7 Veelhoeken en veelvlakken

7 Veelhoeken en veelvlakken
Adriaan Herremans
7.1 Constructies met passer en liniaal
We beginnen met een kleine opgave: teken een cirkel met een passer. Met
dezelfde passeropening zet je nu 6 punten af op deze cirkel. Verbind elk
punt met zijn twee dichtste buren. Welke figuur krijg je? Kan je nu ook een
gelijkzijdige driehoek tekenen? Welke hoek maakt de oorspronkelijke figuur
in elk hoekpunt?
Het tekenen van figuren met enkel behulp van een passer en een liniaal
(zonder afstandstekens), noemen we het construeren. Reeds de oude Grieken
toonden interesse voor de constructie van regelmatige veelhoeken. Zij kenden
al de constructie van de regelmatige driehoek (ook gekend als ’gelijkzijdige’
driehoek), vierhoek (beter bekend als vierkant), vijfhoek, zeshoek, achthoek,
tienhoek . . . doch een zeven- en negenhoek ontbraken. Pas vele eeuwen later
zou een afdoend antwoord gegeven worden op de vraag welke regelmatige
n-hoeken nu construeerbaar waren en welke niet.
Opgave 7.1. Construeer een regelmatige vierhoek. Zie je in hoe je vanaf deze ∗
constructie komt tot de constructie van een regelmatige achthoek? En een 16hoek? Leid hieruit af dat zodra je een regelmatige n-hoek kan construeren, je
ook voor elke k een regelmatige 2k n-hoek kan construeren.
Tussen de Grieken en de constructie van een regelmatige 17-hoek door
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) vond er niemand een nieuwe constructie bij!
Deze getalenteerde jongeman vond die constructie nog voor zijn negentiende
jaar en was er zeer ingenomen mee (hij wilde dat het op zijn graf kwam, maar
om een of andere reden is dat niet gebeurd; je kan de constructie wel zien
op zijn standbeeld in zijn geboorteplaats Braunschweig) en besloot vanaf dat
moment zich toe te leggen op wiskunde. Dat bleek een gouden zaak voor
de wiskundige wetenschap, want deze Duitser zou uitgroeien tot de ’princeps
mathematicorum’ (eerste onder de wiskundigen). Hij gaf een volledig antwoord op de vraag wanneer een n-hoek construeerbaar is. Zijn stelling luidt
als volgt: elke n-hoek, waarbij n te schrijven valt als een product van een
macht van twee en verschillende Fermat priemgetallen, is construeerbaar met
passer en lineaal, en alle andere niet. Een Fermat priemgetal is een priemgetal
k
van de vorm Fk = 22 + 1. De eerste Fk zijn dus 3, 5, 17, 257, 65537
1
en Fermat (1601-1666) schreef dat hij vermoedde dat alle Fk priem waren.
Doch in 1732 bewees Euler (1707-1783) reeds dat 641 een deler is van F5 (nu
zouden we de delers met een computer uitrekenen, maar in die tijd was dat
een huzarenstukje). Tot nu toe is slechts bekend dat Fk priem is voor k < 5.
Voor k ≥ 5 heeft men al voor enkele gevallen kunnen aantonen dat ze niet
priem zijn. Het tegenwoordig vermoeden luidt dan ook dat er slechts eindig
veel Fermat priemgetallen zijn, en meer concreet dat Fk enkel priem is als
k < 5.
We besluiten dat het dus onmogelijk is om een exacte constructie te geven
van een regelmatige zeven- of negenhoek. Let wel: er zijn wel benaderingsconstructies bekend!
7.2 Regelmatige veelhoeken
In deze paragraaf gaan we alle definities op een rijtje zetten.
Definitie 7.2 We noemen een figuur convex als voor elke twee punten van
de figuur, het lijnstuk dat die twee punten verbindt, volledig binnen de figuur
ligt.
Teken enkele voorbeelden van convexe en niet-convexe figuren. Bestaan
er niet-convexe driehoeken?
Definitie 7.3 Een regelmatige n-hoek is een convexe vlakke figuur met n
evenlange zijden en n evengrote hoeken.
Overtuig jezelf met voorbeelden dat elke voorwaarde moet voldaan zijn.
Teken daartoe figuren die aan alle voorwaarden, behalve één, van bovenstaande definitie voldoen en die toch geen regelmatige n-hoek vormen.
Nu bestaat er ook de notie van een niet-convexe regelmatige veelhoek.
Teken bijvoorbeeld een cirkel met daarop de hoekpunten van een regelmatige
vijfhoek (als je de constructie niet meer kent, denk dan terug aan opgave
1.3). Verbind nu niet de hoekpunten met hun dichtste buren, maar met hun
twee verste buren. Je krijgt een stervormige figuur met evenlange zijden
en evengrote hoeken in elke top. Je zou ook kunnen zeggen dat we bij het
verbinden telkens een sprong van twee hoekpunten maken. We noemen deze
figuur een regelmatige { 52 }-hoek. Met deze notatie is elke regelmatige n-hoek
van in definitie 7.3 eigenlijk een { n1 }-hoek
2
Voor elke a, b met ggd(a, b) = 1, b > 2 en 2a < b bestaat een regelmatige
Waarom moet ggd(a, b) = 1? Waarom 2a < b? Construeer een
regelmatige { 83 }-hoek.
{ ab }-hoek.
Opgave 7.4 Bereken de hoek in elk hoekpunt van een regelmatige n-hoek. ∗
Kan je ook de hoek in elk hoekpunt van een regelmatige { ab } hoek berekenen? Extra vraagje: voor hoeveel n is de hoek van een regelmatige n-hoek (in
graden) een geheel getal?
7.3 Vouw je mee?
a’
a
b
c
b’
Neem een lange strook papier en voer volgende vouwbewegingen uit.
1. Maak een vouwlijn ab die een hoek maakt van ongeveer 60o (a bevindt
zich aan de bovenkant van de strook, b onderaan).
2. Maak de vouwlijn ac door de oorsponkelijke hoek in tweeën te delen.
Hoe doe je dat eenvoudig met vouwen?
3. Vind nu een punt a0 op de bovenkant van je strook door langs de
vouwlijn ac naar boven te vouwen.
4. Het punt b0 op de onderkant vind je door langs vouwlijn ca0 naar beneden te vouwen.
5. Ga terug naar stap 2, maar met a en b nu vervangen door a0 en b0 .
Doorloop deze vouwbewegingen een tiental keren. Snij nu met een schaar
het begin van de strook af (snij langs de derde lijn ab). Nu gaan we een
figuur plooien, door op elke vouwlijn ab onze strook naar binnen te vouwen,
gevolgd door nog eens naar binnen te vouwen op lijn ab, Hierdoor zorg je
ervoor dat alle a’s zich bovenaan bevinden en alle b’s en c’s onderaan. Welke
figuur krijg je als je naar de buitenkant van de gevouwen figuur kijkt?
3
Opgave 7.5 Toon aan dat je steeds een regelmatige zevenhoek bekomt door ∗
de bovenstaande vouw-procedure toe te passen. Ga daarvoor te werk in twee
stappen.
ra1. Veronderstel eerst dat je in het begin (bij toeval) een hoek van 2π
7
o
dialen hebt gevouwen (i.p.v. de 60 ). Wat kan je dan zeggen over de
gevouwen hoeken?
2. Veronderstel nu dat we bij de eerste vouw een fout 0 naast de gewenste hoek zitten (kan positief en negatief zijn). Toon dan aan dat na
het doorlopen van éénmaal de procedure deze fout met een factor 8 is
verkleind. Wat concludeer je hieruit?
We hebben onszelf overtuigd dat onze vouwmanier exponentieel convergeert
naar een regelmatige 7-hoek. Critici merken nu op dat we niet exact een
regelmatige 7-hoek krijgen zoals bij een constructie het geval is (herinner je
dat een regelmatige 7-hoek niet construeerbaar is). Doch dit is voor de praktijk niet van belang: een constructie met passer en lineaal is alleen in theorie
exact (bij het tekenen met passer en liniaal maken we kleine menselijke foutjes), dus met ons vouwen kunnen we wel degelijk een 7-hoek benaderen tot
op zo’n kleine fout na als we willen (en dus tot op menselijke foutjes na).
Opgave 7.6 Kan je met dezelfde strook als in de vorige opgave (d.w.z. met ∗
dezelfde vouwlijnen) nu ook een regelmatige { 27 }-hoek vouwen? En een regelmatige { 37 }-hoek?
7.4 Analyse van de simpele vouwprocedures
De procedure die we gebruikt hebben om een regelmatige 7-hoek te vouwen
korten we af door D2 U 1 (je maakt vouwlijnen door 2 keer naar beneden
(Down) te vouwen en één keer naar boven (Up)). We stellen ons nu de vraag
welke regelmatige n-hoeken we kunnen krijgen door vouwprocedures toe te
passen. Je zou natuurlijk alle mogelijke combinaties van Dk U ` kunnen uitproberen, maar we zonden ook graag op voorhand weten waar we uitkomen.
Ik bedoel daarmee: stel dat je een n-hoek wil vouwen, welke procedure moet
ik dan volgen? Daar gaan we dieper op in in de volgende paragrafen.
Opgave 7.7 Veronderstel dat je al een vouwprocedure kent voor een regel- ∗
matige n-hoek. Hoe leid je daaruit nu een procedure af voor een regelmatige
2n-hoek? Een regelmatige 4n-hoek?
4
Dit laat ons dus toe om ons te beperken tot het zoeken naar vouwprocedures voor regelmatige n-hoeken waarbij n oneven is.
Opgave 7.8 Kijk naar de vouwprocedure Dk U k (dus k keer naar beneden ∗
vouwen, gevolgd door k keer naar boven). Overtuig jezelf ervan dat de kleinste hoek in elk hoekpunt dan convergeert naar 2kπ+1 . Je kan hiermee dus een
regelmatige (2k + 1)-hoek vouwen.
Opgave 7.9 Kijk naar de vouwprocedure Dk U ` . Na s keer de vouwprocedure ∗
te hebben toegepast krijg je volgende figuur:
u
ws
s
u
s
u
s+1
w
s
Overtuig jezelf ervan dat us + 2` ws = π en us + 2` us+1 = π. Uit die
twee gelijkheden kan men aan-tonen (hoef je niet te doen) dat us convergeert
2` −1
naar 2k+`
π. Naar welke hoek zal ws convergeren? Elke oorspronkelijke fout
−1
wordt telkens met een factor 2k+` gereduceerd. Concludeer dat je nu in staat
k+` −1
bent om een regelmatige { 2 2` −1
}-hoek te vouwen.
2k+` −1
Merk wel op dat je { 2` −1 } juist moet interpreteren. Het kan immers
zijn dat ggd( 2k+` − 1, 2` − 1) 6= 1. Zo moet je voor ` = 2 en k = 4 niet
beweren dat je een { 63
}-veelhoek hebt gevouwen, maar een { 21
}-hoek, dat
3
1
wil zeggen een regelmatige 21-boek. (Je zou als oefening kunnen nagaan dat
2k+` −1
een geheel getal is als en slechts als ` een deler is van k.)
2` −1
Zijn dit nu alle mogelijke dingen die we kunnen vouwen? Wat als je
bijvoorbeeld D1 U 3 D1 U 1 D3 U 1 zou uitvoeren verschillende keren na elkaar?
Is dit gelijk aan D5 U 5 ? Of een andere Dk U ` ?
Tijd dus om onze vouwstrategie voor een { ab }-veelhoek eens te analyseren.
In feite doen we twee dingen:
1. Elke nieuwe vouwlijn wordt in dezelfde richting gemaakt (van links naar
rechts op de strook papier) en wordt gemaakt door een hoek in tweeën
te delen.
2. In eenzelfde hoekpunt blijven we vouwlijnen maken (en dus de hoeken
0
halveren) totdat we een hoek van de vorm abπ hebben, waarbij a0 oneven
is.
5
Opmerking l houdt eigenlijk gewoon in dat de vouwprocedure zo eenvoudig mogelijk is. Opmerking 2 is essentiëler. Waarom stoppen we bij een
oneven a0 (ook al is die verschillend van de gewenste a)?
7.5 Voor elke n een vouwsymbool
We willen nu weten hoe we moeten vouwen om een { ab }-veelhoek te krijgen. Voor elke b gaan we een symbool ontwikkelen dat alle informatie bevat.
Daarvoor kijken we nog eens naar onze procedure. We gaan weer uit van de
veronderstelling dat a en b oneven zijn.
1. We beginnen met de gezochte hoek te vouwen (we mogen dit veronderstellen, omdat elke vouwprocedure exponentieel snel ernaar convergeert), dus een hoek van aπ
radialen.
b
. Die
2. Nu hebben we in het volgende hoekpunt een hoek van π − aπ
b
a0 π
beginnen we in tweeën te delen totdat we een hoek van b krijgen met
a0 oneven. Waarom werkt dit steeds (waarom gebeurt het niet dat je
nul keer naar boven of beneden moet vouwen?)
3. Dan hebben we een volgend hoekpunt met een hoek van π −
proces is hetzelfde als bij de vorige stap.
a0 π
.
b
Het
4. We gaan zo maar door totdat we in een hoekpunt weer ergens een hoek
aπ
hebben bereikt.
b
We
vatten alles samen
in een symbool
a1 a2 . . . ar b k1 k2 . . . kr waarbij b − ai = 2ki · ai+1 (voor i = 1, 2, . . . , r) en ar+1 = a1 = a. Kan
je kort uitleggen hoe dit symbool de vorige informatie (de vouwprocedure
beschreven in punt 1-4) bevat?
Opgave 7.10 Veronderstel dat je een regelmatige 11-hoek wil vouwen. Dan ∗
is b = 11 en a = 1. Controleer dan dat je krijgt
1 5 3 11 1 1 3 Hoe moet je nu vouwen voor een 11-hoek? Kan je met dezelfde vouwlijnen
}-hoek bekomen? En een { 11
}-hoek? En wat kan je zeggen over een
een { 11
3
5
{ 11
}-hoek?
2
6
Opgave 7.11 Zoek nu een vouwstrategie voor een regelmatige 31-hoek. Kan ∗
}-hoek vouwen? En een { 31
}-hoek? Probeer alle informatie
je hiermee een { 31
3
5
samen te vatten om een willekeurige { 31
}-hoek
te vouwen.
a
Zijn we nu volledig klaar? Kunnen we nu elke { ab } -veelhoek vouwen?
Neen, tot dusver hebben we aangenomen dat zowel a als b oneven waren. We
moeten nog kijken wat er gebeurt als één van beide even is (waarom zijn ze
nooit allebei even?). Als a = 2r a0 met a0 oneven, is de oplossing simpel: je
weet hoe je de vouwlijnen voor een { ab0 }-veelhoek moet krijgen. Die strook
met vouwlijnen is ook goed om een { ab }veelhoek te vouwen (ga dit zelf na als
oefening).
Het geval dat b even is en a oneven is moeilijker, maar ook hier kan een
vouwprocedure worden opgesteld (zie in de literatuur aan het eind van dit
hoofdstuk [2, §4.3]).
7.6 Veelvlakken
Regelmatige veelhoeken kunnen ook gebruikt worden om 3D-figuren mee te
maken. Het meest bekende voorbeeld is uiteraard een kubus: dit is een figuur
die bestaat uit 6 evengrote vierkanten. Ook deze figuren kunnen gevouwen
worden door meerdere stroken op juiste wijze in elkaar te vouwen. Het resultaat is verbluffend: een figuur waar geen enkel los stukje papier te zien is, die
blijft staan en die na uit elkaar halen gewoon enkele stroken papier zijn. Het
hoeft geen betoog dat dit even werk vraagt en ook wat vingervaardigheid.
Voor de constructies, verwijs ik naar [2, §4.4].
We gaan even stilstaan bij Platonische lichamen. Dit zijn convexe figuren,
met als zijvlakken allemaal dezelfde regelmatige veelhoeken (even groot en
evenveel hoeken). Ken je naast de kubus nog een voorbeeld van zo’n lichaam?
Opgave 7.12 Toon aan dat er precies vijf Platonische lichamen bestaan. ∗
Kijk daarom goed wat er in een hoekpunt van je lichaam kan gebeuren:
hoeveel veelhoeken moeten daar minstens samenkomen? Hoe groot mogen
de hoeken zijn?
Opgave 7.13 Maak een tabel van de vijf figuren waarin je vermeldt uit welke ∗
regelmatige n-hoeken ze zijn opgebouwd, hoeveel zijvlakken er zijn, hoeveel
veelhoekjes er in een hoekpunt samenkomen, hoeveel ribben er zijn en hoeveel
hoekpunten je figuur telt. Kijk ook eens naar het aantal zijvlakken plus het
aantal hoekpunten min het aantal ribben.
7
Wat vouwen betreft: je kan bijvoorbeeld het regelmatig 20-vlak vouwen
door 5 stroken van 11 gelijkzijdige driehoeken te gebruiken (zie [2, §4.4, fig.
21-23, p. 103 e.v.]).
Uiteraard bestaan er andere regelmatige lichamen. Als je goed naar een
voetbal kijkt, zal je zien dat het leder is opgebouwd uit allemaal regelmatige
5- en 6-hoeken (vroeger waren de eerste zwart en de andere wit gekleurd).
Dit kan je krijgen door in elke top van een 20-vlak een kleine piramide weg
te snijden. Ook bestaan er in de driedimensionale ruimte stervormige (=
niet-convexe) lichamen. Kortom, er valt nog heel wat te ontdekken over
regelmatige figuren . . .
7.7 Verdere leuke dingen
7.7.1 Flexagons
Flexagons zijn figuren die we krijgen door het vouwen van een strook
papier, maar zodanig dat na wat vouwen er eerst onzichtbare zijden te
voorschijn komen zonder dat de figuur verandert.
Er zijn verschillende flexagons te vouwen, de figuren waar het over gaat
zijn meestal zeshoeken en soms ook vierhoeken.
De meeste simpele flexagon maak je met een strook van 10 gelijkzijdige
driehoekjes. Je vouwt ze zodanig dat je een zeshoek krijgt en zodanig dat je
de onderkant van de eerste driehoek moet vastplakken op de onderkant van
het tiende driehoekje.
1
2
3
10
Na wat proberen zou je hierin moeten slagen. Kleef nu op de driehoekjes
aan de bovenkant zes groene driehoekjes en aan de onderkant zes blauwe
driehoekjes. Nu gaan we de figuur openvouwen: knijp twee driehoekjes
samen, de figuur opent zich gemakkelijk aan een van de toppen; open nu
je flexagon en wat zie je: de groene driehoekjes van de bovenkant bevinden
zich nu aan de onderkant, doch aan de bovenkant zie je witte driehoekjes,
de blauwe zijn verdwenen... je kan i.p.v. eenvoudige stukjes gekleurd papier,
ook leuke foto’s op de driehoekjes plakken.
Opgave 7.14 Maak je eigen flexagon.
Er bestaan nu ook flexagons met nog meer kleuren, bv. een zeshoek
waarin 6 verschillende kleuren meespelen (in ons voorbeeld waren er dat
8
∗
slechts drie). Vele animaties van deze dingen en uitleg hoe je ze moet vouwen
vind je op het internet.
7.7.2 Kleuringen
In de geest van Felix Klein (1849-1925) kan men i.p.v. naar een figuur
zelf (bv. een veelhoek of veelvlak) naar zijn symmetriegroep kijken. Hiermee
bedoelen we alle bewegingen zodanig dat de figuur op zichzelf wordt afgebeeld
(je kan nagaan dat deze steeds een groep vormen).
We bekijken even de kubus. Bijvoorbeeld een draaiı̈ng over 90 graden
met als as de rechte door de middens van twee overstaande zijvlakken, laat
de kubus als figuur onveranderd. Ook draaiı̈ngen over 180 of 270 graden
zitten in onze symmetriegroep. Het is meestal een moeilijke taak om de
symmetriegroep exact te bepalen (ben ik geen transformatie vergeten? heb
ik geen transformatie dubbel geteld?). Zo zie je bijvoorbeeld bij de kubus
dat een draaiı̈ng over 120 graden met als as de rechte door twee overstaande
hoekpunten ook in de symmetriegroep zit.
Opgave 7.15 Geef alle (3D)-bewegingen die een kubus op zichzelf afbeelden. ∗
Zij die weten wat een groep is kunnen nagaan dat dit een groep is. Ken je
een groep die hiermee isomorf is?
Door te kijken naar de symmetriegroep kunnen problemen worden opgelost.
Bijvoorbeeld het aantal ’essentieel verschillende’ manieren om zo’n kubus te
kleuren. Met ’essentieel verschillend’ bedoelen we dat twee kleuringen die
door zo’n element van de symmetriegroep op elkaar worden afgebeeld worden beschouwd als ’essentieel dezelfde’ kleuring. Bijvoorbeeld als we alle
zijvlakken van een kubus rood kleuren behalve het bovenste vlak blauw, dan
vinden we dat eenzelfde kleuring als alle zijvlakken rood kleuren behalve het
ondervlak blauw.
Je kan je zo afvragen hoeveel verschillende manieren er zijn om de zijvlakken van een kubus te kleuren met alleen rood en blauw (wat als we
’zijvlakken’ veranderen door ’ribben’ of ’hoekpunten’ ?). Of anders: hoeveel
kleuringen zijn er als je 3 gele, 2 rode en l blauw zijvlak wil? Deze twee problemen zijn nog eenvoudig op te lossen met trial-and-error. Je gaat m.a.w.
stuk voor stuk alle mogelijkheden na.
Opgave 7.16 Doe dit eens en bepaal het aantal essentieel verschillende ∗
kleuringen die hierboven beschreven staan.
9
Je merkt wellicht dat voor de hoekpunten en zijvlakken deze trial-anderror vrij vlot werkt, doch bij het tellen van de kleuringen voor de ribben
van de kubus in twee kleuren wordt het al heel erg lastig. Nochtans gaat het
hier steeds om dezelfde figuur . . .
George Pólya (1887-1985) gaf een algemeen antwoord op de vraag op
voorwaarde dat je de symmetriegroep van de figuur die je wil kleuren, kent. In
het bijzonder moet je de actie van je groep op de te kleuren objecten kennen
(zie het verschil tussen zijvlakken, ribben en hoekpunten). Zijn formule stelt
je bijvoorbeeld in staat om te zeggen op hoeveel manieren je een regelmatig
20-vlak kan kleuren met 10 rode, 7 blauwe en 3 groene zijvlakjes met weinig
rekenwerk, of op hoeveel manieren je de ribben van het 20-vlak kan kleuren
in twee kleuren, hetgeen met de trial-and-error methode haast onbegonnen
werk is.
Referenties
[1] P. Hilton, D. Holton, J. Pedersen, Mathematical Reftections: In a room
with many windows, Springer-Verlag, 1997.
[2] P. Hilton, D. Holton, J. Pedersen, Mathematical Vistas: from a Room
With Many Windows, Undergraduate Text in Mathematics, Springer-Verlag,
2002.
10