Oneindige afdaling

Oneindige afdaling
Voorbeeld. Vind alle oplossingen in positieve gehele getallen van x2 + y 2 = 3(z 2 + w2 ).
Oplossing. Stel (x, y, z, w) is een oplossing waarbij x minimaal is. We zien dat x2 + y 2
deelbaar moet zijn door 3. Omdat kwadraten 0 of 1 mod 3 zijn, kan dit alleen als x en
y beide deelbaar zijn door 3. Dan is de linkerkant zelfs deelbaar door 9. Dus z 2 + w2 is
deelbaar door 3. Dit kan alleen als z en w allebei deelbaar zijn door 3. Schrijf nu x = 3a,
y = 3b, z = 3c en w = 3d. Dan wordt de vergelijking 9a2 + 9b2 = 27c2 + 27d2 , oftewel
a2 + b2 = 3(c2 + d2 ). Dus (a, b, c, d) is ook een oplossing. Maar a < x, tegenspraak.
Opgave 1 Laat met oneindige afdaling zien dat de wortel van een priemgetal nooit een
rationaal getal is.
Opgave 2 Bewijs dat de vergelijking x3 + 3y 3 = 9z 3 geen oplossingen heeft in positieve
gehele getallen x, y en z.
Opgave 3 Bewijs dat de vergelijking 4a3 + 2b3 + c3 − 6abc = 0 geen oplossingen heeft in
positieve gehele getallen a, b en c.
Opgave 4 Bewijs dat de vergelijking 2005x3 = y 3 +25z 3 geen oplossingen heeft in positieve
gehele getallen x, y en z.
Opgave 5 Vind alle drietallen gehele getallen (x, y, z) zodat x2 + y 2 = 3z 2 .
Opgave 6 Vind alle drietallen (x, y, z) van gehele getallen zodat x2 + y 2 + z 2 = 4xy.
Opgave 7 Zij ABC een scherphoekige driehoek. We tekenen de hoogtelijn uit hoek A.
Deze snijdt de overliggende zijde in het punt h1 . Nu nemen we de loodrechte projectie van
dit h1 op zijde b en noemen dat punt h2 . Daarna nemen we de loodrechte projectie van h2
op zijde c en noemen het h3 . Daarna nemen we weer de loodrechte projectie op zijde a en
noemen het h4 en zo gaan we door. Laat zien dat alle hi verschillende punten zijn.
1
Opgave 8 Zij {a1 , a2 , . . . , a2n+1 } een verzameling gehele getallen met de eigenschap dat
wanneer je er één weghaalt, de andere 2n elementen te verdelen zijn in twee groepen van
n elementen met gelijke som. Bewijs dat a1 = a2 = · · · = a2n+1 .
Opgave 9 Zij n ≥ 1 een geheel getal. Bewijs dat er geen positieve gehele getallen a en b
bestaan met a2 + b2 = 32n .
Opgave 10 Vind alle viertallen positieve gehele getallen (x, y, z, t) die voldoen aan het
stelsel vergelijkingen
6x2 + y 2 = t2 ,
x2 + 6y 2 = z 2 .
Opgave 11 Bewijs dat er geen positieve gehele getallen a, b, c en d bestaan zodat a2 +5b2 =
2c2 + 2cd + 3d2 .
Opgave 12 Vind alle priemgetallen p waarvoor er positieve gehele x, y en n bestaan zodat
pn = x3 + y 3 .
Opgave 13 Bewijs dat er geen rationale getallen p, q en r bestaan zodat p2 + q 2 + r2 = 7.
Opgave 14 Vind alle paren (x, y) van gehele getallen zodat x2 + y 2 = x2 y 2 .
Opgave 15 Laat x en y positieve gehele getallen zijn zodat xy een deler is van x2 + y 2 + 1.
2
2 +1
Bewijs dat x +y
= 3.
xy
Opgave 16 (IMO 1988-6) Gegeven zijn positieve gehele getallen a en b zodat ab + 1 een
deler is van a2 + b2 . Bewijs dat
a2 + b 2
ab + 1
een kwadraat van een geheel getal is.
Opgave 17 (IMO 2007-5) Laat a en b positieve gehele getallen zijn zodanig dat 4ab − 1
een deler is van (4a2 − 1)2 . Bewijs dat a = b.
2