Deeltjes karakter van licht

1-D Schrödinger vergelijking
(1999 - opgesteld door Inge van de Stadt)
Deeltjes karakter van licht:
Zwarte straler -> constante van Planck, vgl. statistische mechanica: snelheidsverdeling (Bolzmann) en de
stralingskromme.
Foto-electrisch effect: E  hf
E h
Compton Effect momentum voor fotonen: p  
c 
2
2 4
2 2
Speciale relativiteitstheorie: E  m 0 c  p c , voor fotonen m0  0
De Broglie:
als golven zich als deeltjes gedragen, gedragen deeltjes zich misschien als golven met een
h
golflengte:  
p
Als deeltjes zich als golf gedragen, moeten ze een golffunctie hebben: x, y, z, t 
Electronen diffractie: G.J. Thompson. Het werkte ook voor neutronen ...
2
Interferentie patronen bij bv. dubbele spleet experimenten: I  
Deeltjes karakter is weer waarneembaar bij heel lage intensiteit, geldt ook fotonen bij interferentie bv.
dubbele spleet of bij fotografie.
Vandaar de Born interpretatie: de golven zijn waarschijnlijkheidsgolven en de waarschijnlijkheid om een
deeltje op een bepaalde plek waar te nemen is: 
De intensiteit is fysisch waarneembaar en die moet dus reëel zijn. De golffunctie zelf hoeft dat niet te zijn:
2
   
2
Vandaar de normalisatie (het deeltje moet zich ergens in het universum zijn):

universum
2
 dxdydz  1      dxdydz  1
universum
2
h
h
 p  k met k 
en  

p
2
En ook: E  hf  
We hadden dus  
Hoe kan x, y, z, t  er uitzien? Voor een electromagnetische lopende golf hebben we bv:
E x, t   E0 sin kx  t 
Dit kan ook weergegeven worden met het reële deel van E0 e i  kx  t  .
Voor waarschijnlijkheidsgolven is er geen reden om reëel te blijven:
 x, t   Aei kx t 
(of in 3-D:  x, y, z, t   Aei kr  t  )
Als je deze differentieert naar de tijd krijg je:



 i  i
   i
 E
t
t
t
Dit lijkt op een matrix vergelijking met eigenvectoren en eigenwaarden:
Ax  x waar x de eigenvector en  de eigenwaarde van de vergelijking wordt genoemd. In de vergelijking


i
 E is  de eigenvector en E de eigenwaarde, terwijl de zg. totale energie operator i  Hˆ de
t
t
rol van de matrix vervult.
1
1-D Schrödinger vergelijking
(1999 - opgesteld door Inge van de Stadt)
 Differentiëren naar de plaats geeft




 ik  i
 k   i
 p x   i
 pˆ x
x
x
x
x
 Energie argument
Voor 1-D: Totale energie = kinetische energie + potentiële energie.
p2
Kinetische energie: 12 mvx2  x ; Potentiële energie: V x, t  , we nemen een tijdsonafhankelijke potentiële
2m
energie; V x
p x2
 V x
2m
pˆ x2
pˆ x2
ˆ
In operator vorm H 
  V  x   Hˆ  
 V x  
2m
2m
  2  2   x, t 

 V  x   x, t   i   x, t 
2
2m
x
t
De totale energie is dus: E 
Dit is de 1-D Schrödinger vergelijking
Oplossen:
Scheiden van variabelen: x, t    xT t 
  2  2  x T t 

 V  x   x T t   i   x T t   E  x T t  
2
2m
t
x
Dan hebben we als eerste


  x T t   E  x T t   i  x  T t   E  x T t  
t
t

i T t   ET t  
t
i
T t   Ce
 iEt

We hebben ook:
 2
 2  x 
T t 
 V  x   x T t   E  x T t  
2m
x 2
  2  2  x 
 V  x   x   E  x 
2m x 2
Dit is de tijdsonafhankelijke Schrödinger vergelijking (1-D)
2