Invloed van de geometrie op de supergeleidende toestand

Faculteit Wetenschappen
Vakgroep Fysica en Sterrenkunde
Invloed van de geometrie op de
supergeleidende toestand in
metaalachtige nanokorrels
door Mario Van Raemdonck
Promotor: prof. dr. Dimitri Van Neck
Thesisbegeleider: dr. Stijn De Baerdemacker
Afstudeerwerk ingediend tot het behalen van de graad van master in
de fysica en sterrenkunde
Academiejaar 2011–2012
Toelating tot bruikleen
De auteur geeft de toelating dit afstudeerwerk voor consultatie beschikbaar te stellen
en delen van het afstudeerwerk te copiëren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik
valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de
verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit dit
afstudeerwerk.
Mario Van Raemdonck
11 juni 2012
i
Dankwoord
Graag zou ik iedereen willen bedanken die heeft bijgedragen tot de verwezenlijking van
dit eindwerk, in het bijzonder dank ik:
mijn promotor prof. dr. Dimitri Van Neck voor het scheppen van de mogelijkheid
dit onderzoek te verrichten;
mijn begeleider dr. Stijn De Baerdemacker voor de uitstekende begeleiding die ik
tijdens de totstandkoming van mijn thesis heb gekregen;
mijn familie voor hun niet aflatende steun;
tenslotte wil ik nog iedereen bedanken die me onrechtstreeks geholpen heeft bij het
verwezelijken van deze thesis;
ii
Invloed van de geometrie op de supergeleidende toestand in metaalachtige
nanokorrels
door
Mario Van Raemdonck
Afstudeerwerk ingediend tot het behalen van de graad van master in de fysica en sterrenkunde
Academiejaar 2011–2012
Universiteit Gent
Faculteit Wetenschappen
Promotor: prof. dr. Dimitri Van Neck
Samenvatting
In dit afstudeerwerk wordt de invloed van de geometrie op supergeleiding in nanokorrels onderzocht. Er wordt begonnen met een korte algemene inleiding over supergeleiding.
Nadien volgt nog een overzicht van de huidige toestand van het onderzoek naar supergeleiding in nanokorrels en wat er verandert ten opzichte van de klassieke bulk theorieën. Ook
wordt besproken hoe het ééndeeltjesspectrum van nanokorrels experimenteel gemeten kan
worden door middel van één-elektron-transistoren. Verder worden er twee methoden besproken om supergeleiding theoretisch te beschrijven namelijk BCS theorie en de exacte
Richardson-Gaudin oplossing. Er wordt ook telkens beschreven hoe men deze methoden
numeriek implementeert. In een tweede deel van deze thesis wordt aandacht geschonken
aan de bepaling van de ééndeeltjes spectra van nanokorrels met verschillende geometrieën.
In tegenstelling tot voorgaand onderzoek op supergeleiding in nanokorrels maken we geen
gebruik van uniform verdeelde energieniveaus en ook niet van energieniveaus met een
willekeurige spreiding (geproduceerd met ”random matrix” theorie) zie bijv. [SDD+ 00]
en [SV96]. Eerder bepalen we de energieniveaus door de Schrödingervergelijking op te
lossen met de randvoorwaarden die de geometrie van de nanokorrel ons geeft. Op deze
manier brengen we de geometrie rechtstreeks in verband met de supergeleidende eigenschappen van de nanokorrel. Daarna onderzoeken we enkele rechthoekige geometrieën
waar onzuiverheden in verwerkt zitten. Deze onzuiverheden worden gemodelleerd door
Dirac delta functies omsloten in de geometrie. Dit wordt gedaan in zowel één, twee als
drie dimensies. Dit systeem van Dirac delta-functies gebruiken we ook om enkele roosters te modelleren. Er wordt telkens geverifieerd of er een versterking plaatsvindt van de
condensatie-energie in functie van parameters van de onderzochte geometrieën. Er wordt
ook naar het volledige gecorreleerde spectrum gekeken van enkele eenvoudige problemen
en er wordt getracht eigenschappen van dit spectrum te verklaren in functie van de gebruikte koppelingsconstante en ééndeeltjesspectra. De formalismen die gebruikt worden in
het onderzoek naar de supergeleidende grondtoestand zijn: het BCS formalisme [BCS] (in
dit deel wordt ook nog de BCS kloof onderzocht) en de Richardson-Gaudin exacte oplossing van de gereduceerde BCS Hamiltoniaan [Ric63], zodat we deze twee formalismen met
iii
elkaar kunnen vergelijken. Tot slot wordt ook een analyse gemaakt van het verschil in snelheid tot het bekomen van resultaten tussen exacte diagonalisatie en de exacte oplossing
die het oplossen van de Richardson-Gaudin vergelijkingen ons geeft.
Trefwoorden: supergeleiding, geometrie, nanokorrels
iv
Inhoudsopgave
I
Inleidende begrippen
1
1 Algemene inleiding tot supergeleiding en nanokorrels
1.1 Supergeleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Het verlies van weerstand . . . . . . . . . . . . .
1.2 Nanokorrels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Één-elektron-tunneling spectroscopie . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 Theoretische beschrijving van supergeleiding in nanokorrels
2.1 inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Een fenomenologisch model voor ultra-kleine korrels met paarcorrelaties .
2.2.1 Beschrijving van het paringsprobleem . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Enkele algemene eigenschappen van de exacte eigentoestanden . .
2.3 Kanonieke karakterisatie van paarcorrelaties . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 De groot-kanonische BCS golffunctie . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Een kanonisch betekenisvolle definitie voor de paringsparameter .
2.3.3 Herverdeling van de bezettingswaarschijnlijkheden rond F . . . .
2.4 Veralgemeende variationele BCS methode . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Experimenteel bewijs van de voorkeur van de natuur voor paarvorming in
tijdsomgekeerde energieniveaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Gevolgen van het blokkeren van niveaus: pariteitseffecten . . . . . . . . .
2.7 De connectie tussen supergeleiding in de bulk limiet en de limiet van een
klein aantal elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Een
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
.
.
.
.
.
2
2
2
7
7
10
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15
15
16
16
18
21
22
23
24
25
. 28
. 31
. 31
exacte oplossing van de paringshamiltoniaan
inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Opnieuw het paringsprobleem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Afleiding Richardson-Gaudin vergelijkingen en exacte oplossing paringshamiltoniaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Enkele analytische oplossingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 De limiet van een grote koppelingsconstante . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Een analytische oplossing van het probleem van twee paren in twee
niveaus: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
De contractie-limiet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Afleiden vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Het oplossen van de TDA seculiere vergelijking . . . . . . . . . . . .
Het maken van de connectie tussen de TDA en het echte paringsprobleem .
v
35
35
35
37
41
41
44
45
45
47
48
3.6.1
Het afleiden van de vergelijkingen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
II Onderzoek van het effect van de geometrie op de supergeleidende
toestand van metaalachtige nanokorrels
51
4 Invloed van de geometrie op de supergeleidende korrels
4.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Balkvormige geometrieën . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Bepalen van het ééndeeltjes spectrum . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 De supergeleidende toestand in balkvormige geometrieën . . . . .
4.2.3 Onderzoek supergeleidende toestand in functie van de dichtheid aan
toestanden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Deeltjes opgesloten in een cirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Pizza sneden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Deeltjes in cilindrische geometrieën . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Sferische coördinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Vergelijking van de condensatie-energie van enkele geometrieën . . . . . .
4.7 Perturbatie theorie op de grenzen van een nanokorrel . . . . . . . . . . . .
4.7.1 Afleiding vergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.2 Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
52
52
53
53
55
.
.
.
.
.
.
.
.
.
59
63
65
66
67
70
77
77
78
5 Rechthoekige geometrieën in aanwezigheid van Dirac delta-functies
5.1 1-dimensionaal probleem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Definitie probleem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Berekening van de energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3 Enkele speciale gevallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Willekeurig aantal Dirac delta functies en dimensies . . . . . . . . . . . . .
5.3 Analyse van enkele geselecteerde problemen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 De oneindig diepe put die een repulsieve Dirac delta-functie bevat .
5.3.2 Meerdere Dirac delta-functies in een één-dimensionale potentiaalput
5.3.3 Benzeenlijn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Invloed van het veranderen van het aantal dimensies . . . . . . . . . . . . .
5.5 Het effect van onzuiverheden op balkvormige geometriën . . . . . . . . . . .
5.6 Vergelijking computationele snelheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
83
83
86
87
88
90
90
97
103
105
107
109
6 Besluit
110
A Newton-Raphson techniek voor een stelsel niet-lineaire vergelijkingen 113
vi
Lijst van figuren
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
Verloop van de elektrische weerstand in normale en supergeleidende materialen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Overzicht van de ontdekking van belangrijke supergeleidende materialen
met steeds hogere Tc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a) invloed van magnetisch veld op type I supergeleider b) invloed van magnetisch veld op type II supergeleider . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Draaikolken waarbinnen het materiaal zich in normale toestand bevindt
door het binnendringende extern magnetisch veld. Daarbuiten bevindt het
materiaal zich in de supergeleidende toestand. . . . . . . . . . . . . . . . .
Bij voldoende lage temperatuur zal er een netto aantrekkingskracht optreden tussen verschillende elektronen. De beweging van een conductie elektron zal rooster trillingen veroorzaken waar het elektron passeert, waardoor
er in de buurt van dat elektron een verhoogde dichtheid van positieve lading
optreedt die een ander elektron kan aantrekken. Dit is de essentie van het
mechanisme dat de formatie van Cooperparen beschrijft. . . . . . . . . . .
De figuur beschrijft de reden waarom supergeleiding ophoudt te bestaan
als de grootte van de korrel voldoende klein is. Verticale lijnen zijn getekend ter hoogte van elk ééndeeltjes energieniveau j , met een gemiddelde
afstand d tussen opeenvolgende niveaus. a) beeldt een ”grote korrel af ”
(d 4̃ ); b) een ”kleine” korrel (d ' 0.254̃);c) een ”ultra kleine” korrel
(d ' 4̃). De y-as representeert de functie u2j vj2 =
1.7
1.8
.
2
.
3
.
4
.
5
.
6
2
4̃ 2 4 2j +4̃
Herkenbaar uit
standaard BCS theorie, deze functie wordt gebruikt om de energie breedte
te illustreren (breedte 4̃ rond F ) waar de paar correlaties het sterkste
zijn. Kwalitatief gesteld correspondeert het aantal ééndeeltjesniveaus in dit
regime 4̃
d , met het aantal Cooperparen in het systeem. Het is logisch dat
het aantal Cooperparen kleiner als één wordt wanneer d ≥ 4̃ zodat er geen
theoretische basis meer is om het systeem supergeleidend te noemen. . . . . 10
a) Schematische doorsnede van de ultra kleine SET’s die RBT bestudeerden
in [RBT97] en b) het corresponderende schakelschema. . . . . . . . . . . . . 11
Stroom-spanning curves voor een ultra-kleine SET op T = 50mK voor een
verzameling uniform verspreide waarden voor Vg tussen −1.2 en 1.8 V.
De I − V curves vertonen een Coulomb-trapvormige structuur op een bias
spanning van enkele tientallen mV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
vii
1.9
Excitatiespectra van het monster in [RBT95] gemeten op T = 50mK en
H = 0.05T (het magnetisch veld werd aangelegd om de Al draden in de
normale toestand te houden), gemeten voor vier verschillende Vg -waarden,
die corresponderen met verschillende waarden van het gemiddelde aantal
elektronen in de korrel (van boven naar beneden: N + 1, N , N , N − 1).
De curves worden elk gelabeld door het geassocieerde knelpunt van de tunnelingswaarschijnlijkheid ΣL± dit geeft het deel weer van de totale tunnelingswaarschijnlijkheid die de coherente transfer van 1 elektron op (+) of van
(-) de korrel van (op) draad L. De knelpuntbarrière voor r = L werd in dit
dI
geval weergegeven. Afgebeeld is dV
in functie van de energie, met de energie
|eV |(CR +Cg )
gegeven als
= 0.73 |eV | De factor die de spanning naar energie
2C
omzet reflecteert de daling van de spanning over de barrière L. De grote
spectroscopische kloof tussen de eerste twee pieken in de middelste twee
curves en de afwezigheid van deze kloof in de bovenste en onderste curve,
weerspiegelt de energie kost van het opbreken van een paar in het excitatie
spectrum van een supergeleidende korrel met een even aantal elektronen,
dit impliceert dus dat N oneven is. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
dI
1.10 a) Vereenvoudigde weergave van een dV
-meting: het aantal beschikbare
transport kanalen doorheen discrete toestanden wordt bepaald door de bias
spanning V (in dit geval zijn er drie beschikbare transport niveaus). b)
De stroom en differentiële conductantie in functie van de bias spanning V
voor een van RBT’s ultra-kleine korrels. Na de drempel bepaald door de
Coulomb-blokkade (rond 5.5 mV) vertoont de stroom kleine stappen en de
differentiële conductantie fijne pieken, over een schaal van enkele mV, dit
weerspiegelt het discrete energiespectrum van de korrel. . . . . . . . . . . . 14
2.1
2.2
Een vereenvoudigde voorstelling van de exacte grondtoestand voor de gereduceerde BCS Hamiltoniaan, voor N even (a) en N oneven (b): deze grondtoestanden zijn coherente superposities van eigentoestanden van Ĥ0 (de
respectievelijke amplitudes worden niet weergegeven) met hetzelfde aantal elektronen; de meest linkse is in a) de even of in b) de oneven Fermi
grondtoestand |Fn i. De Fermi energie wordt aangeduid met een golvende
lijn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Voorstelling van vier typische variationele toestanden. Ze stellen (a) de even
grondtoestand |0i (b) de oneven grondtoestand | 21 i (c) de spin- 23 grondtoestand | 32 i en tenslotte (d) een spin- 32 geëxciteerde toestand. De eendeeltjes
niveaus werden getekend voor h = 0, met de chemische potentiaal halverwege tussen de niveaus -1 en 0 voor even systemen. (a), maar exact op
niveau 0 voor oneven systemen (b,c,d). De verbindingen tussen twee tijdomgekeerde toestanden stellen zogenaamde Cooperparen voor, wat betekent
(s,B) 2
dat ze een waarschijnlijkheid hebben van vj
om dubbel bezet te zijn
2
(s,B)
en een waarschijnlijkheid van uj
om volledig leeg te zijn. Volle lijnen
worden gebruikt om de niveaus aan te duiden die volledig bezet zouden zijn
in het niet-interagerend systeem, gestreepte lijnen voor niveaus die volledig
leeg zouden zijn in de afwezigheid van paar correlaties. . . . . . . . . . . . . 27
viii
2.3
2.4
2.5
0
Schematische voorstelling van de niet-tijd-omgekeerde toestand | 32 i . De
energieën van de één-deeltjes toestanden |j, ±i worden getekend voor : a)
h = 0 en b) voor 2h = 3d. Verder is ook schematisch aangeduid hoe niettijdsomgekeerde toestanden koppelen met elkaar volgens ui + vi a†i+3 a†i− in
de BCS achtige ansatz vgl. (2.38). Volle lijnen duiden weer toestanden
aan die volledig gevuld zouden zijn en stippellijnen niveaus die volledig leeg
zouden zijn in de afwezigheid van paarcorrelaties. . . . . . . . . . . . . . . . 30
Afhankelijkheid van het magnetisch veld van de excitatiespectra van dezelfde
korrel. Op a) Vg ≈ 110mV en b) Vg ≈ 180mV verder representeert elke
lijn een afzonderlijke piek van de conductantie in de dI/dV curves zo dat
we kunnen zien hoe de energie verandert met H. Pieken die naar boven
verschuiven zijn breder en minder duidelijk dan pieken die naar onder verschuiven (voor redenen die nog steeds niet goed begrepen zijn). De pieken
die naar boven verschuiven kunnen dus slechts voor een beperkt bereik van
H gevolgd worden voor ze opgaan in de ruis van de achtergrond. Het verschil tussen de lijnen geeft rechtstreeks het a) vaste N+1 en b) vaste N
excitatie spectrum van de korrel( met N oneven). De verticale gestreepte
lijnen duiden de eerste vier snijpunten van verschillende niveaus aan Hs,s0
gedefinieerd in vgl.(2.36). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
L en b) 4pb voor de paar brekende energieën in
De pariteit parameters a)4M
P
P
d
functie van 4̃
, gebruikmakend van de groot-kanonische BCS aanpak(gestippelde
lijn ) en de exacte oplossing van Richardson (vaste lijn). In a) wordt ook
nog een
resultaat getoond voor de niet gecorreleerde
Fermi zee
perturbatief
1
M
L
M
L
d 4P pert = 2 λd en het gerenormalizeerde resultaat 4P ren '
ad
2ln
4̃
d
4̃
2.6
in het bereik waar deze benadering geldig is :
1. Het binnenste figuurtje in a) bevat de Dyson vergelijking die gebruikt werd om de gerenormalizeerde koppeling λ̃ te berekenen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Log-log plot van de even condensatie energie (in eenheden 4̃ ) voor λ =
0.224 berekend door enkele verschillende methodes, verder is ook het asymptotische gedrag
−4̃
2d
2
voor
d
4̃
→ 0 weergegeven door de stippellijn . . . . 33
2.7
d
De bezettingswaarschijnlijkheden C̄j van vgl.(2.43) voor 4̃
= 0, 0.27, 1.09, 2.17, 4.34.
In alle drie de figuren geeft de vette lijn het d = 0 bulk BCS resultaat, cirkels
en sterren representeren C̄j -waarden voor discrete energieniveaus gelabeld
met index j. Waar we de exacte oplossing en de PBCS methode gebruiken.
Voor d = 0.274̃ zijn de twee methodes ononderscheidbaar. Voor kleine d
waarden zijn de paarcorrelaties gelokaliseerd binnen een paar 4̃ van F . Als
d stijgt worden deze steeds meer uitgesmeerd van F weg naar de staarten.
Vergeleken met het exacte resultaat , overschat de PBCS methode deze delokalisatie wat meteen ook een van de redenen geeft waarom de overgang
van het (SC) regime naar het (FD) regime te bruusk gebeurt bij de PBCS
methode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1
Reëel en imaginair deel van de Richardson-Gaudin variabelen voor een systeem dat bestaat uit twee paren in twee niveaus die elk tweevoudig ontaard
zijn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
ix
3.2
Grafische voorstelling van een oplossingstechniek van de TDA seculiere
vergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.1
Eerste 10 energieniveaus van een deeltje opgesloten in een balk met lengtes:
L1 , L2 = L11 , L3 = 1, constant volume V = 1. De energie wordt gegeven
2
nx
2 2
2
door: π 2 L
2 + ny L1 + nz . Voor elke L1 worden de laagste 10 niveaus in
1
volle en hogere niveaus in stippellijn weergegeven. De tweede figuur geeft de
niet-interagerende grondtoestand weer van 5 paren in deze balken. De onderste figuur geeft de gemiddelde afstand tussen de eerste 10 energieniveaus
weer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
De condensatie-energie en grondtoestandsenergie van balkvormige geometriën
in functie van L1 , de dimensies van de balk worden gegeven door (L1 , L11 ,1).
Resultaten worden weergegeven bij koppelingsconstantes: -400, -10, -1, 0.1. Het aantal paren is gelijk aan 5 genomen, met het aantal niveaus gelijk
aan 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Condensatie- en grondtoestandsenergieën van een balk met lengtes: L1 , L2 =
1
L1 , L3 = 1 en bij koppelingsconstante gelijk aan -400, -20 en -0.5. Het energievenster 2ωD = 80 genomen. Het aantal paren is 5 en het aantal niveaus
varieert tussen 10 en 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Het aantal ééndeeltjesniveaus van een balk met lengtes: L1 , L2 = L11 , L3 = 1
dat in het interval [E0 , E0 + 2ωD ] vervat zit met ωD = 80 genomen en E0
de grondtoestand in functie van L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Condensatie- en grondtoestandsenergie van een balk met lengtes: L1 , L2 =
1
L1 , L3 = 1 en bij koppelingsconstante gelijk aan -400. Het energievenster is
2ωD = 80 genomen. Het aantal paren is 5. L1 begint bij de kleine waarde
van 0.1 waardoor de dichtheid van de toestanden zeer groot is ten opzichte
van L1 in [0.5,2]. Het aantal niveaus varieert tussen 8 en 43. . . . . . . . . .
Condensatie- en grondtoestandsenergie van een balk met lengtes: L1 , L2 =
1
L1 , L3 = 1 en bij koppelingsconstante gelijk aan -400. Het energievenster
is 2ωD = 200 genomen. Het aantal paren is 5, het aantal niveaus varieert
tussen 38 en 34. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Condensatie- en grondtoestandsenergie van een balk met lengtes: L1 , L2 =
1
L1 , L3 = 1 en bij koppelingsconstante gelijk aan -400. Het energievenster
is 2ωD = 200 genomen. Het aantal paren is 10, het aantal niveaus varieert
tussen 38 en 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a) de condensatie-energie van 10 paren in 20 niveaus van een deeltje opgesloten in een pizzasnede bepaald door φmax en R zodat het oppervlak constant blijft (S =1), terwijl φmax varieert. b) het supergeleidende spectrum
zonder paarbrekingen in beschouwing te nemen van 3 paren in 6 niveaus
bekomen met de Richardson-Gaudin methode voor φ = 2.4 rad en oppervlak S = 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
De eerste 10 energieniveaus van deeltjes opgesloten in een cilinder in functie
van r. Alle cilinders hebben volume gelijk aan 1, straal r en H bepaald door
1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
πr2
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
x
55
58
61
62
62
63
63
65
67
4.10 De condensatie-energie en grondtoestandsenergie van enkele lichamen met
hetzelfde volume (V = 1). (De balk wordt op dezelfde manier gedefinieerd
als in sectie 4.2.2.) De koppelingsconstante varieert van -40 tot -0.1. De
resultaten zijn bekomen met de exacte Richardson-Gaudin methode (zie
Hoofdstuk: 3), het aantal paren = 6 en het aantal niveaus = 12. Merk
op dat de condensatie-energieën van de balk van lengte 10 en de cilinder
van lengte 10 gelijk zijn en deze van de bol, kubus en cilinder (H=1) zeer
dicht in elkaars buurt liggen. het onderste figuurtje geeft een ingezoomd
beeld om de drie laatst genoemde geometrieën beter met elkaar te kunnen
vergelijken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11 De condensatie-energie, de supergeleidende grondtoestandsenergie en de
BCS kloof van enkele lichamen met hetzelfde volume (V = 1). (De balk
wordt op dezelfde manier gedefinieerd als in sectie 4.2.2.) De koppelingsconstante varieert van -40 tot -0.1 De resultaten zijn bekomen met de veralgemeende variationele BCS methode van sectie: 2.4, het aantal paren = 6 en
het aantal niveaus = 12. Merk op dat de condensatie-energie van de balk
van lengte 10 en cilinder van lengte 10 gelijk zijn. . . . . . . . . . . . . .
4.12 Weergave van de condensatie-energie en BCS kloof van deeltjes opgesloten
in een cilinder (V = H = 1), het aantal paren = 6 en het aantal niveaus
= 12. De plotse val naar nul van de BCS kloof en de brute knik in de
condensatie-energie tonen de problemen met de groot-kanonische BCS benadering aan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.13 Geperturbeerde geometrie van rechthoek naar trapezium . . . . . . . . . .
4.14 Trapeziumvormige perturbatie van een rechthoek met φ lopend van 0.001
tot 0.091 in radialen (φ is de grootste hoek van de trapezium min π2 ).We
hebben 25 paren in 50 niveaus gekozen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.15 Een cilinder met straal r van het grondvlak en hoogte h, waarvan de straal
een sinusvormige perturbatie ondergaat afhankelijk van de lengtecoördinaat
van de cilinder. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1
5.2
5.3
5.4
De waarschijnlijkheidsdichtheid (ΨΨ∗ ) genormeerd op 1 van het probleem
van de oneindig diepe put met een breedte L = 1 en met een Dirac Delta
constante op x0 = 0.5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Linker lid van vgl.(5.15) met L = 1, x0 = 0.5 en V0 = 1. Snijpunten van
deze vergelijking met de x-as bepalen de mogelijke k-waarden, er wordt dus
een discreet energie spectrum bekomen en de oplossingen kunnen eenvoudig
visueel afgelezen worden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
De eerste 9 energieniveaus (afzonderlijk afgebeeld) en de eerste 10 energieniveaus (samen afgebeeld) van de oneindig diepe potentiaal put die een Dirac
delta-functie bevat op x0 met de constante voor de Dirac delta functie
v0 = 100 en de breedte van de potentiaal put L = 1 . . . . . . . . . . . .
De eerste 9 energieniveaus (afzonderlijk afgebeeld) en de eerste 10 energieniveaus (samen afgebeeld) van de oneindig diepe potentiaal put die een Dirac
delta-functie bevat op x0 = 0.5 met lengte L = 1 in functie van de constante
voor de Dirac delta-functie V0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xi
. 75
. 76
. 77
. 79
. 80
. 81
. 84
. 86
. 88
. 89
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
5.13
De niet-interagerende grondtoestand van 10 deeltjes en de gemiddelde afstand tussen de eerste 10 energieniveaus van een ééndimensionale oneindig
diepe potentiaalput van lengte L = 1. De put bevat een Dirac delta-functie
met constante v0 = 100 op plaats x0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
Zie Fig. 5.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
De supergeleidende grondtoestand en condensatie-energie van 5 paren in 10
niveaus van een ééndimensionale oneindig diepe potentiaalput met lengte
L = 1 die een Dirac delta-functie bevat met constante v0 = 100 op plaats
x0 . De koppelingsconstante wordt gelijk aan -1000, -400, -100, -80, -60 en
-0.5 genomen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
1) De gemiddelde afstand (d) tussen de eerste 10 niveaus en 2) de nietinteragerende grondtoestand van een deeltje opgesloten in een één-dimensionale
oneindige potentiaal put met een Dirac delta-functie op x0 = 0.5 in functie
van de constante voor de Dirac delta-functie v0 . . . . . . . . . . . . . . . . 95
De exacte condensatie-energie van 5 paren in 10 niveaus opgesloten in een
één-dimensionale oneindige potentiaalput die een Dirac delta-functie op
x0 = 0.5 bevat in functie van v0 , bij een koppelingsconstante van -400,
-100, -60, -20. In tegenstelling tot vorige figuren tonen we nu de supergeleidende grondtoestand niet, omdat deze niet interessant is. De correlaties
variëren niet van die aard om de vorm van de supergeleidende grondtoestand sterk te veranderen. De vorm van de supergeleidende grondtoestand
bij de beschouwde koppelingsconstantes wordt gedomineerd door de nietinteragerende grondtoestand. (zie Fig. 5.8). . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
De BCS kloof en de condensatie-energie van 5 paren in 10 niveaus opgesloten in een één-dimensionale oneindige potentiaalput die een Dirac deltafunctie op x0 = 0.5 bevat in functie van v0 , bij een koppelingsconstante
van -400, -100, -60 en -1 bekomen met de veralgemeende variationele BCS
oplossingsmethode beschreven in sectie: 2.4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
De eerste 10 energieniveaus van een oneindige potentiaalput met lengte
1.125, die 8 Dirac delta-functies bevat op posities 0.125, 0.25, 0.375, 0.5,
0.625, 0.750, 0.875, 1, in functie van v0 die voor alle 8 Dirac delta-functies
hetzelfde is. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
1) de gemiddelde afstand d tussen de eerste 10 niveaus van een deeltje opgesloten in een oneindig dimensionale potentiaalput van lengte 1.25, die 8 Dirac
delta-functies bevat op posities 0.125, 0.25, 0.375, 0.5, 0.625, 0.750, 0.875, 1,
bij een aantal geselecteerde koppelingsconstantes in functie van v0 de constante voor de Dirac delta-functies. 2) De niet-interagerende grondtoestand
van 10 deeltjes opgesloten in een oneindig dimensionale potentiaalput van
lengte 1.125, die 8 Dirac delta-functies bevat op posities 0.125, 0.25, 0.375,
0.5, 0.625, 0.750, 0.875, 1, bij een aantal geselecteerde koppelingsconstantes
in functie van v0 de constante voor de Dirac delta-functies. . . . . . . . . . 99
Waarschijnlijkheidsdichtheden van een deeltje opgesloten in een oneindige
potentiaalput die 8 periodieke Dirac delta-functies bevat. 1) 8 aantrekkende
Dirac delta-functies met vo = −50, 2) 8 afstotende Dirac delta-functies met
v0 = 50. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
xii
5.14 De supergeleidende grondtoestand en condensatie-energie van 5 paren in 10
niveaus, de deeltjes zitten opgesloten in een oneindig dimensionale potentiaalput van lengte 1.125, die 8 Dirac delta-functies bevat op posities 0.125,
0.25, 0.375, 0.5, 0.625, 0.750, 0.875, 1, bij een aantal geselecteerde koppelingsconstantes in functie van v0 de constante voor de Dirac delta-functies.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.15 De figuur geeft de eerste 10 niveaus weer van een deeltje opgesloten in een
één-dimensionale oneindig diepe potentiaalput van lengte 1.25, die 8 Dirac
delta-functies bevat op posities: 0.125, 0.25, 0.375, x0 , 0.625, 0.750, 0.875, 1
in functie van x0 met de constante voor alle Dirac delta-functies (v0 ) gelijk
aan -50 en 50. De linkerfiguur geeft v0 = −50 weer, de rechterfiguur geeft
v0 = 50 weer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.16 De condensatie-energie van 5 paren in 10 niveaus, opgesloten in een ééndimensionale oneindig diepe potentiaalput van lengte 1.25, die 8 Dirac deltafuncties bevat op posities: 0.125, 0.25, 0.375, x0 , 0.625, 0.750, 1 in functie
van x0 met de constante voor alle Dirac delta-functies (v0 ) gelijk aan -50
en 50, bij koppelingsconstantes gelijk aan:-400, -100 en -10. De linkerkolom
stelt de condensatie-energie voor van de aantrekkende Dirac delta-functies
(v0 = −50), de rechterkolom die van de afstotende Dirac delta-functies
(v0 = 50). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.17 30 Dirac delta-functies bevinden zich op de hoekpunten van de 7 aaneengesloten zes-hoeken, alle met dezelfde v0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.18 De eerste 10 energieniveaus van een deeltje opgesloten in een rechthoek met
zijden:L1 = 2.1 en L2 = 3.2, dat 30 Dirac delta-functies bevat waarvan
de posities een aaneengesloten patroon van 7 zes-hoeken vormen in het
centrum van het vierkant. Deze constructie heeft een breedte van 0.15 en
lengte 1.12, in functie van de constante v0 voor alle Dirac delta-functies. . 104
5.19 De condensatie-energie en supergeleidende grondtoestand van een deeltje
opgesloten in een rechthoek met zijden:L1 = 2.1 en L2 = 3.2, dat 30 Dirac
delta-functies bevat in de vorm van een aaneengesloten connectie van 7
zes-hoeken in functie van de constante v0 voor alle Dirac delta-functies.
Bij benadering liggen de zijden van het vierkant op oneindig. De koppelingsconstanten waar de berekening bij uitgevoerd is worden gegeven door
-1000 en -0.1. De berekening maakte gebruik van 50 paren in 99 niveaus. . 104
5.20 De condensatie-energie en supergeleidende grondtoestand van een deeltje
opgesloten in een 1-dimesonale, 2-dimensionale en 3 dimensionale geometrie,
alle lengtes zijn gelijk aan 1 genomen, in functie van de positie van één
repulsieve Dirac-delta functie met v0 = 100, bij koppelingsconstante = -400
, -80. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.21 De condensatie-energie en grondtoestandsenergie van een systeem met 5
paren in 10 niveaus opgesloten in een kubus met volume = 1, die een aantal
onzuiverheden bevat ten opzichte van een zuivere kubus die geen onzuiverheden bevat. ”Centrum” betekent een onzuiverheid op positie (0.5,0.5,0.5).
vo (-20,-20,-20),”driehoek” betekent drie onzuiverheden op posities:(0.25,0.25,0.5),
(0.75,0.25,0.5), (0.5,0.75,0.5), alle met v0 = -20. . . . . . . . . . . . . . . . 108
xiii
Lijst van tabellen
1.1
10 belangrijke doorbraken in het onderzoek naar supergeleiding
4.1
Tabel die enkele eigenschappen van de eerste 12 niveaus van het ééndeeltjesspectrum
en de supergeleidende grondtoestand van enkele willekeurig gekozen geometrieën weergeeft. De energie van de niet-interagerende grondtoestand van
enkele lichamen weergeeft met 12 deeltjes, d de gemiddelde afstand tussen
de ééndeeltjesniveaus van de eerste 12 niveaus van deze lichamen, de koppelingsconstante bij het optreden van het eerste en het laatste kritische punt
van de Richardson-Gaudin oplossingsmethode, de koppelingsconstante bij
het afbreken van de BCS benadering. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Weergave van de TDA startdistributies die horen bij de supergeleidende
grondtoestand van 6 paren en 12 niveaus van deeltjes opgesloten in een bol
met volume gelijk aan 1. De linkerkolom bevat de bijbehorende ééndeeltjesenergieniveaus
en niet de TDA oplossingen (want deze variëren met de koppelingsconstante). Ω stelt het aantal paren voor dat in een niveau gestopt kan worden, dit aantal kan groter zijn dan één door ontaardingen afkomstig van de
beschouwde geometrie. Deze geometrische ontaardingen tellen we echter als
afzonderlijke ééndeeltjesniveaus omwille van consistentie. Merk op dat het
5e niveau normaal gezien zeven paren kan bevatten. We beschouwen slechts
12 afzonderlijke ééndeeltjesniveaus. Dus hebben we dit niveau slechts tweemaal
meegenomen in de berekeningen van de supergeleidende eigenschappen van
de geometrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Weergave van de TDA startdistributies die horen bij de supergeleidende
grondtoestand van 6 paren en 12 niveaus van deeltjes opgesloten in een
cilinder met volume gelijk aan 1 en hoogte ook gelijk aan 1. De linkerkolom
bevat de bijbehorende ééndeeltjesenergieniveaus en niet de TDA oplossingen (want deze variëren met de koppelingsconstante). Merk op dat de
condensatie-energie van de balk en cilinder met lengte 10 samenvallen. Ω
stelt het aantal paren voor dat in een niveau gestopt kan worden. Dit aantal kan groter zijn dan één door ontaardingen afkomstig van de beschouwde
geometrie. Deze geometrische ontaardingen tellen we echter als afzonderlijke ééndeeltjesniveaus omwille van consistentie. . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.2
4.3
xiv
. . . . . .
6
4.4
Weergave van de TDA startdistributies die horen bij de supergeleidende
grondtoestand van 6 paren en 12 niveaus van deeltjes opgesloten in een
geperturbeerde cilinder met volume gelijk aan 1 en hoogte ook gelijk aan
1. De perturbatie die uitgevoerd werd was een sinusvormige perturbatie
van de straal met perturbatieparameter P = 100 (zie subsubsectie:4.7.2).
De linkerkolom bevat de bijbehorende ééndeeltjesenergieniveaus en niet de
TDA oplossingen (want deze variëren met de koppelingsconstante). Ω stelt
het aantal paren voor dat in een niveau gestopt kan worden, dit aantal
kan groter zijn dan één door ontaardingen afkomstig van de beschouwde
geometrie. Deze geometrische ontaardingen tellen we echter als afzonderlijke ééndeeltjesniveaus omwille van consistentie. . . . . . . . . . . . . . . . 82
xv
Deel I
Inleidende begrippen
1
Hoofdstuk 1
Algemene inleiding tot
supergeleiding en nanokorrels
1.1
1.1.1
Supergeleiding
Het verlies van weerstand
In 1908, ontdekte Heike Kamerlingh Onnes een manier om helium vloeibaar te maken.
Hij bereikte hierbij temperaturen zo laag als 4 K. In 1911 ontdekte hij dat kwik zijn
elektrische weerstand verloor wanneer het gekoeld werd tot een temperatuur van ongeveer
4 K [KO11] (zie Fig. 1.1). Heike was visionair genoeg om in te zien dat hij een nieuwe
fase had ontdekt [VDK10]. Hij merkte ook op dat door aanleggen van een magnetisch
veld en bij een voldoende grote stroom door het materiaal, het metaal terug in de gewone
toestand terechtkwam. Deze kritische stroom is zeer structuurafhankelijk. Hij noemde
het nieuwe fenomeen supergeleiding. Het zou 46 jaar duren vooraleer Bardeen, Cooper en
Schrieffer een theorie voorstelden die de resultaten van een groot aantal experimenten op
supergeleiders correct voorspelde [BCS].
Conventionele supergeleiding is een toestand van metalen beneden een bepaalde kritische temperatuur Tc . Meestal zijn goede geleiders geen goede supergeleiders in de zin dat
materialen met de hoogste kritische temperatuur om supergeleidend te worden meestal
slechte geleiders zijn bij kamertemperatuur. Supergeleidende materialen hebben als eigenschap dat als er een stroom wordt aangelegd in een gesloten kring die bestaat uit een su-
Figuur 1.1: Verloop van de elektrische weerstand in normale en supergeleidende materialen
2
Figuur 1.2: Overzicht van de ontdekking van belangrijke supergeleidende materialen met steeds
hogere Tc
pergeleidend materiaal, deze stroom ook zonder aangelegde spanning zal blijven stromen.
Doordat een kringstroom een magnetisch veld opwekt, kan er op deze manier een permanent magnetisch veld opgewekt worden. Het probleem bij conventionele supergeleiders is
echter dat de kritische temperatuur zeer laag ligt. De materialen moeten gekoeld worden
met behulp van vloeibare helium waardoor het bekomen en behouden van de supergeleidende toestand een complexe en dure opgave is. De hoogste Tc werd gevonden in Nb3 Ge
(∼23K) [Pa79]. Later werden ook keramische materialen gevonden met een veel hogere
kritische temperatuur [WAT+ 87]. Deze materialen kunnen gekoeld worden tot hun supergeleidende toestand met behulp van vloeibare stikstof. Deze materialen hebben echter
een ander probleem. Ze zijn zeer broos en daardoor is het zeer moeilijk om er draden van
te trekken. Een ander probleem is dat de supergeleidende toestand in deze materialen geen
grote stromen verdraagt. Een overzicht van de ontdekking van supergeleidende materialen
bij een steeds hogere kritische temperatuur is terug te vinden in Fig. (1.2) .
Let wel, supergeleiders zijn meer dan enkel perfecte geleiders ( E = 0), want er moet
nog aan een ander kenmerk voldaan worden voor een materiaal zich in de supergeleidende
toestand bevindt. Een supergeleider moet ook een extern magnetisch veld buitensluiten,
zodat voor het totale magnetisch veld binnen de supergeleider geldt dat B = 0, dit wordt
het Meissner effect genoemd. Rekening houdend met B = H +4πM en dat het geı̈nduceerd
veld gelijk moet zijn aan het uitwendig opgelegd veld Ba , dan wordt de magnetisatie M
a
van de supergeleider gegeven door M = −B
4π . Dit is het geval voor een perfecte diamagneet. Uitsluiting van de magnetische flux gebeurt dus door perfect diamagnetisme
veroorzaakt door oppervlakte stromen, die geı̈nduceerd worden om het binnenste van de
supergeleider af te schermen van het extern magnetisch veld. Verder worden supergeleiders
ook onderverdeeld in twee verschillende types, namelijk type I en type II supergeleiders.
Eenvoudig gezegd komt het erop neer dat ze verschillend reageren op een extern magnetisch veld. Type II materialen zijn beter bestand tegen magnetische velden, ze kunnen
3
sterkere velden aan voor de supergeleidende toestand breekt. Daardoor kunnen type II
supergeleiders beter gebruikt worden voor toepassingen in permanente magneten. De reden daarvoor is dat Type I supergeleiders slechts één kritisch veld hebben terwijl type
II supergeleiders twee kritische velden hebben (zie Fig. 1.3). Voor type II supergeleiders is er geen flux penetratie beneden Hc1 en beneden Hc2 worden de supergeleidende
regio’s bedreigd door regio’s met draaikolken van binnendringend magnetisch veld. Het
idee wordt getoond in Fig.1.4. De effecten van demagnetizerende velden worden verwaarloosd. Dit is gepast voor lange dunne materialen langs een as. Merk verder op dat type
II supergeleiders niet te verwarren zijn met de tussentoestand in type I supergeleiders
ten gevolge van vormafhankelijke effecten waardoor een deel van het materiaal zich in de
normale toestand bevindt.
Figuur 1.3: a) invloed van magnetisch veld op type I supergeleider b) invloed van magnetisch veld
op type II supergeleider
De supergeleidende toestand kan ook gebruikt worden om zeer zwakke magnetische
velden te meten. Dit leidde tot de ontwikkeling van SQUID’s of supergeleidende kwantum
interferentie apparaten. Het kritische magnetisch veld (dat de supergeleidende toestand
breekt) en de kritische temperatuur (waar het materiaal supergeleidend wordt) zijn gerelateerd met elkaar in de zin dat de hoogste kritische temperatuur voorkomt als er geen
extern magnetisch veld aanwezig is en de kritische temperatuur daalt als het extern magnetisch veld verhoogd wordt. De vergelijking die de afhankelijkheid van het kritische veld
van de temperatuur beschrijft wordt empirisch gevonden als:
"
2 #
T
Hc (T ) = Hc (0) 1 −
(1.1)
Tc
In 1950 onderzocht Fröhlich de elektron-phonon interactie [Fr50]. Hij stelde voor dat
deze interactie verantwoordelijk kan zijn voor de formatie van de supergeleidende toestand. Ongeveer rond dezelfde periode vonden Maxwell, Reynolds et. al. dat de kritische
temperatuur die de overgang naar de supergeleidende fase karakteriseert afhankelijk was
van de massa van de atomen waaruit de supergeleider opgebouwd was door onderzoek
te doen naar de supergeleidende eigenschappen van verschillende isotopen. Ze vonden
M α Tc ∼
= constant [RSWN50, Max50]. Dit experimentele resultaat versterkte het vermoeden dat de elektron-phonon interactie betrokken was bij de overgang naar de supergeleidende toestand. In het eenvoudigste model werd α = 12 gesteld. In 1957 ontwikkelden
4
Bardeen,Cooper en Schrieffer (BCS) uiteindelijk een formalisme dat zeer veel experimentele resultaten van conventionele supergeleiders kon verklaren. Hun ideeën waren
gelijkaardig aan die van Fröhlich. Een centraal idee van hun theorie werd in 1956 ontwikkeld door Cooper [Coo56]. Cooper analyseerde de elektron-phonon interactie op een
andere manier dan Fröhlich. Fröhlich besprak het effect van roostervibraties op de zelfenergie van de elektronen. Cooper analyzeerde het effect van de roostertrillingen op de
effectieve interactie tussen de elektronen en toonde aan dat er een aantrekkende interactie
optrad die ervoor zorgde dat paren van elektronen (de zogenaamde Cooper paren) gebonden toestanden vormden rond de Fermi energie 1.5. In het volgende hoofdstuk wordt een
veralgemening van de BCS theorie besproken specifiek voor nanokorrels en tonen we aan
dat de paar interactie een kloof veroorzaakt in de toestandsdichtheid van de één-elektron
energietoestanden. Met kloof bedoelen we dat het energie verschil tussen de grondtoestand
en de eerste geëxciteerde toestand significant groter is dan het energie verschil tussen de
eerste en tweede geëxciteerde toestand. Een van de belangrijkste vergelijkingen afgeleid
door BCS was:
−1
kTc = 1.14~ωD e N (0)V
(1.2)
Deze vergelijking brengt drie belangrijke eigenschappen van het materiaal in verband met
de kritische temperatuur Tc .
1. De Debye frequentie ωD ( een theoretische maximum frequentie van de vibraties van
de atomen in een rooster)
2. V die de sterkte van de elektron-phonon koppeling bepaalt
3. N (0) dat het aantal elektronen aanwezig op het Fermi niveau (bij een elektron in
dat niveau zijn de chemische potentiaal en potentiële energie gelijk) weergeeft
We kunnen dus de kritische temperatuur bepalen aan de hand van een aantal materiaalconstanten. Voor conventionele supergeleiders lukt dit zeer goed. Tenslotte sluiten we
deze sectie af met een tabel die een chronologische opsomming geeft van 10 belangrijke
doorbraken in het onderzoek naar supergeleiding, zie tabel (1.1)
Figuur 1.4: Draaikolken waarbinnen het materiaal zich in normale toestand bevindt door het binnendringende extern magnetisch veld. Daarbuiten bevindt het materiaal zich in de supergeleidende
toestand.
5
Figuur 1.5: Bij voldoende lage temperatuur zal er een netto aantrekkingskracht optreden tussen
verschillende elektronen. De beweging van een conductie elektron zal rooster trillingen veroorzaken
waar het elektron passeert, waardoor er in de buurt van dat elektron een verhoogde dichtheid
van positieve lading optreedt die een ander elektron kan aantrekken. Dit is de essentie van het
mechanisme dat de formatie van Cooperparen beschrijft.
Persoon
1. H. Kammerlingh Onnes
verwezelijking
Vloeibaar He
weerstand Hg → 0 op 4.19 K
2. W. Meissner en R. Ochsenfeld
3. F. en H.London
Perfecte diamagnetisme
4. V.L. Ginzburg en L.D.
Landau
A. A. Abrikosov
Verbetering
van
GL(Ginzburg-Landau)
vergelijkingen, Type II
GL limiet van BCS en orde
parameter
L.P. Gor’kov
5. A.B. Pippard
6.J.Bardeen,
J.Schrieffer
L.Cooper,
London vergelijkingen en flux
uitwijzing
fenomenologische vergelijkingen
Niet lokale elektrodynamica
en
Theorie van supergeleiding
7. I.Giaver
Eendeeltjes tunneling
8. B.D.Josephson
Paar tunneling
9. Z.Fisk, et al
Heavy fermion ”exotische” supergeleiders
Hoge Tc supergeleiding
10. J.G. Bednorz en K.A.
Muller
Datum/commentaar
1908-Start lage-T fysica
1911-Ontdekking supergeleidende toestand
1933-uitsluiten van flux
1935-B evenredig met de rotor
van J.
1950-GLAG vergelijkingen
1962-Nobelprijs, Landau
2003-Nobelprijs, Ginzburg
1957-Negatieve oppervlakte
energie
1959-Orde
parameter
evenredig met kloof parameter
1953- x en l afhankelijk van
gemiddeld vrije pad in legeringen.
1957- zie vgl: 1.2
1972-Nobelprijs (alle drie)
1960-Bepalen kloof energie
1973-Nobelprijs
1962-SQUIDS en metrologie
1973-Nobelprijs
1985-Paring volgens een ander
mechanisme als BCS
1986-Momenteel Tc over 100K
1987-Nobelprijs(beide)
6
Tabel 1.1: 10 belangrijke doorbraken in het onderzoek naar supergeleiding
1.2
1.2.1
Nanokorrels
inleiding
In deze sectie worden enkele aspecten besproken die de theoretische beschrijving van
nanokorrels verschillend maken dan die van bulkmaterialen. Er wordt ook ingegaan op
enkele experimentele doorbraken die het theoretisch onderzoek op metallische nanokorrels sterk stimuleerden. Onder nanokorrels wordt verstaan dat de korrels klein genoeg
zijn zodat het energie spectrum van de conductie elektronen discreet wordt. Een goed
overzichtsartikel hierover is [VDR01]. De grote doorbraak in het experimentele onderzoek
naar nanokorrels bestond uit het feit dat het discrete excitatie spectrum van één enkele
korrel gemeten kan worden. Dit wordt uitgevoerd met behulp van één-elektron spectroscopie: het spectrum wordt bekomen door de stroom-spannings (I − V ) karakteristiek van
een één-elektron-transistor die de korrel als centraal eiland bevat te analyseren. In het
volgende hoofdstuk wordt de theoretische beschrijving van supergeleiding in ultra-kleine
korrels besproken, en de aanpassingen ten opzichte van de standaard bulk theorieën.
Een van de meest fundamentele eigenschappen van de kwantummechanica is het feit
dat het energiespectrum van deeltjes die opgesloten zitten in een kleine regio discreet
of gekwantiseerd is. Het typische energieverschil tussen de verschillende energieniveaus
stijgt wanneer het volume van het systeem afneemt. In atomaire en nucleaire fysica zijn
spectroscopische technieken voor het meten en analyseren van zulke discrete spectra een
zeer goede informatiebron geweest over de krachten tussen de deeltjes en de correlaties
die ze ervaren [Klu10]. In vaste-stof fysica is het echter veel moeilijker om spectroscopisch
het discrete spectrum van een individueel monster te bekomen, omdat de onderzochte
systemen veel te groot waren zodat discrete energie niveaus niet onderscheiden konden
worden op de energieschaal die vastgelegd werd door de temperatuur.
In de loop van de laatste 15 jaar is dit echter veranderd door verbeterde microfabricatie
technieken, zodat het nu mogelijk is om systemen te onderzoeken van mesoscopische of
nanoscopische dimensies, met een karakteristieke lengte tussen een paar µm tot een paar
nm. Begin jaren ’90 werden halfgeleiders gebruikt om de eerste ”kwantumstippen” te fabriceren [JKDJ+ 92], dit zijn kleine druppels van lading opgesloten in een tweedimensionale
regio met een radius van de orde 50 nm. Dit was klein genoeg zodat discrete niveaus
in het spectrum van de conductie-elektronen konden worden onderscheiden, bij temperaturen in het 10-100 mK gebied. De techniek die hiervoor gebruikt werd is één-elektrontunneling spectroscopie [Gia60]. De stip is verbonden met twee draden via elektrostatisch
gedefiniëerde tunnel barrières om een één-elektron transistor (SET) te bekomen. Van
deze SET worden de stroom-spanningskarakteristieken gemeten en geanalyseerd. Onder
bepaalde condities vertoont de geleiding goed gedefiniëerde resonanties die geassocieerd
kunnen worden met tunneling door discrete eigentoestanden.
Midden jaren 90 werd er eenzelfde doorbraak geforceerd met metalen toen Ralph,
Black en Tinkham [RBT95] erin slaagden om één-elektron-tunneling spectroscopie uit
te voeren op individuele ultra-kleine metaal korrels (straal r ≤ 5nm en een gemiddeld
energieverschil tussen de niveaus van d ≥ 0.1meV). Dit gaf een nieuwe impuls aan het
onderzoek naar de correlaties van elektronen in een metaal: doordat nu discrete energieniveaus onderscheidbaar waren konden de correlaties veel gedetailleerder onderzocht worden. Zo werd één-elektron-tunneling spectroscopie van ultra-kleine metaal korrels gebruikt
om supergeleidende paarcorrelaties in Al korrels te onderzoeken [BRT96, RBT97]. Een
7
overzicht van enkele van de eerste experimenten wordt gegeven in de doctoraatsthesis van
Black [Bla96]. In het volgende hoofdstuk zullen we hun resultaten theoretisch en intuı̈tief
trachten te begrijpen.
Alhoewel tunnel-spectroscopische studies van metaalkorrels gelijkaardig zijn aan die
van halfgeleidende kwantumstippen, zijn er een aantal belangrijke verschillen.
1. Metalen hebben hogere toestandsdichtheden dan halfgeleiders (omdat halfgeleiders
kleinere elektrondichtheden en effectieve massa’s hebben), dus hebben metallische
nanokorrels een veel kleiner volume nodig ( . 10nm) om discrete toestanden zichtbaar te laten worden.
2. Metalen hebben grotere oplaadenergieën nodig dan kwantumstippen. Onder oplaad
energie wordt de typische energie verstaan die nodig is om het aantal elektronen dat
de korrel bevat N met één te veranderen. Een grotere oplaadenergie is voordeliger
wanneer fluctuaties over het aantal elektronen geminimaliseerd moeten worden. Dit
betekent echter ook dat voor kwantum stippen het aantal elektronen over een groter
bereik gevarieerd kan worden dan bij metaal korrels, dit is een nuttige eigenschap
bij het analyseren van statistische eigenschappen.
3. Men kan een groter aantal verschillende metalen bestuderen dan halfgeleiders, met
inbegrip van met onzuiverheden gedopeerde monsters (die proberen elektronen te
vangen of af te stoten). In kwantumstippen en legeringen geeft dit een soort van controle over de sterkte en het type van de interactie tussen de elektronen die bestudeerd
wordt. In het 2e deel van deze thesis modelleren we deze onzuiverheden als Dirac
delta-functie potentialen, verspreid doorheen de nanokorrel.
4. Voor metaalkorrels zijn de tunnelbarrières tot de draden gemaakt uit isolerende oxide lagen, in tegenstelling tot kwantumstippen die elektrostatisch gedefinieerd zijn.
Deze isolerende oxide lagen zijn ongevoelig voor aangelegde spanningen en zijn daardoor minder regelbaar dan de kwantumstippen. Beter regelbaar zijn is meestal een
voordeel, maar niet altijd: niet-evenwicht effecten zijn eenvoudiger kwalitatief te
bestuderen voor metaal korrels dan voor kwantum stippen, omdat bij kwantumstippen een grote spanning de tunnelingsbarrière verlaagt op ongecontroleerde wijze.
Een zeer interessante eigenschap van experimenten op ultra-kleine metaal korrels is
de mogelijkheid te bestuderen op welke wijze de effecten van een eindige geometrie, de
karakteristieke correlaties van een systeem kunnen beı̈nvloeden in vergelijking met de
bulkeigenschappen van dat systeem. Deze veranderingen treden op door mesoscopische
fluctuaties en de discretisatie van het energiespectrum. Een specifieke uitwerking hiervan
is in deel twee van deze thesis terug te vinden. De verschillen komen naar boven wanneer
de energieschaal die het discreet zijn van het spectrum karakteriseert, namelijk de gemiddelde afstand tussen de verschillende ééndeeltjesniveaus d = N (1 F ) ∼ V1 (met N (F ) de
toestandsdichtheid per spin), vergelijkbaar wordt met de energieschaal die de correlaties
in bulksystemen karakteriseert (zoals de energiekloof in supergeleiders). Deze effecten ten
gevolge van de eindige geometrie van metallische nanokorrels trokken sterk de aandacht
in het verleden, maar konden toen slechts bestudeerd worden in ensemble-uitgemiddelde
hoeveelheden. Voor een overzichtsartikel zie bijv. [PWM81].
RBT waren in staat tot het bepalen van de pariteit (even of oneven aantal elektronen)
van een gegeven korrel, door het bestuderen van de evolutie van het discrete spectrum
8
in een extern magnetisch veld. Voor een oneven korrel, splitste de grondtoestand zich op
zoals verwacht voor een spin − 12 Kramers doublet. De Landé g factor die bepaald werd
uit de grootte van de opsplitsing, lag in de buurt van de verwachte waarde g pure = 2. In
tegenstelling tot een korrel met een even aantal elektronen, waar de grondtoestand een
niet-gedegenereerd spin singlet is en er dus geen splitsing van de grondtoestand wordt
waargenomen.
Pariteits effecten werden ook waargenomen in RBT’s experimenten op grote ( r ≥ 5nm)
Al korrels [BRT96]: een even korrel had een afgescheiden spectroscopische kloof (4 d)
maar een oneven korrel niet. RBT interpreteerde deze observaties als bewijs voor het
bestaan van supergeleidende paarcorrelaties in hun grote korrels, door concepten te gebruiken van de BCS theorie van supergeleiding. In een even korrel, hebben alle geëxciteerde
toestanden minstens één gebroken Cooper paar, waardoor ze minstens 24 boven de
volledig gepaarde grondtoestand liggen. In tegenstelling tot een oneven korrel waar alle
toestanden op zijn minst één ongepaard elektron hebben, waardoor er geen significante
kloof zichtbaar is tussen de grondtoestand en geëxciteerde toestanden. Verder werd de
spectroscopische kloof van even korrels naar nul gedreven door een extern magnetisch veld,
waardoor het breken van de paringscorrelaties door een extern magnetisch veld in detail
bestudeerd kon worden. De bijbehorende theorie werd uitgewerkt door Braun, von Delft,
Ralph en Tinkham [BVDRT97] en zullen we in Hoofdstuk: 2 bestuderen.
In RBT’s kleinste korrels ( r ≤ 3nm), kon er echter geen duidelijke spectroscopische
kloof waargenomen worden. Deze observatie stimuleerde het theoretisch onderzoek sterk
en bracht een oude fundamentele vraag naar boven. Wat is het kleinste volume voor het
bestaan van supergeleiding in korrels? Anderson [And59] had deze vraag al gesteld in
1959, waar hij beargumenteerde dat supergeleiding niet meer mogelijk zou zijn wanneer
de gemiddelde afstand tussen de energieniveaus d groter wordt dan de bulk kloof die we
vanaf nu zullen noteren als 4̃, omdat dan 4̃ zijn betekenis als kloof verliest in een anders
continu spectrum. Dit lijkt logisch (zie Fig. 1.6 onderaan) aangezien 4̃
d kan geı̈nterpreteerd
worden als het aantal niet-interagerende elektron toestanden die gecorreleerd worden met
elkaar door het paringsmechanisme (deze met energieën 4̃ in de buurt van F ), m.a.w.
”het aantal Cooper paren ” in het systeem; wanneer dit kleiner of ongeveer gelijk aan
1 wordt kan men het systeem niet meer supergeleidend noemen. RBT’s experimenten
stimuleerden een aantal theoretische pogingen om de overgang van de bulk limiet d 4̃,
waar supergeleiding goed ontwikkeld is, naar het door fluctuaties gedomineerde regime
waar d 4̃ te begrijpen. In dit regime overleven de paarcorrelaties enkel als zwakke
fluctuaties. Het beschrijven van deze overgang vormde een conceptuele uitdaging, omdat
de standaard groot-kanonische BCS benadering van de paarcorrelaties niet meer geldig is
als d ≥ 4̃. Deze uitdaging zorgde voor de ontwikkeling van enkele geavanceerde kanonische
behandelingen van de paarcorrelaties gebaseerd op een eenvoudige gereduceerde BCSHamiltoniaan voor discrete energieniveaus. Deze theoriëen toonden aan dat de overgang
volledig continu is, maar afhangt van de pariteit van het aantal elektronen [VDZGT96]. De
belangrijkste conclusies van deze ontwikkelingen werden bevestigd [DS00] door gebruik te
maken van een exacte oplossing van het gereduceerde BCS model, ontdekt door Richardson
in de context van kernfysica in de jaren 60 [Ric63]. Het bestaan van deze oplossing bleef
lange tijd onopgemerkt in de vaste-stof gemeenschap. In dit eindwerk wordt vooral gebruik
gemaakt van de exacte oplossingsmethode ontdekt door Richardson om supergeleiding in
nanokorrels te beschrijven. De afleiding, enkele analytische oplossingen van de RichardsonGaudin vergelijkingen en een manier tot numerieke implementatie worden uitgewerkt in
9
Figuur 1.6: De figuur beschrijft de reden waarom supergeleiding ophoudt te bestaan als de grootte
van de korrel voldoende klein is. Verticale lijnen zijn getekend ter hoogte van elk ééndeeltjes
energieniveau j , met een gemiddelde afstand d tussen opeenvolgende niveaus. a) beeldt een ”grote
korrel af ” (d 4̃ ); b) een ”kleine” korrel (d ' 0.254̃);c) een ”ultra kleine” korrel (d ' 4̃). De
y-as representeert de functie u2j vj2 =
2
4̃
2
4 2j +4̃
Herkenbaar uit standaard BCS theorie, deze functie
wordt gebruikt om de energie breedte te illustreren (breedte 4̃ rond F ) waar de paar correlaties
het sterkste zijn. Kwalitatief gesteld correspondeert het aantal ééndeeltjesniveaus in dit regime 4̃
d,
met het aantal Cooperparen in het systeem. Het is logisch dat het aantal Cooperparen kleiner als
één wordt wanneer d ≥ 4̃ zodat er geen theoretische basis meer is om het systeem supergeleidend
te noemen.
Hoofdstuk: 3. Om aan te tonen dat conventionele BCS theorie de mist ingaat bij voldoende
kleine geometrieën en koppelingsconstanten wordt er ook een vergelijking met de BCS
oplossing gemaakt waarvan de theorie besproken wordt in Hoofdstuk: 2.
1.2.2
Één-elektron-tunneling spectroscopie
De experimenten waarmee Ralph, Black en Tinkham (RBT) erin slaagden om de discrete energieniveaus van zeer kleine metalen korrels onderscheidbaar te maken, werden
uitgevoerd met behulp van één-elektron-transistors (SET). Tijdens de eerste generatie experimenten uitgevoerd in 1995, werd een Al korrel verbonden met twee metalen draden
via tunnel-juncties met een hoge weerstand, met capaciteiten CL en CR . In de volgende
generatie experimenten werd aan de korrel nog een extra condensator met capaciteit Cg
verbonden. We bekomen dus de structuur van een SET met de korrel als centraal eiland.
Zie Fig. 1.7 voor het schakelschema. Door het aanleggen van een spanning V tussen de
twee draden stroomt er een tunnelstroom I tussen de draden door de korrel. De stroom
kan beı̈nvloed worden door het veranderen van de spanning Vg (vandaar ook de naam
transistor), deze regelt de elektrostatische potentiaal op de korrel en daardoor ook het
gemiddelde aantal elektronen N . Apparaten zonder poort kunnen deze twee grootheden
niet nauwkeurig afstellen. Deze hebben dan een vaste waarde die afhankelijk is van het
gebruikte monster. De grote vooruitgang van het werk van RBT zat in het feit dat ze door
middel van een nieuwe techniek SET’s van nanoscopische grootte konden maken: ze hadden zeer kleine korrels met stralen tussen 15 en 2 nm als centraal eiland. Het volume van
10
Figuur 1.7: a) Schematische doorsnede van de ultra kleine SET’s die RBT bestudeerden in [RBT97]
en b) het corresponderende schakelschema.
de korrels was dus enkele grootte-ordes kleiner vergeleken met voorgaande experimenten.
Dit had twee belangrijke gevolgen:
2
e
1. De oplaad energie van de korrel EC ≡ 2C
is veel groter dan bij mesoscopische SET’s.
EC is de waarde die de schaal bepaalt die instaat voor de energiekost bij het toevoegen van één elektron. Deze waarde is bij zeer kleine korrels veel groter dan alle andere
typische energieschalen van de SET, zoals de biasspanning (V ≤ 1 mV), de temperatuur (T ≤ 4.2K) en de supergeleidende kloof in de bulk voor Al (4̃ = 0.18meV).
Hierdoor worden fluctuaties van het aantal elektronen sterk onderdrukt.
2. Discrete eigentoestanden van het spectrum van de conductie-elektronen werden zichtbaar. De gemiddelde afstand tussen de niveaus d varieerde van 0.02 tot 0.3 meV.
Deze d-waarden zijn veel groter dan kB T voor de laagst bereikte temperaturen
(T w 30mK), maar van de orde 4̃. Dit is opmerkelijk aangezien het aantal conductieelektronen voor korrels van deze grootte toch redelijk groot is (tussen 104 en 105 ).
Nu bespreken we nog enkele patronen die zichtbaar werden in de experimenten van
RBT, gebruikmakend van het zogenaamde ”orthodoxe” of ”Coulomb-blokkade” model
[ALW91], dat aanneemt dat de elektrostatische potentiaal homogeen verdeeld is over de
korrel. Dit is slechts een benadering en afwijkingen van de voorspellingen van het orthodoxe model zullen optreden. Beschouwen we de SET getoond in Fig. 1.7. Laten we
Epot (Nex ) de elektrostatische arbeid voorstellen die nodig is om Nex elektronen met een
totale lading van Qex = eNex (met e < 0) aan een korrel met initiële lading Q0 toe te voegen, terwijl de tijdsonafhankelijke spanningen VL , VR en Vg van de linker- en rechterdraden
en de poortelektrode, vast gehouden worden. Binnen het orthodoxe model geldt:
Z
Qex +Q0
Epot (Nex ) =
V (Q) dQ
(1.3)
Q0
waar V (Q) de elektrostatische potentiaal van de korrel voor een gegeven lading Q voorstelt.
Deze wordt bepaald door Cr [Vr − V (Q)] = Qr waar Qr de lading op condensator r (=
L, R, g) en QL + QR + Qg = −Q. (In de afwezigheid van een poort heeft men Qg = 0 en
moet Cg = 0 gesteld worden.) Definiëren we nu:
C ≡ CL + CR + Cg
X
qD ≡
Cr V r ,
r=L,R,g
11
(1.4)
(1.5)
dan bekomen we:
Vr Cr − Qr = V (Q) Cr (r = R, L, g)
VR CR − QR + VL CL − QL + Vg Cg − Qg
⇒ V (Q) =
CR + Cg + CL
qD + Q
V (Q) =
.
C
(1.6)
(1.7)
(1.8)
Voeren we nu de integratie uit om de potentiële energie te bekomen:
Z
Qex +Q0
Epot (Nex ) =
Q0
qD + Q
dQ
C
qD Qex Q2ex Qex Q0
+
+
=
C
2C
C
qD + Q0 Q2ex
2
= Qex
+
= eVD Nex + EC Nex
.
C
2C
(1.9)
0
gedefiniëerd, en omdat de eerste term in het rechterlid van vgl.
Hier hebben VD ≡ qD +Q
C
(1.9) lineair is in het toegevoegde aantal elektronen kunnen we VD zien als de elektrostatische potentiaal over de korrel. Voor apparaten met een poort kan Q0 opgeslorpt worden
0
in qD door het verschuiven van Vg met een waarde van −Q
Cg . De tweede term van het
rechterlid van vgl. (1.9) representeert de Coulomb interactie energie van de Nex extra
elektronen door hun wederzijdse afstoting. Herschrijven we Epot :
Epot (Nex ) = EC (Nex − nD )2 − EC n2D
(1.10)
D
waar nD ≡ −eV
2EC . Nu is het duidelijk dat voor een bepaalde waarde van nD , het systeem
Nex zal aanpassen om het natuurlijk getal zo dicht mogelijk bij nD te bekomen, om de
potentiële energie Epot te minimaliseren. Het totale aantal deeltjes dat de korrel bevat kan
dus gecontroleerd worden in discrete stappen door het variëren van nD via de spanning
waarvoor de poort Vg zorgt. Omdat het verschil van de elektrostatische energie:
±
δEpot
(Nex ) ≡ Epot (Nex ± 1) − Epot (Nex )
(1.11)
tussen korrels met Nex ±1 of Nex extra elektronen verdwijnt wanneer nD halverwege tussen
Nex ± 1 en Nex in ligt, worden deze waarden van nD gedegenereerde punten genoemd.
Transport is enkel mogelijk door een korrel met Nex elektronen als:
±
min δEpot
(Nex ) ≤ max [kB T, |eV |]
(1.12)
dus m.a.w. als de ”Coulomb barriëre” voorgesteld door vgl. (1.11) kleiner is dan de
thermische energie of de bias spanning. Als deze beide klein zijn (kB T, |eV | EC )
zal transport volledig geblokkeerd worden. Dit is de zogenaamde ”Coulomb blokkade”,
die optreedt ver verwijderd van de gedegenereerde punten. De lineaire-respons geleiding
vertoont ”Coulomb oscillaties” als functie van Vg : hieronder verstaan we een serie pieken
met uniforme afstand van 1 in de nD ruimte en omdat:
nD = −
CL VL + Cg Vg + CR VR + Q0
(qD + Q0 ) C
=−
Ce
e
12
(1.13)
Figuur 1.8: Stroom-spanning curves voor een ultra-kleine SET op T = 50mK voor een verzameling
uniform verspreide waarden voor Vg tussen −1.2 en 1.8 V. De I − V curves vertonen een Coulombtrapvormige structuur op een bias spanning van enkele tientallen mV.
zien we dat deze een afstand van Ceg hebben in de Vg ruimte (zie Fig. 1.8). Tussen
gedegenereerde punten zal transport bij zeer lage temperatuur enkel mogelijk zijn met een
grote bias spanning, wat zal leiden tot niet-evenwicht effecten die we willen vermijden.
Omdat de twee energie schalen EC en d minstens een orde van grootte verschillen,
manifesteren ze zichzelf in twee afzonderlijke en eenvoudig scheidbare paden in de lagetemperatuur I − V curves van de apparaten.
1. Wanneer V varieert over enkele tientallen mV, hebben de I − V curves een typische
”Coulomb-trap vorm” die karakteristiek is voor SET’s : geen stroom op lage | V |
waarden (het regime waar de Coulomb blokkade optreedt), waarna er enkele trappen optreden gelijkmatig verdeeld over V , met de V -waarde waar de trap optreedt
afhankelijk van Vg . Wanneer Vg gevarieerd wordt, herhaalt de I − V curve zich met
een periode Ceg .
2. Wanneer V bekeken wordt op veel kleinere schaal, een paar mV rond de drempel van
het regime waar de Coulomb blokkade optreedt, met een voldoende lage temperatuur
( T d), dan zien we dat de I − V curves een stapvormige substructuur hebben,
zoals reeds aangetoond werd door Averin en Korotkov [AK90]. Deze kleine stappen
in de I − V curve worden verwacht telkens wanneer het spanningsverschil over een
van de tunneljuncties gelijk wordt aan de drempelenergie van de tunnelingswaarschijnlijkheid langs de junctie in of uit één van de discrete energie-eigentoestanden. Er
wordt aldus een nieuw kanaal geopend om stroom langs de junctie te dragen (zie
Fig. 1.10). Verder zien we dat de grafiek van de differentiële conductantie een serie
pieken bevat (zie Fig. 1.9). De afstand tussen deze pieken weerspiegelt op directe
wijze de energieverschillen tussen de energie-eigentoestanden met hetzelfde aantal
elektronen N in de korrel. Zulke curves van de conductantie bevatten dus rechtstreeks het vaste-N excitatiespectrum van de korrel, of meer precies, de verzameling
energie verschillen
N
δεN
= εN
α − εα 0
αα0
voor die finale eigentoestanden |αiN van de N -elektron korrel die toegankelijk zijn
voor een tunnelingsproces dat een elektron verwijdert of toevoegt aan de korrel als
de initiële grondtoestand respectievelijk (N + 1) of (N − 1) elektronen heeft.
13
Als er een poort aanwezig is, kan men Vg afstellen op een waarde die groot genoeg is (' EeC )
om N met een eenheid te veranderen. Daardoor kan men dus de invloed van de pariteit op
het spectrum bestuderen. Men kan ook Vg zo afstellen dat het Coulomb blokkade regime
groot of klein is, zodat de V -drempel die bepaalt wanneer de stroom begint te stromen
groot of klein is. Zo kunnen niet-evenwichtseffecten gemaximaliseerd of geminimaliseerd
worden, afhankelijk van de wens ze te bestuderen of niet.
Figuur 1.9: Excitatiespectra van het monster in [RBT95] gemeten op T = 50mK en H = 0.05T (het
magnetisch veld werd aangelegd om de Al draden in de normale toestand te houden), gemeten voor
vier verschillende Vg -waarden, die corresponderen met verschillende waarden van het gemiddelde
aantal elektronen in de korrel (van boven naar beneden: N +1, N , N , N −1). De curves worden elk
gelabeld door het geassocieerde knelpunt van de tunnelingswaarschijnlijkheid ΣL± dit geeft het deel
weer van de totale tunnelingswaarschijnlijkheid die de coherente transfer van 1 elektron op (+) of
van (-) de korrel van (op) draad L. De knelpuntbarrière voor r = L werd in dit geval weergegeven.
|eV |(CR +Cg )
dI
Afgebeeld is dV
in functie van de energie, met de energie gegeven als
= 0.73 |eV | De
2C
factor die de spanning naar energie omzet reflecteert de daling van de spanning over de barrière
L. De grote spectroscopische kloof tussen de eerste twee pieken in de middelste twee curves en
de afwezigheid van deze kloof in de bovenste en onderste curve, weerspiegelt de energie kost van
het opbreken van een paar in het excitatie spectrum van een supergeleidende korrel met een even
aantal elektronen, dit impliceert dus dat N oneven is.
dI
Figuur 1.10: a) Vereenvoudigde weergave van een dV
-meting: het aantal beschikbare transport
kanalen doorheen discrete toestanden wordt bepaald door de bias spanning V (in dit geval zijn er
drie beschikbare transport niveaus). b) De stroom en differentiële conductantie in functie van de
bias spanning V voor een van RBT’s ultra-kleine korrels. Na de drempel bepaald door de Coulombblokkade (rond 5.5 mV) vertoont de stroom kleine stappen en de differentiële conductantie fijne
pieken, over een schaal van enkele mV, dit weerspiegelt het discrete energiespectrum van de korrel.
14
Hoofdstuk 2
Theoretische beschrijving van
supergeleiding in nanokorrels
2.1
inleiding
De supergeleidende eigenschappen van conventionele supergeleidende bulk materialen worden goed beschreven door de BCS benadering [BCS]. Dit is echter een gemiddeld veld
benadering die geen rekening houdt met fluctuaties. Zo is het aantal elektronen niet
constant in deze benadering, wat nefast is voor kleine systemen zoals nanokorrels. Het
niet constant zijn van het aantal elektronen kan men oplossen door gebruik te maken van
”particle projected BCS ” (PBCS) eerst voorgesteld door Bayman in 1960, waarbij de
BCS toestand uitgeprojecteerd wordt op een toestand met het gewenste aantal deeltjes
N [Bay60]. Maar er is geen correctie voor de fluctuaties die optreden ten gevolge van de
eindige grootte van de kleine korrels. Zeer kleine systemen kan men nog exact oplossen
door gebruik te maken van een exacte diagonalisatie in de kanonische basis. De dimensie van de Hamiltoniaan matrix schaalt echter exponentieel met het aantal paren in het
systeem. Voor 8 paar in 16 niveaus wordt de dimensie reeds te groot en is deze methode
onpraktisch. Voor mesoscopische korrels is deze methode dus niet praktisch toepasbaar.
De exacte oplossing van Richardson-Gaudin heeft een veel lagere computationele kost.
In het tweede deel wordt een analyse gemaakt van het computationeel snelheidsverschil
tussen exacte diagonalisatie en de exacte Richardson-Gaudin oplossing. Voor mesoscopische problemen wordt dit verschil in snelheid al snel zeer groot.
In dit hoofdstuk bespreken we een fenomenologisch model voor een geı̈soleerde ultrakleine korrel. Verder wordt besproken hoe paarcorrelaties gevisualizeerd kunnen worden
in een vast-N systeem en wordt er uitgelegd wanneer en in wat voor vorm deze correlaties
supergeleidend mogen genoemd worden. We leggen ook uit waarom RBT’s experimenten
een rechtstreeks bewijs geven voor de dominantie van pure tijdsomgekeerde toestanden in
de paarinteractie. We bespreken ook nog enkele pariteitseffecten die optreden in ultrakleine korrels, waarna we dit hoofdstuk afsluiten met een uitgebreide bespreking van hoe
de paarcorrelaties veranderen wanneer de grootte van een supergeleider afneemt van bulk
materiaal tot de limiet van een paar elektronen. In het bijzonder zal het antwoord gegeven
door Anderson [And59] (dat supergeleiding zoals wij het kennen ophoudt te bestaan wanneer d ≥ 4̃) verfijnd worden.
Het antwoord van Anderson roept verdere vragen op zoals ”Wat betekent supergelei-
15
ding in ultra-kleine korrels?”. Veel van de standaard criteria voor supergeleiding zoals
nul-weerstand, het Meissner effect en het Josephson effect zijn niet relevant. Dit komt
doordat voor een geı̈soleerde korrel van enkele nm groot, het begrip weerstand niet goed
gedefinieerd is daar de beweging van de elektronen ballistisch wordt en het gemiddelde
vrije pad beperkt is door de korrelgrootte. De penetratiediepte van een magnetisch veld is
groter dan de straal van de korrel, zodat een Meissnner effect niet meer optreedt. Verder
heeft de korrel een vast aantal elektronen zodat de orde parameter geen goed gedefinieerde
fase heeft en het Josephson effect niet optreedt. Hoe past men de groot-kanonische BCS
theorie aan om een vaste-N theorie te bekomen die gepast is voor ultra-kleine korrels,
waar de oplaadenergie fluctuaties in het aantal deeltjes onderdrukt? Wat gebeurt er in
het regime waar d ≥ 4̃ en de supergeleidende toestand gebroken is? Is deze overgang naar
de normale toestand afhankelijk van de pariteit van het aantal elektronen in de korrel?
2.2
Een fenomenologisch model voor ultra-kleine korrels met
paarcorrelaties
In deze sectie wordt een model geconstrueerd voor een geı̈soleerde ultra-kleine korrel met
paarcorrelaties gebruikmakend van fenomenologische argumenten [VDR01]. Het model
zal geldig zijn in het regime d ≤ 4̃. In het vervolg van deze thesis zullen we dit model
het ”discrete BCS model noemen”, en het zal ons een kwalitatief begrip geven van de
resultaten van RBT. In het regime waar d ≥ 4̃ is het model onrealistisch eenvoudig en
dient het enkel om te bekijken hoe paar correlaties veranderen als de korrel stelselmatig
kleiner wordt.
2.2.1
Beschrijving van het paringsprobleem
Er wordt aangenomen dat de enige bijdrage van de Coulomb interactie een toevoeging van
2 aan de eigenenergie van elke eigentoestand van de korrel is. Omdat deze energie
EC Nex
groot is (5 − 50 meV) in ultrakleine korrels, onderdrukt deze term fluctuaties van het
aantal elektronen zeer sterk. De eigentoestanden van de Hamiltoniaan zullen dus in goede
benadering ook eigentoestanden zijn van de operator die het aantal elektronen in de korrel
2 constant is binnen elke Hilbertruimte met constant aantal deeltjes,
geeft. Omdat EC Nex
wordt in de verdere analyse deze term achterwege gelaten. Alhoewel we hieronder ook
2 moet in
een groot-kanonische benadering zullen gebruiken na het weglaten van EC Nex
het achterhoofd gehouden worden dat dit slechts een eerste benadering is tot de gewenste
kanonische oplossing.
De enige symmetrie die overblijft in realistische, onregelmatig gevormde ultrakleine
korrels (als er geen magnetisch veld aangelegd wordt) is tijdsomkeer symmetrie. Daardoor
is het aangewezen om een ééndeeltjesbasis te gebruiken van paren tijdsomgekeerde toestanden |jm = ±i, die onderscheiden worden door een index j. Van de discrete energieën
j wordt verwacht dat ze de effecten van verstrooiing aan onzuiverheden en de gemiddelde
effecten van elektron-elektron interacties al bevatten. In dit vereenvoudigd model zullen
we veronderstellen dat de ééndeeltjes energieën uniform verdeeld zijn. Dit is natuurlijk
een enorme vereenvoudiging. In het tweede deel van deze thesis zullen we de effecten
van onzuiverheden expliciet in rekening brengen in rechthoekige geometrieën. Hier gaat
het er echter om een beter kwalitatief inzicht te krijgen in het basisparingsprobleem en
de bijbehorende grondtoestand. Als eenvoudigste model dat zowel paringsinteracties als
16
Zeeman koppeling met een magnetisch veld bevat maken we gebruik van een Hamiltoniaan
Ĥ = Ĥ0 + Ĥred van de volgende gereduceerde BCS vorm:
X
X † †
Ĥ0 =
(j − µ − mh) a†jm ajm ,
Ĥred = −λd
ai+ ai− aj− aj+
(2.1)
j,m=±
ij
1
Koppeling tussen niet-tijdsomgekeerde toestanden wordt niet beschouwd; een motivatie
voor deze benadering wordt gegeven in sectie 2.5. De Hamiltoniaan is uitgedrukt in 2e
kwantisatie waarbij a† en a respectievelijk de fermion creatie en annihilatie operatoren
voorstellen. Deze operatoren voldoen aan de standaard fermion anti-commutatie relaties.
{ajm , a†j 0 m0 } = δjj 0 δmm0
{ajm , aj 0 m0 } = 0 {a†jm , a†j 0 m0 } = 0
(2.2)
De term −mh ≡ m 21 µB gH is de Zeeman energie van een spin m elektron in een magnetisch
veld H met g de gyromagnetische verhouding, in het vervolg zal h > 0 genomen worden.
De parameter µ is in groot-kanonische theorieën de chemische potentiaal die bepaald
wordt door het gemiddelde aantal deeltjes. Voor kanonische theorieën mag je µ gewoon
nul stellen. De eersten die dit model onderzochten met betrekking tot RBT’s korrels voor
h = 0 waren von Delft et al. [VDZGT96] en voor h 6= 0 Braun et al. [BVDRT97, BD99].
Als eerste benadering wordt er genomen dat de j ’s uniform verdeeld zijn met gemiddelde afstand tussen de niveaus d. Fluctuaties in de afstand tussen de niveaus werden
bestudeerd door middel van random matrix theorie [SDD+ 00, SV96]. De voornaamste
conclusies hiervan waren dat een willekeurige afstand tussen de niveaus paarcorrelaties
bevordert ten opzichte van een uniforme distributie. Dit effect is het sterkst bij korrels
met een even aantal elektronen. Deze resultaten kunnen eenvoudig intuı̈tief begrepen worden. Paarcorrelaties worden sterker als de dichtheid van niveaus rond F groter wordt,
want paarmenging tussen deze niveaus kost het minste energie. Wanneer de paarcorrelaties
bepaald worden van een verzameling willekeurig gespatieerde niveaus, dan hebben fluctuaties die de dichtheid van de niveaus rond F verhogen een groter gewicht dan degene die
deze dichtheid verlagen. De gemiddelde condensatie-energie van een groot ensemble van
spectra met willekeurig geplaatste niveaus is dus sterker dan de condensatie-energie van
een uniform gedistribueerd spectrum. Bij conventie is het wenselijk om het Ferminiveau
relatief te kiezen op nul (F = 0). Om dit te verwezelijken voor zowel systemen met een
even als oneven aantal elektronen, moeten we een pariteitsterm toevoegen (1 − p) d2 waarbij p gedefinieerd is als p ≡ N mod2. Het label j = 0 wordt gebruikt voor het laagste niet
dubbel bezet niveau in de T = 0 Fermi zee, die in het vervolg aangeduid wordt met |FN i.
Zodat we de j als volgt kunnen karakteriseren.
j = jd + (1 − p)
d
2
(2.3)
Hierdoor liggen de dubbel bezette en lege niveaus van |FN i symmetrisch boven en onder
F .
De paringsinteractie van de hierboven opgestelde Hamiltoniaan is van de gereduceerde
BCS vorm, dit wil zeggen dat elektron paren van een paar tijdsomgekeerde toestanden naar
een ander paar tijdsomgekeerde toestanden verstrooid worden met een verstrooiingsamplitude die niet van de initiële en finale niveaus afhangt. Er wordt verondersteld dat enkel
1
Merk op dat we de operator notatie â niet gebruiken voor creatie en annihilatie-operatoren om notatie
overlast te vermijden.
17
die toestanden interageren die niet verder dan de Debye frequentie van het Ferminiveau
liggen, |j | < ~ωD in het zogenaamde paringsvenster. De koppelingsconstante in vgl. (2.1)
wordt geschreven als λd waar λ een dimensieloze parameter is, onafhankelijk van het volume van de korrel en d ∼ V1 de gemiddelde afstand tussen de niveaus. De ”bulk kloof” van
het model wordt bekomen door het oplossen van de standaard BCS vergelijkingen voor de
kloof op T = 0 in de bulk limiet.
~ωD
4̃ =
(2.4)
sinh λ1
d
Met de bulk limiet wordt in het vervolg steeds bedoeld dat 4̃
→ 0 en N → ∞ terwijl het
R
P
product N d constant blijft en de substitutie d j → dj wordt gemaakt. Als numerieke
waarden gebruiken we voor deze constanten: ~ωD = 34 meV en voor de bulk kloof worden
de dunne-film waarde van Al korrels gebruikt, 4̃ = 0.38 meV. Deze keuzes impliceren
h
i−1
de waarde λ = 0.194 heeft.
dat de dimensieloze paringsconstante λ = sinh−1 ω4̃D
Numerieke berekeningen zijn afhankelijk van de cuttoff bepaald door de Debye frequentie
ωD . Het is immers zo dat als een vergroting van d ertoe leidt dat sommige niveaus buiten
het paringsvenster vallen, deze niveaus plots niet meer interageren, wat discontinuı̈teiten
veroorzaakt.
Merk verder op dat in λ alle slecht begrepen effecten vervat zitten die te maken hebben
met phonon veranderingen in systemen met verlaagde dimensionaliteit. Het bestuderen
van deze effecten vereist een systematisch onderzoek van korrels van goed gecontroleerde
vorm en groottes. In het geval van RBT’s onregelmatig gevormde korrels is het beste
dat we kunnen doen gebruik te maken van een fenomenologische koppelingsconstante. De
precieze waarde van λ is niet belangrijk zolang we alle energieën meten in eenheden van
4̃.
2.2.2
Enkele algemene eigenschappen van de exacte eigentoestanden
De eigentoestanden van het discrete BCS model van vgl.(2.1) hebben enkele eenvoudige
maar algemene eigenschappen die toelaten een beter inzicht in het paringsprobleem te
verkrijgen.
1. Elke eigentoestand van Ĥ zal ook een eigentoestand zijn van de operator
h diei het
P
†
aantal elektronen telt N̂ = jm ajm ajm . Omdat er eenvoudig volgt dat Ĥ, N̂ = 0
en beide operatoren dus diagonaliseerbaar zijn door dezelfde basis.
2. Omdat er enkel interactie is tussen de niveaus binnen de cutoff energie ωD van F
zal de dynamica van de niveaus buiten dit interval triviaal zijn. We zullen deze
dus negeren en enkel focussen op de overblijvende verzameling van interagerende
niveaus, die we aanduiden met I.
3. Niveaus die slechts bezet zijn door één elektron spelen niet mee in de paarverstrooiing
beschreven door Ĥ: ongepaarde elektronen in deze niveaus verstrooien niet naar
andere niveaus. Dus de ’j’ index van niveaus die slechts bezet zijn door één elektron
is een goed kwantum getal. Verder blokkeert elk ongepaard elektron door middel
van het Pauli principe de verstrooiing van andere paren in het niveau dat het zelf
bezet. De faseruimte beschikbaar voor de verstrooiing van elektron paren wordt dus
beperkt, waardoor de paarcorrelaties verzwakken.
18
Dit effect wordt ook wel het blocking effect genoemd. De eigentoestanden |αi en corresponderende eigenenergieën Eα van Ĥ hebben dus de volgende vorm:
Y †
|αi = |Ψn , Bi =
aimi |Ψn i
(2.5)
i∈B
|Ψn i =
U
X
ψ (j1 , . . . , jn )
n
Y
Sj†ν |V aci
(2.6)
X
(2.7)
ν=1
j1 ,...,jn
Eα = En + EB (h)
EB (h) =
(i − µ − mi h)
i∈B
Bovenstaande eigentoestanden beschrijven N = 2n+b elektronen, waarvan er b ongepaarde
elektronen zijn die een verzameling van B niveaus met één elektron bezetten, zodat deze
ongepaarde elektronen een bijdrage van EB (h) tot de totale eigenenergie geven. De overblijvende n paren van elektronen, gecreëerd door de paar creatie operator Sj† = a†j+ a†j− , worden verdeeld over de overblijvende
P verzameling U = I\B van niet geblokkeerde niveaus,
met amplitudes ψ (j1 , . . . , jn ) ( U
j geeft een som over alle mogelijke combinaties van n
ongeblokkeerde niveaus in I weer). De corresponderende toestand |Ψn i is een eigentoestand van de operator die het aantal paren telt, alsook van een Hamiltoniaan ĤU die enkel
paar operatoren bevat.
U
X
Sj† Sj |Ψn i = n|Ψn i,
ĤU |Ψn i = En |Ψn i,
(2.8)
[2 (j − µ) δij − λd] Si† Sj .
(2.9)
j
ĤU =
U
X
ij
De Sj en Sj† operatoren spannen een SU(2) quasi-spin algebra op. Let wel vgl.(2.9) geldt
enkel voor dubbel ontaarde niveaus (Ω = 2). Algemeen geldt voor senioriteitsvrije toestanden: Sj† Sj |Sj µj i = 41 nj (Ωj − nj + 2) |Sj µj i, in het geval Ω = 2 en nj = 0 of nj = 2
krijgen we respectievelijk Sj† Sj |Sj µj i = 0 en Sj† Sj |Sj µj i = |Sj µj i. Elke eigentoestand
|Ψn , Bi kan gevisualiseerd worden als een coherente superpositie van eigentoestanden van
Ĥ0 die alle in een Hilbertruimte liggen met een vast aantal elektronen N en waar ieder
paar van niet geblokkeerde (j ∈ U ) tijdsomgekeerde niveaus |j±i ofwel dubbel bezet is
of leeg. Dit wordt geı̈llustreerd in Fig. 2.1 die schematisch de exacte grondtoestand voor
even en oneven N weergeeft. De oneven grondtoestand heeft een geblokkeerd niveau ter
hoogte van de Fermi energie die dus een ongepaard elektron bevat. Dit elektron verzwakt
de paarcorrelaties relatief gezien ten opzichte van de even grondtoestand en dit leidt tot
pariteitseffecten. Een nuttige maat voor de hoeveelheid energie gewonnen door |αi via zijn
correlaties is de ”condensatie-energie ”. Hier wordt de energie van de grondtoestand van
het gecorreleerde systeem relatief gezien ten opzichte van de energie van de ongecorreleerde
toestand |α0 i
Y †
Eαcond = Eα − hα0 |Ĥ|α0 i
met |αi0 =
aimi |U i0
(2.10)
i∈B
en |U i0 is de ”Fermi grondtoestand” in U , waar de n paren de n laagste niveaus bezetten in
U . Merk verder ook op dat ĤU h-onafhankelijk is, omdat de totale Zeeman energie van eender welk paar van elektronen gelijk aan nul is. Daarom ligt de volledige h-afhankelijkheid
19
van de eigenenergieën in de triviale bijdrage EB (h) van de geblokkeerde niveaus. Het is ook
duidelijk waarom een extern magnetisch veld ervoor zorgt dat de de kritische temperatuur
daalt en voor voldoende groot magnetisch veld er zelfs helemaal geen supergeleidende toestand optreedt. Het is namelijk zo dat hoe groter het magnetisch veld is hoe voordeliger
het is om ongepaard te zijn, met de spin in de richting van het extern magnetisch veld.
Ongepaarde elektronen versterken zodoende het ”extern magnetisch veld” en dit zal er
voor zorgen dat steeds meer paren gebroken worden en gebroken blijven, waardoor het
aantal geblokkeerde niveaus snel toeneemt en de correlatie energie als gevolg van paarvorming snel afneemt.
Het diagonaliseren van ĤU zou triviaal zijn als de S operatoren echte bosonen zijn. Ze
zijn het echter niet, en in de deelruimte opgespannen door de verzameling van alle niet
enkelvoudig bezette niveaus U voldoen ze aan de ”hard-core boson” relaties:
h
i
h
i
Sj†2 = 0,
Sj , Sj†0 = δjj 0 1 − 2Sj† Sj ,
Sj† Sj , Sj†0 = δjj 0 Sj†
(2.11)
Deze commutatierelaties representeren het Pauliprincipe voor de fermionen waarmee de
paar creatie en annihilatie operatoren S opgebouwd zijn. In het bijzonder betekent Sj†2 = 0
dat enkel de termen in vgl.(2.6) waarvan de index j1 , . . . , jn alle verschillend zijn bijdragen
tot de totale golffunctie.
Nu is alle materiaal omhanden om een programma te schrijven dat de exacte grondtoestand van de gereduceerde BCS Hamiltoniaan met een vast aantal elektronen berekent
door middel van exacte diagonalisatie. Stel dat we N elektronen hebben en M tweevoudig
ontaarde niveaus (M > N2 ). Als de grondtoestand even is heb je enkel paren die je over
de verschillende dubbel gedegenereerde ééndeeltjesniveaus moet verdelen. We moeten dan
de Hamiltoniaanmatrix opstellen in de volledig gepaarde deelruimte. Kiezen we als basis
dus de eigentoestanden van Ĥ0 zonder geblokkeerde niveaus en totaal aantal elektronen
gelijk aan N :
|j1 j2 . . . j N i = a†j1 + a†j1 − . . . a†j N + a†j N − |0i
(2.12)
2
2
2
met j1 < j2 . . . < j N de dimensie wordt bepaald door het aantal mogelijkheden waarop
2
we dus N2 paren over M niveaus kunnen verdelen rekening houdend met het feit dan
een niveau niet bezet kan worden door twee paren tegelijkertijd. Door constructie is het
ééndeeltjesstuk al diagonaal in de gekozen basis. De diagonaal elementen worden gegeven
door,
N
hj1 j2 . . . j N |Ĥ|j1 j2 . . . j N i = 2 j1 + . . . + j N − λd .
(2.13)
2
2
2
2
Figuur 2.1: Een vereenvoudigde voorstelling van de exacte grondtoestand voor de gereduceerde
BCS Hamiltoniaan, voor N even (a) en N oneven (b): deze grondtoestanden zijn coherente superposities van eigentoestanden van Ĥ0 (de respectievelijke amplitudes worden niet weergegeven) met
hetzelfde aantal elektronen; de meest linkse is in a) de even of in b) de oneven Fermi grondtoestand
|Fn i. De Fermi energie wordt aangeduid met een golvende lijn.
20
De paringsinteractie zorgt er echter voor dat de matrix ook off-diagonaal elementen bevat,
namelijk de matrixelementen die corresponderen met twee eigentoestanden van Ĥ0 die
in hoogstens één bezet paar van tijdsomgekeerde niveaus verschillen. Dus wanneer de
toestanden gerepresenteerd door de rij- en kolom-index van de matrix N2 − 1 paren in
dezelfde niveaus hebben en slechts één paar dat zich in een ander niveau bevindt dan
wordt het matrixelement gegeven door:
hj1 j2 . . . j N |Ĥ|i1 i2 . . . i N i = −λd
2
2
met slechts 1 index: ja 6= ib .
(2.14)
In alle andere gevallen is het matrixelement gelijk aan nul. We hebben dus een bijna
lege matrix die we kunnen diagonaliseren gebruikmakend van een efficiënte bibliotheek
voor diagonalisatie van ”sparse” matrices zoals [San10]. Het programma bestaat dus uit
3 functies: een functie die de matrix vult, een functie die de correspondentie bijhoudt
tussen de rij-index en kolom-index van de matrix met de bijbehorende eigentoestanden
van Ĥ0 , en een functie die de matrix diagonaliseert. In het geval N oneven is bepaal
je de grondtoestand door het ongepaarde elektron in het Ferminiveau te stoppen en het
hierboven beschreven stramien toepassen voor N 2−1 paren. Let wel, om het volledige
spectrum te bepalen moet men ook alle mogelijke paar brekingen in rekening brengen, en
deze ongepaarde elektronen over alle mogelijke combinaties van energieniveaus verdelen.
Het komt er dus telkens op neer de ongestoorde energie van de niveaus die slechts enkel
bezet zijn op te tellen bij de energieën bepaald door N2−b paren te verspreiden over de
overblijvende niveaus en te diagonaliseren, waarbij b het aantal niet gepaarde elektronen
aanduidt.
M!
. Deze dimensie wordt
De dimensie van de Hamiltoniaanmatrix is gelijk aan: N ! M
!
−N
2 (
2 )
exponentieel groter in functie van het aantal deeltjes (om dit in te zien gebruikt men de
formule van Stirling). Exacte diagonalisatie is dus enkel praktisch toepasbaar in de limiet
van een paar elektronen. Concreet betekende dit voor het programma dat voor deze thesis
ontwikkeld werd een bovengrens van 8 paren en 16 niveaus. Voor mesoscopische sytemen
zoals nanokorrels is het dus niet praktisch om exacte diagonalisatie te gebruiken en de
resultaten bekomen met de BCS theorie vertonen afwijkingen van de exacte resultaten.
Er bestaat echter een exacte oplossing, gevonden en uitgebreid bestudeerd door Richardson in de jaren 60 [Ric63, Ric, Ric64]. De computationele snelheid van deze oplossing
schaalt lineair met het aantal deeltjes. Aldus is ze een geschikte oplossingsmethode om
het discrete BCS model te bestuderen voor mesoscopische systemen zoals nanokorrels.
Dat is ook de reden waarom we deze oplossingsmethode uitgebreid gaan bespreken in het
volgende hoofdstuk. Verderop in dit hoofdstuk gaan we eerst nog wat dieper in op de
variationele golffuncties die geı̈ntroduceerd zijn door Bardeen, Cooper en Schieffer(BCS)
in [BCS] en veelvuldig gebruikt werden om het discrete BCS model te bestuderen voor de
exacte oplossing van Richardson bekend raakte in de vastestof gemeenschap.
2.3
Kanonieke karakterisatie van paarcorrelaties
Omdat het discrete BCS model een standaard gereduceerde BCS vorm heeft en het gebruik van BCS-achtige variationele golffuncties gemeengoed is in de vastestof gemeenschap,
zullen we deze gebruiken om de eigenschappen van het discrete BCS model bij een temperatuur van 0 K te bespreken. Deze aanpak brengt echter enkele inconsistenties met
zich mee. De korrels waarvan RBT de excitatiespectra bepaalden hadden een vast aantal
21
elektronen N . In tegenstelling tot de variationele golffuncties die een systeem beschrijven in een groot-kanonisch formalisme waar het aantal deeltjes niet constant is, terwijl
vgl. (2.6) die de exacte eigentoestanden weergeeft een constant aantal deeltjes beschrijft.
De belangrijke vraag rijst dus: Hoe kan men de vaste-N voorwaarde in de BCS theorie
vervatten en hoe belangrijk is het om dat te doen?. Een belangrijk eerste punt om op te
merken is dat de groot-kanonische formulering van de BCS theorie enkel een manier was
om de berekeningen te vereenvoudigen wat BCS ook duidelijk maakten op (p. 1180) van
hun originele paper [BCS]. De essentie van de paarcorrelaties die aan de basis liggen van
de BCS theorie is namelijk niet inherent groot-kanonisch en kan eenvoudig geformuleerd
worden in het kanonisch formalisme. We zullen dit in het vervolg van deze sectie op een
intuı̈tieve manier duidelijk maken. We zullen ook aantonen dat het verschil in de resultaten tussen een groot-kanonische en kanonische aanpak verwaarloosbaar is als d 4̃.
Daaruit kunnen we besluiten dat de groot-kanonische aanpak voldoende is om een fenomenologische verklaring van de experimenten van RBT te verkrijgen. In subsectie 2.3.2
wordt onderzocht hoe we een echt kanonische beschrijving krijgen en op de juiste manier
fluctuatie effecten kunnen behandelen die belangrijk worden als d ≥ 4̃. In de rest van
deze sectie wordt voor de eenvoud enkel de even grondtoestand beschouwd. Zodat U = I
en effecten door geblokkeerde niveaus niet in rekening gebracht hoeven te worden.
2.3.1
De groot-kanonische BCS golffunctie
Conventionele BCS theorie beschrijft de paarcorrelaties, afkomstig van een aantrekkende
paarinteractie zoals Ĥred , binnen een groot-kanonisch ensemble formalisme. Dit wordt
geı̈llustreerd door de beroemde variationele ansatz van de grondtoestand.
Y
met u2j + vj2 = 1
(2.15)
|BCSi =
uj + eiφj vj Sj† |V aci
j
met de variationele parameters uj en vj reëel en φj een fasefactor. |BCSi is geen eigentoestand van N̂ en beschrijft dus een toestand met een variabel aantal deeltjes. Het
aantal deeltjes N dat men wil beschrijven wordt vastgelegd op het gemiddelde door de
voorwaarde hN̂ iBCS = N die de groot-kanonische chemische potentiaal µ bepaalt. De
groot-kanonische kloof wordt bepaald door:
X
X
4gc ≡ λd
hSj iBCS = λd
uj vj eiφj
(2.16)
j
j
Deze supergeleidende paringsparameter heeft enkel betekenis in een groot-kanonisch ensemble omdat hSj i triviaal nul geeft geëvalueerd in een kanonisch ensemble, geformuleerd
op een Hilbertruimte van eigentoestanden met strikt vaste N. De term paringsparameter
wordt hier gebruikt in de plaats van ordeparameter omdat de tweede benaming de connotatie van een fase transitie met zich meedraagt die de thermodynamische limiet N → ∞
verondersteld, en dit is natuurlijk niet toepasbaar voor ultra-kleine korrels. In de volgende
subsectie zullen we een kanonisch betekenisvolle definitie van de paringsparameter geven.
Omdat de exacte eigentoestanden uit een vast aantal deeltjes bestaan stelden BCS zelf de
projectie van |BCSi op het deel van de Hilbertruimte met een vast aantal deeltjes voor
22
als de echte variationele grondtoestand. Namelijk:
Z 2π
Y
dφe−iφN
uj + e2iφ vj Sj† |V aci
|P BCSi ≡
0
=
(2.17)
j

N

2
Y
X
vj † 
1 


S
|V aci
uj
N
uj j
2!
j
(2.18)
j
(2.19)
d
In de bulklimiet ( 4̃
1) is het gebruik van |BCSi echter helemaal verantwoord omdat
de relatieve fout die de productvorm veroorzaakt door de bezettingsamplitude van niveau
j onafhankelijk van die van niveau i te nemen met N1 schaalt [Ric65b]. Ter vervollediging
geven we hier nog de correlatiecoëfficiënten (voor de definities zie onderstaande sectie):
v̄j2 BCS ≡ Cjj = vj2
ū2j BCS = u2j
(Cij )BCS = ui vi uj vj e−i(φi −φj )
(2.20)
2.3.2
Een kanonisch betekenisvolle definitie voor de paringsparameter
De veranderingen ten opzichte van conventionele BCS theorie zijn louter technisch en
niet van conceptuele natuur. De essentie van de paarcorrelaties gevonden door BCS kan
makkelijk geformuleerd worden op een kanonisch betekenisvolle manier.
Laat |Gi de exacte even grondtoestand van het systeem voorstellen (zie Fig. 2.1) die
in vorige sectie uitgebreid besproken is. |Gi bevat sterke paringscorrelaties die we zullen
trachten te begrijpen door te onderzoeken hoe ze de zogenaamde correlatiecoëfficiënten
beı̈nvloeden. De correlatiecoëfficiënten zijn gedefiniëerd als:
Cij = hSi† Sj i,
v̄j2 ≡ Cjj = hSj† Sj i,
ū2j ≡ hSj Sj† i
(2.21)
Deze kunnen vergeleken worden met de correlatiecoëfficiënten van de Fermi grondtoestand
|FN i van het niet-interagerend systeem:
(Cij )F = δij v̄j2 F ,
v̄j2 F = θ (−j ) ,
ū2j F = θ (j )
(2.22)
Cij is het matrix element van de interactie dat aangeeft of het mogelijk is een paar elektronen van de j e toestand naar de ie toestand te verstrooien, v̄j2 en ū2j stellen de waarschijnlijkheden voor om een niveau respectievelijk dubbel bezet of leeg te hebben. De paarcorrelaties in |Gi moeten zo zijn dat Ĥred de grondtoestandsenergie verlaagt ten opzichte
van de ongecorreleerde Fermi zee |FN i door een extensieve hoeveelheid (∝ N ∝ d1 ). Het
is dus duidelijk dat daaruit volgt dat: hĤred iG − hĤred iF negatief en extensief moet zijn:
X
XX
λd
Cij − (Cij )F ' λd
2Re (Cij ) ∝ N
en positief
(2.23)
ij
i
j<i
In de tweede uitdrukkinghzijn de
elementen verwaarloosd, omdat hun aantal zo
diagonaal
i
P
2
2
klein is (∝ N ) dat λd j v̄j − v̄j
maximaal van de orde één is in de thermodynamisF
che limiet. Dus voorwaarden voor het kloppen van vgl.(2.23) zijn:
1. Het aantal Cij ’s dat voldoende afwijkt van nul (van de orde één zijn) moet schalen
als N 2
23
2. Zogoed als alle Cij met i < j moeten dezelfde fase hebben , omdat een som over
willekeurig fases zou uitmiddelen tot nul.
Omdat een geschikte paringsparameter moet verdwijnen in de thermodynamische limiet
als niet aan deze twee voorwaarden is voldaan, is een geschikte keuze:
X
42can ≡ (λd)2
Cij − ha†i+ aj+ iha†i− aj− i
(2.24)
ij
Deze definitie heeft ook betekenis in een kanonisch ensemble. Als aan voorwaarde (1)
en (2) voldaan is zal deze paringsparameter een eindige waarde hebben. Hieronder zal
ook de relatie tot een kloof in het spectrum duidelijk worden. In de bulk limiet zal 4can
reduceren tot de ”bulk paringsparameter ” 4̃.
2.3.3
Herverdeling van de bezettingswaarschijnlijkheden rond F
Voorwaarde (1) kan nu gerealiseerd worden als alle Cij binnen een eindig (d onafhankelijk)
energie bereik rond het ferminiveau F voldoende van nul verschillen. De breedte van
dit bereik zal uiteindelijk de grootte van 4can bepalen (als (2) ook van toepassing is),
omgekeerd kan men 4can ook zien als een maat voor deze breedte. Cij 6= 0 betekent
dat Si† Sj |Gi =
6 0 wat impliceert dat (v̄j )G 6= 0 en (ūi )G 6= 0 en ook |GiSi† Sj 6= 0 wat op
zijn beurt impliceert dat (v̄i )G 6= 0 en (ūj )G 6= 0. Het product (ūj v̄j ) moet dus ook een
waarde verschillend van nul hebben in tegenstelling tot (ūj v̄j )F = 0 voor alle waarden
van j binnen een eindig bereik rond F zie Fig. 1.6. Dit kan gedaan worden door de
discontinuı̈teit in de waarde van de θ-functies in functie van j van (v̄j )F en (ūj )F uit
te smeren zodat de overgang van deze functie van energiewaarden onder het Ferminiveau
naar energiewaarden boven het Ferminiveau minder bruusk verloopt. Als gevolg zijn (v̄j )G
of [(ūj )G ] ook niet gelijk aan nul voor een eindig bereik van j waarden boven of [onder]
F . Met andere woorden, een deel van de bezettingswaarschijnlijkheid ten opzichte van
|FN i is herverdeeld van onder het Ferminiveau naar boven het Ferminiveau. Zoals ook
te zien is in Fig. 2.1. Deze herverdeling, ook wel paarvermenging genoemd, zorgt ervoor
dat er faseruimte vrijkomt voor het verstrooien van paren en dit zorgt dan weer voor een
sterkere interactie energie, die meer dan voldoende de toename in de kinetische energie
compenseert.
Voorwaarden (1) en (2) impliceren ook rechtstreeks dat het spectrum een kloof zal
vertonen. Beschouwen we bijvoorbeeld een excitatie door het blokkeren van een niveau
j door de bezetting met een deeltje. Dus |j+i bezet met een waarschijnlijkheid van 1
en |j−i bezet met een waarschijnlijkheid van nul. Er kunnen dus geen paren verstrooid
worden naar het j de niveau. De energiekost die dit met zich meebrengt wordt gegeven
door:


X
(j − µ) − (j − µ) 2hS † Sj i + λd
hS † Sj + S † Si i
j
i
j
i6=j
X
= (j − µ) 1 − 2v̄j2 + λd
(Cij + Cji ) (2.25)
i6=j
De restrictie op de som reflecteert de blokkering van verstrooiingseffecten van het j de
niveau. De eerste term van vgl.(2.25) is positief definiet (deeltje-gat symmetrie zorgt ervoor
24
dat ( 21 − v̄j2 > (<)0 als j − µ > (<)0) en de tweede term is van de orde 4can . Excitaties
die de vaste fase conventie (2) schenden zogenaamde ”fase-brekende excitaties” hebben
ook een kloof in hun excitatie spectrum. Bijvoorbeeld als (Cij )excited = − (Cij )ground voor
een welbepaalde j en alle i 6= j, wordt de kost voor de energie van deze excitatie gegeven
door:
i
Xh
− λd
(Cij + Cji )excited − (Cij + Cji )ground
(2.26)
i6=j
dat op zijn minst van de orde 24can is.
We zien dus dat de essentie van de paar correlaties terug geformuleerd kan worden in
een kanonisch formalisme.
1. Er treedt een herverdeling van de bezettingswaarschijnlijkheid van de niveaus rond
het Ferminiveau F op, zodat elk niveau j in een eindig bereik rond F een eindige
waarschijnlijkheid heeft om dubbel bezet of volledig leeg te zijn.
2. elke twee componenten van de golffunctie van de grondtoestand die slechts verschillen
door het uitwisselen van een paar elektronen tussen het ie en j e niveau bezitten
dezelfde fase.
Paarcorrelaties met deze eigenschappen zijn de microscopische eigenschappen die aan
de basis liggen van alle manifestaties van supergeleiding. Daarmee is een van de vooropgestelde
vragen aan het begin van dit hoofdstuk beantwoord. We zullen een systeem supergeleidend noemen zolang het paarcorrelaties vertoont met meetbare gevolgen. En als we dit
criterium toepassen op de korrels van RBT dan voldoet de kloof die werd gevonden in het
excitatie spectrum van hun korrels zeker aan dit criterium. Dus kunnen we zeggen dat de
korrels van RBT ”supergeleidend” waren.
2.4
Veralgemeende variationele BCS methode
In deze sectie gaan we kort de veralgemeende variationele BCS methode bespreken. Deze
methode gebruikt expliciet het discreet zijn van het spectrum van de korrel. Voor de
analyse in de volgende sectie die aantoont dat Cooperparen enkel in tijdsomgekeerde toestanden gevormd kunnen worden beschouwen we ook een magnetisch veld h in de Hamiltoniaan. De veralgemeende variationele BCS methode is in staat om goede theoretische
voorspellingen te doen voor de spectra die RBT opmaten. Het geeft ons ook een inzicht
in hoe paar correlaties zwakker worden bij stijgende d en h. In RBT’s experimenten was
de temperatuur T = 50mK. Dit is veel kleiner dan alle andere energieschalen d, 4̃ dus
is het veilig om de temperatuur gelijk aan nul te stellen. De eigenenergieën Eα van de
laagst gelegen eigentoestanden |αi kunnen benaderend berekend worden door gebruik te
maken van de veralgemeende variationele BCS methode. Deze methode gaat verder dan
de standaard gemiddeld veld benadering doordat er een verschillende paringsparameter
4α gebruikt wordt telkens het aantal ongepaarde elektronen wijzigt of de ongepaarde
elektronen andere energieniveaus bezetten (merk op dat het totale aantal elektronen N
constant is).
We zijn er ons van bewust dat het groot-kanonisch formalisme de vaste-N natuur
van de eigentoestanden niet goed beschrijft. Daarom gebruiken we de BCS golffunctie
in de eerste plaats voor de eenvoud. Ten tweede omdat voor de eigenenergieën geldt dat
Eα = En + EB (h). Zien we dat de volledige h afhankelijkheid in de exact gekende EB (h)
25
bijdrage van de geblokkeerde niveaus schuilt. De keuze van de benadering beı̈nvloedt dus
enkel En hetgeen de h = 0 eigenschappen van het spectrum bepaalt. Dus we kunnen de
volledige analyse hierna gegeven exact maken door de groot-kanonische benadering voor
En te vervangen door de exacte waarden bekomen met Richardson’s oplossingsmethode.
Dit zal slechts kleine kwantitatieve verschillen veroorzaken omdat kanonische berekeningen
d
gelijkaardige resultaten opleveren als groot-kanonische zolang ( 4̃
≤ 0.5) wat door inspectie
van Fig. 2.4 inderdaad het geval lijkt.
De Zeeman term in de Hamiltoniaan van vgl.(2.1) bevoordeelt toestanden met een
P
zo groot mogelijke totale z-component van de totale spin s = 12 jm ma†jm ajm . Een stijgende h zal er dus voor zorgen dat de grondtoestand verandert naar toestanden met steeds
grotere totale spins. In het algemeen zijn we daarom geı̈nteresseerd in paargecorreleerde
toestanden met een spin die niet nul is. Hieronder wordt aangetoond hoe we dit variationeel kunnen berekenen. We maken gebruik van een veralgemeende variationele BCS ansatz
voor een toestand |s, Bi met N = 2n + 2s elektronen en een totale spin van s ≥ 0
|s, Bi =
Y
a†i+
U Y
(s,B)
uj
(s,B) †
Sj
+ vj
|V aci
(2.27)
j
i∈B
Een niet nul spin wordt bekomen door het plaatsen van 2s ongepaarde elektronen in een
verzameling B van b = 2s ééndeeltjes niveaus terwijl de overige ééndeeltjes niveaus BCS
(s,B)
(s,B)
(s,B) 2
achtige amplitudes hebben die of leeg uj
of dubbel bezet zijn vj
met uj
+
2
Q
(s,B)
vj
= 1. Het product U
j bevat dus een groot-kanonische benadering tot de toestand
|Ψn i van vgl. (2.6)
0
0
De orthogonaliteit van de golffuncties hs, B|s , B i = δss0 δBB 0 impliceert dat de para(s,B)
(s,B)
meters vj
en uj
opnieuw moeten gevonden worden voor elke (s,B) (vandaar ook het
superscript). De parameters worden gevonden door het minimaliseren van de variationele
energie.
BCS
Es,B
(h, d)
=
=
hs, B|Ĥ|s, Bi
−2sh +
X
(i − µ) +
U X
j
i∈B

−λd 
U
X
(2.28)
(s,B) 2
(s,B) 4
2 (j − µ) vj
− λd vj
(2.29)
2
(s,B) (s,B) 
vj
uj
(2.30)
j
(s,B) 2
(s,B) 2
BCS (h, d) gebruiken we
+ vj
= 1. Es,B
Hierboven maakten we gebruik van uj
exact (h, d). Lossen we nu de variationele
als benadering voor de exacte eigenenergieën Es,B
voorwaarde op:
BCS
∂Es,B
(s,B)
∂vj
= 0 op dan bekomen we:

(s,B)
vj
2
=

1
1 − 2
26
ξj
ξj2
+
42s,B

1 
2
(2.31)
Figuur 2.2: Voorstelling van vier typische variationele toestanden. Ze stellen (a) de even grondtoestand |0i (b) de oneven grondtoestand | 12 i (c) de spin- 32 grondtoestand | 23 i en tenslotte (d) een
spin- 32 geëxciteerde toestand. De eendeeltjes niveaus werden getekend voor h = 0, met de chemische potentiaal halverwege tussen de niveaus -1 en 0 voor even systemen. (a), maar exact op niveau
0 voor oneven systemen (b,c,d). De verbindingen tussen twee tijd-omgekeerde toestanden stellen
2
(s,B)
zogenaamde Cooperparen voor, wat betekent dat ze een waarschijnlijkheid hebben van vj
2
(s,B)
om dubbel bezet te zijn en een waarschijnlijkheid van uj
om volledig leeg te zijn. Volle
lijnen worden gebruikt om de niveaus aan te duiden die volledig bezet zouden zijn in het nietinteragerend systeem, gestreepte lijnen voor niveaus die volledig leeg zouden zijn in de afwezigheid
van paar correlaties.
(s,B) 2
met ξj ≡ j − µ − λd vj
De paringsparameter wordt gegeven door:
4s,B ≡ λd
U
X
U
(s,B) (s,B)
vj
uj
of
j
X
1
1
q
=d
λ
2
2 ξ + 42
j
j
(2.32)
s,B
Bovenstaande vergelijking reduceert in de bulk limiet tot de standaard bulk kloof voor
T = 0. Deze is h-onafhankelijk omdat er enkel niet geblokkeerde niveaus j ∈ U aanwezig
zijn die bezet worden door paren met een Zeeman energie gelijk aan nul. Verder legt men
de chemische potentiaal vast door volgende voorwaarde op te leggen,


U
U
X (s,B) 2
X
ξj

2n + 2s = hs, B|N̂ |s, Bi = 2s + 2
vj
= 2s +
1 − 1  (2.33)
2
J
J
ξj2 + 42s,B
De fysische interpretatie van deze vergelijking is dat het gemiddeld aantal deeltjes vastgelegd wordt op de effectieve waarde 2n + 2s, alhoewel de golffunctie geen vast aantal
deeltjes heeft. De bekomen vergelijkingen vgl. (2.32) en vgl. (2.33) vormt een tweedimensionaal stelsel van niet-lineaire vergelijkingen. De onbekenden zijn de paringsparameter
4s,B en de chemische potentiaal µ. Dit zelfconsistente stelsel kan eenvoudig opgelost worden met de Newton-Raphson methode voor niet-lineaire stelsels van vergelijkingen (zie
(s,B)
(s,B)
∀j wat correspondeert
appendix). Een goede startwaarde voor vj
is: vj
= √12
(s,B)
met maximale paring. Let op dat bij elke Newton-Raphson stap de vj
ook moeten geupdate worden met de verbeterde chemische potentiaal en paringsparameter door middel
27
(s,B)
van vgl.(2.31) want de vergelijkingen (2.32,2.33) zijn expliciet afhankelijk van de vj
.
Daarom moeten we dit stelsel iteratief oplossen tot convergentie. In tegenstelling tot conventionele BCS theorie , kan de paringsparameter 4s,B niet geı̈nterpreteerd worden als
(s,B)
(s,B)
een echte energie kloof. Doordat de paring parameter afhankelijk is van uj
en vj
kan deze wel een maat geven voor de sterkte van de paar correlaties die aanwezig zijn in
|s, Bi. Als 4s,B verdwijnt, bekomen we een niet gecorreleerde paramagnetische toestand
0 = hs, B|Ĥ|s, Bi met:
|s, Bi0 met spin s en energie Es,B
0
0
|s, Bi0 ≡
Y
a†i+
i∈B
U
Y
Sj† |0i
(2.34)
j<0
cond = 0.
en de condensatie-energie verdwijnt dus identisch : Es,B
2.5
Experimenteel bewijs van de voorkeur van de natuur
voor paarvorming in tijdsomgekeerde energieniveaus
RBT’s spectra geven een direct bewijs voor de dominantie van tijdsomgekeerde toestanden
in de paarinteractie, zodat het dus voldoende is om enkel een gereduceerde BCS Hamiltoniaan te gebruiken voor supergeleiding in nanokorrels.
Wanneer het discrete BCS model gedefiniëerd werd in sectie(2.1) gebruikten we een
gereduceerde BCS Hamiltoniaan die volgende termen verwaarloosde:
X 0
0
−d
λ i, j, i , j a†i+ a†j− ai0 − aj 0 + .
(2.35)
iji0 j 0
Zodat paarvorming in niet tijdsomgekeerde niveaus a†i+ a†j− verwaarloosd wordt. We nemen
dus aan dat de matrixelementen tussen tijdsomgekeerde paren a†j+ a†j− veel groter zijn
dan alle andere matrix elementen omdat hun golffuncties constructief interfereren. De
experimentele resultaten van RBT zorgen voor een direct bewijs voor deze aanname. We
zullen dit aantonen met een bewijs uit het ongerijmde. We beginnen met het magnetisch
veld te definiëren waar twee niveaus elkaar snijden, dat is het veld dat voldoende groot is
zodat een energieniveau van een systeem met een lagere spin, maar meer paarcorrelaties
gelijk is aan een niveau met een grotere totale spin s en minder paarcorrelaties:
hs,s0 (d) =
Es0 (0, d) − Es (0, d)
2 (s0 − s)
(2.36)
Zie ook Fig. 2.4. De formule volgt eenvoudig als je rekening houdt met het feit dat:
Es (h, d) = Es (0, d) − 2hs en de voorwaarde: Es (h, d) = Es0 (h, d). Merk op dat het
totale aantal elektronen constant blijft. Het is enkel de verdeling ongepaarde en gepaarde
elektronen die verandert als je de toestand met energie Es (h, d) vergelijkt met de toestand
met energie Es0 (h, d). d is zoals altijd weer de gemiddelde afstand tussen de energieniveaus,
maar dat doet hier niet terzake.
Veronderstellen we
het omgekeerde
van de bovenstaande aanname: dat de
verder dus
0
0
0
matrix elementen λ j + k, j, j + k , j alle ongeveer gelijk zijn aan λ voor een eindig
0
0
bereik van k en k waarden ( in plaats van verwaarloosbaar voor k 6= 0 en k 6= 0). Voor
28
0
0
2s < k kunnen we dan een spin-s toestand construeren |si met een lagere energie (E )
dan de energie (E) van volgende toestand:
s−1+ p2
|si =
Y
a†i+
i=−s+ p2
U Y
usj + vjs Sj† |V aci.
(2.37)
j
De geconstrueerde toestand met lagere energie is:
0
|si =
jminY
+2s−1
i=jmin
a†i+
U Y
usj + vjs a†j+2s,+ a†j,− |V aci
(2.38)
j
0
waar jmin labels de laagst gelegen interagerende niveaus aanduiden. In |si hebben we
correlaties toegelaten tussen niet tijd-omgekeerde toestanden, de 2s ongepaarde spin-up
elektronen hebben we op de bodem van de interagerende band geplaatst (zie Fig. 2.3).
Nu tonen we aan dat
0
0
0
(2.39)
Es = Escond + Es0 < Escond + Es0 = Es
0
Het is duidelijk dat Es0 = Es0 omdat de corresponderende niet gecorreleerde toestanden
0
0
0
|si0 en |si0 gelijk zijn. Ten tweede 4s ≈ 40 , wat impliceert dat Escond ≈ E0cond want de 2s
0
ongepaarde elektronen in |si zitten op de bodem van de band, dit is zo ver van F dat het
effect van hun blokkering te verwaarlozen is. Merk op dat 40 de kloof is voor het systeem
0
met evenveel gepaarde elektronen als |si en |s i, maar zonder ongepaarde elektronen. In
tegenstelling tot 4s < 40 (wat impliceert dat Escond > E0cond ) omdat de 2s elektronen
van |si rond het Fermi niveau zitten met dus een groot effect op de blokkering van hun
niveaus. Dus we krijgen voor de condensatie-energieën van de twee toestanden volgende
0
relatie: Escond < Escond ≤ 0. Waarmee dus vgl. (2.39) aangetoond is. Dit betekent dus
0
dat |si een betere variationele grondtoestand is dan |si voor de interactie weergegeven in
vgl. (2.35).
0
Dus het feit dat Escond = E0cond onafhankelijk is van s betekent dat het omdraaien
0
van een spin in |si geen condensatie-energie kost. Dus de energiekost voor veranderen
0
0
van |0i in |1i door het omdraaien van een spin is enkel de kost voor de verhoging van
de kinetische energie en ongeveer gelijk aan de gemiddelde afstand d tussen de niveaus
(exact gelijk aan d bij een uniforme afstand tussen de niveaus). Wat dus een drempel
0
magnetisch veld h0,1 = d2 met zich meebrengt. Voor de gereduceerde BCS Hamiltoniaan
wordt dit drempel magnetisch veld gegeven door: h0,1 = 21 (E1 − E0 ) (zie vgl. (2.36)) wat
in het regime (d ≤ 4̃ van de korrels van RBT) groter is dan d2 , met E1 − E0 de h = 0
spectrale kloof tussen de eerste en tweede lijn van figuur:(2.4). Het feit dat uit RBT’s
experimenten volgt dat het drempel veld h0,1 significant groter is dan d2 toont aan dat
0
de spin-1 grondtoestand die de natuur kiest beter benaderd wordt door |1i dan door |1i
0
ondanks het feit dat E1 < E1 . Dus onze eerste veronderstelling moet fout geweest zijn
namelijk dat de termen van vgl. 2.35 die niet in de gereduceerde BCS Hamiltoniaan
vervat zitten, niet verwaarloosd mogen worden. Hiermee is ons bewijs uit het ongerijmde
voltooid.
29
0
Figuur 2.3: Schematische voorstelling van de niet-tijd-omgekeerde toestand | 32 i . De energieën van
de één-deeltjes toestanden |j, ±i worden getekend voor : a) h = 0 en b) voor 2h = 3d. Verder
is ook schematisch aangeduid hoe niet-tijdsomgekeerde toestanden koppelen met elkaar volgens
ui + vi a†i+3 a†i− in de BCS achtige ansatz vgl. (2.38). Volle lijnen duiden weer toestanden aan die
volledig gevuld zouden zijn en stippellijnen niveaus die volledig leeg zouden zijn in de afwezigheid
van paarcorrelaties.
Figuur 2.4: Afhankelijkheid van het magnetisch veld van de excitatiespectra van dezelfde korrel.
Op a) Vg ≈ 110mV en b) Vg ≈ 180mV verder representeert elke lijn een afzonderlijke piek van de
conductantie in de dI/dV curves zo dat we kunnen zien hoe de energie verandert met H. Pieken
die naar boven verschuiven zijn breder en minder duidelijk dan pieken die naar onder verschuiven
(voor redenen die nog steeds niet goed begrepen zijn). De pieken die naar boven verschuiven
kunnen dus slechts voor een beperkt bereik van H gevolgd worden voor ze opgaan in de ruis van
de achtergrond. Het verschil tussen de lijnen geeft rechtstreeks het a) vaste N+1 en b) vaste N
excitatie spectrum van de korrel( met N oneven). De verticale gestreepte lijnen duiden de eerste
vier snijpunten van verschillende niveaus aan Hs,s0 gedefinieerd in vgl.(2.36).
30
2.6
Gevolgen van het blokkeren van niveaus: pariteitseffecten
In deze sectie geven we nog een figuur mee die het verband tussen pariteitseffecten (de
condensatie-energie bij korrels met een even aantal elektronen is sterker dan die bij korrels
met een oneven aantal elektronen) en de gemiddelde afstand d tussen de niveaus weergeeft.
Om dit verschil in meetbare grootheden weer te geven gebruiken we de parameter die
Matveev en Larkin voorstelden [ML97]:
+1
L
4M
≡ EN
−
1
P
2
1 N
E0 + E0N +2
2
met N even
(2.40)
Een andere parameter die we gebruiken om deze effecten in een kwantitatieve vorm uit te
drukken is de parameter geı̈ntroduceerd door Braun en Von Delft in [BvD98] die gebruik
maakt van het verschil in de extra energie die je nodig hebt
om een paar te breken bij een
1
1
. Deze parameter
even of een oneven korrel: Ωe = 2 (E1 − E0 )h=0 , en Ωo = 2 E 3 − E 1
2
2 h=0
wordt dus:
(2.41)
4pb
P = Ωo − Ωe .
Het verloop van de twee hierboven beschreven parameters in functie van d wordt getoond
in Fig. 2.5.
L
Figuur 2.5: De pariteit parameters a)4M
en b) 4pb
P
P voor de paar brekende energieën in functie van
d
,
gebruikmakend
van
de
groot-kanonische
BCS
aanpak(gestippelde
lijn ) en de exacte oplossing
4̃
van Richardson (vaste lijn). In
ook nog een perturbatief resultaat getoond
a) wordt
voor de dniet
1
L
ML
gecorreleerde Fermi zee 4M
=
λd
en
het
gerenormalizeerde
resultaat
4
'
P
P
2
ad
pert
ren
2ln
in het bereik waar deze benadering geldig is :
d
4̃
4̃
1. Het binnenste figuurtje in a) bevat de Dyson
vergelijking die gebruikt werd om de gerenormalizeerde koppeling λ̃ te berekenen.
2.7
De connectie tussen supergeleiding in de bulk limiet en
de limiet van een klein aantal elektronen
De vraag die we in deze sectie bestuderen is: ”Hoe veranderen paarcorrelaties wanneer
het volume van een supergeleider verkleint van de bulk limiet tot de limiet van enkele
31
elektronen?” De experimentele vooruitgang gemaakt door RBT, die in staat waren individuele korrels te bestuderen, zorgde voor een uitgebreide theoretische interesse in het
oplossen van deze vraag. De eerste theoretische studies van paarcorrelaties in nanokorrels werden uitgevoerd door von Delft et al. [VDZGT96] die het discrete BCS model van
sectie 2.2.1 bestudeerden met een pariteit-geprojecteerde groot-kanonische BCS methode,
die nauw verwant is met de hierboven beschreven veralgemeende variationele BCS methode. Hun groot-kanonische resultaten lieten uitschijnen dat de paarcorrelaties gemeten
door de paringsparameter of de condensatie-energie abrupt ophouden te bestaan als de
gemiddelde afstand tussen de energieniveaus d een bepaalde kritische waarde overschrijdt.
Deze kritische waarde noemen we dBCS
. Ze hangt af van de pariteit ( p = 0 of 1) van
p
2
het aantal elektronen in de korrel. Deze kritische afstand is kleiner voor oneven korrels (
dBCS
' 0.894̃) dan voor even korrels ( dBCS
' 3.64̃). Een aantal meer gesofisticeerde
1
0
2
kanonische behandelingen [MFR98] toonden aan dat dit abrupt verdwijnen van de paarcorrelaties een overblijfsel is van de groot-kanonische behandeling. Paarcorrelaties blijven
bestaan in de vorm van fluctuaties tot willekeurig grote gemiddelde afstanden tussen de
niveaus. De overgang van supergeleiding in de bulk limiet (SC) (d 4̃) naar het fluctuatie gedomineerde gebied (FD) (d 4̃) is volledig continu. Deze twee regimes zijn
echter kwalitatief volledig verschillend. De condensatie-energie is in het (SC) regime een
extensieve functie van het volume en in het (FD) regime is het bijna een intensieve functie
van het volume (zie Fig. 2.6). Verder zijn in het (SC) regime de paarcorrelaties vrij sterk
gelokaliseerd rond het Ferminiveau F terwijl ze in het (FD) regime meer verspreid zijn
over een groter bereik van de energie. Di Lorenzo merkte op dat deze overblijvende paarcorrelaties gedetecteerd kunnen worden door metingen van de susceptibiliteit [LFH+ 00].
Zoals al eerder vermeld bestaat er echter een exacte oplossing van het paringsprobleem
beschreven in sectie 2.2.1. Deze exacte oplossing werd gevonden door Richardson in 1963
[Ric63] en onafhankelijk van hem door Gaudin in 1968 [Gau]. Deze oplossing is ideaal
om de connectie te maken tussen de bulk limiet en de limiet van een aantal elektronen.
Daarom weiden we aan de bespreking van deze exacte oplossing een volledig hoofdstuk zie
Hoofdstuk:3. Deze oplossing laat ons namelijk toe om op een exacte manier alle belangrijke
conceptuele grootheden van standaard BCS theorie te berekenen en illustreren, zoals de
aard van de paarcorrelaties, hoe belangrijk fasecoherentie is, de juistheid van een grootkanonische benadering voor bulk systemen en de beperkingen van deze formalismen voor
ultra-kleine korrels.
In Fig. 2.6 wordt de d-afhankelijkheid van de even condensatie energie E0cond (d)
weergegeven. Zoals te zien is in de figuur is de overgang van de bulk limiet naar de limiet
van een klein aantal elektronen volledig continu. Dit exacte resultaat kan uitstekend gefit
worden aan onderstaande vorm [DS00]:
2
4̃
4̃d
2ωD
cond
2
E0 (d) = −
− η0 ln (2) ωD λ + γ0
log
(2.42)
2d
2ωD
d
met η0 en γ0 constanten van eenheids orde. We zien dat de eerste term extensief is en
deze term domineert in de bulk limiet. Een mogelijke interpretatie is dat 4̃
d niveaus (deze
binnen een afstand 4̃ van F ) sterk beı̈nvloed worden door paring met een gemiddelde
energie winst van ongeveer − 4̃
2 per niveau. De tweede term, die intensief, is domineert
in de FD limiet. Deze term is d onafhankelijkheid. Dit komt doordat in het FD regime
het aantal niveaus dat significant bijdraagt tot E0cond niet langer van de orde 4̃
d is, want
32
Figuur 2.6: Log-log plot van de even condensatie energie (in eenheden 4̃ ) voor λ = 0.224 berekend
door enkele verschillende methodes, verder is ook het asymptotische gedrag
weergegeven door de stippellijn
−4̃
2d
2
voor
d
4̃
→ 0
in het FD regime hebben fluctuaties een invloed op alle n ' 2 ~ωdD ongeblokkeerde niveaus
2 2
binnen een venster ~ωD van F . Elk van deze niveaus draagt een bijdrage van − λ dd .
De derde term bevat de kleine parameter ω4̃D en is dus slechts een kleine correctie. Een
andere manier om het kwalitatieve verschil tussen de bulk limiet en de limiet van een paar
elektronen te illustreren is de eigenschappen van de golffunctie van de grondtoestand te
bestuderen. We bestuderen de correlators:
C̄j2 (d) = hSj† Sj ihSj Sj† i
(2.43)
Deze correlators meten de waarschijnlijkheid dat een niveau tegelijkertijd bezet door een
paar en leeg kan zijn. De correlator is dus identisch nul voor niveaus zonder paar correlaties. Voor het discrete BCS model is C̄j2 ≡ hSj† Sj i − hSj† Sj i2 = v̄j2 − v̄j4 (rekening houdend
met de commutatierelaties vgl.(2.14) van de ”quasi harde kern bosonen”). Dit meet dus
de fluctuaties in de paarbezetting van het j e niveau en het verdwijnt voor elk geblokkeerd
ééndeeltjesniveau. Merk verder op dat C̄j2 ook gelijk is aan: hSj† Sj i − ha†j+ aj+ iha†j− aj− i
in deze vorm kan C̄j2 geı̈nterpreteerd worden als de verhoogde waarschijnlijkheid om een
paar in een niveau j te vinden ten opzichte van twee ongecorreleerde elektronen.
Wanneer C̄j2 uitgerekend wordt met de groot-kanonische BCS golffunctie dan wordt
2
C̄j2
= u2j vj2 = 41 24̃ 2 (De dikke vaste lijn in Fig. 2.7). De C̄j BCS hebben dus
BCS
j +4̃
een karakteristieke breedte van ∝ 4̃ rond F . Dit impliceert verder dat paarcorrelaties
gelokaliseerd zijn rond F in de energieruimte. Dit is een definiërende eigenschap van
correlaties beschreven door het BCS formalisme. In de bulk limiet (d 4̃) is C̄j BCS
bijna identiek aan C̄j exact (de gestreepte lijn in Fig. 2.7). Dit is ook één van de redenen
waarom de groot-kanonische BCS benadering zo succesvol is : het uitvoeren van een
kanonische projectie verandert de parameters ūj en v̄j bijna niet als (d 4̃), maar de
berekeningen worden zeer sterk vereenvoudigd.
Als
men echter het FD regime nadert (d & 4̃) verandert het karakter van de correlator
C̄j exact (Fig. 2.7 de open cirkels). Er wordt gewicht verschoven naar de energieniveaus
die dichter in de buurt van F − ωD en F + ωD liggen ten opzichte van diegene in de buurt
33
d
= 0, 0.27, 1.09, 2.17, 4.34. In
Figuur 2.7: De bezettingswaarschijnlijkheden C̄j van vgl.(2.43) voor 4̃
alle drie de figuren geeft de vette lijn het d = 0 bulk BCS resultaat, cirkels en sterren representeren
C̄j -waarden voor discrete energieniveaus gelabeld met index j. Waar we de exacte oplossing en de
PBCS methode gebruiken. Voor d = 0.274̃ zijn de twee methodes ononderscheidbaar. Voor kleine
d waarden zijn de paarcorrelaties gelokaliseerd binnen een paar 4̃ van F . Als d stijgt worden
deze steeds meer uitgesmeerd van F weg naar de staarten. Vergeleken met het exacte resultaat ,
overschat de PBCS methode deze delokalisatie wat meteen ook een van de redenen geeft waarom
de overgang van het (SC) regime naar het (FD) regime te bruusk gebeurt bij de PBCS methode.
van F . De paarcorrelaties
worden gedelokaliseerd in de energieruimte. In het extreme
geval (d 4̃), is C̄j exact voor alle interagerende niveaus ongeveer gelijk.
Richardson’s oplossing kan ook gebruikt worden om voor een gegeven verzameling van
B
B geblokkeerde niveaus de d-afhankelijkheid van de kanonische ordeparameter
4can (d) te
d
berekenen. Deze kan gefit worden aan de vorm: 4B
met γ̃B een
can (d) = 4̃ 1 + γ̃B 4̃
positieve numerieke constante [VDR01]. De lineaire term is een overblijfsel van de factor
d in de definitie van 4B
can . De ordeparameter is dus een strikt stijgende functie van d in
tegenstelling tot de groot-kanonische ordeparameter 4s (d).
34
Hoofdstuk 3
Een exacte oplossing van de
paringshamiltoniaan
3.1
inleiding
In dit hoofdstuk wordt de exacte oplossing van de paringshamiltoniaan voorgesteld door
Richardson [Ric63] besproken. We zullen ons baseren op de persoonlijke nota’s van Stijn
De Baerdemacker. Eerst gaan we dieper in op de corresponderende algebra’s. Voor een
analyse van de integreerbaarheid van de paringshamiltoniaan zie [CRS97]. Daarna zijn
we voldoende gewapend om de Richardson-Gaudin vergelijkingen af te leiden. Dit is
een stelsel niet-lineaire vergelijking in N variabelen met N het aantal paren. Het is
echter zeer moeilijk dit stelsel rechtstreeks op te lossen omdat het sterk singulier is. We
hebben dus nog enkele trucs nodig. Eens de Richardson-Gaudin vergelijkingen afgeleid
zijn bespreken we de limiet van een grote koppelingsconstante (g 1) en lossen we de
vergelijkingen analytisch op voor twee paren in twee niveaus. Verder bespreken we ook
nog de contractie-limiet waar de niveaus een zeer grote bezetting hebben. Waardoor we
de paar creatie en annihilatie operatoren approximatief kunnen behandelen als bosonen.
Tenslotte stellen we met dezelfde techniek die we gebruikten om de Richardson-Gaudin
vergelijkingen af te leiden, gelijkaardige vergelijkingen op, maar nu voor een systeem dat
tussen de contractie-limiet en het echte paringsprobleem in ligt. Dit stelt ons in staat om te
vertrekken van de oplossingen van de seculiere Tamm Dancoff benadering (TDA) (die we
eenvoudig grafisch kunnen bepalen) en dan via zeer kleine stapjes langs de tussenliggende
problemen naar de oplossing van het paringsprobleem toe te werken. Om het stelsel
niet-lineaire vergelijkingen op te lossen gebruiken we de Newton-Raphson techniek (zie
appendix: A). Als startpunt voor de Newton-Raphson methode gebruiken we telkens
de oplossing van het vorige probleem. Verder kunnen we op deze manier ook telkens
een connectie maken tussen de Tamm Dancoff distributie waarvan vertrokken is en de
bijbehorende oplossing (grondtoestand, 1e geëxciteerde toestand, . . .) van het standaard
paringsprobleem bij een welbepaalde koppelingsconstante [DB11].
3.2
Opnieuw het paringsprobleem
Komen we nog even terug op de Hamiltoniaan van het paringsprobleem. We gaan een
exacte oplossing van het kanonisch probleem (vast deeltjes aantal) onderzoeken en stellen
35
dus de chemische potentiaal µ = 0. Verder hebben we ook het extern magnetisch veld h
gelijk aan nul gesteld. De Hamiltoniaan kan dan geschreven worden als:
X
X † †
aj+ aj− aj 0 − aj 0 + .
(3.1)
Ĥ =
j a†jm ajm + g
jj 0
jm
Dan definiëren we zoals in het vorige hoofdstuk de 3 operatoren.
Sj† = a†j+ a†j− ,
Sj = (Sj† )† = aj− aj+ ,
Sj0 =
1
(nˆj − 1)
2
Deze operatoren sluiten onder de commutatie relaties van een SU(2) algebra.
h
i
h
i
0 S0, S† = S†,
S , S = −S,
S † , S = 2S 0
(3.2)
(3.3)
Merk verder op dat 2Sj0 + 1 = nj = a†j+ aj+ + a†j− aj− . De basisfuncties worden gegeven
door de SU(2) quasi-spin irreduciebele representaties (|Sj , MSj i).
1 1
| ; i
2 2
1 1
| ;− i
2 2
|0; 0i
(3.4)
De toestand |0; 0i correspondeert met een geblokkeerd niveau doordat dit niveau slechts
bezet is met één deeltje. De ket | 12 ; 21 i correspondeert met een niveau dat bezet is door één
paar. De ket die als MSj kwantumgetal −1
2 heeft stelt een toestand zonder paren voor die
1
in de andere Sj = 2 toestand overgaat door de paar creatie operator Sj† te laten inwerken
op deze toestand. We hebben dus twee SU(2) quasi-spin representaties: één representatie
die correspondeert met paarvorming en de triviale representatie die correspondeert met de
geblokkeerde niveaus. De grondtoestand van de paarvormingsrepresentatie wordt gegeven
door:
1 1
|θi := | ; − i
(3.5)
2 2
De acties van de generatoren op de basisfuncties worden gegeven door:
p
S † |S, M i =
(S − M )(S + M + 1)|S, M + 1i
(3.6)
p
S|S, M i =
(S + M )(S − M + 1)|S, M − 1i
(3.7)
S0 |S, M i = M |S, M i
(3.8)
Herschrijven we de Hamiltoniaan nu met deze operatoren dan bekomen we:
X
X †
Ĥ =
j (2Sj0 + 1) + g
Sj Sj 0
j
jj
(3.9)
0
Zoals we in sectie: 3.3 zullen aantonen, zijn de eigenfuncties van deze Hamiltoniaan te
schrijven als Bethe Ansatz golffuncties. Met N het aantal paren wordt deze ansatz gegeven
door:
N X
Y
Sj†
|θi
(3.10)
|ψi =
2j − Eα
α=1
j
36
De variabelen Eα worden de Richardson-Gaudin variabelen genoemd en deze voldoen aan
de volgende Richardson-Gaudin vergelijkingen (α = 1 . . . N )
N
1 − g2
X
j
X
dj
1
− 2g
=0
2j − Eα
Eβ − Eα
(3.11)
β6=α
waarbij dj = 12 vj − 21 met vj de senioriteit van het niveau. De senioriteit is het aantal
ongepaarde elektronen dat zich in een niveau bevindt. dj is dus gelijk aan nul als het
niveau slechts één elektron bevat en gelijk aan −1
2 als het niveau geen of twee elektronen
bevat.
3.3
Afleiding Richardson-Gaudin vergelijkingen en exacte
oplossing paringshamiltoniaan
We leiden de Richardson-Gaudin vergelijkingen af gebruikmakend van een techniek die
beschreven staat in volgend artikel [OSDR05]. We maken gebruik van de Bethe ansatz
voor de golffunctie.
!
N
Y X
Si†
|ψi =
|θi,
(3.12)
2i − Eα
α
i=1
Waarbij de index i loopt over de paren die we in beschouwing nemen. Het uiteindelijke
doel is het oplossen van volgende eigenwaardevergelijking:
Ĥ|ψi = E|ψi.
(3.13)
Waarbij Ĥ de reguliere paringshamiltoniaan voorstelt:
X
X †
Ĥ =
i ni + g
Si Sj
i
=
X
(3.14)
ij
j 2Sj0
X †
+1 +g
Sj Sj 0
j
jj
(3.15)
0
Om de Schrödinger vergelijking met de Bethe ansatz vgl.(3.12) op te lossen schuiven we
de Hamiltoniaan naar het vacuüm en de extra termen die optreden en niet evenredig zijn
met de Bethe ansatz stellen we gelijk aan nul. De voorwaarden die dit oplevert worden
de Richardson-Gaudin vergelijkingen genoemd (zie het befaamde artikel van Richardson
[Ric63]).
Omwille van notationele redenen is het handig, om gebruik te maken van een zogenaamde Gaudin algebra. Vertrekkende van de standaard SU(2) relaties in vgl.(3.3) kunnen
we de Gaudin operatoren construeren als:
Kα†
=
X
i
Si†
,
2i − Eα
Kα =
X
i
Si
,
2i − Eα
Kα0
=
X
i
Si†
.
2i − Eα
(3.16)
De commutatierelaties van bovenstaande operatoren, gebruikmakend van de vergelijkingen
37
(3.3), zijn:
h
Kα† , Kβ
i
δij 2Si0
(2i − Eα ) (2j − Eβ )
ij
X 0
Si (2i − Eβ ) − Si0 (2i − Eα )
2
Eα − Eβ
(2i − Eβ ) (2i − Eα )
i
X
Si0 Si0
2
−
Eα − Eβ
2i − Eα 2i − Eβ
X
=
=
=
i
= 2
Kα0
−
Kβ0
Eα − Eβ
.
(3.17)
De uitwerking van de andere commutatierelaties gebeurt analoog en we bekomen:
h
Kα0 , Kβ†
i
=
Kα† − Kβ†
(3.18)
Eα − Eβ
0
Kα − Kβ
Kα , Kβ = −
Eα − Eβ
(3.19)
Verder zien we ook volgende commutatierelaties eenvoudig in:
h
i
X
Si0
∂
0
Kα† , Kα = 2
2 = 2 ∂E Kα
(2
−
E
)
α
i
α
i
†
h
i
X
Si
∂
†
Kα0 , Kα†
=
2 = ∂E Kα
(2
−
E
)
α
i
α
i
X
0
∂
Si
Kα , Kα = −
2 = − ∂E Kα
(2i − Eα )
α
i
(3.20)
(3.21)
(3.22)
Nu zijn we voldoende gewapend om de Richardson-Gaudin vergelijkingen af te leiden. We
bekijken de inwerking van de Hamiltoniaan op de Bethe ansatz |Ψi.
h
N
N
N
N β−1
i Y
Y
Y
X
Y
†
†
†
†
Kγ |θi +
Kα† Ĥ|θi
Ĥ
Kα |θi =
Kα H, Kβ
α=1
β=1
=
Kα†
α=1
δ=β+1
Y
N
β=1
α=1
γ=β+1
X
N δ−1
Y
N β−1
X
Y
β=1
+
α=1
N β−1
X
Y
Kα†
α=1
Kµ†
hh
Ĥ, Kβ†
i
, Kδ†
µ=β+1
Kγ†
h
N
i Y
Kν†
|θi
ν=δ+1
N
i
Y
Ĥ, Kβ† |θi +
Kα† Ĥ|θi
(3.23)
α=1
γ=β+1
We zullen zien dat de dubbele commutator enkel uit creatie-operatoren bestaat, we kunnen
deze commutator dus verder door de vergelijking trekken en we bekomen:
Ĥ
N
Y
α=1
Kα† |θi
=
N
N X
X
β=1 δ=β+1
N
Y
hh
i
i
Kα †
Ĥ, Kβ† , Kδ† |θi
α=1(6=β,δ)
+
N Y
N
X
β=1
α=1(6=β)
38
Kα †
h
N
i
Y
Ĥ, Kβ† |θi +
Kα† Ĥ|θi (3.24)
α=1
Nu moeten we enkel nog de commutatierelaties van de Hamiltoniaan met de Kα† operatoren
berekenen. Er wordt gebruik gemaakt van vgl. (3.3) en vgl. (3.20-3.22) .
 


†
†
h
i
X
X
X
X
Si
Si
+

gSj† Sj 0 ,
Ĥ, Kα†
= 
j 2Sj0 ,
2i − Eα
2
− Eα
i
0
i
j
i
jj


†
X
X 2j δij S † X † X
Si
i

gSj 0 ,
=
+
Sj 
2i − Eα
2
i − Eα
0
ji
=
=
j
X
2j Sj†
j
2j − Eα
X
Si† Sj0
ij
2j − Eα
X (2j − Eα ) Sj† + Eα Sj†
X
X
− 2g
2j − Eα
1 − 2gKα0 + Eα Kα†
j
=
− 2g
i
j
Sj†
Si† Kα0
i
(3.25)
j
Verder hebben we ook nog:
hh
i
i
i
X †h
Ĥ, Kα† , Kβ† =
Sj −2gKα0 , Kβ† ,
j
= −2g
X
Sj†
j
Kα† − Kβ†
1
2 vj
Houden we ook rekening met het feit dat Sj0 |θi =
zaken herschrijven.
X
Ĥ|θi =
i vi |θi
(3.26)
Eα − Eβ
−
1
2
|θi dan kunnen we enkele
(3.27)
i
X i
h
X
†
Ĥ, Kβ |θi =
Sj† 1 − 2g
j
hh
Ĥ, Kβ†
i
, Kδ†
i
i
|θi = −2g
X
Sj†
j
di
2i − Eβ
Kβ† − Kδ†
Eβ − Eδ
+
Eβ Kβ†
|θi
(3.28)
|θi
(3.29)
Vullen we dit in in vgl.(3.24):
Ĥ

N
Y
Kα† |θi = 
α=1
+
N
X
α=1
N X
X
β=1 j

Eα +
X
j vj 
Y
N
Kα† |θi
α=1
j
X
†
Sj Kδ† − 2gKδ†
i
N
X
Kβ† − Kδ†
di
−
2g
2i − Eβ
Eβ − Eδ
δ=β+1
N
Y
Kα†
|θi
α=1(6=β,δ)
(3.30)
39
Merken we verder op dat door verwisselen van dummy indices β en δ in de eerste term
afkomstig van de dubbele commutator:
N
N
X
X
−2g
Kβ† − Kδ†
β=1 δ=β+1
N
N
X
X
=
Eβ − Eδ
−2g
δ=1 β=δ+1
N X
N
X
=
2g
β=1 δ6=β
N
N
X
X
Kδ†
Kδ†
+
2g
Eδ − Eβ
Eβ − Eδ
β=1 δ=β+1
Kδ†
Eβ − Eδ
.
(3.31)
Q
Uiteindelijk zien we dat de Bethe ansatz α Kα† |θi een eigentoestand is van de paringshamiltoniaan met eigenenergie gegeven door:
E=
N
X
Eα +
α=1
X
j vj ,
(3.32)
j
als geldt dat voor de N onderstaande vergelijkingen (β = 1 . . . N ) met di = 21 vi − 12 :
N
1 − 2g
X
j
X
dj
1
+ 2g
= 0.
2j − Eβ
Eβ − Eδ
(3.33)
δ6=β
De vergelijkingen in (3.33) zijn de zogenaamde Richardson-Gaudin vergelijkingen. We
zullen nu de kracht van deze techniek aantonen door het toevoegen van extra termen aan
de Hamiltoniaan en op te merken dat de Bethe ansatz een eigenfunctie blijft zonder extra
voorwaarden. Deze techniek gebruiken we in het vervolg van dit hoofdstuk nog enkele
malen om gelijkaardige vergelijkingen af te leiden voor Hamiltonianen die andere creatie
en annihilatie operatoren bevatten. We nemen extra termen van de volgende vorm:
X
Ĥ00 = g
Si0 Sj0
(3.34)
ij
Nu moeten we dus de commutatierelaties van deze extra term met Kα† berekenen.

 

†
†
i
h
X Sj 0
X
X
X
X Sj 0
X
+
g
= g
Si0 
Sj0 ,
Ĥ00 , Kα†
Si0 ,
Sj0
2i − Eα
2i − Eα
0
0
i
j
i
j
= g
X
Si0 Sj†
= g
X
1
2i − Eα
j
j
Si† Sj0
2j − Eα
2i − Eα
i,j
i,j
X
1
= g
Sj0 Si† + Si† Sj0
2 − Eα
i,j


i,j
+g
X
h

i
 0 †
† 0
 Sj , Si +2Si Sj 
| {z }

δij Si†
!
= gKα†
1+2
X
Si0
.
(3.35)
i
40
en gebruikmakend van de hierboven afgeleide vergelijking zien we ook eenvoudig in dat:
i
hh
i
Ĥ00 , Kα† , Kβ† = g2Kα† Kβ†
(3.36)
Laten we bovenstaande vergelijkingen nu ook in werken op het vacuüm, dan bekomen we:
X
Ĥ00 |θi = g
di dj |θi
(3.37)
ij
h
i
Ĥ00 , Kβ† = gKβ†
!
1+2
X
di
|θi
(3.38)
i
hh
i
i
Ĥ00 , Kβ† , Kδ† = 2gKβ† Kδ† .
(3.39)
Als we bovenstaande commutatoren opnieuw invullen in vgl.(3.24) en rekening houden
Q
dan zien we dat α Kα† |θi
met het feit dat de som van 1 + 2 + . . . + (N − 1) = (N −1)N
2
een eigenfunctie is van de Hamiltoniaan H00 met energie gegeven door:
!
X
X
E00 = g
di dj + gN 1 + 2
di + gN (N − 1)
ij
i
X 2
= g N+
di .
(3.40)
i
3.4
Enkele analytische oplossingen
Als we de Richardson-Gaudin vergelijkingen bekijken vallen enkele zaken op:
1. Ze schalen lineair met het aantal paren in tegenstelling tot exacte diagonalisatie waar
de dimensie van de te diagonaliseren matrix exponentieel schaalt met het aantal
paren.
2. Deze vergelijkingen zijn in het algemene geval niet analytisch op te lossen, het blijft
dus een numeriek probleem.
3. De vergelijkingen bevatten veel singuliere punten, waardoor deze vergelijkingen ook
numeriek zeer lastig op te lossen zijn [RVND04].
Om het gedrag van de Richardson-Gaudin vergelijkingen beter te begrijpen werken we
enkele analytische oplossingen uit.
3.4.1
De limiet van een grote koppelingsconstante
Beschouwen we de limiet van een grote koppelingsconstante (g n − 1 ), met n − 1
de afstand tussen de grondtoestand en het hoogst geëxciteerde ééndeeltjesniveau. In deze
limiet kunnen we de verschillende ééndeeltjesniveaus beschouwen als één groot niveau dat
alle deeltjes bevat en 2n gedegenereerd is. Van deze observatie maken we gebruik om
de Richardson-Gaudin vergelijkingen te vereenvoudigen. We herschrijven de RichardsonGaudin variabelen Eα met behulp van de afstand xα tot het dubbel van de grondtoestand
van het ééndeeltjesspectrum.
Eα = 21 + xα
(3.41)
41
Herschrijven we hiermee de Richardson-Gaudin vergelijkingen.
N
X
1 − 2g
k=1
N
X
dk
1
+ 2g
=0
2 (k − 1 ) − xα
xα − xβ
(3.42)
β6=α
voeren we nu nog de substitutie xα = gyα door.
1 − 2g
N
X
k=1
N
X
1
dk
+2
2(k − 1 ) − gyα
yα − yβ
(3.43)
β6=α
De middelste term in bovenstaande vergelijking zullen we nu ontwikkelen tot op eerste
k −1 )
.
orde naar 2(gy
α
1−2
N
X
dk
2(k −1 )
gyα )
+2
N
X
1
yα − yβ
−yα (1 −
β6=α
N
X
X
dk
2 (k − 1 )
1
1+2
1+
+2
yα
gyα
yα − yβ
k=1
k=1
= 0
(3.44)
= 0
(3.45)
β6=α
Als we de termen van orde g1 verwaarlozen dan krijgen we volgende vereenvoudigde
Richardson-Gaudin vergelijkingen:
N
1+
X
D
1
+2
,
yα
yα − yβ
(3.46)
β6=α
P
met D gegeven door D = 2 N
k=1 dk . Als we een systeem zonder geblokkeerde niveaus
beschouwen zodat de senioriteit van alle niveaus gelijk aan nul is en dk = −1
2 bekomen we
dat D = −N . We definiëren de volgende veelterm:
P (x) =
0
P (x) =
N
Y
α=1
N
X
(x − yα ) ,
Y
P (yα ) = 0
0
(x − yβ ) ,
P (yα ) =
α=1 β6=α
00
P (x) =
(3.47)
N
Y
(yα − yβ )
(3.48)
β6=α
N X
N
N
X
Y
00
(x − yγ ) ,
P (yα ) = 2
α=1 β6=α γ6=α,β
N
N
X
Y
(yα − yγ )
(3.49)
β6=α γ6=α,β
Vermenigvuldigen we de vereenvoudigde Richardson-Gaudin vergelijkingen vgl.(3.46) met
0
−yα P (yα ) voor elke α, en maken we gebruik van bovenstaande vergelijkingen dan bekomen
we volgende uitdrukking:
0
00
(−yα − D) P (yα ) − yα P (yα ) = 0,
α = 1, . . . , N.
(3.50)
We zien dus dat de yα oplossingen zijn van de volgende functie:
0
00
f (x) = (−x − D) P (x) − xP (x) .
42
(3.51)
Deze functie is een veelterm van dezelfde graad als P (x) en met dezelfde wortels (yα ),
daarom moeten f (x) en P (x) gelijk zijn op een schaalfactor λ na.
0
00
(−x − D) P (x) − xP (x) = λP (x)
(3.52)
Als we de coëfficient van de hoogste graads term van P (x) vergelijken met die van vgl.
(3.51) dan zien we dat de twee veeltermen gelijk zijn, als λ = −N . Herschrijven we dan
de voorgaande vergelijking dan bekomen we:
00
0
− xP (x) + (−x − D) P (x) + N P (x) = 0
(3.53)
Voeren we nu een verandering van variabele uit : z = −x dan bekomen we rekening
∂
∂z ∂
∂
∂2
∂2
houdend met: ∂x
= ∂x
∂z = − ∂z en ∂x2 = ∂z 2 en P (x) = F (z).
z
∂ 2 F (z)
∂F (z)
+ (z − D) (−1)
+ N F (z) = 0
2
∂z
∂z
00
0
zF (z) + (D − z) F (z) + N F (z) = 0
(3.54)
(3.55)
De accenten in de laatste vergelijking staan voor afgeleiden naar de variabele z van de
functie F (z) = P (−z). Hierin herkennen we de differentiaal vergelijking van de geassocieerde Laguerre Polynomen LαN , met α + 1 = D. De Richardson-Gaudin variabelen
zijn dus de nulpunten van de Laguerre veeltermen. We beschouwden een systeem zonder
geblokkeerde niveaus waarvoor D = −N en α dus gelijk is aan −N − 1. Merken we verder
op dat deze nulpunten enkel afhangen van het aantal paren N dat in beschouwing genomen
werd. We kunnen deze nulpunten numeriek vinden door gebruik te maken van volgende
recursierelaties voor de Laguerre veeltermen:
nLαn (x) = (2n − 1 + α − x) Lαn−1 (x) − (n − 1 + α) Lαn−2 (x)
(3.56)
Gebruikmakend van :
Lα0 (x) = 1
(3.57)
Lα1 (x)
(3.58)
= −x + α + 1
x−α ex dn
e−x xn+α ,
Lαn (x) =
n
n! dx
kunnen we dit schrijven in determinant vorm.
√ √
1+α−x
1 α+1 0
...
0
√ √
1 α + 1 3 + α − x ...
0
..
..
=0
.
.
0
0
√
√
..
.
0
n
−
1
n
−
1
+
α
√
√
0
...
n−1 n−1+α
2n − 1 + α − x (3.59)
(3.60)
In het geval van de limiet van een grote koppelingsconstante moeten we dus enkel de
eigenwaarden van de geassocieerde matrix berekenen om de yα te bepalen en dus ook de
Richardson-Gaudin variabelen te kennen. Dit kunnen we eenvoudig doen door gebruik te
maken van een diagonalisatie routine zoals vervat zit in: [San10]. In de volgende sectie
werken we een voorbeeld uit dat een dieper inzicht verschaft in het kritische gedrag van
de Richardson-Gaudin variabelen en op welk moment ze complex worden.
43
3.4.2
Een analytische oplossing van het probleem van twee paren in twee
niveaus:
Een systeem met twee paren in twee j = 12 niveaus geeft al enkele interessante resultaten
voor het gedrag van de Richardson-Gaudin variabelen, alhoewel er slechts één toestand
mogelijk is in de Hilbertruimte, namelijk de toestand die correspondeert met het volledig
gevulde systeem (een paar in één niveau en het andere paar in het andere niveau). We
hebben dus voor de golffunctie:
|ψi = S1† S2† |θi = |
11 11
,
i
22 22
(3.61)
De energie van deze toestand wordt gegeven door :
hψ|Ĥ|ψi = 21 + 22 + 2g
(3.62)
De verzameling Richardson-Gaudin vergelijkingen wordt dan gegeven door (rekening houdend
met dj = 12 ):
1
1
1
1+g
+
− 2g
= 0
(3.63)
21 − E1 22 − E1
E2 − E1
1
1
1
1+g
+
− 2g
= 0
(3.64)
21 − E2 22 − E2
E1 − E2
De oplossingen van deze vergelijkingen worden gegeven door:
q
E1 = 1 + 2 + g ± (1 − 2 )2 − g 2
q
E2 = 1 + 2 + g ∓ (1 − 2 )2 − g 2
(3.65)
(3.66)
Als we nu de referentie energie 1 = 0 zetten, en we verder definiëren 4 = 2 − 1 = 2
dan bekomen we:
r
g
g 2
E1 = 4 1 +
± 1−
(3.67)
4
4
r
g
g 2
E2 = 4 1 +
∓ 1−
(3.68)
4
4
Deze twee variabelen worden geplot in Fig. 3.1. Op de kritische interactiesterkte g =
4 zien we dat de variabelen niet langer reeël zijn, maar opsplitsen in twee complex
toegevoegde paren. Dit heeft echter geen fysische betekenis, omdat de golffunctie dezelfde
blijft over het hele domein van de interactiesterkte. Het is ook duidelijk dat het kritische
gedrag van de Richardson-Gaudin variabelen een artefact is van de Richardson-Gaudin
vergelijkingen. We kunnen dit begrijpen als we de Bethe Ansatz golffunctie neerschrijven.
S2†
S1†
S2†
S1†
+
+
|θi
|ψi =
21 − E1 22 − E1
21 − E2 22 − E2
1
1
=
+
S1† S2† |θi
(21 − E1 ) (22 − E2 ) (22 − E1 ) (21 − E2 )
∼ S1† S2† |θi
(3.69)
44
Figuur 3.1: Reëel en imaginair deel van de Richardson-Gaudin variabelen voor een systeem dat
bestaat uit twee paren in twee niveaus die elk tweevoudig ontaard zijn.
3.5
De contractie-limiet
We bekijken de contractie-limiet omdat het onmogelijk is met de Newton-Raphson techniek
(zie appendix(A)) de Richardson-Gaudin vergelijkingen rechtstreeks op te lossen. Deze
vergelijkingen hebben namelijk voldoende singuliere punten om te leiden tot numeriek
instabiele afgeleiden. We kunnen de Newton-Raphson techniek enkel praktisch gebruiken
als we al een oplossing in de buurt van de gezochte oplossing hebben. De contractie-limiet
kunnen we eenvoudig oplossen en vertrekkende van de oplossingen van de contractie-limiet
kunnen we met de Newton-Raphson methode een probleem oplossen dat dichter bij het
echte paringsprobleem ligt. De parameter ξ die de relatieve afstand van het tussenliggende
probleem tot de contractie-limiet (ξ = 0) en het echte paringsprobleem (ξ = 1) weergeeft,
kunnen we in kleine stappen variëren van nul naar één. Op deze manier hebben we voor
het volgende probleem steeds een benaderde oplossing die voldoende dicht in de buurt
ligt om ondanks de singuliere punten de Newton-Raphson methode te kunnen gebruiken.
Voor verdere informatie zie [DBa]
3.5.1
Afleiden vergelijkingen
Als we een grote ontaarding van de niveaus beschouwen kunnen we de paar creatie en
annihilatie operatoren behandelen als ”hard core” bosonen. Definiëren we dan nieuwe
45
creatie en annihilatie operatoren, waar Ωj de ontaarding van het j e niveau voorstelt,
s
s†j =
Ω
2
2 X
Sk†
Ωj
(3.70)
k=1
s
sj
=
Ω
2
2 X
Sk
Ωj
(3.71)
k=1
Ω
s0j
=
2
X
Sk0 .
(3.72)
k=1
Gebruikmakend van de commutatierelaties 3.3 bekomen we als commutatierelaties voor
de nieuwe algebra (benaderend)
h
i
s0i , s†j = δij s†j
(3.73)
0 si , sj = −δij sj
(3.74)
0
h
i
−2sj
2n̂j
si , s†j = δij
= δij 1 −
≈ δij ,
(3.75)
Ωj
Ωj
waar we gebruik gemaakt hebben van het feit dat s0j = 12 n̂j − 14 Ωj Herschrijven we nu
het paringsprobleem gebruikmakend van de nieuwe creatie en annihilatie operatoren dan
bekomen we:
X
g Xp
Ĥ =
i n̂i +
Ωi Ωj s†i sj
(3.76)
2
i
ij
Deze Hamiltoniaan
kan ook gediagonaliseerd worden door gebruik te maken van de Bethe
Q
†
Ansatz α Kα |θi Uitgeschreven worden de Kα† nog:
√
Ωk s†k
1 X
†
Kα = √
(3.77)
2 k 2k − Eα
Berekenen we nu de energieën door de Hamiltoniaan te diagonaliseren met behulp van
dezelfde methode als gebruikt werd in sectie(3.3). Voor deze methode moeten we enkel nog
de commutatierelaties van de Kα† met de Hamiltoniaan berekenen, aangezien we zullen zien
dat dubbele commutatoren triviaal zullen wegvallen (zie vgl. (3.79)). Rekening houdend
met het feit dat n̂i = 2Si0 + 12 Ωi wordt de commutator gegeven door:


"
#
h
i
X
X
p
g
Ĥ, Kα†
=
2Si0 i , Kα† + 
Ωi Ωj s†i sj , Kα† 
2
i
i,j
X 2j s†j + (−Eα + Eα ) s†j
Ωj
g X †p X
√
si Ωi
2j − Eα
2
(2j − Eα ) 2
j
i
j
X
X †
Ωj
g X †p
†
sj + Eα Kα + √
s Ωi
=
2j − Eα
2 2 i i
j
j
1 Xp
gX
Ωk
= √
Ωj s†j 1 +
+ Eα Kα† .
(3.78)
2
2k − Eα
2
=
j
k
46
+
Omdat het resultaat van deze commutator enkel creatie operatoren bevat hebben we
triviaal:
i
hh
i
Ĥ, Kα† , Kβ† = 0.
(3.79)
Maken we verder gebruik van vgl.(3.24) , dan zien we dat de Bethe Ansatz golffunctie
de Hamiltoniaan (in de bosonische benadering) diagonaliseert als de variabelen Eα een
oplossing zijn van volgende seculiere vergelijking die ook volgt uit de theorie van de TammDancoff Benadering (TDA) [Hey94]. Merk op dat de Eα verschillend kunnen zijn, de enige
voorwaarde is dat ze voldoen aan onderstaande vergelijking.
1+
gX
Ωk
=0
2
2k − Eα
(∀α = 1 . . . N )
(3.80)
k
Verder wordt de energie van het systeem gegeven door:
E=
N
X
Eα +
α=1
3.5.2
X
i vi .
(3.81)
i
Het oplossen van de TDA seculiere vergelijking
De TDA seculiere vergelijking valt eenvoudig numeriek op te lossen. Herschrijven we de
vergelijking en stellen we voor de eenvoud Ωk = 2:
X
k
1
−1
=
2k − Eα
g
(3.82)
De enige onbekende in dit probleem is Eα en de oplossingen kunnen bijvoorbeeld gevonden worden door de bisectie methode toe te passen op de kromme in het linkerlid van
bovenstaande vergelijking en de rechte evenwijdig met de x-as bepaald door −1
g . We illustreren deze methode in Fig. 3.2, waar we een systeem gekozen hebben met de volgende
bezetbare ééndeeltjes niveaus (0.5 , 1 , 1.5). Als we de afgeleide nemen van het linkerlid
van bovenstaande vergelijking dan zien we dat deze altijd positief is. De functie is dus
overal stijgend en in de limiet gevallen Eα → +∞ en Eα → −∞ nadert de sommatie term
nul. De functie vertrekt dus van nul, gaat naar een pool springt dan naar −∞ en stijgt
weer tot +∞ waar de volgende pool bereikt wordt. Dit wordt herhaald tot de laatste pool
gepasseerd is, waarna de functie naar nul nadert. Oplossingen worden gevonden door snijpunten met −1
g (merk op dat g negatief is). We kunnen deze oplossingen dus voorstellen
door de rechte y = −1
g op de grafiek te plaatsen. We zien dat het aantal oplossingen dat
we hebben enkel afhankelijk is van het aantal polen. Tussen elke twee polen zal er een
oplossing te vinden zijn daar de sommatieterm tussen twee polen van −∞ tot +∞ loopt
en links van de kleinste pool zal er ook nog een oplossing te vinden zijn. Deze kleinste
oplossing wordt ook wel de collectieve oplossing genoemd, omdat deze naarmate de paar
interactie sterker wordt deze oplossing veel kleiner wordt dan de andere oplossingen die
gebonden blijven tussen de polen. Als g klein is dan zien we dat de Eα dicht in de buurt
van de 2j blijven. Dit is logisch daar bij een kleine koppelingsconstante de energieniveaus
van het gepaarde probleem in de buurt blijven van die van het probleem zonder paring.
47
Figuur 3.2: Grafische voorstelling van een oplossingstechniek van de TDA seculiere vergelijking
3.6
Het maken van de connectie tussen de TDA en het echte
paringsprobleem
Nu wordt een systeem bestudeerd dat tussen de harde kern bosonen en het echte paringsprobleem ligt. Het probleem wordt bepaald door de constructie van de volgende algebra
voor de creatie en annihilatie operatoren, die een parameter ξ bevat die zal zorgen voor
de connectie:
h
i
Si0 , Sj† = δij Sj†
(3.83)
0
Si , Sj = −δij Sj
(3.84)
h
i
Si† , Sj = δij (ξn̂j − 1) = δij ξ2Si0 + (ξ − 1)
(3.85)
Als ξ = 1 vinden we de algebra terug van het standaard paringsprobleem dat we proberen
op te lossen. Als ξ = 0 kunnen de fermion paren beschouwd worden als bosonen en
vinden we de TDA seculiere vergelijking terug als voorwaarde voor het diagonaliseerbaar
zijn van de Hamiltoniaan door de Bethe Ansatz. Nu wordt ook de techniek duidelijk die
we gaan toepassen om de Richardson-Gaudin vergelijkingen voor het echte paringsprobleem op te lossen. De Newton-Raphson methode rechtstreeks toepassen op het standaard
paringsprobleem zou niet werken, omdat de afgeleide numeriek instabiel wordt door de singulariteiten die in het stelsel niet-lineaire vergelijkingen optreedt. Er is een oplossing nodig
die in de buurt ligt van de exacte oplossing. Er wordt vertrokken van de harde boson benadering(elk niveau kan een willekeurig aantal paren bevatten) die gekarakteriseerd wordt
door de algebra met ξ = 0. De harde boson benadering kunnen we eenvoudig oplossen
met de techniek beschreven in subsectie (3.5.2). Verhogen we nu ξ met een kleine stap dan
48
kunnen we de vorige oplossing meegeven aan de Newton-Raphson methode als een schatting van de oplossing voor het nieuwe probleem. Zo wordt er van oplossing naar oplossing
gesprongen door ξ adiabatisch te variëren van nul naar één in kleine stapjes. Uiteindelijk
bekomen we zo de oplossing van de Richardson-Gaudin vergelijkingen voor het standaard
paringsprobleem. Let wel, niet elke startdistributie van de TDA zal overeenkomen met
een fysisch aanvaardbare toestand dit wordt veroorzaakt door het Pauli principe. Men
kan dit eenvoudig inzien door de limiet van een kleine koppelingsconstante te beschouwen.
In de TDA wordt de grondtoestand gevormd door alle paren ”collectief” te nemen, dit
wil zeggen dat we alle paren in de laagste oplossing van vgl. (3.80) stoppen. Voor kleine
g wordt deze echter sterk geassocieerd met het laagste ééndeeltjes niveau 1 , zodat de
TDA effectief N paren in het laagste niveau wil stoppen. In het geval we niveaus hebben
die maar tweevoudig ontaard zijn zal de grondtoestand van het echte paringsprobleem
overeenkomen met een TDA startdistributie van telkens één paar in de laagste N niveaus
waar N gelijk is aan het aantal paren zodat deze configuratie beter overeenkomt met de
fysische grondtoestand. Voor een goede illustratie van deze ideëen wordt doorverwezen
naar het artikel van De Baerdemacker, Stijn [DB11]. Nu wordt verder gegaan met het
afleiden van de Richardson-Gaudin achtige vergelijkingen voor de tussenliggende paringsproblemen gekarakteriseerd door de algebra gedefinieerd in vgl.(3.85). Dit wordt gedaan
met behulp van een gelijkaardige techniek als in sectie: 3.3.
3.6.1
Het afleiden van de vergelijkingen
Berekenen we dus opnieuw de commutatierelaties van de Kα† met de Hamiltoniaan, gebruikmakend van de hierboven gedefinieerde commutatierelaties voor de creatie en annihilatie operatoren van de paren vgl. (3.85) :




†
h
i
X
X † X
X
Si

Ĥ, Kα†
= 
j 2Sj0 , Kα†  + g
Sj 
Sj 0 ,
(3.86)
2
−
E
i
α
0
j
=
j
i
j
X j 2Sj† + (Eα − Eα ) Sj†
+g
X
2j − Eα
j
j
X †
X
=
Si 1 − g 2ξKα0 + (ξ − 1)
i
k
Sj†
X −2S 0 ξ − (ξ − 1)
i
i
1
2k − Eα
2i − Eα
+ Eα Kα†
(3.87)
(3.88)
Verder is ook onmiddelijk duidelijk dat:
hh
Ĥ, Kα†
i
, Kβ†
i
= −2gξ
X
i
Si†
Kα† − Kβ†
Eα − Eβ
(3.89)
De actie van deze commutatoren op het vacuüm wordt, rekening houdend met Sj0 |θi =
1
1
2 vj − 2 |θi gegeven door:
h
i
X †
X ξvk − 1 †
Si 1 − g
Ĥ, Kα |θi =
|θi + Eα Kα† |θi
(3.90)
2k − Eα
i
hh
i
i
Ĥ, Kα† , Kβ† |θi =
k
X † Kα†
−2gξ
Si
Eα
i
49
− Kβ†
− Eβ
|θi
(3.91)
Gebruikmakend van deze relaties bekomen we dan voor de Richardson-Gaudin vergelijkingen voor de quasi bosonen:
1−g
X
X ξvk − 1
1
− 2gξ
=0
2k − Eα
Eβ − Eα
k
(∀α = 1 . . . N )
(3.92)
β6=α
Nu zijn alle ingrediënten voorhanden om een routine te implementeren die de RichardsonGaudin vergelijkingen numeriek oplost.
50
Deel II
Onderzoek van het effect van de
geometrie op de supergeleidende
toestand van metaalachtige
nanokorrels
51
Hoofdstuk 4
Invloed van de geometrie op de
supergeleidende korrels
4.1
Inleiding
In dit deel wordt er onderzoek verricht naar het effect van de geometrie op de supergeleidende toestand van metaalachtige nanokorrels. Dit is relevant omdat in voorgaand onderzoek [VDR01] altijd een uniforme verdeling of een random verdeling, door middel van
”random matrix” theorie geproduceerd, voor het ééndeeltjesspectrum genomen werd. De
uitgemiddelde resultaten van deze random ééndeeltjesspectra leverden enkele interessante
resultaten op ten opzichte van uniforme spreiding. De conclusie was dat ”randomness”
paarcorrelaties versterkt ten opzichte van een uniforme spreiding. Er werden ook pariteits
effecten gevonden. De versterking van de condensatie-energie was sterker bij even dan bij
oneven korrels, en de variantie van de condensatie-energie geproduceerd met ”random”
matrix theorie was groter bij even dan bij oneven korrels [SDD+ 00, SV96].
Er is echter nog geen uitgebreid onderzoek verricht naar de invloed van variaties van de
relatieve ligging van de niveaus ten opzichte van elkaar op de ”supergeleidende” eigenschappen van de deeltjes. We willen ook enkel relevante ééndeeltjesspectra bespreken, want de
spectra geproduceerd door ”random matrix” theorie bevatten ook spectra die fysisch onmogelijk zijn. Vandaar de nood aan een werk dat de link legt tussen de geometrie waarin de
deeltjes opgesloten zitten en de supergeleidende eigenschappen van de deeltjes zoals de BCS
kloof, supergeleidende grondtoestand en condensatie-energie. Onder condensatie-energie
verstaan we het verschil tussen de energie van de grondtoestand van de BCS Hamiltoniaan
met de energie van de niet-interagerende grondtoestand. De niet-interagerende grondtoestand wordt opgebouwd door de N beschouwde paren in de laagste N ééndeeltjesniveaus te
stoppen. In het overzichtsartikel [VDR01] werd de condensatie-energie echter gedefinieerd
als het verschil van de energie van de grondtoestand van de BCS Hamiltoniaan met de
verwachtingswaarde van de BCS Hamiltoniaan in de niet-interagerende grondtoestand.
(zie ook sectie: 2.2.2). De reden van onze keuze is dat we dan rechtstreeks de strijd om de
dominante bijdrage aan de grondtoestandsenergie van de BCS Hamiltoniaan tussen de energie van de niet-interagerende grondtoestand en de condensatie-energie kunnen bespreken
in functie van de koppelingsconstante. De discrepantie tussen de twee definities leidt er toe
dat de condensatie-energie die in dit werk beschouwd wordt een extra constante term gN
bevat, vergeleken met de condensatie-energie in [VDR01]. Dit verschil in definitie heeft
52
dus geen invloed op de vorm van de condensatie-energie in functie van een parameter van
de beschouwde geometrie wanneer het aantal deeltjes en de koppelingsconstante constant
worden gehouden.
We nemen de roosterstructuur van de nanokorrel niet in rekening en we gebruiken ook
geen bandentheorie om het ééndeeltjesspectrum te berekenen. In Hoofdstuk: 5 zullen we
echter een eerste aanzet nemen tot het bestuderen van roosterstructuren die we zullen
benaderen door aan de geometrie een aantal Dirac delta-functies toe te voegen. In dit
Hoofdstuk benaderen we de geometrie door aan te nemen dat het deeltje opgesloten is in
een twee- of drie-dimensionale grensstructuur, met waarschijnlijkheid nul om het deeltje
buiten deze grens te vinden. Dit bewerkstelligen we door buiten de grens een oneindige
potentiaal te nemen en binnen de grens de potentiaal gelijk aan nul te kiezen. Met deze
voorwaarden kunnen we de Schrödinger vergelijking oplossen door gebruik te maken van
de methode van het scheiden der veranderlijken. Het energiespectrum is discreet door het
opleggen van de grensvoorwaarden die de onderzochte geometrieën ons geven. Daarna
worden de bekomen ééndeeltjesspectra gebruikt om de kenmerken van de bijbehorende
supergeleidende toestand in de nanokorrel te analyseren. Het ééndeeltjesspectrum correspondeert met de i in de BCS Hamiltoniaan vgl.(3.1). De paring van de opgesloten
deeltjes wordt veroorzaakt door de tweede term in deze Hamiltoniaan. Deze koppelt de
verschillende ongeblokkeerde niveaus met elkaar. Voor de eenvoud van notatie hebben we
~2
~2
steeds ( 2m
= 1) gesteld tenzij anders aangegeven. 2m
wordt voor een elektron opgesloten
in een Al structuur met mef f = 0.97me (me de massa van het vrije elektron) gegeven door
~2
−39 J m2 = 3.9278 eVÅ2 .
2m = 6.29317 ∗ 10
4.2
4.2.1
Balkvormige geometrieën
Bepalen van het ééndeeltjes spectrum
Het energiespectrum van een deeltje dat opgesloten zit in een balk wordt eenvoudig gevonden met de methode van het scheiden der veranderlijken. Beschouwen we een deeltje dat
opgesloten is in een balk met lengtes L1 , L2 en L3 . De potentiaal V is oneindig buiten
de balk en gelijk aan een eindige constante binnen de balk die we gelijk aan nul kiezen.
De tijdsonafhankelijke Schrödinger vergelijking die opgelost moet worden in de balk geeft
dan:
2
∂
∂2
∂2
−
+
+
Ψ (x, y, z) = EΨ (x, y, z) .
(4.1)
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
Verder moet op de grenzen van de balk steeds Ψ (x, y, z) = 0, de oorsprong wordt op
een van de hoekpunten van de balk gekozen en de andere coördinaten kiezen we allemaal
positief. Schrijven we Ψ (x, y, z) nu in product vorm dan bekomen we:
Ψ (x, y, z) = X (x) Y (y) Z (z) .
(4.2)
Vullen we deze ansatz terug in in vgl.(4.1) en delen we door Ψ dan bekomen we:
−
1 ∂2X
1 ∂2Y
1 ∂2Z
−
−
= E.
X ∂x2
Y ∂y 2
Z ∂z 2
(4.3)
Nu zien we dat we drie termen hebben die elk slechts afhankelijk zijn van één variabele. De
som van deze drie termen moet gelijk zijn aan de constante E. Er kan dus geconcludeerd
53
worden dat elk van deze drie termen afzonderlijk gelijk moet zijn aan een constante, met
de som van deze drie constanten gelijk aan E. Vgl. (4.3) kan dus herschreven worden als
3 afzonderlijke differentiaal vergelijkingen.
∂ 2 X (x)
∂x2
2
∂ Y (y)
−
∂y 2
∂ 2 Z (z)
−
∂z 2
−
= Ex X (x)
(4.4)
= Ey Y (y)
(4.5)
= Ez Z (z) ,
(4.6)
met de voorwaarde E = Ex + Ey + Ez . Een oplossing voor vgl. (4.4), rekening houdend
met de randvoorwaarde X(0) = 0 en X(L1 ) = 0 en de normalisatievoorwaarde hX|Xi =
R L1
∗
0 X (x) X (x) dx = 1 wordt gegeven door:
Xnx (x) =
2
L1
1
2
sin
nx πx
L1
.
(4.7)
De mogelijke waarden voor Ex zijn dus:
Enx =
π 2 n2x
L21
nx ∈ N\0
(4.8)
Lossen we op een gelijkaardige manier de vergelijkingen voor Y (y) en Z(z) op dan vinden
we dat de genormaliseerde eigenfuncties voor het volledige driedimensionale probleem
volgende staande golven zijn:
Ψnx ,ny ,nz (x, y, z) =
8
V
1
2
sin
nx πx
L1
sin
ny πy
L2
sin
nz πz
L3
,
(4.9)
waar V = L1 L2 L3 het volume is van de balk en nx , ny , nz positieve natuurlijke getallen
zijn. De toegelaten waarden voor de energie zijn dan:
!
2
2
2
n
n
n
y
x
E = Ex + Ey + Ez = π 2
+
+ z
(4.10)
L21 L22 L23
De grondtoestand wordt steeds gegeven door de kwantumgetallen nx = ny = nz = 1.
Verder vertoont het spectrum voor algemene L1 , L2 en L3 geen regelmatige patronen voor
de waarden van (nx , ny , nz ) voor de gexciteerde toestanden (zie Fig. 4.1). In het geval
van een kubus vereenvoudigt de formule voor de energie tot:
En =
π 2 n2
L2
n2 = n2x + n2y + n2z .
(4.11)
We zien dat er een heleboel degeneraties optreden in het geval van een kubus bv.: de
1e geëxciteerde toestand is drievoudig ontaard door (2,1,1) , (1,2,1) en (1,1,2) als kwantumgetallen te nemen. De gevolgen van deze degeneratie manifesteren zich in een lokaalminimum van de condensatie-energie van een kubus ten opzichte van omringende balkvormige
geometrieën (zie subsectie: 4.2.2).
54
Figuur 4.1: Eerste 10 energieniveaus van een deeltje opgesloten in een balk
2met lengtes: L1 , L2 =
1
2 nx
+ n2y L21 + n2z . Voor
L1 , L3 = 1, constant volume V = 1. De energie wordt gegeven door: π
L21
elke L1 worden de laagste 10 niveaus in volle en hogere niveaus in stippellijn weergegeven. De
tweede figuur geeft de niet-interagerende grondtoestand weer van 5 paren in deze balken. De
onderste figuur geeft de gemiddelde afstand tussen de eerste 10 energieniveaus weer.
4.2.2
De supergeleidende toestand in balkvormige geometrieën
Er wordt een analyse uitgevoerd van de supergeleidende toestand van elektronen die opgesloten zitten in een balk. We kiezen 5 paren in 10 niveaus. De lengte van één dimensie
van de balk wordt constant op 1 gehouden. De parameter die we zullen variëren is de
lengte van 1 zijde. Verder houden we het volume van de balk V = L1 L2 L3 = 1 constant.
L1 wordt gevarieerd van 0.5 tot 2, terwijl L2 = L11 en L3 = 1 constant blijft. Merk op
dat als L1 = 1, het deeltje opgesloten zit in een kubus. De koppelingsconstante g in de
parings-Hamiltoniaan vgl. (3.1) wordt gevarieerd van -400 tot -0.1. Op deze manier kunnen we zowel gevallen beschouwen waar g klein is, t.o.v. de gemiddelde afstand d tussen
de niveaus, als gevallen waar g groot is, d varieert rond 8.5 voor de beschouwde balken
(zie Fig. 4.1). De eerste 10 ééndeeltjes niveaus en de energie van de niet-interagerende
grondtoestand van 5 paren worden weergegeven in Fig. 4.1. De niet-interagerende grondtoestand van 5 paren wordt berekend door de verwachtingswaarde van het ééndeeltjesdeel
van de BCS Hamiltoniaan te bereken met de golffunctie bekomen door in de laagste 5
55
niveaus, 5 paren te stoppen.
De resultaten worden getoond in Fig. 4.2. Zoals we verwachten is de condensatieenergie en energie van de supergeleidende grondtoestand symmetrisch onder verwisseling
van L1 en L11 . Hetgeen opvalt is dat voor de kleinste en grootste waarden van L1 , wanneer
dus telkens één dimensie van de kubus groot is in vergelijking met de andere 2 dimensies,
de condensatie-energie stelselmatig sterker wordt. Dit komt omdat de gemiddelde afstand
tussen de ééndeeltjesniveaus zal dalen en de dichtheid aan niveaus dus toeneemt. Effecten
van de dichtheid aan ééndeeltjesniveaus op de condensatie-energie en de supergeleidende
grondtoestand zullen in volgende subsectie onderzocht worden. De dalende trend van
de condensatie-energie bij steeds extremere waarden van L1 blijft zich doorzetten. Deze
gevallen buiten beschouwing genomen zien we dat er 3 lokale minima optreden in de
grafiek van de condensatie-energie in functie van L1 . De condensatie-energie in absolute
waarde is daar dus sterker ten opzichte van naburige balkvormige geometriën. De lokale
minima corresponderen met L1 vervat in het interval [0.78, 0.79], L1 = 1 en L1 vervat
in het interval [1.26,1.27]. Bekijken we het spectrum van één niet-interagerende deeltje
opgesloten in een balk gekarakteriseerd door L1 (zie Fig. 4.1), dan merken we op dat
de lokale minima optreden waar de energieniveaus rond het Ferminiveau gedegenereerd
raken. In het probleem dat we hier in beschouwing nemen hebben we 5 paren genomen, het
Fermi niveau ligt dus tussen het 5e en 6e ééndeeltjesniveau. Merk op dat de ontaarding
rond het Fermi niveau is die van belang is. Voor andere waarden van L1 treden ook
degeneraties op van ééndeeltjesniveaus. Deze gedegenereerde ééndeeltjesniveaus liggen
echter verder verwijderd van het Fermi niveau en de condensatie-energie vertoont daar
geen lokaal minimum. We kunnen dus concluderen dat degeneratie rond het Ferminiveau
een versterking van de paarcorrelaties teweegbrengt. Hieruit volgt ook dat de kubus over
het algemeen sterkere paarcorrelaties vertoont dan balkvormige geometrieën die in de
buurt liggen door de vele degeneraties die optreden in het ééndeeltjesspectrum van de
kubus. Voor de andere twee lokale minima geldt dit niet algemeen, want als het aantal
paren verandert liggen de degeneraties die bij deze L1 waarden optreden niet meer in
de buurt van het Ferminiveau, waardoor er geen lokaal minimum meer te zien is. De
lokale minima treden nu op bij andere L1 waarden, waar de niveaus rond het Ferminiveau
gedegenereerd zijn.
Verder merken we de strijd om het overwicht in de supergeleidende grondtoestand
op tussen de paarcorrelaties en de niet-interagerende grondtoestand. Bij een koppelingsconstante van -400 zijn de paarcorrelaties aan de winnende hand. De pieken van
de condensatie-energie komen duidelijk naar boven in de grondtoestand. Als de koppelingsconstante gelijk is aan -10 heffen de onregelmatigheden in de condensatie-energie en
de niet-interagerende grondtoestand elkaar op, zodat de supergeleidende grondtoestand
benaderend de vorm van een parabool aanneemt. Laat men de koppelingsconstante nog
verder dalen dan worden de lokale minima in de condensatie-energie steeds duidelijker ten
opzichte van omringende geometriën. We kunnen dus concluderen dat het relatieve effect
van gedegenereerde éénelektronniveaus rond het Ferminiveau op de condensatie-energie
versterkt wordt bij dalende koppelingsconstante. De condensatie-energie is in dat regime
wel te klein geworden om nog een grote invloed te hebben op het verloop van de energie
van de supergeleidende grondtoestand. Zo is bij een koppelingsconstante van −0.1 de
grondtoestandsenergie zo goed als gelijk aan de niet-interagerende grondtoestand. Als
we de condensatie-energie in functie van g beschouwen dan zien we dat de lokale minima
steeds scherper worden als g daalt , zodat enkel de punten die een degeneratie rond het
56
Ferminiveau vertonen een significante versterking van de condensatie-energie hebben.
57
Figuur 4.2: De condensatie-energie en grondtoestandsenergie van balkvormige geometriën in functie
van L1 , de dimensies van de balk worden gegeven door (L1 , L11 ,1). Resultaten worden weergegeven
bij koppelingsconstantes: -400, -10, -1, -0.1. Het aantal paren is gelijk aan 5 genomen, met het
aantal niveaus gelijk aan 10
58
4.2.3
Onderzoek supergeleidende toestand in functie van de dichtheid
aan toestanden
Nu wordt het effect van de dichtheid van de ééndeeltjestoestanden onderzocht op de
condensatie-energie en de supergeleidende grondtoestand. Dit doen we omdat we zo het
effect kunnen onderzoeken van het toevoegen of verwijderen van een ééndeeltjesniveau op
de condensatie-energie. We willen dat dit effect zo klein mogelijk is, omdat we de aanname hebben gedaan dat enkel de niveaus van de nanokorrel in beschouwing genomen
worden die belangrijk zijn voor de paringsinteractie. Dit zijn de niveaus in de buurt van
het Ferminiveau en de hoger of lager gelegen niveaus hebben we verwaarloosd. Als het
toevoegen van één niveau een sterk effect heeft op de condensatie-energie is deze benadering dus niet geldig. We gebruiken het ééndeeltjesspectrum beschreven in subsectie: 4.2.2
om de afhankelijkheid van de supergeleidende toestand in functie van de dichtheid van
het ééndeeltjesspectrum te onderzoeken. Hiervoor kiezen we een vast energievenster met
grootte 2ωD ten opzichte van de grondtoestand van het ééndeeltjesspectrum E0 waarbinnen de beschouwde niveaus liggen. Terwijl L1 varieert nemen we dus alle niveaus die in
het interval [E0 , E0 + 2ωD ] vervat zitten om de supergeleidende eigenschappen te bepalen.
Het aantal paren N is constant genomen (in dit geval N = 5). Als L1 varieert dan verandert ook het aantal niveaus dat in het toegelaten interval ligt. Het is duidelijk dat bij
zeer kleine L1 veel meer ééndeeltjesniveaus in het beschouwde interval liggen, dan wanneer
L1 ,L2 en L3 alle ongeveer even groot zijn. Dit omdat L2 dan zeer groot is en het verhogen
van het bijbehorende kwantumgetal n2 slechts voor een kleine toename van de energie
zorgt (zie vgl.(4.10)). We kiezen 2ωD = 80 en bekijken eerst het geval dat L1 varieert
van 0.5 tot 2 (zie Fig. 4.3). Alle lengtes blijven dicht in de buurt van 1, zodat er geen
grote variatie is van het aantal niveaus dat in [E0 , E0 + 80] vervat zit. Het aantal niveaus
varieert tussen 10, 9 en 8 waar 10 correspondeert met de laagste, 9 met de middelste en 8
met de hoogste waarde van de condensatie-energie. Laten we L1 echter lopen van 0.1 tot
2 (zie Fig. 4.5) dan is het aantal niveaus dat in het toegelaten interval ligt voor 0.1 zeer
groot namelijk 43, als we L1 laten stijgen neemt dit geleidelijk aan af tot men weer in het
regime van 0.5 tot 2 zit waar het aantal niveaus dat in het interval vervat zit fluctueert
tussen 10, 9 en 8. We zien dat de condensatie-energie voor kleine L1 waarden veel lager
komt te liggen door de sterke verhoging van de dichtheid van de ééndeeltjesniveaus. Dit
effect is het belangrijkst bij sterke koppelingsconstante, omdat dan de hoogst gelegen
niveaus volwaardig meespelen. Laat men de koppelingsconstante echter dalen dan vindt
men gelijkaardige resultaten als bij de situatie waar een constant aantal niveaus ondersteld
werd in plaats van constante ωD (zie subsectie: 4.2.2). Bekijken we de grafiek van het
aantal beschouwde niveaus bij 2ωD = 80 in functie van L1 (zie Fig. 4.4), dan zien we dat
door spiegeling ten opzichte van de x-as we de vorm van deze grafiek kunnen omzetten
in die van de condensatie-energie bij een koppelingsconstante g gelijk aan -400. Hieruit
kunnen we concluderen dat een verandering van het aantal niveaus een veel groter effect
heeft dan perturbaties van de geometrie bij een grote koppelingsconstante. Als de koppelingsconstante kleiner wordt, dan beginnen de effecten van de geometrische perturbaties
te domineren over de dichtheid van de ééndeeltjesniveaus. Dit wordt veroorzaakt doordat
een ééndeeltjesniveau ver verwijderd van het Ferminiveau slechts een merkbaar effect heeft
op de paringsinteractie als de koppelingsconstante groot genoeg is (zie Fig. 2.7). Verder
verwachten we dat het effect van het toevoegen van een niveau klein is voor een groot
aantal beschouwde niveaus. Dit is inderdaad het geval zoals men kan zien in Fig. 4.6 hier
59
is voor 2ωD = 200 genomen, zodat het aantal niveaus nu varieert tussen 38 en 34 en de
supergeleidende grondtoestand inderdaad afwisselt tussen 5 ”constante” waarden, bij een
koppelingsconstante van -400. Het relatieve effect van het toevoegen van één niveau is nu
slechts 3.3 % terwijl dit 20 % was voor 2ωD = 80. We concluderen dus dat het verhogen
van het aantal niveaus en het verlagen van de koppelingsconstante ervoor zorgen dat het
effect van het toevoegen van een ééndeeltjesniveau verminderd wordt.
Bij een koppelingsconstante van -400 overheersen correlaties zo sterk dat het effect van
de niet-interagerende grondtoestand op de totale grondtoestand te verwaarlozen is. Bij
steeds kleinere koppelingsconstante zal het effect van de niet-interagerende grondtoestand
ervoor zorgen dat de drie te onderscheiden stappen in de supergeleidende grondtoestand,
een parabolische vorm aannemen (zie Fig. 4.1). Het verhogen van het aantal paren heeft
geen effect op de vorm van de curve die de supergeleidende toestand in de nanokorrel
weergeeft (zie Fig. 4.7). Het enige effect van het verhogen van het aantal paren is een
verdere daling van de condensatie-energie en de grondtoestand. Het effect is ongeveer zo
sterk dat een verdubbeling van het aantal paren een verdubbeling van de condensatieenergie teweeg brengt.
60
Figuur 4.3: Condensatie- en grondtoestandsenergieën van een balk met lengtes: L1 , L2 = L11 , L3 =
1 en bij koppelingsconstante gelijk aan -400, -20 en -0.5. Het energievenster 2ωD = 80 genomen.
Het aantal paren is 5 en het aantal niveaus varieert tussen 10 en 8.
61
Figuur 4.4: Het aantal ééndeeltjesniveaus van een balk met lengtes: L1 , L2 = L11 , L3 = 1 dat in
het interval [E0 , E0 + 2ωD ] vervat zit met ωD = 80 genomen en E0 de grondtoestand in functie
van L1 .
Figuur 4.5: Condensatie- en grondtoestandsenergie van een balk met lengtes: L1 , L2 = L11 , L3 = 1
en bij koppelingsconstante gelijk aan -400. Het energievenster is 2ωD = 80 genomen. Het aantal
paren is 5. L1 begint bij de kleine waarde van 0.1 waardoor de dichtheid van de toestanden zeer
groot is ten opzichte van L1 in [0.5,2]. Het aantal niveaus varieert tussen 8 en 43.
62
Figuur 4.6: Condensatie- en grondtoestandsenergie van een balk met lengtes: L1 , L2 = L11 , L3 = 1
en bij koppelingsconstante gelijk aan -400. Het energievenster is 2ωD = 200 genomen. Het aantal
paren is 5, het aantal niveaus varieert tussen 38 en 34.
Figuur 4.7: Condensatie- en grondtoestandsenergie van een balk met lengtes: L1 , L2 = L11 , L3 = 1
en bij koppelingsconstante gelijk aan -400. Het energievenster is 2ωD = 200 genomen. Het aantal
paren is 10, het aantal niveaus varieert tussen 38 en 34
4.3
Deeltjes opgesloten in een cirkel
Om het energie spectrum van een deeltje opgesloten in een cirkel met straal R0 ingesloten
door een oneindige potentiaal barrière te bekomen, voeren we eerst een transformatie door
naar poolcoördinaten r, φ:
x = r cos (φ) y = r sin (φ)
(4.12)
met:
0 ≤ r ≤ ∞ 0 ≤ φ ≤ 2π.
De curves met constante coördinaat in dit nieuwe stelsel zijn:
y
x2 + y 2 = r2 φ = tan−1
x
63
(4.13)
(4.14)
Willen we de de Schrödinger vergelijking herschrijven in poolcoördinaten dan moeten we
de Laplace operator kennen in poolcoördinaten:
∂
1 ∂2
1 ∂
2
r
+ 2 2
(4.15)
O =
r ∂r
∂r
r ∂φ
Hierdoor wordt de Schrödinger vergelijking in poolcoördinaten binnen de cirkel gelijk aan:
1 ∂
∂
1 ∂2
−
r
+ 2 2 Ψ (φ, r) − EΨ (φ, r) = 0
(4.16)
r ∂r
∂r
r ∂φ
Nu moet de golffunctie Ψ (φ, r) = 0 voor r > R0 . De potentiaal is gelijk aan nul
gesteld binnen de cirkel. Het aldus gedefinieerd probleem is scheidbaar. We stellen dus
Ψ (φ, r) = R (r) Φ (φ) voorop als golffunctie. Eisen we dat het angulair deel van de golffunctie eenwaardig is dan moet Φ (φ) periodiek zijn. Verder moet Φ (φ) voldoen aan:
1 ∂2
Φ (φ) = Eφ = −m2
Φ(φ) ∂φ2
(4.17)
De gepaste uitdrukking voor Φ (φ) is dus Φ (φ) = e±imφ m ∈ N. Invullen in de bovenstaande vorm van de Schrödinger vergelijking, delen door Ψ (φ, r) en vermenigvuldigen
met r2 geeft:
1
∂
∂R (r)
r
r
− m2 + r2 k 2 = 0
(4.18)
R(r) ∂r
∂r
Waar we ook nog E = k 2 hebben gesteld. De oplossingen van bovenstaande vergelijking
voor het radiële deel van de golffunctie R (r) worden gegeven door de Besselfuncties.
De golffunctie in de oorsprong moet eindig zijn, dus nemen we de Neumann functies
niet in beschouwing. De oplossingen zijn dus de Besselfuncties van de 1e soort en van
gehele orde m (Jm (k, r)). De grensvoorwaarde levert volgende voorwaarde op voor het
energiespectrum:
Jm (kR0 ) = 0,
(4.19)
waaruit het discreet zijn van k volgt. Stel α00 de kleinste wortel van de Besselfunctie van
orde 0 dan wordt de grondtoestand gegeven door:
2
E00 = k00
=
2
α00
R02
(4.20)
In het algemeen kunnen we ook schrijven dat:
Eml =
2
αml
R02
(4.21)
waar αml het le nulpunt van de Besselfunctie van orde m voorstelt. Het feit dat vgl.(4.18)
onafhankelijk is van het teken van m zorgt ervoor dat alle niveaus gelabeld met een m 6= 0
tweevoudig ontaard zijn. De grensvoorwaarde is dus verantwoordelijk voor het discreet
zijn van het spectrum.
64
4.3.1
Pizza sneden
Er is ook een exacte oplossing mogelijk wanneer het oppervlak waarin het deeltje is opgesloten niet de volledige cirkel is, maar slechts een pizza snede genomen uit de cirkel.
Beschouwen we een dergelijk domein dan is er een extra grensvoorwaarde. De potentiaal is nu nul voor r < R0 en 0 < φ < φmax , daarbuiten is de potentiaal +∞. In plaats
van periodiciteit hebben we nu dus als grensvoorwaarde:
Φ (0) = Φ (φmax ) = 0
(4.22)
De oplossingen voor Φ worden gegeven door:
Φ (φ) = sin (vφ)
(4.23)
Nu treedt er echter de complicatie op dat v niet geheel is, want er moet worden voldaan
aan:
sin vφmax = 0
(4.24)
De toegelaten waarden voor v worden dus gegeven door:
v=
pπ
φmax
p ∈ Z+
(4.25)
Uit de grensvoorwaarde voor de radiële vergelijking volgt weer:
Jv (kR) = 0
(4.26)
Men moet dus de nulpunten van de Besselfuncties van niet-gehele orde bepalen waaruit de
k-waarden en dus ook de energiewaarden rechtstreeks volgen. Merk op dat wegens het verbreken van de periodiciteit er nu geen extra ontaardingen optreden. Voor de condensatieenergie van een aantal pizza snedes en een deel van het spectrum van de BCS Hamiltoniaan
van één willekeurig gekozen pizzasnede (zie Fig. 4.8).
Figuur 4.8: a) de condensatie-energie van 10 paren in 20 niveaus van een deeltje opgesloten in
een pizzasnede bepaald door φmax en R zodat het oppervlak constant blijft (S =1), terwijl φmax
varieert. b) het supergeleidende spectrum zonder paarbrekingen in beschouwing te nemen van 3
paren in 6 niveaus bekomen met de Richardson-Gaudin methode voor φ = 2.4 rad en oppervlak
S = 1.
65
4.4
Deeltjes in cilindrische geometrieën
Beschouwen we voor het vervolg het probleem van een deeltje opgesloten in een cilinder
met hoogte H en straal R. Buiten de cilinder is de potentiaal oneindig en binnen de cilinder
is de potentiaal gelijk aan nul. We hebben cilindrische symmetrie, dus is het aangewezen
om cilindrische coördinaten te gebruiken. De relatie met de Cartesische coördinaten wordt
bepaald door:
x = r cos θ
(4.27)
y = r sin θ
(4.28)
z = z
(4.29)
met :
0 ≤ r ≤ ∞,
0 ≤ φ ≤ 2π,
−∞ ≤ z ≤ +∞
(4.30)
De oppervlakken met constante coördinaat in dit nieuwe stelsel zijn: cilinders (constante
r), vlakken (z is constant), half vlakken (constante φ). De Laplaciaan uitgedrukt in dit
coördinaten stelsel wordt gegeven door:
1 ∂
∂
1 ∂2
∂2
2
O =
r
+ 2 2+ 2
(4.31)
r ∂r
∂r
r ∂φ
∂z
De Schrödinger vergelijking wordt nu:
1 ∂
∂
1 ∂2
∂2
−
r
+ 2 2 + 2 Ψ (φ, r, z) + [V (r, φ, z) − E] Ψ (φ, r, z) = 0
r ∂r
∂r
r ∂φ
∂z
(4.32)
Dit is weer een scheidbaar probleem we stellen dus Ψ (φ, r, z) = R (r) Φ (φ) Z (z). Vullen
we dit in in bovenstaande vergelijking en delen we door Ψ dan bekomen we:
dR
−1 d2 Φ
−1 d2 Z
−1 d
r
+ 2
+
+ V (r, φ, z) − k 2 = 0,
(4.33)
2
2
rR dr
dr
r Φ dφ
Z dz
waar k 2 = E. De potentiaal voor het beschouwde probleem wordt gegeven door:
(
0 r < R, en z < H
V (r, φ, z) =
+∞ r > R of z > H
(4.34)
We bekomen voor de gescheiden Schrödinger vergelijking binnen de cilinder:
d2 Φ (φ)
+ k22 Φ (φ) = 0
dφ2
d2 Z (z)
+ k32 Z (z) = 0
2
dz
dR (r)
d
r
r
+ k 2 r2 − k32 r2 − k22 R (r) = 0
dr
dr
(4.35)
(4.36)
(4.37)
Bovenstaande vergelijkingen zijn eenvoudig op te lossen. De oplossingen van de eerste
twee zijn vlakke golven en in de laatste vergelijking herkennen we de Besselvergelijking
waarvan de oplossingen gegeven worden door de Besselfuncties van de 1e soort en van
66
Figuur 4.9: De eerste 10 energieniveaus van deeltjes opgesloten in een cilinder in functie van r.
Alle cilinders hebben volume gelijk aan 1, straal r en H bepaald door πr1 2 .
gehele orde. De Neumann functies kunnen we laten vallen, omdat de golffunctie eindig
moet zijn in de oorsprong. We kunnen de oplossingen van de drie vergelijkingen dus
onmiddellijk neerschrijven als:
Φ (φ) = a2 sin k2 φ + b2 cos k2 φ
(k2 natuurlijk getal)
(4.38)
Z (z) = a3 sin k3 z + b3 cos k3 z
(4.39)
R (r) = a1 Jk2 (k1 r) + b1 Nk2 (k1 r)
(4.40)
met k12 = k 2 − k32 Merk op dat k 2 > k32 omdat E > E2 daarom zijn de oplossingen van de
vergelijking die R (r) bepaalt de Besselfuncties in plaats van de gewijzigde Besselfuncties.
Bovenstaande vergelijkingen kunnen nu verder vereenvoudigd worden door de grensvoorwaarden toe te passen. Nemen we een rechtop staande cilinder met bodem op z = 0 dan
volgt daaruit dat b3 = 0 en de top van de cilinder bevindt zich dan op z = H wat volgende
voorwaarde op k3 oplevert.
nπ
k3 =
n ∈ Z+
(4.41)
H
De oplossingen voor de Φ en R vergelijkingen zijn verder identiek aan die van sectie(4.3).
De energie wordt uiteindelijk gegeven door:
2
αm,l
n2 π 2
Emln (k) = k12 + k32 = 2 +
,
R
H2
(4.42)
waar αm,l zoals gewoonlijk het le nulpunt van de me Besselfunctie voorstelt. Merk op dat
de energieniveaus met index m 6= 0 tweevoudig ontaard zijn, de energieniveaus met m = 0
zijn niet ontaard. De eerste 10 energieniveaus van deeltjes opgesloten in een cilinder in
functie van r worden weergegeven in Fig. 4.9.
4.5
Sferische coördinaten
Beschouwen we nu het probleem van een deeltje dat opgesloten zit in een bol met straal
R, door een oneindig potentiaalverschil (nul in de bol, oneindig daar buiten). Het prob-
67
leem heeft sferische symmetrie. We gaan over op sferische coördinaten. De relatie met
Cartesische coördinaten wordt gegeven door:
x = r sin θ cos φ,
(4.43)
y = r sin θ sin φ
(4.44)
z = r cos θ
(4.45)
met
0≤r≤∞ 0≤θ≤π
0 ≤ φ ≤ 2π
(4.46)
De oppervlakken met een constante coördinaat zijn in dit coördinatenstelsel bollen (r =
constant), kegels (θ = constant) en half vlakken (φ = constant). De Laplaciaan wordt
gegeven door:
∂
1
∂
∂
∂
1 ∂2
sin θ
r2
+
sin θ
+
(4.47)
O2 = 2
r sin θ
∂r
∂r
∂θ
∂θ
sin θ ∂φ2
De Schrödinger vergelijking wordt dus:
−
1 ∂
r2 ∂r
∂
1
∂
∂
1
∂2
r2
+ 2
sin θ
+ 2 2
Ψ (r, θ, φ)
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂φ2
+ V (r, φ, θ) Ψ (r, θ, φ) = EΨ (r, θ, φ) (4.48)
Stel nu Ψ (r, θ, φ) = R (r) Θ (θ) Φ (φ), en vullen we dit in in de Schrödingervergelijking met
potentiaal gegeven door:
(
0 r≤R
V (r, φ, θ)
.
(4.49)
+∞ r > R
Als we ook nog delen door Ψ (r, θ, φ) en E = k 2 stellen dan bekomen we binnen de bol:
d2 Φ
1 d
1
d
dθ
1
2 dR
− 2
r
+ − 2
sin θ
+ − 2 2
= k 2 (4.50)
r R dr
dr
r sin θΘ dθ
dθ
r sin θΦ ∂φ2
De gescheiden vergelijkingen zijn dus:
d2 Φ
+ k32 Φ = 0
dφ2
1 d
dΘ
k32
sin θ
+ k22 −
Θ=0
sin θ dθ
dθ
sin2 θ
d
2 dR
r
+ r2 k 2 R − k22 R = 0
dr
dr
(4.51)
(4.52)
(4.53)
Binnen de bol is de potentiaal nul, daarbuiten oneindig. In vgl.(4.51), stellen we k32 =
m2 , m ∈ Z+ , verder moet de functie die de afhankelijkheid van φ beschrijft ook periodiek
zijn dus een oplossing wordt gegeven door:
Φ (φ) = e±imφ
68
(4.54)
De energie is onafhankelijk van het teken van m waardoor degeneraties optreden. Zetten
we vervolgens in vgl.(4.52) k22 = l (l + 1). Dan bekomen we de geassocieerde Legendre
vergelijking voor de θ vergelijking.
dΘ
m2
1 d
sin θ
+ l (l + 1) −
Θ=0
(4.55)
sin θ dθ
dθ
sin2 θ
De oplossingen zijn de geassocieerde Legendre functies: Θ (θ) = Plm (cos θ). De radiële
vergelijking kunnen we nu herschrijven als:
d
2 dR
r
+ r2 k 2 R − l (l + 1) R = 0
(4.56)
dr
dr
De voorwaarde voor continuı̈teit van de geassocieerde Legendre functies op θ = 0, 180 leidt
tot l ∈ N. Het kwantumgetal m dat de geassocieerde Legendre functies karakteriseert kan
volgende waarden aannemen: 0 ≤ m ≤ l met m ∈ N. De energie is echter onafhankelijk
van m wat tot verdere ontaarding van het energiespectrum zal leiden. Stellen we nu
1
R (r) = Z (r) /r 2 dan geldt,
0
dR
1Z
Z
,
= 1 −
dr
2 r 32
r2
0
00
d2 R
Z
3Z
Z
= 1 − 3 +
2
dr
4 r 25
r2
r2
en we zien dus dat de functie Z (r) voldoet aan de Bessel vergelijking.
"
#
1 2
0
2 00
2 2
r Z + rZ + k r − l +
Z=0
2
(4.57)
(4.58)
De oplossingen hiervan zijn dus de Besselfuncties en Neumannfuncties, die we opnieuw
weglaten omdat we de golffunctie eindig veronderstellen in de oorsprong.
Z (kr) = Jl+ 1 (kr)
(4.59)
2
Uiteindelijk zien we in dat de oplossing voor R(r) gegeven wordt door:
R (r) =
Jl+ 1 (kr)
2
1
∼ jl (kr)
(4.60)
(kr) 2
jl (kr) stelt de sferische Besselfunctie voor van orde l. De algemene oplossing voor de
totale golffunctie wordt dus gegeven door:
X
Ψ (r) =
almn jl (kln r) Plm (cos θ) eimφ ,
(4.61)
lmn
waar kln het ne nulpunt van de sferische Besselfunctie van orde l voorstelt. De grensvoorwaarde aan de rand R is:
Ψ (R, θ, φ) = 0
∀θ, φ ⇒ jl (kn R) = 0
(4.62)
Dus het bepalen van het energiespectrum herleidt zich tot het vinden van de wortels van
de sferische Besselfuncties van gehele orde (αnl ), want
kln =
αln
R
2
⇒ Eln = kln
=
69
2
αln
R2
(4.63)
Het vinden van de wortels van de sferische Besselfuncties kunnen we recursief uitvoeren,
gebruikmakend van het feit dat het ne nulpunt van de Besselfunctie van orde l tussen
het ne en (n + 1)e nulpunt van de Besselfunctie van orde (n − 1)e ligt. Hierdoor kunnen
we die nulpunten gebruiken als grenzen voor het interval dat meegegeven wordt aan een
”bisection” methode die de nulpunten van de Besselfunctie van orde l bepaalt. Verder is
dit ook een zeer efficiënte methode vanwege de recursieve relatie. De ontaarding van de
energieniveaus wordt bepaald door het label l, deze ontaarding wordt gegeven door 2l + 1.
4.6
Vergelijking van de condensatie-energie van enkele geometrieën
In dit hoofdstuk gaan we de condensatie-energie en supergeleidende grondtoestand van
enkele gekozen geometrieën vergelijken. We kiezen het volume van alle onderzochte geometrieën gelijk aan 1. De beschouwde geometrieën zijn een balk met lengtes L1 = 0.1, L2 =
10, L3 = 1, een cilinder met hoogte H = 10, een kubus met zijde gelijk aan 1, een cilinder
met hoogte H = 1, en tenslotte een bol. We beschouwen telkens 6 paren in 12 niveaus.
Merk op dat we ontaardingen van de ééndeeltjesniveaus omwille van de geometrie tellen
als afzonderlijke ééndeeltjesniveaus. De resultaten worden weergegeven in Fig. 4.10. Er
vallen onmiddellijk enkele zaken op:
1. De grote gelijkenis tussen het verloop van de condensatie-energie tussen de bol, kubus
en cilinder (H=1). Deze zijn bijna niet van elkaar te onderscheiden.
2. De condensatie-energieën van de balk en cilinder van lengte 10 zijn exact gelijk aan
elkaar. Dit is een overblijfsel van het feit dat er slechts 12 niveaus zijn genomen om
de condensatie-energie te berekenen. De energie van een kwantummechanisch deeltje
2 2
opgesloten in de twee lichamen heeft een term van de vorm: πLn2 met L2 = 10 voor
2
beide gevallen. Door de relatief grote waarde van L2 worden de eerste niveaus van
het spectrum opgebouwd door het kwantumgetal behorende bij L2 te verhogen, de
energie verschillen tussen de eerste niveaus zijn dus voor de twee lichamen gelijk. Dit
effect zal ervoor zorgen dat het verschil in condensatie-energie tussen een langwerpige
balk en cilinder (met hetzelfde volume) steeds minder uitgesproken wordt naarmate
de hoogte van de cilinder en de grootste lengte van de balk stijgt. Hierdoor neemt
het aantal opeenvolgende niveaus met hetzelfde energieverschil toe. Tussen de kubus
en de cilinder met hoogte 1 is er wel al een duidelijk verschil zichtbaar van de
condensatie-energie.
3. Als we de grondtoestandsenergie bekijken valt op dat die voor de balk met lengtes
(10,0.1,1) veel hoger ligt dan voor andere lichamen. Dit is logisch omdat de balk één
kleine dimensie heeft, wat er voor zorgt dat het niet-interagerend ééndeeltjesspectrum
zeer hoog ligt. Bij de langwerpige cilinder is dit effect minder uitgesproken omdat
rekening houdend met V = 1 de straal van de cilinder evenredig is met √1H in dit
geval wordt deze dus R =
√1
π10
= 0.178 in plaats van L1 = 0.1, waardoor de grote
α2
term in de ééndeeltjesenergieën van de cilinder Rnl2 dus veel minder groot is dan de
grote term L12 in de ééndeeltjesenergieën van de langwerpige balk.
1
70
4. Bekijken we het ingezoomd figuurtje in Fig. 4.10 dan zien we dat de bol het sterkst
gecorreleerd is van de niet langwerpige lichamen. De reden hiervoor is dat de bol
het sterkst gedegenereerd is rond het Ferminiveau. Verder valt op dat bij kleine
koppelingsconstante de kubus meer correlaties vertoont dan de cilinder met H = 1
en bij grote koppelingsconstante dit net omgekeerd is.
Voor de volledigheid geven we ook nog de waarden van de niet-interagerende grondtoestand mee (zie tabel: 4.1).
De energie van de
niet-interagerende
grondtoestand (a.e.)
d (a.e.)
koppelingsconstante
(1e k.p.) (a.e.)
koppelingsconstante
(afbreken BCS) (a.e.)
koppelingsconstante
(laatste k.p.) (a.e.)
Balk(L1 = 0.1) Cilinder (H = 10) Kubus
Cilinder (H = 1) Bol
11979.923214
2198.172425
769.829143
737.7599
711.353228
1.18
groter dan -1
1.12
groter dan -1
groter dan -1
groter dan -1
9.05
tussen
[−11, −10]
groter dan-1
7.86
tussen
[−11, −10]
-1.6
8.44
tussen
[−11, −10]
groter dan -1
groter dan -1
groter dan -1
groter dan -1 tussen
[−2, −1]
tussen
[−6, −5]
Tabel 4.1: Tabel die enkele eigenschappen van de eerste 12 niveaus van het ééndeeltjesspectrum
en de supergeleidende grondtoestand van enkele willekeurig gekozen geometrieën weergeeft. De
energie van de niet-interagerende grondtoestand van enkele lichamen weergeeft met 12 deeltjes, d
de gemiddelde afstand tussen de ééndeeltjesniveaus van de eerste 12 niveaus van deze lichamen, de
koppelingsconstante bij het optreden van het eerste en het laatste kritische punt van de RichardsonGaudin oplossingsmethode, de koppelingsconstante bij het afbreken van de BCS benadering.
De resultaten bekomen met de veralgemeende variationele BCS methode besproken
in sectie: 2.4 worden weergegeven in Fig. 4.11. Wat onmiddelijk opvalt is de grote
kwalitatieve overeenkomst met de exacte resultaten in Fig. 4.2.2. De verhoudingen van
de supergeleidende grondtoestand en de condensatie-energieën van de geometrieën blijven
behouden ten opzichte van elkaar. Kwantitatief gezien ligt de grondtoestand van BCS
steeds hoger dan de exacte grondtoestand. Dit is logisch aangezien de BCS oplossing,
gebruik maakt van een variationele techniek om de oplossing te bepalen. Bij de balk is de
overschatting van de supergeleidende grondtoestand door BCS bij een koppelingsconstante
van -100 gelijk aan 300 wat neerkomt op 7.5 %. Bij een koppelingsconstante van -1 is het
verschil teruggelopen tot 3, maar het percentage van de overschatting is nu 22 %. Dus hoe
kleiner de koppeling hoe sterker de relatieve overschatting van de BCS benadering. Het is
een algemene regel dat wanneer de koppelingsconstante kleiner wordt, de BCS benadering
slechter wordt, tot de kloof nul wordt en er geen supergeleidende oplossing meer gevonden
wordt. Enkel bij de cilinder met hoogte H = 1 vertoont de kloof op de getoonde schaal
de plotse snelle val naar nul waardoor de oplossing afbreekt bij een koppelingsconstante
van -1.6 (zie Fig. 4.12). In het algemeen geldt hoe groter d hoe sneller de BCS kloof
naar nul zal naderen bij de beschouwde geometrie. Dus we verwachten dat de kloof van
de twee langwerpige geometrieën naar nul zal gaan bij een kleinere g dan de kloof van de
drie andere beschouwde geometrieën. De bol, kubus en cilinder (H = 1) hebben echter
alle drie een ongeveer gelijke d waardoor we niet in staat waren om te voorspellen dat bij
71
de cilinder (H = 1) de BCS kloof nul wordt bij de sterkste koppelingsconstante en bij een
iets minder sterke koppelingsconstante de kloof van de kubus nul wordt. Dit waren ook de
twee enige geometrieën waarvoor we op de beschouwde schaal van de koppelingsconstante
de kloof nul zagen worden. (zie tabel: 4.1).
Zoals besproken in sectie: 3.6 bestaat onze oplossingsmethode van de RichardsonGaudin vergelijkingen eruit te vertrekken van de oplossingen van de Tamm Dancoff approximatie (TDA) en dan adiabatisch via een tussenliggende algebra die gekarakteriseerd
wordt door een parameter ξ naar de oplossing van het exacte paringsprobleem toe te
werken. ξ = 0 correspondeert met de oplossingen van de TDA en ξ = 1 correspondeert
met de oplossingen van het paringsprobleem. Deze methode laat een efficiënt gebruik van
de Newton-Raphson techniek toe ondanks het sterk singuliere karakter van de RichardsonGaudin vergelijkingen, doordat we voor elke volgende stap van ξ een benaderende oplossing
kennen om mee te geven aan de Newton-Raphson methode. Niet elke TDA startdistributie
komt echter overeen met een energietoestand van het paringsprobleem en als de koppelingsconstante verandert, kan ook de TDA startdistributie die overeenkomt met de grondtoestand veranderen. Tot slot van deze sectie bespreken we nog kort de kritische punten
van de Richardson-Gaudin oplossingsmethode (hieronder verstaan we de koppelingsconstante waar de TDA startdistributie van de grondtoestand verandert) en bijbehorende
overgangen naar andere TDA startdistributies in het regime tussen grote en kleine koppelingsconstante (zie tabellen: 4.2 en 4.3 ). Bij de balk, evenals bij de cilinder met lengte
10 wordt er geen kritisch punt van de Richardson-Gaudin oplossing tegengekomen in het
beschouwde bereik van de koppelingsconstante (van -100 tot -1 in stappen van 1). De
kubus vertoont een eerste kritische punt bij een koppelingsconstante tussen -11 en -10. De
TDA startdistributie verandert dan van (6 0 0 0 0 0), tot (5 1 0 0 0 0). Na nog 5 kritische
punten belandt hij in (1 3 0 0 2 0) bij een koppelingsconstante van -1, bij verdere daling
van de koppelingsconstante zullen er dus nog meerdere kritische punten optreden tot de
TDA startdistributie stabiliseert op (1 1 1 1 1 1). Merk op dat we slechts de bezetting
van de eerste 6 niveaus weergeven, dit omdat we naar de supergeleidende grondtoestand
zoeken. Merk op dat het lijkt alsof de TDA startdistributie bij lage koppelingsconstante
voor geometrisch ontaarde ééndeeltjesniveaus niet overeenkomt met (1 1 1 1 1 1) (zie
tabel: 4.2). Dit is slechts schijn, om dit in te zien moet je de geometrisch ontaarde niveaus
als afzonderlijke ééndeeltesniveaus beschouwen. De cilinder van lengte 1 heeft een eerste
kritische punt tussen -11 en -10. De TDA startdistributie verandert dan opnieuw van (6 0
0 0 0 0), tot (5 1 0 0 0 0). De TDA startdistributie voor de supergeleidende grondtoestand
na het eerste kritische punt heeft vaak de vorm (N − 1 1 0 0 ....), waar N het aantal
paren voorstelt. Voor de andere TDA startdistributies in het tussenregime kon bijna geen
regelmaat onderscheiden worden. Een heuristische regel is dat als niveaus onder het Ferminiveau in elkaars buurt komen de kans dat in het tussenregime in deze niveaus meer dan
1 paar terechtkomt groter is dan voor andere niveaus. De cilinder van lengte 1 heeft zijn
laatste kritische punt bij een koppelingsconstante tussen -2 en -1, de TDA startdistributie
verandert daar van (1 3 0 2 0) naar (1 2 1 2 1 0). Als geometrisch ontaarde niveaus afzonderlijk beschouwd worden, wordt de TDA startdistributie bij kleine koppelingsconstante
dus (1 1 1 1 1 1). De bol heeft zijn eerste kritische punt bij een koppelingsconstante tussen
-11 en -10 na nog 2 kritische punten te passeren wordt de TDA startdistributie (1 1 1 1 1
1) bij een koppelingsconstante tussen -6 en -5. Opnieuw zijn geometrisch ontaarde niveaus
als afzonderlijke niveaus beschouwd. Vermoedelijk is er een verband tussen de gemiddelde
afstand tussen de ééndeeltjesniveaus d en het optreden van de eerste kritische punten van
72
de Richardson-Gaudin oplossingsmethode. Bekijken we tabel: 4.1 d is klein bij de grote
balk en cilinder, een orde groter bij de kubus, bol en cilinder met H = 1. Dit is een
algemeen verband dat we in al onze resultaten hebben teruggevonden.
Wat ook opvalt is dat de bol en cilinder met H = 1 de enige geometrieën zijn die
op de beschouwde schaal van de koppelingsconstante alle kritische punten hebben doorlopen. Merk de goede overeenkomst op tussen de koppelingsconstante waar het laatste
kritische punt van de Richardson-Gaudin oplossingsmethode optreedt en de koppelingsconstante waar de kloof van de BCS benadering nul wordt bij de cilinder met (H = 1) (zie
tabel:4.1). We vermoeden dat het laatste kritische punt van de Richardson-Gaudin exacte
oplossingsmethode en het kritische punt van de BCS methode met elkaar gerelateerd zijn.
Bijna al onze resultaten bevestigden dit verband. Bij grote ontaardingen treden er echter
afwijkingen op, dit is ook de reden waarom dit verband bij de bol niet te zien is. Het is dus
mogelijk om een afschatting te geven voor het interval van de koppelingsconstante waar we
geen zekerheid kunnen geven over de TDA startdistributie, dit interval zou dan bepaald
worden door de gemiddelde afstand van de ééndeeltjesniveaus en de koppelingsconstante
waar de BCS benadering abrupt afbreekt. Er zal echter nog meer onderzoek moeten
verricht worden om hierover duidelijkheid te verkrijgen.
i \g
[−∞, −11] −10 [−9, −6] [−5, −0]
25.646345 (Ω = 1)
6
5
1
1
52.465973 (Ω = 3)
0
1
5
3
86.316175 (Ω = 5)
0
0
0
2
102.585381 (Ω = 1)
0
0
0
0
126.888739 (Ω = 2)
0
0
0
0
Tabel 4.2: Weergave van de TDA startdistributies die horen bij de supergeleidende grondtoestand
van 6 paren en 12 niveaus van deeltjes opgesloten in een bol met volume gelijk aan 1. De linkerkolom bevat de bijbehorende ééndeeltjesenergieniveaus en niet de TDA oplossingen (want deze
variëren met de koppelingsconstante). Ω stelt het aantal paren voor dat in een niveau gestopt
kan worden, dit aantal kan groter zijn dan één door ontaardingen afkomstig van de beschouwde
geometrie. Deze geometrische ontaardingen tellen we echter als afzonderlijke ééndeeltjesniveaus
omwille van consistentie. Merk op dat het 5e niveau normaal gezien zeven paren kan bevatten. We
beschouwen slechts 12 afzonderlijke ééndeeltjesniveaus. Dus hebben we dit niveau slechts tweemaal
meegenomen in de berekeningen van de supergeleidende eigenschappen van de geometrie.
73
i \g
28.03801
55.99438
57.64683
85.60319
92.72790
105.5979
106.9949
122.3367
(Ω = 1)
(Ω = 2)
(Ω = 1)
(Ω = 2)
(Ω = 2)
(Ω = 1)
(Ω = 1)
(Ω = 2)
[−∞, −11] −10 −9
6
5 1
0
1 2
0
0 2
0
0 1
0
0 0
0
0 0
0
0 0
0
0 0
−8 [−7, −6] [−5, −2] [−1, 0]
1
1
1
1
4
5
3
2
1
0
0
1
0
0
2
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Tabel 4.3: Weergave van de TDA startdistributies die horen bij de supergeleidende grondtoestand
van 6 paren en 12 niveaus van deeltjes opgesloten in een cilinder met volume gelijk aan 1 en
hoogte ook gelijk aan 1. De linkerkolom bevat de bijbehorende ééndeeltjesenergieniveaus en niet
de TDA oplossingen (want deze variëren met de koppelingsconstante). Merk op dat de condensatieenergie van de balk en cilinder met lengte 10 samenvallen. Ω stelt het aantal paren voor dat in
een niveau gestopt kan worden. Dit aantal kan groter zijn dan één door ontaardingen afkomstig
van de beschouwde geometrie. Deze geometrische ontaardingen tellen we echter als afzonderlijke
ééndeeltjesniveaus omwille van consistentie.
74
Figuur 4.10: De condensatie-energie en grondtoestandsenergie van enkele lichamen met hetzelfde
volume (V = 1). (De balk wordt op dezelfde manier gedefinieerd als in sectie 4.2.2.) De koppelingsconstante varieert van -40 tot -0.1. De resultaten zijn bekomen met de exacte RichardsonGaudin methode (zie Hoofdstuk: 3), het aantal paren = 6 en het aantal niveaus = 12. Merk op
dat de condensatie-energieën van de balk van lengte 10 en de cilinder van lengte 10 gelijk zijn en
deze van de bol, kubus en cilinder (H=1) zeer dicht in elkaars buurt liggen. het onderste figuurtje
geeft een ingezoomd beeld om de drie laatst genoemde geometrieën beter met elkaar te kunnen
vergelijken
75
Figuur 4.11: De condensatie-energie, de supergeleidende grondtoestandsenergie en de BCS kloof
van enkele lichamen met hetzelfde volume (V = 1). (De balk wordt op dezelfde manier gedefinieerd
als in sectie 4.2.2.) De koppelingsconstante varieert van -40 tot -0.1 De resultaten zijn bekomen
met de veralgemeende variationele BCS methode van sectie: 2.4, het aantal paren = 6 en het
aantal niveaus = 12. Merk op dat de condensatie-energie van de balk van lengte 10 en cilinder van
lengte 10 gelijk zijn.
76
Figuur 4.12: Weergave van de condensatie-energie en BCS kloof van deeltjes opgesloten in een
cilinder (V = H = 1), het aantal paren = 6 en het aantal niveaus = 12. De plotse val naar
nul van de BCS kloof en de brute knik in de condensatie-energie tonen de problemen met de
groot-kanonische BCS benadering aan.
4.7
Perturbatie theorie op de grenzen van een nanokorrel
In deze sectie bespreken we hoe we correcties op de eigenwaarden van de Schrödinger
vergelijking moeten berekenen wanneer we kleine perturbaties uitvoeren op de grenzen
van de nanokorrel waar de elektronen in gevangen zitten [WLYV11].
4.7.1
Afleiding vergelijking
Stel dat we de oplossingen Ψ0 en E0 kennen in het geval dat Ψ0 S0 = 0 op de grens van
het ongeperturbeerde domein (∂V0 = S0 ).
− O2 Ψ0 (r) = E0 Ψ0 (r)
(4.64)
Het doel bestaat erin om de verschuiving van de eigenwaarde E − E0 te vinden als
gevolg van perturbaties op de grenzen van het domein V0 . De geperturbeerde Schrödinger
vergelijking luidt:
− O2 Ψ (r) = EΨ (r)
(4.65)
Bovenstaande vergelijking moet opgelost worden voor E op een geperturbeerd domein V
met als grens ∂V = S waarvoor nu geldt Ψ S = 0. Gebruiken we de tweede identiteit van
Green die gegeven wordt door (met φ en ξ twee willekeurige functies van r):
Z
Z
2
2
φO ξ − ξO φ dV =
(φOξ − ξOφ) · ndS
(4.66)
V
S
waar n een eenheidsvector is loodrecht op het oppervlak S dat het domein V omvat en
naar buiten gericht. Passen we bovenstaande identiteit nu toe op Ψ∗0 en Ψ en gebruiken
77
we de Schrödingervergelijking dan krijgen we:
Z
Z
(−EΨ∗0 Ψ + E0 ΨΨ∗0 ) dV
Ψ∗0 O2 Ψ − ΨO2 Ψ∗0 dV =
V0
V0
Z
Z ∂Ψ∗0
∗
∗ ∂Ψ
= (E0 − E)
Ψ0 ΨdV =
Ψ0
dS0 (4.67)
−Ψ
∂n
∂n
V0
S0
Hierbij is ∂Ψ
∂n = OΨ · n. We nemen aan dat Ψ = Ψ0 + O (δ) en OΨ = OΨ0 + O (δ)
met O (δ) een kleine waarde. δ is een maat voor de normaal afstand tussen het ongeperturbeerd oppervlak S0 en het geperturbeerd oppervlak S (merk op dat δ een functie is
van de coördinaten op het ongeperturbeerd oppervlak). Omdat we het effect van kleine
perturbaties van de geometrie bestuderen, kunnen we eerste-orde benaderingen gebruiken
van de kleine parameter.
∂Ψ S0
0 = Ψ S ≈ Ψ S0 + δ (x, y)
(4.68)
∂n
(E0 − E) Ψ∗0 Ψ ≈ (E0 − E) |Ψ0 |2 ,
(4.69)
want (E0 − E) is een kleine parameter. Nu kunnen we ook vgl.(4.67) herschrijven als:
R ∂Ψ0 2
S0 ∂n δ (x, y) dS0
E0 − E ≈
(4.70)
R
2
V0 |Ψ0 | dV0
waar we ψ S = Ψ0 S0 = 0 gebruikten. Uit bovenstaande vergelijking volgen dus rechtstreeks
de geperturbeerde energieën E als de ongeperturbeerde energieën E0 en golffuncties Ψ0
gekend zijn. In de volgende sectie zullen we deze vergelijking toepassen op het probleem
van een vierkant dat geperturbeerd wordt naar een trapezium omdat een zijde een hoek
maakt die iets groter is als 90o . Verder beschouwen we het probleem van een cilinder met
een sinusvormige perturbatie van de straal.
4.7.2
Toepassingen
trapezium
In deze subsectie passen we vgl.(4.70) toe op de de transformatie van een rechthoek in
een trapezium. Door een zijde een hoek groter dan 90o te laten maken en de zijde waar
de geperturbeerde zijde naar toeloopt te verlengen zodat we terug een gesloten geometrie
hebben. Definiëren we φ als de nieuwe hoek min 90o , en de kleine perturbatie parameter als L2 tan (φ) (zie ook Fig. 4.13). We leggen de oorsprong in de linkerbenedenhoek
van de rechthoek zodat alle andere coördinaten positief zijn. De eigenfuncties van de
ongeperturbeerde geometrie zijn:
ny yπ
nx πx
2
sin
,
(4.71)
Ψ0(nx ,ny ) (x, y) = √
sin
L1
L2
L1 L2
met L2 de kortste zijde van de rechthoek. De noemer van vgl.(4.70) is triviaal gelijk aan
één omdat we genormeerde golffuncties als oplossingen hebben genomen.
Z
Z L2 1 − cos 2ny πy
Z L1 1 − cos 2nx πx
L1
L2
4
|Ψ0 |2 dV0 =
dx
dy (4.72)
L1 L2 0
2
2
V0
0
4 L1 L2
=
=1
(4.73)
L1 L2 4
78
Figuur 4.13: Geperturbeerde geometrie van rechthoek naar trapezium
De functie die de afstand bepaald tussen de ongeperturbeerde en de geperturbeerde geometrie wordt gegeven door:
δ (y) = y tan (φ)
(4.74)
Rekening houdend met het feit dat de normaal op de zijde die de perturbatie ondergaat
gegeven wordt door een eenheidsvector gericht langs de x-as, wordt de andere term die
nog in de teller van vgl.(4.70) voorkomt gegeven door:
∂Ψ0 2
nx π 2
2 nx πx
2 ny πy
= 4
cos
sin
.
∂x L1 L2 L1
L1
L2
(4.75)
De teller van vgl.(4.70) wordt nu:
∂Ψ0 2
δ (x, y) dS0 =
S0 ∂x
4
L1 L2
=
4
L1 L2
=
4
L1 L2
=
4
L1 L2
=
4
L1 L2
Z
nx π
L1
2 Z
L2
2
sin
ny πy
L2
y tan (φ) dy
2
Z L2 1 − cos 2ny πy
L2
nx π
y
tan (φ)
dy
L1
2
0
2 Z L2
2ny πy
1
nx π 2
L2
−
y cos
tan (φ)
dy
L1
4
2
L2
0
2
Z L2
2ny πy
nx π 2
L2
L2
+
sin
tan (φ)
dy
L1
4
4ny π 0
L2
2
nx π 2
L2
tan (φ)
.
L1
4
0
Waardoor we uiteindelijk de verschuiving van de energie kunnen schrijven als:
E0 − E ≈
nx π
L1
2
tan (φ) L22
L1 L2
⇒ E ≈ E0 −
nx π
L1
2
tan (φ) L22
L1 L2
(4.76)
De supergeleidende grondtoestand en condensatie-energie van een geselecteerd probleem
worden getoond in Fig. 4.14. De supergeleidende grondtoestandsenergie van het ongeperturbeerde probleem, een rechthoek met L1 = 0.5 en L2 = 2, en 25 paren in 50 niveaus
bij een koppelingsconstante van -400, is Esup = −239755. Terwijl deze met φ = 0.001
gegeven wordt door Esup = −239726. We zien dus dat de verstoring van deze rechthoek
naar een trapezium een lichte verhoging van de grondtoestandsenergie teweegbrengt. Dit
79
is opmerkelijk daar de oppervlakte toeneemt. Als de oppervlakte vergroot bij constante
vorm, dan zakt de grondtoestandsenergie. Bij een φ waarde van 0.021 is dit al weggewerkt
en is het effect van de toenemende oppervlakte het sterkst, waardoor de supergeleidende
grondtoestand het laagst ligt. We kunnen dus concluderen dat een perturbatie van een
rechthoek naar een trapezium een verhoging van de supergeleidende grondtoestand teweegbrengt.
Figuur 4.14: Trapeziumvormige perturbatie van een rechthoek met φ lopend van 0.001 tot 0.091
in radialen (φ is de grootste hoek van de trapezium min π2 ).We hebben 25 paren in 50 niveaus
gekozen.
Sinusvormige perturbatie van de straal van een cilinder
Nu gaan we vgl.(4.70) gebruiken om het ééndeeltjesenergie spectrum te bepalen van een
deeltje opgesloten in een cilinder waarvan de straal een sinusvormige perturbatie ondergaat
afhankelijk van de lengtecoördinaat van de cilinder (zie Fig.4.15). De cilinder heeft een
hoogte van L en als ongeperturbeerde straal r1 . Het grondvlak van de cilinder bevindt
zich op z = 0. De perturbatie wordt gegeven door:
πz r1
δ (z) =
(4.77)
sin
P
L
De kleine parameter is rP1 , we moeten P dus veel groter dan r1 kiezen om goede benaderingen voor de geperturbeerde energieën te vinden. De golffuncties van het ongeperturbeerde probleem worden gegeven door (zie sectie: 4.4):
πzn jml r
Ψmln = Jm
sin
eilφ ,
(4.78)
r1
L
waar jml het le nulpunt van de Besselfunctie van orde m voorstelt. De teller van vgl.
(4.70) wordt nu, rekening houdend met Ψmln (r, z = 0) = Ψmln (r, z = L) = 0:
2 Z L
Z πz 2
∂Ψmln 2
0 jml r 2
j
r
2 πzn
1
ml
δ (x, y, z) dS0 = 2π
Jm
sin
sin
dz
∂n P
r1 r1 0
L
L
r12 S0
(4.79)
80
Figuur 4.15: Een cilinder met straal r van het grondvlak en hoogte h, waarvan de straal een
sinusvormige perturbatie ondergaat afhankelijk van de lengtecoördinaat van de cilinder.
De afgeleide van de Besselfunctie van orde m wordt gegeven door:
(
−J1 (r) m = 0
0
Jml (r) 1
∀m ∈ N\0
2 (Jm−1 (r) − Jm+1 (r))
(4.80)
Na enig rekenwerk en het gebruik van de nodige goniometrische formules bekomen we als
oplossing voor de integraal in vgl. (4.79).
Z L
πz L
1
2 πzn
sin
sin
dz =
1−
(4.81)
L
L
π
(2n + 1) (1 − 2n)
0
We berekenen nu de noemer van vgl. (4.70).
Z L
Z
Z r1
πnz jml r
2
2
|Ψmln | dV0 = 2π
dr
dz
rJm
sin2
r1
L
V0
0
0
Z r1
jml r
2
= πL
rJm
dr
r1
0
Rekening houdend met de identiteit van de Besselfuncties (zie [bes12])
Z 1
δk,l 2
xJα (xjα,k ) Jα (xjα,l ) dx =
J
(jαk ) ,
2 α+1
0
wordt vgl.(4.83) vereenvoudigd tot.
Z
πL 2 2
r J
(jm,l ) .
|Ψmln |2 dV0 =
2 1 m+1
V0
81
(4.82)
(4.83)
(4.84)
(4.85)
Uiteindelijk bekomen we volgende formule voor de verschuiving van de energieën.
 2 4j
1

 P r0,l
1 − (2n+1)(1−2n)
m=0
2π
J2 j
(4.86)
E0 − E = j 2 1 Jm−1 (jm,l )
m−1 ( m,l )
1

 P m,l
−
2
+
1
m
∈
N\0
1
−
2
2
(2n+1)(1−2n)
r1 π
Jm+1 (jm,l )
Jm+1 (jm,l )
Deze perturbatie heeft echter bijna geen effect op de supergeleidende eigenschappen van
de deeltjes. We beschouwen het probleem van een cilinder met volume V = 1, hoogte
H = 1, perturbatieparameter P = 100. Er worden 6 paren in 12 niveaus gekozen. De verschillen van de condensatie-energie tussen de geperturbeerde en ongeperturbeerde cilinder
variëren voor koppelingsconstante gelijk aan -100 rond de 0.0078 % en bij een koppelingsconstante gelijk aan -1 is de relatieve afwijking slechts 0.2 %. De effecten van de
perturbatie op de condensatie-energie zijn dus te verwaarlozen. Ondanks het feit dat de
condensatie-energieën vrijwel gelijk zijn, vertonen de kritische punten een duidelijk verschillend gedrag (vergelijk tabel: 4.3 met tabel: 4.4). We zien dat zeer kleine perturbaties
op de beschouwde ééndeeltjesniveaus toch grote effecten kunnen hebben op het kritische
gedrag van de Richardson-Gaudin oplossingsmethode. Dit is weer een indicatie van het
feit dat de Richardson-Gaudin variabelen zeer volatiel zijn.
i \g
[−∞, −11] [−10, −9] [−8, −6] [−5, −2] [−2, 0]
27.7296 (Ω = 1)
6
1
1
1
1
55.2113 (Ω = 2)
0
1
5
3
2
57.4001 (Ω = 1)
0
2
0
0
1
84.9768 (Ω = 2)
0
2
0
2
2
91.3212 (Ω = 2)
0
0
0
0
0
103.9727 (Ω = 1)
0
0
0
0
0
106.7569 (Ω = 1)
0
0
0
0
0
121.21140 (Ω = 2)
0
0
0
0
0
Tabel 4.4: Weergave van de TDA startdistributies die horen bij de supergeleidende grondtoestand
van 6 paren en 12 niveaus van deeltjes opgesloten in een geperturbeerde cilinder met volume gelijk
aan 1 en hoogte ook gelijk aan 1. De perturbatie die uitgevoerd werd was een sinusvormige perturbatie van de straal met perturbatieparameter P = 100 (zie subsubsectie:4.7.2). De linkerkolom
bevat de bijbehorende ééndeeltjesenergieniveaus en niet de TDA oplossingen (want deze variëren
met de koppelingsconstante). Ω stelt het aantal paren voor dat in een niveau gestopt kan worden,
dit aantal kan groter zijn dan één door ontaardingen afkomstig van de beschouwde geometrie.
Deze geometrische ontaardingen tellen we echter als afzonderlijke ééndeeltjesniveaus omwille van
consistentie.
82
Hoofdstuk 5
Rechthoekige geometrieën in
aanwezigheid van Dirac
delta-functies
In dit hoofdstuk beschouwen we rechthoekige geometrieën die een aantal Dirac deltafuncties bevatten. Deze Dirac delta-functies kunnen we associëren met aantrekkende
en afstotende onzuiverheden, naargelang de constante voor de Dirac delta-functie (v0 )
negatief of positief is. Zo kunnen we de invloed van het inbrengen van onzuiverheden op
de supergeleidende eigenschappen bestuderen. Laten we de Dirac delta-functies de posities bezetten van een roosterstructuur dan kunnen we de effecten van dit rooster op de
supergeleidende eigenschappen bestuderen. Als de constante voor de Dirac delta-functie
negatief genoeg is (v0 < −4.13) treden er gebonden toestanden op.
5.1
5.1.1
1-dimensionaal probleem
Definitie probleem
Er wordt een korte analytische bespreking gegeven van het probleem dat we later meer
algemeen numeriek zullen oplossen door diagonalisatie in een basis van vlakke golven. De
analyse van onderstaand probleem zal ons een beter inzicht geven in het gedrag van de
oplossingen en later ook als test voor de resultaten van het algemeen numeriek programma
dienen. Het is de bedoeling om de eigenwaarden van volgende Hamiltoniaan te vinden:
~2 ∂ 2
+ V (x) + v0 δ (x − x0 )
2m ∂x2
(
+∞ als 0 > x of x > L
V (x) =
0 als 0 6 x 6 L
Ĥ = −
met :
(5.1)
(5.2)
De eigenfuncties van de oneindig diepe potentiaal put zonder Dirac delta-functies worden
gegeven door vlakke golven. Gebruiken we een soortgelijke ansatz voor het probleem met
Dirac delta-functie (k ∈ R).
(
Ψ1 (x) = A1 eikx + B1 e−ikx voor x ∈ [0, x0 ]
Ψ (x)
(5.3)
Ψ2 (x) = A2 eikx + B2 e−ikx voor x ∈ [x0 , L]
83
Deze ansatz veronderstelt dat de golffunctie enkel bestaat uit vlakke golven met een positieve energie. Dit is algemeen het geval voor v0 ≥ 0. Indien v0 < 0, dan kunnen ook
toestanden met negatieve energie optreden. Deze oplossingen kunnen we interpreteren
als gebonden oplossingen, omdat de deeltjes in dat geval een verhoogde waarschijnlijkheid
hebben om gevonden te worden op de plaats van de Dirac delta-functie. Voor deze oplossingen kunnen we dezelfde ansatz gebruiken, als we rekening houden met het feit dat in dat
geval ik ∈ R. Doordat de potentiaal buiten [0, L] oneindig is, moet wegens continuı̈teit de
golffunctie nul zijn voor x = 0 en x = L. Dit geeft twee voorwaarden voor de coëfficiënten.
Ψ1 (0) = 0 ⇒ A1 + B1 = 0
ikL
Ψ2 (L) = 0 ⇒ A2 e
(5.4)
−ikL
+ B2 e
=0
(5.5)
Het continu zijn van de golffunctie geeft ons nog een extra randvoorwaarde, op de plaats
van de Dirac delta-functie moet de ansatz van het 1e deel gelijk zijn aan die van het 2e
deel. De Dirac delta-functie zorgt er echter voor dat de golffunctie op x0 niet afleidbaar
is.
Figuur 5.1: De waarschijnlijkheidsdichtheid (ΨΨ∗ ) genormeerd op 1 van het probleem van de
oneindig diepe put met een breedte L = 1 en met een Dirac Delta constante op x0 = 0.5.
A1 eikx0 + B1 e−ikx0 = A2 eikx0 + B2 e−ikx0
(5.6)
Er zijn vier coëfficiënten vast te leggen we hebben dus nog een vergelijking nodig waaraan
de coëfficiënten moeten voldoen. Deze bekomen we door op te merken dat:
Z x0 +
Z x0 +
~2 00
−
Ψ (x) + v0 δ (x − x0 ) Ψ (x) dx = E
Ψ (x) dx
(5.7)
2m
x0 −
x0 −
Het rechterlid van bovenstaande vergelijking wordt gelijk aan 0 wanneer → 0. Rekening
houdend met het feit dat de afgeleiden niet continu zijn en het opslorpen van de constante
84
~2
2m
in V0 = v0 2m
, wordt het linkerlid.
~2
h 0
ix0 +
Ψ (x)
+ V0 Ψ (x0 ) = 0
x0 −
h 0
i
0
− Ψ2 (x0 ) − Ψ1 (x0 ) + V0 Ψ (x0 ) = 0
−
(5.8)
(5.9)
Nu is ook:
0
Ψ1 (x) = ik A1 eikx − B1 e−ikx
0
Ψ2 (x) = ik A2 eikx − B2 e−ikx
(5.10)
(5.11)
Invullen in vgl.(5.9) geeft:
− ik A2 eikx0 − B2 e−ikx0 − A1 eikx0 + B1 e−ikx0 + V0 A1 eikx0 + B1 e−ikx0 = 0 (5.12)
Het stelsel van de vier vergelijkingen voor de coëfficiënten heeft slechts oplossingen verschillend van de triviale oplossing als de determinant nul is.
1
1
0
0
eikx0
e−ikx0
−eikx0
−e−ikx0 (5.13)
=0
(V0 + ik) eikx0 (V0 − ik) e−ikx0 −ikeikx0 ike−ikx0 0
0
eikL
e−ikL Dit geeft ons een voorwaarde voor de mogelijke k-waarden. Na een lastige berekening
volgt:
− V0 cos (k [L − 2x0 ]) + V0 cos (kL) − 2k sin (kL) = 0
(5.14)
of herschreven:
V0 sin (k [L − x0 ]) sin (kx0 ) + k sin (kL) = 0
(5.15)
Als k aan de vgl. voldoet kunnen we eenvoudig de coëfficiënten {A1 , B1 , A2 , B2 } bepalen,
op
na die we met behulp van de normalisatievoorwaarde
R L een evenredigheidsfactor
∗ (x) dx = 1 vastleggen. Merk op dat vgl. (5.15) een transcendente vergelijking
Ψ
(x)
Ψ
0
is die we eenvoudig grafisch kunnen oplossen. Vgl. (5.15) bepaalt de oplossingen met
positieve energie E > 0. De oplossingen met E < 0, die enkel optreden bij V0 < 0,
corresponderen met de transformatie k → ik = κ. Vgl. (5.15) wordt dan vgl. (5.16). De
oplossing van deze vergelijking bepaalt de eventuele ”gebonden” toestand.
V0 sinh(κ(L − x0 )) sinh(κx0 ) + κ sinh(κL) = 0
85
(5.16)
Figuur 5.2: Linker lid van vgl.(5.15) met L = 1, x0 = 0.5 en V0 = 1. Snijpunten van deze
vergelijking met de x-as bepalen de mogelijke k-waarden, er wordt dus een discreet energie spectrum
bekomen en de oplossingen kunnen eenvoudig visueel afgelezen worden.
5.1.2
Berekening van de energie
De energie wordt gegeven door ( infinitesimaal klein):
Z
L
Ψ∗ (x) ĤΨ (x) dx
Z L
∂2
∗
=
Ψ (x) − 2 + V0 δ (x0 − x) Ψ (x) dx
∂x
0
Z x0 −
Z L
00
00
= −
Ψ∗ (x) Ψ (x) dx −
Ψ∗ (x) Ψ (x) dx
E =
(5.17)
0
E2m
~2
0
(5.18)
(5.19)
x0 +
Z
+ V0 |Ψ (x0 )|2 −
x0 +
x0 −
|
00
Ψ∗ (x) Ψ (x) dx
{z
}
(5.20)
I
2
2
= k + V0 |Ψ (x0 )| + I
(5.21)
Er is rekening gehouden met de normalisatie van de waarschijnlijkheidsdichtheden. Merk
op dat de term I niet wegvalt als → 0 omdat de tweede afgeleide van Ψ in x0 divergent is (want de afgeleide is discontinu). Integreren we I partieel en gebruiken we de
randvoorwaarde die betrekking heeft op de 1e afgeleiden vgl. (5.9) dan bekomen we:
h
ix0 + Z x0 + 0
0
0
∗
I = − Ψ (x) Ψ (x)
+
Ψ (x) Ψ∗ (x) dx
(5.22)
x0 −
x0 −
Z
0
0
= −Ψ∗ (x0 ) Ψ (x0 + ) − Ψ (x0 − ) +
x0 +
0
0
Ψ (x) Ψ∗ (x) dx
(5.23)
x0 −
= −Ψ∗ (x0 ) V0 Ψ (x0 ) +
Z
x0 +
x0 −
|
0
0
Ψ (x) Ψ∗ (x) dx
{z
}
=0
86
(5.24)
De tweede term in bovenstaande vergelijking valt triviaal weg daar de 1e afgeleiden van
Ψ(x) slechts eindig discontinu zijn rond x0 en → 0. Deze truc konden we niet toepassen
voor de tweede afgeleide daar deze oneindig wordt op x0 door het discontinu zijn van de
1e afgeleiden. De energie wordt dus gegeven door:
E=
~2 k 2
,
2m
(5.25)
met k bepaald door vgl.(5.15). In de volgende sectie bekijken we enkele speciale gevallen
van vgl.(5.15) om het gedrag van de oplossingen te voorspellen.
5.1.3
Enkele speciale gevallen
Stel dat V0 zeer groot is dan zal de eerste term van vgl.(5.15) het belangrijkste zijn. Er is
dan bij benadering aan de voorwaarde op k voldaan als geldt dat:
kx0 = nπ
⇒
k (L − x0 ) = nπ
⇒
nπ
n∈N
x0
nπ
n∈N
k=
L − x0
k=
(5.26)
(5.27)
Beschouwen we de oplossingen voor k in functie van x0 , dan zien we dus dat deze kunnen
ingedeeld worden in twee verschillende klassen van hyperbolische functies vgl. (5.26) en
(5.27), waarbij de twee klassen in elkaar kunnen overgezet worden aan de hand van een
spiegeling langsheen de verticale x = L2 . Voor V0 → ∞ zal iedere oplossing uit de ene
klasse kruisen met elke andere oplossing uit de andere klasse. Echter door ”no crossing”
effecten zien we deze kruisingen van energieniveaus niet voor eindige V0 . Dit verklaart het
gekartelde verloop van de excitatie niveaus in Fig. (5.3) als een functie van x0 .
Bekijken we het spectrum in functie van V0 bij een vaste x0 (zie Fig. 5.4). Dan
merken we op dat, als de Dirac delta-functie zich op posities x0 bevindt, waardoor geldt
dat x0 m = L voor een m ∈ N0 , er om de m niveaus een niveau optreedt dat constant is
L
in functie van V0 . Dit wordt duidelijk als we x0 = m
invullen in vgl.(5.15).
Lk (m − 1)
kL
sin
+ k sin (kL) = 0
(5.28)
V0 sin
m
m
We merken op dat k sin (kL) = 0 voor k = nπ
L (met n ∈ N). Vullen we dit in in bovenstaande vergelijking, dan krijgen we dat:
nπ nπ (m − 1)
V0 sin
sin
=0
(5.29)
m
m
Het is dus duidelijk dat k = nπ
L steeds een oplossing is van vgl. (5.15), op voorwaarde dat
n een veelvoud van m is, waarbij de oplossing daarenboven onafhankelijk van V0 is. Zo
zal, als de Dirac delta-functie zich op x0 = 0.5 bevindt, om de twee energieniveaus een
energieniveau onafhankelijk zijn van V0 (zie Fig. 5.4). De resultaten bekomen voor dit
toy probleem hebben we gebruikt als test voor een meer algemeen numeriek programma,
beschreven in volgende sectie, waarin de Hamiltoniaanmatrix bepaald in een basis van
sinus-functies wordt gediagonaliseerd.
87
Figuur 5.3: De eerste 9 energieniveaus (afzonderlijk afgebeeld) en de eerste 10 energieniveaus
(samen afgebeeld) van de oneindig diepe potentiaal put die een Dirac delta-functie bevat op x0
met de constante voor de Dirac delta functie v0 = 100 en de breedte van de potentiaal put L = 1
5.2
Willekeurig aantal Dirac delta functies en dimensies
Deze sectie bespreekt het uitbreiden van het ”toy” probleem van sectie: 5.1 naar een
willekeurig aantal Dirac delta-functies en een willekeurig aantal dimensies. Voor de een~2
voud wordt 2m
= 1 gesteld. Deze uitbreiding is interessant omdat we dan roosterstructuren en meer realistische drie-dimensionale korrels kunnen bestuderen. Op het einde van
deze sectie wordt van een aantal geselecteerde problemen het energiespectrum bepaald en
een bespreking gegeven van de supergeleidende grondtoestand en condensatie-energie. Stel
dat het probleem w Dirac delta-functies bevat en n dimensies dan wordt de vergelijking
die moet opgelost worden om de golffunctie en energiewaarden te bepalen gegeven door:
−
n
w
n
X
X
Y
∂2
Ψ
(x
,
.
.
.
,
x
)
+
V
δ (xi − xki ) Ψ (x1 , . . . , xn ) = EΨ (x1 , . . . , xn ) .
1
n
k
∂x2i
i=1
i=1
k=1
(5.30)
88
Figuur 5.4: De eerste 9 energieniveaus (afzonderlijk afgebeeld) en de eerste 10 energieniveaus
(samen afgebeeld) van de oneindig diepe potentiaal put die een Dirac delta-functie bevat op x0 =
0.5 met lengte L = 1 in functie van de constante voor de Dirac delta-functie V0 .
De golffuncties van een balkvormige geometrie in n dimensies (met één hoekpunt gekozen
op (0,. . .,0) en alle andere coördinaten positief) worden gegeven door (zie sectie: 4.2):
Ψm1 ,m2 ,...,mn (x1 , . . . , xn ) =
n
Y
i=1
r
2
sin
Li
mi πxi
Li
De energiewaarden van de balk worden gegeven door:
~2 2 m21
m2n
Em1 ,m2 ,...,mn =
π
+ ... + 2
2m
Ln
L21
(5.31)
(5.32)
In deze basis zullen we het probleem gedefinieerd in vgl. (5.30) ontwikkelen. We wensen
een matrix representatie van de Hamiltoniaan vgl.(5.30) op te stellen. De diagonaal ma-
89
trixelementen worden gegeven door:
hΨm1 ,m2 ,...,mn |Ĥ|Ψm1 ,m2 ,...,mn i = Em1 ,m2 ,...,mn +
w
X
k=1
n
Y
2
2 mi πxki
Vk
sin
Li
Li
(5.33)
i=1
De niet-diagonaal matrixelementen worden gegeven door:
hΨm1 ,m2 ,...,mn |Ĥ|Ψl1 ,l2 ,...,ln i =
w
X
k=1
Vk
n
Y
mi πxki
li πxki
2
sin
sin
Li
Li
Li
(5.34)
i=1
De eigenwaarden van de Hamiltoniaanmatrix geven ons het energiespectrum van vgl.
(5.30). Er treedt echter een probleem op. De basis die we hebben genomen om de
Hamiltoniaanmatrix op te stellen is oneindig groot. Dit is numeriek onmogelijk te implementeren dus moeten we een criterium opstellen om te bepalen hoeveel basisfuncties
we in beschouwing nemen. De dimensie van de Hamiltoniaanmatrix wordt bepaald door
een convergentiecriterium, namelijk de som van de absolute waarden van het verschil van
de eerste n energieniveaus na het toevoegen van één extra basisfunctie, met n het aantal energieniveaus die geconvergeerd moeten zijn. Wanneer dit kleiner is dan een vooropgestelde
waarde, is convergentie bereikt.
5.3
5.3.1
Analyse van enkele geselecteerde problemen
De oneindig diepe put die een repulsieve Dirac delta-functie bevat
Bespreking variërende x0 , v0 = 100
We onderzoeken de supergeleidende grondtoestand en condensatie-energie van één repulsieve Dirac delta-functie met v0 = 100. Deze repulsieve Dirac delta-functie laten we
van 0 tot 1 variëren binnen een ééndimensionale oneindig diepe potentiaalput met lengte
1. Dit correspondeert fysisch met een model van een supergeleider (1D) met een repulsieve
impuriteit. Het ééndeeltjesspectrum wordt weergegeven in Fig. 5.3. De berekening van de
grondtoestand van de BCS Hamiltoniaan (zie vgl.(3.1)) en de condensatie-energie maakt
gebruik van 5 paren N in 10 niveaus n. De niet-interagerende grondtoestand van 10
deeltjes wordt weergegeven in Fig. 5.5.
90
Figuur 5.5: De niet-interagerende grondtoestand van 10 deeltjes en de gemiddelde afstand tussen
de eerste 10 energieniveaus van een ééndimensionale oneindig diepe potentiaalput van lengte L = 1.
De put bevat een Dirac delta-functie met constante v0 = 100 op plaats x0 .
Als we Fig. 5.6 en Fig. 5.7 bekijken dan zien we dat de grondtoestandsenergie van de
BCS Hamiltoniaan genoemd een aantal pieken vertoont, net zoals de verschillende niveaus
van het ééndeeltjesspectrum. Als de koppelingsconstante g veel sterker is dan de gemiddelde afstand tussen de energieniveaus d dan is het aantal pieken gelijk aan het aantal
niveaus (n=10) dat in beschouwing wordt genomen. Deze observatie werd algemeen vastgesteld voor berekeningen met een variabel aantal niveaus. In dit regime zijn alle niveaus
in ongeveer gelijke mate gevuld. De modulaties afkomstig van het hoogst in beschouwing
genomen ééndeeltjesniveau (n pieken) domineren dan. Als de koppelingssterkte klein is in
vergelijking met de gemiddelde afstand tussen de energieniveaus d (zie Fig. 5.5), dan komt
het aantal pieken overeen met het aantal paren (N=5). De supergeleidende grondtoestand
is dan niet meer te onderscheiden van de niet-interagerende grondtoestand (vergelijk Fig.
5.5 en Fig. 5.7). Tussen deze twee extremen is er een overgang waar het aantal pieken
varieert tussen het aantal niveaus n en het aantal paren N . In dit intermediair regime zijn
de modulaties minder uitgesproken. Deze overgang begint als de koppelingsconstante in de
buurt ligt van de gemiddelde afstand tussen de ééndeeltjesniveaus. Bij een koppelingsconstante van -100 zijn er zo nog maar 8 pieken te onderscheiden. Bij een koppelingsconstante
van -60 hebben we het regime bereikt waar er slechts 5 pieken te zien zijn. Als de koppelingsconstante nog verder afneemt dan zullen de middelste pieken steeds duidelijker
worden, tot de grondtoestand van de BCS Hamiltoniaan niet meer te onderscheiden is
van de niet-interagerende grondtoestand. Het tellen van het aantal piekjes van de supergeleidende grondtoestand geeft ons een eenvoudige parameter om de invloed van de
ééndeeltjesniveaus te bepalen op de supergeleidende grondtoestand. We zijn in staat om
bij verschillende koppelingsconstantes de herverdeling van de bezettingswaarschijnlijkheden van de ééndeeltjesniveaus uit het verloop van de supergeleidende grondtoestand in
functie van x0 te halen. Daar er bij sterke koppelingsconstante evenveel piekjes te zien
zijn als het aantal beschouwde ééndeeltjesniveaus wil dit zeggen dat de bezettingswaarschijnlijkheid van het hoogste niveau significant geworden is. Als de koppelingsconstante minder sterk wordt, komen we in een regime waar er nog altijd een grote herverdeling van de
bezettingswaarschijnlijkheden plaats vindt tenopzichte van het niet-interagerend systeem.
De bezettingswaarschijnlijkheid van het hoogste niveau is nu echter voldoende gedaald
91
waardoor dit niveau onvoldoende effect heeft om de supergeleidende grondtoestand te
beı̈nvloeden. Andere niveaus domineren in dit regime. Bij een koppelingsconstante van
-100 komen zo de effecten van het 8e niveau aan het oppervlak. In het regime van een
kleine koppelingsconstante zullen de paren vooral de laagst gelegen niveaus opvullen, zoals
bij de niet-interagerende grondtoestand, en het niveau dat dominant wordt is het hoogste
gevulde niveau van de niet-interagerende grondtoestand.
Bekijken we de condensatie-energie dan zien we dat bij zeer sterke koppelingsconstante
er evenveel pieken te zien zijn als het aantal niveaus n dat in beschouwing wordt genomen.
Het aantal pieken van de condensatie-energie verandert echter al snel naar N + 1. Wanneer de koppelingsconstante de waarde aanneemt waarvoor de grondtoestand van de BCS
Hamiltoniaan in het tussenregime belandt, heeft de condensatie-energie deze vorm al. Het
aantal pieken van de condensatie-energie verandert niet meer bij verdere verlaging van
de koppelingsconstante. De middelste pieken van de condensatie-energie worden gradueel
dominanter als de koppelingsconstante minder sterk wordt. Het aantal pieken van de
condensatie-energie verandert dus in een ander regime van de koppelingsconstante als het
regime waar het aantal piekjes van de supergeleidende grondtoestand verandert.
92
93
Figuur 5.6: Zie Fig. 5.7
Figuur 5.7: De supergeleidende grondtoestand en condensatie-energie van 5 paren in 10 niveaus
van een ééndimensionale oneindig diepe potentiaalput met lengte L = 1 die een Dirac delta-functie
bevat met constante v0 = 100 op plaats x0 . De koppelingsconstante wordt gelijk aan -1000, -400,
-100, -80, -60 en -0.5 genomen.
Bespreking variërende v0 bij vaste positie x0 = 0.5
Bekijken we de condensatie-energie van een deeltje opgesloten in een één-dimensionale
oneindig diepe potentiaalput die een Dirac delta-functie bevat op x0 = 0.5, in functie
van variërende constante v0 voor de Dirac delta-functie. We beschouwen 5 paren in 10
niveaus, het ééndeeltjesspectrum wordt weergegeven in Fig. 5.4). We bekijken zowel repulsieve (v0 > 0) als attractieve (v0 < 0) onzuiverheden. Er vallen twee zaken op: ten
eerste (zie Fig. 5.9), als de koppelingsconstante sterk genoeg is vertoont de condensatieenergie een minimum bij een positieve v0 , en ten tweede is er de gelijkenis van het verloop
van de condensatie-energie bij g = −100 met het verloop van de gemiddelde afstand tussen
de ééndeeltjesniveaus d (vergelijk Fig. 5.8 met Fig. 5.9). Wanneer de koppelingsconstante
afneemt dan wordt het minimum van de condensatie-energie steeds onduidelijker tot het
volledig verdwijnt. Daarna verandert de helling van de curve rond v0 = 0 stelselmatig, de
vorm gaat van concaaf naar convex. We bespreken nu de vergelijking met de oplossingen
bekomen met de veralgemeende variationele BCS methode (zie Fig. 5.10). Bij sterke koppelingsconstante is de vorm van de condensatie-energie van de BCS benadering gelijk aan
die van de exacte oplossing. De condensatie-energie van de BCS benadering is voor alle
94
koppelingsconstantes minder sterk dan de exacte correlatie energie. Als de koppelingsconstante afneemt, houdt de BCS oplossing langer het minimum van de condensatie-energie
aan, terwijl dit bij de exacte oplossing sneller verdwijnt. Bij v0 waarden in de buurt van
nul (sample zonder onzuiverheid) verdwijnt de BCS kloof en dus de supergeleidende BCS
oplossing als de koppelingsconstante verzwakt tot circa -50. Voor grote absolute waarden
van v0 (bv. v0 = 50) gebeurt dit al bij koppelingsconstanten van circa -20. De BCS benadering is een slechte benadering voor het beschouwde probleem omdat ze een kwalitatief
ander gedrag laat zien dan de exacte oplossing. In het regime van de koppelingsconstante
waar de condensatie-energie de exacte oplossing een bolle vorm heeft, convergeert de BCS
benadering niet. Dit is te verwachten daar in dit regime de koppelingsconstante minder sterk is dan de gemiddelde afstand tussen de beschouwde ééndeeltjesniveaus (zie Fig.
5.8). Het eerste kritische punt van de Richardson-Gaudin methode, waarbij de TDA
startdistributie voor de grondtoestand van (N 0 0 . . . 0) naar een andere startdistributie
overgaat, treedt op bij een koppelingsconstante van -150 en de laatste kritische punten,
waarbij de TDA startdistributie voor de grondtoestand verandert naar (1 1 . . . 1), treden
op bij een koppelingsconstante die varieert van ongeveer -30 tot -1, afhankelijk van v0 . Bij
grote absolute waarden van v0 treedt het laatste kritische punt op bij een koppelingsconstante tussen -10 en -1, als v0 in de buurt van 0 ligt treden de laatste kritische punten
op bij een koppelingsconstante in het interval [-40,-20]. Het laatste kritische punt van de
Richardson-Gaudin oplossing treedt op bij een minder sterke koppelingsconstante dan de
koppelingsconstante waar de BCS kloof nul wordt en de BCS oplossingen niet goed meer
convergeren, maar deze twee koppelingsconstantes zijn van dezelfde grootteorde.
Figuur 5.8: 1) De gemiddelde afstand (d) tussen de eerste 10 niveaus en 2) de niet-interagerende
grondtoestand van een deeltje opgesloten in een één-dimensionale oneindige potentiaal put met
een Dirac delta-functie op x0 = 0.5 in functie van de constante voor de Dirac delta-functie v0 .
95
Figuur 5.9: De exacte condensatie-energie van 5 paren in 10 niveaus opgesloten in een ééndimensionale oneindige potentiaalput die een Dirac delta-functie op x0 = 0.5 bevat in functie
van v0 , bij een koppelingsconstante van -400, -100, -60, -20. In tegenstelling tot vorige figuren
tonen we nu de supergeleidende grondtoestand niet, omdat deze niet interessant is. De correlaties
variëren niet van die aard om de vorm van de supergeleidende grondtoestand sterk te veranderen.
De vorm van de supergeleidende grondtoestand bij de beschouwde koppelingsconstantes wordt
gedomineerd door de niet-interagerende grondtoestand. (zie Fig. 5.8).
96
Figuur 5.10: De BCS kloof en de condensatie-energie van 5 paren in 10 niveaus opgesloten in een
één-dimensionale oneindige potentiaalput die een Dirac delta-functie op x0 = 0.5 bevat in functie
van v0 , bij een koppelingsconstante van -400, -100, -60 en -1 bekomen met de veralgemeende
variationele BCS oplossingsmethode beschreven in sectie: 2.4.
5.3.2
Meerdere Dirac delta-functies in een één-dimensionale potentiaalput
periodieke Dirac deltafuncties in functie van v0
Beschouwen we opnieuw een ééndimensionaal probleem met acht Dirac delta-functies op
posities: 0.125, 0.25, 0.375, 0.5, 0.625, 0.750, 0.875, 1 vervat in een oneindige potentiaal put die loopt van 0 tot 1.125. Alle Dirac delta-functies hebben dezelfde constante
v0 . De parameter v0 wordt gevarieërd van -50 tot 50, corresponderend met een overgang van respectievelijk aantrekkende naar afstotende onzuiverheden. Merk op dat we
het systeem zonder onzuiverheden terugvinden voor v0 = 0. De eerste 10 niveaus van
het ééndeeltjesspectrum worden weergegeven in Fig. 5.11. Om een beeld te geven van
hoe de aantrekkende Dirac delta-functies deeltjes ”vangen” en afstotende Dirac deltafuncties deeltjes afstoten, geven we in Fig. 5.13 de waarschijnlijkheidsdichtheden weer van
zowel 8 aantrekkende als 8 afstotende Dirac delta-functies. Merk de verhoogde waarschijnlijkheden op voor het terugvinden van het deeltje ter hoogte van de aantrekkende Dirac
delta-functies en de verlaagde waarschijnlijkheid om deeltjes terug te vinden op de posities
97
van de afstotende Dirac delta-functies. Bekijken we de condensatie-energie van deeltjes
opgesloten in deze structuur (zie Fig. 5.14), dan zien we dat bij een sterke koppelingsconstante, de condensatie-energie zwakker wordt naarmate v0 negatiever wordt, en sterker
als v0 positiever wordt. Dit kan er op wijzen dat het doperen van een nanokorrel met
afstotende onzuiverheden de correlaties tussen de elektronen kan bevorderen. Als de koppelingsconstante verlaagd wordt dan komen we in een ander regime terecht waar er een
maximum optreedt in de grafiek van de condensatie-energie, waar deze dus het minst sterk
is. Dit maximum ligt bij negatieve waarden van v0 en verschuift bij zwakker wordende
koppelingsconstante naar v0 = 0. Bekijken we de vorm van de grafiek van de gemiddelde afstand tussen de eerste 10 energieniveaus in functie van v0 (zie Fig. 5.12), dan
zien we dat deze lijkt op de gespiegelde vorm van de condensatie-energie bij g = −1.
Verder merken we op dat de variatie in de condensatie-energie zelfs bij een koppelingsconstante van -400 niet sterk genoeg is om invloed te hebben op de vorm van de supergeleidende grondtoestand. We concluderen dus dat het periodiek toevoegen van afstotende
onzuiverheden in één-dimensionale structuren paarcorrelaties altijd versterken, wat ook
de waarde van de koppelingsconstante is. Periodieke aantrekkende onzuiverheden in ééndimensionale structuren daarentegen verzwakken de correlaties tussen de elektronen als
de koppelingsconstante sterk genoeg is. Als de koppelingsconstante daalt, dan kunnen
periodieke aantrekkende onzuiverheden correlaties versterken tenopzichte van het monster
zonder onzuiverheden, als ze aantrekkend genoeg zijn.
Figuur 5.11: De eerste 10 energieniveaus van een oneindige potentiaalput met lengte 1.125, die 8
Dirac delta-functies bevat op posities 0.125, 0.25, 0.375, 0.5, 0.625, 0.750, 0.875, 1, in functie van
v0 die voor alle 8 Dirac delta-functies hetzelfde is.
98
Figuur 5.12: 1) de gemiddelde afstand d tussen de eerste 10 niveaus van een deeltje opgesloten in
een oneindig dimensionale potentiaalput van lengte 1.25, die 8 Dirac delta-functies bevat op posities
0.125, 0.25, 0.375, 0.5, 0.625, 0.750, 0.875, 1, bij een aantal geselecteerde koppelingsconstantes in
functie van v0 de constante voor de Dirac delta-functies. 2) De niet-interagerende grondtoestand
van 10 deeltjes opgesloten in een oneindig dimensionale potentiaalput van lengte 1.125, die 8
Dirac delta-functies bevat op posities 0.125, 0.25, 0.375, 0.5, 0.625, 0.750, 0.875, 1, bij een aantal
geselecteerde koppelingsconstantes in functie van v0 de constante voor de Dirac delta-functies.
Figuur 5.13: Waarschijnlijkheidsdichtheden van een deeltje opgesloten in een oneindige potentiaalput die 8 periodieke Dirac delta-functies bevat. 1) 8 aantrekkende Dirac delta-functies met
vo = −50, 2) 8 afstotende Dirac delta-functies met v0 = 50.
99
Figuur 5.14: De supergeleidende grondtoestand en condensatie-energie van 5 paren in 10 niveaus,
de deeltjes zitten opgesloten in een oneindig dimensionale potentiaalput van lengte 1.125, die 8
Dirac delta-functies bevat op posities 0.125, 0.25, 0.375, 0.5, 0.625, 0.750, 0.875, 1, bij een aantal
geselecteerde koppelingsconstantes in functie van v0 de constante voor de Dirac delta-functies.
aperiodieke Dirac delta-functies
We bekijken nu wat er gebeurt als de periodiciteit van het probleem hierboven verstoord
wordt. De verstoring die we zullen uitvoeren is een verandering van de positie van de 4e
100
Dirac delta-functie. We zullen de coördinaat die de plaats van deze Dirac delta-functie
potentiaal aangeeft x0 variëren van 0 tot 1.125 over het volledige bereik van de put. Merk
op dat als x0 = 0.5, het probleem terug periodiek is. Hierdoor kan rechtstreeks de invloed
van het verstoren van de periodiciteit op de condensatie-energie, ten opzichte van volledige
periodiciteit onderzocht worden. Fig. 5.15 geeft de eerste 10 niveaus weer van een deeltje
opgesloten in een één-dimensionale oneindig diepe potentiaalput van lengte 1.25, die 8
Dirac delta-functies bevat op posities: 0.125, 0.25, 0.375, x0 , 0.625, 0.750, 0.875, 1, in
functie van x0 , met de constante voor alle Dirac delta-functies (v0 ) gelijk aan -50 en 50.
Het is onmiddellijk af te lezen uit deze figuur dat de gemiddelde afstand d tussen de eerste
10 niveaus veel kleiner zal zijn bij 8 periodieke Dirac delta-functies dan bij 8 Dirac deltafuncties met een verstoorde periodiciteit. Wat opvalt als de condensatie-energie bekeken
wordt (zie Fig. 5.16) is dat bij sterke koppelingsconstante periodiciteit de condensatieenergie bevordert bij zowel aantrekkende als afstotende Dirac delta-functies (verwaarloos
randeffeffecten). Dit is altijd het geval bij willekeurige koppelingsconstante als we kleine
afwijkingen van x0 = 0.5 beschouwen. Kijk ook naar Fig. 5.15 de dichtheid van de
ééndeeltjesniveaus is veel groter bij periodiciteit dan bij een aperiodieke structuur van de
Dirac delta-functies. Beschouwen we grotere afwijkingen van x0 bij kleine g dan treden
er zowel bij aantrekkende als afstotende Dirac delta-functies posities van x0 op waar de
correlaties sterker zijn dan bij x0 = 0.5. Waarschijnlijk komt dit door het feit dat er
rond x = 0.5 een gat (in het interval [0.375, 0.625] bevindt zich dan geen Dirac deltafunctie) ontstaat waar de deeltjes van kunnen profiteren om de correlaties te versterken
als de koppelingsconstante klein genoeg is. Merk tenslotte weer op dat de afstotende Dirac
delta-functies (v0 = 50) voor het hele x0 bereik een sterkere condensatie-energie hebben
dan de aantrekkende (v0 = −50).
Figuur 5.15: De figuur geeft de eerste 10 niveaus weer van een deeltje opgesloten in een ééndimensionale oneindig diepe potentiaalput van lengte 1.25, die 8 Dirac delta-functies bevat op
posities: 0.125, 0.25, 0.375, x0 , 0.625, 0.750, 0.875, 1 in functie van x0 met de constante voor alle
Dirac delta-functies (v0 ) gelijk aan -50 en 50. De linkerfiguur geeft v0 = −50 weer, de rechterfiguur
geeft v0 = 50 weer.
101
Figuur 5.16: De condensatie-energie van 5 paren in 10 niveaus, opgesloten in een één-dimensionale
oneindig diepe potentiaalput van lengte 1.25, die 8 Dirac delta-functies bevat op posities: 0.125,
0.25, 0.375, x0 , 0.625, 0.750, 1 in functie van x0 met de constante voor alle Dirac delta-functies
(v0 ) gelijk aan -50 en 50, bij koppelingsconstantes gelijk aan:-400, -100 en -10. De linkerkolom stelt
de condensatie-energie voor van de aantrekkende Dirac delta-functies (v0 = −50), de rechterkolom
die van de afstotende Dirac delta-functies (v0 = 50).
102
5.3.3
Benzeenlijn
Tot slot sluiten we nog af met een voorbeeld dat de grenzen van de computationele mogelijkheden onderzoekt voor de programma’s die voor deze thesis ontwikkeld zijn. Het
ééndeeltjes spectrum is bepaald door 30 Dirac delta-functies op te sluiten in een vierkant
met zijdes L1 = 2.1 en L2 = 3.2, de 30 Dirac delta-functies bevinden zich ten opzichte van
elkaar op de hoekpunten van een lijn van 7 aaneengesloten 6-hoeken (benzeen vorm). De
breedte van deze constructie van Dirac delta-functies bedraagt 0.15 en de lengte is 1.13.
We mogen dus benaderend aannemen dat de zijden van het ingesloten vierkant ver genoeg
liggen om randeffecten te verwaarlozen (zie Fig. 5.17).
Figuur 5.17: 30 Dirac delta-functies bevinden zich op de hoekpunten van de 7 aaneengesloten
zes-hoeken, alle met dezelfde v0 .
We laten de constante voor alle Dirac delta-functies (v0 ) lopen van −4 tot 5 (zie
Fig. 5.18). De supergeleidende condensatie-energie en grondtoestand voor zowel sterke
(-1000) als zwakke (-0.1) koppelingsconstante worden getoond in Fig. 5.19 voor 50 paren
27
in 99 niveaus. Dit komt overeen met een dimensie van de Hilbertruimte van 99
50 ∼ 10 .
De computationele tijd die de productie van de grafiek van de condensatie-energie in
beslag nam was anderhalf uur. Dit toont de computationele kracht van de RichardsonGaudin methode. De condensatie-energie is het sterkst bij v0 = 0.2 dus bij licht afstotende
onzuiverheden. Interpreteren we de Dirac dirac-delta functies als koolstof-atomen (deze
hebben valentie gelijk aan 4) en verwaarlozen we de waterstofatomen, dan kunnen we de
condensatie-energie bij een welbepaalde v0 interpreteren als de condensatie-energie van
elektronen die gevangen zitten in een benzeenketting van 7 opeenvolgende benzeenmolecules (omdat de grenzen van het vierkant op ”oneindig” liggen). De herschaling van
v0 moet gebeuren wegens het verschil tussen een punt-potentiaal en het 1r verloop van
de Coulomb potentiaal. Als herschaling kan bijvoorbeeld een v0 waarde genomen worden zodat het verschil van de grondtoestand en de eerste geëxciteerde toestand bij beide
beschrijvingen dezelfde is. Zo zou een afschatting van de effectieve koppelingsconstante
van de elektronen in een benzeenketting bepaald kunnen worden. De koppelingsconstante
is een belangrijke parameter daar deze alle fysica van de elektron-phonon en elektronmagnon interacties bevat. Het exact kennen van deze koppelingsconstante voor een aantal
systemen zou theoretisch onderzoek kunnen stimuleren.
103
Figuur 5.18: De eerste 10 energieniveaus van een deeltje opgesloten in een rechthoek met
zijden:L1 = 2.1 en L2 = 3.2, dat 30 Dirac delta-functies bevat waarvan de posities een aaneengesloten patroon van 7 zes-hoeken vormen in het centrum van het vierkant. Deze constructie heeft
een breedte van 0.15 en lengte 1.12, in functie van de constante v0 voor alle Dirac delta-functies.
Figuur 5.19: De condensatie-energie en supergeleidende grondtoestand van een deeltje opgesloten
in een rechthoek met zijden:L1 = 2.1 en L2 = 3.2, dat 30 Dirac delta-functies bevat in de vorm van
een aaneengesloten connectie van 7 zes-hoeken in functie van de constante v0 voor alle Dirac deltafuncties. Bij benadering liggen de zijden van het vierkant op oneindig. De koppelingsconstanten
waar de berekening bij uitgevoerd is worden gegeven door -1000 en -0.1. De berekening maakte
gebruik van 50 paren in 99 niveaus.
104
5.4
Invloed van het veranderen van het aantal dimensies
In deze sectie bespreken we de invloed van veranderingen van de dimensie op de supergeleidende grondtoestand en condensatie-energie. In Fig. 5.20 wordt het probleem van
een repulsieve Dirac delta-functie weergegeven met v0 = 100 waarvan 1 coördinaat (x0 )
varieert van 0 tot 1, dit voor een deeltje opgesloten in een één-dimensionale oneindig diepe
potentiaal put van lengte 1, een vierkant met zijde gelijk aan 1 en tenslotte een kubus
met ribbe gelijk aan 1. De coördinaten van de Dirac delta-functie die niet variëren zijn
telkens gekozen op 0.5. De analyse werd gedaan met behulp van 5 paren in 10 niveaus, bij
een koppelingsconstante van -400. Er zijn twee zaken die opvallen als we naar Fig. 5.20
kijken:
1. Als de dimensie stijgt wordt de condensatie-energie steeds sterker.
2. Wanneer de dimensie stijgt dan wordt de invloed van de repulsieve Dirac deltafunctie op het spectrum steeds kleiner, de piekjes worden steeds onduidelijker.
De reden hiervoor is dat in 1-dimensionale systemen de deeltjes de Dirac delta-functie
niet kunnen ontwijken. Vanaf twee dimensies kan deze eenvoudig ontweken worden, en de
invloed van de Dirac delta-functie zal dus sterk afnemen. Wegens dit kwalitatieve verschil
tussen de overgang van 1 naar 2 dimensies ten opzichte van de overgang naar steeds
hogere dimensies, zullen de effecten van het toevoegen van een extra dimensie steeds heel
wat kleiner zijn dan bij de overgang van 1 naar 2 dimensies.
105
Figuur 5.20: De condensatie-energie en supergeleidende grondtoestand van een deeltje opgesloten
in een 1-dimesonale, 2-dimensionale en 3 dimensionale geometrie, alle lengtes zijn gelijk aan 1
genomen, in functie van de positie van één repulsieve Dirac-delta functie met v0 = 100, bij koppelingsconstante = -400 , -80.
106
5.5
Het effect van onzuiverheden op balkvormige geometriën
In de laatste sectie van dit hoofdstuk zullen we op een aantal verschillende posities binnen een kubus (V = 1) een aantal aantrekkende en afstotende onzuiverheden invoeren en
het effect daarvan bespreken op de condensatie-energie (zie Fig. 5.21). We vergelijken de
condensatie-energie ten opzichte van een zuivere kubus (i.e. zonder onzuiverheden). Zowel
aantrekkende als afstotende onzuiverheden verlagen de condensatie-energie. Aantrekkende
onzuiverheden hebben een veel groter effect op de condensatie-energie dan afstotende
onzuiverheden. Het is namelijk zo dat sterk aantrekkende onzuiverheden het deeltje vangen waardoor het veel minder bewegingsvrijheid heeft en dit heeft een nadelig effect op de
paarcorrelaties. Afstotende onzuiverheden zorgen ervoor dat het deeltje uit de buurt blijft van de plaats waar de onzuiverheid gelokaliseerd is, in drie dimensionale geometrieën,
zoals bij een kubus, zorgt dit maar voor een kleine vermindering van de condensatieenergie omdat er voldoende ruimte overblijft om deze onzuiverheid te mijden. Over het
algemeen geldt ook hoe meer onzuiverheden hoe sterker de condensatie-energie afneemt.
Extra aantrekkende onzuiverheden toevoegen heeft een grotere invloed dan afzonderlijke
aantrekkende onzuiverheden sterker maken op de vermindering van de condensatie-energie
ten opzichte van de condensatie-energie van de kubus. Bij afstotende onzuiverheden is de
reductie van de condensatie-energie tenopzichte van die van de kubus groter bij het meer
afstotend maken van één Dirac delta-functie dan bij het toevoegen van extra Dirac deltafuncties met lagere afzonderlijke afstoting. Ook geldt hoe meer de posities van de onzuiverheden de symmetrie van de kubus breken, hoe sterker de afname van de condensatieenergie, wat je kan zien doordat de condensatie-energie van het deeltje opgesloten in een
kubus die een onzuiverheid in de hoek x(0.25, 0.25, 0.25) bevat minder sterk is dan een
deeltje opgesloten in een kubus die een onzuiverheid in het centrum x(0.5, 0.5, 0.5) bevat.
107
Figuur 5.21: De condensatie-energie en grondtoestandsenergie van een systeem met 5 paren in 10
niveaus opgesloten in een kubus met volume = 1, die een aantal onzuiverheden bevat ten opzichte
van een zuivere kubus die geen onzuiverheden bevat. ”Centrum” betekent een onzuiverheid op positie (0.5,0.5,0.5). vo (-20,-20,-20),”driehoek” betekent drie onzuiverheden op posities:(0.25,0.25,0.5),
(0.75,0.25,0.5), (0.5,0.75,0.5), alle met v0 = -20.
108
5.6
Vergelijking computationele snelheid
Tot slot geven we nog een korte bespreking van het verschil in snelheid van de RichardsonGaudin methode ten opzichte van exacte diagonalisatie. Het exacte diagonalisatie programma dat voor deze thesis werd ontworpen kan slechts 7 paren in 14 niveaus
aan, de
dimensie van de Hamiltoniaanmatrix in de kanonische basis wordt dan 14
=
3432
en
7
het duurt dan ongeveer 9 minuten voor er een oplossing gevonden wordt. De RichardsonGaudin methode kan in de regimes van grote of kleine koppelingsconstanten makkelijk 50
paren in 99 niveaus aan, de tijd om de oplossing te bepalen is van de grootteorde van
enkele minuten. Om volledige spectra te bekomen is exacte diagonalisatie sneller zolang
exacte diagonalisatie gebruikt kan worden, omdat meteen het hele spectrum beschikbaar
is. De Richardson-Gaudin methode moet alle mogelijke TDA startdistributies aflopen om
het volledige spectrum te bekomen. Dit kost veel meer tijd dan bij exacte diagonalisatie
als het aantal niveaus kleiner dan 15 is genomen. Als we ook oplossingen willen voor koppelingsconstantes in het regime waar de TDA startdistributie niet gekend is, dan neemt
de computationele snelheid van de Richardson-Gaudin methode snel af. Mits gebruik van
een goede gewichtsfunctie om de volgorde van de TDA startdistributies te bepalen kan
het snelheidsverlies beperkt worden. Zo is het goed mogelijk om 7 paren in 14 niveaus
over een volledig bereik van de koppelingsconstante te onderzoeken. Als de computationele tijd beperkt moet gehouden worden dan kan ervoor gekozen worden om niet alle
mogelijke TDA startdistributies te beschouwen. Hierdoor verliest men wel de 100 % zekerheid dat je over een volledig bereik van de koppelingsconstante de grondtoestand kan
bepalen. De programma’s die ontwikkeld zijn voor deze thesis zijn in staat om onderzoek te verrichten naar het verband tussen de TDA startdistributie die de grondtoestand
geeft bij een bepaalde koppelingsconstante en de beschouwde ééndeeltjesniveaus. Naar alle
waarschijnlijkheid zal in de toekomst ook de grondtoestand van de BCS Hamiltoniaan, bij
koppelingsconstanten in het tussenregime vlot bepaald kunnen worden bij enkele honderden niveaus en paren. Tenslotte merken we nog op dat bij sterke koppelingsconstante ten
opzichte van de gemiddelde afstand tussen de ééndeeltjesniveaus de BCS benadering een
goede kwalitatieve benadering is, en in het regime waar deze afbreekt kennen we de TDA
startdistributie (namelijk 1 in de eerste N niveaus waar N het aantal paren voorstelt).
Zo is het mogelijk om bij enkele honderden niveaus en paren de BCS oplossingsmethode
te combineren met de Richardson-Gaudin methode, waardoor er een zogoed als volledig
bereik van de koppelingsconstante efficiënt en kwalitatief correct onderzocht kan worden.
109
Hoofdstuk 6
Besluit
In deze thesis werd er onderzoek gedaan naar de invloed van de geometrie van metaalachtige
nanokorrels op hun supergeleidende toestand, dit onder impuls van het experimentele onderzoek van Ralph, Black en Tinkham [RBT95, BRT96, RBT97]. Zij waren de eersten die
het discrete energiespectrum van één enkele geı̈soleerde nanokorrel experimenteel konden
bepalen met behulp van een éénelektrontransistor. Bij bulkmaterialen is de dichtheid van
de ééndeeltjesniveaus namelijk te groot om afzonderlijke niveaus te kunnen onderscheiden.
De metingen van RBT leverden experimenteel bewijs voor de aanname van BCS theorie,
dat er enkel paarvorming in tijdsomgekeerde niveaus plaatsvindt. Deze paarvorming kan
effectief beschreven worden door middel van de gereduceerde BCS Hamiltoniaan [?]. In
vorig onderzoek werd er steeds een hetzij uniforme verdeling, hetzij een random verdeling,
door middel van ”random matrix” theorie geproduceerd, voor het ééndeeltjesspectrum
genomen. Er was echter nog geen uitgebreid onderzoek verricht naar de invloed van
variaties van de relatieve ligging van de niveaus ten opzichte van elkaar op de ”supergeleidende” eigenschappen van de deeltjes. Het is weinig waarschijnlijk dat de spectra geproduceerd door ”random matrix” theorie fysisch mogelijk zijn. De connectie met fysische
ééndeeltjesspectra realiseerden we in dit werk door de link te leggen tussen een bepaalde
geometrie en de bijbehorende ééndeeltjesniveaus. We namen aan dat elektronen in 1e
orde approximatie vlakke golven zijn, opgesloten in de nanokorrel, zodat de grensvoorwaarden (de golffunctie is identiek nul buiten het materiaal) voor het discreet zijn van
het ééndeeltjesspectrum zorgden. We varieerden parameters die de grensgeometrie van
de nanokorrel karakteriseren zodat ook de relatieve ligging van de ééndeeltjesniveaus ten
opzichte van elkaar verandert. Op deze manier bekwamen we enkel fysisch relevante
ééndeeltjesspectra, en waren we in staat om de invloed van de geometrie op de grondtoestand van de BCS Hamiltoniaan te onderzoeken.
De bepaling van de condensatie-energie en de energie van de supergeleidende grondtoestand gebeurde met de BCS benadering en de Richardson-Gaudin methode. De RichardsonGaudin methode geeft een exacte oplossing voor de grondtoestand van de gereduceerde
BCS Hamiltoniaan met een zeer gunstige computationele tijd in vergelijking met exacte
diagonalisatie. Deze methode is geschikt om het overgangsregime tussen de bulk-limiet en
de limiet van enkele elektronen te bestuderen. De computationele tijd tot het bekomen
van oplossingen voor de grondtoestand schaalt immers lineair met het aantal deeltjes.
Bij exacte diagonalisatie daarentegen schaalt deze tijd exponentieel met het aantal deeltjes. Het bepalen van volledige spectra is efficiënter met exacte-diagonalisatie dan met de
Richardson-Gaudin methode. Is het aantal in beschouwing genomen paren en niveaus
110
echter zo groot dat exacte-diagonalisatie niet gebruikt kan worden, dan kan het volledige
spectrum bepaald worden met de Richardson-Gaudin methode. De computationele tijd zal
dan wel zeer hoog zijn, maar de oplossingsmethode van de Richardson-Gaudin methode
om het volledige spectrum te bepalen laat zich eenvoudig opsplitsen waardoor ”parallel computing” gebruikt kan worden. De Richardson-Gaudin methode is dan weer enkel
toepasbaar voor de klasse van ”integreerbare” systemen, waartoe de gereduceerde BCS
Hamiltoniaan behoort. In het regime waar de koppelingsconstante g sterk is ten opzichte
van de gemiddelde afstand tussen de ééndeeltjesniveaus d geeft de BCS approximatie een
goede kwalitatieve benadering van de condensatie-energie en de grondtoestand van de BCS
Hamiltoniaan. De BCS methode is computationeel zeer efficiënt en zeer krachtig om paring tussen veel deeltjes in veel niveaus te beschrijven. Wanneer d echter groot wordt ten
opzichte van g breekt deze benadering af. Dit is ook het regime waar het toevoegen van
een extra in beschouwing te nemen ééndeeltjesniveau geen effect heeft, wat het geval moet
zijn om nanokorrels correct te beschrijven. BCS is dus geen al te goede benadering om
realistische nanokorrels te beschrijven. Voor zwakkere koppelingsconstante kunnen we de
Richardson-Gaudin methode efficiënt gebruiken. We kunnen dus de condensatie-energie
en supergeleidende grondtoestand van een honderdtal paren, in enkele honderden niveaus,
efficiënt bekomen over een volledig bereik van de koppelingsconstante, door voor sterke
koppelingsconstante de veralgemeende variationele BCS benadering te gebruiken, en als
deze benadering afbreekt de Richardson-Gaudin methode te gebruiken. Het interval van
de koppelingsconstante waar het niet eenvoudig is om computationeel efficiënt kwalitatief
goede oplossingen voor de condensatie-energie te bekomen is dus zeer klein geworden en
in de meeste gevallen zelfs verwaarloosbaar.
In deze thesis werden verschillende geometrieën van metaalachtige nanokorrels bestudeerd.
Hierbij werden de volgende algemene observaties gedaan. Nemen we twee ééndeeltjesspectra
met dezelfde gemiddelde afstand tussen evenveel in beschouwing genomen ééndeeltjesniveaus.
Dan zal het ééndeeltjesspectrum waarvan de dichtheid van niveaus rond het Ferminiveau
het grootst is de sterkste condensatie-energie vertonen. Een verlaging van de gemiddelde afstand tussen de ééndeeltjesniveaus versterkt eveneens correlaties. Het toevoegen van een niveau zorgt voor een versterking van de condensatie-energie, wat logisch is
daar de ruimte om aan paarvorming te doen groter wordt. Dit effect domineert sterk
over de invloed van geometrische perturbaties wanneer het aantal beschouwde niveaus
relatief klein is en de koppelingsconstante groter is dan de gemiddelde afstand tussen de
ééndeeltjesniveaus. Bij dalende koppelingsconstante en het in beschouwing nemen van
meer niveaus verkleint de invloed van het toevoegen van een ééndeeltjesniveau op de
condensatie-energie. Dit is belangrijk in het kader van onze benadering waarbij, we enkel
de niveaus van de nanokorrel in beschouwing wensen te nemen die belangrijk zijn voor
de paringsinteractie. Dit zijn de niveaus rond het Ferminiveau en de hoger of lager gelegen niveaus kunnen verwaarloosd worden. Als het toevoegen van één niveau een te sterk
effect heeft op de condensatie-energie is deze benadering dus niet geldig. Bij het onderzoek naar supergeleiding in nanokorrels moet dus steeds de koppelingsconstante voldoende
klein genomen worden, of het aantal in beschouwing genomen niveaus voldoende groot,
om consistente resultaten te garanderen, onafhankelijk van het aantal niveaus. In het
ideale geval is aan beide voorwaarden voldaan. Verder bestudeerden we het effect van de
koppelingsconstante op de herverdeling van de bezettingswaarschijnlijkheden. Wanneer
de koppelingsconstante veel groter is dan de gemiddelde afstand tussen de niveaus domineerde het ééndeeltjesgedrag van het hoogst meegenomen niveau in de grondtoestand van
111
de BCS Hamiltoniaan. Als de koppelingsconstante ongeveer gelijk werd aan de gemiddelde
afstand tussen de ééndeeltjesniveaus begint er een tussen-regime. Dit tussen-regime wordt
gekarakteriseerd door het feit dat lager gelegen niveaus beginnen door te schemeren in de
grondtoestand. Tenslotte wordt een regime bereikt waar enkel de niveaus die het dichtst
in de buurt van het Ferminiveau liggen domineren.
We vergeleken de condensatie-energie van enkele lichamen met hetzelfde volume waaronder een kubus, verschillende balken, enkele cilinders en een bol. Er werd geconcludeerd
dat in langwerpige structuren de condensatie-energie het sterkst was. Bij zwakke koppelingsconstante is de condensatie-energie van de cilinder met hoogte gelijk aan 1 het
zwakst, bij sterke koppelingsconstante is de condensatie-energie van de kubus het zwakst.
De condensatie-energie van de bol is iets sterker dan die van de cilinder met hoogte
1 en de kubus. Dit wordt veroorzaakt door de grote ontaardingen die optreden rond
het Ferminiveau in het ééndeeltjesspectrum van de bol. Verder onderzochten we ook
het effect van het toevoegen van onzuiverheden aan een één-dimensionale structuur op
de condensatie-energie en de grondtoestand van de parings-Hamiltoniaan ten opzichte
van een zuivere één-dimensionale structuur. Bij sterke koppelingsconstante zorgde het
toevoegen van zowel aantrekkende als afstotende onzuiverheden voor een verlaging van
de condensatie-energie. Als de koppelingsconstante laag genoeg is dan zullen afstotende
onzuiverheden de condensatie-energie versterken. Kleine verstoringen van de periodiciteit
van de onzuiverheden veroorzaken bij alle koppelingsconstantes een verzwakking van de
condensatie-energie. Grote verstoringen van de periodiciteit in één-dimensionale structuren kunnen een versterking van de condensatie-energie veroorzaken bij lage koppelingsconstante als, de verstoring goed gekozen is. Verhoging van de beschouwde dimensie
versterkt de condensatie-energie, maar dit effect verkleint bij stijgende dimensie. Ook
wordt het effect van punt-perturbaties steeds kleiner als de dimensie stijgt. Tenslotte
zagen we dat zowel kleine geometrische perturbaties als het inbrengen van onzuiverheden voor een verlaging van de condensatie-energie van de kubus zorgden. Aantrekkende
onzuiverheden veroorzaken een veel sterkere verlaging van de condensatie-energie dan afstotende onzuiverheden. Er geldt ook dat hoe meer de perturbaties de symmetrie van de
kubus intact laten hoe beperkter de verzwakking van de condensatie-energie. Verder werd
verkennend onderzoek gedaan om binnen dit formalisme van puntperturbaties afschattingen van condensatie-energieën te geven van elektronen opgesloten in moleculen, door op
de posities van de atomen aantrekkende punt-perturbaties te plaatsen met herschaalde v0
die in verband staat met de respectievelijke valentie van de atomen.
112
Bijlage A
Newton-Raphson techniek voor
een stelsel niet-lineaire
vergelijkingen
Stel dat we N niet-lineaire functies hebben van N variabelen dan is de vraag die we willen
oplossen wat de waarde van die N variabelen moeten zijn om de N functies nul te laten
worden. Gegeven is dus:
Fi (x0 , x1 , . . . , xN −1 ) = 0
i = 0, 1, . . . , N − 1
(A.1)
Laat x de volledige vector van xi waarden aanduiden en F de volledige vector van functies
Fi . Als we nu een taylorontwikkeling van de functies Fi uitvoeren in de buurt van x dan
bekomen we:
N
−1
X
∂Fi
Fi (x + δx) = Fi (x) +
δxj + O δx2
(A.2)
∂xj
j=0
De matrix van partiële afgeleiden die in bovenstaande vergelijking voorkomt is de Jacobiaanse matrix J:
∂Fi
Jij ≡
(A.3)
∂xj
In matrixnotatie wordt vgl.(A.2):
F (x + δx) = F (x) + J · δx + O δx2
(A.4)
Als we nu termen van hoger orde δx2 negeren en we stellen F (x + δx) = 0. Dan bekomen
we een verzameling van lineaire vergelijkingen voor de correcties δx die alle functies
tegelijkertijd dichter in de buurt van nul brengt, namelijk:
J · δx = −F (x)
(A.5)
Bovenstaand stelsel van vergelijkingen kan opgelost worden naar δx door bijvoorbeeld
LU decompositie, wat een zeer efficiënte methode is. Of gelijk welke andere methode om
stelsels van lineaire vergelijkingen op te lossen. De correcties worden dan bij de oplossingsvector gevoegd.
xnew = xold + δx
(A.6)
Dit proces wordt verder herhaald tot convergentie bereikt wordt.
113
Bibliography
[AK90]
D.V. Averin and A. N. Korotkov. Correlated single-electron tunneling via
mesoscopic metal particle: Effects of the energy quantization. J. Low Temp.
Phys., 80:173, 1990.
[ALW91]
B.L. Altshuler, P.A. Lee, and R. A. Webb. Mesoscopic phenomena in solids.
page 169, 1991.
[And59]
P.W. Anderson. Theory of dirty superconductors. J. Phys. Chem. Solids,
11:28, 1959.
[AS72]
M. Abramowitz and I.A. Stegun. Handbook of mathematical functions. Dover
publications, inc., 1972.
[Bay60]
B.F. Bayman. A derivation of the pairing-correlation method.
Physics, 15:33, 1960.
[BCS]
J. Bardeen, L.N. Cooper, and J. R. Schrieffer. Theory of superconductivity.
[BD99]
F. Braun and Von Delft. Superconductivity in ultrasmall metallic grains.
Phys. Rev. B, 59:9527, 1999.
[Bla96]
C.T. Black. PhD thesis, Harvard University, 1996.
[BRT96]
C.T. Black, D.C. Ralph, and M. Tinkham. Spectroscopy of the superconducting gap in individual nanometer-scale aluminum particles. Phys. Rev.
Let., page 688, 1996.
[BvD98]
F. Braun and J. von Delft. Fixed-n superconductivity: The crossover from
the bulk to the few-electron limit. Phys. Rev. Lett., 81:4712, 1998.
Nuclear
[BVDRT97] F. Braun, J. Von Delft, D.C. Ralph, and M. Tinkham. Paramagnetic breakdown of superconductivity in ultrasmall metallic grains. Phys. Rev. Lett.,
79:921, 1997.
[Coo56]
L.N. Cooper. Bound electron pairs in a degenerate fermi gas. Phys. Rev.,
104:1189–1190, 1956.
[CRS97]
M.C. Camiabbio, A.M.F. Rivas, and M. Saraceno. Integrability of the pairing
hamiltonian. Nuclear Physics A, pages 157–167, 1997.
[DBa]
S. De Baerdemacker. in preparation.
114
[DBb]
S. De Baerdemacker. Personal notes on the richardson-gaudin system.
[DB11]
S. De Baerdemacker. The tamm-dancoff approximation as the boson limit of
the richardson-gaudin equations for pairing. Journal of Physics: Conference
Series, 284:012020(10), 2011.
[DS00]
J. Dukelsky and G. Sierra. Crossover from bulk to few-electron limit in
ultrasmall metallic grains. Phys. Rev. B, 61:12302, 2000.
[DVN08]
W. Dickhoff and D. Van Neck. Many-Body Theory Exposed!
World Scientific, 2nd edition, 2008.
[Fr50]
H. Frhlich. Theory of the superconducting state. i. the ground state at the
absolute zero of temperature. Phys. Rev., 79:845–856, 1950.
[Gau]
M. Gaudin. Etats et valeurs propres de l’ hamiltonien d’appariement. Internal
report d.ph.t/doc-11/dd.
[Gia60]
I. Giaever. Energy gap in superconductors measured by electron tunneling.
Phys. Rev. Lett., 5:147148, 1960.
[Hey94]
K. Heyde. The Nuclear Shell Model. Springer, 2nd edition, 1994.
Singapore:
[JKDJ+ 92] A.T. Johnson, L.P. Kouwenhoven, W. De Jong, N.C. Van Der Vaart, C.J.P.M.
Harmans, and C.T. Foxon. Zero-dimensional states and single electron charging in quantum dots. Phys. Rev. Lett., 69:15921595, 1992.
[Klu10]
H.J. Kluge. Hyperfine Interactions, chapter Atomic physics techniques for
studying nuclear ground state properties, fundamental interactions and symmetries: status and perspectives, pages 295–337. springer, 2010.
[KO11]
H. Kamerlingh Onnes. Further experiments with liquid helium. d. on the
change of electric resistance of pure metals at very low temperatures, etc.
v. the disappearance of the resistance of mercury. Comm. Phys. Lab. Univ.
Leiden, No. 122b:113–115, 1911.
[Leb72]
N. N. Lebedev. Special functions and their applications. New York: Dover
publications inc, 1972.
[LFH+ 00]
A. Di Lorenzo, R. Fazio, F.W. Hekking, G. Falci, A. Mastellone, and G. Giaquinta. Re-entrant spin susceptibility of a superconducting grain. Phys.
Rev. Lett., 84:550, 2000.
[Max50]
E. Maxwell. Isotope effect in the superconductivity of mercury. Phys. Rev.,
78:477, 1950.
[MFR98]
A. Mastellone, G. Falci, and Fazio R. Small superconducting grain in the
canonical ensemble. Phys. Rev. Lett., 80:4542, 1998.
[ML97]
K.A. Matveev and A.I. Larkin. Parity effect in ground state energies of
ultrasmall superconducting grains. Phys. Rev. Lett., 78:3749, 1997.
115
[OSDR05]
G. Ortiz, R. Somma, J. Dukelsky, and S. Rombouts. Exactly-solvable models
derived from a gaudin algebra. Nucl. Phys. B, 707:421, 2005.
[Pa79]
S. Padassi. Superconductivity at 23 k in a15 nb3(ge,si) prepared by cvd. J.
Appl. Phys., 50:3556, 1979.
[PWM81]
J.A.A.J. Perenboom, p. Wyder, and F. Meier. Electronic properties of small
metallic particles. Phys. Rep., 78:173, 1981.
[RBT95]
D.C. Ralph, C.T. Black, and M. Tinkham. Spectroscopic measurements of
discrete electronic states in single metal particles. Phys. Rev. Lett., 74:3241,
1995.
[RBT97]
D.C. Ralph, C.T. Black, and M. Tinkham. Gate-voltage studies of discrete
electronic states in al nano-particles. Phys. Rev. Lett., 78:4087, 1997.
[Ric]
R.W. Richardson. Application to the exact theory of the pairing model to
some even isotopes of lead. Phys. Lett., 5:82.
[Ric63]
R.W. Richardson. A restricted class of exact eigenstates of the pairing-force
hamiltonian. Phys. Lett., 3:277, 1963.
[Ric64]
R.W. Richardson. Exact eigenstates of the pairing-force hamiltonian. Nucl.
Phys., 52:221, 1964.
[Ric65a]
R.W. Richardson. Exact eigenstates of the pairingforce hamiltonian. ii. J.
Math. Phys., 6:1034, 1965.
[Ric65b]
G. Rickayzen. Theory of superconductivity. Wiley, New York, 1965.
[Ric66]
R.W. Richardson. Numerical study of the 8-32-particle eigenstates of the
pairing hamiltonian. Phys. Rev., 141:949, 1966.
[RSWN50]
C. A. Reynolds, B. Serin, W. H. Wright, and L. B. Nesbitt. Superconductivity
of isotopes of mercury. Phys. Rev., 78:487, 1950.
[RVND04]
S. Rombouts, D. Van Neck, and J. Dukelsky. Solving the richardson equations
for fermions. Physical review C, 69:061303(5), 2004.
[San10]
C. Sanderson. Armadillo: An open source c++ linear algebra library for
fast prototyping and computationally intensive experiments. Technical Report,NICTA, 2010.
[SD01]
B. S. Shastry and A. Dhar. Solution of a generalized stieltjes problem. J.
Phys. A: Math. Gen., 34:6197, 2001.
[SDD+ 00]
G. Sierra, J. Dukelsky, G.G. Dussel, J. Von Delft, and F. Braun. Exact study
of the effect of level statistics in ultrasmall superconducting grains. Physical
Review B, 61(18):890–893, 2000.
[SV96]
R.A. Smith and Ambegaokar V. Effect of level statistics on superconductivity in ultrasmall metallic grains. Physical Review Letters, 77(24):4962–4965,
1996.
116
[VDK10]
D. Van Delft and P. Kes. The discovery of superconductivity. Physics Today,
pages 38–43, September 2010.
[VDR01]
J. Von Delft and D.C. Ralph. Spectroscopy of discrete energy levels in ultrasmall metallic grains. Physics Reports, 345:61–173, 2001.
[VDZGT96] J. Von Delft, A.D. Zaikin, D.S. Golubev, and W. Tichy. Parity-effected
superconductivity in ultrasmall metallic grains. Phys. Rev. Lett., 77:3189,
1996.
[WAT+ 87]
M. K. Wu, J.R. Ashburn, C.J. Torng, P. H. Hor, R. L. Meng, L. Gao, Z. J.
Huang, Y. Q. Wang, and C. W. Chu. Superconductivity at 93 k in a new
mixed-phase y-ba-cu-o compound system at ambient pressure. Phys. Rev.
Lett., 58:908910, 1987.
[WLYV11]
M. Willatzen and L. C. Lew Yan Voon. Separable Boundary-Value Problems
in Physics. Wiley-VCH, 2011.
117

Invloed van de geometrie op de supergeleidende toestand

Related documents

Products

Support

Invloed van de geometrie op de supergeleidende toestand

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib