Bekijk online

Faculteit Wetenschappen
Vakgroep Wiskunde
Axiale algebra’s
Masterproef
ingediend tot het behalen van de academische graad van
master in de wiskunde, afstudeerrichting zuivere wiskunde.
Michiel Van Couwenberghe
Promotor:
prof. dr. Tom De Medts
Academiejaar 2015–2016
Voorwoord
Graag wil ik in dit voorwoord een aantal personen bedanken.
In de eerste plaats richt ik mij tot Tom De Medts, mijn promotor. Zijn lessen hebben mijn
interesse in de algebra opgewekt. Hij reikte mij het dankbare onderwerp van axiale algebra’s aan
en stond steeds klaar met hulp en suggesties. Ook voor het nalezen van deze masterproef wil ik
hem bedanken.
De Universiteit Gent bedank ik voor hun uitstekende opleiding wiskunde. Verder wil ik ook
de professoren en assistenten bedanken voor het overdragen van hun kennis en vaardigheden. Ook
mijn medestudenten verdienen een dankwoord. Zij zorgden voor hulp en onmisbare wiskundige
discussies.
Tot slot bedank ik mijn ouders en familie voor hun steun, mijn vrienden voor de ontspannende
afleiding en mijn vriendin Ellen om me steeds weer te motiveren.
De auteur geeft de toelating deze masterproef voor consultatie beschikbaar te stellen en
delen van de masterproef te kopiëren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de
beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de bron
uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze masterproef.
Michiel Van Couwenberghe
Gent, 27 mei 2016
iii
Inhoudsopgave
Voorwoord
iii
1 Inleiding
1
1.1
Achtergrond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Overzicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2 Introductie tot axiale algebra’s
3
2.1
Fusieregels en algemene definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Matsuo-algebra’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2.1
Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.2.2
Fischerruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.2.3
3-transpositiegroepen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2.4
Enkele eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3 Modulen over axiale algebra’s
15
3.1
Lineaire representatietheorie van eindige groepen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.2
Definitie en voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.3
Modulen voorzien van een Frobeniusvorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
4 Modulen over Matsuo-algebra’s
21
4.1
Modulen over Matsuo-algebra’s en representaties van 3-transpositiegroepen . . .
21
4.2
Expliciete voorstelling van modulen over Matsuo-algebra’s . . . . . . . . . . . . .
27
4.2.1
Collineaire punten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
4.2.2
Niet-collineaire punten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4.3
De rol van de 1-eigenruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
4.4
Enkele voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
4.4.1
Een rechte met 3 punten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
4.4.2
Het duaal affien vlak van orde 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
4.4.3
Het affien vlak van orde 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
5 Algemeen besluit
45
A English summary
47
v
Hoofdstuk 1
Inleiding
De theorie van axiale algebra’s is een recente theorie die een speciaal type van niet-associatieve
algebra’s behandeld. Algebra’s zijn modulen voorzien van een vermenigvuldiging. Meestal
onderstelt men dat deze vermenigvuldiging aan extra eisen voldoet om tot interessante objecten
te komen. Een typisch voorbeeld van een dergelijke eis is associativiteit. Associatieve algebra’s
zijn reeds uitvoerig bestudeerd. Algebra’s die niet noodzakelijk associatief zijn kregen slechts later
meer aandacht. De associativiteit wordt dan vaak vervangen door een ander controlemechanisme
op de vermenigvuldiging. Zo geldt in Lie-algebra’s de Jacobi-identiteit en in Jordanalgebra’s de
Jordanidentiteit.
In axiale algebra’s wordt de associativiteit niet vervangen door een identiteit maar door
zogenaamde fusieregels. Deze beschrijven de vermenigvuldiging van eigenvectoren van idempotenten. Dergelijke fusieregels ziet men reeds optreden bij associatieve algebra’s, Jordanalgebra’s en
Matsuo-algebra’s over Fischerruimten. Dit zijn voorbeelden van axiale algebra’s van zodra ze
voortgebracht worden door idempotenten. Axiale algebra’s vormen dus een relatief ruim begrip.
De studie van axiale algebra’s staat nog maar in haar kinderschoenen. In het bijzonder is er
nog geen degelijk wiskundig framework voorhanden. We pogen om hier een eerste stap te zetten
door het ontwikkelen van een representatietheorie voor axiale algebra’s. Een dergelijke representatietheorie laat toe om abstracte axiale algebra’s binnen een concrete context te bestuderen. We
geven hiertoe een mogelijke aanzet die we uittesten op een speciaal type axiale algebra’s, namelijk
Matsuo-algebra’s.
Vooraleer een overzicht te geven van de behandelde onderwerpen schetsen we de context
waarin axiale algebra’s optreden. We baseren ons hiervoor op een tekst van T. De Medts.
1.1
Achtergrond
Een vertex algebra [9] is een (typisch oneindigdimensionale) vectorruimte voorzien van een
oneindig aantal bilineaire producten verbonden door de Jacobi-identiteit. Een vertex operator
algebra (VOA) is een vertex algebra samen met een conform element dat voldoet aan zekere
axioma’s die onder andere de vertex algebra voorzien van een actie van de Virasoro-algebra (met
een gegeven centrale lading).
Veel terminologie in deze context is fysisch van aard. De reden hiervoor ligt in het feit dat
VOA’s reeds bestudeerd zijn, zij het op minder formele wijze, door fysici in conforme veldentheorie.
Deze fysische link maakt de studie van VOA’s nog rijker en interessanter.
1
Hoofdstuk 1 – Inleiding
Een vertex algebra kan men graderen in eindigdimensionale delen die steeds gecompliceerder
worden van zodra de graad stijgt. In het bijzonder vormen de delen van lage graad op zichzelf
interessante algebraïche structuren. Zo is de 196684-dimensionale Griess-algebra een deel van
graad 2 in de moonshine module VOA. Het monster (de grootste sporadische eindige enkelvoudige
groep) werd voor het eerst gerealiseerd als de automorfismegroep van deze algebra.
A. Ivanov introduceerde Majorana-algebra’s [6] in een eerste poging om de Griess-algebra
axiomatisch te bestuderen zonder haar omliggende VOA. Hierbij worden idempotenten onderzocht en hoe hun corresponderend eigenvectoren fuseren wanneer men ze vermenigvuldigt. Dit
wordt beschreven door fusieregels. Idempotenten die aanleiding geven tot een decompositie in
eigenruimten waarvoor fusieregels gelden worden axiale vectoren of assen genoemd. Deze axiale
vectoren zijn nauw verwant aan de Ising-vectoren in VOA’s. Net als aan de Ising-vectoren kan
men aan een axiale vector in een Majorana-algebra een involutie hechten. Deze involuties spelen
een cruciale rol in de connectie tussen Majorana-algebra’s en de monstergroep.
De definitie van een Majorana-algebra werd door J. Hall, S. Shpectorov en F. Rehren uitgebreid
tot de algemenere notie van een axiale algebra [5, 4]. De auteurs bewijzen onder andere het bestaan
van een universele, eindig voortgebrachte, Frobenius axiale algebra (voor gegeven fusieregels).
Een klasse van axiale algebra’s afkomstig van 3-transpositiegroepen werden reeds bestudeerd
door Matsuo in connectie met VOA’s [10]. De fusieregels van deze algebra’s zijn eenvoudig en
gelijkaardig als deze voor Jordanalgebra’s. Een aantal verrassende resultaten van T. De Medts en
F. Rehren tonen aan dat dit geen toeval is [3].
1.2
Overzicht
Hoofdstuk 2 geeft een introductie tot reeds gekende begrippen en stellingen. Axiale algebra’s
worden gedefinieerd als algebra’s voortgebracht door idempotenten die een decompositie opleveren
in eigenruimten waarvoor bepaalde fusieregels gelden. Een voorbeeld wordt gegeven door Matsuoalgebra’s. Ook het verband tussen deze Matsuo-algebra’s, 3-transpositiegroepen en Fischerruimten
wordt uitgelegd.
Als een eerste stap in de ontwikkeling van representatietheorie wordt in Hoofdstuk 3 de
definitie gegeven van modulen over axiale algebra’s. We bewijzen dat onder het bestaan van
een Frobeniusvorm ieder moduul te schrijven als een directe som van irreducibele modulen, een
analogon van de stelling van Maschke in de lineaire representatietheorie van eindige groepen.
In Hoofdstuk 4 vormen Matsuo-algebra’s een eerste testklasse voor deze definitie. Het verband
tussen Matsuo-algebra’s en 3-transpositiegroepen wordt versterkt door een connectie tussen
modulen over Matsuo-algebra’s en representaties van 3-transpositiegroepen (zie Stelling 4.1.16).
Toch zijn er nog een aantal bemerkelijke verschillen. Een expliciete voorstelling van de modulen
laat ons toe Stelling 4.3.9 en Stelling 4.3.10 te bewijzen die hieraan tegemoetkomen.
We vatten de bekomen resultaten samen en geven suggesties voor verder onderzoek in
Hoofdstuk 5.
Tot slot geeft Appendix A een Engelstalige samenvatting van de begrippen en bewezen
stellingen.
2
Hoofdstuk 2
Introductie tot axiale algebra’s
Een axiale algebra is een commutatieve niet-associatieve algebra waarvoor zogenaamde fusieregels
de vermenigvuldiging tussen eigenvectoren van idempotenten beschrijven. Matsuoalgebra’s
afkomstig van Fischerruimten zijn voorbeelden van axiale algebra’s. Ze zullen vaak de omkadering
vormen om een aantal nieuwe concepten te bestuderen, hoewel die voor algemene axiale algebra’s
gedefinieerd worden. Fusieregels en de algemene definitie van een axiale algebra vormen het
onderwerp van een eerste sectie.
2.1
Fusieregels en algemene definitie
Vooraleer de definitie te geven van een axiale algebra worden de definities van een aantal
algebraïsche concepten herhaald.
Definitie 2.1.1 ([8, p. 117–119]). (i) Zij R een ring (hiermee wordt steeds een commutatieve
ring met eenheid bedoeld). Een (links) R-moduul is een abelse groep (M, +) voorzien van
een scalaire vermenigvuldiging
R × M → M : (r, v) 7→ r · v = rv,
die voldoet aan de volgende axioma’s:
1 · v = v,
(rs) · v = r · (s · v),
(r + s) · v = r · v + s · v,
r · (v + w) = r · v + r · w,
voor alle r, s ∈ R en alle v, w ∈ M .
(ii) Een deelgroep N van M noemt men een deelmoduul indien het een moduul is voor de
geïnduceerde scalaire vermenigvuldiging. De directe som M1 ⊕ M1 van twee R-modulen M1
en M2 definieert men als het direct product van groepen voorzien van de componentsgewijze
scalaire vermenigvuldiging. Indien een moduul M isomorf is met de directe som van twee
deelmodulen N1 en N2 spreekt men van een decompositie van M in N1 en N2 en noteert
men M = N1 ⊕ N2 . Men gaat eenvoudig na dat dit betekent dat ieder element van M op
3
Hoofdstuk 2 – Introductie tot axiale algebra’s
unieke wijze geschreven kan worden als de som van een element uit N1 en een element uit
N2 .
(iii) Zijn M en N twee R-modulen. Een afbeelding θ : M → N is een moduulmorfisme of
kortweg morfisme indien ze compatibel is met de optelling en scalaire vermenigvuldiging, in
de zin dat
(v + w)θ = v θ + wθ en (rv)θ = rv θ ,
voor alle v, w ∈ M en alle r ∈ R. De begrippen epimorfisme, monomorfisme, isomorfisme,
endomorfisme en automorfisme worden op de gebruikelijke manier gedefinieerd, evenals de
begrippen kern en beeld van een morfisme.
Voorbeeld 2.1.2 ([8, p.137]). Zij B een verzameling. Het vrij R-moduul over B is de verzameling
van formele R-lineaire combinaties van elementen van B voorzien van de volgende scalaire
vermenigvuldiging en optelling:
!
!
!
X
X
X
X
X
r·
rb · b =
(rrb ) · b en
r· b +
sb · b =
(rb + sb ) · b,
b∈B
b∈B
b∈B
b∈B
b∈B
voor r, rb , sb ∈ R.
Opmerking 2.1.3. Voor R = F een veld herleidt Definitie 2.1.1 zich tot de definitie van een
vectorruimte. Het vrij F-moduul over B is dan precies de F-vectorruimte met basis B.
Definitie 2.1.4 ([8, p. 121]). Zij R een ring. Een algebra over R is een R-moduul A voorzien
van een vermenigvuldiging
A × A → A : (a1 , a2 ) → a1 · a2 = a1 a2 ,
die R-bilinear en distributief is ten opzichte van de optelling in A:
(ra1 ) · a2 = r(a1 · a2 ) = a1 · (ra2 ),
a1 · (a2 + a3 ) = (a1 · a2 ) + (a1 · a3 ),
(a1 + a2 ) · a3 = (a1 · a3 ) + (a1 · a3 ),
voor alle r ∈ R en alle a1 , a2 , a3 ∈ A. Een algebra A wordt commutatief genoemd indien
a1 · a2 = a2 · a1 voor alle a1 , a2 ∈ A en associatief wanneer a1 · (a2 · a3 ) = (a1 · a2 ) · a3 voor alle
a1 , a2 , a3 ∈ A. Indien er een eenheid bestaat voor de vermenigvuldiging noemt men de algebra
unitaal. Een idempotent van A is een element e ∈ A waarvoor e · e = e. Zijn A en B twee
R-algebra’s, dan is een afbeelding θ : A → B een (algebra)morfisme indien θ een moduulmorfisme
is en
(a1 · a2 )θ = (a1 )θ · (a2 )θ ,
voor alle a1 , a2 ∈ A. Wederom definieert men de begrippen epimorfisme, monomorfisme, isomorfisme, endomorfisme, automorfisme, kern en beeld op de gebruikelijke manier.
Voorbeeld 2.1.5 ([8, p. 121]). Beschouw voor een ring R en een groep G het vrij R-moduul
over G en breid de vermenigvuldiging op G lineair uit. Dit definieert een associatieve, unitale
algebra R[G] die men de groepsalgebra noemt.
4
Sectie 2.1 – Fusieregels en algemene definitie
In een associatieve algebra levert een idempotent een zogenaamde Peirce-decompositie op.
Stelling 2.1.6. Zij A een associatieve algebra en e ∈ A een idempotent, dan bestaat er een
decompositie van A in eigenruimten van e:
A = A1 ⊕ A0 ,
waarbij Ai = {x ∈ A | x · e = ix}. Deze decompositie is compatibel met de vermenigvuldiging in
de zin dat
Ai · Ai ⊆ Ai
voor i = 0, 1,
A1 · A0 = {0},
A0 · A1 = {0},
waarbij Ai · Aj = {
Pn
k=1 xk
· yk | n ∈ N, xk ∈ Ai en yk ∈ Aj }.
In hetgeen volgt behandelen we voornamelijk commutatieve niet-associatieve algebra’s. Hiermee bedoelen we dat de algebra niet noodzakelijk associatief is. Vaak worden er echter extra
eisen gesteld aan de vermenigvuldiging zoals dit het geval is bij Jordanalgebra’s.
Definitie 2.1.7 ([7, p. 6]). Zij F een veld met char(F) 6= 2. Een Jordanalgebra J is een
commutatieve F-algebra waarvoor de vermenigvuldiging voldoet aan de Jordanidentiteit:
(xy)(xx) = (x(y(xx))),
voor alle x, y ∈ J.
Net als dit voor associatieve algebra’s het geval is, geven idempotenten in Jordan algebra’s
aanleiding tot een Peirce-decompositie.
Eigenschap 2.1.8 ([7, p. 119]). Zij J een Jordanalgebra en e ∈ J een idempotent, dan bestaat
er een decompositie van J in eigenruimten van e:
J = J1 ⊕ J0 ⊕ J 1 ,
2
waarbij Ji = {x ∈ J | x · e = ix}. Bovendien gelden de volgende eigenschappen voor de
vermenigvuldiging van twee elementen uit deze eigenruimten:
Ji · Ji ⊆ Ji
voor i = 0, 1,
J 1 · J 1 ⊆ J1 ⊕ J0 ,
2
2
Ji · J 1 ⊆ J 1
2
voor i = 0, 1,
2
J1 · J0 = {0}.
Later zullen we aantonen dat een dergelijke eigenschap ook geldt voor Matsuo-algebra’s.
Vandaar de interesse om precies algebra’s te beschouwen waarvoor deze eigenschap bij definitie
voldaan is. We zullen dus commutatieve algebra’s beschouwen waarvoor idempotenten een
decompositie in eigenruimten opleveren die voldoet aan bepaalde regels die we fusieregels noemen.
5
Hoofdstuk 2 – Introductie tot axiale algebra’s
Definitie 2.1.9 ([12, p. 6]). Zij R een ring. Fusieregels zijn een koppel (Φ, ?) bestaande uit een
verzameling Φ ⊆ R van eigenwaarden en een symmetrische afbeelding ? : Φ × Φ → 2Φ . Vaak
zullen we (Φ, ?) verkort als Φ noteren.
Voorbeeld 2.1.10. De Jordan fusieregels Φ(α) bestaan uit de eigenwaarden {1, 0, α} ⊆ R voor
α 6= 0, 1 en de afbeelding ? zoals in Tabel 2.1 weergegeven.
?
1
0
α
1 {1}
∅
{α}
0
∅
{0} {α}
α {α} {α} {0, 1}
Tabel 2.1: de Jordan fusieregels Φ(α)
Definitie 2.1.11. Zij R een ring.
(i) Een element x in een R-algebra A induceert een endomorfisme adx ∈ EndR (A) gegeven
door rechtse vermenigvuldiging:
adx : A → A : a 7→ ax.
(ii) De φ-eigenruimte van adx voor φ ∈ R wordt genoteerd als Axφ = {a ∈ A | ax = φa}. Verder,
L
voor Ψ ⊆ R, schrijven we AxΨ = φ∈Ψ Axφ en Ax∅ = {0}.
(iii) Indien R = F een veld is, dan is A een F-vectorruimte en is de eigenwaarde van een
eigenvector van een endomorfisme uniek bepaald. Dit is echter niet het geval wanneer R een
willekeurige ring is. Het endomorfisme adx wordt Φ-diagonaliseerbaar genoemd voor een
verzameling Φ ⊆ R indien A de directe som is van φ-eigenruimten Axφ van adx met φ ∈ Φ.
Wanneer A een vectorruimte is betekent dit precies dat de matrixvoorstelling van adx ten
opzichte van een basis diagonaliseerbaar is.
Definitie 2.1.12 ([12, p. 7]). Zij R een ring en (Φ, ?) fusieregels. Een Φ-diagonaliseerbare
idempotent e in een R-algebra A wordt een (Φ, ?)-as of kortweg Φ-as of as genoemd indien de
vermenigvuldiging van eigenvectoren voldoet aan de fusieregels (Φ, ?):
xy ∈ Aeφ?ψ =
M
Aeχ
voor alle φ, ψ ∈ Φ, x ∈ Aeφ en y ∈ Aeψ ,
χ∈φ?ψ
hetgeen we ook kortweg kunnen herschrijven als
Aeφ Aeψ ⊆ Aeφ?ψ .
Voorbeeld 2.1.13. Zij e een idempotent in een Jordanalgebra J, dan is wegens Eigenschap 2.1.8
e een Φ( 12 )-as met Φ( 21 ) de Jordan fusieregels uit Voorbeeld 2.1.10 voor α = 12 .
Definitie 2.1.14 ([12, p. 7]). Een commutatieve R-algebra A is een (Φ, ?)-axiale algebra indien
ze (als algebra) voortgebracht wordt door (Φ, ?)-assen.
Tot slot vermelden we nog een aantal bijzondere eigenschappen waaraan een Φ-axiale algebra
of haar fusieregels kunnen voldoen.
6
Sectie 2.1 – Fusieregels en algemene definitie
Definitie 2.1.15 ([12, p. 7]). Voor een idempotent e in een algebra A geldt dat e ∈ Ae1 . Men
noemt e primitief indien e de eigenruimte Ae1 opspant. Een Φ-axiale algebra is primitief wanneer
ze wordt voortgebracht door primitieve Φ-assen.
De volgende eigenschap is een veralgemening van associativiteit.
Definitie 2.1.16 ([12, p. 8]). Fusieregels (Φ, ?) zijn Seress indien voor alle φ ∈ Φ geldt dat
1 ? φ ⊆ {φ} ⊇ 0 ? φ. In het bijzonder is dan 1 ? 1 ⊆ {1}, 0 ? 0 ⊆ {0}, 1 ? 0 = 0 ? 1 = ∅.
Eigenschap 2.1.17 ([12, p. 8]). Een Φ-diagonaliseerbare idempotent e ∈ A associeert met haar
0, 1-eigenruimte Ae{0,1} in A, hetgeen betekent dat
e(xz) = (ex)z
voor alle x ∈ A, z ∈ A{0,1} ,
als en slechts als e voldoet aan Seress fusieregels op Φ.
Definitie 2.1.18 ([12, p. 22]). Fusieregels Φ noemt men Z/2Z-gegradeerd indien Φ partitioneert
als Φ+ ∪ Φ− en er geldt dat
φ ? ψ ⊆ Φ+
wanneer φ, ψ ∈ Φ+ ,
φ ? ψ ⊆ Φ+
wanneer φ, ψ ∈ Φ− ,
φ ? ψ ⊆ Φ−
wanneer φ ∈ Φ+ en ψ ∈ Φ− .
Indien voor een axiale algebra A de fusieregels Z/2Z-gegradeerd zijn associeert men aan een Φ-as
e ∈ A de Miyamoto-involutie τe ∈ Aut(A) gedefinieerd door
(
x
τe
=
x
indien x ∈ AeΦ+ ;
−x indien x ∈ AeΦ− .
Merk op dat omwille van de Z/2Z-gradering τe inderdaad een automorfisme is van de algebra A.
Is bijvoorbeeld x ∈ AeΦ+ en y ∈ AΦ− dan is xy ∈ AeΦ− en bijgevolg
xτe y τe = x(−y) = −(xy) = (xy)τe .
Voorbeeld 2.1.19. De Jordan fusieregels uit Voorbeeld 2.1.10 zijn Seress en Z/2Z-gegradeerd
met Φ+ = {1, 0} en Φ− = {α}.
Voorbeeld 2.1.20. De Griess-algebra is een 196884-dimensionale reële axiale algebra die voldoet
aan de fusieregels uit Tabel 2.2. Deze fusieregels zijn Z/2Z-gegradeerd met Φ+ = {1, 0, 14 }
1
en Φ− = { 32
}. De bijhorende Miyamoto-involuties worden Majorana-involuties genoemd. De
groep voortgebracht door de Majorana-involuties van de assen die deze algebra genereren is de
monstergroep en de volledige automorfismegroep van de Griess-algebra.
Definitie 2.1.21 ([4, p. 11]). Zij F een veld. Een Frobenius axiale algebra is een axiale F-algebra
A voorzien van een bilineaire vorm
h·, ·i : A × A → F,
7
Hoofdstuk 2 – Introductie tot axiale algebra’s
?
1
0
1
1
∅
0
∅
0
1
4
1
32
1
4
1
32
1
4
1
32
1, 0
1
32
1
32
1
32
1
32
1
32
1, 0, 14
1
4
1
4
1
4
Tabel 2.2: fusieregels voor de Griess-algebra
zodat ha, ai =
6 0 voor alle a ∈ A en
hax, bi = ha, xbi,
voor alle a, b, x ∈ A.
Eigenschap 2.1.22 ([4, p. 11]). Zij A een Frobenius axiale F-algebra.
1. De vorm h·, ·i is symmetrisch.
2. Voor een as e en verschillende φ, ψ ∈ F staan de eigenruimten Aeφ en Aeψ loodrecht op elkaar
ten opzichte van h·, ·i.
2.2
Matsuo-algebra’s
Deze sectie introduceert Matsuo-algebra’s in Definitie 2.2.3. Deze commutatieve niet-associatieve
algebra’s worden geconstrueerd aan de hand van punt-rechte meetkunden. Het zijn axiale algebra’s
met Z/2Z-gegradeerde fusieregels van zodra de punt-rechte meetkunde een Fischerruimte is
(Stelling 2.2.6). Hun Miyamoto-involuties brengen een 3-transpositiegroep voort die men opnieuw
in verband kan brengen met de definiërende Fischerruimte (Stelling 2.2.10).
2.2.1
Definitie
We herhalen eerst een aantal meetkundige begrippen, nodig om de definitie te geven van een
Matsuo-algebra.
Definitie 2.2.1. (i) Een (punt-rechte) meetkunde is een koppel G = (P, L) met P een nietledige verzameling en L een collectie deelverzamelingen van P met minstens 2 elementen.
(ii) Voor een punt x ∈ P en een rechte L ∈ L met x ∈ L zeggen we dat x incident is met L, dat
L incident is met x, dat x op L ligt of dat L door x gaat. Voor twee verschillende punten
x, y ∈ P noteren we dat x ∼ y indien x en y collineair zijn, i.e. indien er een rechte bestaat
die x en y bevat, en x y anders. Verder noteren we
x∼ = {y ∈ P | x ∼ y} en x = {y ∈ P | x y}.
Merk op dat P = {x} ∪ x∼ ∪ x . Een geïsoleerd punt is een punt x ∈ P waarvoor x∼ = ∅.
We noemen een punt-rechte meetkunde samenhangend indien er voor elke x, y ∈ P punten
x0 , x1 , . . . , xn ∈ P bestaan zodat x0 = x, xn = y en xi ∼ xi+1 voor alle i ∈ {0, 1, · · · , n − 1}.
Voor een meetkunde met een eindig aantal punten is de collineariteitsmatrix ten opzichte
van een ordening (x1 , · · · , x|P| ) van de punten de matrix (aij ) zodat aij = 1 indien xi ∼ xj
en aij = 0 anders.
8
Sectie 2.2 – Matsuo-algebra’s
(iii) Een morfisme tussen twee meetkunden G1 = (P1 , L1 ) en G2 = (P2 , L2 ) is een afbeelding
θ : P1 → P2 zodat {θ(x) | x ∈ L} ∈ L2 voor iedere L ∈ L1 . Indien θ een bijectie is spreekt
men van een isomorfisme, noemt met de meetkunden G1 en G2 isomorf en noteert men
G1 ∼
= G2 . Een isomorfisme van een meetkunde naar zichzelf heet een automorfisme.
(iv) Indien G = (P, L) en G 0 = (P 0 , L0 ) twee punt-rechte meetkunden zijn zodat P 0 ⊆ P en
L0 ⊆ L dan noemt men G 0 een deelmeetkunde van G. De meetkunde G 0 wordt een deelruimte
genoemd indien voor iedere rechte L ∈ L die minstens twee punten van P 0 bevat, geldt dat
L ∈ L0 . De deelruimte hXi van G voortgebracht door een verzameling punten X ⊆ P is de
doorsnede van alle deelruimten van G die X bevatten.
(v) Zij G = (P, L) een punt-rechte meetkunde. Indien ieder punt van G incident is met minstens
twee rechten, dan kan men een nieuwe meetkunde G ∨ = (P ∨ , L∨ ) construeren die de duale
meetkunde wordt genoemd. Hierbij is P ∨ = L en L∨ = {{x ∈ L | p ∈ L} | p ∈ P}.
(vi) Een meetkunde wordt een partieel lineaire ruimte genoemd indien elke twee verschillende
punten bevat zijn in hoogstens één rechte of, equivalent, indien elke twee verschillende
rechten incident zijn met hoogstens één gemeenschappelijk punt.
Voorbeeld 2.2.2. Het affien vlak AG(2, n) van orde n is de partieel lineaire ruimte met puntenverzameling F2n en rechtenverzameling {v + U | U ≤ F2n , dim U = 1, v ∈ F2n }. Figuur 2.1 geeft een
voorstelling van het duale affien vlak van orde 2 en het affien vlak van orde 3.
x1
x1
x2
x3
x2
x4
x5
x4
x6
x6
x5
x7
x3
(a) AG(2, 2)∨
x8
x9
(b) AG(2, 3)
Figuur 2.1: het duale affien vlak van orde 2 en het affien vlak van orde 3
We zijn nu in staat om de definitie te geven van een Matsuo-algebra. Matsuo-algebra’s worden
geconstrueerd aan de hand van partieel lineaire ruimten waarvoor iedere rechte drie punten bevat.
Elke twee collineaire punten x ∼ y bepalen dus een uniek derde punt op de rechte door x en y
dat we als x ∧ y zullen noteren.
9
Hoofdstuk 2 – Introductie tot axiale algebra’s
Definitie 2.2.3. Zij R 3 12 een ring, α ∈ R en G = (P, L) een partieel lineaire ruimte waarvoor
iedere rechte drie punten bevat. De Matsuoalgebra Mα (G) is het vrij R-moduul met basis P en
vermenigvuldiging gedefinieerd door


indien x = y;
 x
α
xy =
2 (x + y − x ∧ y) indien x ∼ y;


0
indien x y.
voor x, y ∈ G. Om ontaarde gevallen uit te sluiten veronderstellen we steeds α 6= 0, 1.
2.2.2
Fischerruimten
Beschouwt men P als deel van Mα (G), dan is ieder punt x ∈ P een idempotent, i.e. xx = x en x
is een 1-eigenvector van adx . Het is mogelijk om ook de andere eigenvectoren van adx te bepalen
indien R = F een veld is.
Lemma 2.2.4 ([12, p. 5–6]). De eigenruimten van x ∈ P in Mα (G) over R = F een veld zijn
hxi, de 1-eigenruimte;
hy + x ∧ y − αx | y ∼ xi ⊕ hy | y xi, de 0-eigenruimte;
hy − x ∧ y | y ∼ xi, de α-eigenruimte.
Men kan de algebra Mα (G) schrijven als een directe som van deze eigenruimten voor iedere x ∈ P.
Bewijs. Gebruik makend van Definitie 2.2.3 vinden we dat
xx = x;
(y + x ∧ y − αx)x = α2 (x + y − x ∧ y + x + x ∧ y − x) − αx = αx − αx = 0 voor y ∼ x;
(y − x ∧ y)x = α2 (x + y − x ∧ y − x − x ∧ y + y) = α(y − x ∧ y)
voor y ∼ x;
yx = 0
voor y x.
De gegeven deelruimten van Mα (G) zijn dus eigenruimten van adx voor de gegeven eigenwaarden.
We tonen aan dat een willekeurig element y ∈ Mα (G) te schrijven is als een som van eigenvectoren.
Aangezien P een basis vormt voor Mα (G) mogen we onderstellen dat y ∈ P. Is y x dan is
yx = 0 en y een 0-eigenvector. Anders is
y=
1
1
α
x + (y + x ∧ y − αx) + (y − x ∧ y),
2
2
2
hetgeen een som van eigenvectoren is. We besluiten dat Mα (G) een basis heeft van eigenvectoren
van adx met eigenwaarden 1, 0 en α voor iedere x ∈ P.
In wat volgt beschouwen we steeds Matsuo-algebra’s over een veld F met char(F) 6= 2 en
α ∈ F \ {0, 1}. Men kan nagaan voor welke punt-rechte meetkunden G = (P, L) de eigenruimten
in Mα (G) van idempotenten in P voldoen aan fusieregels. Dit is het geval wanneer G een
Fischerruimte is en de bijhorende fusieregels zijn de Jordan fusieregels Φ(α) uit Voorbeeld 2.1.10.
Definitie 2.2.5 ([12, p. 2]). Een Fischerruimte is een partieel lineaire ruimte waarvoor iedere
rechte 3 punten bevat en voor elke twee verschillende, snijdende rechten L1 en L2 geldt dat de
deelruimte hL1 ∪ L2 i isomorf is met het duale affien vlak van orde 2 of het affien vlak van orde
10
Sectie 2.2 – Matsuo-algebra’s
3 uit Figuur 2.1. Een Fischerruimte noemt men symplectisch indien ze geen deelruimte heeft
isomorf met AG(2, 3).
Stelling 2.2.6 ([12, p. 10–14]). Zij G = (P, L) een partieel lineaire ruimte, dan is iedere x ∈ P
een Φ(α)-as in de Matsuo-algebra Mα (G) als en slechts als G een Fischerruimte is.
2.2.3
3-transpositiegroepen
Tot slot bestuderen we de Miyamoto-involuties afkomstig van de Z/2Z-gradering van de Jordan
fusieregels Φ(α). Voor een Fischerruimte G = (P, L) en x ∈ P is τx een automorfisme van
Mα (G). De deelgroep van Aut(Mα (G)) opgespannen door deze Miyamoto-involuties vormt een
3-transpositiegroep. Stelling 2.2.10 van Buekenhout linkt deze 3-transpositiegroep opnieuw
aan de definiërende Fischerruimte. We bespreken eerst dit verband tussen Fischerruimten en
3-transpositiegroepen.
Definitie 2.2.7. Een 3-transpositiegroep is een koppel (G, D) waarbij G een groep is en
• D een genererende verzameling van involuties, gesloten onder toevoeging;
• |cd| ≤ 3 voor alle c, d ∈ D.
Voorbeeld 2.2.8. Beschouw de symmetrische groep Sn = Sym(n) en zij D de verzameling van
transposities, dan is (Sn , D) een 3-transpositiegroep.
Voorbeeld 2.2.9. Beschouw de eindig gepresenteerde groep ha, b, c | a3 = 1, b3 = 1, c2 =
1, ab = ba, cac = a2 , cbc = b2 i. Deze groep noteren we als 32 : 2 en is een semidirect product
(C3 × C3 ) o C2 waarbij de actie van C2 = hci op C3 × C3 = ha, bi gegeven wordt door inverteren.
Samen met de verzameling {ca, cb, ca2 , cb2 , cab, ca2 b, cab2 , ca2 b2 } van involuties vormt deze groep
een 3-transpositiegroep.
Volgende stelling van Buekenhout legt een verband tussen Fischerruimten en 3-transpositiegroepen.
Stelling 2.2.10 (Buekenhout, [1, p. 93–94]). Fischerruimten zonder geïsoleerde punten staan in
bijectie met 3-transpositiegroepen op het centrum na.
Schets van de bijectie. Vertrekkend van een 3-transpositiegroep (G, D) is het mogelijk om een
Fischerruimte te construeren. Definieer hiervoor P = D en L = {{c, d, cd = dc } | c, d ∈ D, |cd| =
3}. Men bewijst dat (P, L) een Fischerruimte is.
Omgekeerd, zij G = (P, L) een Fischerruimte en zij τx ∈ Aut(G) voor x ∈ P het unieke
automorfisme van G dat x en de elementen van x fixeert en de elementen y en x ∧ y wisselt voor
elke y ∈ x∼ . Met D = {τx | x ∈ P} en G = hDi vormt (G, D) een 3-transpositiegroep.
Voorbeeld 2.2.11. De Fischerruimten horende bij de 3-transpositiegroepen uit Voorbeeld 2.2.8
voor n = 4 en Voorbeeld 2.2.9 zijn respectievelijk AG(2, 2)∨ en AG(3, 2) uit Figuur 2.1.
Beschouwt men de puntenverzameling P van een Fischerruimte G als deel van de Matsuoalgebra Mα (G), dan werkt de Miyamoto-involutie τx voor x ∈ P op P zoals het automorfisme
van G beschreven in de bijectie van Stelling 2.2.10, vandaar de keuze voor dezelfde notatie.
11
Hoofdstuk 2 – Introductie tot axiale algebra’s
Stelling 2.2.12. Zij G = (P, L) een Fischerruimte zonder geïsoleerde punten en τx voor x ∈ P
de bijhorende Miyamoto-involutie op Mα (G). Met D = {τx | x ∈ P} en G = hDi ≤ Aut(Mα (G))
is (G, D) isomorf met de 3-transpositiegroep geconstrueerd uit G zoals beschreven door de bijectie
gegeven in Stelling 2.2.10.
Bewijs. Voor x, y ∈ P met x ∼ y geldt
y=
α
1
1
x + (y + x ∧ y − αx) + (y − x ∧ y).
2
2
2
Uit Lemma 2.2.4 en de definitie van de Miyamoto-involutie τx volgt
y τx =
α
1
1
x + (y + x ∧ y − αx) − (y − x ∧ y) = x ∧ y.
2
2
2
Verder is xτx = x en y τx = y indien x y. Omdat de elementen van P de Matsuo-algebra Mα (G)
voortbrengen volgt het gestelde.
Opmerking 2.2.13. Stelling 2.2.12 toont aan dat men de groep hτx | x ∈ Pi zowel als deelgroep
van Aut(G) als van Aut(Mα (G)) kan beschouwen.
Men kan ook rechtstreeks aantonen dat de Miyamoto-involuties een 3-transpositiegroep
voortbrengen. Hierbij wordt gebruik gemaakt van de volgende eigenschappen van de Miyamotoinvoluties.
Lemma 2.2.14. Zij G = (P, L) een Fischerruimte zonder geïsoleerde punten.
(i) Voor verschillende punten x, y ∈ P is τx 6= τy .
(ii) Er geldt (τx )τy = τxτy voor alle x, y ∈ P.
(iii) Het centrum Z(hτx | x ∈ Pi) is triviaal.
Bewijs. (i) Veronderstel dat τx = τy voor x, y ∈ P. Aangezien x geen geïsoleerd punt is, bestaat
er een z ∈ x∼ zodat z τx = x ∧ z. Omdat dan ook z τy = x ∧ z is zowel x als y het derde punt
op de rechte door z en x ∧ z en dus x = y.
(ii) Een bewijs kan gevonden worden in [12, p. 22–23] en is analoog aan het bewijs van Lemma
4.1.4.
(iii) Zij τ ∈ Z(hτx | x ∈ Pi). Voor x ∈ P geldt dan wegens deel (ii) dat τx = (τx )τ = τxτ . Wegens
deel (i) is dan x = xτ voor alle x ∈ P en dus is τ het triviale automorfisme.
Opmerking 2.2.15. Met de bijectie op centrum na uit Stelling 2.2.10 bedoelt men dat, wanneer
(G1 , D1 ) en (G2 , D2 ) twee 3-transpositiegroepen zijn met dezelfde bijhorende Fischerruimte,
G1 / Z(G1 ) ∼
= G2 / Z(G2 ). Wegens Lemma 2.2.14 is de groep hτx | x ∈ Pi dus in zekere zin de
kleinste 3-transpositiegroep met deze Fischerruimte aangezien het een quotiënt is van iedere
3-transpositiegroep met die Fischerruimte en haar centrum.
Volgende stelling impliceert dat de Miyamoto-involuties van Mα (G) een 3-transpositiegroep
voortbrengen.
12
Sectie 2.2 – Matsuo-algebra’s
Stelling 2.2.16 ([12, p. 24–25]). Zij G = (P, L) een Fischerruimte, x, y ∈ P en τx en τy de
bijhorende Miyamoto-involuties van Mα (G), dan is


 1 als x = y;
|τx τy | =
2 als x y;


3 als x ∼ y.
2.2.4
Enkele eigenschappen
Tot slot vermelden we twee eigenschappen van Matsuo-algebra’s. Een eerste eigenschap toont
aan dat een Matsuo-algebra over een samenhangende Fischerruimte bijna altijd unitaal is.
Stelling 2.2.17. Zij G = (P, L) een samenhangende Fischerruimte.
(i) De groep hτx | x ∈ Pi werkt transitief op de punten. In het bijzonder is het aantal rechten
door een punt een constante d.
P
(ii) Is 1 + αd 6= 0 dan is de Matsuo-algebra Mα (G) unitaal met eenheid (1 + αd)−1
x∈P x .
Bewijs. (i) Zij x, y ∈ P. Omdat G samenhangend is, bestaan er punten x0 , x1 , . . . , xn ∈ P
zodat x0 = x, xn = y en xi ∼ xi+1 voor alle i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}. Nu volgt wegens inductie
op i dat
xτx0 ∧x1 ···τxi−1 ∧xi = xi ,
voor alle i ∈ {1, 2, . . . , n} en dus in het bijzonder voor i = n.
(ii) Voor een punt y ∈ P is yy = y, zy = 0 voor z y en (x + x ∧ y)y = αy voor iedere rechte
{x, y, x ∧ y} door y. We besluiten dat
!
X
x y = (1 + αd)y,
x∈P
met d het aantal rechten door y. Omdat wegens (i) het aantal rechten door een punt constant
is en de Matsuo-algebra wordt opgespannen door de elementen in P volgt het gestelde.
Iedere Matsuo-algebra over een Fischerruimte is een Frobenius axiale algebra.
Stelling 2.2.18 ([4, p. 39]). Zij G een Fischerruimte. De Matsuo-algebra Mα (G) is een Frobenius
axiale algebra. Wanneer G samenhangend is wordt de Frobeniusvorm op een scalair veelvoud na
uniek bepaald door


 1 indien x = y;
α
hx, yi =
2 indien x ∼ y;


0 indien x y,
voor alle x, y ∈ P.
13
Hoofdstuk 3
Modulen over axiale algebra’s
Representaties zijn concrete voorstellingen van abstracte algebraïsche objecten. Zo bestudeert de
lineaire representatietheorie van eindige groepen de voorstelling van groepselementen als lineaire
transformaties van een vectorruimte zodanig dat de abstracte groepsbewerking correspondeert met
de concrete matrixvermenigvuldiging. Het is ons doel om ook een dergelijke representatietheorie
uit te werken voor axiale algebra’s. Vooraleer een definitie neer te schrijven, herhalen we twee
manieren om tegen groepsrepresentaties aan te kijken. Eén van deze twee manieren zal ons op
een natuurlijke manier leiden tot een definitie voor axiale algebra’s. Tot slot bekijken we welke
gevolgen een Frobenius eigenschap heeft op onze definitie.
3.1
Lineaire representatietheorie van eindige groepen
Men kan op twee manieren aankijken tegen lineaire representaties van eindige groepen. Enerzijds is
het een groepsmorfisme van de eindige groep naar de groep van inverteerbare lineaire transformaties
van een vectorruimte. Anderzijds kan men een representatie beschouwen als een moduul over de
groepsalgebra. We herhalen deze twee standpunten alvorens het tweede te veralgemenen naar
axiale algebra’s.
Definitie 3.1.1 ([8, p. 55, 553–554, 664], [13, p. 1]). Zij G een eindige groep en V een eindigdimensionale vectorruimte. Een (lineaire) representatie van G in V is een groepsmorfisme
van G naar GL(V ), i.e. een afbeelding ρ : G → GL(V ) waarvoor ρ(st) = ρ(s)ρ(t) voor alle
s, t ∈ G. De vectorruimte V wordt de representatieruimte genoemd en haar dimensie de graad
van de representatie. Twee representaties ρ en ρ0 met respectieve representatieruimten V en V 0
zijn isomorf indien er een inverteerbare lineaire transformatie φ : V → V 0 bestaat waarvoor
ρ(s)φ = φρ0 (s) voor alle s ∈ G.
Voorbeeld 3.1.2 ([13, p. 2]). Veronderstel dat een eindige groep G werkt op een eindige
verzameling X. Definieer de vectorruimte met basis (ex )x∈X . De representatie waarvoor (ex )ρ(g) =
exg noemt men de permutatierepresentatie van G geassocieerd met de actie van G op X. Hierbij
stelt xg de werking van g ∈ G op het element x ∈ X voor.
Zij F[G] de groepsalgebra over een veld F. Uit een representatie ρ construeert men eenvoudig
een F[G]-moduul.
15
Hoofdstuk 3 – Modulen over axiale algebra’s
Definitie 3.1.3. (i) Zij F een veld en A een associatieve F-algebra. Een A-moduul is een
F-vectorruimte V voorzien van een actie van A op V :
V × A → V : (v, a) 7→ v · a,
die voldoet aan
v · (ab) = (v · a) · b,
v · (λa + µb) = λ(v · a) + µ(v · b),
(λv + µw) · a = λ(v · a) + µ(w · a),
voor alle v, w ∈ V , λ, µ ∈ F en a, b ∈ A.
(ii) Een A-moduulmorfisme f : V1 → V2 voor twee A-modulen V1 en V2 is een lineair vectorruimtemorfisme waarvoor
(v · a)f = v f · a,
voor alle v ∈ V1 en a ∈ A.
Beschouw nu een lineaire representatie ρ : G → GL(V ) van een eindige groep G. Dan kunnen
we een actie van G op V definiëren:
V × G → V : (v, g) 7→ v ρ(g) .
Via lineaire uitbreiding definieert dit een F[G]-moduul. Omgekeerd, zij V een F[G]-moduul, dan
definiëren we
ρ(g) : V → V : v 7→ v · g
en verkrijgen we een lineaire representatie van G in V . Een F[G]-moduulmorfisme tussen V1
en V2 waarvoor we de bijhorende representaties zullen noteren als ρ1 en ρ2 is dan een lineair
homomorfisme f : V1 → V2 waarvoor
v ρ1 (g)f = v f ρ2 (g) ,
voor alle g ∈ G en v ∈ V1 en wordt in deze context ook wel een intertwining operator genoemd.
Aangezien beide standpunten voor het bestuderen van lineaire representaties van eindige groepen
equivalent zijn, zullen we ze door elkaar gebruiken.
Tot slot geven we de definitie van een irreducibele representatie en het Lemma van Schur dat
morfismen tussen irreducibele representaties behandelt. De stelling van Maschke laat toe om
iedere reducibele representatie te schrijven als een directe som van irreducibele representaties.
Definitie 3.1.4 ([8, p. 554], [13, p. 4]). Zij V een lineaire representatie van een eindige groep
G, i.e. een F[G]-moduul. Een deelmoduul W is een deelvectorruimte waarvoor w · g ∈ W voor
alle w ∈ W en g ∈ G. Indien V een niet-triviaal deelmoduul bevat, noemen we de representatie
reducibel, en irreducibel anders.
Stelling 3.1.5 (Lemma van Schur, [8, p. 643], [13, p. 12]). Zij F algebraïsch gesloten. Zijn
V1 en V2 twee irreducibele lineaire representaties van een eindige groep G en f : V1 → V2 een
intertwining operator.
16
Sectie 3.2 – Definitie en voorbeelden
(i) Indien V1 en V2 niet isomorf zijn (als F[G]-modulen), is f = 0.
(ii) Voor V1 = V2 is f een homothetie, i.e. een veelvoud van de identiteit.
Definitie 3.1.6 ([8, p. 666]). De directe som M1 ⊕ M2 van twee A-modulen M1 en M2 wordt
gedefinieerd als de directe som van vectorruimten samen met de componentsgewijze actie van A.
Indien een A-moduul M isomorf is met de directe som van twee deelmodulen N1 en N2 noteert
men M = N1 ⊕ N2 .
Stelling 3.1.7 (Maschke, [8, p. 666], [13, p. 3]). Zij F een veld en G een groep waarvan de orde
geen veelvoud is van char(F). Zij V een lineaire representatie van G en W een deelmoduul, dan
bestaat er een deelmoduul W0 complementair aan W waarvoor V = W ⊕ W0 .
3.2
Definitie en voorbeelden
Representatietheorie laat toe om abstracte algebraïsche objecten te bestuderen binnen een concrete
context. Vandaar lijkt het interessant om ook een representatietheorie te ontwikkelen voor axiale
algebra’s. Omdat er een voor de hand liggende definitie is voor modulen over axiale algebra’s zal
het precies deze kijk op representatietheorie zijn die we gebruiken. Hoe men een representatie
moet definiëren als morfisme van een axiale algebra naar een zekere universele axiale algebra en
of deze verband houdt met modulen over axiale algebra’s is helemaal niet duidelijk. Voor eindige
groepen wordt de associativiteit op een cruciale wijze gebruikt om dit verband aan te tonen.
Om Definitie 3.1.3 te veralgemenen naar modulen over axiale algebra’s is het wegens de
niet-associativiteit noodzakelijk om de eerste voorwaarde te laten vallen. We vervangen deze
echter door een gelijkaardige eigenschap als diegene die de axiale algebra definieert. We eisen
dat er een decompositie bestaat in eigenruimten die aan dezelfde fusieregels voldoet als de axiale
algebra.
Definitie 3.2.1. (i) Zij A een (Φ, ?)-axiale R-algebra. Een A-moduul is een R-moduul M
voorzien van een actie van A op M ,
M × A → M : (m, a) 7→ m · a,
die voldoet aan
m · (λa + µb) = λ(m · a) + µ(m · b),
(λm1 + µm2 ) · a = λ(m1 · a) + µ(m2 · a),
voor alle a, b ∈ A, m, m1 , m2 ∈ M en λ, µ ∈ R. Bovendien bestaat voor iedere (Φ, ?)-as een
decompositie van M in eigenruimten met eigenwaarden in Φ:
M=
M
Mφe ,
φ∈Φ
met Mφe = {m ∈ M | m · e = φm}. Daarnaast voldoen deze eigenruimten aan de fusieregels
(Φ, ?) in de zin dat
e
m · a ∈ Mφ?ψ
voor m ∈ Mψe en a ∈ Aeφ ,
L
waarbij, voor Ψ ⊆ R, MΨe = φ∈Ψ Mφe en M∅e = {0}.
17
Hoofdstuk 3 – Modulen over axiale algebra’s
(ii) De begrippen moduulmorfisme, deelmoduul, (ir)reducibel en directe som definieert men zoals
voor modulen over associatieve axiale algebra’s.
Voorbeeld 3.2.2. Zij A een (Φ, ?)-axiale R-algebra en veronderstel dat 0 ∈ Φ. Zij M een
willekeurig R-moduul en definieer een actie van A op M door
m · a = 0 voor alle m ∈ M en a ∈ A,
dan is M een A-moduul. We noemen dit een triviaal A-moduul.
Voorbeeld 3.2.3. Zij A = Mα (G) een Matsuoalgebra over een veld F, afkomstig van een
Fischerruimte G = (P, L). Zij M een F-vectorruimte en definieer
m · x = αm voor alle x ∈ P en m ∈ M .
Via lineaire uitbreiding definieert dit een actie van A op M . Deze actie voldoet aan de fusieregels
x
van A. Voor een Φ-as x is de voorwaarde Mαx · Axα ⊆ M{0,1}
de enige die niet triviaal voldaan is.
x
Aangezien Aα wordt voortgebracht door elementen van de vorm y − x ∧ y voor x ∼ y en er geldt
dat m · (y − x ∧ y) = αm − αm = 0 voor alle m ∈ M = Mαx , is ook deze voorwaarde voldaan.
Voorbeeld 3.2.4. Zij A een axiale algebra. In het bijzonder is A een moduul en bovendien
definieert de vermenigvuldiging op A een actie van A op A. De axiale algebra A is dus op
natuurlijke wijze zelf een A-moduul.
3.3
Modulen voorzien van een Frobeniusvorm
Net als voor een axiale algebra kan men eisen dat een moduul over een axiale algebra voorzien is
van een Frobeniusvorm. Een dergelijke Frobeniusvorm zal toelaten om Stelling 3.3.3 te bewijzen
die gelijkaardig is aan Stelling 3.1.7.
Definitie 3.3.1. Zij A een axiale F-algebra en M een A-moduul. Een Frobeniusvorm op M is
een bilineaire vorm
h·, ·i : M × M → F,
zodat hm, mi =
6 0 voor alle m ∈ M en
hm1 · a, m2 i = hm1 , m2 · ai,
voor alle a ∈ A en m1 , m2 ∈ M .
Eigenschap 3.3.2. Zij A een Φ-axiale F-algebra en M een A-moduul voorzien van een Frobeniusvorm h·, ·i. Voor een as e ∈ A en verschillende φ, ψ ∈ Φ staan de eigenruimten Mφe en Mψe
loodrecht op elkaar.
Bewijs. Veronderstel mφ ∈ Mφe en mψ ∈ Mψe . Dan is
φhmφ , mψ i = hmφ · e, mψ i = hmφ , mψ · ei = ψhmφ , mψ i.
Aangezien φ 6= ψ volgt dat hmφ , mψ i = 0.
18
Sectie 3.3 – Modulen voorzien van een Frobeniusvorm
Indien een moduul over een axiale algebra voorzien is van een Frobeniusvorm dan kunnen we
de stelling van Maschke veralgemenen.
Stelling 3.3.3. Zij A een axiale F-algebra en M een A-moduul voorzien van een Frobeniusvorm.
Zij N een A-deelmoduul van M , i.e. een F-deelvectorruimte waarvoor geldt N · A ⊆ N . Er bestaat
een deelmoduul N0 van M zodat M = N ⊕ N0 .
Bewijs. Definieer N0 = {m ∈ M | hm, ni = 0 voor alle n ∈ N }. Voor a ∈ A, n0 ∈ N0 en
n ∈ N geldt hn0 · a, ni = hn0 , n · ai = 0 omdat n · a ∈ N . Bijgevolg is n0 · a ∈ N0 en dus is N0
een A-deelmoduul. Omdat ook hm, mi 6= 0 voor alle m ∈ M volgt uit de eigenschappen voor
orthogonale complementen dat M = N ⊕ N0 .
19
Hoofdstuk 4
Modulen over Matsuo-algebra’s
In dit hoofdstuk worden modulen over Matsuo-algebra’s bestudeerd. We beschouwen Matsuoalgebra’s Mα (G) over een veld F met char(F) 6= 2 en met G = (P, L) een Fischerruimte zonder
geïsoleerde punten. Het verband tussen Matsuo-algebra’s en 3-transpositiegroepen verruimen we
in Stelling 4.1.16 tot een verband tussen modulen over Matsuo-algebra’s en representaties van
3-transpositiegroepen. Vervolgens halen we in Sectie 4.2 uit het kiezen van een basis concrete
voorwaarden die zullen toelaten om na te gaan welke rol 1-eigenvectoren spelen in modulen over
Matsuo-algebra’s (zie Stelling 4.3.9 en Stelling 4.3.10). Dit alles zal ons ondermeer in staat stellen
om modulen over de Matsuo-algebra van een rechte met α 6= −1, 2 te classificeren in Stelling 4.4.1.
4.1
Modulen over Matsuo-algebra’s en representaties van
3-transpositiegroepen
Matsuo-algebra’s over Fischerruimten zijn Φ(α)-axiale algebra’s. De Z/2Z-gradering van de
Jordan fusieregels Φ(α) laat toe om involuties te definiëren op modulen over Matsuo-algebra’s,
gelijkaardig aan de Miyamoto-involuties van de Matsuo-algebra zelf.
Definitie 4.1.1. Zij M een moduul over de Matsuo-algebra Mα (G). Daar we enkel Matsuoalgebra’s over velden beschouwen, is M in het bijzonder een vectorruimte. Voor iedere Φ(α)-as
x ∈ Mα (G) definiëren we een Miyamoto-involutie µx ∈ GL(M ) als
(
mµx =
m
x
indien m ∈ M{1,0}
,
−m indien m ∈ Mαx .
Hieruit volgt onmiddellijk dat µx inderdaad een involutie is.
We zullen nu aantonen dat hµx | x ∈ Pi ≤ GL(M ) een representatie is van een 3-transpositiegroep geassocieerd aan de Fischerruimte G en, omgekeerd, dat men uit een representatie van
die 3-transpositiegroep een moduul over de Matsuo-algebra kan halen. Volgend voorbeeld toont
echter aan dat we niet steeds een representatie vinden van hτx | x ∈ Pi ≤ Aut(Mα (G)) en we dus
op zoek moeten gaan naar een andere 3-transpositiegroep geassocieerd aan de Fischerruimte.
Voorbeeld 4.1.2. De Fischergroep Fi22 is een enkelvoudige 3-transpositiegroep. We beschouwen
de bijhorende Fischerruimte en Matsuo-algebra en het moduul uit Voorbeeld 3.2.3. Hiervoor is
21
Hoofdstuk 4 – Modulen over Matsuo-algebra’s
µx = −1 voor alle x ∈ P en hµx | x ∈ Pi = ({1, −1}, ·). De afbeelding
ρ : Fi22 = hτx | x ∈ Pi → {1, −1} : τx 7→ µx = −1,
is geen groepsmorfisme. De kern zou immers een echte normaaldeler zijn van Fi22 hetgeen in
strijd is met de enkelvoudigheid van deze groep.
Dit betekent dus dat, voor sommige Mα (G)-modulen en bijhorende Miyamoto-involuties µx ,
er x1 , x2 . . . , xn ∈ P bestaan waarvoor τx1 τx2 · · · τxn = 1 terwijl µx1 µx2 · · · µxn 6= 1. Toch zijn er
een heel aantal relaties van de groep hτx | x ∈ Pi die worden overgedragen op hµx | x ∈ Pi. We
veralgemenen een aantal eigenschappen van de Miyamoto-involuties van de axiale algebra uit
[12, p. 22–25] naar de Miyamoto-involuties van het moduul.
Lemma 4.1.3. Zij M een Mα (G)-moduul, m ∈ M , a ∈ Mα (G) en x ∈ P. Er geldt dat
(i) (m · a)µx = mµx · aτx ;
(ii) (Mφy )µx = Mφy
τx
voor een as y ∈ P.
x
x
Bewijs. (i) Noteer A = Mα (G). Is m ∈ M{1,0}
en a ∈ Ax{1,0} , dan is m · a ∈ M{1,0}
en dus
µ
µ
τ
x
x
x
x
x
x
(m · a) = m · a, m = m en a = m. Is m ∈ Mα en a ∈ A{1,0} (resp. m ∈ M{1,0} en
a ∈ Axα ), dan is m · a ∈ Mαx en dus (m · a)µx = −m · a, mµx = −m (resp. mµx = m) en
x
aτx = a (resp. aτx = −a). Beschouw tot slot m ∈ Mαx en a ∈ Axα , dan is m · a ∈ M{1,0}
,
µ
µ
τ
x
x
x
x
x
x
x
(m · a) = m · a, m = −m en a = −a. Omdat M = M{1,0} ⊕ Mα en A = A{1,0} ⊕ Aα
volgt wegens de lineariteit van de actie van A op M het gestelde.
τx
(ii) Zij m ∈ Mφy dan is mµx ·y τx = (m·y)µx = φmµx , i.e. mµx ∈ Mφy , wegens deel (i). Bijgevolg
τx
τx
is (Mφy )µx ⊆ Mφy . Analoog is (Mφy )µx ⊆ Mφy
τx
τx τx
= Mφy en dus Mφy
τx
τx
2
= (Mφy )µx ⊆
(Mφy )µx . We besluiten dat (Mφy )µx = Mφy .
Lemma 4.1.4. Zij x, y ∈ P, dan is (µx )µy = µxτy .
Bewijs. Beschouw m ∈ Mφx , dan is mµx = εm met ε = ±1 enkel afhankelijk van φ. Wegens
τy
Lemma 4.1.3 (ii) is mµy ∈ Mφx en dus mµy µxτy = εmµy . Er volgt dat
mµy µxτy µy = εm = mµx .
Wegens de lineariteit volgt het gestelde.
We beschouwen nu de groep voortgebracht door transposities die precies aan deze relaties
voldoet.
Definitie 4.1.5. Voor een Fischerruimte G = (P, L) zonder geïsoleerde punten definiëren we de
groep T met presentatie
T = htx voor x ∈ P | t2x = 1 voor alle x ∈ P, ty tx ty txτy = 1 voor alle x, y ∈ Pi.
Lemma 4.1.6. Voor x, y ∈ P geldt dat
(tx ty )2 = 1
indien x y;
(tx ty )3 = 1
indien x ∼ y.
22
Sectie 4.1 – Modulen over Matsuo-algebra’s en representaties van 3-transpositiegroepen
Bewijs. Als x y dan is xτy = x. Er geldt dat (tx )ty = txτy = tx en dus (tx ty )2 = 1. Indien
x ∼ y dan is xτy = y τx = x ∧ y. Men rekent na dat
(tx ty )3 = (ty )tx (tx )ty = tyτx txτy = tx∧y tx∧y = 1.
Stelling 4.1.7. (i) Zij (G, D) een 3-transpositiegroep en G = (P, L) de geassocieerde Fischerruimte zonder geïsoleerde punten. Noteer de bijectie tussen de punten en transposities als
ϕ : P → D. De afbeelding gedefinieerd door
θ : T → G : tx 7→ ϕ(x),
is een surjectief groepsmorfisme.
(ii) Voor G = hτx | x ∈ Pi en ϕ : P → G : x 7→ τx is de kern van dit morfisme het centrum
Z(T ) van T .
(iii) Er geldt dat (T, {tx | x ∈ P}) een 3-transpositiegroep is met geassocieerde Fischerruimte G.
Bewijs. (i) Voor een punt x ∈ P is ϕ(x) een tranpositie van G en dus is ϕ(x)2 = 1. Voor twee
punten x, y ∈ P met x y commuteren de overeenkomstige transposities en is xτy = x.
Bijgevolg is ϕ(y)ϕ(x)ϕ(y) = ϕ(x) = ϕ(xτy ) en ϕ(x)ϕ(y)ϕ(x)ϕ(xτy ) = 1. Beschouwen we
tot slot x, y ∈ P met x ∼ y dan komt, wegens de associatie tussen Fischerruimten en
3-transpositiegroepen uit Stelling 2.2.10, het derde punt op de rechte door x en y, nl. xτy ,
overeen met ϕ(x)ϕ(y) . Er geldt dus ϕ(x)ϕ(y) = ϕ(xτy ) en bijgevolg ϕ(x)ϕ(y)ϕ(x)ϕ(xτy ) = 1.
Dit bewijst dat alle relaties voor tx overdragen op de overeenkomstige ϕ(x) en dus dat θ
een groepsmorfisme is. Dit groepsmorfisme is bovendien duidelijkerwijze surjectief daar de
transposities uit D de volledige groep G voortbrengen.
(ii) Beschouw de afbeelding
θ : T → hτx | x ∈ Pi : tx 7→ τx ,
en zij tx1 tx2 · · · txn ∈ ker(θ) zodat τx1 τx2 · · · τxn = 1. Dan is voor willekeurige x ∈ P:
tx tx2 ···txn
tx 1
= txτx1 τx2 ···τxn = tx .
Het element tx1 tx2 · · · txn commuteert met alle tx en zit dus in het centrum Z(T ). Uit
Lemma 2.2.14 (iii) weten we dat hτx | x ∈ Pi triviaal centrum heeft en dus is wegens de
surjectiviteit ker(θ) = Z(T ).
(iii) Het is duidelijk dat {tx | x ∈ P} een unie is van toevoegingsklassen van transposities die
G voortbrengt. In de geassocieerde Fischerruimte zijn twee punten collineair indien de
orde van het product van de twee corresponderende transposities 3 is. Een partieel lineaire
ruimte wordt bovendien volledig bepaald door de collineariteit van de punten. Lemma 2.2.14
leert dat τx 6= τy voor x 6= y zodat wegens deel (i) ook tx 6= ty . Het gevraagde is nu een
onmiddellijk gevolg van Lemma 4.1.6.
Opmerking 4.1.8. Net als de manier waarop hτx | x ∈ Pi kan gezien worden als de kleinste 3-transpositiegroep horende bij een Fischerruimte G, kunnen we T zien als de grootste
3-transpositiegroep horende bij die Fischerruimte. Voorgaande stelling toont immers aan dat
iedere 3-transpositiegroep met Fischerruimte G een quotiënt is van T .
23
Hoofdstuk 4 – Modulen over Matsuo-algebra’s
Omdat we in het vervolg representaties van T willen beschouwen, beperken we ons tot de
situatie waar T eindig is. Dit blijkt echter geen grote restrictie te zijn daar dit reeds het geval is
van zodra P eindig is.
Lemma 4.1.9. Zij G = (P, L) een Fischerruimte zonder geïsoleerde en met een eindig aantal
punten. Dan is de corresponderende groep T uit Definitie 4.1.5 eindig.
Bewijs. Beschouw een willekeurig element tx1 tx2 · · · txn ∈ T met x1 , x2 , . . . , xn ∈ P. Als een
element ty twee keer voorkomt in deze uitdrukking kunnen we gebruik maken van
ty tz1 tz2 · · · tzn ty = ty tz1 ty ty tz2 ty · · · ty tzn ty = tz τy tz τy · · · tznτy ,
1
2
om een kortere uitdrukking te vinden voor het element tx1 tx2 · · · txn . Ieder element van T is dus
te schrijven als een product van hoogstens |P| elementen tx . Aangezien er slechts een eindig
aantal dergelijke producten zijn is T eindig.
In wat volgt zullen we ons dus steeds beperken tot Fischerruimten G zonder geïsoleerde en
met een eindig aantal punten. De volgende stelling toont aan dat ieder Mα (G)-moduul aanleiding
geeft tot een representatie van T .
Stelling 4.1.10. Zij M een Mα (G)-moduul en µx de corresponderende Miyamoto-involutie van
M voor x ∈ P, dan definieert de afbeelding
ρM : T → GL(M ) : tx 7→ µx ,
een representatie van T .
Bewijs. We moeten hiervoor nagaan dat ρM een groepsmorfisme is en dus dat de relaties, geldig
in T, ook gelden voor de corresponderende µx . Dit volgt echter onmiddellijk uit Lemma 4.1.4.
Voorbeeld 4.1.11. Beschouwt men Mα (G) als Mα (G)-moduul dan is de representatie uit voorgaande stelling de permutatierepresentatie van de actie van T op {tx | x ∈ P} via toevoeging.
Dit komt overeen met de actie van de automorfismen τx op de punten van de Fischerruimte.
Volgend voorbeeld beschouwt de groepen T voor de twee basisstructuren in een Fischerruimte:
AG(2, 2)∨ en AG(2, 3).
Voorbeeld 4.1.12. (i) Beschouw de 3-transpositiegroep Sn = Sym(n) zoals in Voorbeeld 2.2.8.
In het bijzonder beschouwen we dus de 3-transpositiegroep S4 met bijhorende Fischerruimte
AG(2, 3)∨ . We tonen aan dat T ∼
= Sn . De groep Sn kan eindig gepresenteerd worden als
Sn = hs1 , . . . , sn−1 | s2i = 1, (si si+1 )3 = 1, (si sj )2 = 1 voor |i − j| > 1i.
Een bijectie tussen deze presentatie en de voorstelling van Sn als symmetriegroep van de
eerste n natuurlijke getallen wordt gegeven door elke si te associëren met de transpositie
(i i + 1). Beschouw nu de afbeelding
Sn → T : si 7→ t(i i+1) voor i ∈ {1, . . . , n − 1}.
24
Sectie 4.1 – Modulen over Matsuo-algebra’s en representaties van 3-transpositiegroepen
Omdat de relaties die geldig zijn voor si eveneens geldig zijn voor de overeenkomstig t(i i+1)
definieert dit een groepsmorfisme. Men gaat eenvoudig na dat dit groepsmorfisme surjectief
is en de inverse is van de afbeelding θ uit Stelling 4.1.7.
(ii) Voor de 3-transpositiegroep 32 : 2 uit Voorbeeld 2.2.9 die correspondeert met de Fischerruimte
AG(2, 3) geldt dat 32 : 2 niet isomorf is met T . Computerberekeningen tonen aan dat
het centrum van T een cyclische groep van orde 3 is en dat T kan beschreven worden als
((C3 × C3 ) o C3 ) o C2 .
We gaan nu ook het omgekeerde aantonen, namelijk dat het mogelijk is om uit een representatie
van T een moduul te construeren voor de Matsuo-algebra horende bij de Fischerruimte van T .
Definitie 4.1.13. Zij G = (P, L) een Fischerruimte zonder geïsoleerde en met een eindig aantal
punten. Zij T de groep uit Definitie 4.1.5 en ρ : T → GL(V ) een representatie van T in een
vectorruimte V . Omdat ρ(tx )2 = 1 en char(F) 6= 2 is ρ(tx ) diagonaliseerbaar met eigenwaarden 1
en −1. Iedere v ∈ V is bijgevolg te schrijven als de (unieke) som van een 1-eigenvector en een
(−1)-eigenvector. Via lineaire uitbreiding kunnen we dus een actie van Mα (G) op V definiëren als
(
v·x=
0
indien v ρ(tx ) = v;
αv indien v ρ(tx ) = −v,
voor iedere x ∈ P. We tonen aan dat dit een Mα (G)-moduulstructuur definieert op V . We zullen
dit moduul noteren als Mρ .
We tonen eerst volgende lemma aan.
Lemma 4.1.14. Er geldt (v · a)ρ(tx ) = v ρ(tx ) · aτx voor alle v ∈ V , a ∈ Mα (G) en x ∈ P.
Bewijs. Aangezien Mα (G) wordt opgespannen door de elementen uit P mogen we onderstellen
dat a = y ∈ P. Aangezien er een decompositie van V bestaat in 1- en (−1)-eigenvectoren van
ρ(ty ) mogen we wegens de lineariteit onderscheid maken tussen het geval waarbij v een 1- of
(−1)-eigenvector is van ρ(ty ). Is v ρ(ty ) = v dan is v · y = 0 en (v · y)ρ(tx ) = 0. Verder is
(v ρ(tx ) )ρ(tyτx ) = v ρ(tx )ρ(tx ty tx ) = v ρ(tx )ρ(tx )ρ(ty )ρ(tx ) = v ρ(tx ) ,
en dus is ook v ρ(tx ) · y τx = 0. In het tweede geval is v ρ(ty ) = −v en dus v · y = αv en
(v · y)ρ(tx ) = αv ρ(tx ) . Nu is
(v ρ(tx ) )ρ(tyτx ) = v ρ(tx )ρ(tx ty tx ) = v ρ(tx )ρ(tx )ρ(ty )ρ(tx ) = −v ρ(tx ) ,
en dus bij definitie v ρ(tx ) · y τx = αv ρ(tx ) . In beide gevallen is nu (v · y)ρ(tx ) = v ρ(tx ) · y τx .
Voorgaand lemma volstaat om te bewijzen dat Definitie 4.1.13 inderdaad een Mα (G)-moduul
definieert.
Stelling 4.1.15. De actie uit Definitie 4.1.13 bepaalt een Mα (G)-moduul Mρ .
Bewijs. Voor iedere idempotent x ∈ P bestaat er een decompositie van Mρ in 1-, 0- en αeigenvectoren. De 0-eigenruimte (Mρ )x0 (respectievelijk α-eigenruimte (Mρ )xα ) komt overeen met
de 1-eigenruimte van ρ(tx ) (respectievelijk (−1)-eigenruimte van ρ(tx )). Dit vormt uiteraard een
25
Hoofdstuk 4 – Modulen over Matsuo-algebra’s
decompositie van Mρ . De 1-eigenruimte (Mρ )x1 is triviaal. We gaan nu na dat voldaan is aan de
Jordan fusieregels Φ(α). Voor m ∈ (Mρ )x0 en a ∈ Ax{1,0} (respectievelijk m ∈ (Mρ )xα en a ∈ Axα )
geldt mρ(tx ) = m (respectievelijk mρ (tx ) = −m) en aτx = a (respectievelijk aτx = −a). Wegens
Lemma 4.1.14 is
(m · a)ρ(tx ) = mρ(tx ) · aτx = m · a,
en dus is m · a een 1-eigenvector van ρ(tx ) en m · a ∈ (Mρ )x0 . Volledig analoog geldt voor
m ∈ (Mρ )xα en a ∈ Ax{1,0} (respectievelijk m ∈ (Mρ )x0 en a ∈ Axα ) dat mρ(tx ) = −m (respectievelijk
mρ (tx ) = m) en aτx = a (respectievelijk aτx = −a). Wegens Lemma 4.1.14 is m · a een (−1)eigenvector van ρ(tx ) en dus m · a ∈ (Mρ )xα . Aangezien (Mρ )x1 = {0} zijn dit alle fusieregels die we
moeten nagaan en kunnen we besluiten dat Mρ de structuur heeft van een Mα (G)-moduul.
Stelling 4.1.10 en Definitie 4.1.13 vormen in zekere zin inverse constructies.
Stelling 4.1.16. Voor een representatie ρ : T → GL(V ) geldt dat ρMρ en ρ equivalente representaties zijn. Omgekeerd geldt voor een Mα (G)-moduul M waarvoor M1x = {0} voor alle
idempotenten x ∈ P dat MρM isomorf is met M als Mα (G)-moduul.
Bewijs. Dit volgt onmiddellijk uit de overeenkomst tussen de Definitie 4.1.1 van de Miyamotoinvoluties µx en Definitie 4.1.13.
Opmerking 4.1.17. De voorwaarde dat voor iedere idempotent x ∈ P moet gelden dat M1x = {0}
kan niet worden weggelaten. Het moduul Mρ heeft immers nooit een niet-triviale 1-eigenruimte
en er bestaan modulen waarvoor M1x 6= {0}, bijvoorbeeld het moduul Mα (G).
Aangezien voor sommige Fischerruimten de groep hτx | x ∈ Pi een echt quotiënt is van T of,
equivalent, T een niet-triviaal centrum heeft, bestaan er Mα (G)-modulen M en idempotenten
x1 , x2 , . . . , xn ∈ P zodanig dat τx1 τx2 · · · τxn = 1 maar µx1 µx2 · · · µxn =
6 1. Dit is bijvoorbeeld het
geval voor het moduul uit Voorbeeld 4.1.2. Toch kan men nagaan dat, indien M irreducibel is
over de algebraïsche sluiting F van F, µx1 µx2 · · · µxn een scalair is.
Eigenschap 4.1.18. Zij F algebraïsch gesloten en M een irreducibel Mα (G)-moduul. Beschouw
x1 , x2 , . . . , xn ∈ P zodat τx1 τx2 · · · τxn = 1, dan is µx1 µx2 · · · µxn = λ voor een zekere λ ∈ F.
Bewijs. Omdat F algebraïsch gesloten is, bestaat er een niet-triviale eigenruimte Mλ met eigenwaarde λ ∈ F van µx1 µx2 · · · µxn . Voor willekeurige m ∈ Mλ en a ∈ Mα (G) geldt
(m · a)µx1 µx2 ···µxn = mµx1 µx2 ···µxn · aτx1 τx2 ···τxn = λ(m · a),
en dus m · a ∈ Mλ . Omdat a willekeurig is, besluiten we dat Mλ een niet-triviaal deelmoduul is
van M en bijgevolg dat M = Mλ . We besluiten dat µx1 µx2 · · · µxn = λ ∈ F.
Opmerking 4.1.19. De vorige eigenschap is met het lemma van Schur indachtig niet verwonderlijk. Veronderstel dat F algebraïsch gesloten is en zij M een irreducibel Mα (G)-moduul waarvoor
M1x = {0} voor alle idempotenten x ∈ P, dan is ρM een irreducibele representatie van T . Een
deelrepresentatie ρ0 van ρM zou namelijk aanleiding geven tot een deelmoduul Mρ0 van M . Hernemen we de situatie uit Eigenschap 4.1.18 dan geldt wegens Stelling 4.1.7 dat tx1 tx2 · · · txn ∈ Z(T ).
Voor z ∈ Z(T ) geldt dat
ρM (z)ρM (t) = ρM (t)ρM (z),
26
Sectie 4.2 – Expliciete voorstelling van modulen over Matsuo-algebra’s
voor alle t ∈ T . Stelling 3.1.5 impliceert dat ρM (z) een scalair is. In dit geval is dus
ρM (tx1 tx2 · · · txn ) = µx1 µx2 · · · µxn ,
een scalair.
Laten we 1-eigenruimten buiten beschouwing, dan vinden we een 1–1 verband tussen modulen
over Matsuo-algebra’s en representaties van de grootst mogelijke bijhorende 3-transpositiegroep.
De rol van de 1-eigenruimten bespreken we verder in Sectie 4.3.
4.2
Expliciete voorstelling van modulen over Matsuo-algebra’s
In hetgeen volgt beschouwen we een willekeurig Mα (G)-moduul M waarbij G = (P, L) een
Fischerruimte zonder geïsoleerde punten is. In het bijzonder is M een vectorruimte waarvoor een
basis kan gekozen worden. De lineaire operatoren
ada : M → M : m 7→ m · a,
voor a ∈ Mα (G) kan men dan voorstellen als matrices werkend op rijvectoren.
Voor een idempotent x ∈ P is de lineaire operator adx diagonaliseerbaar met eigenwaarden 1,
0 en α. We kiezen nu een basis (e1 , . . . , ek , f1 , . . . , fl , g1 , . . . , gm ) van eigenvectoren van adx :
(ei )adx = ei · x = ei
voor alle 1 ≤ i ≤ k;
(fi )adx = fi · x = 0 voor alle 1 ≤ i ≤ l;
(gi )adx = gi · x = αgi
voor alle 1 ≤ i ≤ m.
Een vector m ∈ M wordt ten opzichte van deze basis uniek ontbonden als
k
X
m=
!
m1,i ei
+
i=1
l
X
!
m0,i fi
+
m
X
i=1
!
mα,i gi
,
i=1
met mφ,i ∈ F. We definiëren
m1 =
k
X
m1,i ei ,
m0 =
i=1
l
X
m0,i fi ,
mα =
i=1
m
X
mα,i gi ,
i=1
en stellen m voor als de rijvector (m1 , m0 , mα ). Een willekeurige lineaire operator L stellen we
ten opzichte van deze basis voor als een blokmatrix


L1,1 L1,0 L1,α


L =  L0,1 L0,0 L0,α  ,
Lα,1 Lα,0 Lα,α
waarbij de blokken overeenkomen met de eigenruimten van adx . Soms zullen we de blokken Li,j
zelf interpreteren als lineaire operatoren van de i-eigenruimte naar de j-eigenruimte van adx . De
lineaire operator µx wordt bijvoorbeeld wegens de definitie van de Miyamoto-involuties en de
27
Hoofdstuk 4 – Modulen over Matsuo-algebra’s
keuze van de basis voorgesteld als de volgende blokmatrix:




Ik

.
Il
−Im
De bedoeling is om voorwaarden te bestuderen die geldig zijn voor de matrixvoorstelling van
ady en µy voor een idempotent y ∈ P. We maken het onderscheid tussen y ∼ x en y x. Een
belangrijk ingrediënt tot het vinden van deze voorwaarden is volgend lemma dat een verband
geeft tussen de lineaire operatoren ady en de Miyamoto-involuties.
Lemma 4.2.1. Voor twee idempotenten x, y ∈ P geldt
(adx )µy = µy adx µy = adxτy .
Bewijs. Dit volgt onmiddellijk uit Lemma 4.1.3. Voor m ∈ M willekeurig is immers
2
(mµy · x)µy = mµy · xτy = m · xτy .
4.2.1
Collineaire punten
Als eerste beschouwen we het geval waarbij y ∈ P een idempotent is met x ∼ y. We stellen ady
ten opzichte van de gekozen eigenbasis van adx voor als


Y1,1 Y1,0 Y1,α


 Y0,1 Y0,0 Y0,α  .
Yα,1 Yα,0 Yα,α
Lemma 4.2.1 levert ons nu ook de matrixvoorstelling van adx∧y = adyτx :

Ik

Il



 

Y1,1 Y1,0 Y1,α
Ik
Y1,1
Y1,0 −Y1,α


 

Y0,0 −Y0,α  .
Il
  Y0,1 Y0,0 Y0,α  
 =  Y0,1
−Im
Yα,1 Yα,0 Yα,α
−Im
−Yα,1 −Yα,0 Yα,α
De fusieregels stellen nog extra eisen aan de matrixvoorstelling van ady en adx∧y . Aangezien
y + x ∧ y − αx ∈ Ax0 is de restrictie van ady+x∧y−αx tot M1x = he1 , . . . , ek i de nuloperator, of
uitgedrukt in termen van de matrixvoorstelling:
2Y1,1 − αIk = Ok ,
2Y0,1 = Ol×k .
Daarnaast geldt ook dat de restrictie van ady+x∧y−αx tot M0x in M0x terecht komt en dus dat
2Y1,0 = 0. De andere fusieregels leveren geen extra voorwaarden. Samengevat hebben we de
volgende eisen voor de matrixvoorstelling van ady (en dus adx∧y ) omdat we onderstellen dat
char(F) 6= 2.
28
Sectie 4.2 – Expliciete voorstelling van modulen over Matsuo-algebra’s
Voorwaarden 4.2.2. Er geldt dat
α
Ik ,
2
= Om×l ,
Y1,1 =
(4.1)
Y1,0
(4.2)
Y0,1 = Ol×m .
(4.3)
Ook voor de matrixvoorstelling van de Miyamoto-involutie µy , die we zullen noteren als


M1,1 M1,0 M1,α


 M0,1 M0,0 M0,α  ,
Mα,1 Mα,0 Mα,α
(4.4)
gelden er zekere voorwaarden. De eerste voorwaarden drukken uit dat µy een involutie is.
Voorwaarden 4.2.3. Omdat µ2y = 1 geldt er dat
2
+ M1,0 M0,1 + M1,α Mα,1 = Ik ,
M1,1
(4.5)
M1,1 M1,0 + M1,0 M0,0 + M1,α Mα,0 = Ok×l ,
(4.6)
M1,1 M1,α + M1,0 M0,α + M1,α Mα,α = Ok×m ,
(4.7)
M0,1 M1,1 + M0,0 M0,1 + M0,α Mα,1 = Ol×k ,
(4.8)
M0,1 M1,0 +
2
M0,0
+ M0,α Mα,0 = Il ,
(4.9)
M0,1 M1,α + M0,0 M0,α + M0,α Mα,α = Ol×m ,
(4.10)
Mα,1 M1,1 + Mα,0 M0,1 + Mα,α Mα,1 = Om×k ,
(4.11)
Mα,1 M1,0 + Mα,0 M0,0 + Mα,α Mα,0 = Om×l ,
(4.12)
2
Mα,1 M1,α + Mα,0 M0,α + Mα,α
= Im .
(4.13)
µ
Ook het feit dat µxy = µµy x (= µx∧y ) resulteert in bijkomende voorwaarden.
µ
Voorwaarden 4.2.4. Omdat µx y = µµy x is
2
M1,1
+ M1,0 M0,1 − M1,α Mα,1 = M1,1 ,
(4.14)
M1,1 M1,0 + M1,0 M0,0 − M1,α Mα,0 = M1,0 ,
(4.15)
M1,1 M1,α + M1,0 M0,α − M1,α Mα,α = −M1,α ,
(4.16)
M0,1 M1,1 + M0,0 M0,1 − M0,α Mα,1 = M0,1 ,
(4.17)
M0,1 M1,0 +
2
M0,0
− M0,α Mα,0 = M0,0 ,
(4.18)
M0,1 M1,α + M0,0 M0,α − M0,α Mα,α = −M0,α ,
(4.19)
Mα,1 M1,1 + Mα,0 M0,1 − Mα,α Mα,1 = −Mα,1 ,
(4.20)
Mα,1 M1,0 + Mα,0 M0,0 − Mα,α Mα,0 = −Mα,0 ,
(4.21)
2
Mα,1 M1,α + Mα,0 M0,α − Mα,α
= Mα,α .
(4.22)
Door Voorwaarden 4.2.3 en Voorwaarden 4.2.4 te combineren bekomen we de volgende
eenvoudigere voorwaarden.
29
Hoofdstuk 4 – Modulen over Matsuo-algebra’s
Voorwaarden 4.2.5.
(4.5) − (4.14)
2M1,α Mα,1 = Ik − M1,1 ,
(4.23)
(4.6) − (4.15)
2M1,α Mα,0 = −M1,0 ,
(4.24)
(4.7) − (4.16)
2M1,α Mα,α = M1,α ,
(4.25)
(4.8) − (4.17)
2M0,α Mα,1 = −M0,1 ,
(4.26)
(4.9) − (4.18)
2M0,α Mα,0 = Il − M0,0 ,
(4.27)
(4.10) − (4.19)
2M0,α Mα,α = M0,α ,
(4.28)
(4.11) − (4.20)
2Mα,α Mα,1 = Mα,1 ,
(4.29)
(4.12) − (4.21)
2Mα,α Mα,0 = Mα,0 ,
(4.30)
(4.13) − (4.22)
2
2Mα,α
(4.31)
= Im − Mα,α .
De lineaire operatoren ady en µy staan in verband door middel van Lemma 4.2.1. Hieruit
µ
µ µ
volgt dat adx y = adx∧y = adµy x en dus ady = adx y x . Dit levert de volgende matrixvoorstelling
voor ady :

2 + αM
M1,1
M1,1 M1,0 + αM1,α Mα,0 −M1,1 M1,α − αM1,α Mα,α
1,α Mα,1


M0,1 M1,0 + αM0,α Mα,0 −M0,1 M1,α − αM0,α Mα,α  . (4.32)
 M0,1 M1,1 + αM0,α Mα,1
2
−Mα,1 M1,1 − αMα,α Mα,1 −Mα,1 M1,0 − αMα,α Mα,0
Mα,1 M1,α + αMα,α

Voorwaarden 4.2.2 die gelden voor de matrixvoorstelling van ady herleiden zich nu tot
voorwaarden voor de matrixvoorstelling van µy .
Voorwaarden 4.2.6. Uit Voorwaarden 4.2.2 volgt dat
α
Ik ,
2
= Ok×l ,
2
M1,1
+ αM1,α Mα,1 =
M1,1 M1,0 + αM1,α Mα,0
M0,1 M1,1 + αM0,α Mα,1 = Ol×k .
(4.33)
(4.34)
(4.35)
Uit vergelijking (4.31) leidt men nu bijvoorbeeld af dat de matrix Mα,α diagonaliseerbaar is
met eigenwaarden −1 en 12 . In het bijzonder is de matrix Mα,α inverteerbaar. Zoals volgende
stelling aantoont kan ook de matrix M1,1 gediagonaliseerd worden met een unieke eigenwaarde.
Stelling 4.2.7. Er geldt dat
M1,1 =
α
Ik .
2
(4.36)
Bewijs. Combineren we vergelijkingen (4.23) en (4.33), dan vinden we
2
2M1,1
− αM1,1 = Ok .
(4.37)
Omdat we onderstellen dat α =
6 0 is M1,1 diagonaliseerbaar met eigenwaarden 0 en α2 . We tonen
aan dat M1,1 de scalaire matrix α2 Ik is. We moeten hiervoor aantonen dat de eigenwaarde 0 niet
kan voorkomen. Onderstel uit het ongerijmde dat v een linkse 0-eigenvector is van M1,1 . Uit
vergelijking (4.14) halen we dat
vM1,0 M0,1 = vM1,α Mα,1 ,
30
Sectie 4.2 – Expliciete voorstelling van modulen over Matsuo-algebra’s
en wegens (4.23) is vM1,α Mα,1 = 12 v en dus vM1,0 M0,1 = 12 v. Anderzijds kunnen we vergelijking
(4.24) en (4.34) combineren tot
α
M1,1 M1,0 = M1,0 ,
2
waaruit we halen dat vM1,0 = 0. Dit betekent dat v = 0 en we besluiten dat
M1,1 =
α
Ik .
2
Door het bestuderen van de rang van deze matrices kan men ongelijkheden afleiden voor de
dimensies van de eigenruimten.
Eigenschap 4.2.8. Voor een Mα (G)-moduul M met α 6= 2 en een willekeurige idempotent x ∈ P
geldt dat dim(M1x ) ≤ dim(Mαx ).
Bewijs. Onderstelt men dat α 6= 2 dan is 1 geen eigenwaarde van M1,1 en dus is det(Ik −M1,1 ) 6= 0.
Uit vergelijking (4.23) volgt dat ook det(M1,α Mα,1 ) 6= 0. Bijgevolg is M1,α een (l × m)-matrix
van volle rang l omdat M1,α Mα,1 een vierkante matrix is met volle rang l. We besluiten dat
l ≤ m.
Indien α 6= −1, 2 kan men eveneens afleiden dat de dimensie van de 0-eigenruimte groter is
dan die van de 1-eigenruimte.
Eigenschap 4.2.9. Voor een Mα (G)-moduul M met α 6= −1, 2 en een willekeurige idempotent
x ∈ P geldt dat dim(M1x ) ≤ dim(M0x ).
Bewijs. Uit vergelijkingen (4.5) en (4.33) volgt dat
α
M1,0 M0,1 + (1 − α)M1,α Mα,1 = 1 −
Ik .
2
Vervang in deze uitdrukking M1,α Mα,1 door 12 (Ik − M1,1 ) aan de hand van vergelijking (4.23) en
werk uit tot
1−α
1
M1,0 M0,1 =
M1,1 +
Ik .
2
1−α
k
1
1
Nu is det(M1,0 M0,1 ) = 1−α
det(M1,1 + 1−α
Ik ) 6= 0 omdat 1−α
+ α2 6= 0 indien α 6= −1, 2. Het
2
gestelde volgt nu op analoge wijze als in het bewijs van Eigenschap 4.2.8.
Al deze voorwaarden laten toe om de matrixvoorstelling van ady uit vergelijking (4.32) te
vereenvoudigen.
Stelling 4.2.10. Zij x, y ∈ P met x ∼ y. Stelt men µy ten opzichte van de eigenbasis van adx
voor als de matrix (4.14) dan is

α
2 Ik

 Ol×k
−αMα,1

Ok×l
−αM1,α

M0,1 M1,0 + αM0,α Mα,0 −M0,1 M1,α − α2 M0,α  ,
2
−Mα,1 M1,0 − α2 Mα,0
Mα,1 M1,α + αMα,α
de matrixvoorstelling van ady .
31
Hoofdstuk 4 – Modulen over Matsuo-algebra’s
Bewijs. Herneem de matrixvoorstelling van ady uit vergelijking (4.32). Uit vergelijkingen (4.36),
(4.25) en (4.29) volgt
−M1,1 M1,α − αM1,α Mα,α = −αM1,α ,
en
−Mα,1 M1,1 − αMα,α Mα,1 = −αMα,1 .
Uit vergelijkingen (4.28) en (4.30) haalt men
−M0,1 M1,α − αM0,α Mα,α = −M0,1 M1,α −
α
M0,α ,
2
−Mα,1 M1,0 − αMα,α Mα,0 = −Mα,1 M1,0 −
α
Mα,0 .
2
en
Uit Voorwaarden 4.2.6 volgt nu ten slotte het gestelde.
4.2.2
Niet-collineaire punten
Vervolgens beschouwen we het geval waarvoor y ∈ P een idempotent is en y x. Opnieuw stellen
we ady voor door de matrix


Y1,1 Y1,0 Y1,α


 Y0,1 Y0,0 Y0,α  ,
Yα,1 Yα,0 Yα,α
en µy door de matrix

M1,1 M1,0 M1,α


 M0,1 M0,0 M0,α  .
Mα,1 Mα,0 Mα,α

Uit Lemma 4.2.1 volgt dat µx ady = ady µx en wegens Lemma 4.1.4 is ook µx µy = µy µx . Omdat
char(F) 6= 2 vinden we hieruit de volgende voorwaarden.
Voorwaarden 4.2.11. Er geldt dat
Y1,α = Ok×m ,
(4.38)
Y0,α = Ol×m ,
(4.39)
Yα,1 = Om×k ,
(4.40)
Yα,0 = Om×l ,
(4.41)
M1,α = Ok×m ,
(4.42)
M0,α = Ol×m ,
(4.43)
Mα,1 = Om×k ,
(4.44)
Mα,0 = Om×l .
(4.45)
Hiermee rekening houdend, levert de voorwaarde µ2y = 1 de volgende condities.
32
Sectie 4.3 – De rol van de 1-eigenruimte
Voorwaarden 4.2.12. Omdat µ2y = 1 geldt dat
2
M1,1
+ M1,0 M0,1 = Ik ,
(4.46)
M1,1 M1,0 + M1,0 M0,0 = Ok×l ,
(4.47)
M0,1 M1,1 + M0,0 M0,1 = Ol×k ,
(4.48)
2
M0,1 M1,0 + M0,0
= Il ,
(4.49)
2
Mα,α
(4.50)
= Im .
µ
Tot slot drukken we uit dat adx y = adx .
µ
Voorwaarden 4.2.13. Omdat adxy = adx is
2
M1,1
= Ik ,
(4.51)
M1,1 M1,0 = Ok×l ,
(4.52)
M0,1 M1,1 = Ol×k ,
(4.53)
M0,1 M1,0 = Ol ,
(4.54)
2
αMα,α
= αIm .
(4.55)
Uit voorwaarde (4.51) volgt dat M1,1 inverteerbaar is en dus volgt uit vergelijkingen (4.52) en
2 =I.
(4.53) dat M1,0 = Ok×l en M0,1 = Ol×k . Tot slot volgt uit (4.54) en (4.49) dat M0,0
l
Voorwaarden 4.2.14. Voor de matrixvoorstelling van µy geldt dat
M1,0 = Ok×l ,
(4.56)
M0,1 = Ol×k ,
(4.57)
2
M0,0
= Il .
(4.58)
We besluiten dat de matrixvoorstellingen van ady en µy relatief eenvoudig zijn.
Stelling 4.2.15. Zij x, y ∈ P met x y. De matrixvoorstellingen van ady en µy ten opzichte
van de eigenbasis van adx zijn respectievelijk van de vorm



M1,1


M0,0
 en 
Y1,1 Y1,0

Y0,1 Y0,0
Yα,α


.
Mα,α
Bewijs. Dit volgt onmiddellijk uit Voorwaarden 4.2.11 en Voorwaarden 4.2.14.
Merk tot slot op dat, aangezien µx en µy commuteren, men zelfs een gemeenschappelijk basis
van eigenvectoren kan kiezen voor beide operatoren.
4.3
De rol van de 1-eigenruimte
Stelling 4.1.16 geeft ons een verband tussen modulen over Matsuo-algebra’s met triviale 1-eigenruimte en representaties van een 3-transpositiegroep. We nemen nu een ander standpunt in
en gaan modulen beschouwen die een niet-triviale 1-eigenruimte hebben. We tonen aan dat het
33
Hoofdstuk 4 – Modulen over Matsuo-algebra’s
mogelijk is om op een voor de hand liggende wijze deze 1-eigenruimte weg te werken. Verder
tonen we aan dat, onder bepaalde voorwaarden, een irreducibel moduul met een niet-triviale
1-eigenruimte isomorf is met de Matsuo-algebra.
Allereerst bewijzen we dat men uit een willekeurig moduul de 1-eigenruimte kan wegwerken
zodat er eventueel vervolgens Stelling 4.1.16 op toegepast kan worden. Dit doen we door op
artificiële wijze de actie van Mα (G) op de 1-eigenruimte te herdefiniëren als 0.
Stelling 4.3.1. Zij M een Mα (G)-moduul. We
actie van Mα (G) op M als


 0
m∗x=
0


αm
definiëren via lineaire uitbreiding een nieuwe
als m ∈ M0x ,
als m ∈ M1x ,
als m ∈ Mαx ,
voor alle m ∈ M en x ∈ P. Deze actie definieert een nieuw Mα (G)-moduul.
Bewijs. Hoewel men dit rechtstreeks kan narekenen volgt dit onmiddellijk uit het feit dat dit
moduul isomorf is met het moduul MρM zoals geconstrueerd in Sectie 4.1.
Vervolgens tonen we aan dat een irreducibel Mα (G)-moduul met een niet-triviale 1-eigenruimte
onder bepaalde voorwaarden isomorf is met het moduul uit Voorbeeld 3.2.4. Voor de eenvoud
onderstellen we bijkomend dat de Fischerruimte G = (P, L) samenhangend is. Dit doen we omdat
de groep T uit Definitie 4.1.5 in dat geval transitief werkt op de verzameling {tx | x ∈ P} via
toevoeging.
Lemma 4.3.2. Zij x, y ∈ P. Indien G samenhangend is, bestaat er een element t ∈ T zodat
(tx )t = ty .
Bewijs. Het bewijs verloopt analoog als dat van Stelling 2.2.17 (i).
Noteer de groep voortgebracht door de Miyamoto-involuties van het Mα (G)-moduul M als
U = hµx | x ∈ Pi ≤ GL(M ) en beschouw zoals in Stelling 4.1.7 en Stelling 4.1.10 de surjectieve
groepsmorfismen
µ : T → U : tx → µx ,
τ : T → hτx | x ∈ Pi ≤ Aut(Mα (G)) : tx 7→ τx .
Voor deze afbeeldingen gelden de volgende eigenschappen.
Eigenschap 4.3.3. Voor x ∈ P, t ∈ T en φ ∈ {1, 0, α} geldt
(i) (tx )t = txτ (t) ,
(ii) (Mφx )µ(t) = Mφx
τ (t)
.
Bewijs. Schrijf t = tx1 tx2 · · · txn . Dan is
(tx )t = (tx )tx1 tx2 ···txn = txτx1 τx2 ···τxn = txτ (t) ,
en
(Mφx )µ(t) = (Mφx )µx1 µx2 ···µxn = Mφx
34
τx1 τx2 ···τxn
Mφx
τ (t)
.
Sectie 4.3 – De rol van de 1-eigenruimte
Volgende definitie en bijhorende lemma zullen later een belangrijke rol spelen.
Definitie 4.3.4. Voor een idempotent x ∈ P is de centralisator CT (tx ) van tx in T de deelgroep
CT (tx ) = {t ∈ T | (tx )t = tx }.
We definiëren
Ux = µ(CT (tx )),
hetgeen een deelgroep is van U .
0
Lemma 4.3.5. Indien voor elementen t, t0 ∈ T geldt dat (tx )t = (tx )t dan is Ux µ(t) = Ux µ(t0 ).
0 −1
Bewijs. Omdat (tx )t(t )
dat
= tx is t(t0 )−1 ∈ CT (tx ) en dus CT (tx )t(t0 )−1 = CT (tx ). Hieruit volgt
Ux µ(t) = µ(CT (tx )t) = µ(CT (tx )t0 ) = Ux µ(t0 ).
Beschouw nu een Mα (G)-moduul M , een idempotent x ∈ P en m ∈ M1x met m 6= 0. We
zullen aan de hand van m een deelmoduul construeren dat onder bepaalde voorwaarden isomorf is
met Mα (G). Een eerste stap bestaat er in om een deelruimte van M te construeren die invariant
is onder de werking van U . Dit is precies waarvoor we de deelgroep Ux zullen gebruiken.
Definitie 4.3.6. Zij M een Mα (G)-moduul, x ∈ P een idempotent en m ∈ M1x met m 6= 0.
Definieer
X
mx =
mµ .
µ∈Ux
Voor elke y ∈ P bestaat er wegens Lemma 4.3.2 een element t ∈ T waarvoor (tx )t = ty en
definiëren we
my = (mx )µ(t) .
We tonen aan dat de elementen my goed gedefinieerd zijn en behoren tot M1y .
Lemma 4.3.7.
0
0
(i) Voor elementen t, t0 ∈ T waarvoor (tx )t = (tx )t is (mx )µ(t) = (mx )µ(t ) .
(ii) Voor iedere y ∈ P is my ∈ M1y .
Bewijs.
(i) Wegens Lemma 4.3.5 is
(mx )µ(t) =
X
mµ =
X
0
mµ = (mx )µ(t ) .
µ∈Ux µ(t0 )
µ∈Ux µ(t)
(ii) Voor t ∈ CT (tx ) is tx = (tx )t = txτ (t) wegens Eigenschap 4.3.3 (i). Uit het bewijs van
Stelling 4.1.7 (iii) volgt dat xτ (t) = x. Wegens Eigenschap 4.3.3 (ii) is mµ(t) ∈ M1x waaruit
we afleiden dat mx ∈ M1x . Voor y ∈ P willekeurig en t ∈ T waarvoor (tx )t = ty en dus
xτ (t) = y geldt my = (mx )µ(t) ∈ (M1x )µ(t) = M1y wegens Eigenschap 4.3.3.
Vooraleer de eigenlijke stelling te formuleren tonen we eerst aan dat de deelruimte hmy | y ∈ Pi
van M invariant is onder de actie van U .
35
Hoofdstuk 4 – Modulen over Matsuo-algebra’s
Lemma 4.3.8. Voor t ∈ T en y ∈ P geldt (my )µ(t) = myτ (t) .
0
0
Bewijs. Beschouw t0 ∈ T zodat (tx )t = ty en dus (mx )µ(t ) = my . Omwille van Eigenschap 4.3.3
0
0
is (ty )t = tyτ (t) . We besluiten dat (tx )t t = tyτ (t) en dus bij definitie myτ (t) = (mx )µ(t t) =
(my )µ(t) .
Stelling 4.3.9. De deelruimte hmy | y ∈ Pi is een deelmoduul van M en de afbeelding, via
lineaire uitbreiding gedefinieerd door
Mα (G) → hmy | y ∈ Pi : y 7→ my ,
is een surjectief morfisme van Mα (G)-modulen.
Bewijs. Het volstaat hiervoor om aan te tonen dat voor idempotenten y, z ∈ P geldt dat
my · z = 0
indien y z;
(4.59)
(my + my∧z − αmz ) · z = 0
indien y ∼ z;
(4.60)
mz · z = mz ;
(4.61)
(my − my∧z ) · z = α(my − my∧z )
indien y ∼ z.
(4.62)
Voorwaarde (4.61) volgt onmiddellijk uit Lemma 4.3.8. Ook voorwaarde (4.59) kan men hieruit
afleiden. Beschouw immers z, y ∈ P met y z. Dit betekent dat z ∈ (Mα (G))y0 . Wegens Lemma
4.3.8 is anderzijds y ∈ M1y . Uit de fusieregel M1y · (Mα (G))y0 ⊆ {0} volgt dus
my · z = 0.
Om de laatste twee voorwaarden (4.60) en (4.62) aan te tonen maken we gebruik van de expliciete
voorstelling zoals beschreven in Sectie 4.2. Meer bepaald nemen we idempotenten y, z ∈ P met
y ∼ z. Vervolgens kiezen we een basis van eigenvectoren van ady zoals in Sectie 4.2 waarbij we
zonder verlies aan algemeenheid kunnen onderstellen dat e1 = my . De vector my wordt dus
voorgesteld als de rijvector (1, 0, . . . , 0). Stel µz ten opzichte van deze basis voor als de blokmatrix


M1,1 M1,0 M1,α


 M0,1 M0,0 M0,α  .
Mα,1 Mα,0 Mα,α
(4.63)

M1,1
M1,0 −M1,α


M0,0 −M0,α  ,
 M0,1
−Mα,1 −Mα,0 Mα,α
(4.64)
Omdat µy∧z = (µz )µy is

de matrixvoorstelling van µy∧z . Uit Lemma 4.3.8 volgt nu dat my∧z = mµy z en dus wordt
µ
voorgesteld als de eerste rij van (4.63). Daarnaast wordt mz = my y∧z voorgesteld als de eerste rij
van (4.64). Uit Stelling 4.2.10 volgt dat adz kan voorgesteld worden als

α
2 Ik

 Ol×k
−αMα,1

Ok×l
−αM1,α

M0,1 M1,0 + αM0,α Mα,0 −M0,1 M1,α − α2 M0,α  .
2
−Mα,1 M1,0 − α2 Mα,0
Mα,1 M1,α + αMα,α
36
Sectie 4.3 – De rol van de 1-eigenruimte
We rekenen nu expliciet de voorwaarden (4.60) en (4.61) na en maken gebruik van de condities
bewezen in Sectie 4.2.
Om aan te tonen dat (my + mz∧y − αmz ) · z = 0, of wegens mz · z = mz equivalent
(my + mz∧y ) · z = αmz , moeten we nagaan dat de eerste rijen van

α
2 Ik

Ik + M1,1 M1,0 M1,α  Ol×k
−αMα,1

Ok×l
−αM1,α

M0,1 M1,0 + αM0,α Mα,0 −M0,1 M1,α − α2 M0,α  ,
2
Mα,1 M1,α + αMα,α
−Mα,1 M1,0 − α2 Mα,0
en
αM1,1 αM1,0 −αMα,0 ,
gelijk zijn. We tonen aan dat beide matrices aan elkaar gelijk zijn en dus in het bijzonder hun
eerste rijen.
Uit (4.23) volgt
α
(Ik + M1,1 ) + M1,α (−αMα,1 )
2
α
α
= (Ik + M1,1 ) − (Ik − M1,1 )
2
2
= αM1,1 .
Voor het tweede blok vinden we enerzijds
M1,0 M0,1 M1,0 − M1,α Mα,1 M1,0
2
= M1,1 − M1,1
M1,0
2α − α2
M1,0
=
4
wegens (4.14)
wegens (4.36).
Anderzijds is
α
M1,α Mα,0
2
α
= α (−M1,α Mα,α − M1,1 M1,α ) Mα,0 − M1,α Mα,0
2
−2α − α2
=
M1,α Mα,0
2
2α + α2
=
M1,0
4
αM1,0 M0,α Mα,0 −
wegens (4.7)
wegens (4.36) en (4.25)
wegens (4.24).
Tel beide uitdrukkingen bij elkaar op en besluit dat
α
M1,0 (M0,1 M1,0 + αM0,α Mα,0 ) + M1,α −Mα,1 M1,0 − Mα,0 = αM1,0 .
2
Beschouw tot slot het derde blok. Hiervoor geldt achtereenvolgens wegens (4.14), (4.7), (4.25)
37
Hoofdstuk 4 – Modulen over Matsuo-algebra’s
en (4.36) dat
α
2
(Ik + M1,1 ) (−αM1,α ) + M1,0 −M0,1 M1,α − M0,α + M1,α Mα,1 M1,α + αMα,α
2
α
2
2
= (Ik + M1,1 ) (−αM1,α ) + M1,1 − M1,1 M1,α − M1,0 M0,α + αM1,α Mα,α
2
α
2
2
= (Ik + M1,1 ) (−αM1,α ) + M1,1
− M1,1 M1,α − (−M1,1 M1,α − M1,α Mα,α ) + αM1,α Mα,α
2
= −αM1,α .
Beide matrices zijn bijgevolg gelijk en er geldt dat (my + mz∧y − αmz ) · z = 0.
Om aan te tonen dat (my − mz∧y ) · z = α(my − mz∧y ) bewijst men dat

α
2 Ik

Ik − M1,1 −M1,0 −M1,α  Ol×k
−αMα,1

Ok×l
−αM1,α

M0,1 M1,0 + αM0,α Mα,0 −M0,1 M1,α − α2 M0,α  ,
2
−Mα,1 M1,0 − α2 Mα,0
Mα,1 M1,α + αMα,α
en
αIk − αM1,1 −αM1,0 −αM1,α ,
gelijk zijn. In het bijzonder zijn opnieuw de eerste rijen gelijk. De berekeningen zijn op een aantal
tekenwissels na volledig analoog aan de voorgaande. Dit bewijst dat de afbeelding een morfisme
van Mα (G)-modulen is. Bovendien is dit morfisme duidelijk surjectief.
Volgende stelling geeft een voldoende voorwaarde opdat dit morfisme injectief zou zijn.
Stelling 4.3.10. Zij G = (P, L) een samenhangende Fischerruimte met een eindig aantal punten
en collineariteitsmatrix A. Zij Mα (G) de bijhorende Matsuo-algebra. Beschouw voor een Mα (G)moduul M en een idempotent x ∈ P een vector m ∈ M1x en definieer
mx =
X
mµ .
µ∈Ux
Indien mx 6= 0 en det(I + α2 A) 6= 0 dan is h(mx )µ | µ ∈ U i isomorf met Mα (G) als Mα (G)-moduul.
Bewijs. Het volstaat hiervoor om aan te tonen dat het morfisme uit Stelling 4.3.9 injectief is.
Noteer voor een willekeurig element a ∈ Mα (G) het beeld van a onder dit morfisme als ma . We
tonen aan dat onder de voorwaarden van de stelling ma 6= 0 voor alle a ∈ Mα (G) \ {0}. Merk op
dat reeds my 6= 0 voor y ∈ P omdat mx 6= 0 en de elementen van U inverteerbaar zijn.
Veronderstel nu dat a ∈ Mα (G) en ma = 0. Beschouw een willekeurig idempotent y ∈ P en
ontbind a ten opzichte van de decompositie in eigenruimten van ady als a = a1 + a0 + aα waarbij
aφ ∈ (Mα (G))yφ . Dan geldt
ma = ma1 + ma0 + maα = 0.
Anderzijds is 0 = ma · y = ma·y en dus
ma1 + αmaα = 0.
µ
Tot slot is ook 0 = ma y = maτy en dus
ma1 + ma0 − maα = 0.
38
Sectie 4.3 – De rol van de 1-eigenruimte
Uit deze drie vergelijkingen halen we dat ma1 = ma0 = maα = 0.
Omdat de 1-eigenruimte van ady in Mα (G) wordt opgespannen door y is a1 = λy voor een
zekere λ ∈ F. Omdat my =
6 0 volgt dat a1 = 0. Omdat de keuze y ∈ P willekeurig was, besluiten
we dat voor iedere idempotent in P de component van a in de 1-eigenruimte nul is.
Zij h , i de Frobeniusvorm van de Matsuo-algebra Mα (G) uit Stelling 2.2.18. Wegens Eigenschap 2.1.22 is de uitspraak dat de component van a in de 1-eigenruimte van een willekeurige
idempotent in P triviaal is equivalent met
ha, yi = 0 voor alle y ∈ P.
Schrijf a =
P
z∈P
λz z met λz ∈ F. Uit de definitie van de Frobeniusvorm volgt dat
ha, yi = λy +
αX
λz = 0.
2 z∼y
De elementen λz vormen dus een oplossing van het lineaire stelsel
α X I + A = 0,
2
met A de collineariteitsmatrix van G ten opzichte van een ordening van de punten. Omdat
det(I + α2 A) 6= 0 volgt dat λz = 0 voor alle z ∈ P en dus a = 0.
Opmerking 4.3.11. Wegens Stelling 2.2.17 (i) is voor een samenhangende Fischerruimte G
het aantal rechten door een punten een constante d ∈ N. Het aantal punten collineair met een
gegeven punt is 2d. Hieruit volgt dat (1, 1, . . . , 1) een (1 + αd)-eigenvector is van I + α2 A met A
een collineariteitsmatrix van G. Is 1 + αd = 0 dan volgt uit het bewijs van Stelling 2.2.17 (ii) dat
!
X
x a = 0,
x∈P
voor alle a ∈ Mα (G). Hierdoor is de actie door vermenigvuldiging van Mα (G) op de quotiëntruimte
P
van Mα (G) en h x∈P xi goed gedefinieerd en heeft deze quotiëntruimte de structuur van een
Mα (G)-moduul. De voorwaarde dat det I + α2 6= 0 kan dus niet uit Stelling 4.3.10 worden
weggelaten.
Opmerking 4.3.12. De restrictie dat de Fischerruimte samenhangend is, kan eenvoudig worden
weggewerkt. Indien {Gi = (Pi , Li ) | i ∈ I} de verzameling is van samenhangscomponenten van
een Fischerruimte G dan is
M
Mα (G) =
Mα (Gi ),
i∈I
omdat xy = 0 indien x en y punten zijn die behoren tot een verschillende samenhangscomponent.
De voorwaarde det(I + α2 A) 6= 0 voor een collineariteitsmatrix A van G is equivalent met
det(I + α2 Ai ) 6= 0 voor alle i ∈ I voor een collineariteitsmatrices Ai van Gi . Voor iedere
samenhangscomponent Gi kiezen we nu een idempotent xi ∈ Pi en definiëren we mxi zoals in
Stelling 4.3.10. Indien mxi 6= 0 en det(I + α2 Ai ) 6= 0 dan is hmµxi | µ ∈ U i isomorf met het
Mα (G)-moduul Mα (Gi ). Men vindt op deze manier dat hmµxi | i ∈ I, µ ∈ U i als Mα (G)-moduul
39
Hoofdstuk 4 – Modulen over Matsuo-algebra’s
isomorf is met
M
Mα (Gi ),
i∈I en mxi 6=0
wanneer det(I + α2 A) 6= 0.
4.4
Enkele voorbeelden
Tot slot geven we enkele voorbeelden van modulen over Matsuo-algebra’s. We beperken ons
hierbij tot Matsuo-algebra’s over de drie voornaamste deelruimten van een Fischerruimte: een
rechte met drie punten, het duaal affien vlak van orde 2 en het affien vlak van orde 3. Zo zullen
we alle irreducibele modulen van de Matsuo-algebra over een rechte met α =
6 −1, 2 classificeren in
Stelling 4.4.1.
Deze voorbeelden zijn niet alleen nuttig op zichzelf. Voor een willekeurige Fischerruimte kan
men een deelruimte beschouwen isomorf aan één van deze voorbeelden. Ieder moduul over de
Matsuo-algebra horende bij deze Fischerruimte is dan in het bijzonder ook een moduul van de
Matsuo-algebra over de deelruimte.
4.4.1
Een rechte met 3 punten
Allereerst beschouwen we de Fischerruimte G bestaande uit 3 punten x, y en x ∧ y die op een
rechte liggen. De bijhorende 3-transpositiegroep is de groep S3 = Sym(3) met transposities (1 2),
(2 3) en (1 3) die we respectievelijk laten corresponderen met de punten x, y en x ∧ y.
De irreducibele representaties van S3 zijn (onder de veronderstelling char(F) 6= 3) eenvoudig
te bepalen als,
(i) de 1-dimensionale triviale representatie
(1 2) 7→ 1,
(2 3) 7→ 1;
(ii) de 1-dimensionale tekenrepresentatie
(1 2) 7→ −1,
(2 3) 7→ −1;
(iii) de 2-dimensionale standaardrepresentatie
(1 2) 7→
!
−1 0
,
1 1
(2 3) 7→
!
1 1
.
0 −1
Stelling 4.4.1. Zij α 6= −1, 0, 1, 2 en char(F) 6= 2, 3. De irreducibele modulen over Mα (G) zijn
(i) het 1-dimensionaal triviaal moduul uit Voorbeeld 3.2.2;
(ii) het 1-dimensionaal moduul uit Voorbeeld 3.2.3;
(iii) het 2-dimensionaal moduul waarvoor adx en ady de volgende matrixvoorstellingen hebben:
adx =
!
α 0
,
−α 0
40
ady =
!
0 −α
;
0 α
Sectie 4.4 – Enkele voorbeelden
(iv) het moduul Mα (G).
Bewijs. De modulen over Mα (G) zonder 1-eigenruimten komen wegens Stelling 4.1.16 overeen
met de irreducibele representaties van S3 . De modulen (i), (ii) en (iii) ontstaan uit de triviale,
teken- en standaardrepresentatie van S3 .
Zij nu M een irreducibel moduul over Mα (G) met een niet-triviale 1-eigenruimte. Aan de
hand van Stelling 4.3.10 tonen we aan dat dit moduul isomorf is met Mα (G). Wegens Voorbeeld
4.1.12 is T ∼
= S3 en dus is CT (tx ) = {1, tx }. Beschouwen we nu m ∈ Mx1 met m 6= 0 dan is
mx = m + mµx = 2m 6= 0 aangezien char(F) 6= 2. Omdat voor een collineariteitsmatrix A van G
geldt dat
1 α α
2
2
α α
det I + A = α2 1 α2 = (1 + α) 1 −
6= 0,
α α
2
2
1
2
2
wanneer α 6= −1, 2 volgt uit Stelling 4.3.10 dat M isomorf is met Mα (G) als Mα (G)-moduul.
Merk op dat de injectiviteit van het morfisme uit Stelling 4.3.9 ook volgt uit Eigenschap 4.2.8 en
Eigenschap 4.2.9.
Kiezen we de basis (x, y + x ∧ y − αx, y − x ∧ y) van de Matsuo-algebra dan wordt de actie
van de Matsuo-algebra op zichzelf door vermenigvuldiging geven door de matrices


1 0 0


adx = 0 0 0 
0 0 α


en ady = 
α
2
α
2
0
α
1
+
2
2
−α
1
+
2
2
0
−α2
2 +α
−α2
2


+ 12  .
1
2
De matrixvoorstellingen van de overeenkomstige Miyamoto-involuties µx en µy zijn respectievelijk


1 0 0


0 1 0 
0 0 −1

en
α
2
 −α2
 2 +1
α
2 −1
−1
2
1
2
−α
2
+
1
2
1
2
α
2


+ 21  .
1
2
Opmerking 4.4.2. De eigenwaarden van I + α2 A voor een collineariteitsmatrix A van G zijn
1 + α en 1 − α2 met respectieve eigenruimten h(1, 1, 1)i en h(1, −1, 0), (1, 0, −1)i. Is α = −1 dan is
de actie van M−1 (G) door rechtse vermenigvuldiging op de quotiëntruimte
M−1 (G)/hx + y + x ∧ yi,
goed gedefinieerd. Dit resulteert in een 2-dimensionaal moduul met een niet-triviale 1-eigenruimte.
Ook wanneer α = 2 is de actie van M2 (G) door rechtse vermenigvuldiging op de quotiëntruimte
M2 (G)/hx − y, x − x ∧ yi,
goed gedefinieerd en geeft dit aanleiding tot een moduul over de Matsuo-algebra M2 (G). Dit
illustreert dat de voorwaarden op α uit Eigenschap 4.2.8 en Eigenschap 4.2.9 niet kunnen worden
weggelaten.
41
Hoofdstuk 4 – Modulen over Matsuo-algebra’s
4.4.2
Het duaal affien vlak van orde 2
Vervolgens beschouwen we het affien vlak van orde 2 als definiërende Fischerruimte van de
Matsuo-algebra. Beschouw de punten x1 , x2 , . . . , x6 zoals op Figuur 2.1a. Wegens Lemma 4.2.1
volstaat het om de actie van de punten x1 , x2 en x4 vast te leggen om het volledige moduul te
definiëren. Beschouwen we de Matsuo-algebra als moduul over zichzelf dan wordt de actie van x1 ,
x2 en x4 ten opzichte van de basis (x1 , x6 , x2 + x3 − αx1 , x4 + x5 − αx1 , x2 − x3 , x4 − x5 ) gegeven
door
 α

α


0
0
0
0
2
2
1 0 0 0 0

α
−α
α
−α 
α


 0
2
4
4
4
4 
0 0 0 0 0 


2
α
1
−α
1


 0
0
+2
0
+2 0 
2
2




adx1 = 0 0 0 0 0  , adx2 = 
α
α
−α2
α 
−α
α
+


 0
2
4
4
2
4
4 
 −α2

0 0 0 α 0 
−α
1
1
+2 0
0 
 2 +a 0
2
2
0 0 0 0 α
−α
α
α
α
α
α2
2
en adx4
2
4

α
2
0
0
0
0




=




0
0
0
α
2
−α
2
−α
4
α
4
α
4
α
4
−α
4
α
4
0
0
α2
−α
2
α
4
0
0
−α2
2
2
+α
α
2
1
2
+
α
4
−α
2
0
α
4
+
1
2
4
α
2
α
4
4
4




−α2
α
+
2
4.
−α2
1
2 + 2

α

4
1
2
0
Hieruit kan men de corresponderende Miyamoto-involuties bepalen en de voorwaarden uit Sectie
4.2 controleren.
4.4.3
Het affien vlak van orde 3
Herneem het affien vlak van orde 3 uit Figuur 2.1b. De actie van de Matsuo-algebra van deze
Fischerruimte op zichzelf door vermenigvuldiging wordt opnieuw wegens Lemma 4.2.1 volledig
bepaald door adx1 , adx2 en adx4 . Omwille van de eenvoud kiezen we dit keer voor de basis
(x1 , x2 , . . . , x9 ) in plaats van een eigenbasis van adx1 . Zo wordt adx1 voorgesteld als

1
α
2
α
2

α
2
α
2
α

2
α
2
α
2
α
2
0
0
α
2
−α
2
−α
2
α
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
α
2
0
0
−α
2
0
0
0
0
0
0
α
2
0
0
0
0
0
0
0
0
−α
2
0
0
0
0
0
α
2
0
0
−α
2
0
0
0
0
α
2
0
−α
2
α
2
−α
2
0
0
0
0
0
0
0
0








−α  .
2 

0 

0 


0 
α
2
De matrixvoorstelling van adx2 en adx4 zijn gelijkaardig en kan men eenvoudig berekenen uit de vermenigvuldigingsregel voor Matsuo-algebra’s. Opnieuw kan men de bijhorende
Miyamoto-involuties berekenen. De matrixvoorstelling van µx1 ten opzichte van de gekozen basis
is bijvoorbeeld
42
Sectie 4.4 – Enkele voorbeelden

1

0

0

0


0

0

0


0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0

0

0

0

0


1 .

0

0


0
0
Dit komt overeen met de actie van τx1 op de punten van de Fischerruimte zoals gesuggereerd in
Voorbeeld 4.1.11.
43
Hoofdstuk 5
Algemeen besluit
Axiale algebra’s zijn algebra’s voortgebracht door idempotenten. Deze idempotenten worden
assen genoemd en men onderstelt dat voor iedere idempotent een decompositie in eigenruimten
van de algebra bestaat. De vermenigvuldiging van twee eigenvectoren wordt beschreven door
fusieregels.
Hoewel de definitie van een axiale algebra enigszins intimiderend lijkt, zien we deze eigenschap
op een natuurlijke manier optreden in een aantal gekende algebra’s. Een voorbeeld wordt
gegeven door Matsuo-algebra’s. Deze algebra’s leggen een elegante connectie bloot tussen algebra,
groepentheorie en meetkunde.
Definitie 3.2.1 zet een eerste stap richting een wiskundig framework waarin men axiale algebra’s
kan bestuderen door op natuurlijke wijze modulen over axiale algebra’s te definiëren. Dat deze
definitie zinvol is volgt uit de studie van modulen over Matsuo-algebra’s. Stelling 4.1.16 geeft
een bijectief verband tussen modulen zonder 1-eigenruimte en representaties van een groep
onlosmakelijk verbonden aan de Matsuo-algebra. Wat betreft de modulen met een niet-triviale
1-eigenruimte toont Stelling 4.3.10 aan dat deze onder bepaalde voorwaarden dezelfde structuur
hebben als de Matsuo-algebra zelf. Eén van deze voorwaarden is een restrictie op de parameter α
van een Matsuo-algebra.
Een volgende stap in de studie van Matsuo-algebra’s zou kunnen zijn om de uitzonderingsgevallen te bestuderen van Stelling 4.3.10. Bepaalde waarden voor de parameter α van een
Matsuo-algebra leiden tot een beduidend andere structuur. Een beter begrip van de invloed van
deze parameter α zal leiden tot meer inzicht in Matsuo-algebra’s.
Tot nog toe hebben we enkel modulen over Matsuo-algebra’s uitvoerig bestudeerd terwijl
Definitie 3.2.1 geldig is voor willekeurige axiale algebra’s. Zo zou men ook modulen over Majoranaalgebra’s kunnen bestuderen. Deze axiale algebra’s spelen een belangrijke rol in de studie van
de monstergroep en resultaten over modulen over Majorana-algebra’s zouden hun invloed kun
hebben op eigenschappen van de monstergroep.
Sectie 3.1 legt het verband uit tussen representaties van eindige groepen en modulen over de
groepsalgebra. Men zou ook voor axiale algebra’s op zoek kunnen gaan naar een zinvolle definitie
van een representatie. Hierbij beschouwt men algebramorfismen van een abstracte axiale algebra
naar een zekere universele axiale algebra. Men moet dus op zoek naar universele objecten. De
universele Frobenius axiale algebra’s geconstrueerd in [5] zijn wellicht de moeite waard om in
deze context te bestuderen. Men kan vervolgens nagaan of er ook hier een verband is met de
modulen over axiale algebra’s uit Definitie 3.2.1.
45
Bijlage A
English summary
Algebras are modules over a ring R for which a bilinear multiplication map exists. This multiplication map can satisfy certain properties such as commutativity, associativity, the existence of
an identity element... Idempotents are elements e for which e · e = e. The study of idempotents
has turned out to be a key element for understanding algebras. A property regarding those
idempotents is especially of our interest. In associative algebras, Jordan algebras and Matsuo
algebras the existence of an idempotent leads to a decomposition of the algebra A in eigenspaces
of the idempotent. This means that every element can be written in a unique way as a sum of
elements of
Aeφ = {a ∈ A | a · e = φa},
where φ runs over a subset Φ of R, the eigenvalues of the idempotent. Such a decomposition is
called a Peirce decomposition. Moreover there exists a symmetric map
? : Φ × Φ → 2Φ ,
such that the product of an element from Aeφ and an element form Aeψ is an element from the
direct product of the Aeξ where ξ runs over all eigenvalues in φ ? ψ. These rules regarding the
multiplication of eigenvectors are called fusion rules.
Instead of looking for algebras for which the idempotents reveal a Peirce decomposition and
accompanying fusion rules, we will by definition assume that we have a commutative algebra
generated by idempotents for which a Peirce decomposition and fusion rules exist. Such algebras
are called axial algebras and the generating idempotents are called axes.
Matsuo algebras over Fischer spaces are examples of axial algebras. Fischer spaces are pointline geometries connected to 3-transposition groups by a theorem of Buekenhout [1, p. 93–94]. For
a Fischer space there exist involutive automorphisms called Miyamoto involutions that generate
a 3-transposition group. Conversely, one can construct a Fischer space out of a 3-transposition
group where the points correspond to transpositions. A Matsuo algebra over a Fischer space is
a free module over the points of the Fischer space. The multiplication is defined in such a way
that these points are axes of the Matsuo algebra with eigenvalues 0, 1 and α where α ∈ R. The
Miyamoto involutions from the Fischer space extend linearly to automorphisms of the Matsuo
algebra.
Our goal is to develop a representation theory for axial algebras in a suitable way. Representation theory is a technique to study abstract algebraic objects inside a concrete universal object.
47
For example, the linear representation theory for finite groups studies finite groups as collections
of invertible matrices such that the group multiplication corresponds to matrix multiplication.
Hence the universal object in which we can study abstract groups is the general linear group of
a vector space. As it turns out, it is equivalent to study (associative) modules over the group
algebra. We take the second point of view as a first context to study representation theory for
axial algebras. However we should mention that if one can find a suitable way to define a universal
axial algebra, the hereby developed representation theory does not need, at least at first glance,
to be equivalent to our definition of modules over axial algebras.
The definition of axial algebras implies an obvious choice on how to define modules over axial
algebras. A module over an axial algebra A is an R-module M together with a bilinear action of
A on M such that for each axis e there exists a decomposition from M into eigenspaces
Mφe = {m ∈ M | m · e = φm},
of the action of the axis on M . In addition, this decomposition satisfies the same fusion rules as
the axial algebra which means that
m·a∈
M
Mξe ,
ξ∈φ?ψ
whenever m ∈ Mψe and a ∈ Aeφ .
As for ordinary modules, one can define morphisms and submodules of modules over axial
algebras. If no non trivial submodule exists, the module is called irreducible. Maschke’s theorem
states that, in the context of linear representation theory of finite groups, every (associative)
module over the group algebra can be written as a direct sum of irreducible modules. The same
holds under certain conditions, namely if there exists a certain bilinear form called a Frobenius
form, for modules over axial algebras.
As Matsuo algebras are specific examples of axial algebras, they are a good first setting to
test the definition of modules over axial algebras. This leads to some satisfying results. Recall
the correspondence between Matsuo algebras, Fischer spaces and 3-transposition groups. We
were able to reinforce this connection by lying a bridge between modules over the Matsuo algebra
en linear representations and hence modules over a corresponding 3-tranposition group. More
precisely, starting from a module M over a Matsuo algebra without 1-eigenspace, one can define
Miyamoto involutions on M in a similar way as for the Matsuo algebra. The Miyamoto involutions
of the axial algebra generate a 3-transposition group and the action of the Miyamoto involution of
the module on M turns M into a module over the group algebra (of a certain central extension)
of this 3-transposition group. Conversely, given a representation of the 3-transpostion group, one
can create a module over the Matsuo algebra in such a way that the representation matches the
Miyamoto involutions of the module. In conclusion we have the following theorem.
Theorem A.0.3. Every representation of a 3-transposition group corresponding to a Matsuo
algebra results into a module over the Matsuo algebra lacking a 1-eigenspace. Conversely, the Miyamoto involutions of such a module define a representation of a 3-transposition group characterizing
the Matsuo algebra.
This leaves ofcourse the question what happens with modules over a Matsuo algebra with a
non trivial 1-eigenspace. We were able to tackle this problem by doing explicit calculations. Since
48
Matsuo algebras are only considered over a field, the modules over the Matsuo algebras are in
particular vector spaces for which a basis can be chosen. The linear actions of the Matsuo algebra
on the vector space can hence be represented as matrices. Especially the matrix representation of
the Miyamoto involutions of the module leads to some valuable conditions.
A first observation to make is that one can get rid of the 1-eigenspace in a module over a
Matsuo algebra. Simply redefine the action of the idempotents to be 0 on 1-eigenvectors and
leave the others unchanged. This results in a new module over the Matsuo algebra.
For the second observation, note that a Matsuo algebra is module over itself where the action
is given by multiplication. One can prove that, under certain conditions, every module with a
non trivial 1-eigenspace for some idempotent contains a submodule isomorphic to the Matsuo
algebra. More precisely, if one takes such a non trivial 1-eigenspace, it is possible to construct,
in an artificial way, a subspace left invariant by the Miyamoto involutions. Using the explicit
matrix representation of the module, it appears that also the action of the Matsuo algebra on the
module leaves this subspace invariant. Unless this subspace is trivial or the parameter α is badly
chosen, it is as a module isomorphic to the Matsuo algebra.
49
Bibliografie
[1] M. Aschbacher. 3-Transposition Groups. Cambridge University Press, 1996.
[2] F. Buekenhout. La géometrie des groupes de Fischer. Unpublished notes, 1974.
[3] T. De Medts and F. Rehren. Jordan algebras and 3-transposition groups. (available as
http://arxiv.org/abs/1502.05657), submitted 2015.
[4] J.I. Hall, F. Rehren, and S. Shpectorov. Primitive axial algebras of Jordan type. Journal of
algebra, 437:79 – 115, 2015.
[5] J.I. Hall, F. Rehren, and S. Shpectorov. Universal axial algebras and a theorem of Sakuma.
(available as arXiv.math/1311.0217), submitted October 2013.
[6] A. A. Ivanov. The Monster group and Majorana involutions, volume 176 of Cambridge Tracts
in Mathematics. Cambridge University Press, 2009.
[7] N. Jacobson. Structure and Representations of Jordan Algebras. American Mathematical
Society, 1968.
[8] S. Lang. Algebra. Springer-Verlag, 2002.
[9] J. Lepowsky and H. Li. Introduction to vertex operator algebras and their representations,
volume 227 of Progress in Mathematics. Birkhäuser Boston, 2004.
[10] A. Matsuo. 3-transposition groups of symplectic type and vertex operator algebras. Journal
of the Mathematical Society of Japan, 57:639–649, 2005.
[11] K. McCrimmon. A Taste of Jordan Algebras. Springer, 2004.
[12] F. G. Rehren. Axial Algebras. PhD thesis, University of Birmingham, 2015.
[13] M. Van Couwenberghe. Representatietheorie. Bachelorproject, 2014.
51