Wiskunde voor DDD – Opdracht 4 – Stijn Peeters

Wiskunde voor DDD – Opdracht 4 – Stijn Peeters - 3503941
Opdracht 1
Blackout.
Wiskunde voor DDD – Opdracht 4 – Stijn Peeters - 3503941
Opdracht 3
1. log10 𝑥 = 𝑦
𝑥 = 10𝑦
1
De afgeleide van een logaritme, bijvoorbeeld log10 𝑥 is 𝑥 – dus:
log10 𝑥 ′ = 𝑦 ′
1
𝑦′ = ′
𝑥
′
𝑥 = 𝑦 ′ × 𝑥′
Wiskunde voor DDD – Opdracht 4 – Stijn Peeters - 3503941
Opdracht 4
Inleiding
Wiskunde is geen onbekend onderwerp in de poëzie. Er zijn odes aan geschreven, ze is vervloekt om
haar onbegrijpelijkheid en menig dichter gebruikt de wiskunde graag als metafoor voor saaie, lastige
zaken. Maar de relatie tussen wiskunde en poëzie gaat verder dan alleen de inhoud. Al eeuwenlang
wordt de structuur van gedichten gebaseerd op wiskundige structuren en formules; de Grieken en
Romeinden bedienden zich al van een strikte versvoet gebaseerd op bepaalde getallenrijen, en
iedereen kent wel de Japanse Haiku’s waarin dichtregels in de ijzeren verhoudingen van vijf, zeven en
vijf lettergrepen per dichtregel zijn gegoten.
Toch is ook dat pas het topje van de ijsberg als het gaat om wiskundige gedichten (in plaats van
gedichten over wiskunde); er zijn bijvoorbeeld ook algoritmes bedacht om een oneindig aantal
“kloppende” gedichten te kunnen genereren. Dit essay behandelt een aantal van de vormen waarin
wiskunde terugkomt in dichtstructuur. Hierbij zullen een aantal van de al eerder genoemde
algoritmen worden behandeld, en wordt ook stil gedaan bij de plaatsing in de tijd van deze
methoden. Zo wordt al sinds ver voor onze jaartelling wiskunde gebruikt als basis voor poëzie, maar
ook mathematische dichtkunst van recentere datum komt aan bod. Ook wiskunde als middel om
een gedicht te analyseren wordt behandeld.
Als voorbeeld van het laatste kan het zogenaamde schaakbordgedicht worden gebruikt. Dit behelst
een raster, waarin elk hokje een dichtregel bevat. Vanaf een willekeurig vak in het raster kan door
middel van “paardensprongen” (als in het schaakspel) naar andere hokjes gesprongen worden om zo
een kloppend en samenhangend gedicht te creëren. Vanzelfsprekend is het maken van zo’n gedicht
een complexe onderneming.
Paragraaf 1
Het schaakbordgedicht; wiskundige analyse (hoeveel mogelijkheden? Hoe de vakken te verdelen?)
Paragraaf 2
Gelijksoortige structuren (“maak je eigen gedicht”) binnen historische context (rederijkers).
Paragraaf 3
Sprong naar het heden; contemporaire algoritmen om gedichten te genereren (bijv. een gedicht met
precies evenveel klinkers als medeklinkers; het gaat hier dus om wiskundige “voorwaarden” voor
dichtregels waarbinnen woorden dan kunnen gevarieerd, zelfs willekeurig)
Conclusie
Veel manieren waarop wiskunde terugkomt in dichtstructuur.
Wiskunde voor DDD – Opdracht 4 – Stijn Peeters - 3503941
Keuzeopdracht 3
1. In sporten als kogelstoten en speerwerpen beschrijft de kogel of speer een parabool ,a
althans theoretisch gezien: in werkelijkheid ligt het punt van vertrek hoger dan het punt
waarop de grond wordt geraakt (vertrek ligt op schouderhoogte) dus is het nooit een
perfecte parabool.
2. Voor bijvoorbeeld zonnecollectoren worden spiegels paraboolvormig opgesteld of wordt een
paraboolvormige spiegel gebruikt om het licht in één punt te concentreren.
3. Golven zijn vaak wiskundig te beschrijven als sinusfunctie; een grafische weergave van een
sinusfunctie is een samenstelling van verschillende parabolen.
4. De “hangtouwen” van bijvoorbeeld de Golden Gate Bridge hangen als een omgekeerde
parabool.
5. Daarnaast zijn parabolen terug te vinden in zend- en ontvangstschotels, waarbij net als
zonnecollectoren wordt gebruik gemaakt van een parabool om de straling in één punt te
concentreren. Ook zijn parabolen te zien in de baan die hemellichamen beschrijven; veel
kometen beschrijven een paraboolvormige baan.
6. Er zijn een aantal cirkels met hetzelfde middelpunt getekend, waarbij de grootte van de
cirkels regelmatig afneemt. Vervolgens zijn horizontale lijnen getekend die de boven- en
onderkant van de cirkels raken. Door ze om-en-om zwartwit in te kleuren ontstaat een
patroon waarin parabolen te herkennen zijn. Dit komt door het feit dat bij vergroting de
vergrotingsfactor van de oppervlakte het kwadraat van de vergrotingsfactor van de omtrek
is.
Wiskunde voor DDD – Opdracht 4 – Stijn Peeters - 3503941
Keuzeopdracht 4
1. Voor elk punt (x,y) is er een lijn te trekken die zowel door dat punt als door punt (0,0) gaat.
De steilheid van deze lijn wordt beschreven met de richtingscoëfficiënt, die in dit geval gelijk
is aan y/x. Dat is een breuk; voor elke breuk bestaat dus een overeenkomstige positie in het
coördinatenstelsel waar een lijn doorheen loopt.
2. Ja; het gaat om gehele getallen, dus om breuken (zie vraag 1), en dit is een aftelbare
verzameling getallen.
3. Breuken zijn niet allemaal als getallen met oneindig lange decimale delen te schrijven, en
daardoor werkt het diagonaalargument niet; er kan maar een beperkt aantal keren een getal
uit de rij decimalen “opgehoogd” worden.
4. 0,123456789101112131415… (ofwel, alle positieve gehele getallen achter elkaar geplakt)
5. Ja, de irrationale getallen; op deze is het diagonaalargument van Cantor wel van toepassing,
maar de verzameling is ook kleiner dan de verzameling reële getallen, omdat zij deel
uitmaakt van die verzameling.
Wiskunde voor DDD – Opdracht 4 – Stijn Peeters - 3503941
Keuzeopdracht 7
1. Dat de wortel van 2 een irrationeel getal is; dat er overaftelbaar veel reële getallen zijn
(diagonaalargument van Cantor).
2. Er wordt eerst vastgesteld dat er twee mogelijkheden zijn; iets is waar, of niet waar. Als
vermoed wordt dat het waar is, wordt geprobeerd te bewijzen dat het niet waar is. Als hier
een vergelijking of beredenering uitkomt die logisch gezien niet klopt betekent dit dat niet
bewezen kan worden dat de beginstelling niet waar is; hij moet dus waar zijn.
3. Als er twee opties zijn, en een daarvan kan worden uitgesloten worden, dan moet de andere
waar zijn. Wat dat betreft is het een sluitende redenering. De vraag is natuurlijk altijd of bij
het proberen te bewijzen van de “onwaarschijnlijke” optie niet een bewijsmanier over het
hoofd is gezien of dat er toch niet een manier is of het wel bewezen kan worden. Zeker
intuïtief geeft het daarom nooit het gevoel van 100% zekerheid.
4. Irving Copi is kritisch over de methode, en noemt het “hooguit indirect bewijs”. C.I. Lewis
(met Cooper Langford) schaarde het ook onder “indirect bewijs”. (Scherer, D. (1971). The
Form of Reductio ad Absurdum. Mind 80 (318): 247 – 252.)
Wiskunde voor DDD – Opdracht 4 – Stijn Peeters - 3503941
Keuzeopdracht 8
1.
2.
3.
4.
Gedaan.
Zie tekening.
Zie tekening.
Bij het op een na laatste snijpunt liggen de lijnen deels over elkaar heen; het is dus eigenlijk
een “snijdeel” (op de tekening; zuiver wiskundig is het nog steeds een punt). Uiteindelijk
liggen de lijnen over elkaar heen en is dus niet meer over een snijpunt te spreken.
5. Een kwartcirkel is dan ½r; de straal is gelijk aan AB; de verhouding is dus ½ 1. AP is dan
𝐴𝐵
gelijk aan 1⁄ 𝜋.
2
6. De curve stelt de kwadratuur van de cirkel voor.