Keuze onderwerp: Kansrekening

Keuze onderwerp: Kansrekening
5VWO-wiskunde B
Blaise Pascal
(1623-1662)
Pierre-Simon Laplace
(1749-1827)
INHOUDSOPGAVE
1. Permutaties & Combinaties................................................................................................................ 3
Rangschikking zonder herhaling (permutaties) .............................................................................. 3
Rangschikking met herhaling .......................................................................................................... 3
Combinaties ................................................................................................................................... 4
Verband permutaties en combinaties ............................................................................................ 4
Vertrouwd raken met nPr, nCr, ! .................................................................................................... 5
Kennismakingsopgaven .................................................................................................................. 6
2. Kansdefinitie van Laplace ................................................................................................................... 7
Kennismakingsopdrachten ............................................................................................................. 7
3. Vaasmodel .......................................................................................................................................... 8
Met en zonder terugleggen trekken ............................................................................................... 9
Herhaald uitvoeren van een kansexperiment ................................................................................ 9
Herhaald uitvoeren van een kansexperiment totdat succes optreedt ........................................... 9
Kennismakingsopdrachten ........................................................................................................... 10
Vaasmodel .................................................................................................................................... 10
Met en zonder terugleggen .......................................................................................................... 10
5. Binomiale verdeling .......................................................................................................................... 12
Kennismakingsopgaven ................................................................................................................ 13
6. Normale verdeling ............................................................................................................................ 14
Algemeen ..................................................................................................................................... 14
Normaal kromme ......................................................................................................................... 15
Vuistregels .................................................................................................................................... 15
Grenzen berekenen ...................................................................................................................... 16
Hoe vind ik μ óf σ als de rest wel is gegeven: L, R, oppervlakte? .................................................. 16
Kennismakingsopdrachten ........................................................................................................... 17
Toepassingsopdrachten................................................................................................................ 18
2
1. Permutaties & Combinaties
Rangschikking zonder herhaling (permutaties)
Het is vaak zo dat de lettervolgorde ABC niet hetzelfde is als ACB. De lettervolgorde is dus van belang.
Als je k elementen kunt kiezen uit een verzameling van n elementen, waarbij ieder element
hoogstens één maal gekozen wordt en waarbij wel gelet wordt op de volgorde van de elementen dan
heb je te maken met een permutatie of rangschikking.
Het aantal permutaties kun je berekenen met de volgende formule:
.
Met n verschillende elementen uit een verzameling van n elementen kunnen n! verschillende
rangschikkingen gemaakt worden. De formule klopt want 0!=1.
Voorbeeld 1
Hoeveel woorden van drie letters kun je
maken als je 26 verschillende letters maximaal
één maal mag gebruiken en onzinwoorden zijn
toegestaan?
Voorbeeld 2
In een vaas zitten vier knikkers in de kleuren
rood, wit, blauw en groen. Je trekt een knikker
en legt die niet terug. Hoeveel volgordes zijn er
waarin je de knikker uit de vaas kunt halen?
Antwoord
Antwoord
Toelichting
Toelichting
Rangschikking met herhaling
Als je k elementen kiest uit een verzameling van n elementen, waarbij ieder element meerdere keren
gekozen mag worden en waarbij wel gelet wordt op de volgorde dan heb je te maken met een
rangschikking met herhaling. Het aantal rangschikkingen met herhaling kan worden berekend met de
volgende formule:
.
Voorbeeld
Hoeveel telefoonnummers van 7 cijfers kun je
maken, als je er van uitgaat dat alle 'denkbare'
nummers zijn toegestaan.
Voorbeeld
Hoeveel geboortevolgordes zijn er in een gezin
met 3 kinderen?
Antwoord
Antwoord
Toelichting
3
Combinaties
Het kan voorkomen dat de lettervolgorde niet van belang is: ABC is dan hetzelfde als ACB.
Als je k elementen kiest uit een verzameling van n elementen, waarbij ieder element hoogstens één
maal wordt gekozen en waarbij niet gelet wordt op de volgorde dan heb je te maken met een
combinatie.
Het aantal combinaties kan worden berekend met de volgende formule:
De notatie van de n en k tussen de haakjes wordt uitgesproken als ‘n boven k’.
Voorbeeld
Bij de lotto worden iedere week zes lottogetallen getrokken, door achter elkaar zes balletjes uit een
machine te laten rollen. Op iedere balletje staat een getal. De balletjes die er uit zijn gerold worden
niet terug gestopt. Bovendien is de volgorde van de balletjes is niet belangrijk. Er zijn 41 balletjes en
er worden zes balletjes getrokken.
Antwoord
Het aantal verschillende combinaties van 6 getallen uit 41 is:
N.B.
voer je in de GR in met 41 nCr 6
Verband permutaties en combinaties
Op tafel liggen 26 letters: A t/m Z. Hiermee leg ik, zonder terugleggen, "woorden" van drie letters.
Onder "woorden" verstaan we alle mogelijke series van drie letters, dus ook onzinwoorden zijn
toegestaan. Hoeveel verschillende "woorden" kan ik maken?
Het antwoord op deze vraag is:
Omdat het zonder terugleggen is en de volgorde van belang is, hebben we hier te maken met
permutaties.
Je kunt ook uitrekenen hoeveel verschillende combinaties van 3 letters er zijn. Je let dan niet op de
volgorde, maar kijkt alleen welke 3 letters in het woord voorkomen.
Het antwoord is dan:
Aan de berekening kun je zien dat het 'verschil' tussen het aantal permutaties en het aantal
combinaties 3! is. Welnu, die 3! is precies het aantal rangschikkingen dat je kunt maken met 3 letters.
Dus aantal permutaties = 3! maal het aantal combinaties.
Neem het woord KAT. Er zijn nog 5 andere woorden te bedenken met dezelfde letters. KTA, AKT,
ATK, TKA en TAK. Er zijn dus 6 verschillende woorden met de letters K, A en T.
4
Vertrouwd raken met nPr, nCr, !
Voorbeeld (1)
Pietje, Marietje en Sofietje doen mee met een hardloopwedstrijd. De winnaar krijgt goud, de tweede
krijgt zilver en de derde krijgt brons. Hoeveel verschillende uitslagen zijn er mogelijk?
Uitwerking (1a)
Goud Zilver Brons
P
M
S
P
S
M
M
P
S
M
S
P
S
P
M
S
M
P
Door het uit te schrijven zie je dat er 6 situaties mogelijk zijn.
Uitwerking (1b)
Echter zonder tabel kun je dit sneller uitrekenen: Er zijn 3 personen die als
eerste kunnen eindigen. Als de eerste bekend is, dan kunnen er twee op
de tweede plaats eindigen. Als de eerste twee bekend zijn, dan ligt de
derde plaats vast. Dus 3 x 2 x 1 = 6. Dit kun je ook schrijven als 3!
(3 faculteit) of als 3 nPr 3.
Ga op je GR naar MATH, vervolgens naar PRB en kies optie 4
Uitwerking (1c)
Er zijn 3 personen die als eerste kunnen eindigen. Als de eerste bekend is, dan kunnen er twee op de
tweede plaats eindigen. Als de eerste twee bekend zijn, dan ligt de derde plaats vast. Dit kunnen we
ook als volgt noteren:
. Echter je GR doet dit iets anders, namelijk: 3 nCr 3 * 2 nCr 1
* 1 nCr 1 = 6. Ga hiervoor naar MATH, PRB en optie 3 voor de nCr optie. De C van nCr staat voor
‘combinaties’.
Voorbeeld 2
We doen nu hetzelfde met de letters AAAABB. Op hoeveel manieren kun je deze letters naast elkaar
zetten, zodanig dat je een ander ‘woord’ krijgt? AAABAB, AAABBA, etc. kun je natuurlijk proberen uit
te schrijven, maar je ziet al snel dat dit vrij lang duurt en bovendien zie je gauw een mogelijkheid
over het hoofd.
Uitwerking 2
In plaats van uitschrijven, hanteren we het principe van uitwerking 1c. Van de 6 letters zijn er 4 een A
en die gebruiken we eerst. Dan houden we 2 plaatsen over. Daar kunnen we de 2 B’s plaatsen. Dus 6
nCr 4 * 2 nCr 2 = 15, oftwel:
5
Kennismakingsopgaven
Opgave 1
Gaat het bij de volgende situatie om combinaties of permutaties?
a) Uit een klas worden zes leerlingen gekozen om een volleybalteam te vormen.
b) Bij een verloting zijn drie prijzen te winnen: een fiets, een grafische rekenmachine en een
taart.
c) In een klas worden vijf kaartjes verloot voor een toneelvoorstelling.
d) Op een schoolfeest komen vijf leraren.
e) Uit de top-tien van BNN van vorige week stel je je eigen top drie samen.
Opgave 2
a) Bereken het aantal rangschikkingen van de letters van het woord: ABBA
b) Bereken het aantal rangschikkingen van de letters van het woord: ANNAMARIA
c) Bereken het aantal rangschikkingen van de letters van het woord: MISSISSIPPI
Opgave 3
Een groep van tien vrienden gaat een weekend kamperen. Eén van het reserveert de camping, één
regelt het vervoer en een derde doet inkopen.
a) Op hoeveel manieren kunnen deze taken verdeeld worden?
b) Op hoeveel manieren kunnen tien taken over deze tien vrienden verdeeld worden?
Opgave 4
Een bedrijf codeert zijn artikelen door gebruik te maken van de symbolen . Elke code bestaat
uit een rijtje van vijf symbolen.
a) Toon aan dat er 1024 codes mogelijk zijn.
b) Hoeveel van deze codes beginnen met ?
c) Bij hoeveel van deze codes staan er geen gelijke symbolen naast elkaar?
d) Hoeveel van deze codes zijn er met precies vier keer het symbool ?
Opgave 5
Carlijn heeft twaalf R&B cd’s. Ze stelt een top-vijf samen. Op hoeveel manieren kan dat?
Opgave 6
Martin is de pincode van zijn bankpas vergeten, maar hij weet nog wel dat daarin de cijfers 2, 5, 8 en
9 voorkomen.
a) Hoeveel pincodes zijn er met deze cijfers?
b) Hoeveel van die pincodes beginnen met een 5?
Opgave 7
Op een school bestaat de feestcommissie uit zes jongens en negen meisjes. Na elk feest maken zes
leden van de feestcommissie de zaal schoon.
a) Hoeveel schoonmaakploegen zijn er met twee jongens?
b) In hoeveel schoonmaakploegen zitten minstens vijf meisjes?
Opgave 8
In een doos zitten drie rode, vier witte en vijf blauwe knikkers. Peter pakt vijf knikkers uit de doos.
Hoeveel vijftallen zijn er mogelijk met
a) één rode, twee witte en twee blauwe knikkers?
b) minstens vier blauwe knikkers?
c) hoogstens één witte knikker?
d) geen enkele blauwe knikker?
6
2. Kansdefinitie van Laplace
Bij een kansexperiment met uitkomsten die allemaal even waarschijnlijk zijn, is de kans op een
gebeurtenis G gelijk aan
Voorbeeld
Wat is de kans dat je met een gewone dobbelsteen een 5 of een 6 gooit?
Uitwerking
Er zijn twee gunstige uitkomsten: 5 of 6.
Er zijn zes mogelijke uitkomsten: 1, 2, 3, 4, 5 of 6.
Dus
Kennismakingsopdrachten
Tip: maak een rooster
Opgave 1
Merel gooit met twee dobbelstenen. Bereken
a) P(verschil van de aantallen ogen is 2)
b) P(product van de ogen is 12)
c) P(product van de ogen is minder dan 30)
Opgave 2
Pim gooit met drie dobbelstenen. Bereken exact
a) P(som van de ogen is 5)
b) P(som van de ogen is minder dan 7)
c) P(met elke dobbelsteen wordt hetzelfde aantal gegooid)
Tip: schrijf de gunstige
mogelijkheden uit.
Opgave 3
Bereken de kans dat je met zes geldstukken
a) Vijf keer kop gooit
b) Drie keer munt gooit
c) Minder dan drie keer kop gooit.
7
3. Vaasmodel
Voorbeeld:
 Een vaas bevat 10 knikkers: 5 zwarte, 3 rode en 2 blauwe.
 Iemand trekt aselect 3 knikkers.
 Hoe groot is de kans op: 2 zwarte , 0 rode en 1 blauwe knikker als je drie
knikkers uit de vaas pakt?
1e opmerking:
Als je drie knikkers tegelijk pakt, dan is dit natuurlijk vanzelf een experiment zónder terugleggen. Als
je de drie knikkers één voor één pakt, dan kan het nog mét en zónder terugleggen zijn. Met
terugleggen betekent dan: een knikker pakken, noteren wat er getrokken is, de knikker terugleggen,
de volgende knikker pakken, enz. Hier wordt bedoeld: in één hand drie knikkers pakken of één voor
één zonder terugleggen.
2e opmerking:
Dit experiment is nog uit te schrijven met behulp van een kansboom. Kansbomen geven veel meer
inzicht dan “formules”. Oplossen met behulp van een kansboom kan eigenlijk altijd (al is het soms erg
veel werk).
P(zzb) =
5 4 2 1
. . 
10 9 8 18
P(zbz) =
5 2 4 1
. . 
10 9 8 18
P(bzz) =
2 5 4 1
. . 
10 9 8 18
Dus
= 3/18 = 1/6.
Nu met combinaties
5
 2
 3
0
 2
1
Er zijn   combinaties van zwarte balletjes mogelijk,   combinaties van rode en  
combinaties van blauwe knikkers.
zwart
rood
blauw
totaal
5
3
2
-----------10
te trekken
2
0
1
-----------3
Eerst een tabelletje maken zoals hierboven voorkomt veel fouten !!
Veel kansproblemen kun je ‘vertalen’ in een vaasmodel met kleuren knikkers.
Vaak is het handig om daar gebruik van te maken!
8
Met en zonder terugleggen trekken
Herhaald uitvoeren van een kansexperiment
Voorbeeld
Het vier keer gooien met een dobbelsteen is een voorbeeld van het herhaald uitvoeren van hetzelfde
kansexperiment.
a) Bereken de kans dat vier keer 6 ogen wordt gegooid.
b) Bereken de kans op precies één keer 6 ogen.
Uitwerking
4
1 1 1 1 æ 1ö
1
a) P(6666) = × × × = ç ÷ =
6 6 6 6 è 6ø
1296
3
æ 4 ö 1 5 5 5
1 æ 5ö
500 125
b) P(een 6 en 3 keer geen 6) = ç
× × × × = 4 × ×ç ÷ =
=
÷
6 è 6 ø 1296 324
è 1 ø 6 6 6 6
Herhaald uitvoeren van een kansexperiment totdat succes optreedt
Voorbeeld
Tom pakt één voor één knikkers uit een vaas met vijf rode, drie witte en twee zwarte knikkers. Hij
gaat net zo lang door totdat hij een rode knikker pakt. Bereken de kans dat hij drie keer een knikker
pakt.
Uitwerking
Trekken met terugleggen
Jelle gooit drie keer met een dobbelsteen.
Bereken de kans dat hij één keer minstens 5
ogen gooit.
Trekken zonder terugleggen
In een grabbelton zitten zes enveloppen, waarvan
er twee een prijs bevatten. Thijs pakt drie enveloppen. Bereken de kans dat Thijs één prijs wint.
Aanpak
Pak drie knikkers met terugleggen uit een vaas
met twee rode(5 of 6 ogen) en vier witte(1, 2, 3
of 4 ogen) knikkers.
Aanpak
Pak drie knikkers zonder terugleggen uit een vaas
met twee rode(de prijzen) en vier witte(geen prijs)
knikkers.
Uitwerking
P(één keer minstens 5 ogen) =
Uitwerking
æ 3 ö
ç
÷ × P(³ 5, <5, <5) =
è 1 ø
æ 3 ö æ 2ö æ 4ö
ç
÷ × ç ÷ × ç ÷ » 0,444
è 1 ø è 6ø è 6ø
2
Bij trekken met terugleggen gebruik je de
productregel.
æ 2 ö æ 4 ö
ç
÷ ×ç
÷
è 1 ø è 2 ø
= 0,6
P(één prijs) =
æ 6 ö
ç
÷
è 3 ø
æ 3 ö æ 2 4 3ö
÷ × ç × × ÷ = 0,6
è 1 ø è 6 5 4ø
P(één prijs) = ç
Bij trekken zonder terugleggen gebruik je
combinaties of breuken.
9
Kennismakingsopdrachten
Vaasmodel
Opgave 1
In een vaas zitten acht rode, vier witte en drie blauwe knikkers. Okke pakt vijf knikkers uit de vaas.
Bereken de kans dat Okke
a) één rode, twee witte en twee blauwe knikkers pakt.
b) geen rode knikkers pakt.
c) precies drie rode knikkers pakt.
Opgave 2
In een vaas zitten 18 rode, 12 blauwe en 32 witte knikkers.
Vincent pakt zes knikkers uit de vaas. Bereken de kans op
a)
b)
c)
d)
drie witte en drie blauwe knikkers
geen witte knikkers
precies vier witte knikkers
precies één rode knikker
Opgave 3
Bij een loterij zijn 60 loten verkocht. Er is één hoofdprijs en er zijn vijf tweede prijzen. Dennis heeft
vijf loten gekocht.
a) Bij deze situatie hoort een vaasmodel. Hoe is deze vaas samengesteld? Hoeveel
knikkers pakt Dennis uit de vaas?
Bereken de kans dat Dennis
b) Twee tweede prijzen wint en verder niets?
c) De hoofdprijs en één tweede prijs wint?
Opgave 4
Bij een loterij zijn 40 loten verkocht. Er zijn drie eerste prijzen en zeven tweede prijzen. Monique
koopt drie loten en Barbara koopt er vier. Bereken de kans dat
a)
b)
c)
d)
Monique precies één prijs wint.
Barbara twee tweede prijzen wint.
Geen van beiden een prijs wint.
Elk lot van Barbara een prijs oplevert.
Met en zonder terugleggen
Opgave 5
In een vaas zitten 24 blauwe en 16 groene knikkers.
Matthijs pakt drie knikkers uit de vaas. Bereken de kans op
a) Twee groene knikkers
b) Minstens één blauwe knikker
Elsbeth pakt met terugleggen drie knikkers uit de vaas. Bereken de kans op
c) Twee groene knikkers
d) Minstens één blauwe knikker
10
Opgave 6
Anna pakt twee knikkers uit een vaas met 4 rode en 3 witte knikkers. Welke bewering is waar?
I)
II)
III)
Opgave 7
In een klas zitten 22 leerlingen: tien jongens en twaalf meisjes.
a) Elk van de secties Frans, Duits, Engels en Nederlands verloot een boek in de klas.
Bereken de kans dat de vier boeken door meisjes gewonnen worden.
b) De sectie verzorging verloot in de klas vier appeltaarten. Elke leerling kan hoogstens
één taart winnen. Bereken de kans dat de vier taarten door meisjes gewonnen
worden.
Opgave 8
De kans dat iemand linkshandig is, is 0,18.
a) Bereken de kans dat van twee willekeurige personen er één linkshandig is.
b) Bereken de kans dat van vijf willekeurige personen er hoogstens één linkshandig is.
In een gezelschap van 50 personen zijn negen linkshandigen aanwezig.
c) Bereken de kans dat twee willekeurig aangewezen personen uit dit gezelschap
beiden linkshandig zijn.
Opgave 9
Trudy pakt één voor één knikkers uit een vaas met zes gele, vier witte en drie paarse knikkers. Zij
gaat net zo lang door totdat zij een gele knikker pakt. Bereken de kans dat zij vijf keer een knikker
pakt.
11
5. Binomiale verdeling
Een binomiale kansverdeling is een discrete verdeling.
Voorbeeld
Iemand gooit 8 keer met een dobbelsteen.
Hoe groot is de kans dat hij 3 keer een 6 gooit.
Uitwerking
Bereken de kans op eerst 3x een 6, dan 5x iets anders.
3
1 5
P(6 6 6 x x x x x) =    
6 6
Discreet
Heeft betrekking op dingen
die enkel geheel voorkomen:
auto’s, knikkers, katten, etc.
5
P(6 x x 6 6 x x x) is natuurlijk precies even groot.
8
 3
Er zijn   van deze mogelijkheden.
3
8  1   5 
 3  6   6 
5
P(3 zessen) =       = 0,1042


1


Met behulp van je GR kun je dit uitrekenen door P(3 zessen) = binompdf  8, ,3   0,1042
6
Voorbeeld
Bereken de kans op hoogstens drie keer een 6.
Uitwerking
P(0 keer een 6) = binompdf(8,1/6,0) = 0,2326
P(1 keer een 6) = binompdf(8,1/6,1) = 0,3721
P(2 keer een 6) = binompdf(8,1/6,2) = 0,2605
P(3 keer een 6) = binompdf(8,1/6,3) = 0,1042
------------------+ ------------------------+ -------- +
P(X ≤ 3 x een 6) = binomcdf(8,1/6,3) = 0,9693
Verwachtingswaarde
Bij een kansexperiment met bijvoorbeeld 4 mogelijke uitkomsten, waarbij de kansen op elk van de
uitkomsten bekend zijn:
uitkomst
kans
16
0,3
20
0,3
30
0,3
50
0,1
is de verwachtingswaarde van de uitkomst: 16 x 0,3 + 20 x 0,3 + 30 x 0,3 + 50 x 0,1 = 24,8
Formules
Binomiale kansen:
De verwachtingswaarde:
Standaardafwijking:
12
Kennismakingsopgaven
Opgave 1
Bereken
en ga deze uitkomst na m.b.v binompdf.
Opgave 2
In een vaas zitten drie rode, drie witte en vier groene knikkers. Alexander pakt drie knikkers uit de
vaas en legt deze daarna weer terug. Het pakken van drie knikkers met dezelfde kleur beschouwt hij
als succes.
a) Bereken p [p is de kans op succes]
Alexander voert het experiment vijf keer uit. Bereken de kans dat hij
b) Geen enkele keer succes heeft
c) De eerste keer succes heeft en daarna niet meer
d) Precies één keer succes heeft
Opgave 3
Bereken de kans dat Wassim bij tien worpen met een dobbelsteen vier keer minstens vijf ogen goot.
Opgave 4
De schijf hiernaast is verdeeld in vier even grote sectoren.
Sandra laat de schijf zeven keer draaien.
Bereken de kans dat zij
a) Drie keer een 1 krijgt
b) Hoogstens vier keer een 2 krijgt
c) Vier keer een 1 en drie keer een 3 krijgt
Opgave 5
Van een zeer grote partij accu’s is 20% ondeugdelijk. Een koper, die dit percentage niet kent, besluit
de partij op te kopen als hij in de steekproef van 54 accu’s niet meer dan 3 ondeugdelijke accu’s
aantreft. Bereken de kans dat de opkoper de partij opkoopt.
Opgave 6
Bij een binomiaal kansexperiment met n = 25 en p = 0,42 is X het aantal keer succes.
Bereken
a)
b)
c)
d)
e)
Opgave 7
Bereken de kans dat je
a) Bij 30 worpen met twee geldstukken hoogstens vijf keer met beide geldstukken munt gooit.
b) Bij 18 worpen met twee dobbelstenen precies vijf keer minstens zeven ogen gooit.
Opgave 8
Bij een spel met drie dobbelstenen is de inleg €10,-. Gooit een deelnemer drie gelijke aantallen ogen,
dan krijgt hij €100,-. Gooit hij twee gelijke aantallen ogen, dan krijgt hij €15,-. In alle andere gevallen
krijgt hij niets. Bereken de winstverwachting per spel voor de organisator.
13
6. Normale verdeling
Algemeen
De normale verdeling is een continue kansverdeling. De grafiek is
een vloeiende kromme. Kansverdelingen waarbij een continue
variabele een rol speelt komen veel voor. Als je bijvoorbeeld kijkt
naar het gewicht van een pak koffie van een bepaald merk, of naar
de gemiddelde opbrengst van een hectare grond of naar de lengte
van een groot aantal personen dan heb je steeds te maken met
een continue kansverdeling.
Bij veel discrete kansverdelingen, zoals bijvoorbeeld de binomiale verdeling, wordt vaak gedaan alsof
ze continu zijn, vooral als sprake is van grote aantallen.
Eigenschappen van een normale verdeling die je uit je hoofd moet kennen zijn:
 De grafiek is klokvormig
 De oppervlakte onder de kromme komt overeen met 100% van de gegevens
 De grafiek is symmetrisch t.o.v. het gemiddelde
 Gemiddelde, mediaan en modus vallen samen
 De verdeling wordt bepaald door de verwachtingswaarde = het gemiddelde ( x of μ) en
de standaarddeviatie (σ of sd)
 σ = de afstand van de symmetrie-as tot de buigpunten van de grafiek.
Voor een normale verdelingskromme is het mogelijk de standaarddeviatie σ op het oog te schatten.
σ is namelijk de afstand van het buigpunt tot het centrum (gemiddelde en mediaan).
Maak altijd even een schetsje van de normaalkromme, geef het gemiddelde en de grenzen aan en
arceer het gebied waarvan je de kans (= de oppervlakte van het begrensde gebied) moet berekenen.
Gemiddelde = verwachtingswaarde = x = E(x) = μ (spreek uit mu)




Bijna alle kansen bereken je met de functie Normalcdf.
Als kleinste ondergrens bij de berekening van een kans als
gebruik je over het
algemeen niet 0 maar een heel klein getal als
(waarom?)
Als kleinste bovengrens bij de berekening van een kans als
gebruik je over het
algemeen een heel groot getal als
(waarom?)
is bij de normaalverdeling gelijk aan
i.v.m. de continuïteit.
Terugrekenen:

Met de GR kun je met behulp van invNormal (de inverse van normalcdf) de grenzen berekenen
bij een gegeven kans (=oppervlakte). invNormal kan alleen kansen berekenen van de vorm
. Kansen van de vorm
=c moet je berekenen met
.
Voor het berekenen van kansen als
moet je nog wat extra tussenstappen
zetten. Zie hiervoor: uitleg docent!
invNormal: Je weet de kans, de grootte van het gebied en je wilt de grens (grenzen) van dat gebied
weten.
normalcdf: je weet de grens (grenzen) van het gebied en je wilt de kans oftewel de oppervlakte van
dat gebied weten.
14
Normale verdeling
De normale is een continue kansverdeling met vier parameters, de
linkergrens L, de rechtergrens R, verwachtingswaarde μ (= mu) en de
standaardafwijking σ (= sigma), waarvan de kansdichtheid wordt gegeven
door: kans = normalcdf(L, R, μ, σ)
Standaardafwijking:
De standaardafwijking of standaarddeviatie, is een maat voor de spreiding
van een variabele of van een verdeling.
Normaal kromme
Ga op je GR naar DISTR
(2nd VARS) en kies optie 2
Voorbeeld
De gemiddelde mens heeft een IQ van 100. Tussen een IQ van 85 en 115 heb je een normale
intelligentie. De standaardafwijking σ is hier gelijk aan 15. Boven een IQ van 130 ben je hoogbegaafd.
Uitwerking
Maak eerst een schets van de gegeven situatie!
a) Bereken de kans dat iemand een normale intelligentie heeft.
b) Bereken de kans dat iemand hoogbegaafd is.
Vuistregels
Met bovenstaand voorbeeld in gedachten is het bij de normale verdeling handig om een aantal
vuistregels te kennen:
68% van alle waarnemingen ligt tussen μ σ
95% van alle waarnemingen ligt tussen μ 2σ
15
Grenzen berekenen
Voorbeeld
Na het maken van een proefwerk hoor je van je docent dat het gemiddelde van de klas een 5,7 is,
maar dat je bij de beste 21% hoort. De standaardafwijking is 1,2. Je bent natuurlijk benieuwd naar je
cijfer, maar hoe kom je daar achter?
Uitwerking
Grens = invNorm (opp L, μ, σ)
Dus,
Ga op je GR naar DISTR
(2nd VARS) en kies optie 3
Hoe vind ik μ óf σ als de rest wel is gegeven: L, R, oppervlakte?
Voorbeeld
Van de normaalkromme in het plaatje hiernaast is μ = 400 en is σ
onbekend. Verder is gegeven dat de oppervlakte links van 450 gelijk
is aan 0,78.
Uitwerking
σ) en de oppervlakte = 0,78.
Dus we hebben een vergelijking! Deze kunnen we alleen
grafisch-numeriek oplossen, dus m.b.v. de GR.
Aan de hand van de vuistregels kun je schatten dat σ in de buurt van 80 zal
liggen. Dit betekent dat je je window eerst op
en
moet zetten (ruime schatting).
en
, want een kans ligt
altijd tussen de 0 en de 1. Optie intersect geeft dan:
Je ziet dat je
schatting alleen een houvast is, maar dat je vervolgens gaat uitzoeken of
die schatting wel klopt.
Dezelfde werkwijze zul je moeten volgen als μ onbekend is. Schat altijd eerst hoe groot μ zal zijn,
voordat je je window instelt!
16
Kennismakingsopdrachten
Opgave1
Van een groep volwassen vrouwen is de lengte normaal verdeeld met
en
.
Hoeveel procent van de vrouwen heeft volgens de vuistregels van de normale verdeling een lengte
a) Tussen de 165 en 180 cm?
b) Minder dan 160 cm?
c) Meer dan 175 cm?
d) Tussen de 160 en 170 cm?
Opgave 2
Bereken telkens de oppervlakte van het ingekleurde gebied m.b.v. normalcdf(L, R, μ, σ).
Opgave 3
Bij een normale verdeling is
en
.
a) Bereken de oppervlakte van het gebied onder de normaalkromme links van 480. Maak eerst
een schets en arceer het gebied.
b) Bereken de oppervlakte van het gebied onder de normaalkromme rechts van 510.
Opgave 4
Bij de normaalkrommen in onderstaande figuur is bij de gegeven μ en σ de oppervlakte van het
ingekleurde gebied vermeld. Bereken steeds de grens a m.b.v. invNorm(opp L, μ, σ).
Opgave 5
Bij een normale verdeling is μ = 2200. Het gebied onder de normaalkromme tussen 2080 en 2320
heeft een oppervlakte van 0,62. Maak een schets van de gegeven situatie en bereken σ in tientallen
nauwkeurig.
Opgave 6
Bij een normale verdeling is σ = 3,8. De oppervlakte van het gebied onder de normaalkromme rechts
van 17 is 0,28. Maak een schets van de situatie en bereken μ in één decimaal nauwkeurig.
17
Toepassingsopdrachten
Opgave 7
Van de 1600 mannelijke werknemers van een bedrijf is het gewicht normaal verdeeld met μ = 78 kg
en σ = 12 kg.
a) Hoeveel van deze mannen zijn zwaarder dan 60 kg?
b) Bereken de kans dat een aselect gekozen persoon uit deze groep tussen de 70 kg en 82 kg
weegt.
c) De 10% zwaarste mannen worden door de bedrijfsarts opgeroepen voor controle. Vanaf
welk gewicht in kg nauwkeurig kun je een oproep verwachten?
Opgave 8
Een machine vult pakken groente met een gemiddeld gewicht van 250 gram. De fabrikant wil dat
90% van de pakken een gewicht heeft dat maximaal 5 gram afwijkt van deze 250 gram.
a) Welke standaardafwijking zal hij accepteren? Neem aan dat het vulgewicht normaal verdeeld
is en rond af op twee decimalen.
Een andere vulmachine van pakken groente heeft een standaardafwijking van 4 gram. De fabrikant
wil het gemiddelde zo instellen dat niet meer dan 10% van de pakken minder dan 250 gram bevat.
b) Op welk gemiddelde moet hij de machine instellen? Ga weer uit van een normale verdeling
en rond af op gehelen.
Opgave 9
Uit onderzoek is bekend dat het kopergehalte van messing sierkannetjes van de fabrikant Zomerhuis
normaal verdeeld is met een gemiddelde van 68%.
In een partij van 325 van deze kannetjes blijken er 29 te zitten met een kopergehalte van meer dan
70%.
a) Toon aan dat de standaardafwijking gelijk is aan 1,49%.
b) De kannetje met een kopergehalte van minder dan 65,5% worden uit de handel genomen.
Hoeveel zijn dat er bij een productie van 500 stuks?
Opgave 10
De productietijd van een zeker artikel bij de firma Driessen is normaal verdeeld met een gemiddelde
van 1 uur en 3 minuten.
a) Bereken de kans dat de productietijd van zo’n artikel minder dan 4 minuten afwijkt van het
gemiddelde in het geval de standaardafwijking 125 seconden is.
b) Bereken de standaardafwijking in seconden nauwkeurig in het geval de productietijd van
30% van de artikelen meer dan 2,5 minuut afwijkt van het gemiddelde.
c) Op een dag produceert Driessen 7000 van deze artikelen. Van 1500 van deze artikelen is de
productietijd meer dan 66 minuten. Bereken de standaardafwijking in seconden nauwkeurig.
18