First Encounter

First Encounter
Relativistische Quantummechanica & Quantumveldentheorie
De meest fundamentele theorie van de natuur die we
hebben is de quantummechanica. Relativistisch ver3500
antwoorde
quantummechanica, bijvoorbeeld de Dirac
Een zondagmiddag
vergelijking, wordt vaak bestempeld als zeer moeilijk.

Deels is dit natuurlijk wel op waarheid gebaseerd: zelf
2e jaars QM
had ik als Bachelorstudent grote moeite om in de korte
Red Bull
tijdsspanne waarin dit artikel geproduceerd moest
worden de beginselen te begrijpen. Ook relativistische
quantummechanica werkt echter met een soort van Schrödinger vergelijking, alleen met een iets andere
Hamiltoniaan. Hieruit volgen allerlei nieuwe verschijnselen zoals spin, en antideeltjes. De quantumelectrodynamica, een goed voorbeeld van een quantumveldentheorie, wordt wel eens de meest succesvolle theorie
ooit genoemd. Zo voorspelt deze theorie correct het anomale magnetische moment van het elektron, in elf
significante cijfers! Ook uit deze theorie volgt allerlei interessante physica zoals vacuümenergie, virtuele
deeltjes en het Casimireffect.
: Willem Haverkort
#Woorden:
Geschatte leestijd:
Moeilijkheidsgraad:
Voorkennis:
Bijpassend drankadvies:
Relativistische Quantummechanica
Klein-Gordon vergelijking
D
e quantummechanica zoals behandeld in het tweede jaar TN is duidelijk niet relativistisch. Dit is niet
alleen omdat de klassieke Hamiltoniaan gebruikt wordt in de Schrödinger vergelijking, het zit ook in
de hele structuur van de theorie. Tijd en ruimte spelen binnen de quantummechanica een zeer verschillende rol, wat natuurlijk niet strookt met het idee van een ruimtetijd zoals in de speciale relativiteitstheorie.
Dit is duidelijk te zien aan de Schrödinger vergelijking die eerste orde is in de positie, maar tweede orde in de
tijd. Ook is het zo dat positie binnen de quantummechanica een operator is, waar tijd slechts een parameter is.
Allereerst kunnen we eens kijken wat er gebeurt als we in plaats van de klassieke Hamiltoniaan H=p²/2m+V de relativistische relatie tussen energie en impuls gebruiken: E²=m²c4+p²c². Wanneer we hier de quantummechanische
operatoren =(ħ/i)∇ voor de impuls en iħ∂/∂t voor de energie in substitueren en vermenigvuldigen met ψ krijgen we:
Of met de definitie □²= c-²∂²/∂²t-∇² van de d’Alembertiaan:
D
it is de Klein-Gordon vergelijking, die in natuurlijke eenheden (ħ=c=1) het bijzonder simpele
voorkomen (□²+m)ψ=0 heeft. Merk op dat de vergelijking overeenkomt met de golfvergelijking
van elektromagnetische golven wanneer je voor de massa m nul neemt! We weten dat voor lage
energieën de relativistische energie-impuls vergelijking overgaat in de klassieke Hamiltoniaan. Het blijkt
dan ook dat de Klein-Gordon vergelijking voor lage energieën overgaat in de Schrödinger vergelijking aangezien deze gebaseerd is op de klassieke Hamiltoniaan. Aangezien de spin van een deeltje niet afhangt van
zijn energie kunnen we concluderen dat de Klein Gordon vergelijking net zoals de Schrödinger vergelijking
spinloze deeltjes als pionen en kaonen (π en K mesonen) beschrijft. Er zijn echter een aantal opmerkelijke dingen aan de hand met deze vergelijking. Zoals te zien is aan de gebruikte relatie voor de energie,
E²=m²c4+p²c², zijn er ook oplossingen mogelijk met een negatieve energie! Dit zou betekenen dat een deeltje
naar steeds lagere energieniveaus zou kunnen afglijden, wat een onuitputtelijke bron van energie vormt!
Ook is het zo dat het inproduct van de ψ‘s niet altijd positief is. Dit maakt de interpretatie van ψ als een
waarschijnlijkheidsdichtheid, zoals bij de Schrödinger vergelijking, onmogelijk. Schrödinger, op zoek naar
2 - Physicus januari 2005, 15e jaargang, nummer 4
een quantummechanische beschrijving van het elektron, was de eerste die de vergelijking opschreef. Door
de eerder genoemde problemen en het feit dat de Klein-Gordon vergelijking geen rekening houdt met spin,
maakten dat Schrödinger de vergelijking verliet voor degene die nu zijn naam draagt.
Dirac vergelijking
E
en mogelijke oplossing voor de problemen met de Klein-Gordon vergelijking is te zeggen dat
alleen oplossingen met positieve energie geldig zijn. Dirac deed dit door eigenlijk de wortel
van de Klein-Gordon vergelijking te nemen. Als Hamiltoniaan gebruikte hij E=+√(m²c4+p²c²).
Wanneer je hierin de impuls en energie operatoren substitueert en vermenigvuldigt met ψ krijg je:
Met het oog op de speciale relativiteitstheorie willen we rechts een eerste afgeleide naar de plaats, aangezien er aan de linkerkant een eerste afgeleide naar de tijd staat. Dit
kan bijvoorbeeld wanneer de termen onder de wortel een kwadraat zijn van iets dat
eerste afgeleiden naar de plaats bevat! Met
moet dan gelden:
Waarin de vier constanten αµ (met µ=0,1,2,3,4) nog nader te bepalen zijn. Wanneer je het kwadraat aan de rechterkant uitwerkt, blijkt dat αµ²=1, maar ook: αµαν=-αναµ Dit laatste betekent
dat de αµ’s niet commuteren, en dat het dus geen getallen zijn. Matrices kunnen echter wel
aan deze vergelijkingen voldoen. Meerdere oplossingen zijn mogelijk, maar een handige blijkt:
Waarin 0 en I de 2x2 nul- en identiteits- matrices zijn, en de σi’s de welbekende Pauli matrices:
Hamiltoniaan wordt de Dirac vergelijking:
. De matrices αµ zijn dus 4x4 matrices. Met de gevonden
D
it is een erg belangrijke vergelijking, opgesteld om het elektron te beschrijven,
maar eigenlijk geldig voor alle spin ½-deeltjes. Dirac zelf merkte op, verbaasd
over de vele facetten ervan, dat de vergelijking een stuk intelligenter is dan zijn
bedenker. Een aantal van deze eigenschappen zijn wel aardig om te vermelden.
Paul A.M. Dirac
(1902-1984)
First Encounter
Aangezien de αµ’s 4x4 matrices zijn betekent dit dat ψ een 4-vector is. Een dergelijke
golffunctie met vier componenten wordt een spinor genoemd. Wanneer we voor ψ een
kolomvector nemen dan is ψ† een rijvector, en vormt het inproduct ψ†ψ een waarschijnlijkheidsdichtheid, net zoals in de niet-relativistische quantummechanica. Normalisatie
vereist ∫ψ†ψ d³x=1.
Voor de ‘probability current’ J geldt een continïteitsvergelijking (naar analogie van een
vloeistofstroming of de wet van behoud van lading)
3
De componenten Ji van de ‘probability current’ J blijken te zijn*:
H
et aardige is dat wanneer je een oplossing in de vorm van de 4-vector ψ hebt gevonden, de elektrische stroomdichtheid wordt gegeven door qJ (met q de lading van het deeltje)! De Hamiltoniaan
kan gemakkelijk worden aangepast om ook de interactie van het elektron met een elektromagnetisch veld mee te nemen¹.
In Griffiths komt spin een beetje uit de lucht vallen. Dit is niet verwonderlijk voor een niet-relativistische
introductie tot de quantummechanica, aangezien spin in weze een relativistisch effect is dat te maken heeft
met een energiestroom rond een deeltje². Spin en het gebruik van spinoren, waar Griffiths voor het behandelen van spin op overstapt, volgen op een natuurlijke wijze uit de Dirac vergelijking.
O
ok al is de Dirac vergelijking een zeer functionele relativistische beschrijving van het elektron, het
beoogde doel van het omzeilen van de negatieve energie oplossingen is niet gelukt. Oplossingen
van de Dirac vergelijking bestaan uit zowel spinoren met positieve en negatieve energie. Dirac vond
hierop het volgende: stel nu dat alle toestanden met negatieve energie bezet zijn. Deze bezette toestanden
worden nu de ‘Dirac zee’ genoemd. Aangezien de Dirac vergelijking fermionen beschrijft, kunnen door het
uitsluitingsprincipe van Pauli deeltjes met positieve energie dan niet zomaar afdalen naar toestanden met
lagere energie. Deze oplossing van het negatieve energie probleem brengt echter wel het volgende met zich
mee. Wanneer één van de deeltjes met negatieve energie een energiesprong maakt, laat deze een gat in de
negatieve energie zee achter. Dit gat zal zich dan gedragen als een deeltje met positieve energie en precies
de tegenovergestelde eigenschappen van het deeltje dat de energiesprong maakte. Het gat zal wel dezelfde
massa hebben, maar bijvoorbeeld een tegenovergestelde lading. Dit alles klinkt wellicht een beetje vreemd
en kunstmatig. Bijna de hele natuurkundige gemeenschap was dan ook verbaasd toen slechts enkele jaren
na Pauli’s voorspelling exact dit proces werd ontdekt: de creatie van een elektron en een positron. Hoewel
de voorspelling precies overeenkwam met de waarnemingen, houden we er tegenwoordig een iets andere
interpretatie op na. In het licht van de in de daaropvolgende jaren ontwikkelde quantumveldentheorie
kun je de gaten in de “Dirac zee” opvatten als de positieve energie oplossingen van een echt deeltje. Deze
deeltjes worden antideeltjes genoemd. Elk deeltje heeft een antideeltje, al zijn sommige deeltjes hun eigen
antideeltje. Dit werkt zonder de metafysische aanname van een negatieve energiezee, en werkt niet alleen
voor fermionen, maar ook voor bosonen.
Quantumveldentheorie
H
et aanpassen van de quantummechanica aan de relativiteitstheorie door het anders schrijven van
de Hamiltoniaan in de Schrödinger vergelijking leverde ons respectievelijk de Klein-Gordon vergelijking en de relativistische vergelijking van het elektron: de Dirac vergelijking op. Behalve dat
tijd en ruimte op gelijke voet staan binnen de relativiteitstheorie, volgt er tevens een equivalentie tussen
massa en energie uit. Het ontstaan van deeltjes uit een hoge energiedichtheid, binnen de beperkingen van
behoudswetten, moet dus mogelijk zijn. De notatie van de quantummechanica is echter niet erg geschikt
voor het beschrijven van systemen waarin het aantal deeltjes niet constant is. De klassieke Hamiltoniaan
bijvoorbeeld bevat termen voor elk deeltje afzonderlijk. Ook zijn er geen operatoren die de spontane creatie
en annihilatie van deeltjes beschrijven. Het doel van de quantumveldentheorie is dit alles overzichtelijker en
inzichtelijker beschrijven, en is dan ook naast nieuwe phsyica vooral nieuwe notatie!
*
ψ-
(ψ†ψ) = ψ† ψ+( ψ†)ψ = (1/iħ)[ψ†(α0+
α†i(
ψ†)ψ]=-c[
αi(
αi c)ψ-(α†0+
i
α†i
† c)ψ†ψ]=(c/iħ)[ψ†
i
αi iψ-
α†i
† ψ†ψ]=-c[ψ†
i
αi
ψψ†)]=-∇•(cψ†αjψ). M.b.v de Dirac vergelijking en zijn Hermitisch geconjugeerde, de impulsopera-
tor pi=-iħ∂/∂xi en zijn Hermitisch geconjugeerde pi†=iħ∂/∂xi, het feit dat ᵆ=αµ, en de definitie van de divergentie ∇=
4 - Physicus januari 2005, 15e jaargang, nummer 4
Fock ruimte
De toestand van een deeltje kan in de quantummechanica altijd worden uitgedrukt als een lineaire combinatie van de eigenvectoren |an> van een zekere operator Â:
zodat wanneer deze operator werkt op de toestand Ψ de uitkomst een van de eigenwaarden an zal zijn.
Wanneer we te maken hebben met meerdere deeltjes wordt deze notatie al snel een warboel. De golffunctie van drie ononderscheidbare deeltjes; één in toestand |a1> en twee in |a2> is bijvoorbeeld
J
e kunt je voorstellen dat dit al snel niet meer werkbaar wordt bij meer deeltjes. Daarom stappen we
over op een iets andere notatie. In deze notatie wordt bovenstaande golffunctie: |1,2,0,0,..>A. Waar
de eerste index aangeeft hoeveel deeltjes er in de toestand |a1> zitten, de tweede index hoeveel er in
toestand |a2> zitten etc... Merk op dat |0,2,0,..>A niet hetzelfde is als 2|0,1,0,..>A. Sterker nog, waar
|0,1,0,..>A=|a2> nog een vector was in de Hilbert ruimte is |0,2,0,..>A dat niet! In plaats daarvan is
|0,2,0,...>A een nieuwe basisvector in de zogenaamde Fock ruimte. Een speciale toestand in de Fock ruimte
is het vacuüm; de toestand zonder deeltjes: |0,0,0,..>:=|0>. De Fock ruimte bestaat uit de vacuümtoestand
+ de ruimte van een eendeeltjessysteem + de ruimte van een tweedeeltjessysteem etc. en is dus een soort van
uitgebreide Hilbertruimte
In deze nieuwe notatie is het nuttig een serie ‘aantal deeltjes operatoren’ i(A) in te voeren. Werkend op
een vector in de Fock ruimte geven deze het aantal deeltjes in de toestand |ai>; dit zijn dus de eigenwaarden
van deze operatoren. 2(A) werkend op |1,2,0,0,..>A geeft bijvoorbeeld 2|1,2,0,0,..>A.
Nog handiger is het de ‘aantal deeltjes operatoren’ te splitsen in twee nieuwe operatoren âi en âi’ zodat âi’âi=
(A)
i met de eigenschap dat âi het aantal deeltjes in de toestand âi verlaagt, en âi’ dit aantal verhoogt. Het
blijkt dat âi en âi’ elkaars geconjugeerde zijn en als eigenwaarden (op een vrije fasefactor
na) respectievelijk √ni en √(ni+1) hebben. Dit is niet heel moeilijk om aan te tonen, maar
wel saai dus dat laat ik als oefening voor de enthousiasteling. Met âi’ = âi† geldt dus:
D
eze operatoren worden respectievelijk de ‘lowering’ en de ‘raising’ operator
genoemd, of soms ook wel annihilatie en creatie operatoren. Ze lijken erg
veel op de ‘ladder operatoren’ die je vast al eens bent tegengekomen. Ladder
Vladimir A. Fock
operatoren worden gebruikt bij de harmonische oscillator waar ze het quantumgetal n
(1898-1974)
verhogen of verlagen. Je kunt aan bovenstaande eigenwaardevergelijkingen gemakkelijk
zien dat âi†âi inderdaad i(A) is zoals beoogd.
Merk op dat aan de hand van de raising operatoren en de vacuümtoestand |0> elke mogelijke toestand is
op te bouwen. Zo is |0,1,0,0,..>A bijvoorbeeld te maken door de creatie operator â2† te laten werken op
het vacuüm:
Merk ook op dat uit bovenstaande eigenwaardevergelijking voor de loweringoperator âi volgt dat wanneer deze op een lege toestand werkt dit nul oplevert. Voor Fermionen eisen we verder dat de ni’s alleen de
waarden nul en één kunnen aannemen, zoals het Pauliverbod dicteert.
Formalisme
W
at is een veld? In het algemeen is dit ‘iets’ als functie van de ruimtelijke coördinaten en de tijd. In
de theorie van het elektromagnetisme kan dit een getal zijn: bijvoorbeeld de elektrische potentiaal, maar ook een vector: bijvoorbeeld het elektrische veld. In de Algemene Relativiteitstheorie
is dit zelfs een tweedimensionale tensor: de metriek. In quantumveldentheorieën worden aan elk punt in de
First Encounter
5
ruimte operatoren toegekend! Een quantumveld is dus eigenlijk een operatorveld. Het invoeren van deze
quantumvelden wordt om historische redenen ook wel ‘tweede quantisatie’ genoemd. Belangrijk is echter
wel te beseffen dat quantumveldentheorie niet de quantummechanica vervangt. Zoals elk quantumsysteem
heeft een quantumveld een Hamiltoniaan en voldoet een quantumveld aan de Schrödinger vergelijking,
of de relativistische variant hiervan. De Hamiltoniaan zal echter, met behulp van de ‘aantal deeltjes operatoren’, wel anders genoteerd worden dan voorheen. Dit aangezien we eigenlijk niet willen specificeren
uit hoeveel deeltjes het systeem bestaat, maar ruimte willen houden voor de eventuele spontane creatie en
annihilatie van deeltjes. Een quantumveld is niets meer dan een operatorveld dat de creatie en annihilatie
van deeltjes regelt.
Veldoperatoren
V
oor het beschrijven van de creatie van een deeltje met een bepaalde impuls en positie wordt de
volgende operator gebruikt*:
Met als complex geconjugeerde de annihilatieoperator . Dit zijn voorbeelden van veldoperatoren. Werkend
op toestanden in de Fock ruimte maken ze een wiskundige beschrijving van de creatie en annihilatie van
deeltjes mogelijk. Wellicht verbaast het je dat de creatie en annihilatieoperatoren opeens een tijdsafhankelijkheid hebben. Dit is een gevolg van het zogenaamde Heisenberg beeld waar veel mee gewerkt wordt in
quantumveldentheorieën.
Heisenberg beeld
E
en toestand Ψ(t), waarbij we de plaatsafhankelijkheid even niet expliciet aangeven, ontwikkelt zich
volgens de Schrödinger vergelijking: iħ∂Ψ(t)/∂t=Ĥ(t)Ψ(t). Wanneer de Hamiltoniaan niet van de tijd
afhangt, heeft deze vergelijking als formele oplossing: Ψ(t)=e-iĤt/ħΨ(0), wat je gemakkelijk kunt controleren door te differentiëren. Deze nieuwe operator e-iĤt/ħ brengt de toestand Ψ(0) een interval t verder in
de tijd. De verwachtingswaarde van een zekere operator Ô wordt gegeven door <Ψ(t)|Ô|Ψ(t)>=<Ψ(0)|eiĤt/
ħÔe-iĤt/ħ|Ψ(0)>. Voor verwachtingswaarden maakt het dus niet uit of de toestanden in de tijd veranderen en
de operatoren niet, of dat de toestanden Ψ(0) stationair zijn en de operatoren in de tijd veranderen volgens:
Ô(t)=eiĤt/ħÔe-iĤt/ħ. Dit is het zogenaamde Heisenberg beeld van de quantummechanica, equivalent aan het
Schrödinger beeld zoals deze in bijvoorbeeld Griffiths wordt gebruikt.
Hamiltoniaan
D
e Hamiltoniaan voor bosonen wordt in de quantumveldentheorie geschreven als:
Dit is niet heel verrassend; â†(p,t)â(p,t) (de ‘aantal deeltjes operator’!) geeft je namelijk het aantal deeltjes
in de toestand |p>. Met de bijbehorende energie E(p) levert integreren over alle waarden van p je de
Hamiltoniaan op. Het voordeel van het op deze manier schrijven van de Hamiltoniaan is dat het aantal
deeltjes in het systeem hier niet in voorkomt. De Hamiltoniaan kan dus ook gebruikt worden in gevallen
waar het aantal deeltjes niet goed bepaald is. En in het licht van de spontane creatie en annihilatie van
deeltjes is dit natuurlijk zeer nuttig.
D
eze Hamiltoniaan wordt in de meeste traditionele teksten over quantumveldentheorie verkregen
door de Fourier transformatie van de betreffende veldvergelijking te nemen (bijvoorbeeld de KleinGordon vergelijking voor pionen, of de klassieke golfvergelijking voor fotonen). Dit levert een
beschrijving van een harmonische oscillator op die vervolgens gekwantiseerd wordt. Het verrassende volgt
* met Â= creëren de bijbehorende creatieoperatoren â†(p) volgens â†(p)|0>=|p> een deeltje met impuls |p>. De transformatie tussen de
positie- en impuls- ruimte: |x>=(2πħ)-3/2∫d³pe-ip•x/ħ|p>=(2πħ)-3/2∫d³pe-ip•x/ħâ†|0>. (voor 1D zie Griffiths vgl [3.132]) impliceert via de
laatste stap dat (2πħ)-3/2∫d³pe-ip•x/ħ↠werkend op het vacuüm een deeltje met impuls |p> op positie |x> creëert.
6 - Physicus januari 2005, 15e jaargang, nummer 4
uit het feit dat elk van deze harmonische oscillatoren een bepaalde ‘nulpuntsenergie’ ½ħω heeft. Wanneer je
dit netjes uitwerkt komt deze binnen bovenstaande integraal terecht wat maakt dat de Hamiltoniaan oneindig wordt! Dus zelfs werkend op de vacuümtoestand |0> levert de Hamiltoniaan een oneindige energie op,
die om deze reden dan ook wel de vacuümenergie wordt genoemd. Uiteraard kan het niet kloppen dat het
vacuüm een oneindige energie heeft. Dit zou in het licht van de algemene relativiteitstheorie een oneindige
bron van gravitatie betekenen die ervoor zou zorgen dat het heelal zou imploderen. Om deze reden doen
quantumveldentheoretici de oneindige term af met de aanname dat alleen verschillen in de vacuümenergie
er toe doen. De microscopische interpretatie van deze vacuümenergie is de spontane creatie en annihilatie
van zogenaamde virtuele deeltjesparen, deeltje en antideeltje, die binnen de grenzen van het onzekerheidsprincipe kunnen ontstaan zolang ze maar wel weer heel snel verdwijnen. In termen van velden in plaats van
deeltjes manifesteert de vacuümenergie zich in de vorm van een zogenaamd nulpuntsveld. Elk veld, zoals
bijvoorbeeld het elektromagnetisch veld, kan in het licht van het onzekerheidsprincipe zelfs bij het absolute
nulpunt van temperatuur niet nul zijn.
Feynman diagrammen
V
oor de complexe berekeningen van quantumveldentheorieën zijn een aantal technieken bedacht. De
meest succesvolle is die van de Feynman diagrammen bedacht door de Amerikaanse natuurkundige
Richard P. Feynman. Hierbij krijgen alle tussenliggende stappen in bijvoorbeeld een botsingsexperiment een diagram. Deeltjes die een dergelijk diagram verlaten zijn ‘echte’ deeltjes en moeten dan ook
voldoen aan allerlei behoudswetten. Ertussenin kan van alles gebeuren, bij de botsing kunnen bijvoorbeeld
deeltjes ontstaan en weer verdwijnen. Deze deeltjes worden ‘virtuele’ deeltjes genoemd en mogen zo’n beetje
alle natuurwetten aan hun laars lappen. Ze mogen bijvoorbeeld best sneller gaan dan het licht. Virtuele
deeltjes kunnen dan ook niet worden waargenomen. Elk diagram krijgt volgens bepaalde regels een amplitude. Het totale botsingsproces wordt verkregen door alle mogelijke tussenstappen te sommeren waarbij
de kans op een bepaalde uitkomst gevonden wordt door de modulus in het kwadraat van de bijbehorende
amplitude. Merk op dat dit een oneindig aantal diagrammen betreft waarvan in de praktijk blijkt dat het
meenemen van een aantal van de belangrijkste diagrammen voldoende is om betrouwbare uitkomsten te
krijgen.
Dit Feynman diagram geeft de elektrische interactie tussen twee elektronen weer. Op de
verticale en horizontale assen staan respectievelijk de tijd en een ruimtelijke coördinaat
uit. Het rechter elektron (weergegeven met een doorgetrokken lijn) zend een foton
(golvige lijn) uit, dat het linker elektron absorbeert. Deze impulsuitwisseling levert een
afstotende kracht op. Een aantrekkende kracht tussen twee deeltjes met tegengestelde
lading zou je op deze manier kunnen visualiseren met een diagram waarin het ene
elektron een foton uitzend in tegengestelde richting aan het andere elektron. Dit andere
elektron absorbeert vervolgens ditzelfde electron dat vanwege een onzekerheid in zijn positie van de andere
kant het elektron kan benaderen!
Casimir effect
H
oewel we hebben gezegd dat de oneindige vacuümenergie geen fysisch waarneembare gevolgen
heeft zoals bijvoorbeeld een gravitationele werking, doen verschillen in deze energie er wel degelijk
toe. Een mooi voorbeeld hiervan is het Casimir effect, dat tevens een goed voorbeeld is van een
experimenteel aangetoond fenomeen dat volgt uit de theorie van het quantumveld. Zoals elk veld zal ook
het elektromagnetische veld een bepaalde nulpuntsenergie hebben. Wanneer je nu twee geleidende platen
tegenover elkaar opstelt, zullen slechts bepaalde frequenties tussen de platen ‘passen’ (vanwege de randvoorwaarden E//=B-=0). Vacuümfluctuaties met een golflengte groter dan tweemaal de afstand tussen de
platen zijn niet toegestaan. Erbuiten wel! Dit levert een grotere energiedichtheid erbuiten op dan er binnen
waardoor een aantrekkende kracht op beide platen zal werken. Dit fenomeen wordt ook waargenomen
wanneer bijvoorbeeld twee schepen vrij dicht bij elkaar liggen: slechts bepaalde golflengtes zijn tussen de
schepen mogelijk en schippers zien beide schepen langzaam naar elkaar toe bewegen. We zullen dit effect
voor het elektromagnetische vacuümveld eens wat nader bekijken aan de hand van een voorbeeld in 1
dimensie, wat de wiskunde wat gemakkelijker maakt.
First Encounter
7
W
e zullen in eerste instantie de (1 dimensionale) ruimte voorstellen als een ‘doos’ met lengte L en
vervolgens de limiet van L→∞ nemen. Van de analogie van het elektromagnetische veld in een
doos met de harmonische oscillator weten we dat de nulpuntsenergie ½ħω is, waarbij nu ω=ncπ/L
(met n een integer). We zullen in eerste instantie de vacuümenergie exponentieel snel af laten nemen boven
een frequentie ωc en vervolgens de limiet ωc→∞ nemen. De vacuümenergie zonder ‘platen’ wordt dan:
W
aarin de laatste term hogere orde termen in ωc-1 voorstellen die uiteraard wegvallen in de limiet ωc→∞, wat niet wegneemt dat de vacuumenergie zoals hierboven aangegeven ook in 1 dimensie oneindig is.
Stel je nu in deze ruimte twee ‘platen’ voor op afstand a van elkaar. Hierdoor
wordt de ruimte met lengte L verdeelt in drie stukken van lengte ½(L-a), a, en
½(L-a). De nieuwe vacuümenergie wordt nu E0′=E0(a)+2E0(½(L-a))=Lcħωc²/2ππcħ/24a-πcħ/6(L-a). In de limiet van L→∞ valt de laatste term weg. De kracht tussen
de ‘platen’ wordt nu volgens het principe van virtuele arbeid gegeven door:
Hendrik B.G. Casimir
(1909-2000)
In drie dimensies kan je exact hetzelfde principe toepassen, alleen wordt de wiskunde dan wat lastiger. In
het driedimensionale geval hangt de kracht natuurlijk ook af van de oppervlakte A van de platen. Het is zeer
aannemelijk dat dit een lineair verband is. Om de dimensies kloppend te maken, volgt voor de kracht dan
een 1/a4 afhankelijkheid. Wanneer je de berekeningen netjes uitvoert krijg je voor deze Casimirkracht:
Waar het minteken aangeeft dat het een aantrekkende kracht betreft. Met a in micrometers is deze ongeveer F=-0,13/a4 µN . En hoewel dit een erg kleine kracht is, zijn er metingen gedaan met torsiebalansen
aan perfect geleidende, zeer vlakke goudplaatjes die met een redelijke nauwkeurigheid de geldigheid van
bovenstaand resultaat aantonen.
Tot slot
H
et is wellicht nodig te vermelden dat van de onderwerpen die in deze tweede First Encounter aan
bod zijn gekomen slechts de globale contouren zijn geschetst van wiskundig zeer rijke vakgebieden.
Zo zijn de interacties tussen deeltjes, die de quantumelectrodynamica en de quantumchromodynamica zo goed beschrijven, vrijwel volledig buiten beschouwing gelaten. Na het openslaan van een aantal
boeken over de onderwerpen was ik volledig genezen van de illusie hier een wiskundige beschouwing van
het gros aan basisbegrippen te kunnen geven. Ik verontschuldig me voor eventuele fouten of oversimplificaties. In de volgende Physicus wederom meer mooie physica in deze reeks.
Referenties
1)
2)
3)
4)
http://wikipedia.org/Dirac_equation
“What is spin?” Hans C. Ohanian Am.. J. Phys., Vol 54, No. 6, June 1986
http://wikipedia.org/QFT: An interprative introduction to quantum field theory - Paul Teller
Quantum Field Theory, from operators to path integrals - Kerson Huang
8 - Physicus januari 2005, 15e jaargang, nummer 4