaal is met a1 , . . . , an en beschouw V (a1 , . . . , an ).)
e. Bereken m.b.v. (d) het volume van het 3-blok van onderdeel c.
12
III. Spectraaltheorie van complexe endomorfismen.
1. A is de 5×5-permutatiematrix (e2 , e4 , e1 , e5 , e3 ), waarbij ei staat voor de i-de standaardbasisvector.
Bepaal de eigenwaarden van A. Is A diagonalizeerbaar?

1
0

0

2. An is de n×n-matrix  ..
.

0
1
1
0
..
.
0
1
1
..
.
...
...
...
..
.

0 0
0 0

0 0

.. .. , m.a.w. Aij = 1 als j −i = 0, j −i = 1 of i = n, j = 1.
. .

1 1
0 0 ...
1 0 0 ... 0 1
Bepaal de eigenwaarden van A en de bijbehorende eigenvectoren.

an−1
 1


3. Bn is de n × n-matrix  0
 ..
 .
0
an−2
0
1
..
.
...
...
...
..
.
a1
0
0
..
.

a0
0 

0 
.
.. 
. 
0
...
1
0
a. Toon aan dat (−1)n χBn (X) = X n − an−1 X n−1 − . . . − a1 X − a0 .
b. Laat zien dat alle eigenwaarden van Bn meetkundige multipliciteit 1 hebben.
4. Zij A een n × n-matrix. Toon aan dat de eigenwaarden van A en AT dezelfde meetkundige en
algebraı̈sche multipliciteit hebben.
5. A en B zijn n × n-matrices, B inverteerbaar.
a. Bewijs dat AB en BA dezelfde eigenwaarden hebben met dezelfde (algebraı̈sche) multipliciteiten.
Gebruik een continuı̈teitsargument om te laten zien dat dit resultaat in feite geldt voor alle n × nmatrices A en B.
b. Hebben de eigenwaarden van AB en BA ook altijd dezelfde meetkundige multipliciteiten?
6a. Bewijs: een n × n-matrix A is nilpotent dan en slechts dan als A louter (complexe) eigenwaarden
nul heeft.
b. Zij V een vectorruimte en N : V → V een nilpotente afbeelding. Bewijs dat idV − N inverteerbaar
is (idV is de identieke afbeelding op V ) en schrijf de inverse als een polynoom in N .
7. (de Jordan-normaalvorm.) Zij V een vectorruimte en T : V → V een lineaire afbeelding.
a. Veronderstel dat er een a ∈ V is zo, dat T k a 6= 0, T k+1 a = 0. Hier is k een positief geheel getal.
Bewijs dat a, T a, · · · , T k a lineair onafhankelijk zijn.
(Aanwijzing: gebruik volledige inductie.)
13
b. Laat, als aan de voorwaarden van (a) voldaan is, W = span{a, T a, · · · , T k a}. Bewijs dat T (W ) ⊂ W
en laat zien dat er een basis van W bestaat met de eigenschap dat de matrix van T |W t.o.v. die basis
bovendriehoeksvorm heeft, met nullen op de diagonaal, enen op de eerste boven-nevendiagonaal en
verder nullen.
c. Zij nu dim(V ) = n en T : V → V een lineaire afbeelding met T n−1 6= 0 en T k = 0 voor zekere
k ≥ n. Bewijs dat er een basis bestaat zodat de matrix van T t.o.v. die basis in bovendriehoeksvorm
geschreven kan worden, met nullen in de diagonaal, enen in de eerste boven-nevendiagonaal en nullen
verder. (Zo’n basis heet een Jordanbasis van T .)
8a. Zij A een n × n-matrix met verschillende eigenwaarden λ1 , . . . , λn . Toon aan dat
(A − λ1 I) · . . . · (A − λn I) = O, m.a.w. χA (A) = O. (Aanwijzing: laat zien dat χA (A)fi = 0 voor
fi een eigenvector van A.)


a 1 0 ... 0 0
0 a 1 ... 0 0


0 0 a ... 0 0


b. J is de n × n-matrix  .. .. .. . .
.. ..  voor zekere a ∈ C. Bepaal het karakteristieke
. . .
. . .


0 0 0 ... a 1
0 0 0 ... 0 a
polynoom χJ van J en laat zien dat χJ (J) = O.
9. Bepaal bij de volgende matrices: a. de eigenvectoren, b. de (gegeneraliseerde) eigenruimten, c. een
Jordan-normaalvorm. d. Het minmumpolynoom.

−1 4
 −1 3
A=
 0 0
0 0

1
0

C=
0
0
0

3

10. Laat A =
3
−1
−1
0
0
1
1
0
0
0
1
−1
1
0
0
−2
−1
1
0
−1
0
0
1
0

0
0
.
0
1

2
0

B=
0
0
0

1
0

0
.
0

0
0

D=
0
0
1
1

−1
−2 .
2
a. Bepaal een basis van gegeneraliseerde eigenvectoren van A.
b. Geef een Jordan-normaalvorm van A.
c. Druk A−1 als polynoom in A uit.
14
2
3
0
−1
0
0
1
2
1
0
1
−3
0
0
−1
−2
0
−1
1
0
2
−1
0
3
0
2
0
0
−1
2

0
−1 

0 

1 
4

−1
2 

0 
.
0 
0
d. Schrijf het diagonaliseerbare deel D en het nilpotente deel N van A als een polynoom in A.
11. Zij A een m × n-matrix met rang 1.
a. Bewijs dat A = abT voor zekere (kolom)vectoren a en b.
b. Laat nu m = n. Bewijs dat tr(A) = a · b (het standaard-inproduct) en dat A2 − tr(A)A = O.
Bepaal nu het minimumpolynoom mA van A.
c. Bepaal het karakteristieke polynoom χA van A en toon aan dat mA een deler is van χA .


1 −2
5
d. Laat B =  −2 4 −10 . Bereken B 100 .
3 −6 15
12. Ga na of de volgende matrices gelijkvormig zijn:



¶
¶
µ
µ
2 −2 −6
1
0 14
−1 4



en
.
b. −2 5
12
en 1
a.
1 5
2 6
1 −2 −5
1




1 0 0 0
−1 4 −2 0
0 1 0 0
 −1 3 −1 0 



c. 
 0 2 1 0  en  0 0 1 0  .
0 1 3 1
0 0 0 1
2
−1
0

−4
5 .
2
13. Zij A een n × n-matrix. Laat B de matrix zijn die uit A ontstaat door tegelijkertijd de rijen en
kolommen te permuteren (m.a.w. er is een permutatie p ∈ Sn zodanig dat Ap(i)p(j) = Bij ).
Bewijs dat A en B gelijkvormige matrices zijn.
14. (continue afhankelijkheid van de eigenwaarden.) Laat λ1 , . . . , λn verschillende complexe getallen en
D de diagonaalmatrix diag(λ1 , . . . , λn ) zijn. Zij ² > 0. Zij verder E een n×n-matrix met elementen
Eij met |Eij | < ².
a. Bewijs: voor ² klein genoeg heeft de matrix D + E n verschillende eigenwaarden µ1 , . . . , µn zo, dat
|µj − λj | < n² voor j = 1, . . . , n. (Aanwijzing: gebruik de stelling van Gershgorin).
b. Zij A een complexe n × n-matrix met n verschillende eigenwaarden λ1 , . . . , λn . Bewijs: voor elke
² > 0 klein genoeg geldt: er is een δ > 0 zo, dat als E een matrix is waarbij voor de elementen
Eij geldt dat |Eij | < δ, dan heeft de matrix A + E n verschillende eigenwaarden µ1 , . . . , µn met
|µj − λj | < ² voor j = 1, . . . , n. (Aanwijzing: diagonaliseer A en pas (a) toe).
µ
15. Laat zien dat de ongelijkheid van Gershgorin scherp is voor de matrices van de vorm
(a, b ∈ C).
15
a
b
−b
a
¶
IV. Vectorruimten met inwendig product.
1. Laat zien dat de volgende vormen (euclidische resp. hermitese) inwendige producten zijn op de
vectorruimte V :
a. V = Rn en (x, y) = (Ax)T Ay, waarbij A een willekeurige reële inverteerbare n × n-matrix is.
b. V = M(m × n, R) en (A, B) = tr(AT B).
c. V = M(m × n, C) en (A, B) = tr(A∗ B). Hierbij is A∗ de complex geconjugeerde van AT .
d. V = C([a,
R bb], C) (de vectorruimte van complexwaardige continue functies op [a, b]) met a < b en
(f, g) = a f (x)g(x)w(x)dx waarbij w een continue reële functie is op [a, b] zodanig dat w(x) > 0
voor x ∈ (a, b).
e. V = `∞ (R) is de vectorruimte van begrensde rijtjes (x1 , x2 , . . .) (met xi ∈ R) met de components∞
X
xn yn
gewijze optelling en scalaire vermenigvuldiging en (x, y) =
.
n2
n=1
2. V is de vectorruimte C2 met inwendig product (x, y) = x1 y1 + 2x2 y2 − x1 y2 − x2 y1 .
a. Toon aan dat ( , ) inderdaad een hermites inproduct is.
b. Laat e1 en e2 de standaard-basisvectoren in V zijn. Bereken (t.a.v. het gegeven inproduct) ke1 k,
ke2 k en (e1 , e2 ).
c. Bepaal een orthonormale basis van V .
3. Beschouw de sesquilineaire vorm B(x, y) = 2x1 y1 + 3x2 y2 + i x1 y2 − i x2 y1 .
a. Bepaal een hermitese matrix C zodanig dat B(x, y) = x∗ Cy. Ga na dat B( , ) een inwendig
product is.
b. Bepaal een basis van C2 die orthonormaal is t.a.v. het inproduct B( , ).
4. Op de vectorruimte van polynomen met complexe coëfficiënten C = P (C) vormt (f, g) =
een (hermites) inwendig product.
R1
−1
f (x)g(x)dx
a. Door het Gram-Schmidt-procédé toe te passen op het stelsel {1, X, X 2 , . . .} krijgen we een orthonormale basis {p0 , p1 , p2 , . . .}. Bepaal pi voor i = 0, 1, 2.
b. Beargumenteer dat de graad van pn precies n is. (Opmerking: De polynomen pn /pn (1) heten de
Legendrepolynomen Pn . De Pn zijn dus zo genormeerd dat Pn (1) = 1. (Dit is goed gedefinieerd
is omdat er kan worden aangetoond dat pn (1) 6= 0 voor alle n.) In het algemeen noemen we een
stelsel polynomen {p0 , p1 , . . .} dat orthogonaal is t.a.v. een inproduct en zodanig dat graad(pn ) = n
orthogonale polynomen.)
16
5. V = C([0, 2π]) is de vectorruimte van complexe continue functies op het interval [a, b] ⊂ R.
a. Bewijs dat {cos nx, sin nx, 1}∞
n=1 een orthogonaal stelsel is op V . Bepaal ook een orthonormaal
stelsel.
b. Beantwoord dezelfde vraag voor het stelsel {einx }∞
n=−∞ .
6a. Bewijs m.b.v. de ongelijkheid van Schwarz de driehoeksongelijkheid voor vectoren in een vectorruimte met hermites inproduct: kx + yk ≤ kxk + kyk (waarbij kxk2 = (x, x)).
b. Bewijs de stelling van Pythagoras: kxk2 + kyk2 = kx + yk2 dan en slechts dan als Re (x, y) = 0.
c. Bewijs de volgende ongelijkheid voor a1 , . . . , an ∈ C:
|a1 + . . . + an |2 ≤ n(|a1 |2 + . . . + |an |2 ).
7. Zij Ta : R3 → R3 voor a ∈ R3 gegeven door Ta (x) = a × x.
a. Laat zien dat Ta∗ = −Ta .
b. Neem aan dat kak = 1. Laat zien dat Ta2 (x) = −x + (a, x)a en dat Ta3 = −Ta .
c. Beschrijf in het geval dat kak = 1 de afbeelding Ta meetkundig.
8. Zij V een vectorruimte met inwendig product ( , ), en laat Tab : V → V gegeven zijn door
∗
Tab (x) = (a, x)b waarbij a, b ∈ V . Bepaal de geadjungeerde Tab
.
9. Zij V = C([−1, 1]) de vectorruimte van complexwaardige continue functies op het interval [−1, 1]
Z 1
met hermites inwendig product < f, g >:=
f (x)g(x)dx. Laat T : V → V de lineaire afbeelding
−1
T (f ) = f (0) zijn (het beeld moet dus worden opgevat als de constante functie f (0)). Toon aan dat
T geen geadjungeerde heeft.
10. Beschouw de lineaire afbeelding P : Cn → Cn gegeven door P (x) = x−(a, x)b, waarbij x, a, b ∈ C
en ( , ) staat voor het standaard-hermites inproduct op Cn . Toon aan dat P een orthogonale
projectie is dan en slechts dan als a = 0 of b = 0 of a en b lineair afhankelijk zijn en (a, b) = 1.
Wat is de kern en het beeld van P ? (Vergelijk ook opgave 18 van hoofdstuk I.)
11. Beschouw op de vectorruimte M(n × n, C) van complexe n × n-matrices met inproduct (A, B) =
tr(A∗ B) de afbeelding P (X) = 12 (X ∗ + X). Ga na of P een orthogonale projectie is.
12. De lineaire deelruimte
W van de vectorruimte C2 (met het standaard-inproduct) wordt opgesµ ¶
1
pannen door
. Bepaal een basis van W ⊥ en geef de (standaard)matrix van de orthogonale
−i
projectie op W .
17
13. Bepaal de standaardmatrix van de orthogonale projectie op de volgende lineaire deelruimten W
van V :
a. V = R4 . W =span{(2, 1, 0, 1)T }.
b. V = R4 . W =span{(1, 1, 0, 0)T , (−1, 0, 1, 1)T }.
c. W is het hypervlak x1 + x2 + x4 = 0 in R4 .
 
 
1
i




2
1

 
14. In C4 is W de lineaire deelruimte opgespannen door de vectoren 
 1  en  0 .
0
−i
⊥
a. Bepaal een basis van W .


0
 −2 
⊥
⊥
⊥

b. Laat v = 
 1 . Schrijf v als v = w + w met w ∈ W en w ∈ W .
1


3 6 b
15. Beschouw de matrix Q = 17  6 a −3 .
−2 3 c
a. Bepaal a, b, c zo, dat Q een orthogonale matrix is.
b. Toon aan dat Q de matrix is (t.o.v. de standaardbasis) van een rotatie. Bepaal ook de rotatieas
en de rotatiehoek.
c. Bewijs, zonder te rekenen, dat er precies vier orthogonale matrices P bestaan met P 2 = Q.
16. Zij W het vlak in R3 met vergelijking x1 − x3 = 0. S : R3 → R3 is de (orthogonale) spiegeling in
W.
a. Bepaal een orthonormale basis van W .
b. Bepaal de matrix van S t.o.v. een geschikte orthonormale basis van R3 .
c. Bepaal de matrix van S t.o.v. de standaardbasis van R3 .
17. Zij ` = span{(1, 1, 1)}.
a. Bepaal een orthonormale basis van `⊥ .
R : R3 → R3 is de rotatie om ` met rotatiehoek π. D : R3 → R3 is de draaispiegeling met
draaiingsas ` en draaiingshoek π.
b. Bepaal de matrices van R en D t.o.v. de standaardbasis van R3 .
18
18. A, B zijn twee 3 × 3-rotatiematrices met dezelfde rotatiehoek. Bewijs dat A en B orthogonaal
gelijkvormige matrices zijn (d.w.z. A = U T BU voor zekere orthogonale matrix U ).
µ
19a. De matrix U =
1
2
a −i
b c
¶
is unitair en heeft determinant 1. Bepaal a, b, c.
µ
b. Bepaal a, b ∈ C en c > 0 zodanig dat V = c
i a
−2 b
¶
een unitaire matrix is.
20. Definieer de cyclische verschuivingsafbeelding S : Cn → Cn door S(x1 , x2 , . . . , xn )T = (xn , x1 . . . , xn−1 )T .
a. Bewijs dat S unitair is.
b. Bepaal de eigenwaarden en eigenvectoren van S.
c. Verifieer dat de eigenvectoren van S onderling orthogonaal zijn.
21. Zij V een unitaire vectorruimte met hermites inproduct ( , ). Zij n ∈ V , knk = 1. Voor λ ∈ C is
de lineaire afbeelding Sλ : V → V gegeven door Sλ (x) = x − λ(n, x)n.
a. Bepaal de geadjungeerde Sλ∗ .
b. Bepaal de eigenwaarden en eigenruimten van Sλ . Leg uit dat S2 een (orthogonale) spiegeling
voorstelt.
c. Bewijs dat Sλ unitair is dan en slechts dan als 2 Reλ = |λ2 |.
d. Zij S : R4 → R4 de (loodrechte) spiegeling in het hypervlak

 
  
1
0
1
 1   −1   0 
 
  
V = span{
 −1  ,  2  ,  0 }. Bepaal de standaardmatrix van S. (Gebruik onderdeel (b).)
0
0
1
22. Zij V = C([−1, 1], C) de vectorruimte van complexe continue
R 1 functies op het interval [−1, 1]. Op
V is er een inwendig product gedefinieerd door (f, g) = −1 f (x)g(x)dx. Laat m ∈ V een functie
zijn met waarden op de eenheidscirkel: |m(x)| = 1 voor x ∈ [−1, 1]. Bewijs dat de vermenigvuldigingsafbeelding M : V → V gegeven door (M f )(x) = m(x)f (x) unitair is.
23. Beschouw de afbeelding R : R3 → R3 gegeven door R(x) = x cos θ+(n×x) sin θ+(n, x)n(1−cos θ).
Hierbij is ( , ) het standaard-inproduct en knk = 1.
a. Ga na dat R orthogonaal is.
b. Laat zien dat n een eigenvector is met eigenwaarde 1.
c. Toon aan: als (y, n) = 0 en kyk = 1, dan is (Ry, y) = cos θ.
d. Leg uit dat R een rotatie voorstelt. Wat zijn de draaiingsas en de draaiingshoek?
19
24. Zij R : R3 → R3 een orthogonale afbeelding.
Toon aan dat voor a, b ∈ R3 geldt: R(a × b) = det(R)(R(a) × R(b)). (Aanwijzing: je kunt
gebruiken dat (a × b) · c = det(a, b, c)).
25. Zij V = M(n × n, C) de vectorruimte van complexe n × n-matrices voorzien van het inwendig
product (A, B) = tr(A∗ B). Laat U een vaste unitaire n × n-matrix zijn en definieer de lineaire
afbeelding L : V → V door L(A) = U A.
a. Laat zien dat L een unitaire afbeelding is.
Laat {a1 , . . . , an } een orthonormale basis van eigenvectoren van U zijn in Cn . Definieer de matrices
Aij voor i, j = 1, 2, . . . , n d.m.v.
Aij = (0 . . . 0 aj 0 . . . 0)
waarbij aj in de i-e kolom staat (en de andere kolomvectoren de nulvector zijn).
b. Toon aan dat Aij een eigenvector is van L.
c. Toon aan dat de matrices Aij (i, j = 1, . . . , n) een orthonormale basis van eigenvectoren van L
vormen.
d. Laat χU en χL de karakteristieke polynomen zijn van U resp. L. Leg uit waarom χL (x) = χU (x)n .
26. Zij V een vectorruimte. Een bilineaire vorm B : V × V → R heet gedegenereerd als er een v ∈ V
is, v 6= 0, zodat B(v, w) = 0 voor alle w ∈ V . Een bilineaire vorm B op V heet scheefsymmetrisch
als B(v, w) = B(w, v) voor alle v, w ∈ V . Een bilineaire niet-gedegenereerde scheefsymmetrische
vorm noemen we een symplectische vorm.
a. Zij V een complexe vectorruimte met een hermites inwendig product h , i : V × V → C. Laat zien
dat de bilineaire vorm B : V × V → R gedefinieerd door B(v, w) = Imhv, wi een symplectische
vorm is op V .
In de rest van de opgave is V = Rn .
b. Toon aan dat de bilineaire vorm B : V × V → R symplectisch is dan en slechts dan als B(v, w) =
v T Aw (voor v, w ∈ V ) waarbij A een inverteerbare, antisymmetrische matrix is.
c. Zij B een symplectische vorm op V . Laat zien dat de dimensie n van V even is.
Zij W een lineaire deelruimte. Het symplectische complement is WB⊥ = {w ∈ V : B(v, w) =
0 voor alle v ∈ W }.
d. Laat zien dat WB⊥ een lineaire deelruimte van V is en dat dim(W ) + dim(WB⊥ ) = dim(V ).
Een lineaire deelruimte L ⊂ V heet een Lagrangiaan (of maximaal isotroop) als L = L⊥
B.
e. Laat zien dat voor een Lagrangiaan L ⊂ V geldt dat dim(L) = n/2.
f. Zij B een symplectische vorm op V . Bewijs dat V een Lagrangiaan heeft.
20
V. De duale van een vectorruimte.
1. Zij V een vectorruimte en f ∈ V ∗ , f 6= 0. Laat b ∈ V zodat f (b) = 1 (ga na dat er altijd zo’n b
bestaat). Laat p : V → V gedefinieerd zijn door p(x) = x − f (x)b.
Toon aan dat p een projectie is en bepaal ker(p) en (in het geval dat V eindig-dimensionaal is)
rang(p). (Vergelijk opgave I.18.)
2. Bepaal in de volgende gevallen de getransponeerde afbeelding van T : V → W :
a. V = C([a, b], K), W = K met T (f ) = f (c), c ∈ [a, b].
b. V = W = P (K) (de vectorruimte van polynomen met coëfficiënten in het lichaam K) met T (f ) =
df /dx.
c. V = W = Rn gegeven door T (x) = (x · a)b.
3. Laat V een eindig-dimensionale vectorruimte zijn met basis {a1 , . . . , an }. Laat T : V → V een
inverteerbaar endomorfisme zijn en laat bi = T (ai ) voor i = 1, . . . , n. De duale bases in V ∗ geven
we aan met {a1 , . . . , an }, resp. {b1 , . . . , bn }.
Bewijs dat T 0 (bi ) = ai voor i = 1, . . . , n.
4. Laat V een vectorruimte over het lichaam K zijn en f ∈ V ∗ . Bewijs dat voor de getransponeerde
geldt: f 0 (k) = k · f voor k ∈ K. Hierbij staat k ∈ K 0 voor k · idK .
5. Laat U, V, W vectorruimten over K en laat S : W → U en T, R : V → W lineaire afbeeldingen zijn.
Toon aan dat (ST )0 = T 0 S 0 , (T + R)0 = T 0 + R0 en als T inverteerbaar is, dan is T 0 inverteerbaar
en (T −1 )0 = (T 0 )−1 .
6. Zij V = Pn (K) de vectorruimte van polynomen (met coëfficiënten in K) van graad hoogstens n.
Laat x0 , . . . , xn ∈ K.
a. Ga na dat de afbeeldingen fj : V → K gegeven door fj (P ) = P (xj ) (j = 0, 1, . . . , n) in V ∗ liggen.
b. Bewijs dat het stelsel {f0 , f1 , . . . , fn } een basis van V ∗ vormt.
c. Bepaal een stelsel polynomen {L0 , . . . , Ln } ∈ V dat duaal is met {f0 , . . . , fn } (m.a.w. fi (Lj ) = δij ;
de Li ’s heten de Lagrange-polynomen behorend bij x0 , . . . , xn .)
7. Zij V een vectorruimte en W een lineaire deelruimte van V . De deelverzameling W ⊥ = {f ∈ V ∗ :
f (w) = 0 ∀w ∈ W } van V ∗ heet de annihilator van W .
a. Bewijs dat W ⊥ een lineaire deelruimte van V ∗ is.
Zij ( , ) een inwendig product op V . Het orthogonaal complement W ⊥ = {u ∈ V : (u, w) = 0 ∀w ∈
W } is een lineaire deelruimte van V .
21
b. Bewijs dat voor w ∈ V geldt: w zit in het orthogonaal complement W ⊥ van W dan en slechts dan
als iw in de annihilator van W zit.
8. Laat V = P (K) zijn. Laat fj ∈ V ∗ gedefinieerd zijn door fj (X i ) = δij voor i, j = 0, 1, 2, . . ..
a. Bewijs dat de fj ’s een lineair onafhankelijk stelsel vormen.
Laat g : V → K gegeven zijn door g(p) = p(1).
b. Bewijs dat g ∈ V ∗ en dat g lineair onafhankelijk van f0 , f1 , . . . is.
c. Geef een basis van ker(g).
d. Toon aan dat (ker(g))⊥ = span{g}.
e. Ga na dat im(g 0 ) = span{g}.
f. Bepaal ker(g 0 ).
9. In deze opgave bestuderen we een vectorruimte-isomorfisme tussen V ⊗W , resp V ∗ ⊗W en L(V, W ).
We nemen V = C2 , W = Cn .
a. Laat zien dat elke T ∈ L(V, W ) een lineaire combinatie van de afbeeldingen Tij is waarbij Tij (ek ) =
δik ej ({e1 , e2 }, resp. {e01 , . . . , e0n } is de standaardbasis in V resp. W ).
b. Beschouw de lineaire afbeelding φ : V ⊗ W → L(V, W ) gedefinieerd door φ(ei ⊗ e0j ) = Tij . Ga na
dat φ een vectorruimte-isomorfisme is.
c. Beschouw nu de basis {a1 = e1 + e2 , a2 = e1 − e2 } van V . Dan is T11 = φ(a1 ⊗ e01 ) + φ(a2 ⊗ e01 ).
Ga na dat niet geldt: φ(ai ⊗ e0j )(ak ) = δik e0j .
d. Laat {e1 , e2 }, resp. {a1 , a2 } de duale basis van {e1 , e2 }, resp. {a1 , a2 } in V ∗ zijn. Druk a1 , a2 uit
in e1 , e2 .
e. Definieer het vectorruimte-isomorfisme ψ : V ∗ ⊗ W → L(V, W ) door ψ(ei ⊗ e0j ) = Tij . Ga na dat
nu (wel) geldt ψ(ai ⊗ e0j )(ak ) = δik e0j .
22
VI. Genormeerde vectorruimten.
1. Bepaal van de volgende matrices de norm:
µ
A=
2
0
0
−3
¶
µ
,
B=
0
i
−1
0
¶
µ
,
C=
1 i
0 1
¶

0 1

D= 0 0
0 0

0
1.
0
2a. Zij V = C([a, b], K) de vectorruimte van continue K-waardige functies op [a, b] ⊂ R (a < b). Laat
zien dat V met de sup-norm kf k = maxx∈[a,b] |f (x)| een genormeerde vectorruimte is.
b. Beantwoord dezelfde vraag voor V = `1 (K), de verzameling rijtjes x = (x1 , x2 , . . .) met xi ∈ K en
∞
X
P∞
zodanig dat i=1 |xi | convergeert en met norm kxk =
|xn |.
n=1
3. Zij V een (eindig-dimensionale) complexe vectorruimte met inwendig product ( , ) en T : V → V
een lineaire afbeelding.
a. Toon aan dat voor de Euclidische norm geldt: kT k = maxkxk=kyk=1 |(T (x), y)| (waarbij x, y ∈ V ).
b. Toon aan, m.b.v. (a), dat kT ∗ k = kT k.
c. Zij U : V → V unitair. Bewijs dat kU −1 T U k = kT k.
d. Geldt kS −1 T Sk = kT k ook voor een willekeurige inverteerbare afbeelding S : V → V ?
e. P : V → V is een orthogonale projectie op een lineaire deelruimte W . Neem aan dat W niet de
nulruimte is. Bewijs dat kP k = 1.
4. Zij A een willekeurige n × n-matrix. Bewijs dat
lim kAn k1/n = max{|a| : a is een eigenwaarde van A}.
n→∞
5. Toon aan dat I + A + A2 + A3 + . . . convergeert als kAk < 1 en dat de som gelijk is aan (I − A)−1 .
6. Bepaal in de volgende gevallen zo mogelijk eA , cos(A), sin(A), log(A):
a. A = diag(λ1 , λ2 , . . . , λn ).
µ
¶
0 1
b. A =
.
1 0
µ
¶
λ 1
c. A =
voor λ ∈ C.
0 λ
µ
¶
0 −i
d. A =
.
i 0
23
µ
e. A =
2
1
¶
−1
.
0
¡ ¢T
¡ ¢−1
T
7a. Bewijs: eA = eA en eA
= e−A .
b. Bewijs dat voor A, B n × n-matrices, B inverteerbaar: B −1 eA B = eB
−1
AB
.
8a. Zij N een nilpotente matrix. Bewijs dat 1 de enige eigenwaarde van eN is.
b. Toon aan: de eigenwaarden van de matrix eA zijn van de vorm ea waarbij a een eigenwaarde van
A is.
¶
¶
µ
0 −1
cos θ − sin θ
θJ
9. Laat J de matrix
zijn. Laat zien dat e =
.
sin θ cos θ
1 0
(Gevolg: elke matrix in SO(2) is te schrijven in de vorm eL met LT = −L.)
µ
10. In deze opgave tonen we aan dat elke matrix in SO(3) van de vorm eL is met L een antisymmetrische
matrix.


cos θ − sin θ 0
a. Rz (θ) =  sin θ
cos θ 0  is de standaardmatrix van rotatie om de z-as in R3 . Laat zien dat
0
0
1
Rz (θ) = eθJ en bepaal J.
b. Zij A ∈ SO(3). Dan is A de standaardmatix van rotatie om een as ` door de oorsprong. Toon
aan dat er een orthogonale matrix B bestaat zodanig dat A = B −1 Rz (θ)B voor zekere θ ∈ R.
(vergelijk ook opgave IV.16).
c. Gebruik nu opgave V.7 om aan te tonen dat A = eL met LT = −L.
11. In de volgende opgave is A steeds een n × n-matrix.
a. Geef een voorbeeld van een reële matrix A zodanig dat eA = I en A 6= O.
b. Toon aan: det(exp(A)) = exp(tr(A)).
c. Bewijs dat exp(A) orthogonaal (resp. unitair) is als A antisymmetrisch (resp. antihermites, d.w.z.
A∗ = −A) is. Geldt het omgekeerde ook?
d. Is elke reële orthogonale matrix te schrijven in de vorm exp(A) met A een reële matrix?
12a. Ga na dat elke spoorloze hermitese
µ 2×2-matrix
¶
µeen reële¶lineaire combinatie
µ
¶σ·a = a1 σ1 +a2 σ2 +a3 σ3
0 1
0 −i
1 0
is van de Pauli-matrices σ1 =
, σ2 =
en σ3 =
.
1 0
i 0
0 −1
b. We schrijven a = αn waarbij α > 0 en knk = 1. Ga na dat de matrix σ · a te schrijven is in de
24
µ
vorm α
cos θ
sin θeiφ
¶
sin θe−iφ
.
− cos θ
c. Bepaal de eigenwaarden en de eigenvectoren van σ · a (geef een uitdrukking in termen van α, θ en
φ).
d. Toon aan dat eiσ·a = I cos α + i(σ · n) sin α en ga na dat elke matrix U ∈ SU (2) te schrijven is in
de vorm U = eiσ·a voor a ∈ R3 .
13. Beschouw voor t ∈ R de matrixwaardige functie A(t) = (In − tB)−1 voor zekere n × n-matrix B.
Bepaal A0 (t).
14. Laat a, b reële getallen zijn met a < b. Zij A(t) een op [a, b] differentieerbare (n × n–)matrixfunctie.
a. Neem aan dat A(t) orthogonaal (resp. unitair) is. Bewijs dat AT (t)
antihermites) is.
b. Bewijs dat
dA
(t) antisymmetrisch (resp.
dt
d
dA
det(A(t)) = tr(
)(t).
dt
dt
15. Los de volgende stelsels differentiaalvergelijkingen op:
½ 0
x (t) = 2y(t)
.
a.
y 0 (t) = 2x(t)
½ 0
x (t) = −3x(t) + 4y(t)
.
b.
y 0 (t) = −x(t) + y(t)
16. Voor A ∈ M(n × n, K) is de lineaire afbeelding ad:M(n × n, K) → L(M(n × n, K)) gedefinieerd
als ad(A)(B) = [A, B]. We gaan aantonen dat eA Be−A = ead(A) B.
a. Toon aan dat
dn
d tA −tA
e Be
= etA [A, B]e−tA en dat n etA Be−tA = etA (ad(A))n Be−tA voor t ∈ R.
dt
dt
b. Laat zien m.b.v. (a) dat
etA Be−tA = et·
ad(A)
B.
17. Zij V een eindig-dimensionale complexe vectorruimte met inproduct ( , ) en T : V → V een lineaire
afbeelding. A is de matrix TBB van T t.o.v. een orthonormale basis B van V . Bewijs dat kT k = kAk
waarbij de norm de afbeeldings-, resp. matrixnorm is, geı̈nduceerd door de vectornorm afkomstig
van het inproduct op V (m.a.w. kT k = maxkxk=1 kT xk en analoog voor A).
25
VII. Normale afbeeldingen.
1. Beschouw de lineaire afbeelding T : Cn → Cn gegeven door T (x) = (a, x)b waarbij a, b ∈ Cn met
a, b 6= 0. ( , ) is het standaard-hermitese inproduct op Cn .
a. Bepaal de eigenwaarden en de bijbehorende eigenruimten van T .
b. Laat zien dat T diagonalizeerbaar is dan en slechts dan als (a, b) 6= 0.
c. Bewijs dat T normaal is dan en slechts dan als a en b lineair afhankelijk zijn.
2. Bewijs dat de afbeeldingen Sλ van opgave IV.19 voor alle λ ∈ C normaal zijn.
3. Laat V een tweedimensionale unitaire vectorruimte zijn met hermites inproduct ( , ). Beschouw de
afbeelding T : V → V gedefinieerd door T (x) = (a, x)b + (b, x)a waarbij a, b ∈ V gegeven vectoren
zijn.
a. Toon aan dat T een hermitese afbeelding is.
b. Laat nu {a, b} een orthonormaal stelsel in V zijn. Bepaal de eigenwaarden en een orthonormale
basis van eigenvectoren van T .
c. Beantwoord vraag b voor het geval dat dim(V ) = n > 2.
4. Bewijs dat voor een normale matrix A geldt: kAk = max{|a| : a is een eigenwaarde van A}.
5. Bepaal alle normale, nilpotente n × n-matrices.
6. Zij V een eindig-dimensionale unitaire vectorruimte. Bewijs dat elke normale projectie een orthogonale projectie is (een normale projectie is een projectie die tegelijkertijd een normale afbeelding
is).
7a. Bepaal m.b.v. de spectraaldecompositie voor symmetrische matrices een symmetrische 3×3–matrix
 
1
A zodanig dat de eigenwaarden van A gelijk zijn aan 1 (met multipliciteit 2) resp. −1 en  0 
1
een eigenvector met eigenwaarde -1 is.
b. Geef een uitdrukking voor An voor n geheel.
8. Zij A een (reële) antisymmetrische n × n-matrix.
a. Toon aan dat alle eigenwaarden van A van de vorm ia met a reëel zijn.
b. Bewijs dat A een eigenwaarde 0 heeft als n oneven is.
26
9. Beschouw de kwadratische vorm q(x) = 2x1 x2 + 2x1 x3 + x22 − 2x2 x3 + x23 .
a. Schrijf q(x) in de vorm xT Ax met A = AT .
b. Diagonalizeer q(x) en bepaal de signatuur van q.
c. Bepaal de spectraaldecompositie van de matrix A.
d. Welke waarden neemt q(x) aan op de bol kxk = 1 in R3 ?
10. Zij V een complexe vectorruimte met hermites inproduct ( , ). Zij verder {u1 , . . . , un } een orthonormale basis van V .
Bewijs de identiteit van Parseval
(x, x) = |(u1 , x)|2 + . . . + |(un , x)|2 .
11. Zij T : V → V een lineair endomorfisme van een eindig-dimensionale complexe vectorruimte V met
hermites inproduct.
Toon aan dat T unitair is dan en slechts dan als T normaal is en alle eigenwaarden van T modulus
1 hebben.
12. Zij T ∈ L(V ).
a. Laat zien dat T = T1 + iT2 met T1 , T2 : V → V hermites.
b. Ga na dat T normaal is dan en slechts dan als T1 T2 = T2 T1 .
c. Leg uit aan de hand van Propositie 3.10 hoe de spectraaldecompositie voor compacte operatoren
volgt uit de spectraaldecompositie van hermitese operatoren.
27
VIII. Positief-definiete matrices.
1. A en B zijn positief-definiete n × n-matrices.
a. Is A + B positief definiet?
b. Bewijs dat A inverteerbaar is. Is A−1 positief definiet?
c. Zij C een reële symmetrische matrix. Toon aan dat C 2 positief-semidefiniet is.
2a. Zij A een positief-definiete n × n-matrix. Bewijs dat er minstens 2n normale matrices B bestaan
zodanig dat B 2 = A. Hoeveel hiervan zijn positief-definiet?
b. Bestaat er een niet-normale matrix C zodanig dat C 2 = A?
√
c. Wat kun je concluderen t.a.v. de uniciteit van A?
√
3. Bereken zo mogelijk A:
µ
¶
2
1+i
a. A =
.
1−i
3
b. Voor elk van de matrices in opgave V.6 (geef in de voorkomende gevallen aan voor welke λ resp.
λi de wortel bestaat).
4. Toon aan dat de matrix

2
 −1

 0

 0
0
−1
2
−1
0
0
0
−1
2
−1
0
0
0
−1
2
−1

0
0 

0 

−1 
2
positief definiet is.
5a. Bepaal a, b, c zodanig dat de volgende vorm een hermitese vorm is en schrijf de vorm als x∗ Ay met
A een hermitese matrix:
hx, yi = 2x̄1 y1 + bx̄1 y2 + ix̄1 y3 − 2x̄2 y1 + 4x̄2 y2 + cx̄3 y1 + ax̄3 y3 .
b. Voor welke a, b, c is de bovenstaande vorm een inwendig product?
6. Zij F : Rn → R een kwadratische vorm en {b1 , . . . , bn } een basis van Rn zodat F (bi , bi ) > 0 voor
i = 1, . . . , n. Is F positief definiet?
7. Laten A en B positief-definiete n × n-matrices zijn. Toon aan dat alle eigenwaarden van AB
positieve reële getallen zijn.
28
8. Laat A een hermitese (reële of complexe) n × n-matrix zijn en B een positief-definiete n × n-matrix.
Beschouw het gegeneraliseerde eigenwaardeprobleem Ax = λBx. Als het eigenwaardenprobleem
voor zekere λ een oplossing x 6= 0 heeft, dan heet λ een eigenwaarde van A t.o.v. B; x noemen we
een eigenvector.
a. Toon aan dat alle eigenwaarden reëel zijn.
b. Bewijs dat er een basis van eigenvectoren bestaat die orthonormaal is t.a.v. het inproduct hx, yi =
x∗ By in K n .
9. (Hessiaan) Het punt O(0, 0, 0, 0) is een stationair punt van de functie f : R4 → R gegeven door
f (x, y, z, w) = 2 + x2 + 2y 2 + 3z 2 + w2 + 2xy − 2xz + 2wz + 2ayw + w3 + y 3 + z 3 + w3 .
Ga na voor welke a ∈ R de functie f in O een (lokaal) maximum, een minimum dan wel een
zadelpunt heeft.
10a. Gebruik de QR-decompositie van een matrix om de ongelijkheid van Hadamard te bewijzen.
b. Laat zien dat in het geval van een inverteerbare matrix de ongelijkheid van Hadamard een gelijkheid
is dan en slechts dan de kolomvectoren van de matrix orthogonaal zijn.
√
√
11. Laat Z een willekeurige n × n-matrix zijn en R = ZZ ∗ , S = Z ∗ Z. Bewijs dat R en S dezelfde
eigenwaarden hebben met dezelfde multipliciteiten. (De eigenwaarden van R, resp. S zijn de
singuliere waarden van Z.)
12. Bepaal
µ
¶van de volgendeµmatrices¶de singuliere-waardendecompositie:
1 1
−2 0
i.
.
ii.
.
0 0
0 0
µ
¶
µ
¶
0 −2
1 −1
iii.
.
iv.
.
−3 0
1 1
µ ¶
3
v.
.
vi. ( 3 4 ).
4


µ
¶
1 0
1
1
1
viii.
.
vii.  0 1 .
1 1 1
−2 2
13. Bepaal van de volgende matrices de polaire decomposities SO en OS 0 met O unitair en S, S 0 positief
definiet:
µ
¶
µ
¶
1 1
1 −1
i.
.
ii.
.
0 0
1 1


µ
¶
4
2 −3
2i 0
iii. A √
.
iv.  −2 2
6 .
7 3
4 −1 6
29
Z
r
∞
14. (Gaussische integralen) Zoals bekend is
e
−ax2
dx =
−∞
π
voor a > 0.
a
a. Bewijs de volgende generalizatie in Rn :
Z
e
−
Pn Pn
i=1
j=1
Rn
aij xi xj
r
Z
dx1 . . . dxn =:
e
−xT Ax n
d x=
Rn
πn
det(A)
waarbij A de symmetrische matrix (aij ) is voor A positief definiet. Ga ook na dat de integraal
alleen convergeert als A positief definiet is.
b. Bewijs dat voor A reëel en positief definiet en b ∈ Rn
r
Z
e
−xT Ax+bT x n
d x=
Rn
30
1 T −1
πn
· e 4 b A b.
det(A)
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2
maandag 9 januari 2006, 10.00-13.00
Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven.
 
1
1. Beschouw de vectorruimte V = R3 met de lineaire deelruimten U = span{ 0 } en
1
 
x1
W = {x =  x2  ∈ R3 : x1 + x3 = 0}.
x3
a. Leg uit dat V = U ⊕ W . (4 pt)
Zij πU : V → V de projectie op U langs W .
b. Wat is de rang van πU ? (2 pt)
c. Bepaal de matrix van πU t.o.v. de standaardbasis in V = R3 . (6 pt)

0
0

2. B is de permutatiematrix 
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0

1
0

0
.
0
0
a. Toon aan dat het karakteristieke polynoom van B gelijk is aan −(X 2 − 1)(X 3 − 1). (3 pt)
B heet diagonaliseerbaar over K (K = R of C) als er een diagonaalmatrix D en een inverteerbare
matrix U bestaan met elementen in K zo, dat B = U DU −1 .
b. Is B diagonaliseerbaar over C? (6 pt)
c. Is B diagonaliseerbaar over R? (3 pt)
µ
3. Beschouw de kwadratische vorm q(x) =
2x21
− 12x1 x2 −
7x22
2
op R , x =
¶
x1
.
x2
a. Bepaal een symmetrische matrix A zodanig dat q(x) = xT Ax. (2 pt)
µ
b. Bepaal een orthogonale matrix U en reële getallen d1 , d2 zo, dat q(x) =
µ ¶
x1
. (6 pt)
x2
c. Is de kwadratische vorm positief (semi-)definiet? (2 pt)
31
d1 y12
+ d2 y22
en U
y1
y2
¶
=
4a. Bepaal een matrix A met karakteristiek polynoom −X 5 + X 4 en minimumpolynoom X 4 − X 3 . (5
pt)
b. Bestaat er een matrix B met hetzelfde karakteristieke polynoom en hetzelfde minimumpolynoom
als de matrix A in (a) terwijl B niet gelijkvormig is met A? (4 pt)
µ ¶
i
5. S : C → C is een lineaire afbeelding met eigenwaarden 2 en -1 en bijbehorende eigenvectoren
1
µ ¶
1
resp.
. (Op C2 is het standaard-hermites inproduct op de gebruikelijke wijze gedefinieerd.)
i
2
2
a. Leg uit dat uit de gegevens volgt dat S een normale afbeelding is. (4 pt)
b. Bepaal de matrix van S t.o.v. de standaardbasis in C2 . (5 pt)
c. Bepaal de Euclidische norm kSk van S. (2 pt)
d. Bereken de standaardmatrix van eS . (4 pt)
0
(Als het
is het antwoord van (b) te bepalen, dan mag i.p.v. (d) de matrix eS met
µ niet gelukt
¶
−2 6i
S0 =
worden uitgerekend. Merk op dat S 0 niet de standaardmatrix van S is!)
−6i 7
6. V is een complexe vectorruimte met hermites inproduct ( , ). De dimensie van V is gelijk aan
3. {a, b} is een orthonormaal stelsel in V . Verder is de afbeelding T : V → V gegeven door
T (x) = i(a, x)b − i(b, x)a.
a. Toon aan dat T een lineaire afbeelding is. (3 pt)
b. Bewijs dat T een hermitese (of zelfgeadjungeerde) afbeelding is. (5 pt)
c. Bewijs dat T 2 een orthogonale projectie is op span{a, b}. (4 pt)
d. Is T zelf ook een orthogonale projectie? (2 pt)
32
Antwoorden bij het tentamen van 9-1-06.
1a. Omdat U ∩ W = {0} (nagaan!) is de som U + W gelijk aan de directe som U ⊕ W . Verder
is dim(U ⊕ W ) = dim(U ) + dim(W ) = 3, dus is U ⊕ W = V (een lineaire deelruimte van een
eindig-dimensionale vectorruimte V met dimensie gelijk aan dim(V ), is gelijk aan V ).
b. De rang van πU is de dimensie van het bereik im(πU ), dus rang(πU ) = dim(U ) = 1.
c. Noem de matrix P . Dan is
  

   
   
0
1
0
0
1
1
P 0 = 0, P 1 = 0, P  0  = 0
0
−1
0
0
1
1

1 0
dus P =  0 0
1 0

1 0
0
00 1
0
1 0
−1 
1
1/2 0
0  = 0 0
1/2 0
−1

1/2
0 .
1/2
2a. Doen.
b. B = U DU −1 betekent BU = U D dus Bui = di ui met ui de i-e kolomvector van U en di = Dii .
Dus B diagonaliseerbaar over K dan en slechts dan als B een basis van eigenvectoren in K n heeft
(waarbij de eigenwaarden in K liggen).
Methode 1: B is unitair dus B heeft een (orthonormale) basis van eigenvectoren in Cn ; B is dus
diagonaliseerbaar over C.
√
Methode 2: Het √
karakteristieke polynoom van B heeft nulpunten 1, −1, −1/2 ± (i/2) 3. De e.w.
−1, −1/2 ± (i/2) 3 hebben alle algebraı̈sche en dus meetkundige multipliciteit 1, de e.w. 1 heeft
alg.mult. 2 en B is diagonaliseerbaar precies dan indien de meetkundige multipliciteit ook 2 is,


−1 0
0
0
1
 0 −1 0
1
0 



m.a.w. als de nulruimte/kern van B − I =  1
0 −1 0
0 
 dimensie 2 heeft (m.a.w.
 0
1
0 −1 0 
0
0
1
0 −1
indien rang(B − I) = 3). Dit is inderdaad het geval (de som van de 1e, 3e en 5e rij is de nulrij en
de som van de 2e en 4e rij ook).
√
c. Omdat B ook niet-reële eigenwaarden heeft (nl. 1/2 ± (i/2) 3) kan B nooit een basis van eigenvectoren in R5 hebben. B is dus niet diagonaliseerbaar over R.
µ
3a. A =
2
−6
¶
−6
.
−7
µ
b. A heeft eigenwaarden 5 en -10 met eigenvectoren
33
2
−1
¶
µ ¶
1
resp.
. Dus is A = U DU T met
2
µ
¶
µ
¶
5
0
2 1
en U = √15
een orthogonale matrix van eigenvectoren. q(x) = xT Ax =
0 −10
−1 2
xT U DU T x = yT Dy = 5y12 − 10y22 en U T x = y dus y = U x.
D=
c. De symmetrische matrix A is positief (semi-)definiet als A louter positieve (resp. niet-negatieve)
eigenwaarden heeft. A heeft echter zowel een positieve als een negatieve eigenwaarde, dus is indefiniet.
4a. A moet een 5 × 5-matrix zijn. De eigenwaarden zijn 0 met alg.multipliciteit 4 en 1 met alg.
multipliciteit 1. Omdat in het minimumpolynoom X 3 (X − 1) de factor X drie keer voorkomt, is de
grootte van het grootste Jordanblok bij de e.w. 0 gelijk aan 3. Een matrix met deze eigenschappen


0 1 0 0 0
0 0 1 0 0



is de Jordan-normaalvorm 
 0 0 0 0 0 .
0 0 0 0 0
0 0 0 0 1
b. De JNV van de matrix heeft volgens (a) 1 Jordanblok bij e.w. 0 van grootte 3 en heeft dus nog
een Jordanblok bij e.w. 0 van grootte 1; er is een Jordanblok bij e.w. 1 van grootte 1. De Jordannormaalvorm is dus uniek (op permutatie van de blokken na). Daar twee matrices gelijkvormig
zijn precies dan indien zij dezelfde JNV hebben, bestaat er niet zo’n matrix B.
µ ¶ µ ¶
i
1
5. De eigenvectoren zijn t.o.v. het standaard hermites inproduct orthogonaal:
·
= −i · 1 +
1
i
1 · i = 0. S heeft dus een orthogonale basis van eigenvectoren en is dus een normale afbeelding.
∗
∗
b. Gebruik de spectraaldecompositie:
µ ¶
µ (we
¶ schrijven S voor de standaardmatrix): Sµ= 2u1¶u1 − u2 u2
i
1
i 1
met u1 = √12
en u2 = √12
(of S = U DU ∗ met U = (u1 u2 ) = √12
en D =
1
i
1 i
µ ¶
µ ¶
µ
¶
µ
¶
i
1
1
3i
2 0
( −i 1 ) − 12
( 1 −i ) = 21
.
). Uitwerken geeft S = 22
1
i
−3i 1
0 −1
c. Omdat S normaal is, is kSk gelijk aan het maximum van de moduli van de eigenwaarden, dus
kSk = 2.
µ 2
¶
e
0
d. eS = e2 u1 u∗1 + e−1 u2 u∗2 of eS = U eD U ∗ met eD =
. Uitwerken geeft
0 e−1
¶
µ ¶
µ ¶
µ 2
e2 i
e−1 1
1
e + e−1
ie2 − ie−1
S
e =
.
( −i 1 ) +
( 1 −i ) =
i
2 1
2
2 −ie2 + ie−1 e2 + e−1
µ
¶
µ
¶
1
−2i
d.’ De matrix S is hermites en heeft eigenwaarden 10 en -5 met eigenvectoren
resp.
.
−2i
1
µ
¶
µ
¶
1
−2i
10 0
en D =
De norm van S 0 is dus 10 en S 0 = U DU ∗ met U = √15
. Dan is
−2i
1
0 −5
µ
¶
0
e10 + 4e−5
2ie10 − 2ie−5
.
eS = U eD U ∗ = 15
−2ie10 + 2ie−5
4e10 + e−5
0
34
6a. We gebruiken dat het inproduct lineair is in de tweede component: T (x + y) = i(a, x + y)b − i(b, x +
y)a = i(a, x)b + i(a, y)b − i(b, x)a − i(b, y)a = T (x) + T (y) en T (λx) = i(a, λx)b − i(b, λx)a =
iλ(a, x)b − iλ(b, x)a = λT (x) voor λ ∈ C en x, y ∈ V .
b. Methode 1: (T (x), y) = (i(a, x)b−i(b, x)a, y) = −i(x, a)(b, y)+i(x, b)(a, y) wegens antilineariteit van
de eerste component en (x, a) = (a, x). (x, T (y)) = (x, i(a, y)b−i(b, y)a) = i(a, y)(x, b)−i((b, y)(x, a)
wegens lineariteit van de tweede component. We zien dat (T (x), y) = (x, T (y)) voor x, y ∈ V en
dus is T hermites.
Methode 2: Vul {a, b} aan tot een orthonormale basis {a, 
b, c} van V . 
Daar T (a) = ib, T (b) = −ia
0 −i 0
en T (c) = 0 is de matrix van T t.o.v. deze basis AT =  i 0 0  en daar A∗T = AT is ook
0 0 0
T = T ∗ (deze conclusie gaat alleen op als AT de matrix is t.o.v. een orthonormale basis!).
c. Uit T (a) = ib, T (b) = −ia volgt dat T 2 (a) = a en T 2 (b) = b en verder is T 2 (x) = T (x) = 0 als
(x, a) = (x, b) = 0. Dus is T 4 = (T 2 )2 = T 2 en T 2 is net als T hermites. T 2 is dus een orthogonale
projectie op im(T )=span{a, b}.
d. Daar T 2 6= T is T geen (orthogonale) projectie.
35
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2
dinsdag 28 maart 2006, 10.00-13.00
Bij elke vraag dient een berekening of motivering worden opgeschreven.


 
 
 
1
1
0
1








0
2
1

 
 
0
1. In V = R4 zijn gegeven de vectoren u = 
 −1 , v =  0 , w =  1 , z =  1 . V is
0
0
1
0
voorzien van het standaard-inproduct. Verder zijn gegeven de lineaire deelruimten U = span{u},
W = span{v, w} en Z = span{z}.
a. Leg uit dat V = U ⊕ W ⊕ Z. (6 pt)
πU : V → V is de projectie op de component U in de directe som.
b. Is πU de orthogonale projectie op U ? (Motiveer je antwoord). (3 pt)
c. Bepaal de matrix van πU t.o.v. de standaardbasis in R4 . (7 pt)

2
0
2. Beschouw de matrices A = 
1
0
0
2
1
0
0
2
2
2


0
2 0 0


0 
1 2 1
en B = 
0 0 2
−1 
2
0 0 0

−2
0 
.
2 
2
a. Bepaal een Jordan-normaalvorm van A en bepaal het minimumpolynoom van A. (10 pt)
b. Ga na of A en B gelijkvormige matrices zijn. (6 pt)
3. V is de verzameling van complexe 3 × 3-matrices. T.o.v. de matrixoptelling en scalaire vermenigvuldiging krijgt V de structuur van een complexe vectorruimte. U is de deelverzameling
van symmetrische 3 × 3-matrices (dus X = X T voor X ∈ U ) en W is de deelverzameling van de
antisymmetrische matrices.
a. Ga na dat U en W lineaire deelruimten van V zijn en bepaal de dimensies. (6 pt)
b. Bewijs dat (X, Y ) = tr(X ∗ Y ) een (hermites) inproduct op V is. Hierbij is tr het spoor en X ∗ de
hermites geadjungeerde van X. (7 pt)
c. Bewijs dat U = W ⊥ t.a.v. het in (b) gegeven inproduct. (7 pt)
d. T : V → V is de lineaire afbeelding die een matrix X afbeeldt op T (X) = X − X T . Beredeneer waarom T een normale afbeelding is en bepaal de norm kT k (hierbij is k k de (Euclidische)
afbeeldingsnorm die wordt geı̈nduceerd door het inproduct). (8 pt)
36
µ
4. Beschouw de kwadratische vorm q(x) = 3x21 − 2x1 x2 + 3x22 op R2 , x =
¶
x1
.
x2
a. Bepaal een symmetrische matrix A zodanig dat q(x) = xT Ax. (2 pt)
b. Bepaal een orthogonale matrix U en reële getallen
µ dat
¶ de kwadratische vorm in diagoµ d1¶, d2 zo,
y
x
1
1
=
. (8 pt)
naalvorm staat, m.a.w. q(x) = d1 y12 + d2 y22 en U
y2
x2
c. Welke waarden neemt q(x) aan op de eenheidscirkel x21 + x22 = 1? (4 pt)
5. V is een driedimensionale complexe vectorruimte met inwendig product ( , ). {a, b, c} is een
orthonormale basis in V . De afbeelding T : V → V is gegeven door
T (x) = (a, x)b + (b, x)c + (c, x)a.
a. Bepaal de hermites geadjungeerde T ∗ van T . (5 pt)
b. Bewijs dat T unitair is. (5 pt)
c. Bepaal de eigenwaarden van T . (6 pt)
6. A is een inverteerbare complexe n × n-matrix.
a. Laat zien dat A∗ A positief definiet is. (3 pt)
b. Bewijs dat A∗ A louter positieve reële eigenwaarden heeft (zonder het feit te gebruiken dat een
positief-definiete matrix louter positieve eigenwaarden heeft). (4 pt)
37
Antwoorden bij het tentamen van 28-3-06.
1. Ga na dat de vier vectoren lineair onafhankelijk zijn. Dus is de som U + W + Z een directe som (nl.
anders zou er een niet-triviale lineaire combinatie van de vectoren u, v, w, z zijn die nul oplevert).
De som van de dimensies is verder 4, dus de directe som is een lineaire deelruimte met dimensie 4
en is dus gelijk aan V .
b. πU is niet de orthogonale projectie omdat U ⊥ 6= W ⊕ Z (immers v · u 6= 0).
c. Vanwege (b) kunnen we niet de formule voor orthogonale projectie gebruiken. We bepalen de
beelden van de standaardbasisvectoren rechtstreeks (of gebruik basistransformatiematrices, maar
dat is hier omslachtiger). Noem de matrix P . Dan is P (u) = u en P (v) = P (w) = P(z) = 0.
Door handige lineaire combinaties te nemen (zoals u + z, u − z) vinden en te bedenken dat de i-e


1/2 −1/4 −1/2 3/4
 0
0
0
0 
.
kolom van P gelijk is aan P ei vinden we P = 
 −1/2 1/4
1/2 −3/4 
0
0
0
0

0 0 0 0
0 0 2 0 

2. Beide matrices hebben karakteristiek polynoom (X − 2)4 . A − 2I = 
 1 1 0 −1  en
0 0 2 0


0 0 0 −2
1 0 1 0 

B − 2I = 
 0 0 0 2  hebben beide rang 2, dus de e.w. 2 heeft meetkundige multipliciteit
0 0 0 0
2 en algebraı̈sche mult. 4. Er zijn in beide gevallen 2 Jordanblokken bij e.w. 2. Verder heeft
(A − 2I)2 rang 1, dus er is één Jordanblok bij A van afmeting minstens 2. De JNV van A is dus


2 1 0 0
0 2 1 0
3


 0 0 2 0  en het minimumpolynoom is (X − 2) omdat het grootste Jordanblok bij e.w. 2
0 0 0 2
afmeting 3 heeft. Daarentegen is (B − 2I)2 = O dus B heeft twee Jordanblokken van afmeting 2


2 1 0 0
0 2 0 0

(en dus JNV 
 0 0 2 1 ). A en B zijn dus niet gelijkvormig.
0 0 0 2

3a. Ga na dat als X, Y symmetrisch, resp antisymmetrisch zijn dan zijn X + Y en aX (voor a ∈ C)
symmetrisch resp. antisymmetrisch. Verder is dim(U ) = 6 en dim(W ) = 3 net als voor reële
matrices. Immers als (uij ) symmetrisch is, dan is uij = uji en er zijn 6 onafhankelijke keuzen voor
uij . Als (wij ) antisymmetrisch is, dan is wii = 0 en wij = −wji dus er zijn maar 3 onafhankelijke
keuzen w12 , w13 , w23 .
P3
b. Er geldt dat tr(X ∗ Y ) = i,j=1 xij yij . Dit is het standaard(-hermites) inproduct op C9 (met een
geschikte hernummering van de indices).
38
c. Als X symmetrisch en Y antisymmetrisch, dan is xij = xji en yij = −yji dus
3
X
i,j=1
xij yij =
3
X
xji yji = −
i,j=1
3
X
xij yij ,
i,j=1
m.a.w. als X ∈ U en Y ∈ W dan is (X, Y ) = −(X, Y ) dus (X, Y ) = 0. Dus geldt W ⊂ U ⊥ . Omdat
anderzijds dim(U ⊥ ) = 9 − dim(U ) = 3 = dim(W ) geldt W = U ⊥ .
d. Als X ∈ U dan is T (X) = 0 en als X ∈ W dan is T (X) = 2X. Omdat V = U ⊕ W , is U
de eigenruimte van T bij eigenwaarde 0 en W de eigenruimte bij e.w. 2 en T heeft geen andere
eigenwaarden. Uit (c) volgt dat T een orthogonale basis van eigenvectoren heeft (nl. neem de
vereniging een orthogonale basis in U en een orthogonale basis in W ), is T normaal. De Euclidische
norm van een normale afbeelding is het maximum van de moduli van de eigenwaarden, dus kT k = 2.
µ
4a. A =
3
−1
¶
−1
.
3
b. Daar A = U DU T met D een diagonaalmatrix (met de eigenwaarden d1 , d2 van A op de hoofddiago2
naal) en U een orthogonale matrix van eigenvectoren, is xT Ax = xT U DU T x = yT Dy = d1 y12 +d
µ 2 y¶2
1
met U T x = y dus U y = x. De eigenwaarden van A zijn d1 = 2, d2 = 4 met eigenvectoren
1
µ
¶
µ
¶
1
−1
1 −1
resp.
. Omdat U een orthogonale matrix van eigenvectoren is is U = √
.
1
2 1 1
c. Merk op dat omdat U orthogonaal is, kyk = kU yk = kxk. Dus als x21 + x22 = 1, dan is ook
y12 + y22 = 1. Dan neemt q(x) = 2y12 + 4y22 alle waarden in het interval [2, 4] aan.
5a. M.b.v. (y, T (x)) = (T ∗ (y), x) vinden we T ∗ (y) = (b, y)a + (c, y)b + (a, y)c.
b. T ∗ T (x) = (a, x)a + (b, x)b + (c, x)c. Omdat {a, b, c} een orthonormale basis is, is het rechterlid
gelijk aan x (spectrale decompositie van de identiteit). Dus is T ∗ T = idV ofwel T ∗ = T −1 en T is
dus unitair.


0 0 1
Anders: De matrix van T t.o.v. de basis B = {a, b, c} is TB =  1 0 0 . Dit is een unitaire
0 0 1
−1
matrix (nagaan dat (TB ) TB = I). Omdat de basis B orthonormaal is, is de afbeelding T ook
unitair (merk op dat dit alleen opgaat als de basis orthonormaal is!).
c. We gebruiken de
1
1, e2πi/3 = − +
2
matrix TB : het karakteristieke polynoom is −X 3 + 1. De eigenwaarden zijn dus
i√
1
i√
3 en e−2πi/3 = − −
3.
2
2 2
39
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2
donderdag 11 januari 2007, 10.00-13.00
Bij elke vraag dient een berekening of motivering te worden opgeschreven.
Grafische rekenmachines zijn op het tentamen niet toegestaan, wel mag een gewone, niet-programmeerbare, wetenschappelijke rekenmachine worden gebruikt.
 
1
3

1. Laat ` ⊂ R de lijn zijn die wordt opgespannen door 1 .
1
a. Bepaal een orthonormale basis van `⊥ . (4 pt)
Zij A : R3 → R3 de rotatie in R3 met ` als rotatieas en π als rotatiehoek.
b. Geef een geschikte orthonormale basis van R3 en bepaal de matrix van A t.o.v. die basis. (6 pt)
c. Bepaal de matrix van A t.o.v. de standaardbasis. (6 pt)
µ
2. Beschouw in R2 de bilineaire vorm B(x, y) = 2x1 y1 + x2 y1 + x1 y2 + 3x2 y2 . Hierbij is x =
µ ¶
y1
en y =
.
y2
x1
x2
¶
a. Toon aan dat B( , ) een inwendig product op R2 is. (7 pt)
b. Bepaal een basis van R2 die orthonormaal is t.o.v. het inwendig product B( , ). (10 pt)

4
4
3. Gegeven is de matrix C = 
0
0
−1 10
0 15
0
2
0
0

−6
−9 
.
0 
2
a. Bepaal de eigenwaarden van C en geef voor iedere eigenwaarde een basis van de bijbehorende
eigenruimte. Geef tevens de algebraı̈sche en meetkundige multipliciteit van iedere eigenwaarde. (8
pt)
b. Bepaal een Jordan-normaalvorm van C en geef tevens het minimumpolynoom van C. (10 pt)
40
4. Zij V = M(n × n, C) de vectorruimte van complexe n × n-matrices voorzien van het inwendig
product (A, B) = tr(A∗ B). Laat U een vaste unitaire n × n-matrix zijn en definieer de lineaire
afbeelding ψ : V → V door ψ(A) = U A.
a. Laat zien dat ψ een unitaire afbeelding is. (4 pt)
Laat {a1 , . . . , an } een orthonormale basis van eigenvectoren van U zijn in Cn . Definieer de matrices
Aij voor i, j = 1, 2, . . . , n d.m.v.
Aij = (0 . . . 0 aj 0 . . . 0)
waarbij aj in de i-e kolom staat (en de andere kolomvectoren de nulvector zijn).
b. Toon aan dat Aij een eigenvector is van ψ. (4 pt)
c. Toon aan dat de matrices Aij (i, j = 1, . . . , n) een orthonormale basis van eigenvectoren van ψ
vormen. (6 pt)
d. Laat χU en χψ de karakteristieke polynomen zijn van U resp. ψ. Leg uit waarom χψ (x) = χU (x)n .
(4 pt)
5. Laten x1 , . . . , xn verschillende reële getallen zijn. Zij S = {x1 , . . . , xn } en laat W de vectorruimte
zijn van alle reële functies f : S → R, met puntsgewijze optelling en scalaire vermenigvuldiging.
a. Laat zien dat W n-dimensionaal is. (5 pt)
Pn−1
Zij Pn−1 de vectorruimte van alle polynomen p(x) = j=0 aj xj van graad hoogstens n − 1 met
reële coëfficiënten aj en met puntsgewijze optelling en scalaire vermenigvuldiging. Definieer de
(restrictie)afbeelding Res: Pn−1 → W door
(Res p)(xk ) = p(xk )
voor k = 1, . . . , n.
b. Laat zien dat Res een lineaire afbeelding is. (4 pt)
c. Toon aan dat Ker Res = {0}. (4 pt)
d. Bewijs dat er voor iedere keuze van reële getallen c1 , . . . , cn precies één polynoom p van graad
hoogstens n − 1 is, zodanig dat p(xk ) = ck voor k = 1, . . . , n. (5 pt)
41
Antwoorden.




1
1
1
1
1a. Een orthonormale basis van `⊥ is { √  −1  , √  1 }.
2
6
0
−2
 




1
1
1
1
1
1
b. Een geschikte orthonormale basis is B = { √  1  , √  −1  , √  1 }. T.o.v. deze basis
3
2
6
1
0
−2
is de matrix van A


1 0
0
 0 −1 0  .
AB
B =
0 0 −1
c. De matrix van A t.o.v. de standaardbasis E is


−1 2
2
1
E
AEE = BEB AB
2 −1 2 
B BB =
3
2
2 −1
√
√ 
 √
1/√3 1/ √2
1/√6
waarbij de basistransformatiematrix BEB =  1/√3 −1/ 2 1/ √6  de matrix is met als
1/ 3
0
−2/ 6
E
kolomvectoren de vectoren van de orthonormale basis B en BB = (BEB )−1 = (BEB )T .
µ
¶
2 1
2a. Merk op dat B(x, y) = x By met B =
. B = B T dus B is symmetrisch, en de matrix
1 3
B is positief definiet (heeft twee positieve eigenwaarden), dus B( , ) is bilineair, symmetrisch en
positief-definiet en dus een inproduct.
T
b. We passen Gram-Schmidt toe op de standaardbasis {e1 , e2 } (met het gegeven inproduct):
µ ¶
µ
¶
B(e2 , a1 )
1
−1/2
a 1 = e1 =
, a2 = e2 −
a1 =
.
0
1
B(a1 , a1 )
Delen door de norm geeft een orthonormaal stelsel:
µ ¶
µ
¶
1
1
1
−1
b1 = √
, b2 = √
.
2
2 0
10
3a. Het karakteristieke polynoom is (X − 2)4 , de enige eigenwaarde is dus 2 met algebraı̈sche multipliciteit 4 en meetkundige multipliciteit 2: de eigenruimte Ker(C − 2I) wordt opgepannen door de
 
 
1
0
2
0

 
2 vectoren 
 0  en  3 .
0
5
42
b. Uit een berekening volgt dat rang(C − 2I)2 = 1, dus rang(C − 2I) - rang(C − 2I)2 = 1; er zijn dus
twee Jordanblokken (2 is de dimensie van de eigenruimte) en 1 Jordanblok van afmeting minstens 2.


2 1 0 0
0 2 1 0
3

Een Jordan-normaalvorm is dus 
 0 0 2 0 . Het minimumpolynoom is (X − 2) : de grootste
0 0 0 2
afmeting van de Jordanblokken bij e.w. 2 is immers gelijk aan 3.
4a. Omdat U ∗ U = I is
(ψ(A), ψ(B)) = tr(A∗ U ∗ U B) = tr(A∗ B) = (A, B)
dus ψ is unitair.
b.
U Aij = (0 . . . 0 U aj 0 . . . 0) = (0 . . . 0 λj aj 0 . . . 0) = λj Aij .
c.

A∗ij Ak`

0
 .. 
 . 
 ∗
a 
=
 j (0 ...
 . 
 .. 
a`
...
0 ) = a∗j a` Eik
0
waarbij Eik de matrix is met 1 in de i-e rij en k-e kolom en verder nullen. (Hierbij is δij het
Kronecker-symbool dus δij = 1 als i = j en 0 als i 6= j). Nu is, aangezien {a1 , . . . , an } een
orthonormale basis is van Cn ,
(Aij , Ak` ) = tr(A∗ij Ak` ) = a∗j a` · tr(Eik ) = δik δj`
dus {Aij }ni,j=1 is een orthonormaal stelsel in V .
Alternatief:
(Aij , Ak` ) =
tr(A∗ij Ak` )
=
n
X
n
X
(Aij )pq (Ak` )pq =
p,q=1
δiq δkq (aj )p (a` )p = δik a∗j a` = δik δj`
p,q=1
Dit orthonormale stelsel is tevens een basis omdat een orthonormaal stel lineair onafhankelijk is en
er precies n2 = dim(V ) matrices Aij zijn.
d. Met elke eigenvector aj van U corresponderen n eigenvectoren Aij (i = 1, . . . , n) van ψ met dezelfde
eigenwaarde λj . De multipliciteit van de eigenwaarde λ van ψ is dus n keer zo groot als de
multipliciteit van de eigenwaarde λ bij U . Dus is
χψ (X) = (−1)n
n
Y

(X − λj )n = 
j=1
n
Y
n
(−1)n (X − λj ) = χU (X)n .
j=1
43

f (x1 )


5a. Laat T : W → Rn de afbeelding zijn gegeven door T (f ) =  ...  . T is lineair en inverteerbaar.
f (xn )
n
Dus is dim(W ) = dim(R ) = n.

Alternatieve oplossing: Laat fi : S → R gegeven zijn door fi (xj ) = δij (i, j = 1, . . . , n). Als
Pn
f ∈ W , dan is f = i=1 f (xi )fi dus W wordt opgespannen door f1 , . . . , fn . Verder zijn de functies
Pn
fi lineair onafhankelijk, nl. uit i=1 λi fi = 0 volgt dat
0=
n
X
λi fi (xj ) =
i=1
n
X
λi δij = λj
i=1
voor j = 1, . . . , n. De conclusie is dat {f1 , . . . , fn } een basis vormt van W dus dim(W ) = n.
b. Ga na dat Res(p + q) = Res(p) + Res(q) en ook Res(λp) = λRes(p) voor λ ∈ R.
c. Zij p een polynoom van graad hoogstens n − 1 zodanig dat Res(p) = 0; dan is p(xk ) = 0 voor
k = 1, . . . , n. Het polynoom p heeft dus minstens n nulpunten en dit is alleen mogelijk als p = 0.
d. Volgens de dimensiestelling is rang(Res)+dim Ker(Res)=dim(Pn−1 )=n. Volgens (c) is de rang van
Res gelijk aan n = dim(W ) en dus is Res surjectief. Omdat Res ook injectief is volgens (c), is Res
een bijectieve lineaire afbeelding. Nu is er precies één functie f in W zodanig dat f (xk ) = ck voor
k = 1, . . . , n, dus is er ook precies één polynoom p ∈ Pn−1 zodanig dat p(xk ) = ck , nl. f = Res(p).
44
TENTAMEN LINEAIRE ALGEBRA 2
dinsdag 3 april 2007, 10.00-13.00
Dit tentamen bestaat uit vijf opgaven. Bij elke vraag dient een berekening of motivering te worden opgeschreven.
Grafische en programmeerbare rekenmachines zijn op het tentamen niet toegestaan, wel mag een
gewone (niet-programmeerbare) wetenschappelijke rekenmachine worden gebruikt.
1. Zij V ⊂ R3 het vlak met vergelijking x1 + 2x2 = 0. S : R3 → R3 is de loodrechte spiegeling in V .
a. Bepaal een orthonormale basis van V . (4 pt)
b. Geef een geschikte orthonormale basis van R3 en bepaal de matrix van S t.o.v. die basis. (6 pt)
c. Bepaal de matrix van S t.o.v. de standaardbasis. (6 pt)
µ ¶
µ ¶
x1
y1
2. Beschouw in C de vorm B(x, y) = x1 y1 +i x2 y1 −i x1 y2 +3x2 y2 . Hierbij is x =
en y =
.
x2
y2
2
a. Toon aan dat B( , ) een (hermites) inwendig product op C2 is. (7 pt)
b. Bepaal een basis van C2 die orthonormaal is t.o.v. het inwendig product B( , ). (10 pt)

1
0

3. Gegeven is de matrix A = 
0
0
0
1
1
0
2
0
0 0
0 0
2 0
1 1
1 0

1
−1 

0 
.
0 
2
a. Bepaal een Jordan-normaalvorm van A. (10 pt)
b. Bepaal het minimumpolynoom van A. (3 pt)
c. Druk A−1 uit als een polynoom in A. (3 pt)
45
4. Zij Pn de vectorruimte van polynomen p(X) = a0 + a1 X + . . . + an X n van graad hoogstens n met
complexe coëfficiënten a0 , . . . , an en met de gebruikelijke optelling en scalaire vermenigvuldiging.
Met p0 (X) geven we de afgeleide naar X van p(X) aan. Laat U = {p ∈ Pn : p(1) = p0 (1) = 0} en
W = span{1, X}.
a. Toon aan dat U een lineaire deelruimte is van Pn . (4 pt)
b. Toon aan dat {(X − 1)2 , (X − 1)3 , . . . , (X − 1)n } een basis is van U . (4 pt)
c. Bewijs dat Pn = U ⊕ W . (4 pt)
π : Pn → Pn is de lineaire afbeelding gegeven door π(p)(X) = p(1) + p0 (1)(X − 1).
d. Bepaal de matrix van π t.o.v. de basis {1, X, X 2 , . . . , X n }. (6 pt)
e. Leg uit dat π de projectie op W langs U is (m.a.w. π is de projectie op de tweede component van
de directe som in (c)). (6 pt)
5. Zij V = M(n × n, C) de vectorruimte van complexe n × n-matrices met inwendig product (A, B) =
tr(A∗ B) (voor n geheel, n > 1). Voor D ∈ V is de lineaire afbeelding RD : V → V gedefinieerd
als RD (A) = AD. Verder is de afbeelding R : V → L(V ) gedefinieerd door R(D) = RD (hierbij is
L(V ) de vectorruimte van lineaire afbeeldingen van V naar zichzelf).
a. Laat zien dat R een lineaire afbeelding is. (4 pt)
b. Toon aan dat ker(R) = {0}. (3 pt)
c. Ga na of R inverteerbaar is. (3 pt)
d. Voor D ∈ V is (RD )∗ de geadjungeerde afbeelding van RD . Bewijs dat (RD )∗ = RD∗ . (4 pt)
e. Zij D ∈ V . Bewijs dat D en RD dezelfde eigenwaarden hebben. (4 pt)
46
Antwoorden.

  
−2
0
1 


1a. Een orthonormale basis van V is { √
1
, 0 }.
5
0
1
  
 

1
−2
0
1   1 
b. Een geschikte orthonormale basis is B = { √
2 ,√
1  ,  0 }. T.o.v. deze basis is de
5
5
0
0
1
matrix van A


−1 0 0
B

AB =
0 1 0.
0 0 1
c. De matrix van A t.o.v. de standaardbasis E is

3/5 −4/5
E
B B E

AE = BE AB BB = −4/5 −3/5
0
0

0
0
1
√
√

−2/√ 5 1/√5 0
waarbij de basistransformatiematrix BEB =  1/ 5 2/ 5 0  de matrix is met als kolomvec0
0
1
toren de vectoren van de orthonormale basis B en BBE = (BEB )−1 = (BEB )T .

µ
¶
1 −i
2a. Merk op dat B(x, y) = x By met B =
. B = B ∗ dus B is hermites, en de matrix
i 3
B is positief definiet (heeft twee positieve eigenwaarden), dus B( , ) is sesquilineair, hermites en
positief-definiet en dus een inproduct.
∗
b. We passen Gram-Schmidt toe op de standaardbasis {e1 , e2 } (met het gegeven inproduct):
µ ¶
µ ¶
B(a1 , e2 )
1
i
a1 = e1 =
, a 2 = e2 −
a1 =
.
0
1
B(a1 , a1 )
Delen door de norm kak = B(a, a)1/2 geeft een orthonormaal stelsel:
µ ¶
1
b1 =
,
0
1
b2 = √
2
47
µ ¶
i
.
1
3a. Het karakteristieke polynoom is −(X − 1)3 (X − 2)2 . Verder is de rang van A − I gelijk aan 3, de
rang van A − 2I is 4. Er zijn dus twee Jordanblokken bij e.w. 1 en er is er een bij e.w. 2; een


2 1 0 0 0
0 2 0 0 0



Jordan-normaalvorm is dan gelijk aan 
 0 0 1 1 0 .
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
b. Het minimumpolynoom is (X − 1)2 (X − 2)2 = X 4 − 6X 3 + 13X 2 − 12X + 4.
1
3
13
c. Uit (b) volgt dat A4 − 6A3 + 13A2 − 12A + 4I = O en dus is A−1 = − A3 + A2 − A + 3I.
4
2
4
4a. Als p, q polynomen in Pn zijn zodanig dat p(1) = p0 (1) = q(1) = q 0 (1) = 0 dan geldt, voor a, b ∈ C:
(ap + bq)(1) = ap(1) + bq(1) = 0,
(ap + bq)0 (1) = ap0 (1) + bq 0 (1) = 0.
b. We tonen eerst aan dat {1, (X − 1), . . . , (X − 1)k } lineair onafhankelijk zijn voor alle 0 ≤ k ≤ n.
We gebruiken volledige inductie naar k: voor k = 0 duidelijk. Stel het is waar voor k < K. Neem
aan dat
c0 + c1 (X − 1) + . . . + cK (X − 1)K = 0
voor zekere c0 , . . . , cK ∈ C. Uitschrijven in machten van X geeft
0 = cK X K + lagere machten van X.
Omdat 1, X, . . . , X K lineair onafhankelijk zijn volgt dat cK = 0, maar dan volgt uit de lineaire
onafhankelijkheid van 1, . . . , (X − 1)K−1 dat ook c0 = . . . = cK−1 = 0. Dus zijn 1, . . . , (X − 1)K
lineair onafhankelijk.
Omdat dim Pn = n + 1, is {1, X − 1, . . . , (X − 1)n } een maximaal lineair onafhankelijk stelsel en
dus een basis van Pn . Laat nu p ∈ Pn . Dan is p(X) = b0 + b1 (X − 1) + . . . + bn (X − 1)n voor zekere
b0 , . . . , bn . Nu is p(0) = b0 en p0 (0) = b1 . Dus p ∈ U dan en slechts dan als b0 = b1 = 0 dus U =
span{(X − 1)2 , . . . , (X − 1)n }. Maar {(X − 1)2 , . . . , (X − 1)n } is een lineair onafhankelijk stelsel
(als deelstelsel van {1, . . . , (X − 1)n }) en dus een basis van U .
(Een iets korter antwoord is het volgende: omdat p(1) = p0 (1) = 0 twee onafhankelijke lineaire
condities zijn is dim(U ) = n + 1 − 2 = n − 1. Een lineair onafhankelijk stelsel bestaande uit n − 1
polynomen die in U liggen vormt dus een basis van U . Lineaire onafhankelijkheid aantonen gaat
als boven.)
c. Uit (b) volgt dat dim(W ) + dim(U ) = 2 + (n − 1) = n + 1 = dim Pn . Verder is U ∩ W = {0}:
immers als q ∈ W dan is q(X) = a1 X + a0 en uit q(1) = q 0 (1) = 0 volgt dat a0 = a1 = 0. Maar
dan is Pn = U ⊕ W .


1 0 −1 . . . 1 − n
0 1 2 ...
n 




k
0
0
0
.
.
.
0
d. Omdat π(X ) = kX + (1 − k), is de matrix van π gelijk aan 
.
 .. ..

..
.
..
.
. .
.
.
. 
0 0
48
0
...
0
e. π is lineair (dit is gegeven) en π = π 2 dus π is een projectie. Verder is im(π) = W en ker(π) = U .
Dus π is een projectie op U langs W .
5a. Laat C, D ∈ V en a, b ∈ C. Dan is, voor A ∈ V willekeurig,
R(aC+bD)(A) = RaC+bD (A) = A(aC+bD) = aAC+bAD = aRC (A)+bRD (A) = (aR(C)+bR(D))(A)
dus R(aC + bD) = aR(C) + bR(D).
b. Zij C ∈ ker(R). Dan is RC = O d.w.z. RC (A) = AC = O voor alle A ∈ V . I.h.b. is RC (I) = C =
O.
c. Als R inverteerbaar is, dan is R een vectorruimte-isomorfisme en dus zijn V en L(V ) isomorfe
vectorruimten. Maar dim(V ) = n < n2 = dim L(V ), tegenspraak.
Het is ook mogelijk om een tegenvoorbeeld te geven. Zo is de afbeelding A → CAC −1 voor een vaste
(inverteerbare) C ∈ V een afbeelding in L(V ). Er is echter geen D ∈ V zodanig dat CAC −1 = AD
voor alle A ∈ V . Immers A = I nemen geeft D = I, maar i.h.a. is CAC −1 6= A.
d. Laat A, B, D ∈ V . Dan is
(A, RD (B)) = tr(A∗ RD (B)) = tr(A∗ BD) = tr(DA∗ B) = tr((AD∗ )∗ B) = (AD∗ , B).
Maar dan is (RD )∗ (A) = AD∗ = RD∗ (A).
e. Laat D ∈ V en λ ∈ C. Dan geldt:
λ is een eigenwaarde van D ⇐⇒ det(D − λI) = 0 ⇐⇒ De matrix D − λI is niet-inverteerbaar
⇐⇒ er is een A ∈ V, A 6= O zodanig dat A(D − λI) = O ⇐⇒ er is een A ∈ V , A 6= O zodanig
dat RD (A) = λA ⇐⇒ λ is een eigenwaarde van RD .
49