Rekenen in verschillende Getalstelsels
advertisement
Science+ Rekenen in verschillende Getalstelsels Te doen: Lees de tekst aandachtig. Vanaf blz 4 kom je opdrachten tegen. Antwoorden noteer je op een los werkblad zodat het ingeleverd kan worden om nagekeken te worden. Noteer aub volledige vragen en antwoorden, schrijf leesbaar en overzichtelijk. Historische getalstelsels. Van Isaac Newton wordt wel gezegd dat hij de zwaartekracht ontdekte toen hij onder een boom zat en er een appel op zijn hoofd viel. Maar hoe zit het met getallen? Zijn die ‘ontdekt’ zoals zwaartekracht ontdekt is? Waar komen “getallen” vandaan? Voor ons zijn getallen iets vanzelfsprekends. We gebruiken ze elke dag, bewust of onbewust. We staan er letterlijk mee op en gaan er mee naar bed. De tijd op je wekker wordt met getallen aangegeven. Telefoonnummers, prijzen, schoenmaten, sportuitslagen, afstanden, paginacijfers in een boek, overal zien we getallen om ons heen. Maar de allereerste mensen hadden nog geen getallen. (Hm.. even denken hoor… was er eigenlijk wel een “allereerste” mens?) En zelfs nu nog zijn er geïsoleerd levende stammen die op dezelfde manier rekenen als veel kleuters: een, twee, veel. Leden van de Aranda-­‐stam in Australië kenden maar twee cijfers: ninta (een) en tara (twee). Voor drie gebruikten ze tara-­‐ma-­‐ninta (twee plus een), voor vier tara-­‐ma-­‐tara (twee plus twee). Voor alles wat meer dan vier was hadden ze een woord dat veel betekende. Stel je eens voor dat je alleen de getallen ‘iets’ en ‘niets’ hebt om mee te tellen. Veel wiskundig inzicht heb je daarvoor niet nodig: iets + iets = iets iets + niets = iets niets + niets = niets Een beetje ingewikkelder wordt het al met de getallen ‘niets’, ‘weinig’ en ‘veel’. Je hebt nu al zes mogelijkheden. Kijk maar naar de volgende sommen. niets + niets = niets niets + weinig = weinig niets + veel = veel veel + veel = veel weinig + veel = veel weinig + weinig = ??? Die laatste rekensom is lastig. Want heel veel keren weinig moet toch ooit een keer veel worden. Aranda-­‐stam in Australië Verder dan 10 tellen De mensheid heeft in de loop der eeuwen tal van manieren ontwikkeld om te rekenen. De oudste rekenmachine is de mensenhand. Maar daarmee kun je niet verder dan tot tien tellen. In ons spraakgebruik kennen we nog een uitdrukking die naar deze vorm van rekenen terugverwijst: ‘dat kun je op je vingers natellen’, of ‘dat kun je op twee vingers natellen’. Ons getalstelsel is gebaseerd op groepen van 10 “dingen”. We noemen het dan ook het decimale of tiendelig stelsel. Het heet ook ‘tientallig’ omdat we tien cijfers gebruiken 0,1,2,3,4,5,6,7,8 en 9. (let op: niet 1 t/m 10, maar 0 t/m 9 het getal 10 bevat de cijfers 1 en 0) Je kunt het ook tienvoudig noemen omdat je met veelvouden van tien werkt. Tien, honderd, duizend, tienduizend, honderdduizend, miljoen en zo eindeloos verder. Het getal 3287 is gelijk aan 3000 + 200 + 80 + 7, oftewel 3287 is gelijk aan 3 x (10x10x10) + 2 x (10x10) + 8 x 10 + 7. Verschillen in manieren van getallen opschrijven en uitspreken. De cijfers van 10 tot 100 worden in de meeste West-­‐Europese talen gevormd door een combinatie van de cijfers 1 tot en met 9. Bijvoorbeeld 21 (eenentwintig) is een combinatie van 1 en (2 x 10); 84 (vierentachtig) is een combinatie van 4 en (8 x 10). Alleen de cijfers tussen tien en twintig vormen daarop een uitzondering: 11 (elf) en 12 (twaalf) hebben in de Nederlandse taal geen relatie met 1 of 2 en 10. Dertien = der (afgeleid van drie) + tien) en veertien; veer (afgeleid van vier) + tien wel, en zo ook 15 t/m 19. In het Frans houdt de ‘afwijking’ pas bij 17 (dix-­‐ sept: 10+7) op kijk maar naar: onze (11), douze (12), treize (13), quatorze (14), quinze (15), seize (16). Dit is gedeeltelijk wel slechts schijn. Zo hebben wij ons woord elf in het Nederlands geleend van de Goten, waar het woord wel degelijk ”één overblijfsel van tien” 1betekende en twaalf ” twee overblijfsel van tien” betekende. Zo kan je met een beetje moeite zien dat ook die afwijkende telwoorden afstammen van een tientallig stelsel. Het Iers begint meteen bij 11 al met tien en één (a haon déag). Ook de Zulu’s in Zuid-­‐Afrika gaan zo te werk: 11 is ishumi nanye (10 + 1). En in het Japans ichi = 1, ni = 2 en Ju = 10 samen ju-­‐ichi = elf , ju-­‐ni =twaalf enzovoort 1 Zo is ook het woord onze in het Frans geleend uit het Latijn. Het komt van het woord undecim. (=één en tien) dat in de loop der eeuwen afgesleten is tot ‘onze’. Gymnasiumnovum Science+1 Opdracht 7; getalstelsels Blz 2 Het kan ook anders dan 10-­‐tallig Gebruik je ook je tenen, dan kun je al tot twintig tellen. Een aantal volken gebruikte daarom niet het tiendelig stelsel maar het twintigdelig stelsel. Onder andere de Kelten, de Maya’s en de Azteken maakten hier gebruik van. Overblijfsels van het twintigdelig stelsel vinden we ook in Europa. In het Frans wordt het getal 80 uitgesproken als quatrevingts ofwel 4 maal 20, 70 is soixante-­‐dix, drie twintigtallen plus tien. Ook de Maya’s in Zuid-­‐Amerika gebruikten het twintigdelig stelsel met een bijzondere rol voor het getal 5. Het cijfer 10 wordt weergegeven als 2 x 5. Zij kenden al wel de nul. Mayabeeld en tempels Nog meer getalstelsels: 60 tallig Het zestigdelig stelsel lijkt onhandig (je rekent immers met veelvouden van zestig) maar we gebruiken het nog elke dag bij het meten van de tijd. Een uur is opgedeeld in 60 minuten en elke minuut is weer verdeeld in 60 seconden. Ook bij hoekmetingen werken we met zestigtallen (een cirkel is onderverdeeld in 360 (6 maal 60) graden). En ook de plaatsbepaling op aarde wordt uitgedrukt in graden. De afstand van de evenaar tot de beide polen is verdeeld in negentig graden, elke graad is weer onderverdeeld in zestig minuten en die weer in zestig seconden). De ‘horizontale’ afstand wordt gemeten aan de afstand tot de nulmeridiaan die van noordpool naar zuidpool loopt via het Engelse plaatsje Greenwich. Zo ligt vliegveld Lelystad op 52o, 27' en 37" noorderbreedte (52 graden, 27 minuten en 37 seconden) en op 5o , 31' en 38" oosterlengte. Deze manier van tellen is een overblijfsel van het Babylonische 60-­‐tallig stelsel. Babylonië is het huidige Irak, en het stelsel bestaat al minstens 4000 jaar. De Babyloniërs gebruikten twee cijfers: de spijker (1) en de winkelhaak (10). Het getal 47 schreven ze als 4 winkelhaken, gevolgd door 7 spijkers. Voor het getal 60 gebruikten zij ook een spijker. Het getal 400 schreven ze dan als 6 x 60 plus 40: zes spijkers en vier winkelhaken. Omdat de Babyloniërs de nul niet kenden, was het soms niet makkelijk om uit te maken of een spijker nu 1 of 60 voorstelde. Meer dan duizend jaar later voerden zij de nul in bij hun sterrenkundige berekeningen. Zij beschouwden de hemel als een cirkel en verdeelden die in 360 graden. Zoals je al hebt gezien, gebruiken wij nog steeds regelmatig het Babylonische stelsel. Gymnasiumnovum Science+1 Opdracht 7; getalstelsels Blz 3 Opdracht-­‐1 gebruik voor deze 1e opdracht niet meer dan 20 minuten van de les, lukt het niet in 20 minuten, dan als huiswerk afmaken! Kan je zelf nog andere getallenstelsels vinden die ergens in de wereld geschiedenis voorkomen? Wie kan de bijzonderste of vreemdste of onhandigste getallenstelsels ontdekken? • Beschrijf een of meer getallenstelsel • Uit welk land, of werelddeel heb je iets gevonden? • Welke tijd in de geschiedenis? • Geef voorbeelden van hun getallen? • Wat weet je nog meer te vertellen… o o o waar werd het getalsysteem voornamelijk voor gebruikt… Bestaat het getal nul in dit systeem? Kan je rekenen (optellen vermenigvuldigen) met deze getallen? Opdracht 2, Optellen in het zestigdelig stelsel van het tijdrekenen: Een treinreis duurt 2 uur 54 minuten en 8 seconden. Het aansluitend vervoer naar huis duurt 1 uur 16 minuten en 57 seconden. Hoe lang duurt de hele reis? Antwoord 2 uur 1 uur 3 uur 54 min 16 min 70 min 8 s 57 s 65 s 2 uur 1 uur .. uur 54 min 16 min .. min 8 s 57 s .. s + Dat is natuurlijk niet goed. Als je met seconden en minuten boven de 60 uitkomt, gaan de hele minuut of het hele uur doorschuiven. Nog een keer zelf proberen. Schrijf de gehele som op. Lukt het nu? + Uren minuten seconden op de rekenmachine Misschien kan jouw rekenmachine ook rekenen in minuten en seconden. Bezit je een uitgebreide rekenmachines dan heb je waarschijnlijk die mogelijkheid. Je moet dan weten dat er voor minuten en secondes speciale symbolen zijn: de enkele en de dubbele apostrof. Zo betekent 3h 12’ 34” 3 uur (heure,hour) 12 minuten en 34 seconden. Je kunt ook deze berekeningen uitvoeren als je achter de computer zit en klikt op: http://www.onlineconversion.com/advanced_time_calculator.htm. Gymnasiumnovum Science+1 Opdracht 7; getalstelsels Blz 4 Rekenen in 60-­‐tallen met lengte en breedte graden: Rekenen in ‘vreemde’ getallenstelsels is goed mogelijk, maar je moet extra opletten omdat er andere rekenregels gelden. Als je aangeeft waar je bent op een aarde kan je coördinaten gebruiken. Als je reist van één plek op aarde naar een andere plek, dan veranderen de coördinaten. Je kunt de verplaatsing in kilometers opgeven, maar ook in graden, minuten, seconden. Bij het rekenen van coördinaten in graden, minuten, seconden let je op de volgende rekenregels: • • • • • o betekent graden. Van noord naar zuid kan dit getal nooit boven de 90 o komen (Noord of Zuidpool. Naar het Oosten of Westen kan het getal nooit boven de 180 o komen; dan passeer je de datumlijn. Reis je van Tokio, Japan naar Los Angeles USA, dan passeer je op een gegeven moment de 180o op de wereldbol. Dus je Oost-­‐coördinaat loopt eerst op tot 180o daarna wordt het getal weer kleiner en verandert van naam naar West-­‐coördinaat. ‘ betekent minuten, dit getal kan nooit boven de 60 komen. Zou je op bijvoorbeeld 65’ uitkomen, dan trek je er 60 van af en verhoog je het aantal graden met 1 graad. Dus 12 o 65’ verander je in 13 o 05’. “ betekent seconden, dit getal kan ook nooit boven de 60 komen. Zou je op bijvoorbeeld 95” uitkomen, dan trek je er 60 van af en verhoog je het aantal minuten met 1. Alle coördinaten vormen een duo; Oost-­‐west en Noord-­‐Zuid. Net zoals je bij wiskunde met x-­‐ as en y-­‐as gewerkt hebt. Bij een verplaatsing over de aardbol moet je dan ook meestal 2 coördinaten uitrekenen. (Behalve als je precies naar het Noorden, Oosten, Zuiden of Westen reist!) Wanneer moet je coördinaten optellen of aftrekken? a. Let goed op of je van de nul-­‐meridiaan afreist (getallen worden groter) b. Let op of je van de evenaar af reist getallen worden groter Gymnasiumnovum Science+1 Opdracht 7; getalstelsels Blz 5 Opdracht-­‐3: a) Om van Amsterdam naar Tokio te vliegen verplaatst een vliegtuig zich in oostelijke richting en een beetje naar het zuiden. Bereken de coördinaten van de luchthaven Narita van Tokyo Het West-­‐Oost deel van de reis gaat van de meridiaan af, dit wordt een optelsom. Het Noord Zuid deel van de reis gaat richting evenaar, dit wordt een aftreksom. Deze som staat in het werkboek Startpunt Schiphol ligt op Noord verplaatsing: Zuid Vliegveld Narita ligt op: Noord b) Dit keer bereken je niet de eind coördinaten, maar je berekent de verplaatsing in graden-­‐ minuten-­‐seconden noordelijke en westelijke richting voor de volgende reis: 52o 18’ 30” 16o 21’ 43” -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐ -­‐ Je reist naar de dam in Amsterdam coordinaat: Je begint bij GymnsiumNovum coordinaat: Oost 4o 45’ 29” Oost 135o 33’ 39” -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐ + Oost N 52o 22’ 06” N 52o 06’ 30” -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐ -­‐ Gymnasiumnovum Science+1 Opdracht 7; getalstelsels Blz 6 O 4o 53’ 24” O 4o 23’ 10” -­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐-­‐ -­‐ Opdracht-­‐4 Gebruik van graden, minuten, seconden bij hoekberekening in de meetkunde. In een driehoek geldt de regel dat alle drie de hoeken bij elkaar opgeteld op 180o uitkomt. Dus als hoek α =20o en hoek β = 90o dan moet hoek C gelijk zijn aan 180 – (20 + 90) = 70o Door een professionele landmeter worden de hoeken preciezer gemeten. Elke graad is verdeeld in minuten en seconden. Een graad bestaat dan uit 60 minuten en een minuut weer uit 60 seconden. Een landmeter die de richting van een weg wil vastleggen noteert bijvoorbeeld: 53 graden, 45 minuten en 34 seconden schrijf je dan zo: 53°45’34” Twee hoeken α en β moeten opgeteld worden α =66°45’34” β =44°18’35”. Bereken α + β Je kunt nu ook hoek C uitrekenen. Deze is namelijk: Hoek C = 180 – (uitkomst α + β ) = …. α β **Noteer de berekening met tussenstappen op het inleverblad. Gymnasiumnovum Science+1 Opdracht 7; getalstelsels Blz 7 Getallen opschrijven Een van de oudste manieren om getallen vast te leggen is het kerven van streepjes in een houten stok. Ieder streepje is een eenheid. Deze kerfstokken zijn al bekend uit de steentijd. En ze werden nog gebruikt tot in de vorige eeuw om schulden te noteren. Schuldeiser en schuldenaar hadden elk een zelfde stok. Elke schuld werd op dezelfde manier op beide stokken gekerfd om fraude tegen te gaan. Veel op zijn kerfstok hebben, betekent dus oorspronkelijk veel schulden hebben. Al iets handiger is een aanpak die nog steeds gebruikt wordt: turven. Elke eenheid koeien, zakken aardappels, dozen met dvd-­‐spelers wordt weergegeven door een verticaal streepje. Vier streepjes met een vijfde er dwars doorheen stelt een groepje van vijf eenheden voor. De Inca’s in Zuid-­‐Amerika vormden een hoog ontwikkelde beschaving, maar konden niet lezen of schrijven. Toch ontwikkelden zij een systeem om getallen te noteren. Er moest immers wel belasting geheven worden. Zij legden getallen vast door middel van knopen in een touw, quipu geheten. Ze gebruikten daarvoor een tientallig stelsel. Het getal 586 werd bijvoorbeeld als volgt genoteerd (zie hiernaast): • De 6 (eenheden) werd voorgesteld door zes knopen aan de onderkant van het touw. (eigenlijk een knoop met 6 lussen) • De 8 (tientallen) bestond uit een 8-­‐voudige knoop boven de eenheden, gescheiden door een leeg stukje. • De 5 (honderdtallen) bestond uit een knoop met 5 lussen daar weer boven, eveneens gescheiden door een leeg stukje. De getallen werden dus van boven naar beneden ‘gelezen’. Door middel van kleuren werd aangegeven waar het betreffende getal op sloeg (aantal schapen, de hoeveelheid vonnissen die een rechter per maand uitsprak, het aantal inwoners van een plaats, enzovoorts). Aan het hoofdkoord zitten dus vele dwarstouwen, ieder met een eigen kleur en betekenis. Misschien kan je zelf eens een quipu proberen… ? Als je dat leuk vindt kan je om wat dik en dun touw vragen. Gymnasiumnovum Science+1 Opdracht 7; getalstelsels Blz 8 Egypte Ook de oude Egyptenaren kenden al een tiendelig stelsel. Omdat ze de nul niet kenden, gebruikten ze voor grote getallen een symbool. Voor de cijfers 1 tot en met 9 gebruikten ze streepjes. een twee drie vier vijf zes zeven acht tien zeven honderd duizend tienduizend honderdduizend Gymnasiumnovum Science+1 Opdracht 7; getalstelsels Blz 9 een miljoen Positiestelsel en niet-­‐positiestelsels. Ons getalstelsel is een positiesysteem. Dat betekent dat de waarde van een cijfer afhangt van zijn plaats in het getal. Met de cijfers 0, 3 en 9 kun je verschillende getallen schrijven: 39 en 93, 309, 930, 390, 903. Dat was lange tijd onmogelijk omdat er geen symbool voor 0 bestond. Men moest het doen met het Romeinse stelsel. 39=IXXX en 93=XCIII en 309 = CCCIX enzovoort. Je ziet dat hier de eenheden, tientallen en honderdtallen geen vaste plaats hebben in het getal. Daarom heet het Romeinse stelsel een niet-­‐positiestelsel. Een Indiase sterrenkundige uit de vijfde of zesde eeuw na Christus kwam op het briljante idee om een speciaal symbool voor ‘nul’ of ‘niets’ in te voeren en dat te combineren met de cijfers 1 tot en met 9. Het gemak van ons positiestelsel wordt duidelijk als je eens probeert wat sommetjes te maken in het ouderwetse Romeinse stelsel. Voorbeeld a: 10-­‐tallig: 12 + 24 = 36 Romeins: XII + XXIV = XXXIVII het teveel aan I wegstrepen wordt XXXV! = 36 klopt! Voorbeeld b: 10-­‐tallig: 309 + 39 = 348 Romeins: CCCIX + IXXX = CCCIIXXXX foute notatie! moet zijn: CCCXXXVIII = 348 Dit bewijst wel dat wiskunde sinds de uitvinding van het 10-­‐tallig stelsel een stuk prettiger is geworden! Opdracht-­‐5: a) Maak een tabel waarin je alle symbolen van de Romeinse cijfers uitlegt. (I =1, X = 10 enzovoort) b) Zet je geboortejaar om in Romeinse cijfers c) In de Franse tijd, net voor de komst van Willem I, is in Nederland pas het tiendelig geldstelsel ingevoerd. Vanaf 1817 was de gulden onderverdeeld in 100 centen. Daarvoor was de gulden onderverdeeld in (meestal) 20 stuivers. De stuiver was onderverdeeld in duiten. Zoek zelf op hoeveel duiten er in een stuiver gingen. Gymnasiumnovum Science+1 Opdracht 7; getalstelsels Blz 10 Nullen en enen; Getalstelsels die door computers en programmeurs gebruikt worden. Zoals je misschien weet, werken computers met een tweetallig stelsel oftewel een binair stelsel. Waarom zou dat zijn? Zelfs voordat er elektronica bestond werden er al computers gebruikt. Denk aan simpele knikkerbanen tot enorme machines met honderden tandwielen, hefbomen, katrollen en kettingen. Maar net als met de modernste digitale apparaten van tegenwoordig gaat het alleen maar om: er is “iets” wel of “iets” niet. Het duidelijkste voorbeeld is de knikkermachine bekijk de Youtube video; http://youtu.be/md0TlSjIags Er zijn twee opties, • wel knikker op een bepaalde plaats, dat staat voor 1 knikkerrekenmachine • geen knikker op die plaats staat voor 0 In echte computers zijn de knikkers elektronen en de houten wipjes transistors. In een computer geheugen zijn er maar twee opties: 0 of 1. De nullen en enen worden bits genoemd (van het Engelse binary digit = binair cijfer). Er zijn dan ook lange rijen enen en nullen nodig om enigszins bruikbare getallen te maken. In ons tientallig stelsel kan je met één symbool al van 0 t/m 9 tellen. Computers hebben daar minimaal vier symbolen voor nodig, kijk maar: 0 = 0 1 = 1 10 = 2 11 = 3 100 = 4 101 = 5 110 = 6 111 = 7 1000 = 8 1001 = 9 Omrekenen binair ç èdecimaal In het begin van het computertijdperk (tijdens de jeugd van jullie opa’s en oma’s) moest een programmeur erg veel omrekenen van gewone getallen naar binaire getallen. In de volgende opdracht mag je eens ervaren wat een gedoe dat is; het is tegenwoordig niet meer zo nodig gelukkig. Het is wel een hele mooie wiskunde training. We gaan uit van binaire getallen met 8 bits. Dat is in de beginjaren van computers lange tijd de standaard reken eenheid geweest. Het omrekenen werkt met “machten van 2”. Het bit aan de rechter kant is het minste waard 20 =1 en heet meest linkse bit is het meeste waard; 27 = 128. Van elk bitje in de rij van 8 kan je zien hoeveel hij waard is. En alles bij elkaar opgeteld geeft je het getal waar we naar zoeken. We kijken eerst wat dan het grootste getal is: 11111111 bit: 1 1 1 1 1 1 1 1 26 25 23 23 22 21 20 128 64 32 16 8 4 2 1 macht van 2: 27 waarde: Wat zijn MACHTEN? 2 2 spreek je uit als “twee tot de 2 macht twee”. Dat doe je als volgt: 2 = 2 x 2 = 4 6 2 spreek je uit als “twee tot de macht zes”. Dat doe je als volgt: 2x2x2x2x2x2 = 64 Opgeteld: 128+64+32+16+8+4+2+1= 255 (conclusie: digitaal 11111111 is gelijk aan decimaal 255) Gymnasiumnovum Science+1 Opdracht 7; getalstelsels Blz 11 Zelf omrekenen: Om het omrekenen makkelijk te maken kan je een hulpje gebruiken. Dat is een stuk papier zoals op de foto staat. Opdracht 6: Maak een binaire rekenhulp: Hiernaast zie je een eenvoudig te maken ‘binaire omrekenhulp’. Maak deze zelf van een stuk stevig papier. Kijk goed naar de foto. Zodra je hem gemaakt hebt kan je ontdekken hoe je hem kan gebruiken om omreken van binair naar decimaal makkelijk te maken. (tip op de foto zie je het binaire getal 11001, omgerekend naar decimaal is dit 16+8+1= 25) Opdracht 7: Noteer op de rekenhulp een korte en heel duidelijke gebruiksaanwijzing waarmee iemand de werking van dit hulpje snel kan begrijpen en toepassen. Maak het geheel met een nietje of paperclip aan je inleverpapier vast. Dus: Leg uit hoe je kan omrekenen van binair è decimaal en omgekeerd, van decimaal è binair. Reken de volgende getallen om met behulp van de rekenhulp Binair Decimaal 1001 12 11111 36 1001001 ** noteer de antwoorden op je inleverpapieren Doe opdracht: Knikker rekenen. Met de knikker rekenmachine kan je kleine binaire getallen optellen. Vlt heeft de machine van het Youtube filmpje nagemaakt. Probeer maar eens uit: 101 + 10 = 111 ( 5 + 2 = 7 ) 1100 + 101 = 10001 ( 12 + 5 = 17 ) Gymnasiumnovum Science+1 Opdracht 7; getalstelsels Blz 12 Rekenen in het zestientallig stelsel. We sluiten deze module af met het zestientallig stelsel. Een andere naam voor zestientallig is “hexadecimaal” (Hexa is Grieks voor ‘zes’, deci kwam ook uit het Grieks ‘deci’= tien.) Dit getallenstelsel wordt in de computerwereld ook nu nog veel gebruikt. Je komt het tegen in nummers voor kleuren op webdesign programma’s (kleur 00 00 00 is zwart en FF FF FF staat voor wit en bijvoorbeeld 99 CC 99 staat voor zeegroen). En regelmatig ook in toegangscodes en wachtwoorden voor WiFi netwerkgebruik. Er is op bladzijde 4 behandeld hoe je in het zestigdelig stelsel kon rekenen, maar jij hebt jezelf eigenlijk door de tekst laten misleiden! Je rekende niet echt in het zestigdelig stelsel, maar in een mix van het zestigdelig stelsel en het tientallig stelsel. 57 was tenslotte in het tientallig stelsel opgegeven. In een echt zestigdelig stelsel zouden we echt zestig symbolen nodig hebben. Dat is wat veel, maar in het zestientallig stelsel hebben we wel 16 symbolen. Daar komen ze, alle zestien: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F ‘gewoon’ decimaal: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 hexadeicmaal: Je ziet dat de eerste 10 symbolen (0 tot en met 9) gewoon het zelfde zijn. Omdat het veel op computers gebruikt wordt moesten de Waarom werken die computerlui in hexadecimaal met groepjes van 2 volgende zes symbolen wel op het toetsenbord zitten. Er is gekozen cijfers? voor A B C D E F (let op het zijn altijd de hoofdletters) Computers chips werken in bits; B betekent ‘11’ enen en nullen. Die chips rekenen C betekent ‘12’ met meerdere bits tegelijkertijd. En zo verder tot het cijfer ‘F’ voor 15. Verder dan 15 tellen kan Lange tijd waren dat 8 bits natuurlijk ook na F komt 10 en dat betekent dan niet 1 tiental, maar 1 tezamen. Zo’n setje van acht heet zestiental. Als je dus $10 ziet staan moet je niet zeggen ‘tien’ maar een byte. Met 1 byte kan je de één nul, wat één keer zestien betekent. Om deze ‘zestien’ van tien te getallen 0 t/m 255 maken. onderscheiden gebruiken we een dollarteken voor de cijfers en Dat is precies wat je ook met 2 schrijven dus $10 . Meestal schrijven we de cijfers in groepjes van hexadecimale cijfers kunt maken. twee zodat je deze getallen krijgt: $00 $01 $02 $03 $04 $05 .. $08 $09 $0A $0B … $0F $10 $11 $12 …$1E $1F $20 $21. $21 betekent dus twee zestientallen+ één $21 is dan gelijk aan decimaal 33. Snap je het al? Nee... om dit systeem te begrijpen kan je inbeelden een buitenaards wezen te zijn met 8 vingers aan iedere hand. $21 betekent voor dit wezen: 2 x alle handen vol ( dus 2 x 16 vingers) plus 1 extra vinger $BC betekent voor dit wezen: B x alle handen vol ( dus 11 x 16 vingers) plus C extra vingers. Omgerekend naar decimaal: $BC = 11 x 16 + 12 = 188 Gymnasiumnovum Science+1 Opdracht 7; getalstelsels Blz 13 Opgave 8 Voer nu de volgende drie optellingen uit: (in het zwart is hexadecimaal, in het rood is de zelfde som ter controle in het decimale stelsel) $23 $12+ .. 35 18+ .. $2A $81+ .. 42 129+ ... $2A $1A+ .. 42 26+ .. Je kunt je berekeningen controleren door zowel de som als het antwoord in het decimale stelsel om te rekenen. (In het decimale stelsel zal je je toch niet meer vergissen). Opgave 9: Bereken in het hexadecimale stelsel: 1. $1 + $B = $ ... 2. $12 + $10 = $ ... 3. $21 + $19 = $ ... 4. $55 + $55 = $ ... 3. $AA + $AA = $ ... 4. $123 + $EDD = $ ... Onthoud Dat je met twee hexadecimale cijfers 162 getallen kunt maken. 162= 256. Je kunt dus tellen van $00 t/m $FF dat is gelijk aan decimaal 0 t/m 255. Wat je moet kennen en kunnen voor de toets oer getallen: • • • • Je moet begrijpen hoe andere getalstelsels bedacht kunnen worden. Je moet kunnen optellen en aftrekken in het zestigdelig stelsel, binaire stelsel en in het hexadecimale stelsel. Je moet decimale getallen kunnen omzetten naar andere getalstelsels en andersom. Decimale getallen in het Romeinse stelsel kunnen zetten en weer terug. Voorbeeld van een toetsvraag: Stel er is een volk met 4 vingers per hand, ze hebben uiteraard een 8 tallig stelsel. We noemen ze voor het gemak de Octanen, en het octaal stelsel a) Ze gebruiken dezelfde symbolen als wij, maar dan van 0 t/m ....? b) Vertaal ons getal 12 naar het octaal stelsel: ( = 14 ) c) Wat is het grootste getal dat de Octanen met 2 cijfers kunnen maken. (geef het antwoord in octaal ..... en decimaal: ...... d) Vertaal het octaal 100 naar decimaal: ... e) Vertaal ons decimaal getal 75 naar het octaal stelsel: Hoe weet je of je de juiste antwoorden hebt? 1) Vergelijk met klasgenoten 2) Bij twijfel bij de docent langs komen 3) Gebruik een omreken machine zie op internet http://unitconversion.org bij onderdeel numbers conversion. (of gebruik de ‘app’ op de ipod van de docent) Gymnasiumnovum Science+1 Opdracht 7; getalstelsels Blz 14
