Appendix E Goniometrie

Appendix E
Goniometrie
Open Universiteit Nederland
Voorbereidingscursussen Wiskunde
november 2010
ii
Bewerkt van een oorspronkelijk manuscript van Hans Wisbrun ten behoeve van de Voorbereidingscursussen Wiskunde van de Open Universiteit Nederland.
Redactie van deze versie: Bert Esmeijer met tekstbijdragen van Evert van de Vrie.
*
Inhoudsopgave
E
Appendix Goniometrie
E.1
E.2
E.3
E.4
E.5
E.6
E.7
E.8
E.9
Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Periodieke functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sinus, cosinus en eenheidscirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.3.1 De eenheidscirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.3.2 Sinus en cosinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.3.3 Gebruik rekenmachine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.3.4 Grafieken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sinus, cosinus en hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.4.1 De 30-60-90 driehoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.4.2 De 45-45-90 driehoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.4.3 De (co)sinus van hoeken van 0◦ en 90◦ . . . . . . . . . .
E.4.4 De twee verschillende definities van sinus en cosinus
Formules van het type y = a sin b(t + c) + d . . . . . . . . . . . .
E.5.1 Formules van het type y = sin t + d . . . . . . . . . . . .
E.5.2 Formules van het type y = a sin t . . . . . . . . . . . . . .
E.5.3 Formules van het type y = sin bt . . . . . . . . . . . . . .
E.5.4 Formules van het type y = sin(t + c) . . . . . . . . . . . .
E.5.5 De gecombineerde invloed van a, b, c en d . . . . . . .
Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Antwoorden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aanwijzingen en uitwerkingen voor een aantal opgaven. . . .
Werkblad Goniometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 3
. 4
. 5
. 5
. 9
11
12
14
16
16
17
18
19
19
20
21
23
24
30
37
44
49
Appendix Goniometrie
E
E.1 Inleiding
Behalve eerstegraads, tweedegraads, wortel-, exponentiële en logaritmische functies, bestaan er
nog veel meer soorten functies. Belangrijke functies, vooral in de natuurwetenschappen en de
techniek, maar ook in de geneeskunde, zijn de sinus-functie en de cosinus-functie. Electromagnetische straling kun je daarmee beschrijven (trillingen). Als je bouwkundige constucties doorrekent,
kom je al gauw met de (co)sinus in aanraking.
Het vakonderdeel goniometrie heeft zijn wortels in de landmeetkunde, de wereld van afstanden
en hoeken. Gonio staat voor hoek, metrie heeft met meten te maken. In deze appendix worden de
sinus- en de cosinus-functie ten tonele gevoerd als functies waarmee je periodieke verschijnselen
kunt beschrijven. Pas later (E.4) wordt het verband met de meetkunde gelegd.
Voorkennis
Je hebt niet zo heel veel nodig:
- getallenlijn → Wiswijs, bladzijde 15
- functies en grafieken → Wiswijs, hoofdstuk 5
Voor E.4 is ook enige basiskennis meetkunde nodig:
- hoeken
- driehoek
- stelling van Pythagoras.
Je kunt E.4 eventueel overslaan.
4
E. Appendix Goniometrie
E.2 Periodieke functies
Sommige grafieken van functies hebben een vast patroon dat zich steeds herhaalt. Hieronder een
aantal van die grafieken.
y
Figuur E.1
2
•
−3
O
•
•
3
•
6
•
9
x
Volt
Figuur E.2
y
1
220
t
0
−2
−220
−1 O
−1
x
1
2
3
y
Figuur E.3
1
x
−5
−3
−1
1
3
5
De functies die hier bij horen heten periodieke functies. Ze kunnen gebruikt worden om functies te
beschrijven die een periodiek karakter hebben, zoals eb en vloed, hartslag, de daglengte door het
jaar heen.
De lengte van het vaste patroon heet periode. Omdat het vaak verschijnselen zijn die periodiek in
de tijd zijn, zou je ook kunnen zeggen dat het de tijd is die verstrijkt tot de eerstvolgende herhaling.
De waterhoogte van de Westerschelde verandert periodiek als gevolg van eb en vloed.
In Vlissingen staat langs de Boulevard De Ruyter een informatiebord met daarop een fraaie grafiek
van de waterhoogte als functie van de tijd.
De periode is 12 uur en 25 minuten (zie ook de vergrote foto op bladzijde 29).
→ opgave 1
periodieke functies
periode
5
E.3. Sinus, cosinus en eenheidscirkel
E.3 Sinus, cosinus en eenheidscirkel
Sommige grafieken zien er uit als golven. De functies die hierbij horen zijn de sinus en de cosinus.
Dit zijn periodieke functies. Ze spelen een belangrijke rol bij het beschrijven van periodieke verschijnselen. Zo kun je bijvoorbeeld de grafiek van eb en vloed uit paragraaf E.2 aardig beschrijven
met een sinus-formule (h = 1,9 · sin 0,5060(t − 9,3125)). Hoe je die formule kunt maken op grond
van de vorm van de grafiek komt aan de orde in paragraaf E.5. Eerst wordt hieronder behandeld
wat de sinus van een getal eigenlijk is.
Misschien dat je de sinus en de cosinus al in een heel ander verband kent, namelijk uit de meetkunde, als verhoudingen van de zijden in driehoeken. Dat is de manier waarop deze begrippen
vaak geı̈ntroduceerd worden. In deze appendix wordt dat verband met hoeken van een driehoek
pas later gelegd, in paragraaf E.4, omdat je anders zou denken dat sinus en cosinus alleen maar iets
met hoeken te maken hebben. Dat is niet het geval, zoals je aan de formule voor eb en vloed hebt
kunnen zien.
E.3.1 De eenheidscirkel
In hoofdstuk 5 van Wiswijs is het rechthoekig assenstelsel behandeld (→ Wiswijs, bladzijde 109).
De schaalverdeling op de assen is in principe vrij. Zo kun je 1 cm als eenheid kiezen, of 21 cm,
maar het zou ook een decimeter kunnen zijn,of een hele andere maat, een inch (≈ 2,54 cm) bijvoorbeeld.
In zo’n assenstelsel kun je een cirkel tekenen, met als middelpunt (de plaats waar je je passerpunt
zet) de oorsprong van het stelsel. Als straal (de afstand tussen de twee benen van de passer) kies je
de zelf gekozen eenheid. Zo’n cirkel heeft de eenheidscirkel. Deze gaat dus door het punt (1,0).
y
eenheidscirkel
Figuur E.4
eenheidscirkel
(1,0)
x
Iedere cirkelschijf heeft een omtrek . Dat is de lengte van een touwtje dat je er strak langs spant.
Je kunt je wel voorstellen dat deze omtrek evenredig is aan de straal van de cirkel (→ Wiswijs,
bladzijde 30). Wordt de straal bijvoorbeeld drie maal zo groot, dan wordt de omtrek ook drie maal
zo groot.
Het precieze verband wordt gegeven door de formule
omtrek = 2 × π × straal.
Hierin is π het bekende irrationale getal, ongeveer gelijk aan 3,14 (→ Wiswijs, bladzijde 65).
De omtrek van de eenheidscirkel is 2 × π × 1, of korter 2π.
omtrek
6
E. Appendix Goniometrie
Stel je nu een getallenlijn voor (→ Wiswijs, bladzijde
15) met dezelfde eenheid als gebruikt voor de eenheidscirkel, die je als een touwtje - tegen de wijzers van de klok langs de eenheidscirkel windt, waarbij je de 0 laat samenvallen met het punt (1,0) op de cirkel.
4
π
Ergens op de getallenlijn ligt het getal 2π (≈ 6,28). Dat
zal bij strak winden weer op hetzelfde punt (1,0) terecht
komen (je bent één keer rond gegaan, dus je hebt één keer
de omtrek van de cirkelschijf, 2π, afgerold).
3
Ook de getallen 4π (twee keer rond), 6π (drie keer rond)
8π, enzovoort, komen daar terecht. Dit geldt ook voor de
getallen −2π (één keer rond, maar dan met de klok mee),
−4π (twee keer rond met de klok mee), −6π (drie keer),
−8π, enzovoort.
Hetzelfde geldt voor alle veelvouden van 2π.
2
1
π
2
1
Maar ook andere getallen krijgen zo een plaats op de cirkel.
Zo komt het getal π (een half rondje) op (−1,0),
1
4 π (een kwart rondje) komt op (0,1)
en 1 12 π op (0,−1).
0
En zo vind je 14 π natuurlijk precies tussen 0 en 21 π, dus na
1
8 rondje.
−1
De plaats van de getallen 34 π, 1 14 π en 1 34 π vind je op een
soortgelijke manier.
Ook de “gewone” getallen, dat wil zeggen “zonder π erin”
vinden hun plaatsje ergens op de cirkel, al valt het wat
moeilijker aan te geven waar ze precies terecht komen. De
1 zit bijvoorbeeld ergens tussen de 41 π (≈ 41 × 3,14 ≈ 0,79)
en de 12 π (≈ 1,57) in.
−2
Alle getallen vind je zo op de cirkel. In de figuur hieronder zie je een aantal getallen staan.
−π
1
π
2
Figuur E.5
2
1
3
π
4
1
π
4
3
π
. . . , −2π, 0, 2π, . . .
6
1 14 π 4
1 34 π
1 12 π
→ opgave 2
−3
5
7
E.3. Sinus, cosinus en eenheidscirkel
Bij ieder getal op de getallenlijn komt op die manier een punt op de eenheidscirkel. Omgekeerd
horen bij een bepaald punt op de eenheidscirkel verschillende getallen.
Voorbeeld 1:
Figuur E.6
1
π
4
A
Als A het punt is dat bij 14 π hoort, dan hoort A ook bij
2 14 π (= 14 π + 2π, een achtste rondje en dan nog een heel rondje),
4 41 π (= 14 π + 4π, een achtste rondje en dan nog twee rondjes),
maar ook bij −1 34 π (= 14 π − 2π) of −3 43 π (= 14 π − 2 × 2π)
→ opgave 3
Als je bij een getal een veelvoud van 2π optelt of aftrekt, dan krijg je hetzelfde punt op de eenheidscirkel als het getal zelf.
Dus bij de getallen . . . , 41 π − 4π, 14 π − 2π, 41 π, 14 π + 2π, 41 π + 4π, . . . hoort hetzelfde punt op de
eeheidscirkel.
Deze hele rij getallen wordt vaak zo genoteerd:
1
4π
+ k · 2π, waarbij k dan een willekeurig geheel getal voorstelt (→ Wiswijs, bladzijde 45).
→ opgave 4
Hierboven zijn bij getallen op de getallenlijn punten op de eenheidscirkel getekend. De eenheidscirkel is in een assenstelsel getekend. Ieder punt in zo’n stelsel heeft twee coördinaten, te schrijven
als een getallenpaar (→ Wiswijs, bladzijde 92 en 110).
1
π
2
Van sommige punten zijn de coördinaten makkelijk te bepalen, bijvoorbeeld:
0
→ (1,0)
1
2π
→ (0,1)
π
→ (−1,0)
1 21 π
→ (0,−1)
π
0
1 12 π
8
E. Appendix Goniometrie
Van andere punten kun je de coördinaten aflezen, al is dat
minder precies:
1
4π
→ (0,7 , 0,7)
1
6π
→ (0,85 , 0,5)
Figuur E.7
1
π
4
1
π
6
Als je wat van meetkunde weet, kun je de coördinaten van deze punten en van andere “mooie”
punten op de eenheidscirkel exact bepalen. In de volgende paragraaf staat meer daarover.
Gebruik in het vervolg de waarden uit onderstaande tabel:
getal
0
punt
(1,0)
1
6π
√
( 21 3, 12 )
1
4π
√
( 12 2, 12
1
3π
√
( 12 , 12 3)
√
2)
1
2π
(0,1)
De waarden in deze tabel komen zo vaak voor, dat je ze uit je hoofd moet kennen, of gemakkelijk
moet kunnen reconstrueren. In het vervolg zul je ze vaak moeten gebruiken.
In deze tabel liggen de punten steeds rechtsboven in het assenstelsel. Dit deel wordt wel het eerste kwadrant genoemd. Zo heet het deel linksboven het tweede kwadrant, het deel linksonder het
derde kwadrant en het deel rechtsonder het vierde kwadrant.
kwadrant
Figuur E.8
II
I
III
IV
9
E.3. Sinus, cosinus en eenheidscirkel
De coördinaten van punten in andere kwadranten kun je vaak
bepalen door gebruik te maken van de symmetrie in het plaatje.
5
π
6
1
2
•
•
1
π
6
Voorbeeld 2:
De punten die horen bij 16 π en 56 π hebben dezelfde y-coördinaat,
maar tegengestelde x-coördinaten. Dus geldt dat:
•
√
5
1 16 π
→ (− 21 3 , 12 )
6π
1
2
√
3
op soortgelijke manier vind je:
√
1 16 π → (− 12 3 , − 12 )
→ opgave 5
Uiteraard kun je ook bij getallen “zonder π erin” aflezen welke
coördinaten er, bij benadering, bijhoren.
1
Voorbeeld 3:
1
→ (0,55 , 0,85)
−2
→ (−0,4 , −0,9)
−2
E.3.2 Sinus en cosinus
Je hebt nu gezien dat er bij ieder getal t op de getallenlijn een
punt op de eenheidscirkel hoort en dat er bij ieder punt op
de eenheidscirkel een coördinatenpaar hoort. De horizontale
coördinaat (x-coördinaat) wordt de cosinus van t genoemd, de verticale coördinaat (y-coördinaat)
wordt de sinus genoemd.
Zo krijg je twee functies:
t → sin t
(uitspraak: “de sinus van t”, of “sinus t”)
t → cos t
(uitspraak: “de cosinus van t”, of “cosinus t”)
sin t
•
t
cos t
cosinus
sinus
Figuur E.9
10
E. Appendix Goniometrie
Voorbeeld 4:
•
1
3 π.
Neem t =
In de tabel op bladzijde 8 zie je dat hier het punt ( 21 ,
hoort. Hieruit volgt:
√
sin 13 π = 21 3
cos
1
3π
=
√
1
2
1
2
√
3
2 12 π
•
1
π
3
3) bij
1
2
1
2
√
Bij t = 1 32 π hoort het punt ( 12 , − 12 3). Dit geeft:
√
sin 1 23 π = − 21 3
cos 1 23 π =
•
1 23 π
1
2
En bij t = 2 12 π hoort het punt (0,1). Dit geeft:
sin 2 21 π = 1
cos 2 12 π = 0
→ opgave 6
Bij alle waarden van t hoort zo een getal sin t. Voor een aantal waarden tussen 0 en 21 π kun je het
tabelletje op bladzijde 8 gebruiken.
Voor andere waarden vind je de sinus weer door gebruik te maken van symmetrie-eigenschappen,
bijvoorbeeld sin(−a) = sin a, sin(π − a) = sin a of sin(a + π) = − sin a.
In onderstaande figuren zie je een illustratie van deze eigenschappen, alsmede van de vergelijkbare
eigenschappen voor de cosinus.
Figuur E.10
•
sin a
a
cos a
cos(−a)
sin(−a)
•
−a
sin(−a) = − sin a
cos(−a) = cos a
Figuur E.11
π−a
•
cos(π − a)
sin a
a
•
sin(π − a)
cos a
sin(π − a) = sin a
cos(π − a) = − cos a
11
E.3. Sinus, cosinus en eenheidscirkel
Figuur E.12
•
a+π
a
sin(a + π) = − sin a
cos(a + π) = − cos a
•
Afspraak
Bij combinaties van bewerkingen heeft sin dezelfde prioriteit als het
onderaan bladzijde 54).
√
-symbool (→ Wiswijs,
Dat betekent dat er bij sin 13 π geen haakjes hoeven om 13 π en dat we de sinus van 2a meestal schrijven als sin 2a. Met sin 2a bedoelen we dus sin(2 · a) en niet (sin 2) · a.
Bij sin(a + π) horen wel haakjes als we de sinus van de som a + π bedoelen. Als er sin a + π staat,
zou eerst de sinus van a genomen moeten worden en bij het resultaat zou dan π opgeteld moeten
worden. En ook als er verwarring kan ontstaan, is het verstandig om haakjes te gebruiken.
E.3.3 Gebruik rekenmachine
Op de meeste rekenmachines zit een knop voor de sinus (en ook voor het getal π).
Voorbeeld 5: Bereken sin 2
Wil je sin 2 op je rekenmachine berekenen, dan moet je zorgen dat deze in de modus RAD of RADIAN staat. Kijk in de handleiding van je rekenmachine hoe je dit doet. RAD of RADIAN staat
voor radiaal, een maat voor hoeken. Het verband tussen hoeken (in radialen of in graden) en de
(co)sinus wordt besproken in paragraaf E.4.
Toets nu in: sin(2), met als resultaat 0,9092974268.
Voorbeeld 6: Bereken sin 14 π
Toets in: sin(π/4), met als resultaat 0,7071067812.
Opmerking 1:
√
2
Sommige nieuwe modellen geven als antwoord
, de uitkomst die je had kunnen vinden met
2
de tabel op bladzijde 8. Deze machines hebben ook een functie om de uitkomst weer te geven als
decimale breuk. Het resultaat is dan uiteraard hetzelfde als hierboven.
Opmerking 2:
Als je sin 41 π op een rekenmachine wilt berekenen, is het gebruik van haakjes zoals hierboven essentieel.
Nieuwe modellen en grafische rekenmachines geven het eerste haakje zelf, op oudere modellen
zou je ook kunnen invoeren: sin π/4, met als resultaat: 0.
Ga zelf na wat de rekenmachine dan berekent.
→ opgave 7
12
E. Appendix Goniometrie
E.3.4 Grafieken
Omdat je nu bij ieder reëel getal t de waarde van sin t kunt vinden, kun je ook de grafiek van de
functie f : t → sin t tekenen. Dat doe je door op de horizontale as t uit te zetten en op de verticale
sin t.
Zo krijg je de volgende grafiek:
y
Figuur E.13
1
1
2
−2π
−π
1
π
6
π
1
π
2
1 12 π
2π
2 12 π
3π
−1
Je ziet dat het een periodieke functie is, met 2π als periode. Dat had je natuurlijk al kunnen voorspellen, omdat bij alle getallen a + k · 2π (k is een geheel getal) hetzelfde punt op de eenheidscirkel
hoort.
Het domein en het bereik ( → Wiswijs, bladzijde 109) van de functie f : t → sin t vind je door te
bedenken dat je nu voor alle reële getallen t weet hoe je sin t moet bepalen en vervolgens te kijken
naar de kleinste en grootste waarde die sin t kan hebben.
→ opgave 8
In de grafiek zie je ook weer allerlei symmetrie-eigenschappen.
y
Figuur E.14
sin a
a+π
−a
a
π−a
− sin a
In de grafiek zie je dat de punten met t = a en met t = π − a dezelfde y-waarde hebben, namelijk
sin a.
Anders gezegd: sin(π − a) = sin a.
Andere symmetrie-eigenschappen kun je uit de grafiek afleiden door op te merken dat zowel voor
t = −a als voor t = a + π de y-waarde gelijk is aan − sin a.
→ opgave 9 t/m 11
t
t
13
E.3. Sinus, cosinus en eenheidscirkel
De grafiek van de cosinus maak je op dezelfde manier als de grafiek van de sinus. Ook voor de
cosinus zit een knop op je rekenmachine.
→ opgave 12
De periode van de cosinus is ook 2π. De grafiek lijkt op die van de sinus. Het is de sinusgrafiek,
maar dan horizontaal verschoven.
y
Figuur E.15
y = sin t
t
y = cos t
In deze paragraaf heb je grafieken getekend van de sinus en de cosinus van getallen die niets voorstelden, behave zichzelf. In veel leerboeken worden de sinus en de cosinus in verband gebracht
met hoeken in (rechthoekige) driehoeken. Deze definitie sluit aan bij de onze. Als je ooit iets aan
meetkunde gedaan hebt, dan is het interessant om de volgende paragraaf te bestuderen. Zo niet,
dan kun je hem overslaan. Alleen moet je dan maar geloven dat de volgende tabel klopt, of moet je
de getallen narekenen met je rekenmachine. Vergelijk met de tabel op bladzijde 8.
getal
0
1
6π
punt
(1,0)
√
( 12 3, 12 )
sinus
0
cosinus
1
1
2
√
1
2
3
1
4π
√
√
( 12 2, 12 2)
√
1
2 2
√
1
2 2
1
3π
√
( 12 , 12 3)
√
1
2 3
1
2
1
2π
(0,1)
1
0
Deze tabel vind je ook op het Werkblad Goniometrie op bladzijde 49. Zorg ervoor dat je dit werkblad altijd bij de hand hebt en dat je hem tegen de tijd dat je de toets maakt uit je hoofd kent.
14
E. Appendix Goniometrie
E.4 Sinus, cosinus en hoeken
Je kunt de grootte van een hoek uitdrukken in graden (◦ ). Zo is een haakse of rechte hoek een hoek
van 90◦ ; de helft daarvan is een hoek van 45◦ . Maar ook de sinus (of cosinus) van een hoek geeft
informatie over de grootte van die hoek.
Als je een hoek hebt in een rechthoekige driehoek - dat wil zeggen dat één van de drie hoeken
recht is - dan kun je de grootte van die hoek geven door de verhouding van (de lengtes van) twee
zijden. In een tekening staat een hoek vaak aangegeven met α (alfa) en de rechte hoek met een
klein vierkantje. Voor de zijden van de driehoek worden de benamingen overstaande rechthoekszijde, aanliggende rechthoekszijde en schuine zijde (of hypotenusa) gebruikt.
Als de overstaande rechthoekszijde bijvoorbeeld klein is ten opzichte van de schuine zijde, dan is
α natuurlijk niet zo groot. Maar als de overstaande zijde groot is ten opzichte van de schuine zijde,
dan is α juist groot. Als de aanliggende rechthoekszijde klein is ten opzichte van de schuine zijde ,
dan is α ook groot. De twee hier beschreven verhoudingen worden de sinus en de cosinus van een
hoek genoemd.
graden
overstaande
rechthoekszijde
aanliggende
rechthoekszijde
schuine zijde
sinus
cosinus
Figuur E.16
schuine zijde
overstaande zijde
α
aanliggende zijde
sin α =
overstaande rechthoekszijde
schuine zijde
cos α =
aanliggende rechthoekszijde
schuine zijde
Opmerking 3:
Een derde verhouding is de tangens (afkorting: tan)
tangens
overstaande rechthoekszijde
tan α =
aanliggende rechthoekszijde
Dat is in zekere zin een oude bekende: de helling van een lijn (hier de schuine zijde van de driehoek) is de tangens van de hoek tussen die lijn en de horizontale as (hier de aanliggende rechthoekszijde) (→ Wiswijs, paragraaf 6.2).
Opmerking 4:
De sinus en de cosinus zijn in de vorige paragraaf op een heel andere manier gedefinieerd. Aan het
eind van deze paragraaf zul je zien wat het verband is tussen deze verschillende definities.
Pas op
Wat de overstaande rechthoekszijde en wat de
aanliggende rechthoekszijde is, hangt af van de
hoek waarvandaan je ‘kijkt’.
Bovendien kan de schuine zijde zoals je hiernaast ziet op papier best horizontaal lopen.
overstaande zijde
aanliggende zijde
α
schuine zijde
15
E.4. Sinus, cosinus en hoeken
Als je van een rechthoekige driehoek de lengte van de zijden weet, kun je nu de sinus en de cosinus van de twee niet rechte hoeken bepalen.
Voorbeeld 7:
Figuur E.17
β
17
5
15
17
cos α =
8
17
cos β =
5
6
=
1
6
√
11
6
α
15
sin α =
sin β =
√
11
6
8
√
11
In bovenstaand voorbeeld zijn de lengtes van alle drie de zijden gegeven. Je hebt eigenlijk voldoende aan twee van die lengtes, omdat in een rechthoekige driehoek de stelling van Pythagoras
geldt, waarmee je de lengte van de derde zijde kunt uitrekenen.
stelling van
Pythagoras
Eigenschap
In een rechthoekige driehoek geldt:
(overstaande rechthoekszijde)2 + (aanliggende rechthoekszijde)2 = (schuine zijde)2
Opmerking 5:
De overstaande rechthoekszijde van hoek α wordt vaak aangeduid met a, de aanliggende rechthoekszijde met b en de schuine zijde met c.
In deze notatie luidt de stelling van Pythagoras: a2 + b2 = c2 .
Voorbeeld 8:
C
5
C
AB2 + AC 2 = BC 2
BC 2 = √16 + 49 = 65
BC = 65
4
A
→ opgave 13
7
B
A
4
B
AB2 + BC 2 = AC 2
BC 2 = 25 − 16 = 9
√
BC = 9 = 3
Figuur E.18
16
E. Appendix Goniometrie
Voor een aantal hoeken is het mogelijk om de sinus en de cosinus te bepalen door gebruik te maken van de eigenschappen van rechthoekige driehoeken waar die hoeken in zitten. In de volgende
twee subparagrafen worden zo de sinus en de cosinus van 30◦ , 45◦ en 60◦ bepaald. In de derde
subparagraaf worden de sinus en de cosinus van 0◦ en van 90◦ behandeld.
Tot slot komt er zoals gezegd nog een subparagraaf die de relatie legt tussen de meetkundige definitie van sinus en cosinus in deze paragraaf en de definitie met behulp van de eenheidscirkel uit
E.3.
E.4.1 De 30-60-90 driehoek
→ opgave 14
Hiernaast zie je een driehoek met hoeken α = 30◦ en β = 60◦ .
De derde hoek is dus een rechte hoek van 90◦ .
De verhoudingen tussen de zijden in zo’n driehoek heb je berekend in opgave 14.
√
a 3
a
β
α
2a
Als bijvoorbeeld de overstaande zijde gelijk
√ is aan
√ a = 5,
dan is de aanliggende zijde gelijk aan a 3 = 5 3
en is de schuine zijde gelijk aan 2a = 10.
Nu volgt:
a
sin 30 =
=1
2a 2
√
a 3
◦
cos 30 =
=
2a
√
a 3
sin 60 =
=
2a
◦
◦
1
2
√
3
cos 60◦ =
a
=
2a
1
2
√
3
1
2
E.4.2 De 45-45-90 driehoek
→ opgave 15
De driehoek hiernaast heeft twee hoeken van 45◦ , α en β.
De derde hoek is dus een rechte hoek van 90◦ .
De verhoudingen tussen de zijden in zo’n driehoek heb je berekend in opgave 15.
Hieruit volgt:
a
√ =
a 2
a
cos 45◦ = √ =
a 2
sin 45◦ =
√
1
√ = 12 2
2
√
1
√ = 12 2
2
(→ Wiswijs, bladzijde 17, opgave 19a)
a
α
a
β
√
a 2
17
E.4. Sinus, cosinus en hoeken
E.4.3 De (co)sinus van hoeken van 0◦ en 90◦
Wat is de (co)sinus van een hoek van 0◦ of 90◦ ?
In beide gevallen is er een probleem met de definitie. Als een hoek in een driehoek echt 0◦ zou zijn, dan
zouden twee zijden samenvallen. Toch kun je je wel
voorstellen wat de (co)sinus van 0◦ is, als je in gedachten een hoek van bijna 0◦ steeds kleiner maakt.
sin 0◦ =
overstaande rechthoekszijde
=0
schuine zijde
cos 0◦ =
aanliggende rechthoekszijde
=1
schuine zijde
α
α steeds kleiner
Een hoek van 90◦ past niet in een driehoek waar al een rechte hoek
in zit. Ook hier kun je je wel voorstellen wat er gebeurt als je een
hoek van bijna 90◦ steeds dichter naar 90◦ laat naderen.
sin 90◦ =
overstaande rechthoekszijde
=1
schuine zijde
cos 90◦ =
aanliggende rechthoekszijde
=0
schuine zijde
α
α steeds dichter bij 90 graden
In de tabel hieronder staan de resultaten tot nu toe samengevat.
hoek
0◦
sinus
0
cosinus
1
30◦
1
2
√
1
2
3
45◦
√
1
2 2
√
1
2 2
60◦
√
1
2 3
90◦
1
2
0
1
18
E. Appendix Goniometrie
E.4.4 De twee verschillende definities van sinus en cosinus
Hoe hangt de meetkundige definitie uit deze paragraaf nu samen met de definitie van sinus en cosinus, zoals we die uit paragraaf E.3 kennen? Daar wonden we een getallenlijn om de eenheidscirkel
(cirkel met straal 1). Op die manier krijg je de sinus en de cosinus als coördinaten van een punt.
In de eenheidscirkel hiernaast hoort punt P bij het getal 31 π.
Als je vanuit O(0,0) een straal naar punt P trekt, dan maakt die
een hoek α met de horizontale as.
Aangezien bij π, een half rondje, een hoek van 180◦ hoort, is de
hoek die bij 31 π hoort gelijk aan 13 × 180◦ = 60◦ .
Dus geldt: α = 60◦ .
P ( 13 π)
•
1
O
yP
α
xP
Op deze manier hoort bij ieder getal t een hoek α die aangeeft
hoe ver je moet draaien bij het opwinden van de eenheidscirkel.
Als deze hoek tussen 0◦ en 90◦ ligt, kun je de (co)sinus nu op
twee manieren bepalen:
– Teken het getal t op de eenheidscirkel, zoals hierboven gedaan is voor t = 13 π.
Dan geldt volgens de definitie op bladzijde 9: sin t = yP en cos t = xP .
– Teken de hoek α als hoek van een rechthoekige driehoek met schuine zijde 1, zoals hierboven gedaan is voor α = 60◦ .
xP
yP
= yP en cos α =
= xP
Volgens de definitie op bladzijde 14 geldt dan: sin α =
1
1
Op beide manieren krijg je dus precies dezelfde uitkomst!
Voor α = 60◦ , ofwel t = 31 π heb je in subparagraaf E.4.1 gezien:
√
sin 60◦ = 12 3 en cos 60◦ = 12
Hiermee volgt, zoals op bladzijde 8 al was verkondigd, sin 13 π =
1
2
√
3 en cos 13 π = 12 .
→ opgave 16
Opmerking 6:
Bij een hoek van 60◦ hoort dus het getal 13 π, en zo hoort bij iedere hoek een getal. Dat getal wordt
ook gebruikt om de grootte van de hoek aan te geven. De eenheid waarin de hoek dan wordt uitgedrukt heet radiaal, afgekort rad . Zo is 60◦ hetzelfde als 31 π rad en is 180◦ hetzelfde als π rad.
Daarom moest in paragraaf E.3 (zie bladzijde 11) de rekenmachine op RAD staan.
radiaal
rad
E.5. Formules van het type y = a sin b(t + c) + d
19
E.5 Formules van het type y = a sin b(t + c) + d
De meest eenvoudige formule voor een sinus-functie is gewoon y = sin t. Wil je periodieke verschijnselen als eb en vloed met een sinus beschrijven, dan heb je meestal ingewikkelder formules nodig, bijvoorbeeld h = 1,4 · sin 0,5t. In deze paragraaf bekijken we formules van de vorm
y = a sin b(t + c) + d. Met dit bouwschema kunnen alle grafieken worden beschreven die de vorm
hebben van de gewone sinus-grafiek, maar dan verschoven en/of opgerekt of ingekrompen. Zo’n
grafiek wordt een sinusoı̈de genoemd.
Hieronder wordt bekeken wat de invloed is van de waarden van a, b, c en d op de grafiek die bij
zo’n formule hoort. Wat gebeurt er als je op de plaats van deze letters getallen gaat invullen? We
bekijken eerst de invloed van alle letters afzonderlijk, te beginnen met d (dan is dus a = 1, b = 1
en c = 0).
sinusoı̈de
E.5.1 Formules van het type y = sin t + d
→ opgave 17
Als je twee functies bij elkaar optelt, dan krijg je de grafiek van de somfunctie door de grafieken
op elkaar te stapelen.
Als een van beide functies een constante functie is, dan betekent het dat de grafiek van de andere
functie verticaal wordt verschoven. Dus de grafiek die hoort bij de functie y = sin t+d is de gewone
sinusgrafiek, maar dan verticaal verschoven. Of dat naar boven of naar beneden is hangt af van de
waarde van d. De sinusgrafiek slingert niet langer rond de t-as, maar rond een horizontale lijn met
de formule y = d. Anders gezegd, de evenwichtswaarde is nu niet y = 0, maar y = d.
evenwichtswaarde
Voorbeeld 9:
y
Figuur E.19
3
De grafiek van
y = sin t + 2
y = sin t + 2
2
1
y = sin t
1
π
2
3π
t
−1
Eigenschap
De grafiek die hoort bij y = sin t + d krijg je door die van y = sin t verticaal te verschuiven.
Als d > 0, dan is de verschuiving omhoog, is d < 0, dan is de verschuiving omlaag.
De grafiek slingert rond de lijn met vergelijking y = d.
Opmerking 7:
De formule y = 2 + sin t geeft dezelfde functie als y = sin t + 2, vanwege de wisseleigenschap van
de optelling.
→ opgave 18
20
E. Appendix Goniometrie
E.5.2 Formules van het type y = a sin t
Wat is de grafiek die hoort bij de formule y = 2 sin t (dit betekent 2 · sin t)?
De y-waarden die horen bij 2 sin t zijn 2 maal groter dan die van sin t. Had sin t bijvoorbeeld als
maximum de waarde 1, bij 2 sin t is dat 2. De waarden 0 blijven echter 0, omdat 2 × 0 nu eenmaal
ook 0 is. Dit heeft tot gevolg dat de grafiek van y = 2 sin t een verticaal opgerekte sin t-grafiek is.
y
Figuur E.20
De grafiek van
y = 2 sin t
2
y = 2 sin t
1
y = sin t
1
π
2
t
4π
−1
−2
→ opgave 19
Eigenschap
De grafiek die hoort bij y = a sin t krijg je door die van y = sin t verticaal op te rekken (a > 1),
dan wel in te krimpen (a < 1).
Hierboven is stilzwijgend aangenomen dat a positief was. Is a echter negatief, dan gebeurt er nog
iets extra’s.
→ opgave 20
Als a negatief is, dan is er behalve van een verticale oprekking of inkrimping ook sprake van een
verticale spiegeling. Wat boven de t-as zat komt eronder en wat eronder zat komt erboven.
De waarde van |a|, de absolute waarde van a (→ Wiswijs, bladzijde 208, opgave 17),
wordt amplitude genoemd. Het is de maximale uitwijking vanuit de evenwichtswaarde.
amplitude
E.5. Formules van het type y = a sin b(t + c) + d
21
E.5.3 Formules van het type y = sin bt
Om een idee te krijgen van de grafiek die hoort bij y = sin 2t, kun je een tabel maken van sin 2t
voor een aantal waarden van t. Om het verband met de grafiek van y = sin t te leggen, kun je de
waarden van sin t ook in deze tabel zetten.
Pas op
sin 2t is iets anders als 2 sin t.
Bij 2 sin t bereken je eerst de sinus van een getal en vermenigvuldig je de uitkomst met 2. Bij sin 2t
vermenigvuldig je t eerst met 2 en bereken je van de uitkomst de sinus.
→ opgave 21
sin t
0
1
6π
1
2
2t
0
1
3π
t
sin 2t
0
0
√
1
2
3
1
4π
1
3π
√
1
2 2
√
1
2 3
1
2π
2
3π
1
√
1
2 3
1
2π
1
π
0
2
3π
√
1
2
3
1 31 π
√
− 21 3
3
4π
√
1
2
2
1 12 π
−1
5
6π
1
2
π
1 12 π
0
1 41 π
√
− 12 2
1 32 π
√
− 12 3
2π
−1
1 43 π
√
− 12 2
2π
2 21 π
3π
3 21 π
4π
0
1
0
−1
0
0
Uit de tabel blijkt dat sin 2t dezelfde waarden aanneemt als sin t, alleen voor andere waarden van
t. Dat is niet zo verwonderlijk, want om achter het sinus-symbool bijvoorbeeld de waarde 21 π te
1
krijgen - en daarmee de waarde 1 voor de formule - moeten we in sin t gewoon
√ 2 π invullen. Maar
1
1
1
1
1
1
in sin 2t moet t dan 2 π : 2 = 4 π zijn (2 × 4 π = 2 π). En als je sin 3 π = 2 3 als uitkomst wilt
hebben, dan moet je in sin 2t invullen t = 61 π.
Als je de variabele t ziet als de tijd - en in veel toepassingen gaat het echt om de tijd (de waterstand
als functie van het tijdstip op de dag) -, dan zou je kunnen zeggen dat sin 2t tweemaal zo snel op
en neer gaat als sin t. Dat heeft consequenties voor de grafiek: de grafiek van sin 2t slingert tweemaal zo snel rond de evenwichtswaarde en heeft dus een tweemaal zo kleine periode als sin t. De
periode van sin 2t is dus gelijk aan π.
y
1
De grafiek van
y = sin 2t
2π
−2π
y = sin t
→ opgave 22
Figuur E.21
y = sin 2t
t
22
E. Appendix Goniometrie
De grafiek van y = sin 3t loopt driemaal zo hard als de grafiek van y = sin t. In één periode van
sin t slingert de grafiek van sin 3t dus drie keer rond de evenwichtswaarde. De periode van sin 3t is
2π 2
dus
= 3 π.
3
De grafiek van y = sin 31 t loopt daarentegen driemaal zo langzaam als die van y = sin t. De periode
2π
is 3 × 2π (of: 1 ) = 6π. Deze grafiek is juist (horizontaal) uitgerekt.
3
Eigenschap
In het algemeen is de periode van de functie met formule y = sin bt gelijk aan
2π
.
b
Hiervoor had je een formule en daarbij tekende je de grafiek.
Omgekeerd kun je ook bij dit soort sinusoı̈den een bijbehorende formule opstellen.
Voorbeeld 10:
y
Figuur E.22
1
1
π
2
π
1 12 π
2π
t
−1
De grafiek is een (horizontaal) ingedrukte sinusgrafiek. Er gaat anderhalve slinger in een stukje
van 2π, dus de periode is 23 deel van 2π, ofwel 1 13 π.
Uit de formule periode =
2π
2π
volgt nu
= 1 31 π.
b
b
Hieraan voldoet b = 1 12 .
De formule is dan y = sin 1 12 t
→ opgave 23
E.5. Formules van het type y = a sin b(t + c) + d
23
E.5.4 Formules van het type y = sin(t + c)
Om een idee te krijgen van de grafiek die hoort bij y = sin(t + 13 π), kun je weer een tabel maken
van sin(t + 13 π) voor een aantal waarden van t. Om het verband met de grafiek van y = sin t te
leggen, kun je de waarden van sin t ook in deze tabel zetten.
→ opgave 24
− 16 π
0
sin t
− 13 π
√
− 12 3
− 12
0
1
6π
1
2
t + 13 π
0
1
3π
1
2π
sin(t + 13 π)
0
1
6π
1
2
t
√
1
2
3
1
1
3π
1
2
√
3
2
3π
√
1
2
3
1
2π
1
5
6π
1
2
2
3π
1
2
5
6π
1
2
π
1 16 π
0
− 12
π
1 61 π
1 12 π
0
− 21
1 31 π
√
− 12 3
√
3
−1
Je ziet dat sin(t + 13 π) dezelfde waarden als sin t doorloopt, alleen voor andere waarden van t.
sin(t + 13 π) is bijvoorbeeld gelijk aan 1 voor t = 16 π, terwijl sin t = 1 voor t = 12 π.
Evenzo geldt sin(t + 31 π) = 12 voor t = − 61 π, terwijl sin t = 12 voor t = 61 π.
Als je de grafieken van y = sin t en y = sin(t + 13 π) in één figuur tekent, zie je dat je de grafiek van
y = sin(t+ 13 π) krijgt door de grafiek van y = sin t over een afstand van 13 π naar links te verschuiven.
y
Figuur E.23
De grafiek van
y = sin(t + 31 π)
1
y = sin t
y = sin(t + 13 π)
π
1
π
3
2π
t
−1
→ opgave 25
Eigenschap
De grafiek die hoort bij y = sin(t + c) krijg je door de grafiek van y = sin t horizontaal te
verschuiven. Als c < 0, dan is de verschuiving naar rechts. Is c > 0, dan is de verschuiving
naar links.
Pas op
Omdat je positieve waarden meestal associeert met rechts (op de getallenlijn), wordt hier vaak de
fout gemaakt dat als c > 0 de verschuiving naar rechts is. Het is juist het tegenovergestelde.
24
E. Appendix Goniometrie
Ook bij dit soort sinusoı̈den kun je weer een bijbehorende formule opstellen.
Voorbeeld 11:
y
Figuur E.24
1
− 12 π
1
π
2
π
1 12 π
2π
t
−1
Hier hoort de formule y = sin(t + 12 π) bij, omdat het een gewone sinus-grafiek is die 12 π naar links
is verschoven.
Maar y = sin(x − 1 12 π) mag ook en y = cos t is hier natuurlijk ook goed.
→ opgave 26
E.5.5 De gecombineerde invloed van a, b, c en d
Het soort sinus-formules dat in deze paragraaf behandeld wordt heeft als standaardvorm
y = a sin b(t + c) + d.
Voorbeeld 12:
h = 1,4 · sin 0,5t
a = 1,4, b = 0,5, c = 0, d = 0.
Voorbeeld 13:
y = sin(3x + π)
Eerst ombouwen tot de standaardvorm, dus de 3 buiten haakjes halen!
sin(3x + π) = sin 3(x + 13 π)
a = 1, b = 3, c = 13 π, d = 0.
Pas op
Bij het bepalen van de waarde van c kun je in de fout gaan. Je moet, zoals in het bovenstaande
voorbeeld staat aangegeven, de b eerst buiten haakjes halen (standaardvorm). Pas dan kun je de
waarde van c aflezen.
→ opgave 27
E.5. Formules van het type y = a sin b(t + c) + d
25
Eerder in deze paragraaf bekeken we de invloed van a, b, c en d afzonderlijk. Elk had een bepaalde invloed op de grafiek van de bijbehorende functie in vergelijking tot de gewone sinus-grafiek:
horizontale (c) of verticale (d) verschuiving, horizontale (b) of verticale (a) oprekking dan wel
inkrimping.
Nu gaat het om combinaties van a, b, c en d en dus gecombineerde invloeden. Ook al laat je het
tekenen van nette grafieken tegenwoordig vaak aan een computer over, het is wel nuttig om een
grafiek van zulke periodieke functies te kunnen schetsen.
Voorbeeld 14:
Hoe teken je de grafiek die hoort bij y = sin 4(t + 13 π)?
Vergelijk met de gewone sinus-grafiek (y = sin t).
Hiervan loopt een ‘standaardslinger’ van 0 tot 2π.
Voor één standaardslinger van y = sin 4(t + 13 π) moet wat hier achter sin staat van 0 tot 2π lopen:
4(t + 31 π) = 0 geeft t = − 13 π
4(t + 13 π) = 2π geeft t + 31 π = 12 π ⇔ t = − 31 π + 12 π (= 16 π)
De standaardslinger begint dus bij t = − 31 π en is dus t.o.v. y = sin t over een afstand 13 π naar links
verschoven.
Bij t = − 13 π + 12 π eindigt hij. De lengte van de standaardslinger, de periode, is dus 12 π.
2π 2π
=
b
4
Omdat a = 1 en d = 0 blijft de grafiek, net als de gewone sinus-grafiek, rond de t-as slingeren
tussen de waarden −1 en 1.
Dit is in overeenstemming met de eigenschap op bladzijde 22: periode =
y
In de figuur hiernaast zie je de grafieken van
y = sin t en y = sin 4(t + 13 π) met als domein
het interval [−π,π].
De grafiek van y = sin 4(t + 31 π) is vetgedrukt
voor de ‘slinger’ tussen − 61 π en 13 π.
1
−π
− 12 π
1
π
2
−1
π
t
26
E. Appendix Goniometrie
Voorbeeld 15:
Hoe schets je de grafiek die hoort bij y = −3 · sin 2(t − 13 π) + 6?
Begin standaardslinger: 2(t − 31 π) = 0 ⇔ t = 13 π
Eind standaardslinger: 2(t − 13 π) = 2π ⇔ t − 13 π = π ⇔ t = 31 π + π (= 1 13 π)
De periode is dus π en de grafiek is t.o.v. de gewone sinus-grafiek met 31 π naar rechts verschoven.
De grafiek slingert tussen a · 1 + d en a · −1 + d, dus tussen de 3 en de 9.
De evenwichtswaarde is y = 6.
Omdat a < 0, is de grafiek in verticale richting gespiegeld om de evenwichtswaarde en gaat deze
na het beginpunt ( 31 π,6 dus eerst naar beneden.
y
Figuur E.25
y=
−3 sin 2(t − 13 π) + 6
9
8
amplitude
7
evenwichtswaarde
y=6
6
5
4
3
2
1
−π
→ opgave 28
1
π
3
1 13 π
2π
t
E.5. Formules van het type y = a sin b(t + c) + d
27
Omgekeerd kun je bij een bepaalde sinusoı̈de door analyse een formule bedenken.
Voorbeeld 16:
y
Figuur E.26
4
3
•
S
2
1
−π
1
π
2
1 14 π
2π
3π
t
– Lees uit de figuur het verschil tussen maximum en minimum af. De amplitude a is de helft
4−1
hiervan: a =
= 1 21
2
– De evenwichtswaarde is y = 2 12 (het gemiddelde van maximum en minimum), dus d = 2 12 .
– De periode wordt bepaald door de horizontale afstand tussen twee soortgelijke punten op de
grafiek, bijvoorbeeld de twee opeenvolgende minima voor t = 12 π en t = 2π. De periode is
2π
dus 1 21 π. Dit betekent dat
= 1 21 π ⇔ b = 2 : 1 12 = 2 × 32 = 43 .
b
– Het punt waar de sinuoı̈de ‘voor het eerst’ door de evenwichtswaarde omhoog gaat (S ) ligt
halverwege het minimum voor t = 21 π en het maximum voor t = 1 14 π en heeft dus als tcoördinaat 87 π. Dat betekent dat de grafiek 78 π naar rechts is verschoven t.o.v. de gewone
sinus-grafiek: c = 87 π.
Conclusie: de formule bij de bovenstaande grafiek is y = 1 12 · sin 34 (t − 78 π) + 2 21 .
Opmerking 8:
De formule die hierboven staat is niet de enige die bij de grafiek past. Er zijn er wel meer. Zo kun
je bij c rustig de periode (1 12 π), of een veelvoud daarvan, optellen of aftrekken. En je kunt ook
wel met a = −1 12 (dus inclusief een verticale spiegeling) uit de voeten, maar dat levert weer een
andere waarde voor c op. Het is ook mogelijk de grafiek met een cosinus-formule te beschrijven
(zie verder hieronder).
→ opgave 29 en 30
28
E. Appendix Goniometrie
Tot nu toe hebben we ons steeds beperkt tot sinus-formules. Maar in formules komt ook wel eens
een cosinus voor. Hoe schets je in zo’n geval de bijbehorende grafiek?
Voorbeeld 17:
Schets de grafiek die hoort bij y = cos 21 (t − 1).
De standaardslinger van een gewone cosinus-grafiek (y = cos t) lijkt op een kuil die ‘begint’ bij
t = 0 en ‘eindigt’ bij t = 2π (→ bladzijde 13 van deze syllabus).
De ‘kuil’ die hoort bij y = cos 12 (t − 1) ‘begint’ als 21 (t − 1) = 0, ofwel als t = 1, en ‘eindigt’ als
1
2 (t − 1) = 2π, ofwel als t = 1 + 4π.
2π
2π
De grafiek heeft dus een periode 4π (
= 1 = 2π × 2 = 4π) en is 1 naar rechts verschoven ten
b
2
opzichte van de gewone cosinus-grafiek. De amplitude blijft 1 en er is geen verticale verschuiving.
Dit geeft de onderstaande grafiek.
y
1
−π
Figuur E.27
y = cos 12 (t − 1)
•
1
π
2
1
π
2π
3π
t
−1
→ opgave 31
Je kunt, omgekeerd, ook weer een cosinus-formule bedenken bij een bepaalde sinusoı̈de. Dat is
vooral makkelijk als de t-coördinaten van de minima en/of maxima makkelijk zijn af te lezen.
Voorbeeld 18:
y
Figuur E.28
24
10
1
π
4
2π
t
– Minimumwaarde: 10; maximumwaarde: 24.
24 − 10
24 + 10
Amplitude: a =
= 7; evenwichtswaarde: d =
= 17.
2
2
– De periode is de afstand tussen de minima, dat is 2π − 41 π = 1 34 π.
2π 7
Dit geeft
= 4 π ⇔ b = 2 : 74 = 2 × 47 = 87 = 1 71
b
– Het hoogste punt van de grafiek (= het startpunt van de cosinus-slinger) ligt halverwege 14 π
en 2π, dat is bij t = 1 18 π. De grafiek is t.o.v. de gewone cosinus-grafiek met 1 18 π naar rechts
verschoven. Dit geeft c = −1 81
Een formule is y = 7 cos 1 17 (t − 1 81 π) + 17.
E.5. Formules van het type y = a sin b(t + c) + d
29
→ opgave 32
Opmerking 9:
Meestal zijn de grafieken waarbij je een formule moet vinden niet zo netjes als hiervoor. Het gaat
bijvoorbeeld om meetgegevens, zoals in het geval van de eb en vloed in de Westerschelde uit paragraaf E.2.
Hieronder zie je een vergroting van deze grafiek.
Deze grafiek wordt benaderd door de onderstaande (co)sinusgrafiek.
Ga zelf na dat de cosinus-formule bij deze grafiek gegeven wordt door h = 1,9 · cos 0,5060t en
dat de sinus-formule gegeven wordt door h = 1,9 · sin 0,5060(t − 9,3125).
Figuur E.29
h
2
1
6u.12,5min.
0
−1
−2
18u.37,5min.
12u.25min.
t
24u.50min.
30
E. Appendix Goniometrie
E.6 Opgaven
1
Bepaal de periode van de functies in de volgende grafieken.
Volt
20
0
−20
5
10
Volt
20
0
−20
t
15
5
10
15
t
6
5
4
3
2
1
−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2
t
Teken een eenheidscirkel met als eenheid 3 cm. Stel je een getallenlijn voor met dezelfde eenheid.
a Teken de getallen 13 π, π, 1 16 π en 2 12 π als punten op de eenheidscirkel.
b Teken de getallen −1 12 π, − 34 π en −2 23 π ook op de cirkel.
c Probeer zo precies mogelijk de plaats van de getallen −2, −1, 1, 2 en 3 op de cirkel aan te
geven.
3
Noem bij de punten E, F, G en H in de cirkel hieronder drie van de getallen die erbij horen.
M
D
N
E
•
C
•
•
L
•
•
•
B
•
K
•
P
•
•
F
•
•
•
Q
•
•
•
G
A
S
H
R
4
Geef met de k-notatie aan welke getallen bij de punten C, N, Q, D en H uit de cirkel hierboven
horen.
5
Bepaal met behulp van schetsjes in de eenheidscirkel de coördinaten van de punten die horen
bij de volgende getallen. Gebruik daarbij de onderstaande tabel.
getal
0
punt
(1,0)
1
6π
√
( 12 3, 12 )
1
4π
√
( 12 2, 12
a − 12 π
d − 61 π
b 1 12 π
e
c 3π
f
2
3π
3
4π
√
2)
1
3π
√
( 12 , 12 3)
1
2π
(0,1)
g 1 23 π
j
−1 34 π
h 1 16 π
k
25
6 π
76 12 π
i
−1 12 π
l
31
E.6. Opgaven
6
7
Bepaal de volgende sinussen en cosinussen. Gebruik de tabel uit opgave 5.
a sin(− 12 π)
d sin(− 61 π)
g sin 1 32 π
j
b sin 1 21 π
e cos 23 π
h cos 1 61 π
k sin
c cos 3π
f
i
cos(−1 12 π)
l
25
6 π
sin 76 12 π
Bepaal met je rekenmachine
b sin 21 π
a sin 4
8
sin 43 π
cos(−1 34 π)
c sin 23 π
a Waarom is f : t → sin t een functie?
b Wat is het domein van de functie f : t → sin t?
c Wat is het bereik van de functie f : t → sin t?
d Als het domein tot [−2π,3π] wordt beperkt, voor welke waarden van t geldt dan sin t = 1?
e Als het domein tot [−2π,3π] wordt beperkt, voor welke waarden van t geldt dan sin t = 0?
9
Gegeven is de functie f met f (t) = sin t en domein [0,4π].
a Teken de grafiek van f .
b Geef aan hoe uit de grafiek de waarden van t zijn af te lezen waarvoor geldt: sin t = −1.
c Geef aan hoe uit de grafiek de waarden van t zijn af te lezen waarvoor geldt: sin t =
1
2
√
3.
10 Gegeven is de functie f met f (t) = sin t en domein [−2π,2π].
a Teken de grafiek van f .
b Voor welke waarden van t geldt sin t = − 12
√
√
1
c Voor welke waarden van t geldt sin t ≤ − 2
2?
2?
11 Gegeven is de functie f met f (t) = sin t en domein [− 21 π,1 12 π].
a Teken de grafiek van f .
b Los op: sin t = − 21
√
3
c Los op: sin t ≥ 1
12 Gegeven de functie f met f (t) = cos t en domein [−π,2π].
a Vul de volgende tabel in.
t
−π
− 12 π
0
1
4π
1
3π
1
2π
2
3π
3
4π
π
1 21 π
2π
cos t
b Teken een assenstelsel. Kies de horizontale schaal zó dat π overeenkomt met 3 cm. Teken
de punten uit de tabel en verbind ze door een vloeiende kromme.
c Schets de grafiek van f als het domein [23π,27π] is.
d Geef het bereik van de cosinus-functie.
32
E. Appendix Goniometrie
13 Bepaal in de volgende rechthoekige driehoeken de sinus en de cosinus van α en β.
B
C
B
β
β
4
5
α
α
A
4
2
C
A
14 In de figuur hieronder zie je rechthoekige driehoeken ABC en ADC met α = 30◦ , β = 60◦ en
een rechte hoek bij C. Driehoek ADB heeft drie hoeken, die alle drie 60◦ zijn.
D
β
C
a
α
β
α
A
B
a BC = a. Leg uit waarom AB = 2a.
b Bereken AC (uitgedrukt in a) met behulp van de stelling van Pythagoras.
15 In de figuur hieronder zie je de rechthoekig driehoek ABC met α = β = 45◦ en een rechte hoek
bij C.
C
a
α
A
β
B
a BC = a. Leg uit waarom AC = a.
b Bereken AB (uitgedrukt in a) met behulp van de stelling van Pythagoras.
16 a Teken een eenheidscirkel in een assenstelsel en geef het punt P aan dat hoort bij het getal
1
6 π.
Teken de straal naar P. Welke hoek maakt deze straal met de horizontale as?
Wat weet je nu over sin 16 π en cos 16 π?
b Doe hetzelfde met de getallen 0, 14 π en 12 π.
17 Schets de grafiek die hoort bij de formule y = sin t + 2.
33
E.6. Opgaven
18 a Schets de grafiek die hoort bij de formule y = sin t − 3.
b Schets de grafiek die hoort bij de formule y = − 12 + sin t.
19 Schets de grafiek die hoort bij de formule y =
1
2
sin t.
20 Schets de grafiek die hoort bij de formule y = −2 sin t.
21 a Vul de tabel in.
t
0
1
4π
1
2π
3
4π
π
1 14 π
1 21 π
1 43 π
2π
2 14 π
sin t
sin 2t
b Teken de grafieken van y = sin t en y = sin 2t in één assenstelsel.
c Hoe groot is de periode van de grafiek van y = sin 2t?
d Hoe kun je de grafiek van y = sin 2t uit die van y = sin t krijgen?
22 Gegeven f (t) = sin t, g(t) = sin 3t en h(t) = sin 13 t.
a Teken de drie grafieken in één assenstelsel.
b Bepaal van elk van de drie functies de periode.
23 Stel bij de volgende sinusoı̈den een bijbehorende formule op.
y
1
a
− 12 π
1
π
2
π
1 12 π
2π
t
−1
y
1
b
−π
1
π
2
−1
2π
4π
t
34
E. Appendix Goniometrie
24 a Vul de tabel in.
− 13 π
t
− 61 π
0
1
6π
1
3π
1
2π
2
3π
5
6π
π
1 61 π
sin t
sin(t + 13 π)
b Teken de grafieken van y = sin t en y = sin(t + 31 π) in één assenstelsel.
c Over welke afstand en in welke richting moet de grafiek van y = sin t verschoven worden
om die van y = sin(t + 13 π) te krijgen?
25 Gegeven de functies f (t) = sin t en g(t) = sin(t − 41 π).
a Bereken een aantal punten en teken de grafieken van f en g.
b Over welke afstand en in welke richting moet de grafiek van f verschoven worden om die
van g te krijgen?
26 Geef van de volgende grafieken bijbehorende sinus-formules.
y
1
a
− 12 π
1
π
2
π
1 12 π
2π
π
1 12 π
2π
t
−1
y
1
b
− 12 π
1
π
2
t
−1
27 Bepaal bij de standaardvorm a sin b(t + c) + d de waarden van a, b, c en d in de volgende
formules.
a sin 2(t + 12 π)
d sin 12 π(t + 1)
b sin(3t + π)
e 2 sin(t + 12 π) + 1
c − sin 12 (t + 31 π)
f
−2 + 1 12 sin 32 πt
28 Beschrijf hoe je de grafieken die bij de volgende formules horen kunt tekenen en schets deze
grafieken.
a y = sin 2(t + 12 π)
d y = sin 12 π(t + 1)
b y = sin(3t + π)
e y = 2 sin(t + 12 π) + 1
c y = − sin 12 (t + 31 π)
f
y = −2 + 1 12 sin 32 πt
35
E.6. Opgaven
29 Stel sinus-formules op die bij de volgende grafieken horen.
y
2
a
π
−π
2π
3π
4π
t
−1
−2
y
2
1
b
−π
π
2π
3π
4π
2
4
6
8
t
−1
−2
y
3
2
1
c
−2
−1
−3
t
36
E. Appendix Goniometrie
30 Stel eveneens sinus-formules bij de volgende grafieken.
y
3
a
− 14 π
π
1
π
4
2π
t
−3
y
1
2
b
− 13 π
1
π
3
2
π
3
4
8
π
1 13 π
12
16
t
− 12
y
10
7
c
4
−4
t
31 Beschrijf hoe je de grafieken die bij de volgende formules horen kunt tekenen en schets deze
grafieken.
a y = cos(3t + π)
c y = 1 12 · cos 32 πt − 2
b y = − cos 12 (t + 13 π)
d y=1+
1
2
cos 2(t − 1)
32 Stel cosinus-formules op die bij de grafieken van opgave 29 en 30 horen.
37
E.7. Antwoorden
E.7 Antwoorden
√ 1√
2, 2 2)
√
5k ( 12 3, 12 )
5j ( 12
1 linksboven: 5
rechtsboven: 8
onder: 4
2 Zie de figuur bij opgave 3.
5l (0,1)
1
π
3
ligt op punt L;
π ligt op punt E;
1 16 π ligt op punt P;
2 12 π ligt op punt C;
−1 21 π ligt op punt C;
− 34 π ligt op punt F;
−2 23 π ligt op punt Q;
−2 ligt tussen G en Q;
−1 ligt tussen H en R;
1 ligt tussen B en L;
2 ligt tussen C en M;
3 ligt tussen E en N.
6a −1
6b −1
6c −1
6d − 12
6e − 12
√
2
√
6g − 12 3
√
6h − 12 3
6f
3 E: π, 3π, 5π, . . . ; −π, −3π, −5π, . . .
F: 1 41 π, 3 41 π, 5 41 π, . . . ; − 34 π, −2 43 π, −4 34 π, . . .
G: 1 12 π, 3 21 π, 5 12 π, . . . ; − 12 π, −2 21 π, −4 12 π, . . .
H: 1 43 π, 3 43 π, 5 34 π, . . . ; − 14 π, −2 41 π, −4 14 π, . . .
6i 0
6j
1
2
6k
1
2
4 C: 12 π + k · 2π
N: 65 π + k · 2π
Q: 1 13 π + k · 2π of − 23 π + k · 2π
D: 34 π + k · 2π
H: 1 34 π + k · 2π of − 14 π + k · 2π
1
2
√
2
6l 1
7a −0,756802495
5a (0,−1)
7b 1
√
5b (0,−1)
7c 0,866025404 of
5c (−1,0)
8a Omdat er bij elke t niet meer dan één waarde
√
3,− 12 )
√
(− 12 , 12 3)
√
√
(− 12 2, 12 2)
√
( 12 ,− 12 3)
√
(− 12 3,− 12 )
5d ( 12
5e
5f
5g
5h
3
2
van sin t hoort.
8b R
8c [−1,1]
Zie ook de uitwerking in paragraaf E.8.
8d −1 12 π, 12 π, 2 12 π
8e −2π, −π, 0, π, 2π, 3π
5i (0,1)
y
1
9
0
−1
y=
•
1
π
3
•
2
π
3
1 12 π
•
2π
•
2 13 π
•
2 23 π
3 12 π
•
4π
1
2
√
t
y = −1
3
38
E. Appendix Goniometrie
y
1
10a
•
−π
−2π
•
•
π
•
−1
t
2π
√
y = − 12 2
10b − 34 π; − 14 π; 1 14 π; 1 43 π
10c [− 34 π, − 14 π] of [1 41 π, 1 43 π]
y
•
1
11a
− 12 π
•
•
π
1 12 π
t
y = − 12
−1
√
3
11b t = − 13 π of t = 1 13 π
11c t = 12 π
− 12 π
−π
t
12a
−1
cos t
0
1
π
4
0
1
√
1
2
1
π
3
2
1
π
2
2
π
3
0
− 21
1
2
3
π
4
√
− 21 2
π
1 12 π
2π
−1
0
1
y
1•
12b
•
•
•
•
−π
•
•
•
•
π
2π
t
•
•
−1
1
12c
23π
24π
25π
26π
−1
12d [−1,1]
13 Zie ook de aanwijzingen in paragraaf E.8.
Links:
√
4
sin α = √ = 25 5
20
√
2
cos α = √ = 15 5
20
√
2
sin β = √ = 15 5
20
√
4
cos β = √ = 52 5
20
Rechts:
sin α = 35 ; cos α = 45
sin β = 45 ; cos β = 35
14a Zie paragraaf E.8.
√
14b AC = a 3 (zie ook paragraaf E.8.)
15a Zie paragraaf E.8.
√
15b AC = a 2 (zie ook paragraaf E.8.)
27π
t
39
E.7. Antwoorden
√ 1
3, 2 ) in de bovenste figuur op bladzijde 49.
De hoek van de straal met de horizontale as is 30◦ (zie ook paragraaf
E.8).
√
Hieruit volgt sin 16 π = sin 30◦ = 12 en cos 61 π = cos 30◦ = 12 3.
16a P is het punt ( 12
16b Voor 0 is P het punt (1,0) in de figuren op bladzijde 49.
De hoek van de straal met de horizontale as is 0◦ .
Hieruit volgt sin(0 rad) = sin 0◦ = 0 en cos(0 rad) = cos 0◦ = 1.
√
√
Voor 14 π is P het punt ( 21 2, 12 2) in de onderste figuur op bladzijde 49.
De hoek van de straal met de horizontale
as is 45◦ (zie ook paragraaf
E.8).
√
√
1
1
◦
Hieruit volgt sin 4 π = sin 45 = 2 2 en cos 14 π = cos 45◦ = 12 2.
Voor 12 π is P het punt (0,1) in de figuren op bladzijde 49.
De hoek van de straal met de horizontale as is 90◦ .
Hieruit volgt sin 12 π = sin 90◦ = 1 en cos 21 π = cos 90◦ = 0.
y
3
y=2
17
1
π
−π
2π
3π
4π
t
y
y = − 12 + sin t
π
−π
2π
3π
4π
t
y = − 12
18
−2
y = −3
−4
y = sin t − 3
y
1
19
π
−π
−1
2π
3π
4π
t
40
E. Appendix Goniometrie
y
2
20
π
−π
2π
3π
4π
t
−2
√
2 en sin 2t = 1 (zie ook paragraaf E.8).
De overige uitkomsten vind je in de tabel op bladzijde 21.
21a Voor t = 2 14 π geldt sin t =
1
2
21b Zie figuur E.21 op bladzijde 21.
21c π (zie ook paragraaf E.8.)
21d Door die van f (t) = sin t horizontaal in te krimpen zodat de periode gehalveerd wordt.
y
1
t
22a
−1
−π
2π
4π
6π
Dunne grafiek: f (t) = sin t,
Dikke grafiek: g(t) = sin 3t,
Gestreepte grafiek: h(t) = sin 13 t
22b
2
π;
3
6π (zie ook paragraaf E.8.)
24a Zie de tabel op bladzijde 23.
23a y = sin 21 t (zie ook paragraaf E.8.)
24b Zie figuur E.23 op bladzijde 23.
23b y = sin 4t (zie ook paragraaf E.8.)
24c De grafiek van y = sin t moet 13 π naar links
verschoven worden.
y
1
f
25a
π
−1
25b De grafiek van f moet 41 π naar rechts verschoven worden.
26a y = sin(t − 61 π) (zie ook paragraaf E.8.)
26b y = sin(t − 21 π) (zie ook paragraaf E.8.)
2π
t
g
41
E.7. Antwoorden
27a a = 1; b = 2; c = 12 π; d = 0
27d a = 1; b = 12 π; c = 1; d = 0
27b a = 1; b = 3; c = 13 π*; d = 0
27e a = 2; b = 1; c = 12 π; d = 1
* Zie ook paragraaf E.8.
27c a = −1; b =
1
;
2
c=
1
π;
3
27f a = 1 12 ; b = 32 π; c = 0; d = −2
d=0
28 Ga steeds uit van de gewone sinus-grafiek.
28a Horizontaal inkrimpen met factor 2 en 12 π naar links verschuiven.
y
1
π
−π
2π
3π
4π
3π
4π
t
−1
28b Horizontaal inkrimpen met factor 3 en 13 π naar links verschuiven.
y
1
π
−π
2π
t
−1
28c Horizontaal oprekken met factor 2;
1
π
3
naar links verschuiven en spiegelen in de t-as.
y
1
π
−π
2π
3π
4π
t
−1
28d Horizontaal inkrimpen zodat de periode 4 wordt en 1 naar links verschuiven. Zie ook paragraaf E.8.
Let op: De schaalverdeling langs de horizontale as is aangepast!
y
1
−3
3
−1
6
9
12
t
42
28e
E. Appendix Goniometrie
1
π
2
naar links verschuiven; verticaal oprekken met een factor 2 (amplitude wordt 2) en 1 naar boven
verschuiven.
y
3
2
1
π
−π
2π
3π
4π
t
−1
28f Horizontaal inkrimpen zodat de periode 3 wordt; verticaal oprekken met factor 1 12 (amplitude wordt 1 21 )
en 2 naar beneden verschuiven. Zie ook paragraaf E.8.
Let op: De schaalverdeling langs de horizontale as is aangepast!
y
−3
3
6
9
12
t
−1
−3
29 De afleiding van de formules uit opgave 29 en 30 vind je in paragraaf E.8.
Bij iedere grafiek zijn meerdere formules mogelijk, de twee of drie meest voor de hand liggende zijn
hieronder weergegeven.
29a y = −2 sin 2t
y = 2 sin 2(t + 12 π)
y = 2 sin 2(t − 12 π)
29b y = 2 sin 2(t + 14 π)
y = 2 sin 2(t − 34 π)
y = −2 sin 2(t − 14 π)
29c y = 2 12 sin 21 π · (t − 1)
y = −2 12 sin 12 π · (t + 1)
31 Ga steeds uit van de gewone cosinus-grafiek.
30a y = 3 sin(t + 41 π)
y = 3 sin(t − 1 43 π)
y = −3 sin(t − 34 π)
30b y =
1
sin 32 (t − 31 π)
2
y = − 21 sin 32 (t + 13 π)
30c y = 3 sin 81 π · (t − 4) + 7
y = −3 sin 18 π · (t + 4) + 7
43
E.7. Antwoorden
31a Horizontaal inkrimpen met een factor 3 en naar links verschuiven over 13 π (zie ook paragraaf E.8).
y
1
π
−π
2π
3π
4π
t
−1
31b Spiegelen in de t-as, horizontaal uitrekken met een factor 2 en naar links verschuiven over 13 π.
y
1
π
−π
2π
3π
4π
t
−1
31c Verticaal uitrekken met een factor 1 12 , horizontaal inkrimpen zodat de periode gelijk wordt aan 3 en 2
naar onder verschuiven (zie ook paragraaf E.8).
y
−3
3
6
9
12
t
−2
−4
31d Verticaal inkrimpen met een factor 2, horizontaal inkrimpen met een factor 2, 1 naar rechts
verschuiven en 1 omhoog verschuiven (zie ook paragraaf E.8).
y
2
1
−1
1
3
1+π
6
1 + 2π
t
32 We geven hier slechts één formule per grafiek, maar er zijn net als bij de sinus-formules in 29 en 30
iedere keer meerdere formules mogelijk. Een afleiding van de formules vind je weer in paragraaf E.8.
29a: y = 2 cos 2(t + 41 π)
30a: y = 3 cos(t − 14 π)
29b: y = 2 cos 2t
30b: y = 21 cos 32 (t − 32 π
29c: y = 2 21 cos 12 π · (t + 2)
30c: y = 3 cos 18 π · (t − 8) + 7
44
E. Appendix Goniometrie
E.8 Aanwijzingen en uitwerkingen voor een aantal opgaven
Opgave 8c
De maximale waarde van sin t is 1 voor t = 12 π, 2 12 π etc.;
de minimale waarde van sin t is −1 voor t = − 12 π, 1 21 π etc.
Opgave 13
Bereken eerst de derde zijde met de stelling van Pythagoras.
√
Links: AB2 = AC 2 + BC 2 = 22 + 42 = 20, dus AB = 20
Rechts: BC 2 = AB2 − AC 2 = 52 − 42 = 9, dus BC = 3
Verder geldt voor de de berekeningen bij de linker figuur:
√
√
2
2
1
5
5 1√
2
= 5 5
= √ = √ = √ √ =
√ = √
5
20
4·5 2 5
5
5· 5
Opgave 14a
Driehoek ADC is het spiegelbeeld van driehoek ABC, dus DC = BC = a en BD = BC + DC = 2a.
De grote driehoek ABD heeft drie gelijke hoeken, dus ook drie gelijke zijden.
Dit kun je bijvoorbeeld zien door een hulplijn te trekken van B naar E, het midden van AD. Dan krijg je de
driehoeken ABE en DBE met een rechte hoek bij E, die weer elkaars spiegelbeeld zijn.
Nu volgt AB = BC = 2a.
Opgave 14b
AC 2 + BC 2 = AB2 , dus AC 2 = AB2 − BC 2 = (2a)2 − a2 = 4a2 − a2 = 3a2 .
√
√
√
√
Dit geeft AC = 3a2 = a2 · 3 = a 3.
Opgave 15a
BC
AC
; sin β =
.
AB
AB
Omdat α = β volgt nu AC = BC = a.
sin α =
Opgave 15b
AC 2 = AB2 + BC 2 = a2 + a2 = 2a2 , dus AC =
√
√
√
√
2a2 = a2 · 2 = a 2.
Opgave 16a
1
π
6
komt overeen met een zesde deel van een halve cirkel. De hoek die erbij hoort is dus een zesde deel van
een hoek van 180◦ .
Opgave 16b
1
π
4
komt overeen met een kwart van een halve cirkel. De hoek die erbij hoort is dus een kwart van een hoek
van 180◦ .
Opgave 21a
sin 2 14 π = sin 14 π =
1
2
√
2; sin(2 × 2 14 π) = sin 4 21 π = sin 12 π = 1
Opgave 21c
De grafiek gaat stijgend door de horizontale as (= evenwichtswaarde) op t = 0 en daarna voor het eerst weer
op t = π.
E.8. Aanwijzingen en uitwerkingen voor een aantal opgaven
Opgave 22b
2π
2π 2
met b = 3 geeft: periode =
= 3 π.
b
3
2π
periode =
met b = 13 geeft: periode = 2π : 13 = 2π × 3 = 6π.
b
periode =
Opgave 23a
Uit de grafiek is af te lezen dat de halve periode gelijk is aan 2π, dus de periode is 4π.
Uit periode =
2π
2π
2π 1
volgt nu:
= 4π ⇔ b =
= .
b
b
4π 2
Opgave 23b
Er loopt een standaardslinger tussen (0,0) en ( 21 π,0), dus de periode is 12 π.
Uit periode =
2π
2π
volgt dan:
=
b
b
1
2
⇔b=2:
1
2
= 2 × 2 = 4.
Opgave 26a
In ( 16 π,0) begint een standaard sinus-slinger.
Opgave 26b
In ( 12 π,0) begint een standaard sinus-slinger.
Opgave 27b
De standaardvorm is sin 3(t + 13 π).
Opgave 28d
De periode is
2π
=2:
1
π
2
1
2
= 2 × 2 = 4.
2π
=2:
2
π
3
2
3
=2×
Opgave 28f
De periode is
3
2
= 3.
Opgave 29
In opgave 29 en 30 zoeken we telkens naar een formule van de vorm y = a sin b(x + c) + d.
45
46
E. Appendix Goniometrie
Opgave 29a
Amplitude: 2, dus a = 2 of a = −2.
Evenwichtswaarde: 0, dus d = 0.
De periode, ofwel de lengte van een standaardslinger, is π (bijvoorbeeld van t = 21 π tot t = 1 12 π).
2π
2π
volgt nu
= π ⇔ b = 2.
b
b
Met a = −2 begint er een (gespiegelde) standaardslinger op t = 0, dus c = 0.
Uit periode =
a = −2, b = 2, c = 0 en d = 0 geeft y = −2 sin 2t.
Met a = 2 begint er een standaardslinger op t = − 21 π.
De grafiek wordt dan over 21 π naar links verschoven, dus c = 12 π.
a = 2, b = 2, c = 12 π en d = 0 geeft y = 2 sin 2(t + 12 π).
Met a = 2 begint er ook een standaardslinger op t = 12 π.
De grafiek wordt dan over 21 π naar rechts verschoven, dus c = − 12 π.
a = 2, b = 2, c = − 12 π en d = 0 geeft y = 2 sin 2(t − 21 π).
Opgave 29b
Amplitude: 2, dus a = 2 of a = −2.
Evenwichtswaarde: 0, dus d = 0.
De periode, ofwel de lengte van een standaardslinger, is π (bijvoorbeeld van t = − 14 π tot t = 34 π).
Hieruit volgt net als in 29a b = 2.
Met a = 2 begint er een standaardslinger op t = − 14 π.
De grafiek wordt dan over 41 π naar links verschoven, dus c = 14 π.
a = 2, b = 2, c = 14 π en d = 0 geeft y = 2 sin 2(t + 14 π).
Met a = 2 begint er ook een standaardslinger op t = 34 π.
De grafiek wordt dan over 43 π naar rechts verschoven, dus c = − 34 π.
a = 2, b = 2, c = − 34 π en d = 0 geeft y = 2 sin 2(t − 43 π).
Met a = −2 begint er een (gespiegelde) standaardslinger op t = 14 π.
De grafiek wordt dan over 41 π naar rechts verschoven, dus c = − 14 π.
a = −2, b = 2, c = − 14 π en d = 0 geeft y = −2 sin 2(t − 14 π).
Opgave 29c
Amplitude: 2 12 , dus a = 2 12 of a = −2 21 .
Evenwichtswaarde: 0, dus d = 0.
De periode, ofwel de lengte van een standaardslinger, is 4 (bijvoorbeeld van t = 1 tot t = 5).
Uit periode =
2π
2π
volgt nu
= 4 ⇔ 4b = 2π ⇔ b = 12 π.
b
b
Met a = 2 12 begint er een standaardslinger op t = 1.
De grafiek wordt dan 1 naar rechts verschoven, dus c = −1.
a = 2 12 , b = 12 π, c = −1 en d = 0 geeft y = 2 21 sin 12 π · (t − 1).
Met a = −2 12 begint er een (gespiegelde) standaardslinger op t = −1.
De grafiek wordt dan 1 naar links verschoven, dus c = 1.
a = −2 12 , b = 12 π, c = 1 en d = 0 geeft y = −2 21 sin 21 π · (t + 1).
E.8. Aanwijzingen en uitwerkingen voor een aantal opgaven
Opgave 30a
Amplitude: 3, dus a = 3 of a = −3.
Evenwichtswaarde: 0, dus d = 0.
De periode, ofwel de lengte van een standaardslinger, is 2π
(bijvoorbeeld van t = − 41 π tot t = 1 34 π). Hieruit volgt b = 1.
Met a = 3 begint er een standaardslinger op t = − 14 π.
De grafiek wordt dan over 14 π naar links verschoven, dus c = 14 π.
a = 3, b = 1, c = 41 π en d = 0 geeft y = 3 sin(t + 41 π).
Met a = 2 begint er ook een standaardslinger op t = 1 34 π.
De grafiek wordt dan over 1 34 π naar rechts verschoven, dus c = −1 34 π
a = 3, b = 1, c = −1 43 π en d = 0 geeft y = 3 sin(t − 1 43 π).
Met a = −3 begint er een (gespiegelde) standaardslinger op t = 34 π.
De grafiek wordt dan over 34 π naar rechts verschoven, dus c = − 43 π.
a = −3, b = 1, c = − 43 π en d = 0 geeft y = −3 sin(t − 43 π).
Opgave 30b
Amplitude: 21 , dus a =
1
2
of a = − 12 .
Evenwichtswaarde: 0, dus d = 0.
De periode, ofwel de lengte van een standaardslinger, is 43 π (bijvoorbeeld van t = − 31 π tot t = π).
Uit periode =
Met a =
1
2
2π
2π 4
volgt nu
= 3π ⇔ b = 2 :
b
b
4
3
=2×
3
4
= 32 .
begint er een standaardslinger op t = 13 π.
De grafiek wordt dan over 13 π naar rechts verschoven, dus c = − 31 π.
a = 12 , b = 32 , c = − 13 π en d = 0 geeft y =
1
2
sin 23 (t − 31 π).
Met a = − 12 begint er een (gespiegelde) standaardslinger op t = − 13 π.
De grafiek wordt dan over 13 π naar links verschoven, dus c = 13 π.
a = − 21 , b = 23 , c = 13 π en d = 0 geeft y = − 21 sin 23 (t + 13 π).
Opgave 30c
De grafiek slingert tussen y = 4 en y = 10, dus de evenwichtswaarde is 7 en de amplitude (de maximale
afwijking van de evenwichtswaarde) is 3.
Dit geeft a = 3 of a = −3 en d = 7.
De periode, ofwel de lengte van een standaardslinger, is 16 (bijvoorbeeld van t = −4 tot t = 12).
2π
2π
volgt nu
= 16 ⇔ 16b = 2π ⇔ b = 18 π.
b
b
Met a = 3 begint er een standaardslinger op t = 4.
Uit periode =
De grafiek wordt dan 4 naar rechts verschoven, dus c = −4.
a = 3, b = 18 π, c = −4 en d = 7 geeft y = 3 sin 81 π · (t − 4) + 7.
Met a = −3 begint er een (gespiegelde) standaardslinger op t = −4.
De grafiek wordt dan 4 naar links verschoven, dus c = 4.
a = −3, b = 18 π, c = 4 en d = 0 geeft y = −2 sin 81 π · (t + 4) + 7.
47
48
E. Appendix Goniometrie
Opgave 31a
Bedenk dat de standaard-vorm is: y = cos 3(t + 13 π).
Opgave 31c
De periode wordt
2π
=2:
2
π
3
2
3
= 2·
3
2
= 3, de schaalverdeling van de t-as is daaraan aangepast.
Opgave 31d
Let op: de periode is π en de horizontale verschuiving is 1 naar rechts. Een standaardslinger loopt bijvoorbeeld van (1,1 21 ) tot (1 + π,1 12 ). Welke schaalverdeling je ook gebuikt, deze punten komen nooit allebei
“mooi” uit.
Opgave 32
We zoeken een formule van de vorm y = a cos b(x + c) + d.
De amplitude, evenwichtswaarde en periode zijn voor de cosinus-formule gelijk aan die voor de sinusformule, dus a, b en d zijn telkens gelijk aan de bij 29 en 30 gevonden waarden, waarbij hier bij a altijd voor
de positieve waarde is gekozen.
De standaard cosinus-slinger begint op een maximum (cos 0 = 1), dus kunnen we c bepalen door een maximum van de grafiek te kiezen dicht bij de y-as.
Bij een negatieve a of een ander maximum om c te bepalen krijg je uiteraard een andere formule.
29a: Gekozen maximum: t = − 41 π, dus c = 41 π.
29b: Gekozen maximum: t = 0, dus c = 0.
29c: Gekozen maximum: t = −2, dus c = 2.
30a: Gekozen maximum: t = 41 π, dus c = − 41 π.
30b: Gekozen maximum: t = 23 π, dus c = − 32 π.
30c: Gekozen maximum: t = 8, dus c = −8.
49
E.9. Werkblad Goniometrie
E.9 Werkblad Goniometrie
De eenheidscirkels en de tabel hieronder zijn bedoeld om je vertrouwd te maken met het werken
met sinus en cosinus.
Tip: Maak een aantal kopieën van deze bladzijde, zodat je er lekker op kunt “kladderen”.
Het is helaas niet toegestaan om dit werkblad mee te nemen bij toetsen en (CCVW-)tentamens.
y
•
1
•
•
( 12 , 12
√
3)
•
•
•
( 12
√ 1
3, 2 )
•
O
•
1
x
•
•
•
•
y
•
1
•
•
•
( 12
√
2, 12
•
O
•
1
√
2)
x
•
•
Hoek in graden
Hoek in radialen
sinus
cosinus
0
30
45
60
90
0
1
6π
1
2
1
4π
1
3π
1
2π
0
1
1
2
√
3
√
1
2
1
2
2
√
2
√
1
2
1
2
3
1
0
*
Index
aanliggende rechthoekszijde, 14
amplitude, 20
cosinus, 9, 14
eenheidscirkel, 5
evenwichtswaarde, 19
graden, 14
hypotenusa, 14
kwadrant, 8
omtrek, 5
overstaande rechthoekszijde, 14
periode, 4
periodieke functie, 4
rad, 18
radiaal, 18
schuine zijde, 14
sinus, 9, 14
sinusoı̈de, 19
stelling van Pythagoras, 15
symmetrie, 9
tangens, 14
50