Document

Hoofdstuk 10
Fresnel diffractie
Monochromatische, vlakke golf
z
puntbron
filter
Fresnel getal: N F 
a
2
z
Rond gat, diameter: 2a
Simulatie Diffractie aan een
rond gat
Z=1m; =500nm
Z=1m; =500nm
Z=1m; =500nm
Huygens: Elk punt op een golffront zendt een sferische golf uit.
?
(vlak) golffront
Probleem: Er zou ook een golf
de andere kant op moeten lopen!
Daarom “Obliquity factor”:
K ( )  12 1  cos 
Hecht (4e druk): Figuur 10.37 op pagina 487
We beschouwen een puntbron in S
Het golffront op afstand r vanaf S verdelen we in “Fresnel /2 zones”
r0+3/2
r
S
r0+2/2
r0+/2
3
2
1
O
r0
P
Hecht figuur 10.38, pagina 487
Bijdragen van emitters in een oppervlak dS in
een zone l op het fasefront
dS=rdf x 2prsinf
df
r
r
rsinf
f
S
P
r0
r  r  r  r0   2r r  r0 cos f
2
2
2
dS  2prr sin d  2p
r
r  r0
rdr
0
De amplitude van een emitter op het golffront is evenredig met :
r
0
A  Q
r
Bijdrage van de emitters in dS aan P is: dE  K
Van alle emitters in zone l:
El 
rl

Kl
rl 1l

rl

rl 1l
A
A
r
cost  k  r  r dS
2prrdr
Kl
cost  k  r  r  
r
r  r0
A
r
cost  k  r  r dS
Antwoord met:
rl  r0  l

2
rl 1  r0  l  1
El   1
l 1

2
2 K l  A r
sin t  k r  r0 
r  r0
Als l toeneemt:
-Afwisselend positief en negatief van zone naar zone
-Bijdrage van elke zone is vrijwel constant: Oppervlakte
van zone neemt langzaam toe, dus meer emitters. Maar
afstand tot P neemt ook toe
Som van de bijdragen van m zones:
E  E1  E2  E3    Em
 E1  E2  E3    Em
E
E1
E
E1
2
2

Em

Em
2
2
m = oneven
m = even
Fresnel: obliquity factor van de laatste zone is voor =90o
• en:
p

K   p   0
2

• zodat het veld in P tengevolge van het gehele,
niet gelimiteerde golffront gelijk is aan:
Eongelimiteerd = |E1|/2
• Dus gelijk aan de helft van de bijdrage van de eerste zone.
• Vergelijken van de twee uitkomsten leidt tot een extra
factor i/ Hecht blz. 489)
Huygens: Elk punt op een golffront zendt een sferische golf uit.

rm1  r0  m  1
2
Rm 1

rm  r0  m
2
Rm
r0
(vlak) golffront
P

r1  r0  1
2
m  0,1,2
Puntbronnen op R2>R>R1 zullen destructief interfereren met
die op 0>R>R1 in P, punten op R3>R>R2 constructief, enz.
r0
r1  r0  1
constructief

2
r2  r0  2
destructief

2
r3  r0  3
Constructief: m=even
Destructief: m=oneven
constructief

2
destructief
Fresnel zones:
Verzameling punten tusen Rm<R<Rm+1 (me zone)
rm 1  r0  m  1
Rm 1
Rm

2
rm  r0  m
2a

2
m  0,1,2
P
r0
r1  r0  1
(vlak) golffront

2
Hoeveel zones passen er in een ronde opening met diameter 2a?
a
1

RN F
a2
NF 
 r0
a2

2
RN F
a2


2
 r0  N F   r0
2

2

a2
N F  r0
NF : Fresnel getal
a2
Aantal zones: N F 
 r0
Oppervlakte van iedere zone is ongeveer even groot:
Bijdrage van iedere zone aan de intensiteit in P even groot.
(uniforme belichting)
1e zone: licht;
1e + 2e zone: donker;
1e + 2e + 3e zone: licht;
1e + 2e + 3e +4e zone: donker;
enz.
E ~ |E1|/2 + |E1|/2 = |E1|
E ~ |E1|/2 - |E2|/2 = 0
E ~ |E1|/2 + |E3|/2 = |E1|
E ~ |E1|/2 - |E4|/2 = 0
Dus voor even aantal zones is het donker in P en
voor oneven aantal zones is er licht in P
Energiebehoud: er verschijnen donkere en heldere ringen om P
Blokkeren van even- of oneven zones; Zone plaat (Rayleigh 1871)
blokkeert enige zones
Rm
P
ro
Zone plaat werkt als een lens
Rm  mr0
2
2
Rm
f1  r0 
m
Zone plaat als lens:
Als de oneven zones van bv. 40 zones worden geblokkerd:
E  E1  E3  E5   E39  20E1
Eongelimiteerd=E1/2
Dus:
I
I ongelimiteerd
2
 20 E1 
  1600
 
 E1 / 2 
O.a. toegepast voor het focusseren van (zachte) Röntgenstralen
Zone plaat (brandpuntsafstand f1) die de even Fresnel zones blokkeert
R1
R0
Rm  mf1
Demo Zoneplaat
R2
Variatie van het aantal ringen van de zone plaat
Zone plaat
Intensiteitsverdeling in het focus.
Samenvatting Fresnel diffractie
• Treedt op in het ‘nabije veld’
• Onderscheidt zich van ‘verre veld’ (Fraunhofer) door ringenstructuur
• ‘Verre veld’ begint als Fresnelgetal < 1 wordt.
• Afwisselend licht en donker in een punt P achter het gat, aangegeven
door het Fresnelgetal t.g.v. interferentie van zones
• Door de even of oneven zones te blokkeren met een zone plaat kan de
intensiteit in P enorm opgevoerd worden. (lenswerking)
Fresnel diffractie aan een rechthoekige opening
Overbelicht om overgang van Fraunhofer naar Fresnel diffractie te tonen
Demo Rechthoekige Opening