Semi-stochastische aanpak van migratie, sterfte en deling in ge

Technische Universiteit Delft
Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica
Delft Institute of Applied Mathematics
Semi-stochastische aanpak van migratie, sterfte en
deling in geı̈nfecteerde celkolonies.
Verslag ten behoeve van het
Delft Institute of Applied Mathematics
als onderdeel ter verkrijging
van de graad van
BACHELOR OF SCIENCE
in
TECHNISCHE WISKUNDE
door
LISELOT ARKESTEIJN
Delft, Nederland
Juni 2012
c 2012 door Liselot Arkesteijn. Alle rechten voorbehouden.
Copyright BSc verslag TECHNISCHE WISKUNDE
“Semi-stochastische aanpak van migratie, sterfte en deling in geı̈nfecteerde
celkolonies ”
Liselot Arkesteijn
Technische Universiteit Delft
Begeleider
Dr.ir. F.J. Vermolen
Overige commissieleden
Prof.dr.ir. C. Vuik
Dr.ir. M. Keijzer
Dr. J.L.A. Dubbeldam
Juni, 2012
Delft
Inhoudsopgave
1 Inleiding
1.1 Motivatie . . . . . . . .
1.2 Biologische achtergrond
1.3 Literatuuroverzicht . . .
1.4 Opbouw van het verslag
.
.
.
.
.
.
.
.
2 Mathematisch model
2.1 Basismodel . . . . . . . . .
2.1.1 Mechanische energie
2.1.2 Bewegingsrichting .
2.1.3 Celdeling en -sterfte
2.1.4 Complete basismodel
2.1.5 Traagheidsmodel . .
2.2 Bacteriën . . . . . . . . . .
2.3 Witte bloedcellen . . . . . .
2.4 Parameters . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
5
5
8
10
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
11
12
13
14
15
16
17
19
21
3 Numerieke methode
3.1 Basismodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Traagheidsmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Integratie melkzuurconcentratie . . . . . . . . . .
3.4 Berekenen van wondoppervlak of uitgroei kolonie
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
23
23
24
24
27
4 Numerieke resultaten
4.1 Tweecellig model . . . . . . .
4.2 Uitgroei tot een kolonie . . .
4.3 Wondheling en de invloed van
4.4 Afweersysteem . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
29
29
30
33
36
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . .
. . . . . .
bacteriën
. . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Conclusie en discussie
40
6 Bijlagen
6.1 Analytische oplossing voor twee cellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Matlabscript . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
43
44
4
1
1.1
Inleiding
Motivatie
De beweging van cellen in weefsels is een fenomeen dat een essentiële rol speelt in veel biologische
processen. Bijvoorbeeld bij de ontwikkeling van een nieuw organisme, wondheling, tumorgroei
of de werking van het afweersysteem. Bij de ontwikkeling van organismen is er bewust een doel
waar de cellen heen bewegen om weefsels en organen te vormen terwijl dit bij tumorgroei een
stuk willekeuriger is. Om wondheling op te laten treden moeten witte bloedcellen (neutrofielen
en monocyten/macrofagen, samen ook wel omschreven onder de term fagocyten) zich naar de
wond begeven om bacteriën die een infectie veroorzaken te neutraliseren. Daarna bewegen andere cellen (fibroblasten) zich ook naar de wond toe om de beschadigde structuren te kunnen
herstellen. In al deze processen speelt de migratie van cellen dus een belangrijke rol.
Om medische behandelingen te kunnen verbeteren, is het van groot belang om deze processen
goed te begrijpen en te kunnen simuleren, zowel op celniveau als op kolonieniveau. Daarnaast
is ook onderzoek naar de relatie tussen verschillende biologische parameters zeker relevant. Het
wiskundig modelleren van deze processen is een onmisbaar hulpmiddel om de ingewikkelde wiskundige relaties tussen verschillende biochemische parameters te ontdekken en kwantificeren.
Dit project zal met name gericht zijn op het simuleren van wondheling, maar ook aan tumorgroei wordt enige aandacht besteed.
Wanneer een duidelijke simulatie van een helende wond gemaakt is, zal daarna gekeken worden naar een geı̈nfecteerde wond. Aërobe bacteriën die aanwezig zijn in een wond kunnen de
pH-waarde in het weefsel verlagen. Dit komt met name doordat de bacteriën met de weefselcellen concurreren om de aanwezige zuurstof en voedingsstoffen. Door dit tekort ontstaat melkzuur
waardoor de pH-waarde in het weefsel aanzienlijk kan dalen. De celmobiliteit van de normale
weefselcellen is afhankelijk van de pH-waarde en zal bij een lagere pH-waarde afnemen. De wond
zal zich hierdoor langzamer of zelfs niet sluiten.
Tenslotte worden witte bloedcellen in het model geı̈ntroduceerd om de bacteriën te neutraliseren zodat de pH-waarde weer kan herstellen en de wond (sneller) zal helen. Er zal gekeken
worden naar de invloed van diverse parameters op de wondheling en de verdrijving van bacteriën
uit een wond.
1.2
Biologische achtergrond
Voordat de processen gemodelleerd kunnen worden is het van belang het een en ander over
de biologische achtergrond te weten. Er zal eerst een beschrijving van celmigratie gegeven
worden en vervolgens een kort overzicht hoe wondheling in zijn werk gaat. Hierbij worden de
vereenvoudigingen in dit model aangegeven.
Celmigratie [3]
In het lichaam liggen cellen in de extra-cellulaire matrix, de structuur die wel deel uitmaakt van
het weefsel maar niet uit cellen bestaat. Buiten het lichaam, op een microscoopglaasje, is deze
structuur vervangen door een vloeistof waar de cellen in liggen. Beide structuren duiden we
aan met de term substraat. Cellen houden zich vast aan het substraat en wanneer ze migreren
pakken ze steeds een volgend stukje substraat beet. Op deze manier ”kruipen”de cellen over
het substraat. Cellen kunnen zich ook op andere manieren voortbewegen, bijvoorbeeld door te
5
zwemmen. In dit project kijken we naar cellen in een weefsel, zoals bijvoorbeeld huidcellen, die
zich voortbewegen door te kruipen.
Wanneer een cel over het substraat kruipt, ondervindt deze zowel externe als interne krachten. De externe krachten omvatten de visceuze weerstand van het omringende medium en de
cel-substraat interactie krachten. De interne krachten worden gegenereerd door het cytoskelet. In de meeste dierlijke cellen is het cytoskelet de essentiële component bij de vorming van
de voortstuwende krachten en de coördinatie van het bewegingsproces. Het cytoskelet is een
netwerk van drie verschillende soorten biopolymeren. Aan dit interne proces zal verder geen
aandacht besteed worden.
Een cel begint te bewegen als reactie op een extern signaal in zijn directe omgeving. Dit kan
een fysisch, chemisch, gericht of ongericht signaal zijn, dat wordt gedetecteerd door de receptoreiwitten op het celmebraan. De receptoreiwitten geven dit signaal vervolgens door aan het
cytoskelet en intern wordt de “celmotor” opgestart. Van cellen, zoals bloedcellen, wordt gedacht
dat ze ook de richting van het signaal kunnen voelen doordat ze externe gradiënten in de ruimte
kunnen herkennen.
Nadat het signaal verwerkt is, zal de cel
gaan bewegen. De celbeweging bestaat globaal uit drie stadia:
1. De cel duwt de voorkant van zijn membraan naar voren door vervormingen in
het cytoskelet.
2. Aan de voorkant van de cel wordt een
nieuwe verbinding met het substraat gevormd door middel van adhesie. Vervolgens laat aan de achterkant een deel van
de cel los. Deze krachten die door de
adhesie optreden, zijn de cel-substraat
interactie krachten. Door deze krachten treedt een kleine vervorming van het
substraat op en andere cellen in de omgeving kunnen deze vervormingen weer
waarnemen. Hoe sneller een cel beweegt, des te sterker zijn de krachten die
uitgeoefend worden.
3. Tegengestelde krachten, gegenereerd
door het cytoskelet, trekken de cel vooruit.
Figuur 1: Migratie van een cel [3]
In figuur 1 zijn deze stadia weergegeven.
De bewegende cel blijft continu externe signalen waarnemen en past daarop continu zijn bewegingsrichting aan. Deze gestuurde beweging
van cellen wordt celmigratie genoemd.
In dit project wordt de migratie sterk vereenvoudigd gesimuleerd. De krachten die de cellen
op het substraat uitoefenen brengen vervorming van het substraat met zich mee. Voor andere
6
cellen vormt dit het signaal om te gaan bewegen. De daadwerkelijke beweging wordt niet zo
realistisch gemodelleerd. In dit model wordt aangenomen dat cellen een halve bolvorm hebben
en niet vervormen. De cel is dus plotseling op een andere positie. Verder wordt ook de bewegingssnelheid van een cel niet meegenomen in de sterkte van het signaal en wordt de trekkracht
van het signaal verondersteld als een kracht in één punt ter hoogte van de celkern.
Wondheling
Wondheling bestaat uit drie verschillende fasen: de ontstekingsfase, de proliferatie- of celdelingsfase en de maturatiefase. In de eerste fase treedt eerst hemostase op. De bloedvaten trekken zich
samen zodat er minder bloedverlies door de ontstane wond op zal treden. Bloedplaatjes migreren
naar de wond en zorgen voor stolling. Vervolgens zetten de spieren weer tot verwijding van de
bloedvaten aan waardoor de bloeddruk daalt en de witte bloedcellen de kans krijgen om door de
haarvatwanden heen te treden. Ondertussen verspreiden de gestolde bloedplaatjes groeifactoren
zodat de fibroblasten beginnen te delen. In het tweede deel van de eerste fase wordt de wond
rood, warm en zwelt eventueel een beetje op. Door deze verschijnselen gaan de vaten nog verder
openstaan zodat neutrofielen en monocyten kunnen migreren naar het omringende weefsel. De
neutrofielen nemen puin en microorganismen op en vormen daarmee de eerste barriëre tegen een
infectie. Daarna gaan de monocyten aan het slag. In het weefsel differentiëren de monocyten
naar macrofagen die de dode restanten opruimen.
In de proliferatiefase staan angiogenese, collageen dispositie, de vorming van granulatieweefsel, epithelisatie en wondcontractie centraal. Tijdens de angiogenese worden nieuwe bloedvaten
uit endotheelcellen gevormd. Bij collageen dispositie en de vorming van granulatieweefsel wordt
er een nieuwe extracellulaire matrix gevormd om de processen van wondheling te voeden en te
ondersteunen. De epithelizatie is de beweging van cellen die zorgt voor het opnieuw bedekken
van de wond. Door de contractie van de myofibroblasten die tijdens de wondheling uit fibroblasten zijn getransformeerd, wordt de wond kleiner gemaakt.
Tenslotte vind de maturatiefase plaats. Hierin worden alle cellen die niet noodzakelijk zijn
verwijderd en wordt de originele structuur van de huid opperhuid hersteld. Deze fase kan jaren
duren.
Het model is een vereenvoudiging van de werkelijkheid. In eerste instantie wordt de ontstekingsfase overgeslagen en wordt direct gekeken naar de proliferatie fase. Er wordt aangenomen
dat er overal een constante hoeveelheid van groeifactoren aanwezig is, zodat de aanwezigheid van
bloedplaatjes buiten beschouwing blijft. Als gevolg hiervan beginnen de cellen te delen waarna
de epithelizatie uit de proliferatiefase gesimuleerd wordt. De maturatiefase wordt verder buiten
beschouwing gelaten omdat er geen stoffen/cellen aanwezig zijn die verwijderd dienen te worden.
In de simulaties waar wel bacteriën bij betrokken zijn, worden de eerste twee fases nagebootst. Er wordt uitgegaan van één enkel type bacterie die de rol van alle soorten bacteriën
die in een wond aanwezig kunnen zijn op zich neemt. Evenzo wordt er aangenomen dat er
”witte bloedcellen”naar de wond migreren. Onder deze term worden de neutrofielen, monocyten/macrofagen en andere types die niet expliciet genoemd zijn samengenomen. Als de wond
zich gesloten heeft, zullen er witte bloedcellen achterblijven die normaliter in de maturatiefase
verwijderd worden. Dit wordt niet gemodelleerd.
7
1.3
Literatuuroverzicht
Het model waar in dit project mee gewerkt zal worden is gebaseerd op de beweging van individuele cellen door de communicatie via mechanische signalen. Er zijn echter ook andere
mogelijkheden om wondheling te simuleren. In [6] wordt wondheling op een hele andere manier
gemodelleerd. De inhoud van dit artikel zal kort beschreven worden. Daarnaast zijn er een
aantal andere artikelen waarop belangrijke onderdelen van het model gebaseerd zijn. Ook deze
artikelen zullen kort beschreven worden.
In [6] wordt een basismodel voor wondheling van de opperhuid beschreven met behulp van
twee balansvergelijkingen. Eén voor de celdichtheid en één voor de concentratie van een stof die
celdeling stimuleert of juist afremt. De balansvergelijkingen luiden:
Toename celdichtheid= Celmigratie + Celdeling - Natuurlijk verlies
Toename chemische stof = Diffussie + Productie door cellen + Afname chemische stof
waarin:
• Celmigratie en diffusie worden gemodelleerd met een Laplaciaan en een een diffusie constante.
• De term afname chemische stof is een term van de vorm −λc, waarin λ een positieve
constante is en c de concentratie chemische stof.
• Productie door cellen: De grootte van deze term is afhankelijk van het aantal cellen.
Wanneer er geen cellen aanwezig zijn, kan er geen productie zijn. Verder weten we dat in
het geval van niet geı̈nfecteerde cellen de productie constant zal zijn. De productieterm
wordt hier weergegeven met een functie f (n) die gekozen wordt als:
n n20 + α2
f (n) = λc0
voor een groeifactor
n0 n2 + α 2
f (n) = λc0
n
n0
voor een groei onderdrukker
hierin is n het aantal cellen, n0 het aantal cellen in een evenwichtssituatie, c0 de concentratie chemische stof in een evenwichtssituatie en α een positieve constante gerelateerd aan
de maximale productie chemische stof.
• Natuurlijk verlies: Door vervelling van de huid verdwijnen er cellen. Het aantal cellen dat
verloren gaat is evenredig met het totale aantal cellen n. Er wordt genomen ”natuurlijk
verlies=kn”.
• Celdeling: Deze term wordt dusdanig gekozen dat het natuurlijk verlies en de celdeling
samen combineren tot kn(1 − nn0 ) als c = c0 . Dit geeft voor deze term s(c)n(2 − nn0 ),
waarin s(c) een functie is die de invloed van de chemische stof op mitose weergeeft. In de
evenwichtssituatie geldt s(c0 ) = k.
Het stelsel vergelijkingen wordt dan:
∂n
n
= D∇2 n + s(c)n(2 −
− kn)
∂t
n0
∂c
= Dc ∇2 c + f (n) − λc
∂t
8
met beginvoorwaarden n = c = 0 op t = 0 en randvoorwaarden n = n0 en c = c0 op de rand
voor alle t. Gebaseerd op experimenten kunnen de waardes van de parameters geschat worden.
De oplossing van het stelsel is numeriek bepaald met de “method of lines” en vervolgens
vergeleken met de resultaten van de heling van wonden op konijnenoren. Uit de resultaten blijkt
een grotendeels lineaire afname van de wondoppervlakte in de tijd die behoorlijk goed overeen
komt met de daadwerkelijk gemeten waarden bij de konijnen. De oplossingen worden vervolgens
ook bekeken met behulp van ”travelling wave solutions”. Hieruit blijkt dat de numerieke benaderingen van het stelsel redelijk goed zijn.
In [5] wordt het communicatiegedrag van cellen via het substraat onder de microscoop bestudeerd. De hypothese die gesteld wordt, is dat er communicatie van cellen optreedt via het
substraat en dat de stijfheid van het substraat van invloed is op dit communicatiegedrag. In
eerdere studies is aangetoond dat de adhesie tussen cellen en het substraat groter is wanneer het
substraat stijver is, maar dat de uitdemping van het signaal in dat geval sterker is. Op minder
stijve substraten hechten de cellen zich liever aan elkaar en wordt er een kleinere kracht uitgeoefend op het substraat zodat er minder grote bewegingen gecreëerd worden. Deze verstoringen
dempen wel minder snel uit.
Het artikel beschrijft vervolgens een onderzoek waarin deze hypothese wordt aangetoond.
De voor dit project relevante punten die hierin naar voren komen zijn:
• Cellen gaan steeds naar elkaar toe en vervolgens weer van elkaar af. Als het substraat een
lagere stijfheid heeft zal de frequentie waarmee dit gebeurt een stuk hoger zijn dan het
geval waarin een stijf substraat genomen wordt.
• Een grotere substraatstijfheid heeft een grotere bewegingssnelheid van cellen tot gevolg.
• Er is bij iedere substraatstijfheid een range te vinden
q waarbinnen de cellen elkaar kunnen
F
voelen. Een formule hiervoor is afgeleid: r = 10 · E
, waarin r de drempelwaarde is voor
de afstand, F de grootte van de kracht en E de elasticiteitsmodulus. Met de parameters
zoals in de studie gebruikt, is de maximale afstand van ongeveer 29, 5µm.
In [4] worden de krachten bekeken die een rol spelen bij het contact tussen eigen cellen en
virussen. Virussen willen binnen dringen en duwen daarom op de celwand van de gastcel. Door
deze indeukingen ontstaan contactkrachten. Er worden formules voor deze krachten afgeleid.
Deze worden hier niet beschreven, maar komen wel in het model voor. Deze zullen later nog in
een iets aangepaste vorm beschreven worden.
In dit artikel worden de formules toegepast op een viertal virussen. De grootte van de virussen,
celeigenschappen als diameter en stijfheid, en de mate van binnendringing van de virus in de cel
bepalen de grootte van de krachten die optreden.
9
1.4
Opbouw van het verslag
Het verslag is verder opgebouwd uit een drietal hoofstukken en een conclusie met discussie.
Hoofdstuk 2 behandelt het wiskundig model waarmee gewerkt wordt. Dit model is nagenoeg
gelijk aan het model beschreven in [1]. Er zal hiervan een kort overzicht gegeven worden. Ook
de uitbreiding van dit model met bacteriën, beschreven in [2], zal vervolgens beschreven worden. Stapsgewijs worden de beschrijvingen van migratie, celdeling, celsterfte en random walk
gecombineerd tot één model.
In hoofdstuk 3 wordt de numerieke aanpak van het model behandeld en wordt een beschrijving gegeven van de implementatie in Matlab. De daadwerkelijke matlabcodes zullen te vinden
zijn in de bijlagen. Verder zullen ook andere methodes worden toegelicht, zoals de berekening
van het wondoppervlak en de benadering van de zuurconcentraties.
In hoofdstuk 4 worden de resultaten besproken. Er zal gekeken worden naar de numerieke en
analytische oplossing voor twee cellen, de simulatie van tumorgroei en de simulatie van wondheling. Bij de wondheling zal vervolgens gekeken worden naar de invloed van bacteriën en de
verdrijving hiervan door witte bloedcellen.
Tenslotte, in hoofdstuk 5, staan de conclusie en discussie beschreven. Daarachter bevinden
zich nog enkele bijlagen.
10
2
Mathematisch model
In dit project wordt gebruik gemaakt van een semi-stochastisch model uit [1] met daarin een
aantal kleine aanpassingen. In de eerste paragraaf zal dit model beschreven worden. In de tweede
paragraaf zal de introductie van bacteriën in dit model beschreven worden. Hierbij is gebruik
gemaakt van de afleidingen uit [2]. Vervolgens worden in de derde paragraaf witte bloedcellen
toegevoegd om de strijd aan te gaan met de bacteriën. Tenslotte wordt een overzicht van de
verschillende parameters en bijbehorende waardes gegeven in de laatste paragraaf.
2.1
Basismodel
In figuur 2 zien we een aantal cellen op een
tweedimensionaal substraat. Al deze cellen oefenen een trekkracht uit op het substraat en andere cellen nemen de vervormingen van het substraat, die dit met zich
mee brengt, waar.
Het model is gebaseerd op deze communicatie via het substraat. Het substraat wordt weergegeven
als een domein Ω ⊂ R2 , waarop n cellen aanwezig zijn.
Voor ieder van deze
cellen afzonderlijk wordt de beweging bepaald.
Door de vervormingen wordt er potentiële Figuur 2: Aantrekkingskrachten tussen cellen in
energie opgeslagen in het substraat. De bij- een substraat.
drage aan deze energievoorraad van alle vervomingen bij elkaar opgeteld, levert een verdeling van de potentiële energiedichtheid. Deze
energiedichtheid bepaalt hoe snel een cel op een bepaalde positie van het substraat kan gaan
bewegen. De bepaling van de potentiële energiedichtheid wordt in de eerste subparagraaf beschreven.
De richting waarin de beweging plaats gaat vinden, wordt bepaald door de overwegende
richting waarin de cel signalen van andere cellen ontvangt. Cellen willen graag naar elkaar toe,
maar wanneer ze met elkaar in aanraking komen, spelen ook afstotingskrachten een rol. In subparagraaf 2 wordt de bewegingsrichting besproken.
De vervormingen die optreden, zullen alleen door vitale cellen worden waargenomen. Wanneer een cel afsterft zal deze niet meer bewegen en zal de sterkte van de aantrekkingskracht op het
substraat langzaam afnemen. Na enige tijd is het restmateriaal van de afgestorven cel volledig
opgeruimd door andere cellen en is er helemaal geen interactie meer met het substraat. Tegenover deze celsterfte staat de celdeling die zorgt dat de celpopulatie in stand blijft. Wanneer er
geen weefselgroei plaats vindt, zijn de tempi waarin sterfte en deling plaats vinden ongeveer gelijk, maar wanneer er tumorgroei of wondheling wordt bekeken zal de ratio celsterfte/celgeboorte
kleiner dan 1 zijn. In subparagraaf 3 worden celsterfte en celdeling beschreven.
Tenslotte worden deze componenten samengevoegd tot twee modellen; een basismodel, zoals
beschreven in [1] en een model dat gebaseerd is op traagheid, zoals beschreven in [2].
11
2.1.1
Mechanische energie
De cellen trekken aan het substraat waardoor een vervorming op zal treden. Aangenomen wordt
dat deze vervormingen klein zijn en dat er sprake is van lineaire elasticiteit zodat de Wet van
Hooke toegepast kan worden. Uit de oppervlakte onder het spanning-rek diagram volgt de
hoeveelheid potentiële energie die in het substraat vlak onder het celcentrum aanwezig is. Door
de aangenomen lineaire rek is deze eenvoudig te bepalen:
1
1
σ = Es −→ Mi0 = σ = Es 2
2
2
(1)
waarin:
: de rek van het substraat ter hoogte van het celcentrum
Es [kPa]: de elasticiteit van het substraat.
Mi0 [kPa]: de potentiële energie dichtheid door de kracht van cel i op straal 0 van het celcentrum.
Opnieuw uit de Wet van Hooke volgt =
σ
Es .
σ=
De spanning σ wordt beschreven door
Fi
Fi
=
A
πR2
waarin A[µm2 ] de oppervlakte van de projectie van de cel op het substraat is en R[µm] de straal
van de cel. De kracht F [nN ] is de trekkracht van de cel aan het substraat. Dit geeft voor :
=
1 Fi
1 Fi
=
Es A
Es πR2
(2)
Het combineren van vergelijkingen 1 en 2 geeft:
1
1 F2
Mi0 = Es 2 = 2 i 4
2
2π Es R
Om het mechanische signaal op zekere afstand van de bron te kunnen berekenen wordt
gebruik gemaakt van vergelijking 3. Deze uitdrukking geeft een benadering van de potentiële
energiedichtheid.
||r − ri ||
Mi (r) = Mi0 exp{−λi
}
(3)
R
Deze functie geldt voor iedere r ∈ Ω. Verder is ri de locatie van cel i, i ∈ {1, ..., n} en λ een
dempingsfactor die de mate van uitdemping van het signaal bepaalt. Er wordt gerekend met
s
λ= E
Ec . Voor de waardes van Es en Ec worden 5 kPa respectievelijk 0.5kPa aangenomen. In
figuur 3 is het verloop van de uitdemping zichtbaar gemaakt.
De functie gegeven in vergelijking 3 is een benadering van de daadwerkelijke waarde die
verkregen kan worden met behulp van Besselfuncties. Vanwege de grote hoeveelheid cellen moet
een zeer groot aantal berekeningen plaats vinden en dit maakt de directe benadering van de
Besselfuncties niet aantrekkelijk. In [1] staat een referentie aangegeven waarin de hier genoemde
benadering met een exponentiële afname beschreven wordt.
Energie is een scalaire grootheid en daarom kunnen alle energiebijdragen die veroorzaakt zijn
door de verschillende cellen bij elkaar opgeteld worden om een resulterende potentiële energie
dichtheid op iedere positie r ∈ Ω te vinden. We vinden de volgende potentiële energie dichtheid
op positie r:
n
n
X
X
||r − ri ||
}
M (r) =
Mj (r) =
Mj0 exp{−λj
R
j=1
j=1
12
Figuur 3: Uidemping van het mechanische signaal
Er wordt aangenomen dat de grootte van de verplaatsing van iedere cel evenredig is met de
sterkte van het mechanische signaal. Uit figuur 3 blijkt duidelijk dat de energiebijdrage door
de trekkracht van de eigen cel aan het substraat veel groter is dan die van andere cellen. De
bewegingsnelheid van alle cellen zal daarom ongeveer gelijk zijn. De omringende cellen bepalen
vooral de richting waarin een cel beweegt.
2.1.2
Bewegingsrichting
De bewegingsrichting van iedere cel wordt bepaald door de richtingen van de (mechanische)
signalen die de cel opvangt. Er wordt aangenomen dat de verplaatsingsvector over een
tijdsinterval ∆t een lineaire combinatie is van
alle eenheidsvectoren vi,j die cel i verbinden
met alle andere cellen j ∈ {1, ...., n} \ i. De
weegfactor voor ieder paar (i, j), j 6= i wordt
bepaald door de grootte van het signaal dat
ontvangen wordt. Hierbij worden zowel de
aantrekkingskrachten als de afstotingskrachten tussen cellen bekeken. In figuur 4 zijn deze
krachten weergegeven. De term aantrekkingskracht zal in het vervolg gebruikt worden om
de beweging van cellen naar elkaar toe ten gevolge van de substraat interactiekrachten weer
te geven. Zolang de cellen elkaar niet aanraken bestaat er enkel een aantrekkingskracht,
maar zodra de cellen elkaar overlappen ont- Figuur 4: Aantrekkings- en afstotingskrachten
staat er ook een afstotingskracht die groter zal tussen twee cellen.
zijn dan de aantrekkingskracht zodat de cellen
niet op elkaar zullen gaan kruipen.
De aantrekkingskracht kan bepaald worden met behulp van de uitdempingsformule in vergelijking 3. De bepaling van de afstotingskracht is gebaseerd op [4], waar onderzoek is gedaan
naar de contactkrachten tussen cellen en virussen. In [1] is dit aangepast naar gewone cellen.
13
De afstotingskracht treedt pas op wanneer cellen elkaar gaan raken of overlappen en hoe groter
de overlapping is, des te groter de afstotingksracht. De resulterende afstotingskracht luidt:
4p 3 ∗ 2 ∗
φ(h) =
h (Ec ) R ,
3
waarin R∗ = R2 en Ec∗ = 23 Ec . De variabele h geeft de overlap weer zoals in figuur 4. De verrichte
arbeid voor de vervorming wordt verkregen door te integreren van 0 tot h:
Z h
8p 5 ∗ ∗ 2
h R (Ec )
W =
φ(s)ds =
15
0
De potentiële energie dichtheid wordt verkregen door te delen door het volume van de cel, 34 πR3 .
Dit geeft:
p
6 h5 R∗ (Ec∗ )2
ij
M =
15
πR3
Voor de richting waarin cel i zal gaan bewegen vinden we nu:
zi =
n
X
Mj (ri (t))vij (t) + M ij (ri (t))vij (t)
j=1,j6=i
voor alle i ∈ {1, ..., n}.
Omdat het hier zuiver om de richting gaat, normeren we deze vector:
zi
ẑi =
||zi ||
.
Deze voorgeschreven bewegingsrichting hoeft niet altijd aangehouden te worden door een
cel. Het kan altijd zo zijn dat om een of andere reden de cel niet gehoorzaamt aan de mechanische stimuli die hij voelt en daardoor in een willekeurige andere richting zal gaan bewegen.
Deze random beweging wordt ingevoerd als een stochastisch proces. Op iedere tijdstap dat de
bewegingsrichting bepaald gaat worden, is er een kans pmp dat de bewegingsrichting afwijkt van
de verwachte richting. Laat ui de stochastische variabele zijn die de ongevoeligheid van cel i
weergeeft ten opzichte van de normale bewegingsrichting zi en yi een random variabele, zodat:
1, als yi ∈ [0, 1 − pmp ]
ui = ui (yi ) =
0, als yi ∈ (1 − pmp , 1].
De richting die wel wordt aangenomen is de vector w en deze wordt gekozen als een eenheidsvector in willekeurige richting.
2.1.3
Celdeling en -sterfte
Celdeling en -sterfte treden continu op in levende weefsels. In dit model worden beide gebeurtenissen stochastisch geı̈mplementeerd. In iedere tijdstap heeft iedere cel dezelfde kans om te delen
en dezelfde kans om af te sterven. Er wordt in een normale situatie gekozen voor een sterftekans
p = 0.001 en delingskans q = 0.001 zodat een weefsel ongeveer evenveel cellen blijft bevatten. In
de gevallen waar een koloniegroei wordt bestudeerd, wordt gekozen voor p = 0.001 en q = 0.005,
en wanneer naar wondheling gekeken wordt, worden p = 0.001 en q = 0.0025 gebruikt zolang de
wond een significant oppervlak heeft. (> 0.1µm2 ) Daarna wordt overgeschakeld op de normale
situatie met gelijke ratio’s. Deze verhoogde delingsparameters zijn te danken aan de aanwezigheid van stoffen die deling stimuleren.
14
Na afloop van de celdeling zijn er
twee nieuwe cellen.
Deze bevinden zich
met de celwanden tegen elkaar, loodrecht
op de verplaatsingsrichting van de moedercel.
Wanneer de moedercel niet in beweging was wordt een willekeurige richting waarin de deling plaatsvindt aangenomen. Deze situatie is weergeven in figuur
5.
Celsterfte wordt net als celdeling ook beschouwd als een acute gebeurtenis. Als voor
een cel bekend is dat deze op tijdstip t afsterft
Figuur 5: Deling van een cel
zal na dit tijdstip geen beweging van deze cel
meer optreden. Wel zullen de naburige cellen
de aanwezigheid van de afgestorven cel nog enige tijd blijven waarnemen doordat er nog materie
aanwezig is. Er wordt aangenomen dat er enkel nog een afstotingskracht op kan treden. De
afname van de sterkte van het signaal wordt linear verondersteld. In het model komt dit daardoor stapsgewijs tot uitdrukking. Er is gekozen voor een situatie waarin na l tijdstappen de cel
helemaal opgeruimd is en definitief van de kaart verdwijnt. Voor l is de waarde 10 aangenomen.
We merken op dat hiermee l afhankelijk gemaakt is van ∆t, maar dat dit ook het geval is voor
het aantal nieuwe cellen en stervende cellen. Dit kan aangepast worden door te stellen dat er n
aantal cellen per seconde deelt of sterft. Echter, gezien het doel van dit project om kwalitatief
juiste simulaties te verkrijgen, heeft dit geen toegevoegde waarde.
De afname in signaalsterkte wordt verwerkt in de uitdrukking voor de trekkracht Fi die cel
i uitoefent. We definiëren tsterf te als het tijdstip waarop de cel afsterft. Voor Fi geldt dan:


als t < tsterf te
 F̂ ,
t−tsterf te F̂
Fi =
(l −
) l als tsterf te < t < tsterf te + l
∆t

 0,
als t > tsterf te − l
hierin is F̂ [nN] de maximale trekkracht die een cel kan uitoefenen op het substraat. De
waarde van deze parameter zal in paragraaf 4 besproken worden.
2.1.4
Complete basismodel
Het basismodel kan nu geconstrueerd worden door alle elementen samen te voegen. De verplaatsing op een bepaalde tijdstap is gelijk aan een beweging met de grootte en richting zoals zojuist
beschreven. Dit geeft (zonder random bewegingen):
t+∆t
Z
t+∆t
Z
0
ri (s)ds =
αi M (ri )ẑi ds
t
t
ri (t + ∆t) − ri (t) = ∆tαi M (ri )ẑi
3
Hierin is α[ µm
nN s ] een parameter die de celmobiliteit aangeeft. We nemen
αi =
Fi
2
F̂
15
βi
R3
f
met f een parameter voor de cel-substraat wrijving, f = µFi . Hierin is µ een dimensieloze
frictiecoëfficiënt met waarde 0.2. Verder is βi een parameter met eenheid s−1 die de mobiliteit
van het celoppervlak aangeeft. We merken hierbij op dat Fi altijd waarde 1 heeft, namelijk, als
F̂
Fi 6= F̂ , dan is de cel niet vitaal meer en zal deze niet meer bewegen waardoor de waarde van α
niet relevant meer is.
Vervolgens kunnen de random bewegingen nog toegevoegd worden, zodat het complete basismodel geschreven kan worden als:
ri (t) − ri (∆t) = αi ∆tM (ri )(ui ẑi + (1 − ui )w)
2.1.5
Traagheidsmodel
Het basismodel kan zeker gebruikt worden om celkolonies te bestuderen, maar er zijn veel vereenvoudigingen gebruikt. In [2] wordt het model iets realistischer gemaakt door traagheid mee
te geven aan de cellen. De versnelling van een cel is gelijk aan de verandering van de snelheid.
Een parameter κ[s−1 ] wordt ingevoerd om weer te geven hoe snel de daadwerkelijke snelheid
van een cel convergeert naar de theoretische maximumwaarde zoals in het basismodel gebruikt
wordt. Dit geeft in formulevorm:
(4)
r00i (t) = κ αi M (ri )ẑi − r0i (t)
16
2.2
Bacteriën
Aërobe bacteriën die aanwezig zijn in een
wond kunnen de pH-waarde in het weefsel verlagen. Dit komt met name doordat de bacteriën met de weefselcellen concurreren om de
aanwezige zuurstof en andere voedingsstoffen.
Door dit tekort ontstaat melkzuur wat de pH
waarde in het weefsel aanzienlijk kan verlagen.
De celmobiliteit van de normale weefselcellen
is afhankelijk van de pH-waarde. De factor
αi dient daarom uitgebreid te worden met een
functie die afhankelijk is van de concentratie
melkzuur. Als keuze voor deze functie dient Figuur 6: Afname beweegelijkheid door zuureen monotoon dalende functie gekozen te wor- concentratie
den. Hier wordt dezelfde keuze gemaakt als in
[2] voor een negatieve e-macht:
φ(c) = exp(−νc)
waarin ν[1/mol] een gevoeligheidsparameter is voor de mobiliteitsafname van de cellen door de
melkzuurconcentratie en c [mol/m3 ] de melkzuurconcentratie is. Er wordt aangenomen ν = 0.6.
In figuur 9 is de functie voor φ(c) weergegeven. Er wordt geconstateerd dat wanneer de zuurconcentratie 4 of groter is, er nog minder dan 10 procent van de oorspronkelijke beweegelijkheid
over is.
Aanpassen in vergelijking 4 geeft:
r00i (t) = κ φ(c)αi M (ri )ẑi − r0i (t)
(5)
De concentratie c kan beschreven worden als superpositie van een vergelijking ten gevolge
van alle bacteriën. De concentratie ten gevolge van iedere bacterie wordt beschreven met behulp
van Green-Duhamel functies die een oplossing zijn van het probleem:
∂c
2
k
∂t − Dph ∆ck = γk (t)δ(x − xk (t)), in R voor k ∈ {1, ..., n
bact }
ck (0, (x, y)) = 0,
in R2
De oplossing voor c(t, (x, y)) wordt dan:
c(t(x, y)) =
nX
bact
k=1
ck (t(x, y)) =
nX
bact Z t
k=1
0
γk (s)
||x − xk (s)||2
exp{−
}ds
4πDph (t − s)
4Dph (t − s)
In deze vergelijkingen is γk (s) de parameter die aangeeft hoeveel melkzuur er door bacterie k geproduceerd zal worden op een bepaald tijdstip. Deze constante heeft waarde 0.1 als
een bacterie leeft en 0 als deze nog niet bestaat of geneutraliseerd is. De bacteriën zullen vele
malen sneller delen dan normale cellen. De delingsfractie wordt weergegeven met pbac = 0.05.
Natuurlijke bacteriesterfte wordt hier buiten beschouwing gelaten omdat deze ten opzichte van
de delingen vele malen kleiner is. Er wordt een aantal situaties beschouwd, maar in de meeste
gevallen zal er aanvankelijk slechts één bacterie aanwezig zijn in het centrum van de wond.
De diffusiecoëfficiënt Dph [µm2 /s] is verantwoordelijk voor de verspreiding van het zuur in de
ruimte. Voor Dph wordt in eerste instantie een waarde Dph = 0.05[µm2 /s] aangenomen. Later
17
zal blijken dat bij de toevoeging van witte bloedcellen deze constante moet worden aangepast.
In figuur 7 is het verloop van de zuurverdeling zichtbaar in het geval van 10 bacterı̈en in het
centrum van de wond. Deze zuurverdeling is benaderd met behulp van de trapeziumregel. Er
is gekeken op t = 10 (100 iteraties), t = 20 (200 iteraties) en t = 30 (300 iteraties). De kleuren
lopen van 0 tot 10 aangezien er net al geconstateerd was dat bij grotere concentraties nog maar
zeer minimaal bewegingen mogelijk zijn.
Figuur 7: Zuurconcentratie [mol/m3 ]
De bacteriën zullen ook bewegen. Er wordt hier aangenomen dat dit een geheel random
beweging is. De grootte van de verplaatsing is een random getal tussen 0 en R, de straal van de
weefselcellen.
In werkelijkheid zullen de bacteriën niet op deze manier bewegen maar bijvoorbeeld via een
Brownse beweging. De gevolgen hiervan voor de simulaties zijn gering, want ook tussen bacteriën
die een vaste positie hebben of bewegen, is weinig verschil in de melkzuurconcentratie op te
merken. In figuur 8 is de zuurconcentratie ten gevolge van tien bewegende cellen te zien.
Figuur 8: Zuurconcentratie bij tien bewegende bacteriën. [mol/m3 ]
18
2.3
Witte bloedcellen
De laatste stap is om witte bloedcellen aan
het model toe te voegen zodat de bacteriën
onschadelijk gemaakt worden. De toetreding
van de witte bloedcellen via de bloedvatwand
is stochastisch gemaakt. De kans waarmee
dit gebeurt is afhankelijk van de concentratie
melkzuur. De kansfunctie wordt daarom gekozen als een monotoon stijgende functie met
een waarde ≈ 1 bij zeer hoge concentraties.
Gekozen wordt voor een e-macht:
pwb (c) = 1 − exp(−ξc)
Figuur 9: Kans dat een witte bloedcel door de
In figuur 9 is voor verschillende waarden van ξ
bloedvatwand heen treedt ten opzichte van de
deze kansfunctie weergegeven. Deze parameconcentratie.
ter kan geı̈nterpreteerd worden als een maat
voor het gemak waarmee witte bloedcellen door de wand heen treden. Wanneer ξ waarde 0
heeft, zal gelden dat pwb (c) = 0, terwijl wanneer ξ waarde ∞ heeft, zal gelden pwb (c) = 1. Wat
een realistische waarde voor deze ξ is, zal moeten worden afgeleid uit de simulaties. Wel kan opgemerkt worden dat de waarde van ξ van persoon tot persoon kan verschillen. Wanneer iemand
last heeft van een hoge bloeddruk bijvoorbeeld, zullen de cellen door de snellere stroming van
het bloed veel moeilijker door de bloedvatwand heen treden. Diabetes patiënten hebben naast
deze vaak verhoogde bloeddruk ook een slechte bloedcirculatie waardoor er minder gelegenheid
is voor witte bloedcellen om het wondgebied te bereiken. Ook dit komt tot uitdrukking in deze
parameter.
Door het wondgebied lopen bloedvaten waarop een aantal ”creatiepunten”zijn aangewezen.
In de huidige simulaties zijn dit circa 800 punten (verschilt per simulatie). Op ieder van deze
ongeveer 800 punten moet er een mogelijkheid zijn dat een witte bloedcel door de wand heen
treedt, maar als de concentratie overal zeer hoog is, is het niet de bedoeling dat er 800 cellen
tegelijkertijd door de vaatwand heen kruipen. Er wordt aangenomen dat dit bij zeer hoge concentratie in het hele wondgebied circa één cel per tijdstap dient te zijn, waardoor de creatiekans
voor een witte bloedcel op ieder van de creatiepunten geschat wordt op
pcr =
pwb
aantal creatiepunten
We merken op dat opnieuw een parameter afhankelijk van de tijdstap gesteld wordt, maar zoals
eerder besproken zijn hier geen bezwaren tegen.
De grootste drijvende kracht achter de bewegingen van de witte bloedcellen is het chemische signaal van het zuur dat de witte bloedcellen opvangen. Ze zullen hun beweging dan ook
hoofdzakelijk richten volgens de gradiënt van het zuur. De daadwerkelijke grootte van de beweging wordt bepaald met behulp van de evenredigheidsconstante vwb . Deze parameter vormt de
omschakeling tussen de sterkte van het ontvangen signaal en de grootte van de daadwerkelijke beweging. Dichtbij de infectiebron kan de gradiënt zeer grote waardes aannemen. De witte bloedcel
heeft echter een zekere maximale bewegingssnelheid. Er wordt daarom gesteld dat vanaf een zekere absolute waarde van de gradiënt, de bewegingssnelheid bij toenemende waardes gelijk blijft.
19
Voor de beweging van de cellen wordt traagheid verwaarloosd. Dit levert de volgende formule
op:
rk (t + ∆t) − rk (t) = ∆tαk vwb ∇c(t, (x, y))
voor iedere k ∈ {1, .., m} met m het aantal witte bloedcellen.
Voor de waarde van vwb is niet direct een waarde beschikbaar. Er is een gevoeligheidsanalyse
uitgevoerd om de invloed van de verschillende waardes te bepalen.
Naast het chemische signaal dat ontvangen wordt, zullen deze cellen ook via de cel-substraat
interactiekrachten communiceren met de normale weefselcellen en andere witte bloedcellen. De
daadwerkelijke verplaatsing van de witte bloedcellen wordt daarom:
rk (t + ∆t) − rk (t) = ∆tαk vwb ∇c(t, (x, y)) + ∆tαk M (rk )zˆk
Er wordt aangenomen dat de celeigenschappen (R, E, α, F̂ ) van de witte bloedcellen hetzelfde zijn als van de normale weefselcellen. De neutralisatie van bacteriën vindt plaats als de
afstand van de bacterie tot de celkern < R is. In dit geval is er contact en wordt er verondersteld dat de witte bloedcel zijn werk doet. Witte bloedcellen zijn gedurende hun levensduur in
staat om 5 tot 20 bacteriën te neutraliseren. In dit model is deze waarde constant op 5 gezet.
Nadat er 5 bacteriën aangepakt zijn, verdwijnt de cel. Al deze processen verlopen plotseling en
niet geleidelijk. Een witte bloedcel zou daarom binnen een halve seconde 5 bacteriën kunnen
neutraliseren. Omdat de bacteriën zich vaak niet zo dicht bij elkaar zullen bevinden, gebeurt dit
niet. Beter zou zijn om een soort herstelperiode in te stellen die voorkomt dat witte bloedcellen
te snel bacteriën opnemen.
Bloedvatconstructie
Voor de toevoeging van witte bloedcellen moeten (een aantal) bloedvaten door het wondgebied
aangelegd worden. Hiervoor wordt een aantal aannames gedaan:
• De bloedvaten worden gemodeleerd als rechte lijnen met een kleine random afwijking.
• De bloedvaten liggen over het wondgebied heen waarbij ze geen ruimte innemen. Cellen
die op een bloedvat liggen voelen geen enkele belemmering van het vat.
• De kern van de wond bevindt zich bij aanvang in het punt (0,0). Het bloedvat zal ergens
tussen (0,-0.5) en (0,0.5) de (denkbeeldige) y-as passeren. Deze aanname is ingevoerd om
te voorkomen dat de witte bloedcellen een te lange afstand af moeten leggen naar de bron
van de infectie.
• Vertakkingen van het bloedvat staan loodrecht op het bloedvat zelf.
• Binnen het wondgebied is er één bloedvat met maximaal twee vertakkingen aanwezig.
20
2.4
Parameters
Bij de beschrijving van het model is gebruik gemaakt van verschillende parameters. Al deze parameters dienen geschat te worden met een redelijke overeenkomst met de natuur maar blijven
fictief. In [1] en [2] is hiervoor al een keuze gemaakt en deze blijft onveranderd op de kracht F
na. De waarden voor deze parameters zijn weergegeven in tabel 1.
Parameter
Es
Ec
R
µ
p
q
pmp
βi
l
γk
Dph
κ
ν
ξ
vwb
Betekenis
Stijfheid substraat
Stijfheid cel
Straal cel
Frictiecoëfficiënt
Sterftekans
Delingskans
Kans op random walk
Mobiliteitsparameter
Verwijderingssnelheid bij celsterfte
Melkzuurproductie parameter
Diffusiecoëfficiënt
Acceleratieconstante
Gevoeligheidsparameter celmobilteit tov zuur
Gevoeligheidsparameter creatie witte bloedcellen
Evenredigheidsconstante beweging witte bloedcel
Waarde
5
0.5
0.04
0.2
0.001
0.001 − 0.005
0
10
10
0.1
0.01 − 0.05
10
0.21
0.6
0.2
Eenheid
kPa
kPa
µm
s−1
iteraties(s)
mol/(m3 s)
µm2 s−1
s−1
1/mol
-
Tabel 1: Parameter waardes
Voor de cel-trekkracht F̂ blijkt uit [3] dat deze tussen de 10 pN en 1 nN ligt. In dit model
is het signaal tussen twee cellen afhankelijk van deze trekkracht. Des te groter F̂ , des te groter
de aantrekkingskracht tussen twee cellen.
Twee cellen bevinden zich in een evenwichtssituatie als er geen beweging meer plaatsvindt.
Er geldt dan dat de vector zi de nulvector is. Namelijk, ri 0 (t) = αi M (ri )zi = 0 en αi 6= 0,
M (ri ) 6= 0. Deze laatste ongelijkheid volgt uit het feit dat de energie van alle afstotingskrachten
pas in de buurt komt van de eigen interne energie als zeer veel cellen bekeken worden. Hier gaat
het om het geval van twee cellen dus zal de energiedichtheid nooit 0 zijn.
De uitdrukking voor zi wordt in het geval van twee cellen gegeven door:
z1 = M2 (r1 (t))v12 − M 12 (r1 (t))v12 = 0
Hieruit volgt dat M2 − M 12 = 0 of vij = 0. Maar vij is alleen maar 0 als de cellen precies boven
op elkaar liggen. Dit zal bijna nooit het geval zijn, zodat er volgt dat twee cellen in evenwicht
zijn als de aantrekkingskracht gelijk is aan de afstotingskracht.
In figuur 10 zijn deze twee krachten uitgezet tegen de afstand voor verschillende waarden van
F binnen de bekende grenzen. Opmerkelijk aan deze figuur is het bestaan van twee snijpunten in
het geval van een wat grotere F . In werkelijkheid zal de afstotingskracht overwinnen en op basis
van deze figuren wordt dan ook gekozen voor F = 0, 01nN, zodat er alleen een evenwichtspunt
is als er een lichte vervorming optreedt en de energiën van een zelfde orde zijn.
21
Figuur 10: Aantrekkings- en afstotingskrachten bij verschillende waarden van F. In de groene
figuren geldt F = 1nN, voor de rode figuren F = 0.1nN en de blauwe figuren F = 0.01nN. De
linkerfiguur is steeds het totaalbeeld en in de overige figuren is ingezoomed op de snijpunten van
de lijn. Op deze plekken zullen twee cellen zich in evenwicht bevinden.
22
3
Numerieke methode
In het vorige hoofdstuk zijn twee modellen beschreven. Het basismodel bestaat uit een verzameling eerste orde differentiaalvergelijkingen en zal benaderd worden met de Modified Euler
methode. Het tweede model is door de toevoeging van de traagheid een tweede orde model
geworden en kan ook benaderd worden met diverse methoden. In dit geval is gekozen voor
een IMEX-methode om de goede stabiliteitseigenschappen van een impliciete methode met de
minder kostbare berekeningen van een expliciete methode te combineren. Beide toegepaste methoden worden hieronder beschreven.
Het basismodel is aanvankelijk gebruikt voor het model zonder bacteriën en alleen de resultaten
van een tweecellig model en koloniegroei zijn met dit model verkregen. Voor alle andere resultaten is gebruik gemaakt van het traagheidsmodel.
Naast de beschrijving van de tijdsintegratiemethoden, zal in dit hoofdstuk verder de bepaling
van de zuurconcentratie in de tijd besproken worden. Tenslotte wordt het algoritme voor de
bepaling van wondgrootte toegelicht.
3.1
Basismodel
Voor het basismodel is de methode Modified Euler toegepast. Deze methode is geheel expliciet
en daarom eenvoudig te implementeren en heeft een fout van O(∆2 ) waardoor deze toch nog
een zekere nauwkeurigheid heeft. De vergelijking waarop deze methode zal worden toegepast is:
ri 0 (t) = αi ui M (ri )zi + (1 − ui )wi
De te implementeren vergelijking wordt dan:
predictor:
ri n+1 = ri n + ∆t[αi ui M (ri n )zi + (1 − ui )wi ]
∆t
[αi ui M (ri n )zi + (1 − ui )wi + αi ui M (ri n+1 )zi + (1 − ui )w]
2
Uit dit schema volgt dat voor iedere cel een beginpositie vereist is. Deze posties zijn voor
het geval dat naar de toenadering van twee cellen gekeken wordt ,gegeven door r1 = (1, 0) en
r2 = (−1, 0). In de simulatie waar koloniegroei gesimuleerd wordt, zijn er in de beginsituatie ook
twee cellen, met positities r1 = (−0.1, 0) en r2 = (0.1, 0). Tenslotte wordt voor het geval van
wondheling een “weefsel in rust” genomen. In hoofdstuk 4 staat beschreven hoe een dusdanig
weefsel verkregen wordt.
corrector:
ri n+1 = ri n +
De tijdstap ∆t wordt in deze simulatie niet vast gekozen. Iedere tijdstap wordt vastgesteld
als:
∆t =
R
2 ∗ maxi∈{1,...,n} ||vi ||
waarin vi de snelheid van cel i is. Door deze keuze kan iedere cel maximaal 25% van zijn
diameter verplaatsen in een tijdstap. Dit is van belang vanwege de contactmechanica van de
cellen. Het voorkomt dat cellen over elkaar heen kunnen bewegen zonder een afstotingskracht
die dit voorkomt tegen te komen.
23
3.2
Traagheidsmodel
Door de invoering van de traagheid is in dit model de differentiaalvergelijking niet meer van de
eerste orde, maar van de tweede orde. Daarom is een andere integratiemethode gewenst. Ook
voor dit model volgen we de keuze gemaakt in [2]. Hier is gekozen voor een IMEX methode,
een impliciet-expliciete methode, waarbij de goede stabiliteit van een impliciete methode gecombineerd wordt met de gemakkelijk implementeerbare eigenschap en de lagere kosten van een
expliciete methode. De vergelijking die we integreren is:
(6)
r00i (t) = κ αi M (ri )zi − r0i
De positie wordt expliciet bepaald met behulp van:
rki = rk−1
+ ∆trki
i
De afgeleide in bovenstaande vergelijking wordt impliciet verkregen uit de vergelijking:
rki = rki + ∆tκ(φ(c(tk , rki ))αi M (rki )zi − rki )
We merken op dat dit impliciete gedeelte herschreven kan worden tot een geheel expliciete
formule. Ook het impliciete gedeelte kan hierdoor rechtstreeks worden geı̈mplementeerd in
Matlab. De tijdstap wordt in dit geval constant gesteld op ∆t = 0.1. Er zal wel iedere tijdstap
voor iedere cel gecontroleerd worden of het criterium van de verplaatsing van maximaal 25%
van de diameter niet wordt overschreden.
De random bewegingen worden in dit model buiten beschouwing gelaten.
3.3
Integratie melkzuurconcentratie
De melkzuurconcentratie, gegeven in onderstaande vergelijking, dient ook benaderd te worden:
c(t, (x, y)) =
nX
bact
k=1
ck (t, (x, y)) =
nX
bact Z t
k=1
0
γk (s)
||x − (xk (s)||2
exp{−
}ds
4πDph (t − s)
4Dph (t − s)
De waardes voor de concentraties zijn in eerste instantie benaderd met de trapeziumregel.
Zolang de positie van de bacteriën vast wordt verondersteld doen zich geen problemen voor. In
figuur 11 zien we links de waarde van de integrand op diverse tijdstippen bij een levende bacterie
op een afstand van 1 µm. Doordat de bacteriën niet bewegen is deze afstand constant en zien
we de grafiek “naar rechts bewegen”. Hierdoor kan het oppervlak onder de blauwe curve op
t = [0, 10] gelijk gesteld worden aan het oppervlak onder de rode curve op t = [10, 20] waardoor
het aantal benaderingen met de trapeziumregel enigzins beperkt blijft. In figuur 11 rechts, is
vervolgens zichtbaar wat er gebeurt wanneer een bacterie op t = 10 geneutraliseerd wordt. De
grafieken worden afgekapt en we merken op dat het aantal benaderingen met de trapeziumregel
die nodig is voor het linker- en rechterfiguur even groot zal zijn. Als alle bacteriën zich bovendien
op dezelfde positie bevinden, hoeft er maar voor 1 bacterie gerekend te worden.
24
Figuur 11: Waarde van de integrand bij vaste positie van een bacterie. Links een levende
bacterie, rechts een bacterie die op t=10 is geneutraliseerd.
In het geval van een wisselende positie van de bacteriën kunnen deze integralen niet “opnieuw gebruikt” worden. Hierdoor zal, naarmate de tijd vordert, de berekening steeds kostbaarder worden.
In
figuur 12 zien we deze situatie.
De
bacterie beweegt hier rechtlijnig van een
punt op 1µm afstand naar een punt op
0.5µm afstand. Er is geen overeenkomst
zichtbaar tussen de vorm van de curves.
Om de kosten wat te beperken, bekijken
we
het
verloop van de te integreren functie in
Figuur 12: Waarde van de integrand bij bewede hoop wat afschattingen te kunnen maken.
gende bacterie
Voor t → ∞ zal de integraal naar 0 converge∗
ren, dus voor zekere t > t zal de concentratie verwaarloosbaar klein worden.
In figuur 13 is de bijdrage van een
bacterie aan de zuurconcentratie op t =
10, 20, 30, 50, 100, 200 en 500
weergegeven, wanneer aangenomen is dat
de bacterie op t = 10 geneutraliseerd
is.
Het blijkt dat de convergentie dusdanig langzaam verloopt, dat voor de simulaties in dit project de concentratie altijd een significante waarde zal hebben.
Voor schone wondheling bijvoorbeeld, blijkt
dat op t = 40, oftewel na 400 iteraties, de wond met dit model geheeld
is.
Figuur 13:
Het nagenoeg lineaire karakter van de grafieken op latere tijdstippen kan wel gebruikt worden voor een afschatting.
25
Het interval
[0, tstart − 20] wordt lineair verondersteld, zodat over dit gehele interval de trapeziumregel wordt
toegepast in plaats van voor iedere afzonderlijke tijdstap.
Tenslotte bekijken we de curves voor diverse afstanden tot een levende bacterie op t = 40 in
figuur 14.
Figuur 14: Lactaatconcentratie
Uit deze figuren kan geconcludeerd worden dat de grootste verschillen bij de verschillende
afstanden in de recentste geschiedenis optreden en dat ook voor andere afstanden het interval
[0, tstart − 20] lineair kan worden afgeschat. Daarnaast kan uit deze figuur afgelezen worden
hoe lang het duurt voordat het zuur de verder gelegen gebieden bereikt. Als een bacterie net
ontstaan is, is er tijd nodig voordat de zuurconcentratie in de randgebieden gaat veranderen.
Er kan voor de numerieke benadering daarom bijvoorbeeld gesteld worden dat voor [t − 4, t] en
een afstand > 1, de waarde van de integrand ≈ 0 is. Voor alle afstanden groter dan 0.5 zal een
begininterval worden vastgesteld waarop de concentratie verwaarloosbaar wordt verondersteld.
Hierbij dient opgemerkt te worden dat deze tijdstippen afhankelijk zijn van de grootte van de
diffussiecoëfficiënt Dph .
Deze aanpassingen verlagen de kosten wel enigzins, maar de berekening van de concentraties
blijft een dure aangelegenheid. Er rest nu enkel de mogelijkheid om de tijdstap h te veranderen.
Er wordt gekozen voor h = 0.5, ofwel h = 5∆t. Op de tijdstippen dat dit niet precies uitkomt
op een geheel aantal tijdstappen zal de rest benaderd worden met h = 0.1. We merken op dat
er hierdoor verschuivingen tussen de tijdstappen op kunnen treden. Hiermee wordt bedoeld dat
zonder verminderde zuurproductie de hoeveelheid zuur op tijdstip t groter is dan de hoeveelheid
op tijdstip t + ∆t . In grote lijnen wordt de concentratie wel benaderd. In de toekomst kan
beter geı̈nvesteerd worden in een andere integratie methode.
26
3.4
Berekenen van wondoppervlak of uitgroei kolonie
Voor het berekenen van het wondoppervlak wordt een rooster over het gebied van de cellen
ingevoerd. De maaswijdte van het rooster wordt gekozen op 0.2µm, de helft van de radius van
een cel. De methode die gebruikt zal worden om het wondoppervlak te bepalen gaat als volgt:
1. Bepaal voor ieder roosterpunt de afstand naar de dichtsbijzijnde cel.
2. Markeer de roosterpunten. Wanneer de afstand kleiner is dan de celradius van 0.04 µm,
dan is een roosterpunt “bezet”. Anders noemen we het “leeg”.
3. Bepaal wondroosterpunten. Hernoem de “lege” roosterpunten tot “wond” als zijn directe
buren horizontaal en verticaal ook leeg zijn. (Een afstervende cel wordt als leeg gezien,
cellen zijn namelijk al die plek aan het overnemen op dat moment)
4. Sommeer de wondroosterpunten en vermenigvuldig het aantal met het oppervlak waarmee
een roosterpunt correspondeert.
Voor de randpunten wordt aangenomen dat dit per definitie geen wondpunten zijn.
In figuur 15 is deze situatie toegelicht. Aan de hand van dit figuur kunnen we ook de
gekozen werkwijze beargumenteren. We bekijken eerst de linkerfiguur. Hierin zien we een stukje
weefsel. De groene cirkels zijn cellen en daaronder is het rooster nog zichtbaar. De meest
voor de hand liggende manier om het wondoppervlak te bepalen zou zijn door in deze figuur
het aantal zichtbare blauwe roosterpunten te tellen en vervolgens te vermenigvuldigen met het
oppervlak behorende bij een roosterpunt. De reden dat hier niet voor gekozen is, is vanwege de
intercellulaire ruimten. Dit stukje weefsel is zeker geen ”wond”, want overal maken de cellen wel
contact met elkaar. Door de intercellulaire ruimtes niet mee te nemen wordt een roosterpunt
dus pas wond genoemd als zijn directe buren horizontaal en verticaal ook leeg zijn. In het
rechterfiguur zijn de twee middelste cellen verwijderd en de punten die aan de markering wond
voldoen zijn rood gemarkeerd. Het met deze roosterpunten corresponderende oppervlakte is
rood gekleurd en heeft een grootte van 0, 022 ∗ 13 = 0.0052µm2 . Door deze methode kan de
wondschatting iets aan de lage kant uitvallen; met name als deze een niet voor de hand liggende
vorm heeft. In dit verslag is echter steeds uitgegaan van een vierkante wond en dan is het effect
wel te overzien.
De vraag is nu of een fijner rooster een betere schatting zal geven. Er kan geen antwoord
op deze vraag gegeven worden omdat dan eerst duidelijk moet zijn hoe groot een intercellulaire
ruimte maximaal is. Dit bepaalt namelijk wanneer iets een wond genoemd dient te worden of
niet. Het blijft een schatting en bij deze wordt besloten om in het vervolg met behulp van deze
methode aan de slag te gaan. De uitgroei van een kolonie wordt bepaald door het complement
te nemen. Alles wat geen wond is, is onderdeel van de kolonie.
In het 3-dimensionale geval gaan we analoog te werk. In dit geval worden er roosterpunten
in kleine volumes aangewezen. Vervolgens wordt de kortste afstand tot een cel bepaald en wordt
gekeken naar het gedrag van de buurroosterpunten. Een markering van de roosterpunten welke
zich in het wondgebied begeven, kan dan gemaakt worden en vervolgens kunnen de bijbehorende
volumes van deze roosterpunten gesommmeerd worden.
27
Figuur 15: Voorbeeld wondgrootte bepaling. Het oppervlak van de wond wordt benaderd met
de waarde 0.0052µm2 . Het “echte” wondoppervlak bedraagt 0.0050µm2 , de oppervlakte van
twee cellen.
28
4
Numerieke resultaten
Met behulp van de modellen en numerieke methoden, die in de vorige hoofdstukken beschreven
zijn, kunnen nu verschillende simulaties bekeken worden. Er zal gestart worden met een vrij eenvoudig scenario waarin twee cellen zonder celsterfte en celdeling naar elkaar toe gaan bewegen.
Vervolgens worden ook celdeling en celsterfte toegestaan en zal door een grotere delingskans dit
tweecellige model uitgroeien tot een hele kolonie van cellen. Daarna, in paragraaf 3, wordt de
wondheling besproken. In paragraaf 4 wordt dit verder uitgebreid door de toevoeging van de
witte bloedcellen.
In alle simulaties bevatten de cellen allemaal dezelfde karakteristieken, weergegeven door de
parameters uit tabel 1.
4.1
Tweecellig model
De eenvoudigste variant van het model is om twee cellen te bekijken zonder dat er celdeling
of celsterfte plaatsvindt. Doordat er aangenomen is dat beide cellen dezelfde karakteristieken
hebben, vereenvoudigt dit model nu nog verder omdat de grootte van de verplaatsing van beide
cellen nu gelijk is aan elkaar, maar tegengesteld gericht. Hierdoor is een analytische oplossing
vrij eenvoudig te bepalen wanneer alleen rekening gehouden wordt met de aantrekkingskracht.
Voor de afleiding wordt verwezen naar Bijlage A. Wanneer de cellen wel contact met elkaar gaan
maken treedt ook de afstotingskracht op. Hierdoor is de differentiaalvergelijking niet meer zo
eenvoudig analytisch op te lossen.
In figuur 16 zijn de analytische en numerieke oplossing weergegeven.
Figuur 16: Tweecellig model
In de analytische oplossing is met een ster het eindpunt van de oplossing weergegeven. Op
dat moment raken de cellen elkaar net en zou de afstotingskracht zijn werk moeten gaan doen.
Dit is bij een afstand van 0, 08µm, ofwel twee maal de radius van een cel. In de numerieke
29
oplossing naderen de cellen elkaar nog een fractie verder toe. Daarna bewegen ze niet meer ten
op zichte van elkaar. Aan de hand van het bepaalde evenwicht bij de keuze voor deze F blijkt dat
de evenwichtswaarde ongeveer 0.08µm bedraagt. De waarde van de numerieke benadering wijkt
dus wel wat af. De verklaring hiervoor is eenvoudig. Doordat Modified Euler gebruikt wordt,
zal er een ander punt zijn in de buurt van het evenwichtspunt waar de predictor en corrector
elkaar precies opheffen zodat er evenwicht is.
4.2
Uitgroei tot een kolonie
Met behulp van het model kan kolonie- of tumorgroei bestudeerd worden. Er wordt aangenomen
dat er aanvankelijk twee cellen aanwezig zijn. Vervolgens wordt een explosieve groei van een
celkolonie gesimuleerd door de celdelingskans gelijk te stellen aan q = 0.01. Er is bewust
gekozen voor deze delingskans zodat de cellen enigzins de tijd hebben zich netjes uit te spreiden.
De simulatie heeft gelopen totdat een oppervlak van 3µm2 bereikt is. Het weefsel bevindt
zich, ondanks de lage delingskans, nog steeds niet in een evenwichtssituatie. Het is duidelijk
te zien dat de dichtheid van de cellen niet gelijk verdeeld is. Bij een grotere delingskans zou,
wanneer er geen deling meer plaats vindt, de kolonie zich nog langzaam uitvouwen tot een groter
oppervlak. In figuur 17 zijn een aantal momentopnames van de kolonie met delingskans q = 0.01
weergegeven.
Figuur 17: Koloniegroei
In figuur 18 is links het oppervlak van de kolonie tegen de tijd uitgezet. Er is hierbij gekeken
naar het gedrag bij verschillende delingskansen. De verwachtte exponentiële groei is hier goed
zichtbaar. In figuur 18 is rechts ook het aantal cellen in verhouding tot het oppervlak weergegeven. Wanneer een weefsel rustig zou uitgroeien, zou hier een vrijwel linear gedrag op moeten
30
Figuur 18: Oppervlakteverloop van een groeiende kolonie in 2D(links) en celdichtheid(rechts)
treden en dit zal in werkelijkheid ook het geval zijn. Doordat in werkelijkheid cellen wel zullen
vervormen als twee cellen elkaar overlappen, kunnen de sterfte- en delingskansen veranderen.
Een cel die aan alle kanten opgeduwd wordt, zal een grotere kans hebben om af te sterven en
een kleinere kans om te delen. In de toekomst zouden deze kansen daarom afhankelijk van de
totale indeuking gemaakt kunnen worden. Voor nu houden we de sterftekans constant en wordt
er geconcludeerd dat de waarde van q niet te groot gekozen dient te worden.
Zoals duidelijk blijkt uit de grafieken leidt de verschillende delingskans tot verschillende
celdichtheden. In weefsel dat enigzins in rust is, zullen de cellen niet over elkaar kruipen en om
een wond te simuleren, zal dus gebruik gemaakt moeten worden voor een weefsel met min of
meer constante dichtheid. Wanneer we de uitgegroeide kolonie met q = 0.01 nemen en zonder
het toevoegingen van celdeling, celsterfte en random bewegingen in het model stoppen, blijkt
de koloniekern na circa 200 iteraties nog steeds duidelijk zichtbaar. Het weefsel is dan nog
onverminderd bezig om zichzelf uit te vouwen.
Figuur 19: In de linkerfiguur het verloop van oppervlakte in de tijd, in het midden de koloniegroei
en rechts de uitvouwing
Als startsituatie om een stabiel weefsel te kunnen creeëren voor wondheling wordt daarom
een random verdeling van cellen over het oppervlak genomen, met ongeveer een juiste dichtheid.
Vervolgens kan het model circa 1000 iteraties doorlopen en resulteert een weefsel dat min of
meer in rust is. Dat het weefsel niet volledig in rust is, zal niet erg zijn want in werkelijkheid
zullen door continue celdeling, celsterfte en random bewegingen altijd veranderingen optreden
en daarom is een weefsel nooit in rust.
Een weefsel in rust wordt verkregen door een aantal cellen random over het vlak te verdelen
en vervolgens het model te laten lopen. Na 1000 iteraties wordt er verondersteld dat er een
31
soort evenwicht zich ingesteld heeft. Dit weefsel is nog niet helemaal in rust, maar dit zal in
werkelijkheid ook niet zo zijn. Deze eindsituatie is gebruikt als beginsituatie voor de simulaties
van de wondheling.
Koloniegroei in 3D
Op een vergelijkbare manier kan gekeken worden naar de groei van een drie dimensionale kolonie.
De vergelijkingen in het model zijn afgeleid gebaseerd op een 2D-substraat. We benadrukken
daarom dat dit slechts een kleine impressie geeft van wat er mogelijk is, maar dat een kritische
blik van belang is. Voor het 3D geval kan een grafiek gevonden worden zoals in figuur 20. Omdat
de cellen die net gedeeld zijn nu veel meer lege ruimte hebben om naar toe te bewegen door de
extra dimensie, zien we bij een delingskans q = 0.05 nu wel een constante celdichtheid.
Figuur 20: Oppervlakteverloop en celdichtheid van een groeiende kolonie in 3D
32
4.3
Wondheling en de invloed van bacteriën
In dit project is gekeken naar vierkante wonden met een beginoppervlak van 1µm2 . Wanneer er een wond is, zal het lichaam signalen geven om de naburige cellen sneller te laten delen. In figuur 21 is het dichtgroeien van een wond weergegeven.
Figuur 21: Wondheling van een schone wond. Na 0,50,100,150,200,250 en 300 iteraties.
Wanneer de wond niet schoon maar geı̈nfecteerd is met bacteriën, wordt de celmobiliteit aangetast en zal de wond langzamer dichtgroeien. In figuur 22 zien we het verloop van de wondheling
wanneer er een lichte aantasting door bacterieën is. De wond zal zich nu nog wel sluiten maar
een stuk langzamer. Voor deze lichte infectie is er aangenomen dat er maximaal tien bacteriën
in het model aanwezig kunnen zijn. Door dezelfde delingscoëffieciënten te gebruiken, zien we
dat wanneer de wond zich net gesloten heeft er in het tweede geval veel meer cellen aanwezig zijn.
In plaats van een licht geı̈nfecteerde wond, kan er ook een dusdanig grote infectie zijn dat de
wond helemaal niet meer dichtgroeit. Het blijkt zelfs dat na een zekere tijd de wond zich alleen
nog maar uit zal breiden. De concentratie van het zuur zal na verloop van tijd dusdanig hoog
zijn dat alle cellen in het wondgebied vrijwel niet meer bewegen. Doordat er wel nog celsterfte
plaatsvindt, zullen iedere tijdstap een aantal cellen afsterven en zullen er allemaal kleine gaatjes/wondjes ontstaan. Normaal gesproken zijn deze gaatjes snel weer opgevuld, maar doordat
de buurcellen nu niet de vrije ruimte in kunnen bewegen ontstaat er een nieuw wondgebiedje
waardoor het totale wondoppervlak steeds groter wordt. Door de celdeling komen er ook nieuwe
cellen bij, maar deze zijn dicht bij de al bestaande cellen en een steeds grotere opstapeling zal
hierdoor ontstaan.
Al deze wondhelingsprocessen kunnen nu het beste met elkaar vergeleken worden door de
wondoppervlakte in de tijd te bekijken. In figuur 24 zijn dergelijke grafieken uitgezet. Het
is te zien dat een geı̈nfecteerde wond inderdaad langzamer dichtgroeit en bij een toenemende
concentratie zullen de wonden helemaal niet meer dichtgroeien.
33
Figuur 22: Wondheling van een licht geı̈nfecteerde wond. Na 0,100,200,300,400 en 438 iteraties.
De donkergroene cellen zijn de cellen die af zullen sterven.
Figuur 23: Wond die niet meer dichtgroeit door de explosieve bacteriegroei. Na 0, 50, 100, 150,
200 en 208 iteraties. De stervende cellen zijn met rood aangegeven.
34
Figuur 24: Oppervlakte uitgezet tegen de tijd voor verschillende wondhelingscenario’s.
35
4.4
Afweersysteem
Uit figuur 23 blijkt duidelijk dat door de verhoogde zuurconcentratie, de wond in deze toestand
niet meer dicht zal groeien. Witte bloedcellen zijn nodig om de infectie te bestrijden. De
introductie van deze cellen zal er toe leiden dat het aantal bacteriën wordt teruggedrongen zodat
de zuurconcentratie weer af zal nemen en de celmobiliteit zich weer herstelt. Voordat de witte
bloedcellen in de wond worden losgelaten, bekijken we eerst wat er met de zuurconcentraties
onder invloed van witte bloedcellen gebeurt. De witte bloedcellen bewegen zich nu alleen ten
gevolge van de gradiënt en ondervinden geen interactiekrachten met elkaar.
Figuur 25: Verloop zuurconcentratie bij Dph = 0.05 µm2 /s na 1, 50, 100, 150, 200 en 250
iteraties. De zwarte stippen zijn bacteriën en de witte stippen witte bloedcellen.
Uit figuur 25 blijkt dat er op een zeker moment inderdaad witte bloedcellen door de wand
heen zullen treden. Er blijkt echter dat deze cellen zich richting het originele centrum gaan
bewegen. De maximale concentratie bevindt zich namelijk in de oorsprong. Rond de bacteriën
bevinden zich wel lokale maxima, maar door de grote diffussiecoëfficiënt zijn deze niet goed
vindbaar voor de witte bloedcellen. Hierdoor kunnen de bacteriën vrij hun gang gaan en gaat
de infectie onverminderd door. Opmerkelijk is ook dat de eerste witte bloedcel op grote afstand
van de infectiebron het weefsel binnenkomt. Deze cel bevindt zich op een dusdanig grote afstand
dat er nauwelijks een beweging optreedt doordat de gradiënt hier een zeer lage waarde heeft.
Er was hier gekozen voor Dph = 0.05µm2 /s zoals in [2]. De diffusiecoëfficiënt Dph is verantwoordelijk voor de verspreiding van het zuur in de ruimte. Een geschikte waarde voor deze
coëfficiënt is dus niet te groot, maar ook niet te klein. Wanneer Dph te groot is, treedt het
zojuist beschreven probleem op, terwijl bij een te kleine diffusiecoëfficiënt de meeste cellen lange
tijd helemaal niets merken van de bacterien̈. In figuur 26 is het verloop van de zuurverdeling
zichtbaar voor Dph = 0.005µm2 /s. Uit deze figuur blijkt dat de witte bloedcellen nu wel in staat
zijn om de bacteriën te lokaliseren en neutraliseren. In het vervolg wordt daarom deze waarde
gebruikt.
De snelheid waarmee de witte bloedcellen zich voortbewegen hangt af van de waarde van
de gradiënt en daarmee indirect van Dph . Wanneer de diffusiecoëfficiënt groter gekozen wordt,
36
zullen de gradiënten kleiner zijn en bij een constante waarde van vwb zou dit betekenen dat
de cellen langzamer bewegen. Het is daarom denkbaar dat de bewegingssnelheid niet alleen
beı̈nvloed wordt door de gradiënt, maar ook door de grootte van de zuurconcentratie. In een
vervolg op dit project zou deze relatie verder onderzocht kunnen worden. Hier wordt de bewegingssnelheid gecorrigeerd door de waarde van vwb aan te passen voor verschillende waarden van
Dph . In het geval dat Dph = 0.05µm2 /s wordt gekozen voor vwb = 0.2 en bij Dph = 0.005µm2 /s
voor vwb = 0.002. De maximale gradiënten worden aangehouden op 1 respectievelijk 100, zodat
de maximale snelheid in beide gevallen gelijk is. De invloed van deze parameter en de grootte
van de beweging van de witte bloedcellen wordt later beschreven.
Figuur 26: Verloop zuurconcentratie bij Dph = 0.005 µm2 /s. Na 0, 50, 100, 150 en 200 iteraties.
We merken hier op dat door de verandering van de diffusiecoëfficiënt een vergelijking met de
simulaties uit de vorige paragraaf niet meer mogelijk is. Door de kleinere diffussiecoëfficiënt zijn
de zuurconcentraties in het centrum van de wond vele malen hoger dan eerst. Zelfs het geval
met de “licht geı̈nfecteerde wond” kan hierdoor niet helemaal meer dicht groeien. In figuur 27
is deze wond na 200, 500 en 800 iteraties weergegeven:
Figuur 27: Wond die niet meer dichtgroeit door een kleinere diffusiecoëfficiënt.
In figuur 28 is wondheling met witte bloedcellen weergegeven. De overwegende bewegingsrichting is ten gevolge van de zuurgradiënt. Maar ook de interactiekrachten tussen witte bloedcellen en met normale weefselcellen zijn meegenomen. Er wordt gekeken naar de licht geı̈nfecteerde
37
situatie; zolang het aantal bacteriën < 10 is, kan er bacteriedeling optreden. Zodra het aantal
daarboven komt niet meer. Als er vervolgens een aantal bacteriën geneutraliseerd zijn, kan er
wel weer gedeeld worden.
Figuur 28: Wondheling waarbij witte bloedcellen vanuit de vaten kunnen migreren naar het
weefsel. Na 0, 50, 100, 150, 200, 250, 300 en 335 iteraties. De rode cellen zijn hier de witte
bloedcellen.
De wond in figuur 28 zal na verloop van tijd dichtgroeien als de normale zuurgraad zich weer
hersteld heeft. Door de lage diffusiecoëfficiënt kan dit een aanzienlijke tijd duren. Daarnaast
valt op dat de meeste witte bloedcellen pas verschijnen op het moment dat alle bacteriën al dood
zijn, omdat de hogere concentraties dan pas de buitengebieden bereiken. Vermoedelijk consumeren de witte bloedcellen zuur, waardoor de concentraties sneller afnemen zodat de wond sneller
dichtgroeit en minder witte bloedcellen verdwaald raken in het weefsel. De precieze biologische
werking hiervan is niet onderzocht en is een suggestie voor de toekomstig onderzoek.
Een tweede aandachtspunt is de positionering van de bloedvaten. Dit speelt in de snelheid
van de wondheling een belangrijke rol. Wanneer de vaten verder weg liggen, zal de ontsteking al
verder gevorderd zijn tegen de tijd dat witte bloedcellen door de wand migreren. Als de witte
bloedcellen vervolgens in het weefsel zijn, moet bovendien een grotere afstand afgelegd worden,
waardoor ook dan de infectie nog meer tijd heeft om zich uit te breiden. Verder neemt ook de
gradiënt sterk af naarmate een punt verder van de infectiebron bekeken wordt. Hierdoor gaat
de beweging ten gevolge van de interactiekrachten met cellen een grotere rol spelen. Het blijkt
38
dat wanneer cellen vlak bij zijn, ze als het ware over de bestaande cellen heen “vliegen”, terwijl
wanneer de cellen verder weg zijn, de normale weefselcellen door de witte bloedcellen worden
opgeduwd in de richting van de wond. De parameter vwb en de keuze bij welke absolute waarde
van de gradiënt de maximumsnelheid behaald wordt, spelen hierbij ook een belangrijke rol.
Figuur 29: Wondheling waarbij witte bloedcellen de normale weefselcellen opduwen. Na 180,
190 en 200 iteraties
In figuur 29 zijn drie opeenvolgende tijdstappen zichtbaar van een witte bloedcel die de gewone cellen vooruit duwt. De waarde van vwb is 5 keer zo klein gekozen als in figuur 28. Hierdoor
krijgen de witte bloedcellen meer gelegenheid tot interactie met de gewone weefselcellen. In figuur 28 blijkt dat de witte bloedcellen als het ware over de normale weefselcellen heen vliegen
doordat vwb groter is gekozen. Het gedrag van witte bloedcellen zou onder de microscoop bestudeerd moeten worden om te kijken wat een realistische waarde voor deze parameter is. Ook
de veronderstelling dat de zuurconcentratie van invloed kan zijn op de bewegingssnelheid kan
hierbij onderzocht worden.
De situatie van een zwaardere infectie wordt niet bekeken. De huidige integratiemethodes
hebben te hoge kosten om een model met veel bacteriën door te kunnen rekenen. Wel kan er
een verwachting uitgesproken worden. De kans dat een bacterie deelt, is gelijk aan 0.05. De
verwachting is daarom, dat als er 100 bacteriën aanwezig zijn, er 5 nieuwe bacteriën via deling
ontstaan. De verwachting van het aantal witte bloedcellen dat door de bloedvatwand heen treedt
bij zeer hoge concentraties in het hele wondgebied, is gelijk gesteld aan 1. Iedere witte bloedcel
kan 5 bacteriën neutraliseren, maar hier is wel tijd voor nodig. Er wordt daarom gesteld dat als
het aantal bacteriën groter dan 100 is, er geen wondheling meer op zal treden. We merken op
dat dit onafhankelijk is van de parameter ξ. De veronderstelling dat er 1 witte bloedcel door de
bloedvatwand heen kan treden, zal geverifieerd moeten worden en zo nodig aangepast.
39
5
Conclusie en discussie
De doelstelling van dit project was het verkrijgen van kwalitatief juiste simulaties voor onder
andere wondheling. Er is gebruik gemaakt van een bestaand model voor de migratie van cellen
waarin celsterfte en celdeling als stochastische componenten aanwezig zijn. Hiermee is eerst de
wondheling van een schone wond gesimuleerd en vervolgens zijn er bacteriën in aangebracht om
ook een infectie te kunnen modelleren. Tenslotte is er de mogelijkheid gecreëerd voor witte
bloedcellen om door de bloedvatwand heen te migreren en afweer te bieden tegen deze infectie.
Uit de simulaties is gebleken wanneer wonden wel en niet dichtgroeien. De invloed van
een aantal parameters hierop is verder uitgelicht. Zo blijkt de rol van de diffusieconstante van
groot belang. Wanneer deze waarde te groot genomen wordt, is er een zeer gelijke concentratieverdeling waardoor de bacteriën niet gelokaliseerd kunnen worden door de witte bloedcellen
vanwege de lage gradiënten. Wanneer de diffusieconstante echter te klein gekozen wordt, zal
een nagenoeg schone wond met bijvoorbeeld maar één bacterie niet meer dichtgroeien door de
zeer lokale zeer hoge zuurconcentraties. Dit gedrag is hier geconstateerd, maar onderzoek naar
een realistische middenweg voor alle modellen is niet gedaan. In het geval van wondheling met
en zonder afweersysteem worden daarom twee verschillende diffusieconstantes gebruikt, wat een
vergelijking tussen de snelheid waarmee de wonden dichtgroeien niet meer mogelijk maakt.
Door de toevoeging van witte bloedcellen in het model zullen sommige wonden die eerst niet
dichtgroeiden, dat nu wel doen. Of een wond uiteindelijk dichtgroeit zal samenhangen met de
kans van witte bloedcellen om door de bloedvatwand te migreren. Dit is deels afhankelijk van de
parameter ξ die de gezondheid van een persoon weerspiegelt, en deels van een aanname hoeveel
witte bloedcellen er bij zeer hoge concentraties per tijdstap door de wand zullen treden.
Als de witte bloedcellen eenmaal in het weefsel terecht gekomen zijn, gaat de parameter vwb
een belangrijke rol spelen. Deze parameter bepaalt een aantal dingen. Ten eerste de snelheid
waarmee de witte bloedcellen de infectiebron benaderen. Bij een lagere snelheid zal de kans dat
een wond dichtgroeit aanzienlijk afnemen. Ten tweede bepaalt deze term de mate waarin de
interactie tussen cellen een rol speelt. Een te grote waarde is daarom niet realistisch, omdat
de cellen dan over andere cellen heen ”vliegen”, maar een te kleine waarde is zoals gezegd ook
niet wenselijk. Een terugkoppeling met de werkelijkheid moet plaats vinden om deze en aantal
andere parameters te kunnen schatten.
De kwalitatieve juistheid van de simulaties is in dit geval min of meer aangenomen. Er
heeft geen terugkoppeling plaats gevonden naar de werkelijkheid. Doordat het eerste deel van
dit project een reproductie van [1] en [2] was, blijken er kwalitatief wel overeenkomsten te zijn,
maar dat is in dit project niet besproken. De simulering van de wondheling kent veel vereenvoudigingen en de timing waarin de verschillende fases plaatsvinden, overlappen elkaar. Er wordt
nu bijvoorbeeld aangenomen dat zodra er een wond is, de cellen beginnen te delen. Maar in
werkelijkheid zullen er eerst groeifactoren geproduceerd moeten worden. Voor de wondheling
op zich maakt dit niet zoveel uit. Als er echter in de beginsituatie al bacteriën aanwezig zijn
waardoor de zuurgraad stijgt, dan moet er in het model aangevangen worden met een verhoogde
beginconcentratie. Verder wordt het welzijn van de cellen buiten beschouwing gelaten. Wanneer
de celdichtheid hoog is, zullen cellen minder snel delen en eerder afsterven. Ook de zuurgraad
heeft mogelijk een invloed op het welzijn van de cellen.
Bij grote zuurconcentraties blijkt nu dat er steeds meer gaten ontstaan en dat de overige
40
cellen op elkaar terecht komen. In werkelijkheid zal de celdeling bij een zeer grote concentratie waarschijnlijk ook stagneren en is het de vraag of de afstotingskrachten niet via een ander
mechanisme werken. Dit is waarschijnlijk niet zozeer een bewuste beweging zoals op basis van
de aantrekkingskracht, maar meer een noodzakelijke terugvering door het directe contact dat
plaatsvindt. Hierdoor is het aannemelijk dat de celmobiliteit maar deels van invloed is op de
afstotingsbewegingen.
Op de celdeling zijn ook wat punten aan te merken. In plaats van een plotselinge deling
zou dit gemodelleerd kunnen worden met een cel die langzaam groter wordt en vervolgens deelt.
Hierdoor wordt er als het ware al ruimte gereserveerd voor de nieuwe cel en komt deze niet
zomaar op een andere cel terecht. De mobiliteit van een delende cel zal lager zijn en ook dit zou
verwerkt kunnen worden.
Tenslotte is er gedurende dit project geconstateerd dat de orde van grootte van cellen onjuist
is. Menselijke cellen zijn in de orde grootte van tientallen micrometers, waar in dit project tienden van micrometers zijn aangenomen. Aan de hand van de gebruikte formules kan beredeneerd
worden dat dit kwalitatief gezien op het eerste oog niet zulke grote gevolgen zal hebben, maar de
drempelwaarde van 29, 5µm die beschreven wordt in [5], zal hierdoor nu wel een belangrijke rol
gaan spelen. De invloed hiervan is lastig in te schatten en zal met behulp van nieuwe simulaties
duidelijk moeten worden.
41
Referenties
[1] Vermolen, F.J. en Gefen, A. (2012), A semi-stochastic cell based-formalism to model the
dynamics of migration of cells in colonies. Biomech. Model Mechanobiol. 2012, 11:183-195
[2] Vermolen, F.J. en Gefen, A., A semi-stochastic cell based model for in-vitro infected ’wound’
healing, Nog niet gepubliceerd.
[3] Ananthakrishnan, R. en Ehrlicher, A. (2007), The forces behind cell movement, Int. J. Biol.
Sci., 3(5):303-317.
[4] Gefen, A (2010) Effects of virus size and cell stifness on forces, work, and pressures driving
membrane invagination in a receptor-mediated endocytosis. J. Biomech Eng,132: 084501-108405-5
[5] Reinhart-King, C.A., Dembo, M. and Hammer, D.A.(2008), Cell-cell mechanical communication through compliant substrates. Biophysical J., 95:6044-6051
[6] Sherratt J.A., Murray, J.D. (1991), Mathematical analysis of a basic model for epidermal
wound healing. J. Math. Biol., 29:389-404
42
6
Bijlagen
6.1
Analytische oplossing voor twee cellen
Bij de bepaling van de analytische oplossing voor twee cellen, kan gebruik gemaakt worden van
de gelijke celeigenschappen van de twee cellen. Hierdoor is de beweging van de cellen namelijk
gelijk aan elkaar, maar tegengesteld gericht. De vergelijking die opgelost moet worden is:
dr1
−2λ||r1 − r2 ||
r2 − r1
= αM [1 + exp(
)] ·
dt
R
||r1 − r2 ||
.
We introduceren het punt rc als massamiddelpunt van de twee cellen, zodat r1 + r2 = 2rc .
Definieer r = ||rc − r1 ||. Subsitutie geeft:
dr
−2λr
= −αM [1 + exp(
)]
dt
R
De vergelijking is separabel en zal dus opgelost worden met behulp van scheiding van variabelen.
Z
r(t)
r(0)
dr
=
1 + exp( −2λr
R )
Z
t
Z
−αM dt
Z
u(r(t))
u(r(0))
−→
0
Laat nu u = exp( 2λr
R ) + 1, zodat du =
r(t)
r(0)
2λ
R
exp( 2λr
R )
exp( 2λr
R )+1
Z
t
−αM dt
dr =
0
exp( 2λr
R )dr. Substitutie aan de linkerkant geeft:
R
R
2λr
R 1
u(r(t))
r(t)
du =
ln [u] |u(r(0)) =
ln exp(
) + 1 |r(0) = −αM t
2λ u
2λ
2λ
R
2λr(t)
2λr0
ln exp(
) + 1 − ln exp(
)+1
= −αM t
R
R
2λαM t
2λr0
2λr(t)
)+1 =−
+ ln exp(
)+1
ln exp(
R
R
R
2λr(t)
2λαM t
2λr0
exp(
) = exp(−
) exp(
)+1 −1
R
R
R
2λr(t)
2λαM t
2λr0
= ln exp(−
) exp(
)+1 −1
R
R
R
R
2λ
En dit geeft:
R
2λαM t
2λr0
r(t) =
ln exp(−
) exp(
)+1 −1
2λ
R
R
Deze oplossing is geldig tot aan het punt waar geen afstoting optreedt, omdat de cellen
elkaar nog niet overlappen. Wanneer er wel overlapping optreedt, zal er een extra term in de
differentiaalvergelijking komen voor de afstotingskracht. Door de extra term is de vergelijking
niet separabel meer en niet zo gemakkelijk met de hand op te lossen als het eerste deel. De
analytische oplossing die we bekijken, beschouwt daarom alleen het eerste gedeelte.
43
6.2
Matlabscript
In deze bijlage is het gebruikte matlabscript weergegeven. Het basismodel is hierin niet opgenomen vanwege de overeenkomsten met het traagheidsmodel.
Aantrekkingskracht
function [M] = signal(M0, r, rfunc, R, lambda)
M=M0*exp(-lambda*norm(r-rfunc,2)/R);
end
Zuurconcentratie
function [concentratie]=virusjev2(distoud,distnieuw,thuidig,t,h);
%Berekenen melkzuur concentratie mbv trapeziumregel
toud=t;
tnieuw=toud+h;
stapgrootte=h;
gamma=0.1;
D=0.005;
if thuidig==tnieuw;
integraal1=((gamma/(4*pi*D))/(thuidig-toud))*exp((-distoud^2/(4*D))...
/(thuidig-toud));
integraal2=0;
else
integraal1=((gamma/(4*pi*D))/(thuidig-tnieuw))*exp((-distnieuw^2/(4*D))/...
(thuidig-tnieuw));
integraal2=((gamma/(4*pi*D))/(thuidig-toud))*exp((-distoud^2/(4*D))/...
(thuidig-toud));
end
concentratie=h*(0.5*integraal1+0.5*integraal2);
end
44
Bloedvatenstelsel
% Bloedvatenstelsel aanleggen, aantal celcreatiepunten is opgeslagen in
% lengte.
for stelsel=1:1;
rc=2*(rand-0.5);
xbl=-2:0.01:2;
xvertak=round(rand*0.3*(length(xbl)-1)+0.1*(length(xbl)-1));
xxvertak=round(rand*0.3*(length(xbl)-1)+0.6*(length(xbl)-1));
x2=xbl(xvertak:length(xbl));
xx2=xbl(xxvertak:length(xbl));
bbl=rand-0.5;
if abs(rc)>=0.5;
rc1vertak=-rc;
rc2vertak=-rc;
else
if rc>0;
rc1vertak=rc-1;
rc2vertak=rc-1;
else
rc1vertak=rc+1;
rc2vertak=rc+1;
end
end
y1(1)=2*(rand-0.5);
mbl=length(xbl);
kbl=3;
dy1=20*(rand(mbl+kbl,1)-0.5*ones(mbl+kbl,1));
dy2=(dy1(1:(mbl+kbl-1))+dy1(2:mbl+kbl))/2;
for i=1:mbl-1;
y1(i+1)=y1(i)+dy2(i)*0.01;
end
y2=rc*xbl;
ybl=0.1*y1+y2+bbl;
y1vertak(1)=ybl(xvertak);
mbl=length(x2);
kbl=3;
dy1v=10*(rand(mbl+kbl,1)-0.5*ones(mbl+kbl,1));
dy2v=(dy1v(1:(mbl+kbl-1))+dy1v(2:mbl+kbl))/2;
for i=1:mbl-1;
y1vertak(i+1)=y1vertak(i)+dy2v(i)*0.001;
end
y2vertak=rc1vertak*(x2-ones(1,length(x2))*xbl(xvertak));
yvertak=y1vertak+y2vertak;
y11vertak(1)=ybl(xxvertak);
mbl=length(xx2);
45
kbl=3;
dy1vv=10*(rand(mbl+kbl,1)-0.5*ones(mbl+kbl,1));
dy2vv=(dy1vv(1:(mbl+kbl-1))+dy1vv(2:mbl+kbl))/2;
for i=1:mbl-1;
y11vertak(i+1)=y11vertak(i)+dy2vv(i)*0.001;
end
y22vertak=rc2vertak*(xx2-ones(1,length(xx2))*xbl(xxvertak));
yyvertak=y11vertak+y22vertak;
lengte=length(xbl)+length(x2)+length(xx2)
%Stelsel aan elkaar plakken:
X=[xbl, x2, xx2];
Y=[ybl, yvertak, yyvertak];
R2=[];
46
Wondoppervlakte
% Wondoppervlakte
if dim==2
f=1:1:101; g=1:1:101; x=f/50-1.02; y=g/50-1.02;
else
f=1:1:51; g=1:1:51; gg=1:1:51; x=f/25-1.04; y=g/25-1.04; z=gg/25-1.04;
end
if dim==2;
for g=1:101
for f=1:101
if Oppdist(f+(g-1)*101)>norm(R1(j,:)-[x(f) y(g)],2);
Oppdist(f+(g-1)*101)=norm(R1(j,:)-[x(f) y(g)],2);
end
end
end
else
for gg=1:51
for g=1:51
for f=1:51
Oppdistans(j, f+(g-1)*51,gg)=norm(R1(j,:)-[x(f) y(g) z(gg)],2);
end
end
end
Oppdist=[];
for gg=1:51
Oppdist=[Oppdist, Oppdistans(:,:,gg)];
end
end
end
Oppmatrix=Oppdist;
Opp1=Oppmatrix>0.04;
size(Opp1)
Oppervlak1=sum(Opp1)*0.02^dim;
Opp2=zeros(101,101);
if dim==2;
for bb=1:101
Opp(bb,:)=Opp1(1:101);
Opp1(1:101)=[];
end
for bb=2:100
for cc=2:100
if ((((Opp(bb,cc)==1 && Opp(bb-1,cc)==1) && Opp(bb+1,cc)==1) ...
&& Opp(bb,cc-1)==1) && Opp(bb,cc+1)==1);
Opp2(bb,cc)=1;
else
47
Opp2(bb,cc)=0;
end
end
end
Oppervlak2(i+1)=sum(sum(sum(Opp2)))*0.02^dim
else
for bb=1:(51*51)
Oppt(bb,:)=Opp1(1:51);
Opp1(1:51)=[];
end
Opp=[];
for dd=1:51
Opp(:,:,dd)=Oppt((51*(dd-1)+1):(51*(dd-1)+51),:);
end
Oppt=[];
for bb=2:50
for cc=2:50
for dd=2:50
if ((((((Opp(bb,cc,dd)==1 && Opp(bb-1,cc,dd)==1) && ...
Opp(bb+1,cc,dd)==1) && Opp(bb,cc-1,dd)==1) && Opp(bb,cc+1,dd)==1) ...
&& Opp(bb,cc,dd-1)==1) && Opp(bb,cc,dd+1)==1);
Opp2(bb,cc,dd)=1;
else
Opp2(bb,cc,dd)=0;
end
end
end
end
Oppervlak2(i+1)=sum(sum(sum(Opp2)))*0.04^dim
end
48
Traagheidsmodel
clear all; clc; close all;
hold off;
%% Virusmodel, drie dimensies met migratie, random walk, sterfte en deling
% Er wordt gerekend in micrometers, nanonewton en seconde
% Bacheloreindproject TW 2012
m=501;
dim=2;
%Aantal tijdstappen
%Aantal dimensies
load(’Evenwichtvirusmodel’);
Rin=[];
for i=1:1000
if abs(R(i,1))>= 0.5;
Rin=[Rin; R(i,:)];
elseif abs(R(i,1))<= 0.5 && abs(R(i,2))>= 0.5;
Rin=[Rin; R(i,:)];
end
end
disp(’Wond gemaakt, beginnen met wondheling’)
R1=Rin;
n1=length(R1(:,1));
Oppervlak2(1)=1^2;
%% Parameters
% Celtype 1
Es=5; Ec=0.5; Ra=0.04; mu=0.2; F_dak=0.01; F=ones(1,n1);
beta=10; Ra_=Ra/2; E_=(2/3)*Ec; kappa=10; nu=0.21;
p_mp=0; pbac=0.05; pfac=1; p=0.001; q=0.001; q_ongeremd=0.0025; l=10;
lambda=Es/Ec; rek=(1/Es)*(F_dak/(pi*(Ra)^2)); M0=(1/2)*Es*rek^2;
f=mu*F_dak; alfa=beta*Ra^3/f;
v_wb=0.2/100;
%Tijdsintegratie
h=0.1;
% Beginvoorwaarden
dR1(:,:)=zeros(n1,dim); dR2=[]; t(1)=0;
N1(1)=n1; N2(1)=0; n2=0;
%Virusvoorwaarden
Fvirus(:,:,1)=[0 0];
tstart(1,1)=0;
teind(1,1)=1000;
nn=length(Fvirus(:,1,1));
49
nnlevend=nn;
-> Aanmaak bloedvatenstelsel, zie andere script.
%Gradient
hoek=linspace(0,2*pi-2*pi/20,20);
for k=1:20
[Xb(k),Yb(k)] = pol2cart(hoek(k),0.01);
end
end
%% Numerieke oplossing
% De positie van de cellen wordt bijgehouden in een 3dim matrix R(x,y,z)
% met x=celnummer, y=coordinaat (x of y) en z=tijdstip.
% Er wordt gebruik gemaakt van een IMEX methode.
for i=1:m
% Toestand cellen
n1=N1(i);
%Aantal cellen type 1 bij aanvang tijdstap
%Levend/dood
%F=1 betekent cel vitaal, F=0 t/m -(l+1) betekent bezig met opruimen
%F=-l betekent cel definitief dood
x=rand(1,n1);
overleving=(x<=(1-p))+F;
F=(overleving==2)+F-ones(1,n1);
%Celverwijdering,
%cellen die F=-l bereikt hebben worden hier verwijderd.
I=find(F==-l);
for j=1:length(I)
index=I(j)-j+1;
R1(index,:)=[];
dR1(index,:)=[];
F(index)=[];
end
%Celtelling
n1=length(R1(:,1));
N1(i+1)=n1;
levend(i)=length(find(F==1));
if levend(i)==0
%Controle
disp(’Tijdstip van overlijden=’)
t(i)
break;
end
50
%Voorkomen explosie
%if Oppervlak2(i)<0.1;
%
q=0.001;
%else
q=q_ongeremd;
%end
%Deling
z=rand(n1,1);
delend=(z<=q);
%Virusdeling
if nnlevend>10
pbac=0;
else
pbac=0.05;
end
zz=rand(nn,1);
delendbac=0;
for jj=1:nn;
if teind(jj)==1000
Fvirus(jj,:,i+1)=Fvirus(jj,:,i)+ ...
1*rand*[0.04*(rand-0.5) 0.04*(rand-0.5)];
else
Fvirus(jj,:,i+1)=[100,100];
end
if (zz(jj)<=pbac) && teind(jj)==1000
delendbac=delendbac+1;
Fvirus(nn+delendbac,:,:)=-100*ones(2,i+1);
tstart(nn+delendbac,1)=t(i);
teind(nn+delendbac,1)=1000;
Fvirus(nn+delendbac,:,i+1)=Fvirus(jj,:,i+1);
else
end
end
nn=nn+sum(delendbac);
nnlevend=nnlevend+sum(delendbac);
%Loop per cel
for j=1:n1
%Voorwaarde cel dood of levend
if F(j)~=1
%Cel dood
if dim==2;
dR1(j,:)=[0 0];
%Geen beweging in een dode cel
else
dR1(j,:)=[0 0 0];
%Geen beweging in een dode cel
end
51
else
z=0;
for k=1:n1
if j~=k;
% Afstandsmatrix en afstotingskracht
D=norm(R1(j,:)-R1(k,:),2); %Afstandmatrix
if D<(2*Ra)
%Afstotingskracht nodig?
indent=((2*Ra)-D)/2;
%Celoverlappingsstraal
Mr(j,k)=((F(k)+l)*(1/(l+1)))*(6/15)*(sqrt(Ra_)...
*E_*indent^(5/2)/(pi*Ra^3));
%Afstoting tussen cellen j en k
else
Mr(j,k)=0;
%Geen afstoting
end
%Bewegingsrichting
V=(R1(k,:)-R1(j,:))/norm(R1(k,:)-R1(j,:),2);
if F(k)~=1
Ma(j,k)=0;
else
%Aantrekkingskracht tussen cellen j en k
Ma(j,k)=signal(M0, R1(j,:), R1(k,:), Ra, lambda);
end
else
Mr(j,k)=0;
V=0;
Ma(j,k)=M0;
end
z=z+Ma(j,k)*V-Mr(j,k)*V;
end
% Interactie met wbcellen
if n2~=0;
for k=1:n2
D=norm(R1(j,:)-[R2(k,1),R2(k,2)],2);
%Afstandmatrix
if D<(2*Ra)
%Afstotingskracht nodig?
indent=((2*Ra)-D)/2;
%Celoverlappingsstraal
Mr2=(6/15)*(sqrt(Ra_)*E_*indent^(5/2)/(pi*Ra^3));
%Afstoting tussen cellen
else
Mr2=0;
%Geen afstoting
end
V=([R2(k,1),R2(k,2)]-R1(j,:))/norm(R1(j,:)-[R2(k,1),R2(k,2)],2);
Ma2=signal(M0, R1(j,:), [R2(k,1),R2(k,2)], Ra, lambda);
z=z+Ma2*V-Mr2*V;
end
52
end
if z==zeros(1,dim);
z_=zeros(1,dim);
else
z_=z/norm(z,2);
end
%Beveiliging als cellen elkaar niet voelen.
%Genormeerde richtingsvector
Mtot(j)=sum(Ma(j,:))-sum(Mr(j,:));
%Totale kracht
%Virusconcentratie berekenen
c=0;
for jj=1:nn;
if i<=10
rest=i;
else
rest= i-10-5*floor((i-10)/5)+1;
end
%if rest~=0;
for kk=i-rest+1:i
%function [concentratie]=virusjev2(distoud,distnieuw,thuidig,t,h,j);
if tstart(jj,1)>t(kk);
elseif teind(jj,1)<t(kk);
else
tvirus=t(kk);
distoud=norm(R1(j,:)-Fvirus(jj,:,kk),2);
if (t(i)-tvirus)<=15
if distoud>=1.5;
else
if (t(i)-tvirus)<=4
if distoud>=1;
else
if (t(i)-tvirus)<=4
if distoud>=0.8;
else
distnieuw=norm(R1(j,:)-Fvirus(jj,:,kk+1),2);
c=c+pfac*virusjev2(distoud,distnieuw,t(i)+h,tvirus,h);
end
end
end
end
end
else
distnieuw=norm(R1(j,:)-Fvirus(jj,:,kk+1),2);
c=c+pfac*virusjev2(distoud,distnieuw,t(i)+h,tvirus,h);
end
end
53
end
if i>10;
for kk=1:5:(i-rest-5)
%function [concentratie]=virusjev2(distoud,distnieuw,thuidig,t,h,j);
if tstart(jj,1)>t(kk);
elseif teind(jj,1)<t(kk);
else
tvirus=t(kk);
distoud=norm(R1(j,:)-Fvirus(jj,:,kk),2);
if (t(i)-tvirus)<=15
if distoud>=1.5;
else
if (t(i)-tvirus)<=7
if distoud>=1;
else
if (t(i)-tvirus)<=4
if distoud>=0.8
else
distnieuw=norm(R1(j,:)-Fvirus(jj,:,kk+5),2);
c=c+pfac*virusjev2(distoud,distnieuw,t(i)+h,tvirus,5*h);
end
end
end
end
end
else
distnieuw=norm(R1(j,:)-Fvirus(jj,:,kk+5),2);
c=c+pfac*virusjev2(distoud,distnieuw,t(i)+h,tvirus,5*h);
end
end
end
end
end
dR1(j,:)=dR1(j,:)/(1+h*kappa)+h*kappa*(exp(-nu*c)*(alfa*Mtot(j)*z_))/(1+h*kappa);
vel(j)=norm(dR1(j,:),2);
if j==n1;
min(Ra/(2*max(vel)),1)
if h>min(Ra/(2*max(vel)),1);
disp(’Tijdstap te groot’);
break;
end
end
end
54
end
%Berekenen concentratie op creatiepunten
C=zeros(length(X),1);
for j=1:length(X)
positie=[X(j),Y(j)];
for jj=1:nn;
if i<=10
rest=i;
else
rest= i-10-5*floor((i-10)/5)+1;
end
if rest~=0;
for kk=(i-rest)+1:i
if tstart(jj,1)>t(kk);
elseif teind(jj,1)<t(kk);
else
tvirus=t(kk);
distoud=norm(positie-Fvirus(jj,:,kk),2);
if (t(i)-tvirus)<=15
if distoud>=1.5;
else
if (t(i)-tvirus)<=7
if distoud>=1;
else
if (t(i)-tvirus)<=4
if distoud>=0.8;
else
distnieuw=norm(positie-Fvirus(jj,:,kk+1),2);
C(j)=C(j)+pfac*virusjev2(distoud,distnieuw,t(i)+h,tvirus,h);
end
end
end
end
end
else
distnieuw=norm(positie-Fvirus(jj,:,kk+1),2);
C(j)=C(j)+pfac*virusjev2(distoud,distnieuw,t(i)+h,tvirus,h);
end
end
end
end
55
if i>10;
for kk=1:5:(i-rest-5)
%function [concentratie]=virusjev2(distoud,distnieuw,thuidig,t,h,j);
if tstart(jj,1)>t(kk);
elseif teind(jj,1)<t(kk);
else
tvirus=t(kk);
distoud=norm(positie-Fvirus(jj,:,kk),2);
if (t(i)-tvirus)<=15
if distoud>=1.5;
else
if (t(i)-tvirus)<=4
if distoud>=1;
else
if (t(i)-tvirus)<=4
if distoud>=0.8;
else
distnieuw=norm(positie-Fvirus(jj,:,kk+5),2);
C(j)=C(j)+pfac*virusjev2(distoud,distnieuw,t(i)+h,tvirus,5*h);
end
end
end
end
end
else
distnieuw=norm(positie-Fvirus(jj,:,kk+5),2);
C(j)=C(j)+pfac*virusjev2(distoud,distnieuw,t(i)+h,tvirus,5*h);
end
end
end
end
end
end
%Creatie witte bloedcellen
phi=exp(-10*C);
pwb=(1-phi)/lengte;
ptest=rand(lengte,1);
creatie=(ptest<=pwb);
for j=1:lengte
56
if creatie(j)==1
R2=[R2; X(j), Y(j), 0]
dR2=[dR2; 0, 0, 0]
n2=n2+1;
end
end
%Verplaatsing witte bloedcellen
%Gradint bepalen
if n2~=0;
zwb=0;
for j=1:n2
Cb=zeros(20,1);
for k=1:20
positiebl(k,:)=[R2(j,1)+Xb(k), R2(j,2)+Yb(k)];
for jj=1:nn;
for kk=1:i
%function [concentratie]=virusjev2(distoud,distnieuw,thuidig,t,h,j);
if tstart>t(kk);
elseif teind<t(kk);
else
tvirus=t(kk);
distoud=norm(positiebl(k,:)-Fvirus(jj,:,kk),2);
distnieuw=norm(positiebl(k,:)-Fvirus(jj,:,kk+1),2);
Cb(k)=Cb(k)+virusjev2(distoud,distnieuw,t(i)+h,tvirus,h);
end
end
end
end
index=find(Cb==max(Cb));
positieblc=[R(j,1), R(j,2)];
Cbl=0;
for jj=1:nn;
for kk=1:i
%function [concentratie]=virusjev2(distoud,distnieuw,thuidig,t,h,j);
if tstart>t(kk);
elseif teind<t(kk);
else
tvirus=t(kk);
distoud=norm(positieblc-Fvirus(jj,:,kk),2);
distnieuw=norm(positieblc-Fvirus(jj,:,kk+1),2);
Cbl=Cbl+virusjev2(distoud,distnieuw,t(i)+h,tvirus,h);
end
end
end
ggrad= (max(Cb)-Cbl)*100
[Xmax,Ymax] = pol2cart(hoek(index),1);
57
%Aantrekkingskracht en afstotingskracht gewone cellen
for k=1:n1
% Afstandsmatrix en afstotingskracht
D=norm([R2(j,1),R2(j,2)]-R1(k,:),2);
%Afstandmatrix
if D<(2*Ra)
%Afstotingskracht nodig?
indent=((2*Ra)-D)/2;
%Celoverlappingsstraal
Mrwb=((F(k)+l)*(1/(l+1)))*(6/15)*(sqrt(Ra_)*E_..
*indent^(5/2)/(pi*Ra^3));
%Afstoting tussen cellen j en k
else
Mrwb=0;
%Geen afstoting
end
%Bewegingsrichting
Vwb=(R1(k,:)-[R2(j,1),R2(j,2)])/norm(R1(k,:)-[R2(j,1),R2(j,2)],2);
if F(k)~=1
Mawb=0;
else
%Aantrekkingskracht tussen cellen j en k
Mawb=signal(M0, [R2(j,1),R2(j,2)], R1(k,:), Ra, lambda);
end
zwb=zwb+Mawb*Vwb-Mrwb*Vwb;
%zwb=zwb-Mrwb*Vwb;
end
%Aantrekkingskracht en afstotingskracht wbcellen
for k=1:n2
if j~=k
D=norm([R2(j,1),R2(j,2)]-[R2(k,1),R2(k,2)],2);
%Afstandmatrix
if D<(2*Ra)
%Afstotingskracht nodig?
indent=((2*Ra)-D)/2;
%Celoverlappingsstraal
Mrwb=(6/15)*(sqrt(Ra_)*E_*indent^(5/2)/(pi*Ra^3));
%Afstoting tussen cellen
else
Mrwb=0;
%Geen afstoting
end
Vwb=([R2(k,1),R2(k,2)]-[R2(j,1),R2(j,2)])...
/norm([R2(j,1),R2(j,2)]-[R2(k,1),R2(k,2)],2);
Mawb=signal(M0, [R2(j,1),R2(j,2)], [R2(k,1),R2(k,2)], Ra, lambda);
else
Mrwb=0;
Vwb=0;
Mawb=M0;
end
zwb=zwb+Mawb*Vwb-Mrwb*Vwb;
end
if ggrad>0;
58
dR2(j,:)=min(ggrad,100)*alfa*v_wb*[Xmax, Ymax, 0] + [zwb, 0]*alfa;
end
end
R2=R2+h*dR2;
end
%Eliminatie bacterin
for jj=1:nn;
if n2~=0;
for ii=1:length(R2(:,1));
afstandwb(ii)=norm([R2(ii,1),R2(ii,2)]-Fvirus(jj,:,i+1),2);
end
eliminatie=(min(afstandwb) <= 0.04);
if eliminatie==1
teind(jj,1)=t(i);
index=find(afstandwb==min(afstandwb));
R2(index,3)=R2(index,3)+1;
nnlevend=nnlevend-1;
end
end
end
%Eliminatie witte bloedcellen
if n2~=0
teller=0;
for j=1:n2
if R2(j-teller,3)>=5
R2(j-teller,:)=[];
dR2(j-teller,:)=[];
teller=teller+1;
end;
end
n2=n2-teller;
end
%}
%Expliciete stap
R1 = R1 + h*dR1;
Oppdist=ones(101*101,1);
for j=1:n1
% Correctie als celdeling plaatsvindt.
if delend(j)==1;
c=N1(i+1)+1;
perp=[R1(j,2)-R1(j,2), -R1(j,1)+R1(j,1)];
if perp==[0 0]
% Deling van een niet bewegende cel
perp=[2*(rand-0.5) 2*(rand-0.5)];
59
end
perpn=perp/norm(perp,2);
if dim==2;
perp1=perpn;
elseif dim==3;
perp1=[perpn, 2*(rand-0.5)];
end
perp2=-perp1;
R1(j,:)=R1(j,:) + Ra*perp1;
F(c)=1;
R1(c,:)=R1(j,:)+ Ra*perp2;
N1(i+1)=c;
dR1(c,:)=dR1(j,:);
end
--> Bepaling wondoppervlakte, zie andere script
t(i+1)=t(i)+h;
end
60