vwo B deel 3 2.2 Grote getallen

vwo C Samenvatting Hoofdstuk 12
Grafen, punten en wegen
Een graaf bestaat uit punten, waarvan er twee of meer verbonden zijn door
wegen.
Een graaf met één of meer eenrichtingswegen heet een gerichte graaf.
Als er in een graaf getallen staan bij de wegen, dan heet zo’n graaf een
gewogen graaf.
12.1
Afstandmatrix
Veel problemen zijn met een graaf te visualiseren, zoals het zoeken van een
kortste route.
Het is daarbij verstandig de gegevens van de graaf in een tabel op te slaan.
Vaak noteren we de afstandtabel zoals in het schema ernaast.
Zo’n schema heet een matrix.
Een matrix is een rechthoekig schema van getallen, waarbij links en rechts
grote haken staan.
De afstandmatrix M heeft 4 rijen en 4 kolommen.
12.1
Verbindingsmatrix
In de geografie worden grafen gebruikt om de onderlinge bereikbaarheid van
steden, landen of gebieden te bestuderen.
Daarbij speelt het begrip verbindingsmatrix van een graaf een centrale rol.
In een verbindingsmatrix staan enen en nullen.
Een 1 geeft aan dat er een rechtstreekse verbinding is tussen twee punten van
de graaf.
Een nul geeft aan dat er geen rechtstreekse verbinding is.
12.1
In de verbindingsmatrix van een graaf staan enen en nullen.
1 geeft aan dat er een rechtstreekse verbinding is.
0 geeft aan dat er geen rechtstreekse verbinding is.
Bij een graaf waarin elk tweetal punten rechtstreeks met elkaar verbonden is,
is sprake van maximale verbondenheid.
Er is sprake van minimale verbondenheid in een graaf als door het weglaten
van welke weg dan ook een niet-samenhangende graaf ontstaat.
12.1
Directe-wegenmatrix
In de directe-wegenmatrix staat het aantal rechtstreekse wegen tussen elk
tweetal wegen.
12.1
De afmeting van een matrix
De matrix M is een voorbeeld van een datamatrix.
In een datamatrix zijn waarnemingsgetallen opgeslagen.
De matrix M heeft drie rijen en vier kolommen.
Er zijn 12 elementen.
We zeggen dat de matrix M de afmeting 3 × 4 heeft.
m32 = 70
Een n × m-matrix M heeft n rijen en m kolommen.
Het element mij is het getal in de i-de rij en de j-de kolom van M.
Een vierkante matrix is een matrix met evenveel rijen als kolommen.
De hoofddiagonaal bestaat uit b11 , b22 …
Een vierkante matrix B is symmetrisch als geldt bij = bji.
12.2
Het vermenigvuldigen van matrices
De matrix K in opgave 23 heet de productmatrix van V en W.
Dus V · W = K.
Je kunt het product van de
matrices V en W alleen
berekenen als het aantal
kolommen van V gelijk is aan het
aantal rijen van W.
12.2
Machten van een matrix
Een vierkante matrix met op de hoofddiagonaal uitsluitend enen en alle
andere elementen gelijk aan nul, heet een eenheidsmatrix.
12.2
Machten van een overgangsmatrix
De getallen in de graaf in figuur 12.28 zijn de kansen op de verschillende
overgangen per week.
Bij deze graaf hoort de overgangsmatrix M.
In een overgangsmatrix is de som van de getallen in elke kolom gelijk aan 1.
Geeft M de kansen op de overgangen per week,
dan geeft M n de kansen op de overgangen per n weken.
12.3
Het doorrekenen van populaties
In een gebied verschijnen de regionale dagbladen de Ster en de koerier.
Hiernaast staat informatie over het verloop
van de abonnees tussen deze dagbladen.
Bij deze situatie horen twee matrices,
namelijk de overgangsmatrix V en de kolommatrix
Hieronder staat de berekening van de productmatrix V · B
Geeft de overgangsmatrix V de overgangen per tijdseenheid
en de kolommmatrix B de populatie op t = 0,
dan geeft V n · B de populatie op t = n.
12.3
Markow-keten
Een Markow-keten is een serie zichzelf herhalende onahankelijke
kansexperimenten.
Je houdt daarbij steeds dezelfde overgangsmatrix.
We gaan ervan uit dat aan enkele randvoorwaarden is voldaan.
Zo komen er bijvoorbeeld geen nieuwe klanten bij.
Er is sprake van een gesloten systeem.
12.3
Stabilisatie
In opgave 43 had je te maken met de overgangsmatrix M.
Neem aan dat 40% van de klanten voor map A kiest en dus 60% voor map B.
Hierbij hoort beginsituatie P.
Met de GR is de verdeling van de aantallen voor de komende weken berekend.
Er ontstaat een evenwichtstoestand.
Het blijkt dat je onafhankelijk van de beginverdeling telkens dezelfde
evenwichtstoestand krijgt.
Er treedt dus stabilisatie op.
Voorwaarde is dat de overgangsmatrix M of één van zijn machten geen enkele
nul bevat.
12.3
Populatievoorspellingsmatrix (Lesliematrix)
De Engelsman Leslie ontwikkelde een model om de groei van een populatie te bestuderen.
De populatie wordt daarbij verdeeld in n leeftijdsklassen die elk k jaar lang zijn.
In de populatievoorspellingsmatrix staan vruchtbaarheidscijfers en overlevingskansen.
In de eerste rij staan de vruchtbaarheidscijfers.
Zo is l14 het gemiddeld aantal nakomelingen van een exemplaar uit klasse IV in een
periode van k jaar.
De andere getallen ongelijk aan nul van L zijn de overlevingskansen.
Zo is l43 de kans dat een exemplaar uit klasse III na k jaar in klasse IV zit.
Soms is de klassenbreedte van de oudste leeftijdsklasse groter dan k jaar,
in dat geval is het element lmn van L ongelijk aan nul.
12.4
Berekeningen met Lesliematrices
De Lesliematrix L hieronder hoort bij een populatie vissen die is ingedeeld
in drie leeftijdsklassen van elk één jaar.
Op t = 0 is de bevolkingssamenstelling gegeven door de matrix P.
De matrix
• L · P geeft de samenstelling na één jaar
• L2 · P geeft de samenstelling na twee jaar
• Ln · P geeft de samenstelling na n jaar.
Bij een beginpopulatie P en een Lesliematrix L waarbij de overgangen
worden gegeven per tijdseenheid, krijg je de samenstelling van de populatie
na n tijdseenheden met de matrix Ln · P.
Met L-1 · P krijg je de populatie een jaar terug.
12.4
Bijzondere Lesliematrix
In de situatie van figuur 12.37 heeft alleen de oudste leeftijdsklasse
nakomelingen.
In dat geval is
Uit L3 volgt dat in drie jaar tijd de aantallen van elke leeftijdsklasse met abc
vermenigvuldigd worden.
Dus ook de omvang van de totale populatie wordt in drie jaar met abc
vermenigvuldigd.
12.4