Document

Riemannsommen
De oppervlakte van het vlakdeel V in figuur a is
te benaderen met behulp van rechthoeken.
Daartoe verdeel je het interval [1, 5] in even lange deelintervallen.
Hiernaast is gekozen voor rechthoeken met lengte ∆x = 1.
Voor de hoogte van de rechthoeken kun je
• de kleinste functiewaarde op het deelinterval nemen,
je krijgt dan de ondersom, zie figuur b
• de grootste functiewaarde op het deelinterval nemen,
je krijgt dan de bovensom, zie figuur c
• de functiewaarde van een willekeurig getal xk van
het deelinterval nemen, zie figuur d
In het algemeen wordt de som van de oppervlakten
n
van rechthoeken genoteerd als
 f ( x )  x
k 1
k
Dit heet een Riemannsom. Ook de ondersom en bovensom zijn Riemannsommen.
Er geldt ondersom ≤ O(V) ≤ bovensom.
10.1
opgave 5
12  2 x
f(x) =
x4
a
f(x) = 0 geeft
12  2 x
0
x4
12 – 2x = 0
-2x = -12
x=6
De middens van de intervallen zijn 0,5 ; 1,5 ; 2,5 ; 3,5 ; 4,5 en 5,5.
O(V) ≈ (f(0,5) + f(1,5) + f(2,5) + f(3,5) + f(4,5) + f(5,5)) · 1 ≈ 6,28
b ondersom = (f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6)) · 1 ≈ 4,91
bovensom = (f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5)) · 1 ≈ 7,91
Dus 4,91 ≤ O(V) ≤ 7,91.
Integralen
Door bij een Riemannsom de limiet voor ∆x naar 0 te nemen krijg je een integraal.
De oppervlakte van het vlakdeel V dat boven de x-as ligt en wordt ingesloten door de
grafiek van f, de x-as en de lijnen x = a en x = b
b
is
 f ( x)dx
a
Met de GR kun je integralen nauwkeurig benaderen.
Zo is de oppervlakte van het vlakdeel V dat wordt ingesloten door de grafiek van
f(x) = 2  x , de x-as en de y-as gelijk aan
2

2  x dx
0
De optie fnInt(TI) of ∫dx (Casio) geeft O(V) ≈ 1,89.
De oppervlakte van het vlakdeel W dat wordt ingesloten door de grafiek van f en de
lijnen x = 2 en y = √2 bereken je met O(W) = O(rechthoek) – O(V).
Dus O(W) ≈ 2 · √2 – 1,89 ≈ 0,94.
10.1
opgave 9
f(x) = 5 geeft 6x – x2 = 5
-x2 + 6x – 5 = 0
x2 – 6x + 5 = 0
(x – 1)(x – 5) = 0
x=1 ⋁ x=5
5
De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft
2
(6
x

x
)dx ≈ 30,667

1
O(V) ≈ 30,667 – 4 · 5 ≈ 10,67
opgave 10
a f(x) = 1 geeft x3 – 5x2 + 6x + 1 = 1
x3 – 5x2 + 6x = 0
x(x2 – 5x + 6x) = 0
x(x – 2)(x – 3) = 0
x=0 ⋁ x=2 ⋁ x=3
3
De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft
O(V) ≈ 1 · 1 – 0,583 ≈ 0,42
3
2
(
x

5
x
 6 x  1)dx ≈ 0,583.

2
2
b De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft
O(W) ≈ 4,667 – 2 · 1 ≈ 2,67
 (x
0
3
 5 x 2  6 x  1)dx ≈ 4,667.
Oppervlakte van een vlakdeel tussen grafieken
In de figuur hiernaast is f(x) ≥ g(x) op het interval [a, b].
Daarom kan de oppervlakte van het vlakdeel V benaderd
n
worden met behulp van de Riemannsom  ( f ( xk )  g ( xk ))  x
k 1
Voor de exacte oppervlakte neem je hiervan de limiet
b
voor ∆x naar 0. Je krijgt O(V) =  ( f ( x)  g ( x))dx
a
vb.
Het vlakdeel W wordt ingesloten door de grafieken van
f(x) = 2x – 8 en g(x) = -x2
Voer in y1 = 2x – 8 en y2 = -x2
Optie intersect geeft x ≈ -2,80 en x = 2.
De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft
2
O(W) ≈

( g ( x)  f ( x))dx ≈ 22,85
2,80
10.2
opgave 14
f(x) = sin(x) met Df = [0, π]
Voer in y1 = sin(x) en y2 = ¼ x.
De optie intersect geeft x ≈ 2,4746.
De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft
O(V) =

2,4746
0
0
 sin( x)dx  2 en

1
(sin( x)  x)dx  1,02
4
De lijn y = ¼ x verdeelt V niet in twee delen met gelijke oppervlakte.
Inhoud van een omwentelingslichaam
Door het vlakdeel U in de figuur hiernaast te wentelen
om de x-as ontstaat het lichaam L.
b
I(L) =   ( f ( x)) 2 dx
a
Door het vlakdeel V in de figuur hiernaast te wentelen
om de x-as ontstaat het lichaam M.
b
b
I(M) =   ( g ( x)) dx    ( f ( x)) 2 dx.
2
a
a
vb.
Het lichaam N ontstaat door het vlakdeel W,
ingesloten door de grafieken van f(x) = 2x – 8 en
g(x) = -x2 , te wentelen om de x-as.
De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft
2
I(N) ≈

2,80
 ( f ( x)) dx 
2
2

2,80
 ( g ( x)) 2 dx ≈ 593,4
10.2
opgave 21
Voer in y1 = -0,1x4 + x2 + x + 3
De optie zero (TI) of ROOT (Casio) geeft
x ≈ -3,14 en x ≈ 3,83.
De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft
3,83
I(L) ≈   ( f ( x)) 2 dx  487, 49
3,14
opgave 29
Voer in y1 = -⅓x3 + 2x2 en y2 = x + 4
De optie intersect geeft
x ≈ -1,11, x ≈ 2,22 en x ≈ 4,88.
De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft
2,22
I(beide lichamen) ≈   ( g ( x)) dx 
2
1,11
2,22

1,11
 ( f ( x)) dx 
2
4,88

 ( f ( x)) dx 
2,22
≈ 227,0251 – 71,1462 + 748,3616 – 481,3562
≈ 422,88
2
4,88

2,22
 ( g ( x)) 2 dx
Primitieven
O’(x) = lim
h 0
O( x  h) O( x)
h
O(x + h) – O(x) = O(groene vlakdeel) ≈ f(x) · h
O’(x) = lim
h 0
f ( x)h
 f ( x)
h
De functie F is een primitieve
van de functie f als F’ = f.
Als F een primitieve van f is,
dan zijn alle functies F + c primitieven van f.
Het getal c heet de integratieconstante.
Voor elke constante a geldt dat a · F een primitieve is van a · f.
10.3
Regels voor primitiveren
Verder geldt dat als F een primitieve is van f,
1
dan is F (ax  b) een primitieve van f(ax + b).
a
10.3
opgave 40
a f(x) = ex+1 = ex · e = e · ex
F(x) = e · ex + c = ex+1 + c
8
 8x 3
3
x
8 2
4
F(x) =
x  c  4x 2  c  2  c
2
x
b f(x) =
c
 x2  2 x  3  x2 2 x 3
2
3
4
f(x) =





x

2
x

3
x
x4
x4 x4
x4
1
2 2 3 3
1 1 1
x 
x  c  x 1  x 2  x 3  c   2  3  c
F(x) = x 1 
1
2
3
x x
x
Oppervlakte en primitieve
b
O(V) =
 f ( x)dx
a
O(x) = F(x) + c
b
 f ( x)dx
a
= O(b) – O(a)
= (F(b) + c) – (F(a) + c)
= F(b) – F(a)
b

f ( x ) dx = [ F ( x)]ba = F(b) – F(a)
a
10.3
opgave 49
8
8
I(L1+ L2) =   ( x  2) dx    ( x  2) dx
2
2
2
1
 [ ( x 2  2 x)]82 =  (32  16)   (2  4)  18
2
a
I(L1) = ½ · 18π geeft   ( x  2) 2 dx  9
a
2
  ( x  2)dx  9
2
1
[ ( x 2  2 x)]a2  9
2
π(½a2 – 2a) – π · (2 – 4) = 9π
π(½a2 – 2a) + 2π = 9π
½a2 – 2a + 2 = 9
a2 – 4a – 14 = 0
D = 16 – 4 · 1 · -14 = 72
4  72
4  72
46 2
a
a

 23 2
2
2
2
voldoet niet
voldoet
Kegel en Bol
r
Door het vlakdeel ingesloten door de lijn y = x
h
de x-as en de lijn x = h te wentelen om de x-as
ontstaat een kegel met straal r en hoogte h.
I(kegel) = ⅓πr2h
Door de cirkel c: x2 + y2 = r2 te wentelen om de x-as
ontstaat een bol met straal r.
I(bol) = 1⅓πr3
Door het vlakdeel ingesloten door de cirkel c, de y-as en de lijn
x = ⅔r te wentelen om de x-as ontstaat een bolschijf.
2
r
3
2
r
3
2
r
1
I(bolschijf) =   y dx    (r  x )dx  [ (r x  x3 )]03  46  r 3
3
81
0
0
2
2
2
2
10.4
opgave 60
r
r
1
I    y dx    (r 2  x 2 )dx  [ (r 2  x  x3 )]r1
r
3
1
1
3
2
3
r
3
r
1
1
1 1
  ( r 3  r 3 )   ( r 3   ( r )3
3
3
3 3
2
26
28
   r3    r3   r3
3
81
81
Booglengte
De booglengte van het deel van de grafiek van een functie f tussen
b
x = a en x = b is

1  ( f '( x)) 2 dx
a
1
Bij de functie f(x) = krijg je de booglengte van het deel van de grafiek
x
tussen x = 1 en x = 4 als volgt.
1
1
 x 1 geeft f '( x)   x 2   2
x
x
2
4
 1 
booglengte =
1

1   x2  dx
f(x) =
De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft booglengte ≈ 3,150.
Dus de omtrek van het vlakdeel V in de figuur hiernaast is
3 + f(1) + f(4) + booglengte ≈ 7,400.
10.4
opgave 64
1 2
x geeft f’(x) = x
2
De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft
f(x) =
5
2
1

x
dx ≈ 13,904.
0
1 2
omtrek ≈ 5 + · 5 + 13,904 ≈ 31,40
2
opgave 66
f(x) = 5 geeft
x3 – 3x2 + 5 = 5
x3 – 3x2 = 0
x2(x – 3) = 0
x=0 ⋁ x=3
f(x) = x3 – 3x2 + 5 geeft f’(x) = 3x2 – 6x
De optie fnInt (TI) of ∫dx (Casio) geeft
3

0
1  (3x 2  6 x) 2 dx ≈ 8,8146.
omtrek ≈ 3 + 8,8146 ≈ 11,81
Wentelen om de y-as
Het vlakdeel V ligt rechts van de y-as en
wordt ingesloten door de grafiek
van de functie f, de y-as en
de lijnen y = a en y = b.
De inhoud van het lichaam L dat ontstaat als V om de y-as wentelt is
b
I(L) =   x 2 dy
a
10.4
Substitutiemethode
Partieel integreren
Cyclometrische functies
Breuksplitsen