Deeltjes en velden

Deeltjes en velden
de fysica van het allerkleinste
door
Prof.dr Johannes F.J. van den Brand
dr. Gideon Koekoek
Afdeling Natuurkunde en Sterrenkunde
Faculteit der Exacte Wetenschappen
Vrije Universiteit, Amsterdam
en
Nationaal instituut voor subatomaire fysica (Nikhef), Amsterdam
INHOUDSOPGAVE
1
Inhoudsopgave
1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN
1.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Quarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Leptonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Wisselwerking en deeltjesuitwisseling . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Beschrijven van deeltjesinteracties met Feynmandiagrammen .
1.5.1 Quantumveldentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Quantumelektrodynamica . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Quantumchromodynamica . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Elektrozwakke wisselwerking . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Spin en statistiek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Uitgewerkte opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Unificatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Quantumchromodynamica . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.3 SU(3)-kleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Negen gluonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.2 Zwakke wisselwerking . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.3 Speciale relativiteitstheorie . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.4 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.5 Rho-meson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 SPECIALE RELATIVITEITSTHEORIE
2.1 Historische introductie en Einsteins postulaten . . . . . . . . . . . .
2.2 Het minkowskilijnelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Tijddilatatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Lorentzcontractie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 De lorentztransformaties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Invariantie van de lichtsnelheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Verlies van universele definitie van tijd en gelijktijdigheid . . . . . . .
2.8 Ruimtetijd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9 Ruimtetijddiagrammen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Relativistisch Dopplereffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.11 Relativistische mechanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12 Uitgewerkte opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.1 Impuls van een π + meson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.2 Kinetische energie van een proton . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.3 Kinematica van elektron-proton verstrooiing . . . . . . . . . .
2.12.4 Verval van het muon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.5 Tijddilatatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.6 Deeltjesidentificatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.7 Proton in magnetisch veld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.8 Maximum energie-overdracht in een botsing van een elektron
2.12.9 Paarproductie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.10 Botsing in het zwaartepuntsysteem . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.11 Mandelstam variabelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.12.12 Energieproductie in de Zon . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.13 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
11
13
14
15
19
19
20
24
26
28
30
30
31
32
34
34
34
34
34
34
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
35
35
37
40
41
42
46
48
49
51
53
53
60
60
60
60
60
61
62
62
63
64
64
65
66
68
INHOUDSOPGAVE
2.13.1
2.13.2
2.13.3
2.13.4
2.13.5
Causaliteit . . . . . . .
Verval van pionen . . . .
Collider en Fixed-Target
Kosmische Straling . . .
Supernova SN1987A . .
2
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
Experimenten .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
68
68
68
68
69
3 QUANTUMMECHANICA
3.1 Inleiding en wiskundig intermezzo . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Operatoren en complexe functies . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Bases in de hilbertruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Matrices en operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4 Eigenfuncties en eigenwaarden . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Grondslagen van de quantummechanica . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Axioma’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Operatoren voor plaats en impuls . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 De onzekerheidsrelaties van Heisenberg . . . . . . . . . . .
3.2.4 Schrödingervergelijking als eigenwaardenvergelijking . . .
3.2.5 Diracnotatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.6 Onzekerheid in de quantumfysica . . . . . . . . . . . . . .
3.2.7 Tijdevolutie van een systeem . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Impulsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Veranderen van coordinatenstelsel: Wigner-rotatiematrices
3.4 Combineren van impulsmomenten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2 Matrixrepresentatie van spin- 21 deeltjes . . . . . . . . . . .
3.4.3 Operatoren voor spin- 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.4 Spinoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.5 Verwachtingswaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.6 Het meetprobleem in de quantummechanica . . . . . . . .
3.4.7 Meting van spin in een willekeurige richting . . . . . . . .
3.5 Storingsrekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Inleiding tot tijdafhankelijke storingsrekening . . . . . . .
3.5.2 Twee-niveaus systemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Het verstoorde systeem . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.4 Tijdafhankelijke storingsrekening . . . . . . . . . . . . . .
3.5.5 Sinusvormige verstoringen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.6 Emissie en absorptie van elektromagnetische straling . . .
3.5.7 Absorptie, gestimuleerde emissie, en spontane emissie . . .
3.5.8 Integraalvorm van de schrödingervergelijking . . . . . . .
3.5.9 De Born benadering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Einstein, Podolsky en Rosen Paradox . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1 Formulering van de EPR Paradox door Bohm . . . . . . .
3.6.2 De ongelijkheid van Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Uitgewerkte opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Toepassing van een machtreeks . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.2 Impuls van een foton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.3 Bremsstrahlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.4 Separatie van een molecuul . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.5 Elektromagnetisch vermogen . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.6 Fotoelektrisch effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
70
70
70
71
72
73
74
74
77
78
80
82
84
85
86
87
87
88
89
90
91
91
92
92
94
94
94
94
95
96
97
98
99
100
101
103
103
106
106
107
107
108
108
108
INHOUDSOPGAVE
3.8
3
3.7.7 Constante van Planck uit fotoelektrisch effect . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.7.8 Fotoelektrische stoppotentiaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
3.7.9 Fotoelektrisch effect: maximum kinetische elektronenergie . . . . . . . . . 110
3.7.10 Het Comptoneffect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.7.11 Comptonverstrooiing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.7.12 Golflengte van een thermisch neutron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.7.13 Energie en golflengte van een proton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.7.14 Oplossend vermogen van een optische microscoop . . . . . . . . . . . . . . 113
3.7.15 Oplossend vermogen van een elektronenmicroscoop . . . . . . . . . . . . . 113
3.7.16 Braggse diffractie met neutronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.7.17 Kristalstructuur uit Braggse diffractie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.7.18 Vectoren over de reële ruimte (dus de elementen zijn reële getallen) . . . . 116
3.7.19 Lineaire afhankelijkheid van vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.7.20 Relatie tussen inproduct en uitproduct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.7.21 Vectoren over de complexe ruimte (dus de elementen zijn complexe getallen)117
3.7.22 Hoek tussen complexe vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.7.23 Complexe matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.7.24 Complexe matrices en vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.7.25 Lineaire ruimte (de elementen zijn reële getallen) . . . . . . . . . . . . . . 121
3.7.26 Voorbeeld van een lineaire ruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
3.7.27 Meer over lineaire ruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.8.1 Comptonverstrooiing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.8.2 Waterstofatoom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.8.3 De Broglie-golflengte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.8.4 Fotonflux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.8.5 Harmonische oscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4 STRUCTUUR VAN HADRONEN
4.1 Verstrooiingstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Verstrooiing aan de ladingsverdeling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Elektron-nucleon verstrooiing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Diepinelastische verstrooiing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Elektron - positron annihilatie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Uitgewerkte opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.1 Rutherfordverstrooiing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.2 Elektron-nikkel verstrooiing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.3 Ladingsvormfactor van het proton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.4 Mott werkzame doorsnede voor elastische elektron-proton verstrooiing
4.6.5 Het fijne van biljarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6.6 Detectie van zonneneutrino’s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.1 Collider en zwaartepuntsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.2 Algemene vragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.3 Aantal kleurladingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.4 Λ-hyperonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7.5 Levensduur van opgeslagen elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
124
124
125
129
133
140
146
146
146
148
149
151
152
153
153
153
153
154
154
INHOUDSOPGAVE
5 SYMMETRIEËN
5.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Behoud van impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Lorentztransformaties vormen een groep . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Definities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Groeptheoretische aspecten van de Lorentztransformaties
5.3.3 Connectie met quantummechanica . . . . . . . . . . . . .
5.4 Behoud van lading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Lokale ijksymmetrieën . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Behoud van baryongetal . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3 Behoud van leptongetal . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5 Spiegeling in de ruimte en pariteit . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Pariteitschending in β-verval . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2 Heliciteit van leptonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.3 Behoud van pariteit in de sterke wisselwerking . . . . . .
5.6 Ladingssymmetrie van de sterke wisselwerking . . . . . . . . . . .
5.7 Isospinsymmetrie in de sterke wisselwerking . . . . . . . . . . . .
5.7.1 ∆ resonantie en isospinformalisme . . . . . . . . . . . . .
5.7.2 Isospin en het quarkmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.3 Isospin en de elektromagnetische wisselwerking . . . . . .
5.8 Vreemdheid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9 Mesonen als gebonden quark-antiquark toestanden . . . . . . . .
5.10 Opbouw van baryonen uit drie quarks . . . . . . . . . . . . . . .
5.11 Additionele quantumgetallen: C̃, B̃, en T̃ . . . . . . . . . . . . .
5.12 CPT-theorema: deeltjes en antideeltjes . . . . . . . . . . . . . . .
5.13 Invariantie van tijdsomkeer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.13.1 Gedetailleerd evenwicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.13.2 Elektrisch dipoolmoment van het neutron . . . . . . . . .
5.14 Uitgewerkte opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.14.1 Rotatiesymmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.14.2 Lokale ijkinvariantie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.14.3 Behoud van baryongetal . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.14.4 Isopin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.14.5 Nucleon spin statistiek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.14.6 Deeltjes: reacties en verval . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.14.7 Behoudswetten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.14.8 Quarkverdelingsfuncties . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.14.9 Dubbele resonantie productie . . . . . . . . . . . . . . . .
5.14.10 Hoekverdeling en pariteit . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.15 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.15.1 Botsingsprocessen en deeltjesverval . . . . . . . . . . . . .
5.15.2 Algemene vragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.15.3 Λ-hyperonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.15.4 Botsingsprocessen, isospin van kaonen . . . . . . . . . . .
5.15.5 Isospin en deeltjesverval . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
155
155
156
158
158
159
163
166
167
169
170
174
175
176
179
181
182
184
185
186
187
189
192
195
200
205
207
207
210
210
210
211
211
212
213
215
215
218
219
220
220
221
221
221
221
INHOUDSOPGAVE
5
6 SYMMETRIEBREKING
6.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 CP schending . . . . . . . . . . . .
6.2.1 CP - schending in het verval
6.3 Neutrino oscillaties . . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
van neutrale K
. . . . . . . . .
7 RELATIVISTISCHE VELDENTHEORIE
7.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Diracvergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Antideeltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Uitgewerkte opgaven . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Opgaven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.1 Feynmanregels voor QED . . . . . . . . .
7.5.2 Transformatiegedrag van ψ̄γ µ γ . . . . . .
7.5.3 Spinoren: orthogonaliteit en compleetheid
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . .
. . . . . .
- mesonen
. . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
222
222
222
222
231
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
234
234
234
234
234
234
234
235
235
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
8 LAGRANGIAANSE VELDENTHEORIE
236
8.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
8.2 lokale ijkinvariantie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
9 QUANTUMELEKTRODYNAMICA
9.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Afleiding van de Feynmanregels . . .
9.3 Propogatoren en vertices . . . . . . .
9.4 Renormalisatie . . . . . . . . . . . .
9.4.1 Ghosts, etc. . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
237
237
237
237
237
237
10 QUANTUMCHROMODYNAMICA
238
10.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
10.2 Lokale ijkinvariantie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
10.3 Yang-Mills theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
11 ELEKTROZWAKKE WISSELWERKING
11.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2 Materie en antimaterie . . . . . . . . . . . .
11.3 CP schending . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4 Kosmologische implicaties . . . . . . . . . .
12 HIGGS MECHANISME
12.1 Inleiding . . . . . . . . .
12.2 De oorsprong van massa
12.3 Goldstone bosonen . . .
12.4 Genereren van massa via
12.5 Massa en QCD . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . .
het Higgs mechanisme
. . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
A APPENDIX - LINEAIRE ALGEBRA
A.1 Vectorrekening over de reële ruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.1 Scalaren en vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.2 Product van een scalar en een vector . . . . . . . . . . . . .
A.1.3 Som en verschil van vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.4 Lineaire afhankelijkheid; ontbinden van vectoren, kentallen
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
239
239
239
239
239
.
.
.
.
.
240
240
240
240
240
240
.
.
.
.
.
241
241
241
241
241
242
INHOUDSOPGAVE
A.2
A.3
A.4
A.5
6
A.1.5 Inwendig of scalair product van vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
A.1.6 Uitwendig of vectorieel product van vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . 243
A.1.7 Determinantnotatie voor het uitwendig product . . . . . . . . . . . . . . . 244
A.1.8 Tripelproducten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
A.1.9 Voorbeelden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
Complexe grootheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
Lineaire ruimten en lineaire afbeeldingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
A.3.1 Lineaire ruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
A.3.2 Eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
A.3.3 Lineaire onafhankelijkheid, basis, dimensie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
A.3.4 Inwendig product, norm en orthogonaliteit van vectoren . . . . . . . . . . 249
A.3.5 Lineaire afbeeldingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
Matrixrekening . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
A.4.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
A.4.2 Determinant van een matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
A.4.3 Product van een matrix met een kolomvector . . . . . . . . . . . . . . . . 252
A.4.4 Matrix als transformatie-operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
A.4.5 Som van matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
A.4.6 Product van scalar met matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
A.4.7 Product van matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
A.4.8 Diagonale matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
A.4.9 Geadjugeerde en inverse matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
A.4.10 De getransponeerde van een matrix; symmetrische en alternerende matrices 255
A.4.11 Orthogonale matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
Vectorrekening over de complexe ruimte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
A.5.1 Vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
A.5.2 Inproduct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
A.5.3 De Gram-Schmidt procedure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
A.5.4 Eigenvectoren en eigenwaarden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
A.5.5 Geconjugeerde en Hermitische matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
A.5.6 Unitaire matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
B APPENDIX - WAARSCHIJNLIJKHEID
265
B.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
B.2 Connectie met de quantummechanica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
C APPENDIX: FUNDAMENTELE CONSTANTEN
269
D APPENDIX: COÖRDINATENSYSTEMEN
270
E APPENDIX: CONVENTIES, EENHEDEN EN NOTATIES
271
F APPENDIX: FASERUIMTE
272
G APPENDIX - KLASSIEKE GOLFVERSCHIJNSELEN
G.1 Inleiding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G.2 Wiskundige beschrijving . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G.3 Fourieranalyse van golfverschijnselen . . . . . . . . . . . .
G.3.1 Fouriercoëfficiënten en Fourierreeksen . . . . . . .
G.3.2 Complexe schrijfwijze van de Fourierreeks . . . . .
G.3.3 Fouriertransformatie . . . . . . . . . . . . . . . . .
275
275
275
276
276
279
279
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
INHOUDSOPGAVE
7
G.3.4 Beschrijving van een golfpakket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
G.4 De golfvergelijking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
G.4.1 Partiële afgeleiden en oplossingen van de golfvergelijking . . . . . . . . . . 282
INHOUDSOPGAVE
8
INHOUDSOPGAVE
9
Voorwoord
In dit college wordt een inleiding tot de deeltjesfysica behandeld, waarbij de nadruk ligt op het
begrijpen van de fundamentele aannamen die worden gedaan in het formuleren van de theorie.
We zullen een smal pad volgen dat leidt tot de definitie van het Standaard Model van de deeltjesfysica, waarbij het gaandeweg duidelijk zal worden dat de theorie een prachtige beschrijving
biedt van de unificatie van quantumelektrodynamica, quantumchromodynamica en de zwakke
wisselwerking. Het bestaansrecht van de theorie is gebaseerd op de succesvolle beschrijving van
natuurverschijnselen. Het Standaard Model geeft een wetenschappelijke basis aan fenomenen als
elementaire deeltjes en velden, alsmede de interacties tussen deeltjes en het verval van deeltjes.
Op dit moment staat de deeltjesfysica aan de frontlinie van het wetenschappelijk onderzoek.
Experimenten als Atlas, LHCb en Alice gebruiken proton-proton botsingen bij de allerhoogste
energie om het Standaard Model aan stringente tests te onderwerpen. Hierbij wordt de Large
Hardron Collider bij CERN gebruikt. In 2013 is met dit instrument de laatste ontbrekende bouwsteen van het Standaard Model gevonden: het Higgsboson. Parallel aan het CERN programma
zijn er diverse experimenten gaande die bijvoorbeeld de neutrinosector van het Standaard Model
onderzoeken. Recent is aangetoond dat neutrino’s een kleine massa hebben en ook dat verschillende neutrinosoorten in elkaar over kunnen gaan.
Wiskunde speelt een prominente rol in het opzetten van natuurkundige theorieën, en het Standaard Model vormt hierop geen uitzondering. In de behandeling van de diverse onderwerpen
zullen we liberaal gebruikmaken van verschillende wiskundige technieken. De student dient zich
te realiseren dat in alle gevallen de nadruk ligt op het begrip van het natuurkundig fenomeen.
Overigens is de wiskundige complexiteit van deeltjesfysica behoorlijk geavanceerd, omdat men
kennis dient te hebben van zowel de speciale relativiteitstheorie als van de quantummechanica.
Deze gebieden zijn verenigd in de quantumveldentheorie en we zullen hiervan een tipje van de
sluier oplichten.
Het college ‘deeltjesfysica’ wordt in 2013 voor het eerst gegeven in het kader van het HOVO
(Hoger Onderwijs Voor Ouderen) programma aan de Vrije Universiteit, Amsterdam. Van de studenten wordt voorkennis vereist op het niveau van H.B.S.-B, VWO of Gymnasium. Om tegemoet
te komen aan het niveau van de studenten worden diverse onderwerpen, zoals lineaire algebra,
nogmaals beknopt behandeld tijdens het college. Verder is de benadering redelijk ‘schools’. Er
wordt huiswerk opgegeven en behandeld (en dit telt mee voor het uiteindelijke cijfer). Hierbij
dient benadrukt te worden dat een goed begrip van de stof enkel zal volgen uit zelfwerkzaamheid
van de student. De opgaven zijn een belangrijk instrument in dit verband, want hierin kan de
opgedane kennis worden toegepast, terwijl de opgaven soms ook voor verdieping van de materie
zorgdragen. Merk op dat er in dit kader ook een website is ingericht, die bereikt kan worden via
http://www.nikhef.nl/∼jo/df2/.
Het dictaat is als volgt gestructureerd. Na een inleiding in hoofdstuk 1, wordt de speciale
relativiteitstheorie besproken in hoofdstuk 2. De behandeling is volledig gebaseerd op de zogenaamde minkowskimetriek van ruimtetijd. Quantummechanica wordt behandeld in hoofdstuk
3. We beperken ons tot een goed begrip van het formalisme en demonstreren dit aan de hand
van de spin van deeltjes (een zuivere quantummechanische grootheid). Spin-1/2 vormt het meest
eenvoudige voorbeeld van een quantumsysteem. Alle bouwstenen van de natuur, quarks en
leptonen, hebben spin-1/2. De structuur van hadronen is bepaald met behulp van botsingsexperimenten. De belangrijkste resultaten zoals de quark en gluonstructuur van het proton,
bespreken we in hoofdstuk 4. In hoofdstuk 5 worden diverse symmetrieën en de daaraan gerelateerde behoudswetten behandeld. Hier wordt ook een deel van de wiskunde geïntroduceerd,
met name de groepentheorie. Breking van symmetrie wordt besproken in hoofdstuk 6, waar we
het mechanisme van CP schending zullen behandelen. Dit geeft goed inzicht in de verschillen
INHOUDSOPGAVE
10
tussen materie en antimaterie. Ook bespreken we de recente ontdekking van neutrino-oscillaties.
Vervolgens verdiepen we ons wiskundig inzicht in hoofdstuk 7, waar we de relativistische veldentheorie behandelen. Vervolgens behandelen we Lagrangiaanse veldentheorie in hoofdstuk 8. Nu
de theoretische basis is gelegd, gaan we diverse toepassingen bespreken, zoals quantumelektrodynamica in hoofdstuk 9 en quantumchromodynamica in hoofdstuk 10. Vervolgens verdiepen
we onze kennis van de elektrozwakke wisselwerking in hoofdstuk 11. Tenslotte bespreken we het
Higgs-mechanisme in hoofdstuk 12. De diverse appendices dienen als achtergrondmateriaal.
Het zal opvallen dat verschillende onderwerpen ontbreken die in een regulier college wel aan de
orde komen. Zo worden onderwerpen uit de kernfysica niet of nauwelijks besproken. De reden
hiervoor is dat het volgens de auteurs onvoldoende bijdraagt tot een verdieping van het inzicht,
maar enkel leidt tot een verbreding van de kennis. De onderwerpen zijn gekozen om zo snel
mogelijk de stof te doorgronden, teneinde direct te komen tot de discussie van de filosofische
implicaties en de focus van het moderne wetenschappelijk onderzoek. Dit verklaart ook waarom
er relatief veel aandacht wordt besteed aan een didactische inleiding tot de deeltjesfysica. Overigens is het zo dat het niveau van behandeling van de stof in sommige gevallen overeenkomt met
(of zelfs uitstijgt boven) die van een derde-jaars natuurkundestudent.
In de samenstelling van dit dictaat is geput uit diverse bronnen, zoals ‘Quantummechanica HOVO college 2006’, Jo van den Brand; ‘Elementary particle physics - An introduction’, David
C. Cheng, Gerard K. O’Neill; ‘Subatomic physics’, Hans Frauenfelder, Ernest M. Henley; ‘Fundamentals of Quantum Mechanics’, V.A. Fock; ‘Gravitation’, Charles Misner, Kip Thorne, John
Archibald Wheeler; ‘The theory of special relativity’, J. Aharoni; ‘Quantum Universum - HOVO
college 2009’, Jo van den Brand; ‘Basic Concepts of Quantum Mechanics’, L.V. Tarasov; ‘Concepts of Particle Physics I and II’, Kurt Gottfried and Victor F. Weisskopf; ‘Quarks and Leptons’,
Francis Halzen, Alan D. Martin; ‘Gauge Theories in Particle Physics’, I.J.R. Aitchison and A.J.G.
Hey; ‘Nuclear and Particle Physics’, Burcham and Jobes; In sommige gevallen is gebruik gemaakt
van relevante review artikelen uit de vakliteratuur. De bronnen worden dan ter plaatse vermeld.
Belangrijke informatie over het Standaard Model is te vinden op
Tenslotte willen de auteurs bij voorbaat aan een ieder dank betuigen die gaat bijdragen aan
de verbetering van het voorliggende dictaat. Door vrijelijk uw suggesties door te geven aan de
docenten zullen wij deze gebruiken ter verbetering van het lesmateriaal.
1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN
1
11
ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN
1.1
Inleiding
De Griekse wijsgeer Demokritos (Abdera, in Thracië, ca. 460 B.C. - ca. 370 B.C.) hield er een
aantal interessante opvattingen op na. Hij had bijvoorbeeld het idee dat ‘het zijnde’ bestaat
uit een oneindige veelheid van atomen die uitgebreidheid bezitten en niet verder deelbaar zijn
(άτ oµoς), dat alle dingen zijn gemaakt uit een aantal atomen, en dat een verandering bestaat uit
een wijziging in de groepering van de atomen; er zijn zwaardere en lichtere atomen: de lichtere
vormen het hemelgewelf en groeperen zich tot hemellichamen, de zwaardere atomen vormen
de aarde, die bolvormig is; dat er een eindeloos aantal werelden naast de onze bestaat, die
werelden ontstaan of vergaan naargelang de atomen zich groeperen of weer uiteengaan. Volgens
Demokritos bestaan ook de levende wezens enkel uit atomen, en heeft het levende zich ontwikkeld
uit het niet-levende. Helaas is het overgrote deel van het werk van Demokritos verloren gegaan.
Echter met het door hem ingevoerde begrip, atomos, heeft hij een der vruchtbaarste ideeën aan
de wetenschap gegeven.
Het blijft een fascinerende vraag of er werkelijk zoiets bestaat als elementaire deeltjes. Is het
mogelijk om ons universum uit een klein aantal eenvoudige elementaire bouwstenen samen te
stellen? Is het mogelijk de in de natuur voorkomende dingen in steeds kleinere substructuren te
ontbinden, of stuit men uiteindelijk op een grens? Bestaan er deeltjes, die principiëel niet verder
deelbaar zijn? En als deze elementaire deeltjes werkelijk bestaan, hoeveel verschillende soorten
zijn er dan nodig voor een correcte beschrijving van de natuur en welke eigenschappen (massa,
lading, spin, enz.) hebben deze objecten?
In dit hoofdstuk zullen we een voorlopig antwoord op deze vragen geven. Het zal blijken dat het
uiteindelijke bewijs van vele van de uitspraken die in dit hoofdstuk gedaan zullen worden, vaak
slechts in het vervolg van de studie gegeven kan worden.
Het is opmerkelijk dat het bestaan van enkele elementaire deeltjes door theoretici voorspeld is,
en dat experimentatoren op basis van de gepostuleerde eigenschappen - vaak na tientallen jaren
onderzoek - het bestaan van deze deeltjes aangetoond hebben. Een voorbeeld is het neutrino
(νe , ν̄e ), dat in 1931 door Wolfgang Pauli ingevoerd werd, om de klassieke behoudswetten (energie,
impuls, impulsmoment) voor β-verval te ‘redden’. De existentie van het neutrino werd twintig
jaar later (door Cowan en Reines) direct bewezen1 . Een ander voorbeeld zijn de ijkbosonen,
W + , W − en Z 0 , die naast het foton een cruciale rol spelen in de theorie van de elektrozwakke
wisselwerking. Het bestaan van deze deeltjes kon slechts experimenteel aangetoond worden
nadat men op CERN (Geneve, Zwitserland) een geschikte deeltjesversneller, de SPS protonantiproton collider, gebouwd had2 . Ook heeft men decades met allergrootste inspanning naar het
zogenaamde Higgs-boson gezocht. Dit deeltje is nodig voor onze beschrijving van het mechanisme
van spontane symmetriebreking in de elektrozwakke ijkveldentheorie. Het bestaan van het Higgsboson is uiteindelijk in 2013 met de LHC onomstotelijk aangetoond3 .
Merk op dat er ook deeltjes zijn, waarvan het bestaan reeds enige tijd geleden gepostuleerd is,
maar die echter niet experimenteel zijn aangetoond4 . Het magnetische monopool valt in deze
klasse. Het bestaan van dit laatste deeltje is gepostuleerd om de Maxwell-vergelijkingen meer
symmetrisch te maken. Verder zijn er nog de zogenaamde tachyonen, die snelheden groter dan
1
In het zogenaamde "Poltergeist" experiment van Clyde Cowan en Frederick Reines. De laatste werd geëerd
met de Nobelprijs Natuurkunde in 1995.
2
Deze ontdekking leverde Simon van der Meer en Carlo Rubbia de Nobelprijs Natuurkunde op in 1984.
3
Tijdens het schrijven van dit dictaat (zomer 2013) voorspel ik dat dit de Nobelprijs Natuurkunde in 2013 zal
worden. Peter Higgs krijgt hem zeker, maar wie nog meer?
4
Of die slechts in experimenten voorkwamen, die niet door andere experimentatoren herhaald konden worden!
1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN
12
de lichtsnelheid hebben5 . Ook zijn er nog gepostuleerde deeltjes met namen als leptoquark,
gravitino, instanton, enz. Tenslotte zijn er deeltjes, waarvan het bestaan niet op theoretische
gronden voorspeld is, maar die desalniettemin in experimenten waargenomen werden (en waarvan
men zelfs op dit moment nog niet weet waar ze eigenlijk ‘goed voor zijn’). In deze categorie vallen
bijvoorbeeld de muonen (µ− , µ+ ), deeltjes die zich gedragen als de gewone elektronen (e− , e+ ),
maar een veel grotere massa hebben.
Het is reeds lang bekend dat de gewone materie uit moleculen bestaat, die uit ongeveer honderd
verschillende elementen samengesteld kunnen worden. Elk element bestaat uit een minuscule
atoomkern (ongeveer 100.000 keer kleiner dan het atoom) en een elektronenwolk. De elektronen,
en vooral die in de buitenste schillen en die dus het minst sterk gebonden zijn, bepalen de eigenschappen van het element voor de vaste-stof fysica, scheikunde en biologie. Vanwege de geringe
energie die in deze vakgebieden per atoom omgezet kan worden (enige eV), kan de atoomkern
als inert beschouwd worden. Enkel zijn lading en massa zijn van belang6 , en de kern kan als
ondeelbaar beschouwd worden, waarbij zijn substructuur geen enkele rol speelt.
Als hogere energieën ter beschikking staan - voor de klassieke kernfysica beschouwt men typische
energieën van enkele MeV - kan de kern aangeslagen of zelfs gespleten worden. Tegenwoordig7
weten we dat elke kern is samengesteld uit protonen en neutronen. Protonen en neutronen
zijn verschillende manifestaties van een hypothetisch kerndeeltje, genaamd het nucleon. Vroeger
dachten we dat het nucleon een elementair deeltje was, en uit gewoonte wordt dat nu soms
nog wel eens gezegd. Echter, met elementair deeltje bedoelen we dat het deeltje geen structuur
vertoont althans voorzover we dat kunnen meten. In dat licht bezien was het correct, dat we
vroeger het proton en neutron als elementair deeltje beschouwden, terwijl we nu weten dat het
nucleon opgebouwd is uit nog fundamentelere deeltjes.
Rond het jaar 1935 zag de wereld er zeer eenvoudig uit; fysici hadden voldoende aan slechts enkele
elementaire deeltjes om het universum op te bouwen. Deze deeltjes zijn gegeven in tabel 1.
Table 1: Elementaire deeltjes en hun belangrijkste eigenschappen, zoals bekend omstreeks 1935.
Deeltje
Proton
Neutron
Elektron
Neutrino
Gamma
Symbool
Rustenergie
p
n
e
νe
γ
938,27 MeV
939,57 MeV
0,511 MeV
< 2 eV
< 1 × 10−18 eV
Lading
[e]
+1
0
-1
0
0
Spin
[~]
Levensduur
1
2
1
2
1
2
1
2
> 1, 6 × 1025 jaar
882 s
> 4, 6 × 1026 jaar
> 300 s/eV
∞
1
Voor zover we tegenwoording weten is het proton stabiel (levensduur τ > 1.6 × 1025 jaar). Er
zijn diverse precisie-experimenten, die intensief speuren naar protonverval, zoals voorspeld door
een aantal theoretische modellen. Het neutron daarentegen vervalt als volgt,
n → p + e− + ν̄e ,
(1)
en zijn levensduur is gemeten aan de hoge-intensiteitsreactor van ILL in Grenoble met ultrakoude
neutronen en bedraagt
τ = (881, 5 ± 1, 5)s.
(2)
5
Het zal duidelijk zijn dat niet alle theoretici ‘enthousiast zijn’ over deze gepostuleerde deeltjes. Verder is het
onduidelijk of het mogelijk is met tachyonen een signaal (informatie) over te brengen - iets dat in conflict zou zijn
met de speciale relativiteitstheorie.
6
en soms ook het magnetische moment, bijvoorbeeld in de hyperfijnwisselwerking.
7
We verwaarlozen hier subtiliteiten als bijvoorbeeld de virtuele mesonen in het binnenste van de kern.
1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN
1.2
13
Quarks
Het zou een vergissing zijn aan te nemen dat een neutron bestaat uit een gebonden toestand van
een proton, elektron en antineutrino8 . Elektron en neutrino gelden nog steeds als (in principe
puntvormige) elementaire deeltjes. Daarentegen zijn er goede redenen om aan te nemen dat het
proton en neutron, elk met een diameter van ongeveer 2 fm (1 fm = 1 femtometer ≡ 10−15 m),
samengestelde objecten zijn. Zij zijn, net als de andere baryonen, uit telkens drie elementaire
bouwstenen, de quarks, opgebouwd. We hebben
p = (uud)
(3)
n = (udd).
(4)
en
De gluonen (ofwel lijmdeeltjes) zorgen ervoor dat de quarks gebonden zijn in het inwendige van
de nucleonen. In tabel 2 geven we de eigenschappen van de quarks. De quantumgetallen B
(baryongetal), T3 (z-component van de isospin), S (vreemdheid), C (charm), b (bottomness of
beauty), t (topness) zullen in volgende hoofdstukken besproken worden9 .
Table 2: Notatie, eigenschappen en belangrijkste quantumgetallen van de quarks.
Naam
Up
Down
Strange
Charm
Bottom
Top
Symbool
Lading
[e]
u
d
s
c
b
t
2
3
- 31
- 31
2
3
- 31
2
3
Massa
[ GeV/c2 ]
−3
2, 3+0,7
−0,5 × 10
+0,7
4, 8−0,3 × 10−3
(95 ± 5) × 10−3
1, 275 ± 0, 025
4,1 - 4,7
173, 5 ± 1, 0
Spin
[~]
B
T3
S
C
b
t
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
2
- 12
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
Sinds het mogelijk is machines te bouwen waarmee deeltjes versneld kunnen worden tot energieën
van meer dan 1 GeV, heeft men een buitengewoon groot aantal nieuwe deeltjes ontdekt, die
alle de sterke wisselwerking ondergaan. Deze deeltjes worden hadronen genoemd en kunnen in
twee groepen worden onderverdeeld, de mesonen en de baryonen. Het quarkmodel heeft het
mogelijk gemaakt om orde en systematiek te scheppen is deze warboel van deeltjes, elk met hun
merkwaardige vertegenwoordigers: de baryonen zijn uit telkens drie quarks samengesteld, terwijl
de mesonen uit een quark en een antiquark opgebouwd zijn. Belangrijk is het feit dat tot nu
toe geen vrije quarks zijn waargenomen, ondanks dat men in talrijke experimenten, veelal in de
trant van Millikan’s oliedruppeltjes experiment, intensief naar fractionele ladingen gezocht heeft
(in één opzienbarend experiment werden ladingen, die een veelvoud van 31 waren, gevonden echter, dat resultaat kon door geen enkel ander onderzoeksteam bevestigd worden). Integendeel,
er zijn zelfs goede redenen, waarom men niet verwacht geïsoleerde vrije quarks experimenteel te
kunnen vinden.
8
Een eenvoudige quantummechanische berekening laat zien, dat er teveel energie voor nodig is om een elektron
te binden binnen het volume van een kern.
9
De quantumgetallen karakteriseren een bepaalde toestand van een systeem van deeltjes. Ze zijn constant
(men zegt behouden) zolang het systeem ongestoord is. Quantumgetallen hebben te maken met behoudswetten.
Een voorbeeld is de wet van behoud van lading. Een uitzondering hierbij is de spin, want enkel het totale
impulsmoment is behouden: spin en baanimpulsmoment. Verder zijn sommige behoudswetten niet altijd strikt
geldig: zoals de wet van behoud van vreemdheid.
1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN
14
Tot nu toe zijn we niet op het begrip antimaterie ingegaan, ofschoon Paul Dirac al in 1927 een
relativistische toestandvergelijking voor het elektron had opgesteld, waaruit het bestaan van een
antideeltje voor het elektron volgt. Het bestaan van dit positron werd vervolgens aangetoond
in 1932 door Carl Anderson van het California Institute of Technologie, waarbij experimenten
met kosmische straling werden uitgevoerd10 . Tegenwoordig neemt men aan dat er voor elk
deeltje een antideeltje bestaat, met dezelfde massa, dezelfde levensduur en dezelfde spin als dit
deeltje, terwijl alle andere eigenschappen, bijvoorbeeld die met de lading te maken hebben, het
tegenovergestelde teken hebben. In enkele gevallen, zoals bijvoorbeeld bij het foton, zijn deeltje
en antideeltje identiek.
1.3
Leptonen
Naast de hadronen is er een andere klasse van deeltjes, die niet sterk wisselwerken, de leptonen11 .
Table 3: Eigenschappen van de Leptonen.
Naam
Elektron
e-Neutrino
Muon
µ-Neutrino
Tau
τ -Neutrino
Symbool
e−
νe
µ−
νµ
τ−
ντ
Lading
[e]
−1
0
−1
0
−1
0
Massa
[ MeV/c2 ]
0,511
< 15 × 10−6
105,66
< 0, 17
1777
< 24
Spin
[~]
Levensduur
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
> 4, 6 × 1026 jaar
∞?
2,197 µs
∞?
2.91 × 10−13 s
∞?
Alle elementaire deeltjes (behalve het γ quantum), die we in dit hoofdstuk hebben ingevoerd,
bezitten een halftallige spin en zijn voorbeelden van fermionen. Zij ondergaan Fermi-Dirac
statistiek. Fermionen kunnen elk slechts in paren gecreëerd (bijvoorbeeld γ → e+ + e− ) of
vernietigd worden (bijvoorbeeld e+ + e− → 2γ, 3γ). Dit suggereert het bestaan van een (of
meer) behoudswetten12 .
Voor de opbouw van de ‘normale’ wereld zijn enkel de vier deeltjes van de eerste generatie, dus
de up- en down-quarks13 , het elektron en zijn neutrino nodig. De vier bijbehorende antideeltjes
¯ e+ en ν̄e ) vindt men slechts zelden. Pas wanneer we naar hoge energieën gaan, zoals het
(ū, d,
geval is met kosmische stralen, de Big Bang of bij deeltjesversnellers, dienen we ook de andere
generaties in beschouwing te nemen. Hiermee dringt zich dan ook direct de vraag op of met
een verdere toename van de beschikbare energie weer andere deeltjesfamilies gevonden zullen
worden. Hoewel deze vraag op dit moment niet afsluitend beantwoord kan worden, is het wel zo
dat de experimenten bij LEP op CERN (vervalsbreedte van de Z 0 ) sterke aanwijzingen hebben
geleverd dat er drie en niet meer dan drie generaties van deeltjes bestaan.
10
Hij ontving hiervoor in 1936 de Nobelprijs Natuurkunde; hij was toen 31 jaar oud. Een jaar later ontdekte
hij het muon.
11
Oorspronkelijk werden de deeltjes ingedeeld aan de hand van de massa: de lichte deeltjes ofwel leptonen
(e, ν) met mc2 < 1 MeV, de middelzware deeltjes ofwel mesonen met mc2 ≈ 100 MeV en de zware deeltjes ofwel
baryonen met mc2 > 1 GeV. Deze klassificatie is echter niet zinvol: de muonen (µ) en de tau’s (τ ) gedragen zich
analoog aan het elektron, ondanks dat ze een geheel verschillende massa hebben.
12
We kunnen dit ook anders formuleren: indien de lading (of bijvoorbeeld het baryongetal) strikt behouden is,
dan kan het lichtste geladen deeltje, het elektron (of bijvoorbeeld het lichtste baryon, het proton) niet vervallen.
13
We verwaarlozen voorlopig het feit, dat in het nucleon ook een (omstreden) hoeveelheid s, s̄ en andere quarks
bijgemengd zijn. Ook worden de drie ‘kleuren’ van de quarks pas later besproken.
1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN
1.4
15
Wisselwerking en deeltjesuitwisseling
Laten we beginnen met een beschouwing uit de klassieke mechanica. De gravitatiewet geeft de
kracht tussen twee (voorlopig als puntvormig aangenomen) massa’s als
Fgrav = −ggrav
m1 m2
r̂12 .
2
r12
(5)
Uit deze krachtwet en de wetten van Newton kon bijvoorbeeld de beweging van alle planeten
in ons zonnestelsel met fantastische nauwkeurigheid worden afgeleid. Schijnbare afwijkingen
bleken later te leiden tot de grootste triomfen van het model. Zo ontdekte men in het begin van
de negentiende eeuw dat de planeet Uranus niet voldeed aan de gravitatiewet en bovendien de
behoudswetten voor energie en impulsmoment schond. De oplossing van deze discrepantie werd
in 1846 door Urbain Le Verrier en John Couch Adams gegeven: de baan van Uranus wordt door
de aantrekkingskracht van een onbekende planeet beinvloed! Uit de zeer kleine storingen van de
baan van Uranus kon zelfs de plaats van het onbekende object berekend worden. Daadwerkelijk
vond op 23 September 1846 de sterrenkundige Johann Galle, zoals men zegt: in minder dan een
half uur, binnen 1◦ van de voorspelde positie, de nieuwe planeet Neptunus. Dat was zonder twijfel
één van de grootste successen van de klassieke mechanica. In het begin van de twintigste eeuw
resteerde er in principe slechts één enkel niet begrepen effect: de periheliumverschuiving van de
planeet die zich het dichtst bij de zon bevindt, namelijk Mercurius. De afwijking van Newtons
model (slechts 43.11±0.45 boogseconde per eeuw) kon enkel door de algemene relativiteitstheorie
van Einstein verklaard worden (de berekende afwijking bedraagt 43.03 boogseconde per eeuw).
Een vergelijkbare doorbraak deed zich voor in de atoomfysica, nadat de basiswetten voor de
golfmechanica (de Schrödinger- en Diracvergelijking, alsook het Pauli-principe) ontdekt waren.
Samen met de wet van Coulomb (beter: de Maxwell-vergelijkingen),
Fem = −gem
q1 q2
2 r̂12 ,
r12
(6)
konden de ‘banen’ van de elektronen voor de eenvoudigste atomen (H, He) berekend worden.
Weer volgde er een fantastische overeenstemming tussen de berekende energieën en de zeer precies gemeten spectra. De quantumelektrodynamica (QED) werd aan steeds stringentere tests
onderworpen, en steeds volgde er dezelfde perfecte overeenstemming tussen experiment en de
berekeningen (de relatieve nauwkeurigheid is op dit moment beter dan 10−7 ).
Vanzelfsprekend wilde men, aangemoedigd door deze successen, ook in andere gebieden van de
natuurkunde een vergelijkbare nauwkeurigheid bereiken. Eerst bij de berekening van kernen en
de constituenten ervan (protonen en neutronen) en in een volgende stap, bij de synthese van het
nucleon uit zijn basiselementen, de quarks. Deze wens is tot nu toe niet in vervulling gegaan, en
in het verloop van dit college zullen we de redenen voor dat falen dienen na te gaan.
In dit hoofdstuk proberen we een overzicht van alle in de natuur voorkomende krachten te geven.
We zijn, door onze ervaring met de klassieke mechanica en elektrodynamica, gewend aan het
idee dat krachten worden overgebracht van één lichaam op het andere, door een veld. Het begrip veld is slechts een hypothese - het veld is fictief, de kracht daarentegen is aantoonbaar. In
de deeltjesfysica is het bijzonder nuttig om een ander concept in te voeren: het idee van deeltjesuitwisseling. Dit behelst dat bepaalde deeltjes ervoor zorgen dat bepaalde krachten worden
overgedragen. Naast de zwaartekracht en de elektromagnetische wisselwerking zullen we - misschien verbazingwekkend - slechts twee nieuwe krachten hoeven in te voeren, namelijk de sterke
wisselwerking en de zwakke wisselwerking14 .
14
Gedurende de laatste jaren was er regelmatig sprake van een zogenaamde vijfde kracht, die als een modificatie
1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN
16
Nadat men wist dat een kern is samengesteld uit protonen en neutronen, drong zich de vraag
op, waarom een kern, ondanks de geweldige elektrische afstoting tussen de positief geladen protonen, gebonden is. Klaarblijkelijk bestaat er een, voorlopig voor ons nog onbekende, wisselwerking die sterker is dan de elektromagnetische, en die men daarom de sterke wisselwerking of de
kernkracht15 noemt.
Uit het β-verval van bepaalde kernen (bijvoorbeeld 3 H → 3 He + e− + ν̄e ) en later ook uit het
verval van deeltjes (bijvoorbeeld µ− → e− + ν̄e + νµ ) kon het bestaan van nog een vierde kracht,
de zogenaamde zwakke wisselwerking afgeleid worden. Deze kracht wordt door geheel andere
eigenschappen gekarakteriseerd16 . In de onderstaande tabel worden enkele van de belangrijkste
eigenschappen van de krachten vermeld.
Table 4: Belangrijkste eigenschappen van krachten en de bijbehorende uitgewisselde deeltjes.
Wisselwerking
El. magn
Zwakke
Gravitatie
Kernkracht
Sterke
Sterkte
Dracht
Boson
1/137
3 × 10−12
5, 9 × 10−39
1
1
∞
10−15 m
∞
≤ 1, 4 × 10−15 m
Confinement
γ
W± , Z 0
Graviton
π ± , enz.
8 Gluonen
Massa
[ GeV/c2 ]
0
80, 91
0
0,135, ..
0
Koppelt aan
Lading
Quarks, lept.
Massa
Hadronen
Quarks
Tabel 4 laat zien dat de natuur is opgebouwd uit fermionen: quarks en leptonen; deeltjes met
halftallige spin ( 12 ), die Fermi-Dirac statistiek volgen. De onderlinge wisselwerkingen van deze
fermionen worden overgebracht door uitwisseling van andere deeltjes. Deze uitgewisselde deeltjes
zijn bosonen, hebben heeltallige spin (0, 1, 2) en gedragen zich daarom volgens de Bose-Einstein
statistiek.
Merk op dat neutrino’s slechts voor één enkele wisselwerking gevoelig zijn, namelijk de zwakke
wisselwerking, indien we aannemen dat hun massa nul is. Leptonen zijn niet gevoelig voor de
sterke wisselwerking, zodat enkel de quarks alle wisselwerkingen ondergaan.
In tabel 4 is de karakteristieke sterkte van de wisselwerking aangegeven met een dimensieloos
getal. We zullen deze procedure toelichten aan de hand van de elektrostatische potentiaal. De
potentiële energie van twee elementaire ladingen, die zich op een afstand r van elkaar bevinden,
bedraagt
1 q1 q2
e2
1
1
Uem =
→(
)~c = αem ~c .
(8)
4π0 r
4π0 ~c
r
r
van de gravitatiepotentiaal ingevoerd werd:
Vgrav = −ggrav
r
m1 m2
(1 − αe− λ ).
r12
(7)
Een heranalyse door Fischbach (1986) van de oude data van Eötvos resulteerde aanvankelijk in α ≈ 7 × 10−3
en λ ≈ 100 − 1000 m. Fischbach’s publicatie gaf aanleiding tot een serie nieuwe experimenten (waaronder zeer
geraffineerde metingen met torsieslingers), die aanvankelijk ook aanwijzingen gaven voor het bestaan van zo’n
vijfde kracht met een middellange reikwijdte. Men is bezig met een nieuwe reeks zorgvuldige experimenten en
de voorlopige resultaten duiden erop dat de effecten te verklaren zijn, zonder dat een additionele wisselwerking
ingevoerd dient te worden.
15
Teneinde verwarring te voorkomen zullen we in het vervolg spreken over de kernkracht, als we de wisselwerking
van baryonen en mesonen bedoelen en daarbij hun inwendige structuur, welke bij lage energieën niet van belang is,
verwaarlozen. Daarentegen bedoelen we met de sterke wisselwerking die krachten, die tussen de quarks werkzaam
zijn.
16
De zwakke wisselwerking schendt bijvoorbeeld, zoals we later nog uitvoerig zullen bespreken, de pariteit ofwel
spiegelsymmetrie.
1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN
We vinden dan
αem =
e2
1
=
,
4π0 ~c
137, 036
17
(9)
waarbij ~ de constante van Planck is (gedeeld door 2π) en c de lichtsnelheid. Merk op dat
~c = 197.328 MeV·fm.
Analoog vinden we voor de gravitatie van twee protonen de energie
Ugrav = −ggrav
m2p 1
m1 m2
1
→ −ggrav
~c = −αgrav ~c ,
r
~c r
r
(10)
waarbij
αgrav = ggrav
m2p
= 5, 9 × 10−39 .
~c
(11)
Voor zowel de zwakke wisselwerking, αF = 3×10−12 , als de sterke wisselwerking, αS = 0, 07−14,
zijn in de literatuur ook andere normeringen gebruikelijk.
Figuur 1: Grafisch overzicht van de elementaire bouwstenen (fermionen) en deeltjes die wisselwerkingen realiseren (bosonen) in het Standaard Model van de deeltjesfysica.
Fig. 1 toont de bouwstenen van het Standaard Model van de deeltjesfysica: leptonen en quarks.
De bouwstenen zijn georganiseerd in drie generaties. Verder worden de bosonen getoond die
verantwoordelijk zijn voor de verschillende wisselwerkingen, samen met het Higgs-deeltje dat
verantwoordelijk is voor elektrozwakke symmetriebreking.
Door het uitvoeren van nucleon-nucleon verstrooiingsexperimenten heeft men vastgesteld dat
− ≈ 1, 4 fm). In de eenvoudigste benadering (en met
de kernkracht een eindige dracht heeft (λ
1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN
18
verwaarlozing van alle spineffecten) kan de kernkracht gevonden worden uit
1 r
Ukern ≈ −αS ~c e− −λ .
r
(12)
De Japanse fysicus Hideki Yukawa heeft reeds in 1935 de suggestie gedaan, dat deze kracht
overgebracht kan worden door uitwisseling van deeltjes met een rustenergie van
mc2 =
~c
≈ 140 MeV.
−
λ
(13)
Daadwerkelijk werden deze deeltjes dan ook17 in 1947 door Cecil Powell, hij werkte in laboratoria
in het hoogggebergte (o.a. in de Andes op 5000 m hoogte), via sporen in fotografische emulsies
gebruikt in kosmische stralingsexperimenten aangetoond. Het gaat hier om de drie pionen, π + ,
π − (genoteerd als π ± ) en π 0 .
Een exacte afleiding van het verband tussen de vorm van de Yukawa-potentiaal en de massa van
het uitgewisselde deeltje kan pas later gegeven worden. We beperken ons hier tot een heuristisch
argument: Indien een uitwisselingsdeeltje met een van nul verschillende massa door een nucleon
geëmitteerd wordt, bijvoorbeeld mπ , dan gaat dit altijd gepaard met het schenden van de wet van
behoud van energie. Deze energie, mπ c2 , mag door het nucleon ‘geleend’ worden, mits het wordt
‘terugbetaald’ binnen een tijd ∆t18 . De onzekerheidsrelatie ‘laat zulks toe’ voor een beperkte
tijdsduur ∆t, waarbij
∆E∆t = mπ c2 · ∆t ≈ ~.
(14)
In deze tijd kan het deeltje hooguit een afstand
−
λ = c · ∆t ≈
~c
mπ c2
(15)
afleggen, en die kan worden geïnterpreteerd als de dracht van de desbetreffende kracht.
We zijn er nu aan gewend dat de krachtwetten voor gravitatie19 en de elektromagnetische wisselwerking er zeer eenvoudig uitzien. Dit is echter geenszins het geval voor de kernkracht. Integendeel, deze krachtwet is zeer gecompliceerd. We zullen er enkele aspecten uitlichten.
1. De radiële afhankelijkheid is ingewikkeld en kan in ruwe benadering beschreven worden
door een superpositie van verschillende Yukawa-potentialen. De reden van de ingewikkelde
radiële afhankelijkheid is het feit dat er verschillende mesonen bestaan, die elk een bijdrage
tot de nucleon-nucleon wisselwerking geven.
2. Er zijn oneindig veel deelprocessen, die in een exacte berekening allemaal meegenomen dienen te worden. In QED convergeert de bijbehorende reeks, omdat de koppelingsconstante
(αem ≈ 1/137) klein is. Dat is echter niet het geval in de kernfysica (αS ≈ 1). In dat geval
is uitwisseling van één pion even waarschijnlijk als uitwisseling van N pionen.
3. De interactiepotentiaal is niet centraal, maar bevat diverse componenten die van de spin
afhangen. Van belang zijn de spin-spin koppeling, de spin-baan koppeling en de tensorinteractie.
17
Na enkele dwalingen, want aanvankelijk werden in 1937 muonen ontdekt door Carl Anderson en Neddermayer
in experimenten met kosmische straling. Muonen hebben echter totaal niets te maken met de sterke wisselwerking.
18
Omdat de energie op tijd teruggegeven dient te worden, de wet van behoud van energie is immers geschonden,
noemt men zo’n deeltje een virtueel deeltje. Het kan experimenteel niet worden waargenomen.
19
Uiteraard hebben we het nu niet over de complicaties die voortvloeien uit de algemene relativiteitstheorie.
1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN
19
4. De interactie is bijzonder slecht bekend voor kleine afstanden tussen de nucleonen (r < 1
fm). Vermoedelijk dienen ook niet-lokale componenten in rekening gebracht te worden.
5. Er zijn aanwijzingen voor het bestaan van meer-deeltjes krachten. Dit betekent dat de
wisselwerking tussen twee nucleonen verandert, als er nog een derde (of meer) hadron
in het interactiegebied gebracht wordt. De grootte van deze meer-deeltjes kracht is nog
onbekend en wordt daarom op dit moment in veel experimenten met drie-nucleon systemen
onderzocht.
We verbazen ons tegenwoordig niet meer over deze gecompliceerde vorm van de nucleon-nucleon
interactie. We weten immers dat de nucleonen en mesonen zelf een inwendige structuur hebben
en uit meerdere deeltjes (de quarks, antiquarks en gluonen) zijn samengesteld.
De kernkracht is terug te voeren tot de onderliggende sterke wisselwerking, die de quarks (en antiquarks) door middel van gluonen samenbindt. De potentiaal tussen een quark en een antiquark,
die samen een meson vormen, bevat twee termen,
V (r) ≈ −
4 αS
+ λr.
3 r
(16)
In een zeer vereenvoudigde voorstelling komt de eerste term overeen met de verwachte bijdrage
van de uitgewisselde massaloze gluonen, terwijl de tweede term (de zogenaamde confinement
term) ermee te maken heeft dat de quarks (vanwege hun kleur) zich niet uit het hadron kunnen
vrijmaken. Als het ware zijn ze in een kleurloze wereld veroordeeld tot eeuwige opsluiting.
Veel fysici hebben, ondanks tientallen jaren van frustratie, de hoop niet opgegeven, dat alle vier
de wisselwerkingen zich uiteindelijk zullen laten verenigen in één enkele theorie. Als dat lukt leidt
dat tot unificatie van alle interacties, waarbij alle krachten manifestaties zijn van verschillende
aspecten van slechts één enkele interactie. Tot nu toe is dat wel gelukt met de zwakke en
de elektromagnetische wisselwerking. Het zogenaamde Standaard Model van de elektrozwakke
interactie van Glashow, Salam en Weinberg (1961) laat bijvoorbeeld toe het β-verval van deeltjes
en kernen te begrijpen en met goede nauwkeurigheid te berekenen. Hetzelfde model beschrijft
ook de zogenaamde neutrale stromen en de creatie van de intermediare vectorbosonen van de
zwakke wisselwerking bij elektron-positron botsers.
Tenslotte, merken we nog op dat de gravitatiekracht dermate zwak is (αgrav ≈ 6 × 10−39 ), dat
ze in de kern- en deeltjesfysica tot nu toe geen rol schijnt te spelen. We zullen haar dan ook
in het vervolg verwaarlozen. Het uitwisselingsdeeltje is het nog niet experimenteel aangetoonde
graviton, een deeltje met spin 2.
1.5
1.5.1
Beschrijven van deeltjesinteracties met Feynmandiagrammen
Quantumveldentheorie
Als we de processen in de subatomaire fysica willen beschrijven dan dienen we hiervoor quantumveldentheorie te gebruiken. Dit is een quantummechanische theorie die processen kan beschrijven waarbij deeltjes, beschouwd als quanta van een veld, ontstaan of verdwijnen. Het veld
is een complexe functie van ruimte-tijd coördinaten en beschrijft de toestand van het systeem.
De beschrijving wordt in overeenstemming gebracht met de eisen van de quantummechanica door
het veld te quantiseren.
Paul Dirac was de eerste fysicus die erin slaagde (in 1927) een gequantiseerde veldentheorie
op te stellen. Deze theorie beschreef de emissie en absorptie van fotonen en luidde het begin
in van de ontwikkeling van de relativistische quantumelektrodynamica (QED). Dat de speciale
relativiteitstheorie een essentiële rol speelt is duidelijk, omdat deeltjes gecreëerd en geannihileerd
1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN
20
worden en dus in deze processen energie wordt omgezet in materie en omgekeerd. Ook bewegen
de deeltjes zich vaak met zulk hoge snelheden, dat de niet-relativistische mechanica van Newton
niet toepasbaar is. Quantummechanica is een andere noodzakelijke component, vanwege het
bestaan van zowel quantumniveaus als quantummechanische interferentie fenomenen. De nietrelativistische quantummechanica is echter inadequaat voor de beschrijving van de subatomaire
wereld. Dit kan eenvoudig duidelijk gemaakt worden door de golffunctie ψ(x, t) van een deeltje
te beschouwen. De normalisatie is gegeven door
Z ∞Z ∞Z ∞
ψ ∗ (x, t)ψ(x, t)d3 x = 1,
(17)
−∞
−∞
−∞
en het deeltje dient op elk moment ergens gevonden te worden. Dit is echter inconsistent met
het concept van creatie en annihilatie van deeltjes, hetgeen veelvuldig in subatomaire fysica
processen voorkomt.
Een gedetailleerde beschrijving van deze processen voor de elektrozwakke en sterke wisselwerkingen wordt later in het college gegeven. Het is hier wel mogelijk om de elementaire processen
grafisch voor te stellen met zogenaamde Feynmandiagrammen. Oorspronkelijk zijn deze diagrammen door Richard Feynman ingevoerd als een soort boekhoudkundige notatie, waarbij elk
diagram een representatie is van een individuele term in de berekening van het matrixelement
dat de overgangswaarschijnlijkheid voor een specifiek proces in de quantumelektrodynamica beschrijft. De exacte rekenregels voor Feynmandiagrammen kunnen verkregen worden in de relativistische veldentheorie door gebruik te maken van wiskundige constructies zoals Hilbert-ruimte,
veldoperatoren en commutatieregels20 .
1.5.2
Quantumelektrodynamica
Einstein poneerde in 1905 dat het elektromagnetische stralingsveld uit energiequanta of fotonen bestaat. Elektromagnetische straling en dus fotonen kunnen worden opgewekt door geladen
deeltjes. Ook kan straling verdwijnen door de wisselwerking met geladen deeltjes. QED is de
theorie die het ontstaan en verdwijnen van quanta van het veld kan beschrijven. Niet alleen de
fotonen kunnen ontstaan en verdwijnen, maar ook de geladen deeltjes zelf. Deeltjes-antideeltjes
(bijvoorbeeld elektron-positron) paren kunnen gecreëerd en geannihileerd worden in de interactie
met het veld. Fig. 2 toont enkele Feynmandiagrammen die de basisprocessen van de elektromagnetische interactie weergeven.
De pijlen op de fermionlijnen geven de stroomrichting van het fermiongetal aan en in dit geval
ook dat van lading. De vertex die de elektromagnetische interactie beschrijft heeft de structuur
f¯Qf γ, waarbij f het fermion voorstelt, γ het foton en Q de ladingsoperator werkend op f . De
fermionen kunnen bestaan uit quarks en geladen leptonen.
Een exacte beschrijving is uitermate gecompliceerd, omdat men zich hele reeksen diagrammen kan
voorstellen waarbij het stralingsveld geladen deeltjes creëert, die dan door hun elektromagnetische
velden weer straling doen ontstaan, enz. De uitgewisselde deeltjes zijn niet waarneembaar en
bestaan slechts voor een tijd gelimiteerd door de onzekerheidsrelatie. We noemen dergelijke
deeltjes virtueel. QED is zo geformuleerd dat de berekeningen worden uitgevoerd in een soort
1
storingsreeks in de fijnstructuurconstante α ≈ 137
, waarbij iedere hogere orde in α overeenkomt
met een extra term in de reeks van wisselwerkingen.
Bijvoorbeeld kunnen we het eerste diagram in Fig. 2 identificeren met de interactie van het
magnetisch moment van een fermion met massa m met een extern magnetisch veld met sterkte
20
Een andere methode maakt gebruik van de zogenaamde actie en beschrijft de ontwikkeling van een quantumsysteem in de tijd in termen van de padintegraal van deze actie.
1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN
21
Figuur 2: Feynmandiagrammen die de basisprocessen weergeven, waarbij fermionen en antifermionen wisselwerken met fotonen. In alle diagrammen neemt de tijd toe van links naar
rechts. Een pijl die naar rechts (links) wijst duidt op een fermion (antifermion).
|B|. De energie eigenwaarden volgen uit E = −~
µS · B, en het intrinsieke magnetisch moment
µ
~ S is gerelateerd aan de spin vector S als µ
~ S = gµB S, waarbij g de Landé g-factor genoemd
wordt. Het magnetisch moment van het elektron is nauwkeurig gemeten en bedraagt µe =
1.001 159 652 193(10) µB . Geavanceerde QED berekeningen geven
2
3
|g|−2
ath
= 12 απ − 0.328 478 966 απ + 1.176 απ + · · ·
e ≡
2
(18)
= 1 159 652 247 × 10−12 ,
waarbij de uitkomst van de berekeningen in perfecte overeenstemming is met het experimentele
resultaat.
De berekeningen bevatten hogere-orde termen en het is duidelijk dat correctietermen van de orde
α, α2 , ... overeenkomen met de emissie van 1, 2, ... virtuele fotonen op het moment dat het
lepton de interactie aangaat met het externe elektromagnetische veld. Fig. 3 geeft een overzicht
van de Feynmandiagrammen die nodig zijn om de α3 correcties tot het magnetisch moment van
leptonen te berekenen.
Zoals reeds vermeld kunnen de processen die voorgesteld zijn door de diagrammen in Fig. 2 niet
voorkomen in de vrije ruimte. Elk diagram voldoet aan de behoudswetten voor lading, impuls
en impulsmoment. Als men aanneemt dat de deeltjes een fysische massa hebben, dan kan men
echter eenvoudig nagaan dat de wet van behoud van energie is geschonden. Eist men aan de
andere kant dat voldaan is aan energiebehoud, E 2 = p2 +m2 , dan hebben de deeltjes geen fysische
massa: ze liggen niet op de massaschil. De processen zijn virtueel en om een reëel proces te maken
dienen twee of meer virtuele processen zodanig gecombineerd te worden dat energiebehoud slechts
1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN
22
Figuur 3: Feynmandiagrammen die de α3 correcties weergeven nodig voor de berekening van
het magnetisch moment van leptonen.
geschonden is voor een korte tijd τ , in overeenstemming met de onzekerheidsrelatie voor energie
en tijd, τ ∆E ∼ ~.
Fig. 4 toont de belangrijkste Feynmandiagrammen voor elektron-elektron verstrooiing, e− +e− →
e− + e− . Zoals gebruikelijk neemt tijd weer toe van links naar rechts. Het is mogelijk het linker
diagram in Fig. 4 zodanig te ‘vervormen’, dat het rechter diagram verkregen wordt. Diagrammen
die op een dergelijke wijze topologisch aan elkaar verwant zijn, heten tijd-geordende diagrammen.
Het is gebruikelijk dat men slechts één van dergelijke diagrammen tekent, waarbij het bestaan
van de andere diagrammen impliciet wordt aangenomen.
1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN
23
Figuur 4: Feynmandiagrammen die de één-foton uitwisselingsbijdrage weergeven voor elektronelektron verstrooiing.
Figuur 5: Feynmandiagrammen die twee-foton uitwisselingsbijdragen weergeven voor elektronelektron verstrooiing.
Fig. 5 toont Feynmandiagrammen voor twee-foton uitwisselingsbijdragen tot het proces e− +
e− → e− + e− . Iedere vertex vertegenwoordigt een fundamenteel QED proces waarvan de
bijdrage tot de overgangswaarschijnlijkheid in de orde α ≈ 1/137 1 is. Dit betekent dat
de één-foton uitwisselingsbijdrage tot het elektron-elektron verstrooiingsproces van de orde α2
is, terwijl de twee-foton uitwisseling een bijdrage levert van de orde α4 . In goede benadering
kunnen de bijdragen van twee- (or meer) foton uitwisseling in het algemeen dan ook verwaarloosd
worden.
De fotonen geschetst in figuren 4 en 5 zijn virtuele deeltjes (en zijn bijvoorbeeld niet massaloos).
De uitwisseling van een massaloos foton komt overeen met de Coulomb-potentiaal en die heeft
een oneindige dracht. Grofweg zouden we ons de deeltjesuitwisseling als volgt kunnen voorstellen:
als twee ladingen q1 = Q1 e en q2 = Q2 e zich op een afstand r van elkaar bevinden, dan kunnen
er volgens de onzekerheidsrelatie fotonen met een impulsoverdracht
∆p · r ≈ ~
(19)
1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN
24
uitgewisseld worden. Elk foton heeft een tijd ∆t ≈ r/c nodig om de afstand tot de andere lading
te overbruggen. De gemiddelde kracht f¯, is volgens Newton te berekenen uit
∆p
~c
f¯ =
= 2.
∆t
r
(20)
Het aantal uitgewisselde fotonen is evenredig met het product van de ladingen en de koppelingsconstante αem . Hieruit volgt dan de bekende wet van Coulomb
FCoulomb = α~c
Q1 Q2
.
r2
(21)
Wellicht zal dit microscopisch beeld aanvankelijk niet als erg bevredigend ervaren worden. Het
is bijvoorbeeld moeilijk te begrijpen hoe een, in dit geval, aantrekkende Coulomb-kracht tot
stand komt. Echter, wat bepalend is, is het succes van deze theorie, die deeltjesuitwisseling als
fundament heeft. QED is op dit moment een van de beste theorieën. Hiermee is het mogelijk
processen, die onder invloed van de elektromagnetische wisselwerking verlopen, te berekenen met
een ongekende nauwkeurigheid (met een relatieve nauwkeurigheid van 10−7 en beter!).
1.5.3
Quantumchromodynamica
De sterke wisselwerking tussen quarks wordt met een relativistische veldentheorie beschreven
die quantumchromodynamica (QCD) heet. Het quark komt in drie kleurtoestanden voor die we
aanduiden met rood r, groen g, en blauw b. Voor het antiquark hebben we de antikleuren r̄, ḡ
en b̄. De drie onafhankelijke kleur golffuncties van een quark worden uitgedrukt door middel van
zogenaamde kleur spinoren
 
 
 
1
0
0
r =  0 , g =  1 , b =  0 .
(22)
0
0
1
Het verschil met QED is de vervanging van de lading Q door acht kleurladingen21 gc Fa die
koppelen aan acht gluonen.
De vertex die deze interactie beschrijft heeft de structuur
gc q̄Fa qGa = gc q̄
λa
qGa ,
2
(23)
waarbij q het quark voorstelt, Ga het gluon, en gc de sterkte van de kleurkoppeling is. De
Gell-Mann matrices zijn acht 3 × 3 hermitische matrices waarvan het spoor gelijk is aan nul.






0 1 0
0 −i 0
1
0 0
0 0  λ3 =  0 −1 0 
λ1 =  1 0 0 
λ2 =  i
0 0 0
0
0 0
0
0 0


0 0 1
λ4 =  0 0 0 
1 0 0




0 0 −i
0 0 0
0  λ6 =  0 0 1 
λ5 =  0 0
i 0
0
0 1 0

0 0
0
λ7 =  0 0 −i  λ8 =
0 i
0



1 0
0
√1  0 1
0 
3
0 0 −2
(24)
1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN
25
Figuur 6: Feynmandiagrammen die de fundamentele processen weergeven die optreden in de
sterke wisselwerking. In analogie met QED vindt men ook in QCD de quark-gluon interacties.
Daarnaast onderscheidt men echter nog de gluon zelfinteracties.
Fig. 6 geeft een schematische weergave van enkele diagrammatische bouwstenen
√ van QCD. We
22 dat de koppeling van de interactie ggG de sterkte g /2 3 heeft, omdat
zien bijvoorbeeld
8
c
√
g T λ8 g = 1/ 3). In de praktijk zullen we echter nooit de sterkte van de kleuren afzonderlijk
beschouwen, omdat we altijd over alle kleuren in een hadron sommeren. De koppelingsconstante
van de sterke wisseling, αS = g 2 /4π, is afhankelijk van de energieschaal waarop het hadronische
systeem experimenteel onderzocht wordt met bijvoorbeeld elektronenverstrooiing.
Figuur 7: Overzicht van de waarden voor αs (Q) voor de waarden van Q waarbij metingen zijn
uitgevoerd.
Fig. 7 geeft een schematische weergave van het gedrag van de koppelingsconstante voor de sterke
wisselwerking als functie van de overgedragen vierimpuls, Q. Men ziet duidelijk de afname van
21
Volgens de groepentheorie vormen de 3 ⊗ 3 kleur-antikleur combinaties
toestanden georganiseerd in twee
p
multipletten: een singlet en een octet. De singlet kleurtoestand 1/3(rr̄ + gḡ + bb̄) is op een symmetrische
wijze geconstrueerd uit de drie kleuren en antikleuren en is invariant met betrekking tot een herdefinitie van de
kleuren (een zogenaamde rotatie in de kleurruimte). Het heeft daarom geen effect in de kleurruimte en wordt niet
uitgewisseld tussen kleurladingen.
22
We bedoelen in dit voorbeeld de koppeling van twee "groene" quarks aan een gluon van het type G8 .
1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN
26
αs (Q) met toenemende Q. Bij hoge energieën is de QCD-koppeling klein, hetgeen leidt tot het
principe van asymptotische vrijheid. In dit domein is het weer mogelijk processen uit te rekenen
met behulp van een ‘storingsreeks’ en men spreekt van perturbatieve QCD (pQCD).
Het gluon heeft met het foton gemeen dat beide massaloos zijn. Er is echter ook een belangrijk
verschil. Bij de koppeling van de geladen deeltjes aan de veldquanta van het elektromagnetische
veld (fotonen) blijft de lading van de deeltjes hetzelfde, omdat het foton zelf geen lading heeft. De
quanta van de velden van de sterke wisselwerking, de gluonen, dragen echter tegelijkertijd zowel
een kleur- als een antikleurlading, zodat de quarks bij het koppelen aan gluonen hun kleurlading
kunnen veranderen. Dit leidt tot een andere vorm van de kracht tussen de kleurladingen in QCD
dan die van de ladingen in QED. Men neemt aan dat dit, samen met de gluon zelfinteractie,
de oorzaak is van de permanente opsluiting, confinement, van de quarks en antiquarks in de
hadronen.
1.5.4
Elektrozwakke wisselwerking
Net zoals het geval is voor de elektromagnetische als voor de sterke wisselwerking, is ook de
zwakke wisselwerking geassocieerd met bosonen die de krachten overbrengen tussen de quarks
en/of leptonen. Terwijl in de eerste twee gevallen deze bosonen massaloze deeltjes zijn, hebben
de bosonen die optreden in de zwakke wisselwerking een relatief hoge massa, MW = 80.3 GeV
en MZ = 91.2 GeV. In het begin van de jaren zestig zijn Glashow, Salam en Weinberg erin
geslaagd een theorie te ontwikkelen die leidde tot unificatie van de elektromagnetische en zwakke
interacties. Deze theorie voorspelde dat er naast het foton een neutraal vector-boson, de Z0 ,
dient te bestaan. Verder zijn er de geladen vector-bosonen W+ en W− .
Figuur 8: Feynmandiagrammen die enkele van de fundamentele processen weergeven, waarbij
fermionen en antifermionen wisselwerken met de geladen stromen, W+ en W− . Verder komen
er nog tri- en quadrilineaire vectorboson en Higgs-koppelingen voor. De fermionvrijheidsgraden
bestaan zowel uit leptonen als quarks.
Fig. 8 geeft de Feynmandiagrammen voor de fundamentele processen waarbij geladen stromen
koppelen aan leptonen en quarks23 .
23
We geven hier enkel de koppeling voor het hypothetische geval van lepton-quark symmetrie, waarbij quark
1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN
27
Figuur 9: Feynmandiagrammen die de koppeling met het foton en de neutrale stroom gedragen
door de Z0 aan leptonen en quarks weergeven voor de geünificeerde elektrozwakke wisselwerking.
In Fig. 9 geven we een overzicht van de Feynmandiagrammen die de processen met neutrale
stromen weergeven die optreden in de elektrozwakke wisselwerking.
Figuur 10: Voorbeelden van deeltjesverval onder invloed van de zwakke wisselwerking. We
onderscheiden a) hadronisch verval, zoals het Λ-verval; b) leptonisch verval, zoals het verval van
het muon; c) semi-leptonisch verval, zoals het neutron-verval.
Het zal duidelijk zijn dat de fundamentele processen die optreden in de elektrozwakke theorie aanleiding zullen geven tot een veelheid van fysische processen. Men onderscheidt bijvoorbeeld hadronische, leptonische en semi-leptonische vervalprocessen. Enkele voorbeelden worden
gegeven in Fig. 10.
Ook in de elektrozwakke theorie is het mogelijk hogere-orde bijdragen te berekenen. In het
mixing verwaarloosd wordt.
1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN
28
Figuur 11: Hogere-orde elektrozwakke correcties die bijdragen tot het proces van omgekeerd
muon-verval.
algemeen kunnen dergelijke correcties verwaarloosd worden, echter in sommige gevallen24 zijn
deze processen dominant. Fig. 11 geeft een voorbeeld van tweede-orde correcties tot het proces
van omgekeerd muon-verval.
1.6
Spin en statistiek
Tenslotte zullen we in dit hoofdstuk ingaan op een wezenlijk verschil tussen fermionen en bosonen25 . Dit verschil heeft te maken met de spin van het deeltje. Spin is een zuiver quantummechanische eigenschap, die een maat is voor het intrinsieke impulsmoment. Er is geen analogie in
de klassieke mechanica, alhoewel we ons dan vaak het deeltje voorstellen als een snel rond zijn as
draaiende tol. De grootte van de spin (het is een vectorgrootheid) wordt uitgedrukt in eenheden
van ~. De waarde van de spin is, net als het baanimpulsmoment, gequantiseerd.
Deeltjes met halftallige spin ( 12 , 32 , enz.) volgen Fermi-Dirac statistiek, terwijl deeltjes met
heeltallige spin (0, 1, enz.) voldoen aan Bose-Einstein statistiek. Dit heeft tot gevolg dat
de fermionen slechts in paren gecreëerd en geannihileerd kunnen worden (bijvoorbeeld γ →
e− + e+ ). Bosonen daarentegen kunnen in willekeurig aantal geproduceerd en geannihileerd
worden (bijvoorbeeld p + p → p + p + nπ, n = 1, 2, ..), indien de andere behoudswetten dat
toestaan.
Het spin-statistiek theorema (|ψ|2 mag niet veranderen) bepaalt nu dat voor de golffunctie ψ,
van twee identieke deeltjes, moet gelden dat
bosonen :
fermionen :
ψ(1, 2) → +ψ(2, 1) symmetrisch,
ψ(1, 2) → −ψ(2, 1) antisymmetrisch,
(25)
in het geval dat beide deeltjes verwisseld worden.
Indien twee fermionen precies dezelfde quantumgetallen hebben, en zich dus in dezelfde toestand
bevinden, dan moet ψ gelijk zijn aan nul (het zogenaamde principe van Pauli). Daarentegen
24
25
Zoals in het voorbeeld van K 0 − K 0 oscillaties.
Wolfgang Pauli, Physical Review 58 (1940) 716.
1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN
29
bezetten meerdere bosonen ‘bij voorkeur’ dezelfde toestand (zoals bijvoorbeeld van toepassing is
in een laser). Schrijven we de golffunctie van twee deeltjes als een product van een plaatsgolffunctie en een factor die de spinoriëntatie bepaalt,
ψ = ψp (plaats)ψs (spin),
(26)
dan moet de totale golffunctie symmetrisch of antisymmetrisch zijn. Indien de plaatsgolffunctie
als volgt geschreven kan worden,
ψp (plaats) = ψ(r)Ylm (θ, φ),
(27)
waarbij r de afstand tussen beide deeltjes is en l hun relatief baanimpulsmoment, dan volgt bij
verwisseling van de deeltjes in het zwaartepunt,
θ → π − θ, en φ → φ + π,
(28)
ψp (plaats) → (−1)l ψp (plaats).
(29)
en hiermee
De plaatsgolffunctie is dus symmetrisch voor even l en antisymmetrisch voor oneven l. Bij
identieke deeltjes moet dan de spingolffunctie, naar gelang de deeltjessoort, symmetrisch of
antisymmetrisch gekozen worden. We krijgen bijvoorbeeld voor J1 = J2 = 12 een symmetrische
golffunctie voor de triplettoestand (J = 1, Jz = 0, ±1) en een antisymmetrische golffunctie voor
de singlettoestand (J = 0, Jz = 0).

 | ↑↑>
√1 {| ↑↓> +| ↓↑>}
ψs (spin) =
symmetrisch
 2
| ↓↓>
(30)
ψs (spin) =
√1 {|
2
↑↓> −| ↓↑>}
antisymmetrisch
Om het belang van symmetrieën te demonstreren, beschouwen we het verval van een neutraal
ρ-meson in twee neutrale pionen, dus ρ → 2π 0 . Het zogenaamde ρ-deeltje is een voorbeeld van
een vectormeson, en zoals we later zullen zien bezitten deze mesonen een spin J = 1. De pionen
zijn ongeladen en dragen geen spin, en hun spingolffunctie ψs , is dan ook symmetrisch. Omdat
de pionen identieke bosonen zijn, dient hun totale golffunctie symmetrisch te zijn, en er dient
nu te gelden dat de plaatsgolffunctie ψp , symmetrisch is. Dit betekent dat de gecreëerde pionen
een even totaal-impulsmoment dienen te hebben. Omdat we een ρ-meson met spin J = 1 in de
begintoestand hebben, is het verval dus verboden door de wet van behoud van impulsmoment
en Bose-symmetrie.
1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN
1.7
1.7.1
30
Uitgewerkte opgaven
Unificatie
We nemen aan dat de subatomaire wereld is opgebouwd uit twaalf fundamentele fermionen, zes
quarks en zes leptonen, die gerangschikt kunnen worden in drie ‘generaties’ met toenemende
massa:




c
t
u
 d  s  b 




(31)
 e  µ  τ .
νµ
ντ
νe
De analogie tussen de quarks en leptonen is opvallend en het lijkt of de verschillende generaties
replicas van elkaar zijn. We vragen ons af of dat betekent dat er een of andere fundamenteel verband is tussen de quarks en leptonen. Zijn de quarks en leptonen bronnen van een fundamenteel
geünificeerd elektrozwak veld?
Figuur 12: De energie (Q) afhankelijkheid van de koppelingsconstanten αi ≡ gi2 /4π. Speculatieve ‘grand unificatie’ van de sterke (SU (3)kleur ) en elektrozwakke (SU (2)L ⊗ U (1)Y ) wisselwerkingen treedt op bij korte afstanden 1/Q ≈ 1/MX .
In de quantumveldentheorie blijkt dat de koppelingsconstanten voor de sterke, zwakke en elektromagnetische wisselwerkingen afhangen van de afstand tot de bron. Op korte afstand, overeenkomstig met hoge energie, neemt de fijnstructuurconstante in sterkte toe, terwijl de sterke en zwakke
koppelingen afnemen. We hebben dat schematisch weergegeven in figuur 12. De afstand voor
unificatie is r ≈ 10−31 m, en op deze schaal zouden quarks en leptonen kunnen wisselwerken
via zogenaamde X bosonen met spin 1. De korte dracht van de interacties impliceert een massa
MX ≈ 1015 GeV. Hoewel dergelijke extreem hoge energieën tegenwoordig niet in laboratoria geproduceerd kunnen worden, hebben ze in grote rol gespeeld in de beginfase van de Big Bang. Een
belangrijke eigenschap van GUTs (Grand Unified Theories) is dat quarks en leptonen behoren tot
supermultipletten en dat er transities tussen quarks en leptonen kunnen plaatsvinden die geïnduceerd worden door de X bosonen. Dit heeft tot gevolg dat baryongetal (en de leptongetallen)
niet behouden is en het proton dan ook een instabiel deeltje is.
Zoals figuur 13 toont, kan het proton bijvoorbeeld vervallen via de reactie p → e+ π 0 . Net zoals
bij lage energieën het zwakke verval, van bijvoorbeeld het neutron, onderdrukt is door de hoge
massa van de Z en W bosonen, is het protonverval sterk onderdrukt door de hoge massa van
1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN
31
het hypothetische X boson. Dit ondanks het feit dat de koppelingsconstanten van dezelfde orde
van grootte zijn. Experimenten die protonverval meten zijn derhalve van groot belang om onze
ideeën met betrekking tot grand unificatie te testen.
Figuur 13: Een mogelijk mechanisme voor het verval van het proton via de reactie p → e+ π 0 .
De interactie wordt in dit soort processen overgebracht door X bosonen, de ijkdeeltjes in GUTs.
De tijdrichting is verticaal.
Hoe zit het met gravitatie? Tot nu toe hebben we deze wisselwerking steeds buiten beschouwing
gelaten. We weten echter dat de koppeling afhangt van de afstand, en het blijkt dat de koppeling
voor gravitatie toeneemt met de energie. Gravitatie wordt belangrijk bij de zogenaamde Planck
massa, die gegeven wordt door
r
~c
mP =
≈ 1019 GeV,
(32)
G
waarbij G = 6.67 × 10−11 Nm2 /kg2 de gravitatieconstante is. We zien dat de Planck schaal nog
veel hoger ligt dan de schaal voor GUTs. Er zijn verschillende pogingen ondernomen om ook
gravitatie te incorpereren in de unificatie en er is bijvoorbeeld het supergravity model. Of een
dergelijke theorie, die alle natuurkrachten in een enkele geünificeerde theorie beschrijft, bestaat,
is op dit moment niet aan te geven.
1.7.2
Quantumchromodynamica
Opgave: In QED wordt de sterkte van de elektromagnetische koppeling tussen twee quarks
gegeven door e1 e2 α, waarbij ei de elektrische lading is in eenheden van e (en dus ei = + 32 of
− 13 ) en α is de fijnstructuurconstante. Analoog is in QCD de sterkte van de koppeling voor
de één-gluon uitwisseling tussen twee kleurladingen gelijk aan 12 c1 c2 αs , waarbij c1 en c2 de
kleurcoëfficiënten zijn van de vertices. We noemen CF ≡ 12 |c1 c2 | de kleurfactor.
Opgave a): Hoeveel verschillende gluonen kunnen de interactie tussen twee rode quarks overbrengen?
Antwoord: De interactie tussen twee rode quarks kan overgebracht worden door de gluonen
(rr̄ − gḡ) en √13 (rr̄ + gḡ − 2bb̄). De corresponderende operatoren zijn F̂3 = λ23 en F̂8 = λ28 .
Opgave b): Bereken de kleurfactor voor de interactie tussen twee blauwe quarks.
1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN
32
Antwoord: De interactie tussen twee blauwe quarks wordt overgebracht door het gluon
gḡ − 2bb̄). De corresponderende operator is F̂8 =
λ8
2 .
√1 (rr̄
3
+
De sterkte van de koppeling is dan

 

1 0
0
0
0
1 
−2




√
0 1
0
0
0 = √ ,
b̄λ8 b =
3
3
0 0 −2
1
1

en de kleurfactor wordt dan
1
2
−2
√
3
−2
√
3
(33)
= 32 .
Opgave c): Bewijs dat de sterke wisselwerking (kleurfactor) tussen twee rode quarks gelijk is aan
die tussen twee blauwe quarks, zoals vereist door kleursymmetrie.
Antwoord: De totale kleurfactor voor de twee rode quarks
is desom van de kleurfactoren voor
1
1 √1
√1
= 21 + 16 = 23 , en is dus gelijk
de operatoren F̂3 en F̂8 . We vinden dan 2 (1)(1) + 2
3
3
aan die voor twee blauwe quarks.
1.7.3
SU(3)-kleur
Opgave: De kleuroperatoren worden gerepresenteerd door drie-dimensionale matrices. Er zijn
acht onafhankelijke kleuroperatoren, F̂i = 12 λi (i = 1, 2, .., 8).
Opgave a): Laat zien dat de kleurspinoren eigenfuncties zijn van de operatoren F̂3 en F̂8 .
Antwoord: De operatoren F̂3 en F̂8 kunnen worden voorgesteld door diagonale matrices. We
vinden
F̂3 r = 12 r,
F̂3 g = − 12 g,
F̂3 b = 0b,
(34)
1
1
F̂8 g = 2√3 g,
F̂8 b = − √13 b.
F̂8 r = 2√3 r,
Opgave b): Bepaal de eigenwaarden c3 en c8 voor F̂3 r = c3 r en F̂8 r = c8 r.
Antwoord: De eigenwaarden zijn gegeven in het vorige antwoord en bedragen c3 =
1
2
en c8 =
1
√
.
2 3
Opgave
h
i c): Bepaal de matrix λk en de SU(3) structuurconstanten fijk van de commutator
λk
λi λj
2 , 2 = ifijk 2 voor de gevallen (i, j, k) = (1, 2, 3) en (1, 4, 7).
Antwoord: We bepalen de eerste matrix door expliciet uitrekenen van het product voor (i, j, k) =
(1, 2, 3). We vinden
h
λ1 λ2
2 , 2
i
= ( λ21 λ22 ) − ( λ22 λ21 )


0 1 0
0 −i 0
= 41  1 0 0   i 0 0
 0 0 0  0 0 0
i 0 0
−i
1
1

0 −i 0
0
−4
=4
0 0 0
0
i
= 2 λ3 = iF̂3 .


0 −i 0
− 1 i 0 0
4
 0 0 0
0 0
2i
1

i 0
0
=4
0 0
0

0
 1
0
0 0
−2i 0
0 0

1 0
0 0 
0 0 

i 0 0
 = 1  0 −i 0 
2
0 0 0
(35)
We vinden als structuurconstante f123 = 1.
Vervolgens bepalen we de tweede matrix door expliciet uitrekenen van het product voor (i, j, k) =
(1, 4, 7). We vinden
1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN
h
λ1 λ4
2 , 2
i
= ( λ21 λ24 ) − ( λ24 λ21 )


0 1 0
0 0
= 41  1 0 0   0 0
 0 0 0  1 0
0 0 0
0
= 14  0 0 1  − 14  0
0 0 0
0
= 4i λ7 = 2i F̂7 .




0 0 1
1
0 1 0
0  − 14  0 0 0   1 0 0 
0
0 0 0
 1 0 0

0 0
0 0 0
0 0 0
0 0  = 14  0 0 1  = 4i  0 0 −i 
1 0
0 −1 0
0 i 0
33
(36)
We vinden als structuurconstante
f147 = 21 . Tenslotte hwillen iwe er nog op wijzen dat in het
i
h
algemeen geldt dat F̂i , H = 0 voor (i = 1, 2, .., 8) en F̂i , F̂j = iΣk fijk F̂k . De coëfficiënten
fijk zijn antisymmetrisch.
1 ELEMENTAIRE DEELTJES EN VELDEN
1.8
1.8.1
34
Opgaven
Negen gluonen
We hebben gezien dat in SU(3)-symmetrie voor QCD er acht gluonen kunnen worden uitgewisseld
tussen twee quarks. In de natuur wordt de negende toestand, een kleursinglet gegeven door
rr̄+gḡ +bb̄ niet uitgewisseld, omdat het een kleursinglet is. Het komt erop neer dat deze toestand
niet veranderd als we de kleuren herdefiniëren. Stel echter dat deze toestand wél uitgewisseld
zou worden tussen quarks. Wat zijn hiervan dan de consequenties? Waarom kan deze toestand
niet het foton voorstellen, zodat we al direct QED en QCD zouden kunnen unificeren?
1.8.2
Zwakke wisselwerking
Voor welke kosmologische en astrofysische verschijnselen is de zwakke wisselwerking essentieel?
1.8.3
Speciale relativiteitstheorie
Geef twee voorbeelden waarbij de speciale relativiteitstheorie essentieel is in de subatomaire
fysica.
1.8.4
Spin
Neem aan dat het elektron en muon uniforme bollen zijn met eenqstraal van 0,1 fm. Bereken de
snelheid aan het oppervlak ten gevolge van een rotatie met spin 34 ~.
1.8.5
Rho-meson
Men denkt dat het rho meson ρ een bijdrage levert aan de hadronische kracht tussen hadronen.
Bereken de dracht van deze kracht. De massa van het rho meson is 770 MeV.