Eigenschappen van driehoeken
advertisement
5 Eigenschappen van driehoeken Dit kun je al 1 2 3 4 een hoek meten de verschillende soorten driehoeken definiëren de verschillende soorten hoeken definiëren de eigenschappen van de verschillende soorten hoeken gebruiken 5 een vergelijking oplossen Test jezelf Elke vraag heeft maar één juist antwoord. Controleer je antwoord in de correctiesleutel. Achter elke vraag staat een verwijzing naar extra oefeningen in je oefenboek of je vademecum. A 1 90° Hoe groot is A? ad 120° Verder oefenen? 60° C B A 2 Wat is de meest passende naam voor de driehoek ABC? A gelijkbenige, stomphoekige driehoek rechthoekige, gelijkzijdige driehoek rechthoekige, gelijkbenige driehoek ad B 3 C In welke figuur vind je overstaande hoeken? oef. nr. 720 4 5 Vul aan. Verwisselende binnenhoeken zijn bij evenwijdigen en een snijlijn ... Los op. –2x + 5 = –6 complementair even groot supplementair oef. nr. 735 1 x = B 2 –11 x =B 2 x = 5,5 oef. nr. 145 Dit heb je nodig Inhoud • • • • • • M27 M28 M29 M30 M31 M32 M33 M34 leerwerkboek p. 99 - 118 oefenboek nr. 872 - 967 passer geodriehoek groene en rode pen kleurpotloden De basishoeken in een gelijkbenige driehoek Een buitenhoek van een driehoek Constructie en classificatie van driehoeken De driehoeksongelijkheid Bewijs: de eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige driehoek Bewijs: de eigenschap van een buitenhoek van een driehoek Bewijs: het verband tussen de hoeken en de zijden in een driehoek Bewijs: de driehoeksongelijkheid p. 100 p. 104 p. 106 p. 108 p. 110 p. 114 p. 116 p. 117 99 M27 De basishoeken in een gelijkbenige driehoek Op verkenning a De basishoeken in een gelijkbenige driehoek • Vul aan. . . . . . . . . . . . . . . . . hoek, B en C zijn de . . . basis . . . . . . . . . . . . . . . . . hoeken. In de gelijkbenige driehoek ABC is A de . . . . top • Vul de rest van de tabel in. B Wat stel je vast? C | A | = 110° 35° | B | = .......................................................... A | C | = 35° ......................................................... De basishoeken zijn even groot. ................................................................. .... ................................................................. . . . . ................................................................. . . . . E Wat stel je vast? 45° | E | = .......................................................... De basishoeken zijn even groot. ................................................................. .... | F | = 45° ......................................................... ................................................................. . . . . | D | = 90° D ................................................................. . . . . F Teken een scherphoekige driehoek Meet de lengten van de zijden van met twee even grote hoeken. de driehoek. Noteer op de figuur. B A Wat stel je vast? De benen zijn even lang, de driehoek is . . . . ................................................................. gelijkbenig. ................................................................. .... ................................................................. . . . . C Eigenschap – de basishoeken in een gelijkbenige driehoek Een driehoek is gelijkbenig B In ΔABC geldt: a.s.a. de basishoeken even groot zijn. | AB | = | AC | C |B| = |C| A Het bewijs van deze eigenschap vind je in les M31. CONTROLE 5 Is driehoek STU gelijkbenig als | S | = 70° en | T | = 55°? Verklaar. | Û | = 180° - 70° - 55° = 55° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . . De basishoeken zijn even groot, dus de driehoek is gelijkbenig. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . . 100 Eigenschappen van driehoeken b De hoeken in een gelijkzijdige driehoek K L M • • Gelijkzijdige (scherphoekige) driehoek ..................................................................................... ....... Ja, want ten minste twee zijden zijn even lang.. . . . . . . Is deze driehoek ook gelijkbenig? Leg uit. ..................................................................................................................................... Noteer de meest passende naam voor de driehoek KLM. Bekijk de gelijkbenige driehoek KLM met K als tophoek. Wat weet je over de andere hoeken? De even groot, | M̂ | = | L |. . . . . . . . . . .andere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(basis)hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zijn . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... ....... • Bekijk de gelijkbenige driehoek KLM met L als tophoek. Wat weet je over de andere hoeken? • De even groot, | M̂ | = | K |. . . . . . . . . . .andere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(basis)hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . zijn . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... ....... Ze zijn allemaal even groot. Wat besluit je over de grootte van de hoeken in een gelijkzijdige driehoek? ................................................................... ....... • 180° 180° B B Vul in: | K | = . . . . . . . . . . . . .= . . . 60° | L | = . . . . . . . . . . . . .= . . . 60° 3 3 180° | M | = .B . . . . . . . . . . . . .= . . 60° 3 Eigenschap – de hoeken in een gelijkzijdige driehoek Een driehoek is gelijkzijdig C In driehoek ABC geldt: 60° | AB | = | BC |= | CA | a.s.a. de hoeken even groot zijn. 60° A 180° = 60° |A| = |B| = |C| = B 60° 3 B Het bewijs van die eigenschap vind je in je oefenboek: oef. 951-952. CONTROLE 6 Is driehoek XYZ gelijkzijdig als | X | = 60°? Niet altijd: bv. | X | = 60° | Y | = 80° | Z | = 40° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . . Oefeningen 1 • • • Bereken telkens de ontbrekende grootten van de hoeken in de gelijkbenige driehoek DEF. De hoek D is de tophoek. Maak eerst een schets. |D| |E| |F| 1 112° 34° 2 30° 60° 76° 34° 75° 60° 60° 52° 52° 3 4 D WEER? 872 - 874 MEER? 875 - 877 75° E F 101 M27 De basishoeken in een gelijkbenige driehoek (vervolg) 2 • Bereken de hoeken in de gelijkbenige driehoek ABC met A als top. | A | = 2| B | WEER? 878 879 • • MEER? 880 Maak eerst een schets. Los de oefening op met een vergelijking. B |. . | . . . . . .|. .B. . . .|. ..+ | . . . . .|. . .= . . . . . . .+ . . . . . . .C . . . . .180° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............... ͺ gegeven | . . . . |. . .= 2. . . .|. .B. . . .|. . .+. . . . .|. .B. . .. .|. .+ . . . . . . . .C . . . . . 180° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............... ͺ Eig. gelijkbenige driehoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............... | B | = 180° 2. . . .|. .B. . . .|. . .+. . . . .|. .B. . .. .|. .+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............... 4| B | = 180° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............... | B | = 180° : 4 = 45° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............... | C | = | B | = 45° | A | = 180° – 45° – 45° = 90° Antwoord: | A | = 90° | B | = | C | = 45° A C Controle: 90° + 45° + 45° = 180° WEER? 881 3 MEER? 882 - 886 • • Teken de gelijkbenige driehoek GHI die aan de volgende voorwaarden voldoet. basis | GH | = 2,8 cm | I | = 84° Maak eerst de nodige berekeningen. G en H zijn de basishoeken .I. . . is . . . . . .de . . . . . . . . tophoek. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............... 180° – 84° B | . . . . .|. . = | . . . . ..|. .= . . .G . . . . . . . .H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . 48° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............... 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............... I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............... G H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............... WEER? 887 4 • • Bereken | V2 |, | I | en | R |. Toon je berekening en geef telkens een korte verklaring. MEER? 888 V R 1 2 ? ? 111° E ? I | Ê | = 180° – 111° = 69° (def. nevenhoeken) . . . . . . . . . . . . . .1. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... ....... | R | = E = 68° (som van de hoeken in driehoek VER) . . . . . . . . .|. .V ...1 . . . |. . .= . . .. . 180° . . . . . . . . . . . . . .– . . . . . 69° . . . . . . . . . . .– . . . . .69° . . . . . . . . . .= . . . . . .42° . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... ....... (rechte hoek in V) . . . . . . . . .|. .V . . . .2. . .|. .= . . .. . .90° . . . . . . . . . .– . . . . . 42° . . . . . . . . . . .= . . . . . 48° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... ....... | | . . . . . 180° (som van de hoeken in driehoek VIE) . . . . . . . . . . .Î. . . . .= . .. . . . . . . . . . . .– . . . . .111° ............– . . . . . 48° . . . . . . . . . . .= . . . . . .21° . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... ....... | | . . . . . .180° (som van de hoeken in driehoek VIR) .of . . . . . . . . . .I. . . . . = .. . . . . . . . . . . . .– . . . . .90° . . . . . . . . . . .– . . . . .69° . . . . . . . . . .= . . . . . .21° . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... ....... (Eig. basishoeken in een gelijkbenige driehoek) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... 102 Eigenschappen van driehoeken 5 • • Juist of fout? Verklaar telkens en teken een tegenvoorbeeld bij de foute uitspraken. a Een gelijkbenige driehoek kan rechthoekig zijn. WEER? 889 890 MEER? 891 .Juist, . . . . . . . . . . . . . . . de . . . . . . . . .tophoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .is . . . . . dan . . . . . . . . . . . . .recht. . . . . . . . . . . . . . ............................................. A b Een gelijkbenige driehoek heeft altijd drie scherpe hoeken. Fout, de tophoek kan ook recht of stomp zijn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................. C 135° c B Gelijkzijdige driehoeken zijn steeds scherphoekig. Juist, alle hoeken zijn 60°. A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................. d 40° Een gelijkbenige driehoek is ook gelijkzijdig. Fout, andersom klopt wel altijd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................. C 6 • • B WEER? 892 Construeer in een gelijkzijdige driehoek ABC de drie bissectrices. Wat stel je vast? De bissectrices snijden elkaar in één punt. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................... • • Noem het snijpunt van de bissectrices S. Bereken de hoeken in driehoek ABS. d C |. . | . . . . .|. .B | . . . . . .|. .C | . . . . . 60° . . . . . . . .= . . . . . ..= . . . . . . .= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................ 60° B |. .B. . . .1. . .|. .=. . . . . . . . 2. . . .. . ..=. . . . . .30° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(def. . . . . . . . . . . . . .bissectrice) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................ e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................ 60° |. .Â. . . .1. . .|. .=. . . . . .B . . . . . .. . . .= . . . . . .30° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(def. . . . . . . . . . . . . .bissectrice) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................ S 2 1 A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................ 7 B 2 1 21 |. .S | . . . . . 180° – 30° = 120° . . . . . . .= . . . . . . . . .. . . . . – . . . . . |. .B . . . . . . |. . .– . . . . .|. . . . . . . .|. . .= . . . . .180° . . . . . . . . . . . . . .– . . . . .30° . . . . . . ........................................................ 1 f 12 MEER? 893 ΔABC is gelijkbenig met tophoek A. Bereken de ontbrekende hoekgrootten als... a | A | = 50° b | B | = | A | + 30° c | B | = B1 | A | |. . | . . . .|. B . . . . . .+ . . . .|. .+ . . . .|. C . . . .|. . . . . . = . . . . 180° ....................... |............................................................. Â| + |B| + |C| = 180° 3 |....................................................... | |  + B| + |C| = 180° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .⇓ . . . .|. B . . . .|. . = . . . . |. .C . . . |. . (eig. . . . . . . basis) .......... ⇓ |B| = |C| ............................................................. ⇓ | B | = | C | ...... ....................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoeken . . . . . . . . . .gelijkbenige . . . . . . . . . . . . . . . .driehoek ............ |............................................................. Â| + |B| + |B| = 180° |....................................................... Â| + |B| + |B| = 180° . . . . . . |. . | . . . .|. B . . . . . .+ . . . .|. .+ . . . .|. B . . . .|. . . . . . = . . . . 180° ....................... ⇓ | B | =  + 30° ............................................................. ⇓ | B | = 3  ...... ....................................................... ⇓ | | B1 | | |Â| 3............................................................. = 180° – 30° – 30° |.......................................................  | + B13 |  | + B13 |  | = 180° . . . . . . 1 | A | + B 1 | A | = 180° · 3 |A | + B 3....................................................... ...... 3 3 2. . .|. .B. . .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . 180° . . . . . . . . . .– . . . .50° ......... |............................................................. Â| = 120° : 3 = 40° 3|  | + |  | + |  | = 540° 2. . .|. .B. . .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .= . . . . 130° ....................... |............................................................. B| = | C | = 70° | A | = 540° 5....................................................... ...... |. .B . . . |. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . 130° . . . . . . . . . .:. .2 ........... |  | = 40° Antwoord: ............................................................. | A | = 540° : 5 ....................................................... . . . . . . |. .B . . . |. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . = . . . . 65° ....................... | B | = | C | = 70° ............................................................. | A | = 108° ....................................................... . . . . . . Antwoord: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .|. .B . . .|. .= . . . .|. .C . . . |. . = . . . . 65° ................ Controle: 40° + 70° + 70° = 180° ............................................................. 1 |....................................................... B | = B| A | = B1 · 108° = 36° . . . . . . |. . | . . . .2. .|. .B. . .|. . . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .+ . . . . 180° ....................... ⇓ |  | = 50° 50° . . . . . . . .+ . . . .2 . . .|. B . . . .|. . . . . . . . . . . . . . = . . . . 180° ....................... |.............................................................  | + |  | + 30° + |  | + 30° = 180° Controle: 50° + 65° + 65° = 180° ( ) ....................................................... . . . . . . 3 Antwoord: |  | = 108° 3 | B | = | C | = 36° Wat moet je kunnen? τ de eigenschap van de basishoeken van een gelijkbenige driehoek verwoorden τ de eigenschap van de hoeken van een gelijkzijdige driehoek verwoorden Controle: 108° + 36° + 36° = 180° 103 M28 Een buitenhoek van een driehoek (uitbreiding) A Op verkenning a Een buitenhoek van een driehoek • Teken [CB. – De binnenhoek van de driehoek in het hoekpunt B noem je B1. – De nevenhoek van B1 noem je B2. • Twee Teken een nevenhoek van C. Hoeveel oplossingen heb je? ............................................................ B C 1 2 Wiskundetaal – definitie DEFINITIE Een buitenhoek van een driehoek is In driehoek ABC is B2 een een nevenhoek van een binnenhoek buitenhoek. van de driehoek. a. s. a. A B1 en B2 zijn aanliggende hoeken C | B | + | B | = 180° 1 1 B 2 Teken alle buitenhoeken van driehoek ABC. Hoeveel buitenhoeken tel je? 2 B A 2 C • 1 A 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............... A 2 b Eigenschap van een buitenhoek van een driehoek 1 B C • Opdracht C – Teken een driehoek ABC op een blad papier. Teken een buitenhoek B1. – Kleur de hoeken A en C in de driehoek in een verschillende kleur. – Knip de driehoek ABC met zijn buitenhoek B1 uit, zoals aangegeven op figuur 1. – Knip de hoeken A en C af, zoals aangegeven op figuur 2. – Leg deze afgeknipte hoeken, netjes aansluitend met de gekleurde hoekpunten tegen elkaar op hoek B1. Figuur 1 Figuur 2 C • Figuur 3 A A A B1 C B B1 C B Wat stel je vast? De twee afgeknipte hoeken passen precies op de buitenhoek B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... ....... 1 • • 104 Wat vermoed je? Een buitenhoek is even groot als de som van de twee niet-aanliggende hoeken. . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . Is er iemand in de klas die een driehoek kan tekenen waarbij dit niet zo is? Eigenschappen van driehoeken Neen ................................................................... . . . . . . . Eigenschap – een buitenhoek van een driehoek Een buitenhoek van een driehoek is A is een buitenhoek van 2 even groot als de som van de twee ΔABC niet-aanliggende binnenhoeken. A 2 85° 95° |A | = |B| + |C| 2 30° C 65° B | A | = 65° + 30° = 95° 2 Het bewijs van deze eigenschap vind je in les M32. Oefeningen 8 1 Teken alle buitenhoeken van driehoek DEF. WEER? 894 - 896 E 2 1D 2 9 2 F MEER? 897 898 1 Hoe groot is de buitenhoek in het hoekpunt C als in de driehoek ABC | A | = 50° en | B | = 44°? Toon je berekening. • • WEER? 899 - 901 | C | = | A | + | B | (Eig. buitenhoek van een driehoek) | . . . . . . .|. .= . . .C . . . . . .50° . . . . .. . . . . + . . . . . .44° . . . . . . . . . . .= . . . . . 94° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . .2. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . . MEER? 902 - 905 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . . 10 • WEER? 906 M Teken de driehoek KLM die voldoet aan de volgende voorwaarden. | KL | = 4 cm | K | = 30° • buitenhoek | L2 | = 120° Maak eerst de nodige berekening. K 30° 60° 4 MEER? 907 908 L | . . . .|. . = . . .L . . . . . .180° . . . . . . . . . . . . . .– . . . . .120° . . . . . . . . . . . . .= . . . . . .60° . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . . 11 • • Bereken | A1 |, | A2 | en | C1 | als je weet dat a // b. Toon je berekening en geef telkens een korte verklaring. WEER? 909 2 A 1 | . . . . .|. .=. . . . |. .E. . . . .|. . . . def. nevenhoeken ) |. .Ê. .1. . .|. .=. . . . .180° . . . . . . . . .. . .– . . . .103° ...........= . . . . . 77° . . . . . . . . . (. . . .C 1 . . . . . . . . . ..................... (eig. overeenkomstige hoeken) B 1 b MEER? 910 - 914 1 C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................... | . . . .72° |. .B. . .1. . |. . .=. . . . |. .D . . . . . . ..= . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................... (eig. overeenkomstige hoeken) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................... a 72° D 1 103° E = 31° (eig. som van de hoeken in ΔABC) |. .Â. . .1. .|. .=. . . . .180° . . . . . . . . .. . .– . . . .|. .B . . .1. . .|. .– . . . .|. .Ĉ . . .1. . |. . = . . . . .180° . . . . . . . . . . . .– . . . . 72° . . . . . . . . .– . . . . .77° . . ..................................................................................................................................... ....... (def. buitenhoek van een driehoek) |. .Â. . .2. . .|. .=. . . . .180° . . . . . . . .. . . .– . . . .|.  . . . 1. . .|. .= . . . . .180° . . . . . . . . . . . .– . . . .31° . . . . . . . .= . . . . .149° . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... ....... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . . Wat moet je kunnen? τ een buitenhoek van een driehoek herkennen τ de eigenschap van een buitenhoek van een driehoek verwoorden 105 Constructie en classificatie van driehoeken M29 Op verkenning ad a Constructie van driehoeken Construeer een ongelijkbenige driehoek ABC met zijden van 4 cm, 2 cm en 3 cm. Construeer een gelijkbenige driehoek DEF met een basis van 4 cm en opstaande zijden van 3 cm. Construeer een gelijkzijdige driehoek GHI met een zijde van 4 cm. F F C A B D E D b E Classificatie van driehoeken • Teken in de bovenstaande driehoeken alle mogelijke symmetrieassen. • – Hoeveel symmetrieassen heeft de ongelijkbenige driehoek ABC? – Hoeveel symmetrieassen heeft de gelijkbenige driehoek DEF? – Hoeveel symmetrieassen heeft de gelijkzijdige driehoek GHI? 0 1 ...................................................... ....... 3 ...................................................... ....... ...................................................... . . . . . . . Teken ook in de volgende driehoeken alle mogelijke symmetrieassen. B E G I A D C H F K L Q T M S P R 106 Eigenschappen van driehoeken U Overzicht – classificatie van driehoeken op basis van de symmetrieassen Een ongelijkbenige driehoek heeft geen symmetrieassen. B A C E Een gelijkbenige driehoek die niet gelijkzijdig is, heeft één symmetrieas. D F H Een gelijkzijdige driehoek heeft drie symmetrieassen. G I Oefeningen 12 Construeer de gevraagde driehoeken. a Construeer een gelijkbenige driehoek ABC met een basis van 4 cm en opstaande zijden van 3 cm. WEER? 915 - 932 MEER? 933 - 938 C A b B Construeer de driehoek ABC met een zijde van 4 cm en drie symmetrieassen. C A B Wat moet je kunnen? τ een driehoek construeren die aan bepaalde voorwaarden voldoet τ driehoeken classificeren op basis van het aantal symmetrieassen 107 M30 De driehoeksongelijkheid Op verkenning a Het verband tussen de hoeken en zijden in een driehoek (uitbreiding). • Noteer van driehoek ABC: • • – de grootste hoek – de langste zijde – de kleinste hoek – de kortste zijde  . . [. . .CB . . . . . . . .]. . . . . . . . . . . ............................................. ..B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................. . . [. . .AC . . . . . . . . .]. . . . . . . . . . ............................................. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................. B A Bestaat er een verband tussen de grootte van de hoeken en de lengte van de zijden? – De langste zijde Welke zijde staat tegenover de grootste hoek? ........................ – Welke zijde staat tegenover de kleinste hoek? – de langste zijde. Vul aan. Tegenover de grootste hoek ligt ................................... C De kortste zijde ......................... Teken een ongelijkbenige driehoek. – Markeer in de driehoek de kleinste hoek. – Markeer in de driehoek de kortste zijde. – Bestaat er een verband tussen beide? De kleinste hoek ligt tegenover de kortste zijde en omgekeerd. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . Eigenschap – verband tussen de hoeken en zijden in een driehoek (uitbreiding) B In elke driehoek ligt tegenover een grotere hoek een grotere zijde en omgekeerd. 4 cm 104° 3 cm 45° 31° C 6 cm A | AB | < | BC | | C | < | A | Het bewijs van deze eigenschap vind je in les M33. 7>;:1:. -@ -@ -@ ?@> - B1> .;: 0 @;8 ?@> - 563 -@ FC -@ Eigenschappen van driehoeken C18 B ?@>- -->@# -@ -@ . 1?@ 1:B : 6 5 13 (+ ?@> 108 I 1>? @ >- @;8? @>-@ @ @>-815:? 118< 7-?@ -@ ?@>0 5 1 GB>564 C18 B?@> ->@# --@ --@ /;=A584-@F?@> 0 * H ?@> 8-9 C 9->:5DDD<88--@? -@ @ ?@>> 1 5 ;3 >18> 8$01C-18<8--@? 7- ?/4 E 580 @1 @ >-@ ? :/7 >:5 :@ 9; A A>3?@>-@ 1 ?/41>9 >--@ -@ 1??1?@>7-<A/5: -@ .1>B;1@ ?@ 3-:3 @1>:5:/7 ?/4 180 1?@ >- B 31AF1:?@>--@ 9:# 3>--2B-:139;:@?@>--@ Driehoeksongelijkheid :.A>3?@ >--@ B; 87? @> -@ b In de driehoek PQR is [QR] de langste zijde. Welke hoek is de grootste hoek van de driehoek? . . . . P ...... .1> CONTROLE 7 • Meet in elke driehoek de lengte van de zijden. ΔABC 2,3 cm | AB | + | BC | = . . . . . . . . . . 5,9 . . . . . . . . . .cm .................... | AC | = • ...................................................... ΔDEF ΔGHI 3,2 cm 4,9 cm | EF | + | FD | = .......................................... 2,7 cm | IH | = .................................................... .... | DE | = ...................................................... 5,8 cm | IG | + | GH | = .................................... . . . . Vul aan. – de lengten van de twee andere zijden. De lengte van een zijde is steeds . . . . . . . . . .kleiner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . dan de som van ...................................................................... ....... – In de driehoek XYZ is |. .XY | | . . . . . . . .| +|. ZX | . . . . . . . < . YZ ........ | | . . . . . . . .| +|.ZX | en|. YZ . . . . . . . . < .XY ........ | | . . . . . . . .| +|.YZ | en|. ZX . . . . . . . . < . XY ........ • J K 8 cm Construeer de driehoek JKL. | JK | = 8 cm | KL | = 4 cm = 3 cm Wat stel je vast? | LM | De De passerbogen snijden elkaar niet. . . . . . . . . . .driehoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .kun . . . . . . . . . . . .je . . . . . . niet . . . . . . . . . . . . .construeren. . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... ....... Eigenschap – driehoeksongelijkheid In een driehoek is de lengte van een In driehoek ABC geldt: 7 cm < 2,8 cm + 6 cm 2,8 cm < 7 cm + 6 cm zijde altijd kleiner dan de som van de | | | | | | AB < BC + CA 6 cm < 7 cm + 2,8 cm lengten van de andere twee zijden. | | | | | | BC < AB + CA | CA | < | AB | + | BC | A 7 cm B 6 cm 2,8 cm C Het bewijs van deze eigenschap vind je in les M34. Oefeningen WEER? 939 - 943 13 Benoem telkens de grootste hoek van de driehoeken. driehoek ABC | AB | = 4,5 cm | BC | = 5,2 cm | CA | = 4,8 cm is Â. De grootste hoek ................................ .... driehoek DEF | DE | = 7,2 cm | EF | = 3,6 cm | FD | = 8 cm is E. De grootste hoek ................................ .... driehoek GHI | GH | = 3,4 cm | HI | = 3 cm | IG | = 3,4 cm zijn H en .I.. . . De grootste hoeken ................................ MEER? 944 - 948 Vul aan en controleer. | | . . . . . . . .|. In ΔABC: | BC | < |. .AB . . . . . . . . . + . .CA Controle: 5,2 . . . . . . .cm . . . . < 4,5 . . . . . . cm . . . . . +4,8 . . . . . . cm ..... Wat moet je kunnen? τ de driehoeksongelijkheid tussen de zijden van een driehoek verwoorden 109 M31 Bewijs: de eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige driehoek Eigenschap – de basishoeken in een gelijkbenige driehoek Een driehoek is gelijkbenig B In driehoek ABC geldt: | AB | = | AC | a.s.a. de basishoeken even groot zijn. |B| = |C| C A STAP 1 Verkennen • Lees de eigenschap aandachtig en vul aan. dat de eigenschap uit twee delen bestaat. In de eigenschap zie je een dubbele pijl. Dit betekent ............................................................................................................. ....... Deel1: | AB | = | AC | | B | = | C | lees je als: Als dan zijn de basishoeken even groot. . . . . . . . . . .een . . . . . . . . . . . .driehoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .gelijkbenig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . is, . ..................................................................................................................................... ....... Deel2: | B | = | C | | AB | = | AC | lees je als: Als even groot zijn, dan is de driehoek gelijkbenig. . . . . . . . . . .de . . . . . . . . basishoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . . .een . . . . . . . . . . . .driehoek . . ..................................................................................................................................... ....... • Je bewijst eerst deel 1 (basis) en dan deel 2 (verdieping). DEEL 1 eigenschap Als een driehoek gelijkbenig is, dan zijn de basishoeken even groot STAP 2 Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken dA C vraag antwoord Wat is gegeven? • Noteer dit in symbolen. • Duid het gegeven in het groen aan op de figuur. Δ ABC |AC|=|AB| Wat moet je bewijzen? • Noteer dit in symbolen. • Duid wat bewezen moet worden in het rood aan op de figuur. Hoe kun je aantonen dat hoeken even groot zijn? Welke bijzondere rechte m verdeelt driehoek ABC in twee congruente driehoeken? Er zijn verschillende mogelijkheden. Noem D het snijpunt van de rechte m met de basis. 110 D Eigenschappen van driehoeken B verklaring |B| = |C| Via congruente driehoeken m is de zwaartelijn uit de top In congruente driehoeken zijn de overeenkomstige hoeken even groot. • Noteer en kleur de driehoeken waarvan je vermoedt dat ze congruent zijn, elk in een andere kleur. Welk congruentiekenmerk kun je gebruiken? • Noteer de gelijkheden. Is dit wat je moet bewijzen? Indien niet, welke stap moet je nog zetten? Δ ADC en Δ ADB ZZZ Def. zwaartelijn Z | DC | = | DB | Gemeensch. zijde Z | AD | = | AD | Def. gelijkbenige driehoek Z | AC | = | AB | ΔADC ΔADB Uit het voorgaande afleiden dat Neen, hieruit volgt basishoeken even groot zijn. | B | = | C |. STAP 3 Bewijs DEEL 1 Bewijs (deel 1) – als een driehoek gelijkbenig is, dan zijn de basishoeken even groot Gegeven: ΔABC A | AB | = | AC | B C Te bewijzen: | C | = | B | D Bewijs: m Je hebt verschillende mogelijkheden. mogelijkheid: Teken de zwaartelijn m uit de top. Noem D het snijpunt met [BC]. Voor ΔADC en ΔADB geldt: (def. zwaartelijn) Z | CD | = | DB | Z | AC | = | AB | (def. gelijkbenige driehoek) (gemeenschappelijke zijde) Z | AD | = | AD | ZZZ ΔADC ΔADB Eig. overeenkomstige hoeken in congruente driehoeken |C| = |B| De andere mogelijkheden om deze eigenschap te bewijzen vind je in het oefenboek: oef. 949. 111 M31 Bewijs: de eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige driehoek (vervolg) DEEL 2 eigenschap Als de basishoeken in een driehoek even groot zijn, dan is de driehoek gelijkbenig STAP 2 Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken m C A D vraag antwoord Wat is gegeven? • Noteer dit in symbolen. • Duid het gegeven in het groen aan op de figuur. Δ ABC |B| = |C| Wat moet je bewijzen? • Noteer dit in symbolen. • Duid wat bewezen moet worden in het rood aan op de figuur. |AC| = |AB| Hoe kun je aantonen dat zijden even lang zijn? Via congruente driehoeken Welke bijzondere rechte m verdeelt de driehoek ABC in twee driehoeken waarvan je vermoedt dat ze congruent zijn? Er zijn verschillende mogelijkheden. B verklaring In congruente driehoeken zijn de overeenkomstige zijden even lang. m is de hoogtelijn uit de top Noem het snijpunt van de rechte h met de basis D. • Noteer en kleur de driehoeken waarvan je vermoedt dat ze congruent zijn, elk in een andere kleur. Welk congruentiekenmerk kun je gebruiken? • Noteer de gelijkheden. Is dit wat je moet bewijzen? Indien niet, welke stap moet je nog zetten? 112 Eigenschappen van driehoeken Δ ADC en Δ ADB ZHH Z |AD| = |AD| H |B| = |C| H | D1 | = | D2 | = 90° Gemeensch. zijde Gegeven Def. hoogtelijn ΔADC ΔADB Ui het voorgaande afleiden dat de Neen, hieruit volgt |AC| opstaande zijden even lang zijn. = |AB|. STAP 3 Bewijs Bewijs (deel 2) – als een driehoek even grote basishoeken heeft, is de driehoek gelijkbenig Gegeven: ΔABC |B | = |C| A Te bewijzen: | AB | = | AC | Bewijs: Je hebt verschillende mogelijkheden. Bv.: Teken de hoogtelijn m uit de top. Noem D het snijpunt met [BC]. 1 C 2 B D Voor ΔADC en ΔADB geldt: (gegeven) H |B | = |C| H | D1 | = | D2 | = 90° (def. hoogtelijn) (gemeensch. zijde) Z | AD | = | AD | HHZ ΔADB ΔADC Eig. overeenkomstige zijden in congruente driehoeken | AB | = | AC | Andere mogelijkheden om deze eigenschappen te bewijzen, vind je in het oefenboek: oef. 950. Oefeningen 14 ΔABC is gelijkbenig met tophoek C. [AB] wordt in drie gelijke delen verdeeld. Bewijs dat | CE | = | CF | WEER? 949 - 957 A MEER? 958 - 967 Gegeven: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .ΔABC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................ | . . . . . . . . .|. .= | . . . . . . . .|. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .AC . . . . . . . .BC | . . . . . . . .|. . = | . . . . . . . |. . .= | . . . . . . . .|. . . . . . . ........................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .AF . . . . . . . .FE . . . . . . . EB Te . . . . . . . .bewijzen: . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .|CE| . . . . . . . . . . . .= . . . . . |CF| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................ F E C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................ Bewijs: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Voor . .. . . . . . . . . . . . .ΔACF . . . . . . . . . . . . . . . . en . . . . . . . . .ΔBCE . . . . . . . . . . . . . . . .geldt: . . . . . . . . . . . . . ........................ | . . . . . . . . .|. .= | . . . . . . . .|. . . . . . . . .(def. driehoek) Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .AC . . . . . . . .BC . . . . . . . . . gelijkbenige . . . . . ........................ | . . . . .|. .= | . . . .|. . . . . . . . . . . . .(eig. H driehoek) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .B . . . . . . . . .gelijkbenige . . . . . ........................ | . . . . . . . . .|. .= | . . . . . . . |. . . . . . . . . .(geg.) Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . AF . . . . . . . .EB . . . . . . . . . . . . . . ........................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⇓ . . . . . .ZHZ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................ ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . ΔACF .................= . . . . . .ΔBCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................ B hoeken in congruente driehoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ⇓ . . . . . . .Eig. . . . . . . . . .overeenkomstige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................ |CF| = |CE| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................ Wat moet je kunnen? τ de eigenschap van de basishoeken van een gelijkbenige driehoek bewijzen 113 M32 Bewijs: de eigenschap van een buitenhoek van een driehoek (uitbreiding) Eigenschap – een buitenhoek van een driehoek Een buitenhoek van een driehoek is even groot als de som van de twee niet-aanliggende binnenhoeken. B2 is een buitenhoek van ΔABC. A |B | = |A| + |C| 2 C 1 2 B STAP 1 Verkennen • Lees de eigenschap aandachtig. Welke meetkundige elementen komen er in voor? Een buitenhoek van een driehoek en twee niet-aanliggende binnenhoeken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . . STAP 2 Analyseren: vooruitdenken – terugdenken – een plan maken • A Onderzoek de eigenschap voor de buitenhoek B2 . Je kunt deze eigenschap natuurlijk ook met een andere buitenhoek onderzoeken. C vraag antwoord 1 2 B verklaring ΔABC Wat is gegeven? B2 is een buitenhoek van ΔABC Wat moet je bewijzen? • Noteer dit in symbolen. Welke eigenschap ken je al over de som van de hoeken in ΔABC? • Noteer dit in symbolen. | B2 | = |  | + | C | Eig. de som van de hoeken |  | + | B | + | C | = 180° 1 n Hoe groot is de som van | B1 | en | B2 |? |B | + |B | = 1 2 180° o Uitdrukking n = uitdrukking o. • Noteer dit in symbolen. 114 Eigenschappen van driehoeken |Â| + |B | + |C| = |B | + |B | 1 1 2 van een driehoek is 180°. Def. buitenhoek van een driehoek (1) en (2) Zoek uit deze vergelijking de grootte van de buitenhoek B2. |Â| + |Ĉ| = |B | 2 Eig. van gelijkheden: beide leden verminderd met | B1 | Is dit wat je moet bewijzen? Ja STAP 3 Bewijs Bewijs – een buitenhoek van een driehoek is even groot als de som van de twee niet-aanliggende binnenhoeken van die driehoek Gegeven: driehoek ABC buitenhoek B2 A 1 C 2 B Te bewijzen: | B2 | = | A | + | C | Bewijs: n | B1 | + | B2 | = 180° (def. nevenhoeken) o | A | + | B1 | + | C | = 180° (eig. som van de hoeken in een driehoek) n + o |B | + |B | = |A| + |B | + |C| 1 2 1 Eig . van een gelijkheid beide leden – | B1 | | B | = |A| + |C| 2 Wat moet je kunnen? τ de eigenschap van een buitenhoek van een driehoek bewijzen 115 M33 Bewijs: het verband tussen de hoeken en de zijden in een driehoek (uitbreiding) Eigenschap – verband tussen de hoeken en zijden in een driehoek (uitbreiding) B In elke driehoek ligt tegenover een grotere hoek een grotere zijde en omgekeerd. 104° 3 cm 4 cm 45° 31° 6 cm A C | AB | < | BC | Ù | C | < | A | Bewijs (deel 1) – in een driehoek ligt tegenover een grotere zijde een grotere hoek Gegeven: ΔACB 1 | AB | > | AC | C 2 1 A D B Als | AB | > | AC | dan kun je op [AB] een punt D vinden zodat ΔACD een gelijkbenige driehoek is. nIn ΔACD is | C1 | = | D1 | en (eig. basishoeken in een gelijkbenige driehoek). (eig. buitenhoek van de driehoek | D1 | = | C2 | + | B |) oin ΔCDB is | D1 | > | B | Te bewijzen: | C | > | B | Bewijs: n en o |C | > |B| 1 | C1 | + | C2 | = | C | het geheel is altijd groter dan het deel |C| > |B| • Waarom wordt in de eerste stap van het bewijs gesproken over een gelijkbenige driehoek? In een gelijkbenige driehoek liggen tegenover even lange zijden even grote .hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .en . . . . . . . . omgekeerd. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . Bewijs (deel 2) – in een driehoek ligt tegenover een grotere hoek een grotere zijde Gegeven: C ΔACB |C| > |B| Te bewijzen: | AB | > | AC | Bewijs: • A Bewijs uit het ongerijmde Stel dat | AB | niet groter is dan | AC |. Dan heb je twee andere mogelijkheden: n Stel dat | AB | = | AC |, dan zou ΔACB gelijkbenig zijn en de hoeken B en C even groot. Dit is in tegenspraak met het gegeven. o Stel dat | AB | < | AC |, dan zou volgens het eerste deel van het bewijs | C | < | B |. Dit is in tegenspraak met het gegeven. Er blijft dus maar één mogelijkheid over: | AB | > | AC | B Wat is een bewijs uit het ongerijmde? te bewijzen, ga je bewijzen dat elke andere mogelijkheid niet kan. .In . . . . plaats . . . . . . . . . . . . . . van . . . . . . . . .de . . . . . .eigenschap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . rechtstreeks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... ....... • In het bewijs uit het ongerijmde worden drie mogelijkheden bekeken. Welke? | AB | = | AC | | AB | < | AC | | AB | > | AC | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . Wat moet je kunnen? τ de eigenschap van het verband tussen hoeken en zijden in een driehoek bewijzen 116 M34 Bewijs: de driehoeksongelijkheid Eigenschap – driehoeksongelijkheid In een driehoek is de lengte van een In driehoek ABC geldt: 7 cm < 2,8 cm + 6 cm 2,8 cm < 7 cm + 6 cm zijde altijd kleiner dan de som van de | | | | | | AB < BC + CA 6 cm < 7 cm + 2,8 cm lengten van de andere twee zijden. | | | | | | BC < AB + CA | CA | < | AB | + | BC | A 7 cm B 6 cm 2,8 cm C Bewijs – in een driehoek is de lengte van een zijde kleiner dan de som van de lengten van de andere twee zijden Gegeven: ΔDEF E 1 F D Te bewijzen: | DE | < | DF | + | FE | Bewijs: 2 G | DF | + | FE | n Je maakt de som | DF | + | FE | zichtbaar op de tekening: Je verlengt [DF] met [FG] zodat | DF | + | FG | = | DG | (met | EF | = | FG |). o | E2 | = | G | en | E | > | E2 | dus is | E | > | G | (eig. basishoeken in gelijkbenige driehoek) (het geheel is altijd groter dan het deel want | E | = | E1 | + | E2 |) p In ΔDEG ligt tegenover een grotere hoek een grotere zijde: | DG | > | DE | of | DF | + | FE | > | DE | • Waarom wordt er in de eerste stap van het bewijs gesproken over een gelijkbenige driehoek? In een gelijkbenige driehoek zijn de basishoeken even groot. Zo kun je de .hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vergelijken. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...................................................................................................................................... . . . . . . . Wat moet je kunnen? τ de driehoeksongelijkheid bewijzen/verklaren 117 Problemsolving 1 Gamal knipt uit een vel papier een driehoek. Twee zijden van zijn driehoek zijn 6 cm en 8 cm, de hoek tussen deze zijden is een rechte hoek. Hij gaat de driehoek één keer vouwen en kan zo verschillende figuren vormen Bijvoorbeeld: of 6 8 Welke van de volgende getallen kan de oppervlakte van een figuur zijn? B 12 cm2 C 18 cm2 D 24 cm2 E 30 cm2 A 9 cm2 6·8 De oppervlakte van de driehoek is B cm2 = 24 cm2. De oppervlakte van de 2 dan de helft (je kunt deze driehoek niet precies .figuur . . . . . . . . . . . . . . . . . .is . . . .. .minder, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .maar . . . . . . . . . . . . . . . . zeker . . . . . . . . . . . . . . . . .meer . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... ....... driehoek heeft geen symmetrieassen. De .op . . . . . . . . .zichzelf . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .vouwen). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Een . . . . . . . . . . . .ongelijkbenige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... ....... 2 zijn, zoals de figuur hiernaast laat zien. .oppervlakte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . kan . . . . . . . . . . . . inderdaad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 . . . . . . . . cm . . . ..................................................................................................................................... ....... (8 + 4) · 3 B 2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .cm . . . . . . . . . . . .= . . . . . 18 . . . . . . . . .cm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . . 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . . 4 3 8 2 Een driehoek heeft een hoek van 86°. In de driehoek zijn de drie bissectrices getekend. Hoeveel graden is de hoek met het vraagteken? 86° hoeken 180° – 86° = 94°. .•. . . .In . . . . .de . . . . .grote . . . . . . . .. . .driehoek . . . . . . . . . . . . . . . . .is . . . .de . . . . .som . . . . . . . . .van . . . . . . . .de . . . . .twee . . . . . . . . . .andere . . . . . . .................................................... hoeken 90° : 2 = 47° .•. . . .In . . . . .de . . . . .kleine . . . . . . . .. . . .driehoek . . . . . . . . . . . . . . . . .is . . . .de . . . . .som . . . . . . . . .van . . . . . . . .de . . . . . twee . . . . . . . . . .scherpe . . . . . .................................................... ? . . . . .(def. . . . . . . . . .bissectrice). . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................... .De . . . . . .hoek . . . . . . . . . .met . . . . . .. .het . . . . . . .vraagteken: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .180° . . . . . . . . .– . . . 47° . . . . . . .= . . . .133° . . . . . . . . . . . . .................................................... 3 Van een driehoek zijn twee zijden elk 7 cm lang. De lengte van de derde zijde is een geheel aantal centimeters. Hoeveel cm is de grootste omtrek die zo’n driehoek kan hebben? A 14 B 15 C 21 D 27 E 28 De som van de twee gekende zijden is 14 cm. De lengte van de derde zijde moet de twee andere zijden). 28 cm is bijgevolg . . . . . . . .korter . . . . . . . . . . . . . . . . . .zijn . . . .. . . . . . .dan . . . . . . . . . . . . .14 . . . . . . . .cm . . . . . . . . . .(= . . . . . . . de . . . . . . . . .som . . . . . . . . . . . . .van ..................................................................................................................................... de grootst mogelijke omtrek gevraagd wordt,. . .is .geen . . . . . . . . . . . . . . .mogelijke . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .oplossing. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Omdat . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... .... .27 . . . . . . . .cm . . . . . . . . . .het . . . .. . . . . . .correcte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .antwoord. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . . 4 Van een stomphoekige en een scherphoekige driehoek zijn de volgende hoeken gekend: 120°, 80°, 55° en 10°. Hoe groot is de kleinste hoek van de scherphoekige driehoek? 45° deze driehoek blijft nog 60° over. De hoek van . . . . . . . .120° . . . . . . . . . . . . . is . . . . . .de . . .. . . . .enige . . . . . . . . . . . . . . . . .stompe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoek. . . . . . . . . . . . . . . . . .In . . . . . ..................................................................................................................................... 55° kan echter niet, want dan zou de . . . . . . . .55° . . . . . . . . . .of . . . . . . .de . . . . .. . . hoek . . . . . . . . . . . . . . . .van . . . . . . . . . . . .10° . . . . . . . . . .zijn . . . . . . . . . . . mogelijkheden. . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... van 80° en 10° en bijgevolg een rechte hoek heb.scherphoekige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . driehoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .hoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... ....... heeft dus hoeken van 120°, 10° en 50°. .ben. . . . . . . . . . . . . . De . . . . . . . . ..stomphoekige . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .driehoek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... ....... De scherphoekige driehoek heeft dan hoeken van 80°, 55° en 45°. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..................................................................................................................................... . . . . . . . 118 problemsolving
