Continuïteit en Nulpunten

Continuïteit en Nulpunten
1
Continuïteit en Nulpunten
1 Inleiding
In de wiskunde wordt heel vaak gebruik gemaakt van begrippen als functie, functievoorschrift, grafiek, … Voor een gedetailleerde inleiding van deze functieleer verwijzen we naar de herhalingscursus
Wiskunde. In dit hoofdstuk bekijken we even enkele eigenschappen in verband met de continuïteit
van functies waardoor het mogelijk is om op een zeer eenvoudige manier een schets te kunnen maken van de grafiek corresponderend aan een functievoorschrift.
Aanschouwen we de volgende vier figuren:
a
a
Figuur 2
Figuur 1
f(a)
f(a)
a
Figuur 3
a
Figuur 4
In figuur 1 en 2 behoort het punt a niet tot het domein van de functie (d.w.z. er is geen functiewaarde
gedefinieerd voor het punt a). We kunnen dan ook moeilijk het gedrag van deze functies in het punt
a gaan onderzoeken. We zeggen dan dat de functie er niet continu is.
In figuur
Behoort het punt a wel tot het domein van de functie ( het beeld van a is f(a)). Wanneer x een
“klein beetje” kleiner is dan a, dan zal de functiewaarde f(x) een sprong maken en “veel” groter worden dan de functiewaarde f(a). In dit geval spreken we van een discontinuïteit.
In figuur 4 doet deze sprong zich niet voor. Indien x voldoende dicht bij a ligt (zowel links als rechts)
zal f(x) willekeurig dicht bij f(a) kunnen gebracht worden. In dit geval zeggen we dat de functie f
continu is in het punt a van het domein van de functie.
Het begrip continuïteit kan wiskundig heel correct worden gedefinieerd met behulp van het begrip
omgeving . In deze cursus gaan we daar echter niet verder op in. Het volstaat voor ons om in te
zien dat een functie continu is in een verzameling van punten als de bijhorende grafiek van deze functie geen sprongen vertonen in deze punten.
We kunnen zelfs heel concreet melden dat vrijwel elke functie die in deze cursus aan bod zal komen
continu zal zijn in alle punten van zijn domein. Het komt er dus in de eerste plaats op neer dat het
domein van een functie dient onderzocht te worden om te weten waar de functie continu is.
Cursus Wiskunde 2004
Eerste Jaar Bouw Hogeschool Sint-Lukas
W.Mommaerts
Continuïteit en Nulpunten
2
2 Continuïteit van veelvoorkomende functies
Bij het onderzoek naar de continuïteit van functies kunnen we best nog even volgende opmerkingen
in acht nemen.
• Een veeltermfunctie is overal continu
• Bij rationale functies moet opgepast worden voor de nulpunten van de noemers (delen door nul
kan niet)
• Bij irrationale functies bestaan alleen maar evenmachtswortels van positieve stukken.
• Bij cyclometrische functies (omgekeerden van goniometrische) moet je rekening houden dat de
sinus en cosinus alleen waarden tussen –1 en 1 kan hebben
• Men kan geen logaritmen uit een negatief getal berekenen.
Oefening: Bespreek het domein van de volgende functies:
x+2
x2 − 2x
log 2 ( x 2 − 5x + 6)
6 x 2 + 3x − 7
x−2
4x 3 − 16x 2 + 4 x + 24
Bg sin( 1 − x 2 )
x 3 + x 2 - 10 * x + 8
1
3 De middelwaardestelling en de halveringsmethode
Het belang van het begrip continuïteit zit hem in de volgende stelling:
Eigenschap 1: (tussenwaardestelling)
Indien de functie f continu is in het gesloten interval [a,b], dan zal elke getalwaarde tussen m en M
(respektievelijk de kleinste en grootste waarde van het beeld) tenminste eenmaal bereikt worden
door de functie f. Of in symbolen: ∀y 0 ∈ [m , M ], ∃x 0 ∈ [a , b ] : f ( x 0 ) = y 0 .
M
f(b)
f(a)
m
a
b
Gevolg : (middelwaardestelling)
Indien de functie f continu is in een gesloten interval [a,b] en
f(a) en f(b) hebben een verschillend teken,
Dan is er minstens één nulpunt voor de functie f in het interval [a,b].
f is continu in [a, b ]
⇒ ∃w ∈ ]a , b[ : f ( w ) = 0
f ( a ) ⋅ f (b ) < 0
Cursus Wiskunde 2004
Eerste Jaar Bouw Hogeschool Sint-Lukas
W.Mommaerts
Continuïteit en Nulpunten
3
Met behulp van deze stelling kan je de volgende uitspraken eens nagaan :
• De functie f(x)=x5-5x+1 heeft een nulpunt tussen de waarden 0 en 1.
• De functie f(x)=x3-4x2+x+3 heeft een nulpunt tussen de waarden 1 en 2.
•
Heeft de functie f ( x ) =
x2
dan ook een nulpunt tussen –1 en 1 ?
x
Toepassing : de successieve halveringsmethode.
•
Hernemen we terug het voorbeeld uit de vorige oefening : f(x)=x5-5x+1. Vermits f(0)=1 en
f(1)=-3 weten we dat er ergens een nulpunt w tussen 0 en 1 moet liggen. Als we x1=0.5 (de
helft tussen 0 en 1) als benadering nemen dan weten we dat een maximale fout ε 1=0.5 wordt
gemaakt.
• Nu blijkt dat f(0.5)=-1.46875. Dit is op zijn beurt negatief, waaruit we kunnen besluiten dat er
een nulpunt moet liggen tussen 0 (positieve functiewaarde) en 0.5 (negatieve functiewaarde).
Wat er tussen 0.5 en 1 gebeurt interesseert ons momenteel niet. Onze nieuwe benadering wordt
0.25 (helft tussen 0 en 0.5) en de fout van deze benadering is kleiner dan 0.25.
• De functiewaarde in 0.25 is opnieuw negatief f(0.25)=-0.249. Dus kan er een nieuwe benadering genomen worden tussen 0 en 0.25, zijnde 0.125 met een maximale fout 0.125
• De functiewaarde in 0.125 is positief f(0.125)=0.375. Bijgevolg ligt er een nulpunt tussen 0.125
(positieve functiewaarde) en 0.25(negatieve functiewaarde). Onze vierde benadering voor het te
zoeken nulpunt w is nu 0.1875. Deze is maximaal nog 0.0625 van het echte nulpunt verwijderd.
Deze procedure kan eindeloos verdergezet worden tenzij een echt nulpunt wordt gevonden, maar
a
f(a)
b
0
1
0
1
0
1
0,125 0,375031
f(b)
1
0,5
0,25
0,25
-3
-1,46875
-0,24902
-0,24902
m
f(m)
ε
0,5 -1,46875
0,25 -0,24902
0,125 0,375031
0,1875 0,062732
0,5
0,25
0,125
0,0625
steeds zal het onbekende nulpunt nauwer omsloten worden door het interval [a,b]
Vermits elke benadering steeds het midden is van een interval noemt men deze methode de successieve halveringsmethode voor het zoeken van nulpunten van continue functies.
Opdracht :
Gelieve via de halveringsmethode een nulpunt te lokalizeren voor de functie f(x)=x3-4x2+x+3.
Het blijkt dat de functie f(x)=x3+7x2-4x-2 een nulpunt heeft tussen 0.8125 en 0.875. Klopt dat ?
Cursus Wiskunde 2004
Eerste Jaar Bouw Hogeschool Sint-Lukas
W.Mommaerts
Continuïteit en Nulpunten
4
4 Methode 1: de successieve halveringsmethode
Algortime
Zoek getallen a en b zodat f(a).f(b)<0 (ze hebben een verschillend teken voor hun functiewaarde),
dan moet er een getal w tussen a en b liggen zodat f(w)=0.
• Deel het interval [ai,bi] in twee (ai+bi)/2 is de helft.
• selecteer dat deelinterval [ai+1,bi+1] zodat f(ai+1).f(bi+1)<0
• Herhaal de vorige twee stappen totdat |ai+1-bi+1|=ε<ε*
ε noemen we de nauwkeurigheidsgraad van dit algoritme.
Voorbeeld 1:
Bepaal de wortels van x3+2x-1:=g(x)
Merk op: g(0)=-1 en g(1)=2, dus moet er een wortel liggen tussen 0 en 1.
∃x0∈]0,1[:
g(x0)=0
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
neem
neem
neem
neem
neem
neem
neem
x 1 =(1+0)/2=0.5
x 2 =(0.5+0)/2=0.25
x 3 =(0.5+0.25)/2=0.375
x 4 =(0.5+0.375)/2=0.4375
x 5 =(0.5+0.4375)/2=0.46875
x 6 =(0.46875+0.4375)/2=0.453125
x 7 =(0.46875+0.453125)/2=0.4609375
g(0.5)=0.125>0 en g(0)<0
g(0.25)=-0.4472656<0 en g(0.5)>0
g(0.375)=-0.1972656<0 en g(0.5)>0
g(0.4375)=-0.0412598<0 en g(0.5)>0
g(0.46875)=0.0404968>0 en g(0.4375)<0
g(0.453125)=-0.0007133<0 en g(0.46875)>0
g(0.44609375)=0.0198073>0 en g(0.453125)<0
ε=|1-0|=1
ε1 =|0.5-0|=0.5
ε2 =|0.5-0.25|=0.25
ε3 =|0.5-0.375|=0.125
ε4 =|0.5-0.4375|=0.0625
ε5 =|0.43875-0.46875|=0.03125
ε6 =|0.46875-0.453125|=0.015625
ε7 =|0.4609375-0.453125|=0.0078125
Zijn er nog andere nulpunten ?
g’(x)-3x2+2 >0, dus de functie is steeds stijgend en zal nooit meer naar 0 terugkeren.
Opmerking:
Een nulpunt met even multipliciteit, kan niet opgelost worden met deze methode.
Bijvoorbeeld g(x)=(x-2)2
Implementatie in Excel
Deze methode leent zich uitstekend om uitgevoerd te worden in een rekenblad zoals Excel.
• Maak vooreerst een visgraad bestaande uit twee rijen: de x-waarden en de overeenkomstige functiewaarden. Een grafiek (type spreiding) zorgt voor een eenvoudige visuele interpretatie.
• Kies nu met behulp van grafiek en visgraad twee waarden a en b zodat hun overeenkomstige functiewaarden verschillen van teken. Zet er voor alle zekerheid hun functiewaarde g(a) en g(b) nog
a+b
eens naast. Bereken het midden van a en b: m =
en diens functiewaarde g(m). Bereken ε
2
als de helft van het interval [a,b] via de formule =abs(b-a)
• Onder a zet je nu m als g(m) en g(a) hetzelfde teken hebben (g(m)*g(a)>0) in het andere geval
behoud je de waarde van a. In Excel kan je dit doen met de als-functie. Onder b voer je een zelfde redenering met gevolg dat de waarde van m of onder a of onder b terecht komt. De functiewaarden van de nieuwe a en b blijven alleszins verschillen van teken.
• Bereken voor deze nieuwe regel het nieuwe midden m en de overeenkomende g(m) en ε.
• Herhaal deze laatste twee stappen door de tweede regel gewoon door te voeren.
Cursus Wiskunde 2004
Eerste Jaar Bouw Hogeschool Sint-Lukas
W.Mommaerts
Continuïteit en Nulpunten
5
5 Methode 2: de koordenmethode
Stel dat de functie g(x) opnieuw twee tegengestelde waarden bereikt in a en b: g(a).g(b)<0.
De volgende tekening is dan kenmerkend voor de gegeven situatie:
Het is duidelijk dat de verbindingslijn tussen de punten
(a,g(a)) en (b,g(b)) de x-as zullen snijden binnen het interval
]a,b[
g(b)
De rechte door deze twee punten heeft de vergelijg( b ) − g( a )
a
king:y − g (a ) =
(x − a ) .
b−a
b
x*
Het snijpunt met de x-as wordt dan bepaald door het oplosg(a)
g( b ) − g( a )
sen van 0 − g( a ) =
(x − a )
b−a
x* = a −
Dit resulteert in
b−a
g(a)
g(b) − g(a)
We kunnen nu opnieuw gaan kijken naar het teken van g(x*) en nagaan of de wortel nu ligt in het
interval ]a,x*[ of ]x*,b[, steunend op de middelwaardestelling.
Algoritme:
b−a
g (a )
g ( b) − g( a)
• Vervang a of b door xi zodat steeds blijft gelden g(a).g(b)<0
• Herhaal de vorige stappen totdat |a-b|=ε<ε*
• Zoek xi uit de vergelijking x i = a −
Voorbeeld 1: Bereken het nulpunt van g(x)=x3+2x-1 via de koordenmethode
De oplossing kan in volgende tabel worden weergegeven:
i
1
2
3
a
0
g(a)
-1
b
1
g(b)
2
xi
g(xi)
|a-b|=ε
1
Opgave: Bereken de nulpunten van g(x)=sin(x)+x.cos(x) tussen π en 2π
x5-x-2
1 en 2
Implementatie in Excel
De werkwijze is identiek als bij de halveringsmethode behalve dat nu niet het midden m van a en b
wordt gekozen maar het snijpunt van de koorde met de x-as: x* = a −
Cursus Wiskunde 2004
b−a
g(a) .
g(b) − g(a)
Eerste Jaar Bouw Hogeschool Sint-Lukas
W.Mommaerts
Continuïteit en Nulpunten
6
Voorbeeld 1: Berekening van het nulpunt van g(x)=x3+2x-1 in Excel:
x
x^3+2x-1
-3
-34
-2
-13
-1
-4
0
-1
1
2
2
11
3
32
x^3+2x-1
40
30
20
10
0
-3
-2
-1
-10 0
1
2
3
-20
-30
-40
Halveringsmethode
i
a
f(a)
b
1
1,000000
2,000000
2
0,500000
0,125000
3
0,500000
0,125000
4
0,500000
0,125000
5
0,500000
0,125000
6
0,468750
0,040497
7
0,468750
0,040497
8
0,460938
0,019807
9
0,457031
0,009526
10
0,455078
0,004401
11
0,454102
0,001843
0,000000
0,000000
0,250000
0,375000
0,437500
0,437500
0,453125
0,453125
0,453125
0,453125
0,453125
Koordenmethode
i
a
f(a)
b
1
1,000000
2,000000
2
1,000000
2,000000
3
1,000000
2,000000
4
1,000000
2,000000
5
1,000000
2,000000
6
1,000000
2,000000
7
1,000000
2,000000
8
1,000000
2,000000
9
1,000000
2,000000
10
1,000000
2,000000
0,000000
0,333333
0,419355
0,443705
0,450637
0,452611
0,453174
0,453334
0,453379
0,453392
Cursus Wiskunde 2004
f(b)
m
-1,000000
-1,000000
-0,484375
-0,197266
-0,041260
-0,041260
-0,000713
-0,000713
-0,000713
-0,000713
-0,000713
f(b)
0,500000
0,250000
0,375000
0,437500
0,468750
0,453125
0,460938
0,457031
0,455078
0,454102
0,453613
f(m)
0,125000
-0,484375
-0,197266
-0,041260
0,040497
-0,000713
0,019807
0,009526
0,004401
0,001843
0,000564
0,333333
0,419355
0,443705
0,450637
0,452611
0,453174
0,453334
0,453379
0,453392
0,453396
f(m)
-0,296296
-0,087543
-0,025237
-0,007214
-0,002057
-0,000586
-0,000167
-0,000048
-0,000014
-0,000004
x*
-1,000000
-0,296296
-0,087543
-0,025237
-0,007214
-0,002057
-0,000586
-0,000167
-0,000048
-0,000014
Eerste Jaar Bouw Hogeschool Sint-Lukas
ε
-0,500000
-0,250000
-0,125000
-0,062500
-0,031250
-0,015625
-0,007813
-0,003906
-0,001953
-0,000977
-0,000488
W.Mommaerts