Formularium Natuurkunde - Enric Junqué de Fortuny

Formularium Natuurkunde
Enric Junqué de Fortuny
May 17, 2010
Part I
Mechanica
1
Chapter 1
Newton & Kinematica
1.1
Bewegingswetten van Newton
Inertiaalstelsels:
• Een inertiaalstelsel is een assenstelsel waarin de eerste wet van Newton
(“traagheidswet”) geldt.
• De aarde is, in goede benadering, een inertiaalstelsel.
• Een assenstelsel dat met constante snelheid beweegt ten opzichte van een
inertiaalstelsel, is eveneens een inertiaalstelsel.
Eerste wet: Een deeltje, gezien vanuit een inertiaalstelsel, blijft in rust of
in éénparige rechtlijnige beweging als er geen externe krachten op inwerken.
Evenwicht van een puntmassa :
X
F~ = 0
X
Fx = 0
X
Fy = 0
X
Fz = 0
Tweede wet: De versnelling van een deeltje is, gezien vanuit een inertiaalstelsel, evenredig met de netto-kracht die er op inwerkt en omgekeerd evenredig
met de (constante) massa. Dynamica van een puntmassa :
X
F~ = m~a
X
Fx = m~a
X
Fy = m~a
X
Fz = m~a
2
Derde wet: Oefent een lichaam A een kracht uit op een lichaam B, dan oefent
B een gelijke maar tegengestelde kracht uit op A.
F~AopB = −F~BopA
1.2
Empirische wettten voor droge wrijving (Coulomb)
Kinetische frictie :
fk = µk .n
Statisch frictie :
fs <= µs .n
1.3
Fluı̈dumweerstand
Bij lage snelheid :
f
v
vt
= kv
= vt 1e−kt/m
mg
=
k
Bij hoge snelhied
1.4
f
=
vt
=
Dv 2
r
mg
D
Kinematica cirkelvormige beweging
Centripetale versnelling bij de eenparige cirkelvormige beweging (ar en Fr centripetaal, v is tangentiëel):
ar
=
Fr
=
=
v2
4π 2 r
=
r
T2
mar
v2
m
r
Tangentiële en radiale versnelling bij de kromlijnige (of ogenblikkelijk cirkelvormige)
beweging (a is samengesteld uit centripetale ar en tangentiele at ):
~a =
a~t + a~r
3
at
=
ar
=
dv
dr
v2
r
4
Chapter 2
Arbeid en kinetische
energie
2.1
Arbeid
Arbeid verricht door een veranderlijke kracht langs een kromlijnig pad:
dW
W
=
F~ · d~r
=
FT dr
Z B
F~ · d~r
=
A
P2
Z
=
F cos(φ) dl
P1
Arbeid uitgevoerd door een veranderlijke kracht op een recht pad:
Z x2
W =
Fx dx
x1
Arbeid uitgevoerd door een constante kracht :
W
=
F~ · ~s
=
F s cos(φ)
Arbeid verricht op een elastische veer :
Z
Wel
x2
=
=
kx dx
x1
kx21
−
2
= −∆Uel
5
kx22
2
2.2
Kinetische energie
Kinetische energie :
K=
2.3
mv 2
2
Arbeid en energie
Arbeid energie theorema : Arbeid is transfer van energie (van omgeving
naar deeltje)
Wtot = ∆K
Gemiddeld vermogen :
Pav =
∆W
∆t
Ogenblikkelijk vermogen :
P
=
=
6
dW
dt
~
F · ~v
Chapter 3
Potentiële energie en
behoud van energie
3.1
Conservatieve krachten
De arbeid verricht door een conservatieve kracht op een deeltje dat beweegt van
A naar B is onafhankelijk van de gevolgde weg.
Gevolg: De arbeid verricht door een conservatieve kracht op een deeltje dat
beweegt langs een gesloten pad is nul.
I
F~c · d~r = 0
3.2
Potentiële energie
De arbeid verricht door een conservatieve kracht is minus de verandering van
de potentiële energie.
Z 2
F~ · d~r
W =
1
=
U1 − U2
=
−∆U
Omgekeerd : voor een infinitesimale verplaatsing dx geldt dan dat een conservatieve kracht de negatieve gradiënt van de potentiële energie is.
Fx (x)
F~
dU (x)
dx
~
= −∇U
∂U ~ ∂U ~ ∂U ~
= −
i+
j+
k
∂x
∂y
∂z
= −
7
Gravitationele potentiele energie :
Ugrav
= mgy
Elastische potentiele energie :
Uel
3.3
=
kx2
2
Mechanische energie & interne energie
De totale mechanische energie van een systeem is gedefinieerd als de som van
de kinetische en de potentiële energie,
E
= K +U
De interne energie is geassocieerd met de temperatuur van een systeem.
Door een niet-conservatieve kracht (wrijving) wordt mechanische energie omgezet
in interne energie van het systeem. Experimenten tonen aan dat :
∆Uint = −Wf ric
3.4
Behoud van energie
Voor een niet-geı̈soleerd systeem is de verandering van de totale energie van het
systeem gelijk aan de som van de energietransfers doorheen de grenzen van het
systeem.
X
∆K + ∆U + ∆Uint =
T
In een geı̈soleerd systeem geldt :
∆K + ∆U + ∆Uint = 0
In een geı̈soleerd systeem waarin geen niet-conservatieve krachten (zoals wrijving) inwerken op voorwerpen binnen het systeem is de totale mechanische energie
constant,
∆K + ∆U = 0
Indien niet-conservatieve krachten arbeid verrichten, is deze arbeid gelijk aan
de verandering van mechanische energie
Wother = ∆K + ∆U
8
Chapter 4
Impuls, Stoot en Botsingen
4.1
Impuls
Impuls (en: momentum) van een deeltje met constante massa :
X
d~v
F~ = m
dt
d
=
(m~v )
dt
p~ = m~v
2e wet van Newton in impulsgedaante :
X
d
F~ = p~
dt
4.2
Stoot
Stoot (en: impulse)
J~ =
Z
t2
X
F~ dt
t1
= p~2 − p~1
Stoot-impuls theorema : De verandering van de impuls van een deeltje tijdens een tijdsinterval is gelijk aan de stoot van de netto-kracht op het deeltje
~
tijdens dat tijdsinterval. (= 2e gedaante formule J)
Als de netto-kracht op een n-deeltjessysteem nul is, dan is de totale impuls van
het systeem constant.
P~ = p~A + p~B
9
dP~
dt
4.3
=
0
Botsing
Een botsing is een sterke interactie tussen lichamen die gedurende een relatief
korte tijd werkt (zij het door direct contact, of door verstrooing).
• Bij een elastische botsing worden de totale impuls (in elke richting) en de
totale kinetische energie behouden.
• Bij een inelastische botsing wordt de totale impuls behouden, maar wordt
een deel van de kinetische energie van de botsende voorwerpen omgezet
in inwendige energie, elastische potentiële energie, ...
• Bij een volledig inelastische botsing blijven de voorwerpen na de botsing
in contact.
4.4
Massamiddelpunt van een stelsel puntmassa’s
Het massamiddelpunt is de “massa-gewogen gemiddelde plaats (r)” van de deeltjes:
X
M =
mi
P
mi~ri
~rcm =
M
P
mi~vi
~vcm =
PM
Fext
~acm =
M
P~ = M~vcm
10
Chapter 5
Rotatie
5.1
Rotatie van starre lichamen-kinematica
Afgelegde weg, hoeksnelheid en hoekversnelling.
s = rθ
dθ
ωz =
dt
dωz
αz =
dt
Radiale en tangentiële versnelling.
arad
= ω2 r
atan
= rα
Rotatie met constante hoekversnelling. (alle hoeken in radialen θrad =
ωz
θ − θ0
θ
ωz2
= ω0z + αz t
1
=
(ω0z + ωz )t
2
1
= θ0 + ω0z t + αz t2
2
2
= ω0z
+ 2αz (θ − θ0 )
Traagheidsmoment (moment of inertia)
X
I =
mi ri2
Zi
=
11
r2 dm
θdeg
360
π)
Theorema der evenwijdige assen voor 2 assen IP en Icm en d = dist(IP , Icm )
IP = Icm + M d2
Kinetische energie
K
5.2
1 2
Iω
2
=
Dynamica van de rotatiebeweging
Torsie (torque) rond een as tangentieel aan as ( moment bij mechanica).
~τ
= ~rF~
τ
=
F r sin φ
Moment en hoekversnelling bij de rotatie van een star lichaam.
X
τz = Iαz
Rotatie van een star lichaam om een bewegende as is een samengestelde translatieen rotatiebeweging. (NB: Laatste formume ook geldig als de as door het massamiddelpunt een symmetrie-as is, en de richting van de rotatie-as niet verandert)
K
=
F~ext
=
1
1
2
M vcm
+ Icm ω 2
2
2
M~acm
~τz
=
Icm αz
Rollen zonder glijden (samengestelde op onderkant bal = 0).
vcm = Rω
Rolweerstand enkel bij vervormbaar object.
Arbeid en energie bij rotatie (analoog)
dW
=
=
Ftan r dθ
τz dθ
12
Z
W
θ2
τz dθ
=
θ1
1 2 1 2
Iω − Iω
2 2 2 1
= ∆K
dW
=
dt
= τz ωz
=
P
Impulsmoment van een puntmassa.
~ = ~r × p~
L
= ~r × m~v
~
dL
dt
= ~r × F~
= ~τ
Impulsmoment van een star lichaam.
X
L =
Li
X
=
mi ri2 ω
= Iω
Rotatie rond een symmetrie-as.
~ = I~
L
ω
Behoud van impulsmoment
Voor elk stelsel puntmassaś geldt dat
X
~τ =
~
dL
dt
Als het netto-moment van de externe krachten op een stelsel nul is, dan is het
totale impulsmoment van het stelsel constant,
~
dL
=0
dt
13
5.3
Conversietabel
positie
snelheid
acceleratie
kracht
impuls
massa
lineaire beweging
x
v
a
F
p
m
v = dx/dt
a = dv/dt
2
K = mv
2
F = ma
p = mv
dp/dt = F
rotatie
θ
ω
α
τ
L
I
ω = dθ/dt
α = dω/dt
2
K = Iω2
τ = Iα
L = Iω
dL/dt = τ
14
hoek
hoeksnelheid
hoekversnelling
torsie
hoekimpuls
intertiaalmoment
Chapter 6
Evenwicht van starre
lichamen
6.1
Evenwichtsvoorwaarden
Resulterende externe kracht is nul,
X
F~
=
0
Resulterend moment om een willekeurig punt is nul,
X
~τ = 0
6.2
Resulterenden
Vrije keuze van het momentpunt mogelijk, als voorwaarden rond O gelden, dan
:
X
⇒
~τO0 = 0
15
Chapter 7
Periodieke beweging
De wet van Hooke voor een elastische veer :
Fx = kx
7.1
Eenvoudige Harmonische Beweging
Definities.
A =
amplitude
ω
angulaire frequentie
=
φ =
T
=
f
=
initiele fase
2π
ω
1
T
Bewegingsvergelijkingen.
x(t)
v
a
= A cos(ωt + φ)
dx
=
= −ω sin(ωt + φ)
dt
d2 x
=
= −ω 2 A cos(ωt + φ)
dt2
Energie.
K
=
U
=
mω 2 A2 sin2 (ωt + φ)
mv 2
=
2
2
kx2
kA2 cos2 (ωt + φ)
=
2
2
16
E
= K +U =
kA2
2
Harmonische oscillatie.
r
T = 2π
7.2
m
k
Gedempte Oscillatie
Demping indien niet conservatieve krachten optreden.
~
R
= −b~v
b
=
dempingscoefficient
Zwakke demping (oscillatie).
b
= Ae− 2m t cos(ω1 t + φ)
x
Sterke demping (kruipend).
x = C1 ep1 t + C2 ep2 t
Kritische demping.
b
x = (A + Bt)e− 2m t
Energie.
b
E = 1/2kA2 e− m t
Kwaliteitsfactor Q = aantal radialen waarover de oscillator moet trillen alvorens
zijn energie met een factor 1/e is afgenomen.
Q = ω1 τE =
17
ω1 m
b
Part II
Golven & Akoestiek
18
Chapter 8
Mechanische Golven
8.1
Golven en hun eigenschappen
Mechanische golf : de verstoring (golf) die energie transporteert door een medium.
Er kan een onderscheid gemaakt worden tussen transversaal (koord, recht op
lengte) en longitudonaal (geluid, in richting van lengte).
v
= λ/T
= λf
s
=
8.2
Golfvergelijkingen & dynamica
y(x, t)
k
ω
8.3
F
gofl op koord
µ
= Acos(kx − ωt)
2π
=
λ
= 2πf = vk
Golfkracht
De gemiddelde kracht van een sinusoı̈dale golf wordt bepaald als :
Pav
=
1p
µF ω 2 A2
2
De inverse-wortel wet voor lage golfintensiteiten zegt dat :
I1
I2
=
19
r22
r12
8.4
Superpositie van golven
y(x, t)
8.5
= y1 (x, t) + y2 (x, t)
Staande golven op een koord
Als het koord vastgenomen is aan zijde x = 0 :
y(x, t)
=
ASW sin(kx)) sin(ωt)
Aan beide kanten :
f1
fn
s
1
F
=
2L µ
v
= n
(n = 1,2,3,...)
2L
= nf1 (n = 1,2,3,...)
20
Chapter 9
Geluidsgolven
9.1
Geluidsgolven
De harmonische positiefunctie is
= A cos(kx − ωt)
y(x, t)
Druk fluctuatie ten gevolge van geluidsgolven
p
=
pmax sin(kx − ωt)
pmax
=
BkA
=
pvωA
De snelheid in verschillende media van een geluidsgolf.
s
B
(longitudonale golf in vloeistof)
v =
ρ
r
γRT
v =
(geluidsgolf in een ideaal gas)
M
s
Y
v =
(longitudonale golf in een vaste stof)
ρ
9.2
9.3
Intensiteit en geluidsniveau
I
=
Pav
S
β
=
(10dB) log
I
I0
Staande geluidsgolven
In een open buis geldt :
fn =
nv
(n = 1,2,3,...)
2L
21
Voor een gesloten buis geldt:
fn =
9.4
nv
(n = 1,3,5,...)
4L
Fenomenen met geluidsgolven
Interferentie treed op wanneer 2 of meer golven overlappen in de ruimte. De
resulterende amplitude van de golf can groter (constructief) of kleiner (destructief) worden, afhankelijk van het feit of deze in fase zijn of niet.
Beats kunnen waargenomen wordezn wanneer twee zeer dicht bij elkaar liggende
frequenties tegelijk gehoord worden, de beat frequentie is dan :
fbeat = fa − fb
Doppler effect is een frequentieshift doordat de bron en/of de luisteraar van
het geluid verplaatsen, relatief tot het medium.
fL =
v + vL
fS
v + vS
Shockwave* treed op wanneer de bron zich voortplant met een snelheid die
groter is dan die van het geluid in dat medium. Het golffront is dan een kegel
met grootte α.
sin α =
v
vs
22
Part III
Thermodynamica
23
Chapter 10
Temperatuur & Warmte
10.1
Temperatuur & temperatuurschaal
Kelvin vs Celsius.
TK
= TC + 273.15
In een systeem met vast volume geldt:
T2
T1
10.2
=
p2
p1
De nulde wet van de thermodynamica
Wanneer systemen A en B in thermisch evenwicht zijn met een systeem C, dan
zijn A en B ook onderling in thermisch evenwicht.
10.3
Thermale expansie & spanning
Een temperatuursverandering ∆T veroorzaakt in elke dimensie een lineaire expansie. Wanneer deze expansie tegengehouden wordt, ontstaat er tensile spanning met grootte F/A.
∆L = αL0 ∆
∆V
F
A
= βV0 ∆
= −Y α∆
Voor een vaste stof geldt :
β
=
24
3α
Een gat in een materiaal (bvb een gat in een schijf) zet uit net alsof het gat
gevuld zou zijn met het materiaal. M.a.w. bij een temperatuutstijging wordt
het gat groter.
10.4
Warmte, faseverandering & calorimetrie
Warmte (Q) is energie die overgedragen wordt van een systeem naar een ander omwille van een temperatuursverschil via conductie, convectie of straling.
Wanneer warmte wordt toegevoegd aan een lichaam, is Q positief.
Q = mc∆T
Q = nC∆T
Een fase-overgang (constante temperatuur) vereist een toevoeging/aftrekking
van warmte :
Q = ±mL
met
m
=
massa
M
=
molaire massa
c =
10.5
specifieke warmtecapaciteit van het materiaal
C =
n =
Mc
aantal mol in stof
L =
latente warmte
Warmte-uitwisseling
Conductie (geleiding) :
H
=
TH − TC
dQ
= kA
dt
L
Convectie :
H
= AeσT 4
Straling
Hnet
= Aeσ(T 4 − Ts4 )
25
Chapter 11
Thermische eigenschappen
van materie
11.1
De ideale gaswet
Druk (p), volume (V ) en temperatuur (T ) bepalen de toestand van een stof en
staan in relatie volgens de ideale gasvergelijking :
pV
= nRT
Verder kunnen we ook gebruik maken van de volgende eigenschap :
p1 V1
T1
=
p2 V2
(constante massa)
T2
Let op consistentie in gebruikte units.
103 L
=
106 cm3
X ◦C
⇒ 1 m3
⇒ 273.15 + X K
1atm
=
1.01325 bar
N
m2
⇒ 1.01325 105 Pa
=
11.2
1.01325 105
Moleculaire eigenschappen van materie
mtotaal
M
ρ
= nM
= NA m
mtotaal
=
V
26
11.3
Kinetisch-moleculair model
Volgens de kinematica staan de staatvariabelen als volgt in relatie met elkaar :
2 N
1
p =
m(v 2 )av
3 V
2
11.4
Equipartitie van energie
Elke vrijheidsgraad voegt 1/2kT energie toe aan het systeem. Merk op dat de
vrijheidsgraden deze zijn die geassocieerd zijn aan : translatie, rotatie & vibratie
van molecules.
Een gevolg hiervan is dat :
nCv dT
=
3/2nR dT
= dQ
Cv
=
3/2R (monoatomisch)
=
5/2R (polyatomisch)
=
3R (monoatomisch vast)
27
Chapter 12
De eerste wet van de
thermodynamica
12.1
Warmte & werk in thermodynamische processen
De hoeveelheid werk om van toestand (a) naar toestand (b) te gaan is padafhankelijk.
Werk uitgevoerd door gas (systeem) bij een volumeverandering (bvb een piston):
Z V2
W =
p dV
V1
Bij constante druk geldt :
W = p(V2 − V 1)
12.2
Eerste wet van de thermodynamic
De interne energie (U) van een systeem is enkel afhankelijk van de staat van het
systeem en niet van de manier waarop er naar die staat gegaan wordt.
∆U
=
Q−W
dU
=
dQ − dW
De interne energie van een geisoleerd systeem is constant (Q = W = 0 dus
∆U = 0).
Bij een cyclisch proces geldt dat de begintoestand gelijk is aan de eindtoestand
(Q = W dus ∆U = 0).
28
12.3
Speciale klasses van processen
Adiabatische processen waarbij er geen warmteuitwisseling naar/van het
systeem is. (Q = 0).
Isochore processen
waarbij het volume constant blijft. (W = 0).
Isobare processen
waarbij de druk constant is. (W = p(V2 − V1 ))
Isotherme processen waarbij
de temperatuur constant is. (voor ideale :
V2
Q = W en W = nRT ln V1 )
12.4
Thermodynamica van een ideaal gas
Ideale gassen vergemakelijken het gebruik van de 1ste wet van de thermodynamica. Het komt er bij ideale gassen bij ALLE processen op neer dat :
∆U = nCV ∆T
12.4.1
Isochoor
Bij constant volume (isochoor) geldt dat er geen arbeid verricht wordt, en is de
interne energie volledige afhankelijk van de warmte. Dus:
dU = dQ = nCV dT
12.4.2
isobaar
Bij constante druk (isobaar):
dU
= dQ − dW
= nCP dT − nRdT
= n(CP − R)dT
Verder geldt ook (CX = molaire warmte capaciteit van ideaal gas bij constante X):
12.4.3
CP
=
CV + R
γ
=
CP /CV
Adiabatisch
Bij een adiabatisch proces voor een ideaal gas geldt er dat :
pV γ = constant
T V γ−1 = constant
29
De arbeid geleverd door het gas (in adiabatische expansie) kan uitgedrukt worden als :
W
=
=
=
nCV (T1 − T2 )
CV
(p1 V1 − p2 V2 )
R
1
(p1 V1 − p2 V2 )
γ−1
Hier is γ :
γ
=
CP
CV
1.67 (monoatomisch)
=
1.40 (diatomisch)
=
30
Chapter 13
De tweede wet van de
thermodynamica
13.1
Reversibele en irreversibele processen
Een reversibel proces, is een proces waarin de richting veranderd kan worden
door een infinitesimale verandering in staat van het proces, en waarin het systeem altijd in, of zeer dichtbij het thermisch evenwicht ligt. Alle andere processen zijn irreversibel (alle processen van de natuur zijn irreversibel).
13.2
Heat engine
Een warmtemotor (heat engine) neemt een bepaalde warmte (QH ) op en zet
deze om in een arbeid (W ). Het overschot (QC ) wordt op lagere temperatuur
weggegooid. De efficientie (e) van de motor wordt uitgedrukt als de ratio van
verkregen arbeid t.o.v. input (warmte).
W
> 0
QH
> 0
QC
< 0
= QH − |QC |
W
e =
QH
QC = 1 − QH W
Een 4-stroke interne verbrandingsmotor volgt een Otto-cylcus (cfr. p678). De
efficientie hiervan (gegeven compressie ratio r) is :
e
=
1−
31
1
rγ−1
13.3
Refrigerators
Een koeler (refrigerator) neemt een warmte QC van een koele plaats en werk
W als input en gooit een zekere warmte QH weg naar een warme plaats. De
performantie wordt bepaald door de performantiecoëficient (K).
W
< 0
QH
< 0
QC
> 0
|QH | = QC + |W |
|QC |
K =
(koelen)
|W |
|QH |
=
(opwarmen)
|W |
13.4
De tweede wet van de thermodynamica
Engine-formulering Het is onmogelijk om een warmtemotor te construeren
die, in een cyclus opererend, geen ander effect heeft dan input energie (van een
reservoir) om te zetten in output arbeid.
Refrigerator-formulering Het is onmogelijk om een cyclische machine te
bouwen, die als enige effect de continue overdracht van energie d.m.v. warmte
heeft van een object naar een ander object op hogere temperatuur, zonder input
van energie door arbeid.
Entropie-formulering
groten.
De entropie van een geı̈soleerd systeem kan enkel ver-
Beide formulering zijn equivalent en wijzen op de onmogelijkheid van een perpetuum mobile.
13.5
Carnot-cyclus
Een Carnot-cyclus is een thermodynamisch systeem met maximale efficiëntie
tussen twee warmte-reservoirs op temperaturen TH en TC , dat enkel reversibele
processen gebruikt.
e
=
KCarnot
=
32
TC
TH
TC
TH + TC
1−
13.6
Entropie
Entropie (S), is een staat-variabele die quantitatief de maat van ongeordendheid
(chaos) aanduidt. Geisoleerde systemen neigen naar ongeordendheid.
dS
=
∆S
=
dQ
T
Z 2
1
dQ
(reversibele processen)
T
Voor reversibele processen in het algemeen geldt dat :
I
dQ
∆S =
=0
T
Dus geldt dit ook voor een Carnot-cylcus (∆S = 0), waaruit :
|QH |
|QC |
=
TH
TC
Voor irreversibele processen geldt dat :
∆S > 0
33
Part IV
Electromagnetisme
34
Chapter 14
Elektrische lading &
Elektrisch veld
14.1
Behoud van lading
De netto lading van een geı̈soleerd systeem is constant in de tijd.
14.2
Wet van Coulomb
Beschrijft de interactie tussen twee puntladingen op afstand r van elkaar. Het
superpositiebeginsel stelt dat de kracht van meerdere puntladingen op een andere puntlading gelijk is aan de vectoriële som van die puntladingen.
F
F~q
1 |q1 q2 |
4π0 r2
X
F~iq
=
=
i
=
14.3
1 X qi
q
r̂i
4π0 i ri2
Elektrisch veld
Het elektrische veld is de kracht per eenheidslading uitgevoerd op een testlading
op eender welk punt in de ruimte.
~
E
=
~
E
=
F~0
q0
1 q
r̂
4π0 r2
Bij velden met continue ladingsverdeling kunne we ook het superpositiebeginsel
toepassen (vectorsom / integratie over ladingsdichtheid).
dQ = λ dl
35
dQ = σ dA
dQ = ρ dτ
Z
~ =
E
dE
τ σρ
Z
1
dQ
r̂
=
4π0 τ σρ r2
Met dichtheden :
λ
=
σ
=
ρ =
Q
l
Q
A
Q
V
Elektrische velden worden voorgesteld door elektrische veldlijnen met als karakteristieken :
• Geven richting en zin aan
• Starten op positieve en eindigen op negatieve lading
• Aantal veldlijnen (densiteit) geeft sterkte van veld aan
14.4
Dipool in homogeen elektrisch veld
Een dipool in een homogeen elektrisch veld ondergaat een torsie. van de negatieve
naar de positieve pool met :
p
=
τ
=
~τ
U
qd
pE sin φ
~
= p~ × E
~
= −~
p·E
36
Chapter 15
De wet van Gauss
Flux is een maat van ‘flow’ van een electrisch veld door een oppervlak. Meer
algemeen, voor een willekeurig volume, geldt:
Z
ΦE =
Ecosφ dA
Z
~ · dA
~
E
ΦE =
De wet van Gauss stelt dan dat :
I
ΦE
=
E cos φ dA
I
=
=
~ · dA
~
E
Qencl
0
Waarbij de cirkelintegraal over een gesloten oppervlak kan genomen worden als
de som van elk oppervlak. Met hulpeigenschappen:
~ ⊥A
~ ⇒
E
⇒
E
Z = constant
~ dA
~ = ±EA
E
A
~ kA
~ ⇒
E
⇒
~ =0 ⇒
E
E⊥ = 0
Z
~ dA
~=0
E
A
Z
~ dA
~=0
E
A
37
Chapter 16
Elektrische potentiaal
16.1
Elektrische potentiaal
Elektrisch potentiaalverschil tussen twee toestanden is het verschil in elektrische
potentiële energie van die twee toestanden.
UB − UA
q
Z B
~ · d~s
E
= −
VB − VA
=
A
Voor een puntlading is de potentiaal gedefinierd als min de arbeid per eenheid van lading die het veld verricht om een testlading van oneindig naar P te
brengen.
VP
Up
q
Z
= −
=
P
~ d~s
E
∞
Deze wordt uitgedrukt in volt : 1V = 1J/C. De potentiaal kan berekend worden
via :
~ =k
E
X Qi
ri2
i
r̂i (0-D)
Z
λr̂
~ =k
dl (1-D)
E
2
L r
Z
σr̂
~ =k
E
dA (2-D)
r2
ZS
ρr̂
~ =k
E
dτ (3-D)
2
τ r
Waaruit :
~P = k
V
X Qi
i
ri
38
(0-D)
Z
λ
~P = k
dl (1-D)
V
L r
Z
σ
~P = k
V
dA (2-D)
r
ZS
ρ
~P = k
V
dτ (3-D)
τ r
16.2
Elektrisch veld & equiptentialen
Equipotentiaaloppervlakken hebben de volgende eigenschappen :
• E staat loodrecht op een equipotentiaalvlak
• E wijst in de richting van dalende potentiaal
16.3
Eigenschappen van geladen geleiders
• Binnen een geleider is het elektrisch veld nul
• Binnen een geleider zijn er geen ladingen. Lading bevindt zich op het
oppervlak
• Het veld staat loodrecht op het oppervlak en heeft als grootte σ/0
• Een geleider is een equipotentiaalvolume
• Een veldsterkte aan het oppervlak is omgekeerd evenredig met de plaatselijke kromtestraal
Een rechtstreeks gevolg hiervan is de Corona-ontlading die zich voordoet op
scherpe punten rond dunne geleiders : boven een kritische elektrische veldsterkte
ondergaat het gas rondom deze punt een doorslag , het gas wordt geleidend.
39
Chapter 17
Capaciteit & Dielectrisch
17.1
Capaciteit van een condensator
Voor een condensator geldt dat onder een aangelegde spanningsverschil Va − Vb :
C
Q
Va − Vb
=
Eenheid : 1F = 1C/V . Dit vertaalt zich in :
Cvlakke
=
Cbol
=
Ccilinder
0 A
d
ra rb
rb − ra
2π0
= L ln rrab
4π0
Merk op dat in schakelingen geldt dat :
Cparallel
1
Cserie
17.2
= C1 + C2
1
1
=
+
C1
C2
Energie in een condensator
Opgeslagen energie.
U
1 Q2
2 C
1
QV
2
1
CV 2
2
=
=
=
Energiedichtheid
w=
1
0 E 2
2
40
17.3
Diëlektrica
Diëlektrica zijn nuttig omdat ze de capaciteit van een condensator kunnen verhogen met een factor K (de diëlektrische constante). Soms ook uitgedrukt in
permitiviteit . Voor een plaatcondensator :
1
Ei = E0 1 −
K
C = KC0
=
w
=
K0
1 2
E
2
Nota bene dat in een diëlektricum de volgende wetten gelden.
I
~ · d~l = 0
E
C
I
~ · dA
~ = Q − Qi
ΦE =
E
0
A
41
Chapter 18
Stroom, weerstand &
Elektromotieve kracht
18.1
Stroomsterkte
I
=
dQ
dt
Eenheid : 1A = 1C/s
18.2
Resistiviteit & conductiviteit
Wet van Ohm in sommige materialen (ohmse geleiders) is de stroomdichtheid
recht evenredig met de veldsterkte.
Resistiviteit (ρ) en conductiviteit (sigma) in functie van stroomdichtheid (J =
I/A).
ρ =
σ
=
E
J
1
ρ
Voor metalen geldt:
ρ(T )
18.3
ρ0 (1 + α(T − T0 ))
=
Weerstand
Weerstand.
R
=
Rserie
1
=
Rparallel
=
42
V
I
R1 + R2
1
1
+
R1
R2
Wet van pouillet :
R=
18.4
ρL
A
Bronspanning
Bronspanning is dient om elektromotirische kracht te leveren.
=
18.5
∆U
|q|
Wetten van Kirchhoff
Knooppuntenwet (behoud van lading)
stromen naar of van een knooppunt is nul.
: de algebraische som van de
Lussenwet (behoud van energie) : in een lus van een netwerk is de algebraische som van alle spanningen nul.
43
Chapter 19
DC Circuits
44