Paragraaf 2: Rekenen met verhoudingstabellen
advertisement
MALMBERG UITGEVERIJ B.V. Docentenhandleiding MathPlus Leerjaar 1 havo-vwo Versie 1 Inhoud Deel 1: algemeen deel ............................................................................................................................. 3 Wat is MathPlus?..................................................................................................................................... 3 Het didactisch model van MathPlus........................................................................................................ 3 De opzet van MathPlus ........................................................................................................................... 4 Contexten ............................................................................................................................................ 4 Instaptoets........................................................................................................................................... 4 Onderdelen: Leren............................................................................................................................... 4 Onderdelen: Verwerken ...................................................................................................................... 4 Extra oefenen ...................................................................................................................................... 5 Afsluiting.............................................................................................................................................. 5 Studielast en planning ............................................................................................................................. 5 Mogelijke werkwijzen.............................................................................................................................. 7 Lange leerlijnen in MathPlus ................................................................................................................... 8 Verschillen tussen havo en vwo ............................................................................................................ 12 Handleiding MathPlus applicatie........................................................................................................... 13 Inloggen op de applicatie .................................................................................................................. 13 De werking van de MathPlus applicatie ............................................................................................ 13 Vraagtypen in de MathPlus applicatie .............................................................................................. 15 De toetsenborden van MathPlus ...................................................................................................... 18 Ontwikkeling van de MathPlus applicatie ......................................................................................... 18 AlgebraKIT ............................................................................................................................................. 19 Herkennen van opgaven die automatisch worden nagekeken met AlgebraKIT ............................... 19 Invoeren van het antwoord............................................................................................................... 19 Herkennen dat het gewenste antwoord is gegeven in Leren ........................................................... 19 Aangeven dat het antwoord is gegeven in Verwerken ..................................................................... 20 Kopiëren van het vorige antwoord om dit te wijzigen ...................................................................... 20 Hoe werkt AlgebraKIT? ...................................................................................................................... 21 Deel 2: handleidingen per hoofdstuk .................................................................................................... 22 1: Rekenen ............................................................................................................................................. 22 2: Figuren ............................................................................................................................................... 25 Opdrachtverwijzing boek > applicatie ............................................................................................... 29 3: Ruimtelijke figuren ............................................................................................................................ 32 Opdrachtverwijzing boek > applicatie ............................................................................................... 35 1 4: Verhoudingen .................................................................................................................................... 38 Opdrachtverwijzing boek > applicatie ............................................................................................... 41 5: Hoeken .............................................................................................................................................. 44 Opdrachtverwijzing boek > applicatie ............................................................................................... 47 6: Omtrek, oppervlakte en inhoud ........................................................................................................ 49 Opdrachtverwijzing boek > applicatie ............................................................................................... 52 7: Negatieve getallen............................................................................................................................. 55 Opdrachtverwijzing boek > applicatie ............................................................................................... 58 8: Grafieken ........................................................................................................................................... 61 Opdrachtverwijzing boek > applicatie ............................................................................................... 64 9: Verbanden ......................................................................................................................................... 67 Opdrachtverwijzing boek > applicatie ............................................................................................. 70 10: Symmetrie ....................................................................................................................................... 73 Opdrachtverwijzing boek > applicatie ............................................................................................. 77 2 Deel 1: algemeen deel Wat is MathPlus? MathPlus is een wiskundemethode voor het voortgezet onderwijs die beoogt leuke en uitdagende wiskunde te bieden voor alle leerlingen en hen goed voor te bereiden op het aan het eind van het voortgezet onderwijs af te leggen eindexamen. De methode is gebaseerd op het lesmateriaal van de stichting Math4all dat al enige tijd digitaal werd aangeboden.. Voor MathPlus is dit lesmateriaal herschreven en uitgebreid. Daarnaast biedt MathPlus nieuwe digitale functionaliteit op het gebied van adaptiviteit, herkansingsmogelijkheden, automatisch nakijken van opgaven en het volgen van resultaten door leerling en docent. Voor het werken in de klas is er ook een papieren variant voor de momenten dat de digitale versie niet beschikbaar is. De digitale versie is echter het uitgangspunt. Een en ander wil niet zeggen dat alles nu digitaal gebeurt; leerlingen zullen nog regelmatig werken met potlood, passer, geodriehoek en gum. Maar waar dit meerwaarde biedt, worden digitale middelen zoveel mogelijk ingezet. Het didactisch model van MathPlus De methode is gebaseerd op het bekende OSAEV-model van Joop van Dormolen (Didactiek van de wiskunde uit 1974). Tegenwoordig wordt dit model beschreven als het OOV-model: O1 = oriënteren op wat er gaat komen; O2 = ontwikkelen van kennis en vaardigheden, het ‘leren’-deel; V = verwerken en inslijpen van de aangeleerde kennis en vaardigheid, het ‘verwerken’-deel. Dit is vertaald in de opzet van het Math4all-materiaal door: O1 = Verkennen O2 = Uitleg met opgaven, Theorie (vanaf leerjaar 3), Voorbeelden met opgaven V = Verwerken en Testen Hierin is de Uitleg een inleiding vanuit een concrete situatie op de te leren theorie en de te beheersen vaardigheden. De Uitleg gaat vergezeld van opgaven die leerlingen aanzetten om deze kennis actief op te bouwen. De Theorie vat deze kennis (zo abstract als op dat niveau wenselijk is) samen. In de eerste twee leerjaren zijn er geen theorieblokken, omdat de totale hoeveelheid samen te vatten kennis per onderdeel nog gering is. Vanaf leerjaar 3 wordt dit meer en komen voor het eerst theorieblokken voor. Naast de Uitleg en Theorie zijn er Voorbeelden waarin de gewenste kennis en vaardigheden worden gebruikt in activerende opgaven. Om leerlingen tot activiteit aan te zetten, zijn Uitleg en Voorbeelden vaak enigszins fragmentarisch1. Dit vormt samen het ‘leren’-deel van elk onderdeel (paragraaf). In MathPlus is deze opzet overgenomen en ingebed in een omhullend context-conceptverhaal. Door inleidende contexten toe te voegen die van een – zo mogelijk onderwerp omvattende – vraagstelling zijn voorzien, wordt het beoogde concept versterkt. Daarbij wordt de relevantie van de wiskunde in één oogopslag duidelijk. De vragen “Wat heb ik hier nu aan?” en “Waarom moeten we dit leren?” kunnen met een verwijzing naar de contexten beantwoord worden. 1 Voor vwo-gymnasium meer dan voor havo-vwo. 3 De opzet van MathPlus De leerstof is verdeeld in domeinen (doorlopende leerlijnen), grofweg een domein Rekenen, een domein Verbanden, een domein Meetkunde en een domein Informatie(data)analyse. Per leerjaar en per wiskundestroom verschillen de domeinindelingen enigszins. Voor leerjaar 1 zijn dit de domeinen: Rekenen, Grafieken en formules, Meten en tekenen en tot slot informatieverwerking. Elk domein is verdeeld in onderwerpen (hoofdstukken) en elk onderwerp weer in onderdelen (paragrafen). Zo’n onderdeel bevat een afgerond leerobject volgens het OOV-model. Een onderwerp bestaat uit twee contexten, enkele onderdelen en een afsluiting. MathPlus is geen receptenboek waarin staat ‘hoe het moet’, het is een wiskundemethode waarin alle concepten, alle kennis en alle vaardigheden zorgvuldig volgens het OSAEV-model worden opgebouwd. Alle concepten dienen dan ook nauwgezet te worden geïntroduceerd, zoveel mogelijk vanuit het context-concept principe. MathPlus biedt leerlingen hiervoor verschillende handvatten. Allereerst wordt een hoofdstuk geopend met twee contexten die de leerling een toepassing van de wiskunde laten zien. Daarnaast wordt in het Leren-deel een exemplarische context gebruikt om zorgvuldig conceptopbouw te ontwikkelen. Deze context zal daarom regelmatig terugkeren teneinde de koppeling met het concept te versterken. Contexten In het boek zijn twee contexten opgenomen. Als u uitsluitend met de digitale versie van MathPlus werkt kunt u deze contexten voorlopig terug te vinden als pdf in het docentenmateriaal. Elke context wordt voorzien van een opgave die leerlingen na het doorwerken van het hoofdstuk moeten kunnen maken. De contexten staan in principe los van de kleinere, exemplarische contexten van waaruit in de Uitleg een concept wordt opgebouwd. Instaptoets In de digitale versie van MathPlus zit een korte instaptoets met gesloten vragen. Deze toets test de benodigde voorkennis van leerlingen alvorens zij aan het hoofdstuk kunnen starten. Als docent kunt u ervoor kiezen om een bepaald onderdeel klassikaal te herhalen of een leerling extra oefeningen te geven als blijkt dat een onderdeel van de voorkennis onvoldoende beheerst wordt. Onderdelen: Leren Het ‘Leren’-deel van MathPlus bestaat uit Uitleg met opgaven, Theorie (vanaf leerjaar 3) en Voorbeelden met opgaven. In de digitale applicatie zijn Uitleg, Theorie en Voorbeelden regelmatig interactief gemaakt met applets (Geogebra). Daarnaast zijn in de applicatie opgaven waar mogelijk interactief gemaakt met behulp van AlgebraKIT. De opgaven in het Leren-deel moeten de leerlingen aanzetten tot het (opnieuw) doornemen van de Voorbeelden, het aanvullen van de daarin overgeslagen stappen en daarmee het voor zichzelf opbouwen van de beoogde kennis en vaardigheden. Bij de opgaven zijn antwoorden, uitgebreide uitwerkingen en hints op te vragen. Onderdelen: Verwerken In dit onderdeel kunnen leerlingen de kennis en vaardigheden uit het Leren-deel verwerken middels het maken van opgaven. Alle verwerkingsopgaven zijn voorzien van één, twee of drie sterren in opklimmende moeilijkheidsgraad: één ster is het instapniveau, twee sterren het basisniveau en drie sterren het excellent-niveau. Als de leerling de stof naar behoren beheerst, wordt hij geacht het twee sterren niveau te behalen. De eindtoetsen zijn op het twee sterren niveau gericht. In de digitale applicatie kan een leerling kiezen of hij begint op het instapniveau of direct op het basisniveau. Als alle opgaven op het basisniveau goed zijn afgerond, is het basisniveau behaald. Begint een leerling direct met het basisniveau en kan hij de eerste opgave niet oplossen, dan stuurt het systeem de leerling automatisch naar het instapniveau. Als alle opgaven op het basisniveau goed zijn gemaakt, geeft het systeem de mogelijkheid ook het excellent-niveau te behalen. In de digitale versie kan een leerling Uitleg, Theorie of Voorbeelden van de desbetreffende paragraaf opvragen als hij moeite heeft de opgave te maken. Daarnaast hoort bij elke opgave van het instapniveau of het basisniveau in de digitale versie een herkansingsopgave. Daarmee kan een 4 leerling die een opgave in eerste instantie niet kon maken, zichzelf verbeteren en zo het niveau alsnog behalen. Extra oefenen In de digitale applicatie van MathPlus kunnen leerlingen aan het einde van het hoofdstuk onder Oefenen opgaven nog eens maken. De computer genereert een set aan opgaven uit de onderdelen Verwerken van het hoofdstuk waarmee de leerling kan oefenen. Afsluiting In de boeken wordt elk hoofdstuk afgesloten met een Voorbeeld eindtoets. In de onderbouw is deze toets waar mogelijk gesplitst in een ‘rekenen’-deel en een ‘toepassen’-deel. Het is de bedoeling dat 80% van de leerlingen deze toets binnen een lesuur kunnen maken. Werkt u uitsluitend met de digitale applicatie dan kunt u deze toetsen ook terugvinden in het docentenmateriaal. Studielast en planning Afhankelijk van de omvang van een hoofdstuk kan een specifiekere planning worden vastgesteld. Elk onderdeel (paragraaf) heeft een studielast van (als een leerling alles doet, maar er zijn keuzes te maken) ongeveer drie uur: - Instaptoets: 0,25 – 0,5 uur - Leren: 1,5 uur - Verwerken: 0,5 – 1,25 uur (inclusief de excellent-opgave(n)) De afsluiting van een hoofdstuk kost nog eens maximaal drie uur (als een leerling alles doet): - de opgaven bij de contexten maken: 0,5 - 1 uur - de voorbeeld eindtoets met eventueel nog nader te bestuderen onderdelen bekijken: 1 - 1,5 uur - de leerlingen kunnen een samenvatting maken van het hoofdstuk: 0,5 – 1 uur In grote lijnen ziet de planning van het schooljaar er als volgt uit: Boek (twee per jaar) Hoofdstukken (twaalf in leerjaar 1) Onderdelen op hoofdstukniveau: digitale instaptoets contexten voorbeeld eindtoets Paragraaf (ongeveer vijf per hoofdstuk) • • • Uitleg met opgaven Voorbeelden met opgaven Verwerkingsopgaven In totaal zijn er in leerjaar 1 ongeveer 80 opgaven per hoofdstuk Schooljaar telt veertig weken: 40 schoolweken – 4 toetsweken – 1 jaarafsluiting = 35 lesweken Aantal lessen: 3 per week x 35 weken = 105 lessen ongeveer 80 opgaven per hoofdstuk Leerjaar 1: aantal opgaven per les: 12 x 80 / 105 ≈ 9 opgaven Het aanleren van wiskundig denken vraagt tijd! schrappen Bovenbouw: 2,5 lessen per paragraaf met 2/3 van de opgaven 5 Situatie: klassikale lessen, boeken les 1: • • Uitleg en 1 à 2 opgaven per uitleg, Voorbeelden en 1 à 2 opgaven per voorbeeld; huiswerk: instapopgaven van verwerken. • • • • huiswerk bespreken; rest van de opgaven uit Verwerken; start Uitleg van volgende paragraaf; huiswerk: Uitleg en 1 à 2 opgaven van die uitleg. • • • reflectie huiswerk; Uitleg en 1 à 2 opgaven van eventueel tweede Uitleg, Voorbeelden en 1 à 2 opgaven per voorbeeld; huiswerk: instapopgaven van Verwerken. • • • • huiswerk bespreken; rest van de opgaven uit Verwerken; start Uitleg van volgende paragraaf; huiswerk: Uitleg en 1 à 2 opgaven van die uitleg. • • reflectie huiswerk; Uitleg en 1 à 2 opgaven van eventueel tweede Uitleg, Voorbeelden en 1 à 2 opgaven per voorbeeld; huiswerk: instapopgaven van Verwerken. les 2: les 3: les 4: les 5: • In de hoofdstuk specifieke handleiding is de studielast aangegeven per paragraaf. Indien u minder tijd tot uw beschikking heeft, is per paragraaf een aanbevolen verkorte leerroute aangegeven. Daarnaast is een tabel opgenomen waarin u eenvoudig ziet hoeveel opgaven ieder onderdeel bevat en van welk niveau die opgaven zijn. Let op: de genoemde aantallen opgaven in de overzichtstabellen zijn de aantallen in de digitale applicatie! Deze verschillen met de aantallen opgaven in de boeken (digitaal zijn er meer opgaven). 6 Mogelijke werkwijzen MathPlus kan in de praktijk op verschillende wijzen worden ingezet. Dit is mede afhankelijk van de producten waarmee u werkt: boek, digitaal of een combinatie van beide. 1 Docent heeft voor 100% de regie in handen Dit is alleen mogelijk wanneer vooral met het boek wordt gewerkt. De docent kan besluiten de digitale Instaptoets door de leerlingen thuis te laten maken. Op basis van de resultaten, die hij in zijn dashboard ziet, kunnen bepaalde concepten/leerdoelen nog eens worden opgefrist alvorens aan een nieuw hoofdstuk te beginnen. Vervolgens vult hij de les in zoals hij dat tot nu toe gewend is: hij legt dingen uit en laat de leerlingen opgaven maken in de klas. Het huiswerk wordt volledig toegewezen door de docent, waarbij hij een selectie opgeeft van opgaven uit Leren en/of Verwerken. Alle leerlingen maken tot slot de voorbeeld eindtoets en/of maken thuis de opgaven onder Oefenen in de applicatie (keuze docent en/of leerling). 2 Docent heeft voor een groot deel de regie in handen De docent kan besluiten de digitale Instaptoets door de leerlingen thuis te laten maken. Op basis van de resultaten, die hij in zijn dashboard ziet, kunnen bepaalde concepten/leerdoelen nog eens worden opgefrist alvorens aan een nieuw hoofdstuk te beginnen. Vervolgens vult hij de les in zoals hij dat tot nu toe gewend is: hij legt dingen uit en laat de leerlingen opgaven maken in de klas. Opgaven in het Leren-deel kunnen door de docent worden toegewezen. Opgaven in Verwerken dienen leerlingen thuis te maken en in de computer in te voeren. De applicatie bepaalt welke Verwerkenopgaven, inclusief herkansing, door de leerling gemaakt dienen te worden. De docent ziet de resultaten van opgaven in Verwerken op zijn dashboard. Op basis daarvan kan hij zwakke leerlingen extra onderrichten en snelle leerlingen extra taken/projecten toewijzen. Alle leerlingen maken tot slot de voorbeeld eindtoets en/of maken thuis de opgaven onder Oefenen in de applicatie (keuze docent en/of leerling). 3 Docent geeft regie voor groot deel uit handen In dit geval gaat de leerling volledig digitaal aan de slag. Zij maken de Instaptoets. Op basis van de resultaten, die de docent in zijn dashboard ziet, kunnen bepaalde concepten/leerdoelen nog eens worden opgefrist alvorens aan een nieuw hoofdstuk te beginnen. De docent kan besluiten iedere les met uitleg te beginnen en/of enkele voorbeeldopgaven klassikaal uit te werken, maar hij kan er ook voor kiezen leerlingen zelfstandig te laten werken. Daarbij werken zij zó als hen het beste bevalt (eerst opgaven in Leren en vervolgens in Verwerken, of meteen Verwerken en – indien men er niet uitkomt – elementen uit Leren raadplegen). Het systeem bepaalt welke Verwerkenopgaven, inclusief herkansingsopgaven, door de leerling dienen te worden gemaakt. De docent ziet de resultaten van de opgaven in Verwerken op zijn dashboard. Op basis daarvan kan hij zwakke leerlingen extra onderrichten en snelle leerlingen extra taken/projecten toewijzen. Alle leerlingen maken tot slot de voorbeeld eindtoets en/ de opgaven onder Oefenen in de applicatie (keuze docent en/of leerling). Op verschillende manieren werken binnen één sectie Aangezien alle leerlingen dezelfde Instaptoets en Voorbeeld eindtoets krijgen, ongeacht de door de docent gehanteerde werkwijze, is het goed mogelijk binnen een sectie op verschillende manieren met MathPlus te werken. De leerlingen krijgen ook allemaal hetzelfde proefwerk. Docenten kunnen in sectievergaderingen hun werkwijze aan collega’s toelichten, aangeven wat zij wel en niet als prettig ervaren, en van elkaar leren. Dit kan ertoe leiden dat de persoonlijke werkwijze gedurende het jaar op ‘veilige’ wijze wordt aangepast. Zie het als vernieuwing van werkwijze en aanpak vanuit de voor de docent vertrouwde omgeving. 7 Lange leerlijnen in MathPlus Er zijn globaal vier domeinen te onderscheiden, namelijk een domein Rekenen, een domein Verbanden, een domein Meetkunde en een domein Informatie(data)analyse. In de bovenbouw havo/vwo schuift het domein Rekenen voor een groot deel (behalve voor havo wiskunde A) naar de achtergrond. Voor havo B en vwo A, B en C komt daar het domein Veranderingen bij, alsmede enkele losse onderwerpen uit de discrete wiskunde (Logica, Rijen). Voor vwo wiskunde D komt er getaltheorie bij (Complexe getallen). In de lange leerlijnen zijn de Tussendoelen havo/vwo voor de onderbouw en de Eindtermen voor de diverse wiskundes voor de bovenbouw leidend2. In het document MathPlus tussendoelen onderbouw vindt u een uitgebreide uiteenzetting van de behandeling van de tussendoelen in leerjaren 1 tot en met 3. Voor de vier basisdomeinen hanteert MathPlus grofweg de volgende opbouw (niet alles geldt voor alle leerlingen, er is niveauverschil): Rekenen leerjaar 1 het begrip decimaal getal met de vier basisbewerkingen – de eigenschappen van natuurlijke getallen (deelbaarheid) – het begrip macht en machtsverheffen – het begrip breuk en de vijf bewerkingen toegepast op breuken – het begrip procent en rekenen met procenten en in dat kader met verhoudingstabellen – het begrip negatief getal en de basisbewerkingen met negatieve getallen in een pijlenmodel leerjaar 2 het begrip (hogere machts)wortel en de basisbewerkingen met wortels – het begrip rationaal en het begrip reëel getal – de verschillende soorten getallen – de wetenschappelijke notatie leerjaar 3 onderhoud voorgaande – meer rekenen in context – probleemaanpak bij rekenen leerjaar 4 e.v. onderhoud en verdieping (moeilijker context) voorgaande, met alleen in havo wiskunde A nog de nodige herhaling. o havo, wiskunde A: mogelijkheden tellen met behulp van diagrammen – machten en faculteiten – permutaties en combinaties – de driehoek van Pascal o vwo, wiskunde A/C: mogelijkheden tellen met behulp van diagrammen – machten en faculteiten – permutaties en combinaties – de driehoek van Pascal Verbanden 2 leerjaar 1 het begrip variabele (grootheid) – afhankelijkheid van variabelen (afhankelijke en onafhankelijke variabele) leidt tot verbanden – verbanden weergeven in tabellen – verbanden weergeven in grafieken (assenstelsel moet bekend zijn) – eigenschappen van grafieken en van die afhankelijkheid benoemen (stijgen, dalen, periodiciteit, maximum- en minimumwaarde) – tabellen omzetten in grafieken en vice versa – (woord)formules voor verbanden – tabellen en grafieken maken bij (woord)formules – waarden aflezen uit grafieken – som- en verschilgrafieken – het begrip vergelijking om waarden te kunnen berekenen – het begrip oplossing van een vergelijking – oplossingen (slim) raden – oplossingen bepalen door inklemmen – met variabelen werken, algebra, de basisbewerkingen – volgorde en haakjes – haakjes wegwerken http://www.slo.nl/voortgezet/onderbouw/vakken/wi/overtussen/ 8 leerjaar 2 vergelijkingen oplossen door heen- en terugrekenen, het begrip rekenschema – vergelijkingen oplossen met de balansmethode – vergelijkingen oplossen door haakjes weg te werken – lineaire verbanden en recht evenredig – vergelijkingen bij lineaire verbanden systematisch oplossen – hyperbolische verbanden en omgekeerd evenredig – vergelijkingen bij hyperbolische verbanden – kwadratische verbanden van de vorm y = a(x – p)2 + q – vergelijkingen bij kwadratische verbanden door terugrekenen oplossen – exponentiële verbanden in het kader van exponentiële groei/verval – exponentiële vergelijkingen oplossen door inklemmen leerjaar 3 lineaire verbanden, helling en richtingscoëfficiënt, snijpunt met de y-as, vergelijkingen systematisch oplossen, lijn door twee punten – kwadratische verbanden in drie vormen en kwadraat afsplitsen om de vorm y = a(x – p)2 + q te krijgen – kwadratische verbanden ontbinden in factoren – kwadratische vergelijkingen oplossen door kwadraat afsplitsen en terugrekenen, dan door de abc-formule te gebruiken, tenslotte door ontbinden in factoren – andere verbanden, functiebegrip opstarten, transformaties invoeren als uitbreiding, toevoeging, vooruitblik op wiskunde A/B in de bovenbouw leerjaar 4 e.v. o havo, wiskunde A: alleen herhaling/onderhoud/toepassing in complexere situaties o havo, wiskunde B: functiebegrip uitbreiden (notatie, domein, bereik, enzovoort) – lineaire, veelterm, exponentiële, logaritmische, goniometrische standaardfuncties met hun eigenschappen en transformaties – veranderingen van functies en differentiëren in eenvoudige gevallen – eenvoudige optimaliseringsproblemen o havo, wiskunde D: (deze leerlingen hebben ook wiskunde B) – wiskunde B kennis toepassen in technologie, modelleren, optimaliseren en de differentieerregels o vwo, wiskunde A: functiebegrip uitbreiden (notatie, domein, bereik, enzovoort) – lineaire, veelterm, exponentiële, logaritmische, sinus standaardfuncties met hun eigenschappen en transformaties (dit laatste informeel) – veranderingen van functies en differentiëren met alle differentieerregels (ook e-macht en logaritme, maar geen goniometrische functies) – optimaliseringsproblemen – rijen, meetkundig, rekenkundig, directe formules, recursieformules, somformules rekenkundige en meetkundige rijen o vwo, wiskunde C: lineaire, veelterm, exponentiële, logaritmische standaardfuncties met hun eigenschappen en transformaties (dit laatste informeel) – veranderingen van functies – rijen, meetkundig, rekenkundig, directe formules, recursieformules, somformules rekenkundige en meetkundige rijen o vwo, wiskunde B: functiebegrip uitbreiden (notatie, domein, bereik, enzovoort) – samengestelde en inverse functies, informeel limietbegrip – lineaire, veelterm, exponentiële, logaritmische, goniometrische standaardfuncties met hun eigenschappen en transformaties (dit laatste informeel) – veranderingen van functies en differentiëren met alle differentieerregels (ook e-macht, logaritme en goniometrische functies) – toepassing op allerlei soorten functies, werken met parameters – rekenregels voor logaritmische en goniometrische functies – integreren en berekenen van oppervlakte, inhoud omwentelingslichaam en booglengte – primitieveren van eenvoudige functies o vwo, wiskunde D: (deze leerlingen hebben ook wiskunde B) – rijen, meetkundig, rekenkundig, directe formules, recursieformules, somformules rekenkundige en meetkundige rijen – modelleren, discrete dynamische modellen – continue dynamische modellen, differentiaalvergelijkingen, en enkele oplossingsmethoden 9 Meetkunde leerjaar 1 vlakke figuren (lijn, lijnstuk, halve lijn, vierkant, rechthoek, parallellogram, vlieger, ruit, trapezium, driehoek (rechthoekig, gelijkbenig, gelijkzijdig), vierhoek, veelhoek, cirkel intuïtief invoeren, eigenschappen ontdekken – ruimtelijke figuren (kubus, balk, prisma, piramide, cilinder, kegel, bol) intuïtief invoeren, eigenschappen ontdekken – begrippen als punt, lijn, vlak, hoekpunt, zijde/ribbe, grensvlak, diagonaal (2D en 3D), diagonaalvlak – tekenen (op schaal) van zowel 2D als 3D figuren – aanzichten en uitslagen herkennen en tekenen – lengte, omtrek, oppervlakte en inhoud door ‘eenheden tellen’ – werken (omrekenen) met eenheden (en voorvoegsels) voor lengte, oppervlakte, inhoud, tijd – kijklijnen, kijkhoeken – symmetrie (lijn, punt, draai) en de symmetrie-eigenschappen van vlakke figuren – bissectrice, middelloodlijn leerjaar 2 formules voor omtrek van vlakke figuren en de inhoud van ruimtelijke figuren – het begrip hoogte(lijn) – de (omgekeerde) stelling van Pythagoras, lengtes berekenen in 2D en in 3D – het begrip doorsnede, doorsneden (eenvoudige gevallen) op ware grootte tekenen – vergroten/verkleinen van figuren, vergrotingsfactor – gelijkvormigheid van figuren, eenvoudige berekeningen met behulp van gelijkvormigheid – lengtevergroting/oppervlaktevergroting/inhoudsvergroting(sfactor) leerjaar 3 herhalen en verdiepen voorgaande, met name werken met congruentie en gelijkvormigheid – goniometrie in 2D en 3D – begrippen vermoeden, stelling, bewijs (alleen vwo) – vooruitblik op wiskunde A/B/C/D leerjaar 4 e.v. o havo, wiskunde A: geen meetkunde, elementaire onderbouwkennis wel af en toe gebruiken o havo, wiskunde B: analytische meetkunde – cartesisch assenstelsel, met vergelijkingen en vectorvoorstellingen van lijnen, vergelijkingen van cirkels, formule afstand tussen twee punten – berekenen van snijpunten, hoeken en afstanden bij punten, lijnen en cirkels – begrippen richtingscoëfficiënt, richtingsvector, plaatsvector, normaalvector, inproduct van twee vectoren, raaklijn aan een cirkel o havo, wiskunde D: 3D meetkunde, zonder en met vectoren – parallelprojecties, doorsneden tekenen, meetkundige berekeningen in 3D – oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren – vectoren in 3D met berekeningen van hoeken en afstanden tussen punten, lijnen en vlakken o vwo, wiskunde A: geen meetkunde, elementaire onderbouwkennis wel af en toe gebruiken o vwo, wiskunde C: 3D meetkunde in kunst en cultuur – alle begrippen uit leerjaar 1/2 herhalen – symmetrie in 3D – perspectief herkennen en ermee werken – perspectief tekenen (éénpunts en tweepunts) o vwo, wiskunde B: analytische meetkunde – cartesisch assenstelsel, met vergelijkingen en vector(parameter)voorstellingen van lijnen en van cirkels, formule afstand tussen twee punten – berekenen van snijpunten, hoeken en afstanden bij punten, lijnen en cirkels – begrippen richtingscoëfficiënt, richtingsvector, plaatsvector, normaalvector, inproduct van twee vectoren, raaklijn aan een cirkel – beweging van een punt in een assenstelsel beschrijven met vector(parameter)voorstelling – snelheid, snelheidsvector, raaklijn o vwo, wiskunde D: bewijzen in de vlakke meetkunde – vergelijkingen en parametervoorstellingen van vlakke krommen (met name kegelsneden), van ruimtekrommen en oppervlakken – meetkundige berekeningen in 3D 10 Informatie(data) analyse leerjaar 1 werken met eenvoudige data in tabelvorm – schema’s, grafen en tabellen – diagrammen (lijn, staaf, cirkel, steelblad) – frequenties, absoluut en relatief – gemiddelden leerjaar 2 frequentieverdeling – centrummaten (modus, mediaan, gemiddelde) – spreiding en spreidingsmaten (spreidingsbreedte, kwartielafstand) – boxplot – klassenindelingen leerjaar 3 herhaling voorgaande leerjaren – steekproeven – het begrip kans – kansen berekenen met behulp van wegendiagrammen en boomdiagrammen leerjaar 4 e.v. o havo, wiskunde A: werken met grotere databestanden – toepassen onderbouwkennis op grotere databestanden – meetniveaus – frequentieverdelingen typeren – de normale verdeling – vuistregels voor de normale verdeling – kansen/percentages bij de normale verdeling – steekproeven en steekproefproporties – betrouwbaarheidsintervallen – verschillen tussen statistische variabelen benoemen – samenhang tussen statistische variabelen benoemen, correlatiecoëfficiënt en regressielijn – werken met grotere datasets op de computer, praktische statistiek o havo, wiskunde B: geen o havo, wiskunde D: kansrekening (ook met toepassing van telsystemen), inclusief de regels voor de kansrekening en voorwaardelijke kansen – kansverdelingen, verwachting en standaardafwijking – discrete kansverdelingen (uniform, binomiaal, hypergeometrisch) – continue kansverdelingen (normaal) – hypothesen toetsen – correlatie en regressieanalyse – werken met grotere datasets op de computer, praktische statistiek o vwo, wiskunde A/C: kansrekening (ook met toepassing van telsystemen), inclusief de regels voor de kansrekening en voorwaardelijke kansen – kansverdelingen, verwachting en standaardafwijking, wortel-n-wet – discrete kansverdelingen (uniform, binomiaal) – continue kansverdelingen (normaal en hypergeometrisch) – hypothesen toetsen – schatten – correlatie en regressieanalyse – werken met grotere datasets op de computer, praktische statistiek o vwo, wiskunde B: geen o vwo, wiskunde D: als vwo, wiskunde A/C, maar formeler opgezet (bijvoorbeeld integraalrekening bij continue kansverdelingen), extra toetsen (tekentoets, Wilcoxontoets, chi-kwadraat-toets, et cetera) Diversen vwo, wiskunde C: logica, logisch redeneren – waarheidstabellen, enzovoort vwo, wiskunde D: getaltheorie – eenvoudige bewijzen in de getaltheorie, volledige inductie – complexe getallen, complexe functies Naast de verschillende domeinen vormen zaken als probleemaanpak en structuren herkennen eveneens een lange leerlijn. Tegenwoordig spelen wiskundige denkactiviteiten een rol in het wiskundeonderwijs. De meeste opgaven bij de contexten zijn voorbeelden van wiskundige denkactiviteiten. Op dit moment hebben wiskundige denkactiviteiten ook een plek gekregen in sommige opgaven van het basis- en het excellentniveau. Te denken valt aan opgaven waarin probleemaanpak en modelleren expliciet aan de orde komt, los van een specifiek hoofdstuk. (Zie ook www.math4all.nl bij Extra’s.) 11 Verschillen tussen havo en vwo De verschillen tussen havoleerlingen en vwo-leerlingen wordt in MathPlus onder andere vormgegeven door: Voor havo directer taalgebruik en kortere zinnen te gebruiken en voor vwo formeler taalgebruik en langere zinnen te accepteren. Voor havo geen twee vragen in één item te stellen, wat voor vwo wel regelmatig het geval is. Een vwo leerling krijgt de kans om de benodigde tussenstap zelf te bedenken terwijl de havo leerling in eerste instantie op weg geholpen wordt. Voor havo de opbouw langzamer te laten verlopen, minder concepten per uitleg. Voor havo de voorbeelden minder fragmentarisch te laten zijn. Voor havo de uitwerkingen waar nodig uitgebreider te maken. Ook belangrijk zijn de verschillen tussen A/C-leerlingen en B/D-leerlingen. Dit geeft MathPlus vorm door: 3 Voor A/C uitleg, vraagstelling en antwoorden/uitwerkingen in gewoon Nederlands versus meer formeel wiskundig taalgebruik voor B/D. Voor A/C geen ‘toon aan’ en ‘bewijs’, voor B/D (zeker voor vwo) gebruikt MathPlus dit wel. Daarbij zal zeker bij vwo B/D expliciet benoemd worden waar dieper gaande bewijzen nodig zijn als die niet kunnen worden gegeven. MathPlus sluit aan bij de trefwoorden in de syllabi voor het C.E.3 MathPlus probeert de contexten voor havo A meer in maatschappelijk relevante zaken (soms ook natuurwetenschappelijk) te zoeken, voor vwo A in de maatschappelijke en natuurwetenschappelijke (met name in de gezondheidskunde/biologie) hoek, voor havo B in de technische en voor vwo B in de natuurwetenschappelijke en wetenschappelijk technische hoek. https://www.hetcvte.nl/item/syllabi 12 Handleiding MathPlus applicatie Inloggen op de applicatie Log in met uw Entree-account. - Indien u reeds een Entree-account heeft, kunt u dit gebruiken. U logt in met uw account en activeert de licentie door de activatiecode in te voeren. Bij de eerste maal inloggen, dient u uw naam in te vullen plus een school aan te geven. Indien u naast een licentie voor de onderbouw ook een licentie voor de bovenbouw aanmaakt, dient u een tweede Entree-account aan te maken. Indien u problemen ondervindt met inloggen, neemt u dan contact op met de Helpdesk voortgezet onderwijs. Stuur een e-mail naar [email protected] of bel 073 628 8766. Wij helpen u zo snel mogelijk verder. De werking van de MathPlus applicatie Na het inloggen komt u op de pagina met het hoofdstukkenoverzicht. De verschillende beschikbare hoofdstukken verschijnen onder elkaar. Rechts is het domein van het hoofdstuk weergegeven. Elk hoofdstuk bestaat uit een aantal paragrafen. Als u daarop klikt, komt u op de paragraafopening. Daar ziet u de belangrijkste onderdelen van de methode: ‘Leren’ en ‘Verwerken’. ‘Leren’ is bedoeld om leerlingen met de stof kennis te laten maken en om de eerste opgaven bij de stof te maken. Er zijn twee ‘ingangen’: Uitleg en Voorbeelden, elk met opgaven. Vanaf leerjaar 3 vindt u rechtsboven op de pagina van de paragraaf nog ‘Theorie’. De in ‘Leren’ uiteengezette kennis wordt hier op een abstracter niveau samengevat. Als docent heeft u de regie en bepaalt u hoe de leerlingen met de stof werken. U legt bijvoorbeeld eerst zelf uit en geeft dan op welke opgaven de leerlingen moeten maken. U kunt er ook voor kiezen leerlingen zelfstandig door de stof te laten gaan. 13 Leerlingen kunnen de antwoorden op de opgaven controleren met de antwoorden/uitwerkingen. Deze worden zichtbaar als er op “bekijk antwoorden” is geklikt. Het voorbeeldantwoord wordt weergegeven in een groen vlak met een groen vinkje. Er wordt niet bijgehouden of het antwoord goed of fout was; wel is voor de leerling zichtbaar of de opgave is gemaakt. U kunt dat als docent ook zien in het dashboard in de docentenlicentie; u kunt dan ook zelf het antwoord bekijken. ‘Verwerken’ is bedoeld voor het zelfstandig werken door de leerling. De leerling laat zien of hij de stof begrijpt. De computer stuurt het leren. Doel is dat de leerling de opgaven op het basisniveau (**) goed maakt. Daartoe kan hij direct op het basisniveau starten of eerst de instapopgaven (*) maken. De excellent-opgave (***) wordt actief als het basisniveau goed is afgerond. Als een leerling start op het basisniveau, maar hij maakt de eerste opgave onvoldoende, dan worden de instapopgaven actief en moet hij die eerst maken voordat hij op het basisniveau terug kan keren. Elke opgave van het instap- en het basisniveau in Verwerken heeft een herkansingsopgave. Daarmee krijgt de leerling een tweede kans om aan te tonen dat hij de stof beheerst. Een leerling heeft de mogelijkheid Uitleg, Theorie of Voorbeelden te raadplegen in Verwerken. Door op de knoppen links van de opgave te klikken, kan de informatie uit Leren bekeken worden. Score: wanneer is een opgave ‘goed’? De meeste opgaven in MathPlus kennen deelopgaven. De leerling moet 80% van de deelopgaven goed hebben, wil de opgave goed gerekend worden. 14 Vraagtypen in de MathPlus applicatie MathPlus maakt gebruik van verschillende typen opgaven. Open opgaven: het beantwoorden van een open vraag kan middels een invulveld in de applicatie. Soms zal de leerling (ook) gebruikmaken van een schrift of de grafische rekenmachine, bijvoorbeeld voor het plotten van een grafiek of het maken van een meetkundige tekening. In Leren kan de leerling na het invullen van alle deelopgaven middels de knop ‘Bekijk antwoorden’ onderaan de pagina zijn eigen antwoord vergelijken met het voorbeeldantwoord. In Verwerken moet een leerling eerst de antwoorden inleveren. Het is belangrijk dat u als docent leerlingen wegwijs maakt met het beoordelen van de eigen antwoorden. De antwoorden die de applicatie laat zien gelden als voorbeeldantwoord. Een anders geformuleerd antwoord betekent niet per definitie een foutief antwoord. 15 Gesloten opgaven (multiple choice): gesloten opgaven worden uitsluitend gebruikt als het antwoord op de vraag eenduidig is. De computer beoordeelt of de vraag goed of fout is beantwoord. Het juiste antwoord en de uitwerking zijn door leerlingen te raadplegen na het inleveren van het antwoord. Het komt regelmatig voor dat er bij een multiple choice opgave gevraagd wordt om een toelichting. In de applicatie kan deze toelichting, met ingang van schooljaar 2015-2016 nog niet worden ingevuld. Heeft een multiple choice opgave slechts één goed antwoord dan zijn de buttons rond. Moeten er meerdere goede antwoorden worden gegeven dan zijn deze vierkant. 16 AlgebraKIT opgaven: voor algebraïsche opgaven in MathPlus wordt AlgebraKIT gebruikt. In Leren kan een leerling daarbij hints opvragen en bekijken. Elke tussenstap in een berekening wordt afzonderlijk door het programma nagekeken. AlgebraKIT analyseert of de tussenstap wiskundig correct is. In Verwerken moeten leerlingen zelf aangeven wanneer de berekening is afgerond. Na het inleveren beoordeelt de computer of de opgave goed is beantwoord/uitgewerkt. Uitwerkingen van leerlingen blijven bewaard en kunnen later geraadpleegd worden. Een AlgebraKIT opgave kunt u herkennen aan de knoppen +1 en het lampje rechts van het invulveld. Wilt u een tussenstap inleveren, druk dan op enter of op +1. Wilt u een hint opvragen, klik dan op het lampje. Algebrakit kent specifieke invoer- en gebruiksregels. Het is belangrijk dat leerlingen deze aanleren; vergelijk dit met het leren werken met een grafische rekenmachine. Bespreek daarom met uw leerlingen de uitgebreidere instructie bij AlgebraKIT hierna in deze handleiding en/of de instructievideo’s op de docentenpagina’s. 17 De toetsenborden van MathPlus Laptop of desktop: bij het maken van opgaven kunt u gebruikmaken van de speciale toetsen die bij de opgave worden weergegeven. Onder de meest rechtse knop vindt u meer symbolen. Naast deze toetsen kunt u gebruikmaken van uw reguliere toetsenbord. Enkele veel gebruikte sneltoetsen zijn: deelstreep: “ / ” macht: “ ^… ” vermenigvuldigingsteken: “ * ” Let op: het is belangrijk dat de cursor zich op de juiste plek bevindt als u typt of sneltoetsen gebruikt. U kunt de cursor verplaatsen met de pijltjes op uw toetsenbord of middels uw muis. iPad: voor de iPad is een speciaal toetsenbord ontwikkeld. Dit toetsenbord verschijnt automatisch als u de cursor plaatst op een opgave. Ontwikkeling van de MathPlus applicatie De komende tijd zal de applicatie verder ontwikkeld worden. Een aantal onderdelen van de methode hebben met de ingang van schooljaar 2015-2016 nog geen plek in de applicatie. Daarom kunt u onderstaande informatie en materialen terugvinden in het docentenmateriaal: - Contexten met opgaven en uitwerkingen (twee per hoofdstuk) - Voorbeeld eindtoets (een per hoofdstuk) - Werkbladen (per hoofdstuk in de onderbouw) - Leerdoelen (per paragraaf, de leerdoelen vindt u in de docentenhandleiding) Ook als de methode eenmaal in de praktijk wordt gebruikt, zal de applicatie – in overleg met gebruikers van MathPlus – worden doorontwikkeld. Voor de actuele stand van zaken en opmerkingen met betrekking tot specifieke hoofdstukken kunt u het document MathPlus digitaal raadplegen. U vindt dit document bij het docentenmateriaal. 18 AlgebraKIT Een deel van de antwoorden die de leerling invoert kan automatisch worden nagekeken. MathPlus maakt gebruik van AlgebraKIT om automatisch na te kijken. Aan automatisch nakijken zitten beperkingen. Hier wordt beschreven hoe het automatisch nakijken wordt gedaan. Verder wordt een aantal beperkingen aangegeven. Herkennen van opgaven die automatisch worden nagekeken met AlgebraKIT Bij een deel van de opgaven verschijnt het volgende antwoordvak: Dit antwoordvak is te herkennen aan de +1 aan de rechterkant. Dit antwoordvak is gekoppeld aan AlgebraKIT. Invoeren van het antwoord Bij het invoeren van antwoorden bij automatisch na te kijken vragen mag geen aanvullende tekst worden opgenomen. AlgebraKIT kijkt alleen wiskundige uitdrukkingen na. Klik na elk ingevoerde tussenstap op +1 of druk op enter. AlgebraKIT kan niet meerdere tussenstappen in een keer nakijken. Dit betekent dat doorschrijven niet wordt goed gerekend. Voor de invoer van wiskundige uitdrukkingen zijn verscheidene knoppen beschikbaar in de bovenregel. Nog meer knoppen worden zichtbaar wanneer op de rechtse van deze knoppen wordt geklikt. Herkennen dat het gewenste antwoord is gegeven in Leren Na het invoeren van een eerste stap laat AlgebraKit zien of deze stap goed is. Leerlingen krijgen de kans zichzelf te verbeteren. 19 Hier zie je een voorbeeld van een opgave waarop het gewenste antwoord is gegeven en een voorbeeld van een vraag waarop het gewenste antwoord nog niet is gegeven. Wanneer de leerling het gewenste antwoord heeft gegeven, verschijnt er dus geen nieuw antwoordvak meer. Aangeven dat het antwoord is gegeven in Verwerken In Verwerken geeft de computer niet aan wanneer een leerling klaar is met de opgave. Ook tussenstappen worden niet direct nagekeken. Een leerling moet zelf aangeven wanneer hij/zij denkt klaar te zijn. Zodra er op enter of +1 is geklikt, verschijnt er automatisch een nieuw invoerveld. Met de knop ‘klaar’ geef je aan dat je eindantwoord gegeven is. Kopiëren van het vorige antwoord om dit te wijzigen Vaak is het handig om het vorige antwoord te kunnen wijzigen. Dit kan door het vorige antwoord te kopiëren naar de antwoordregel. Klik daarvoor op de regel van het vorige antwoord (dus ook op de kopieerknop aan de rechterkant). Daarna kun je het antwoord wijzigen. 20 Hoe werkt AlgebraKIT? AlgebraKIT genereert bij een gegeven opgave en een gegeven gewenst antwoord een uitwerking in stappen. AlgebraKIT is dus GEEN database met uitwerkingen van (geparametriseerde) opgaven. Bij elk antwoord voert AlgebraKIT twee bewerkingen uit: - AlgebraKIT controleert of het gegeven antwoord wiskundig gelijk is aan het gewenste antwoord. Als dat zo is, wordt het antwoord goedgekeurd. En anders niet. - AlgebraKIT genereert een uitwerking in stappen van het gegeven antwoord naar het gewenste antwoord en genereert een hint voor de volgende stap. Dit betekent dat AlgebraKIT niet kijkt of het gegeven antwoord een stap is naar het gewenste antwoord. Het kan dus zijn dat het antwoord goedgekeurd wordt, terwijl het niet de route is naar het gewenste antwoord. De hint die op verzoek wordt gegeven in Leren is wel een mogelijke stap in de richting van het gewenste antwoord. Bij het automatisch uitwerken van opgaven worden onder andere de volgende regels gehanteerd: - Getallen onder wortels worden niet ontbonden, zodat kwadraten eruit (kunnen) worden gehaald. Dus √8 en niet 2√2. - Doorschrijven wordt (nog) niet goed gerekend. Dus x(x-1)+x=x^2-x+x = x^2 wordt niet goed gerekend. - De wisseleigenschap wordt niet als aparte stap opgenomen (maar toepassing ervan wordt uiteraard wel goedgekeurd). 21 Deel 2: handleidingen per hoofdstuk 1: Rekenen Instaptoets Benodigde voorkennis: - het schatten van maten in het dagelijks leven; - handig rekenen met gehele en positieve getallen; - vereenvoudigen van breuken; - het gemiddelde berekenen. Leerdoelen per paragraaf Paragraaf 1: Decimale getallen In deze paragraaf leer je: onderscheid maken tussen getallen en cijfers; de waarde van cijfers in een getal bepalen; getallen op een getallenlijn plaatsen; getallen met elkaar vergelijken en hier de juiste symbolen voor gebruiken; rekenen met decimale getallen. Paragraaf 2: Deelbaarheid In deze paragraaf leer je: eigenschappen van getallen – zoals veelvoud, deelbaarheid en priemgetal – herkennen; ontbinden in priemfactoren; de grootste gemene deler van getallen berekenen; het kleinste gemene veelvoud van getallen berekenen. Paragraaf 3: Breuken optellen en aftrekken In deze paragraaf leer je: de begrippen teller, noemer en breuk gebruiken; breuken vereenvoudigen, optellen en aftrekken; breuken vergelijken; een breuk omzetten in een decimaal getal. Paragraaf 4: Breuken vermenigvuldigen en delen In deze paragraaf leer je: breuken vermenigvuldigen; breuken delen. Paragraaf 5: Afronden en schatten In deze paragraaf leer je: getallen afronden en/of de orde van grootte ervan aangeven; uitkomsten schatten. Paragraaf 6: Machten In deze paragraaf leer je: de begrippen macht, grondtal en exponent gebruiken; rekenregels met machten gebruiken; volgorde van bewerkingen gebruiken. 22 Applets Paragraaf 1, Uitleg 2: Deze applet geeft een rode punt op de getallenlijn weer. Deze rode punt kan over de getallenlijn worden geschoven. Onder de getallenlijn is in twee decimalen nauwkeurig zichtbaar welk getal de rode punt vertegenwoordigt. Op deze manier wordt inzichtelijk waar decimale getallen op de getallenlijn liggen en kan onderzocht worden hoe decimale getallen zich tot elkaar verhouden. Paragraaf 1, Voorbeeld 2: De applet is dezelfde als in Uitleg 2 (zie hierboven). Hier wordt de applet gebruikt om te bepalen welk van twee getallen groter is. Practica Er komen geen practica voor in dit hoofdstuk. Rekenmachine De instaptoets moet zonder rekenmachine gemaakt worden. In de paragrafen wordt uitgelegd hoe opgaven met de hand gemaakt kunnen worden maar ook met de rekenmachine. Bij een aantal opgaven wordt expliciet gevraagd een rekenmachine te gebruiken, in de meeste gevallen nadat de opgave handmatig is opgelost. Bij een aantal andere opgaven wordt expliciet aangegeven dat er geen rekenmachine gebruikt mag worden. Voor de overige opgaven geldt dat een rekenmachine gebruikt mag worden, maar dat leerlingen gestimuleerd mogen worden zo veel mogelijk zonder rekenmachine te doen. Excel Er zijn geen opgaven waar gebruikgemaakt wordt van Excel. Misvattingen en veelgemaakte fouten Bij het rekenen met decimale getallen kan het voor leerlingen lastig zijn om te werken met decimale getallen met een verschillend aantal cijfers, zoals 3,13 en 3,2. Attendeer leerlingen op de waarde van elk cijfer afhankelijk van de plek in het getal. In Uitleg 1 van paragraaf 1 wordt hier aandacht aan besteed. In de paragraaf Schatten en afronden is het belangrijk stil te staan bij de praktijk waarbinnen wordt afgerond. Leerlingen moeten hier wiskundige regels met alledaagse werkelijkheid combineren. In de paragraaf Machten is het belangrijk aandacht te besteden aan de rekenregels. Deze zullen de leerlingen ook in volgende hoofdstukken vaak nodig hebben. Let op: in dit hoofdstuk wordt gebruik gemaakt van het overstrepen van de periode van repeterende decimale getallen. Leerlingen kennen deze notatie niet maar hoeven hier ook geen aandacht aan te besteden. Ze kunnen deze getallen behandelen als anderen. MathPlus heeft gekozen om de notatie wel te gebruiken zodat leerlingen hier alvast aan kunnen wennen. Differentiatie In het hoofdstuk Rekenen zijn de leerdoelen voor leerlingen van de havo en het vwo gelijk. In het hoofdstuk voor vwo-leerlingen is meer ruimte voor extra uitdaging. Hier staan extra excellent opgaven in en verhoudingsgewijs meer opgaven van het basisniveau. Voor havo-leerlingen is een extra uitleg opgenomen over het vermenigvuldigen van breuken. 23 Lesplanner Een deel van de stof die in dit hoofdstuk behandeld wordt, is herhaling van de basisschool. Echter, In praktisch alle paragrafen zal dieper op de stof worden ingegaan dan de leerlingen van de basisschool gewend zijn. Paragraaf 2 (Deelbaarheid) en paragraaf 6 (Machten) bevatten een voor de leerling nieuw concept. Paragraaf 2 bevat daarbij ook uitgebreide berekeningen, daarom wordt daar 150 minuten voor uitgetrokken. Paragraaf 6 bevat minder opgaven die, als het concept eenmaal duidelijk is, snel gemaakt kunnen worden. Deze paragraaf kan in 100 minuten behandeld worden. Indien er weinig tijd beschikbaar is, staan in de tabel hieronder de meest essentiële opgaven. Paragraaf 1 Decimale getallen Benodigde tijdsduur (min) 50 2 Deelbaarheid 150 3 Breuken optellen en aftrekken 50 4 Breuken vermenigvuldigen en delen 75 5 Schatten en afronden 50 6 Machten 100 Totaal 475 Essentiële opgaven Uitleg 1: 1, 2 Uitleg 2: 1, 2, 4 Uitleg 3: 1, 2 Voorbeeld 1: 1, 2 Voorbeeld 2: 1, 2 Voorbeeld 3: 2 Verwerken: 2, 4, 5, 6 Uitleg 1: 2, 3 Uitleg 2: 2, 3 Uitleg 3: 1, 2, 3 Voorbeeld 1: 3 Voorbeeld 2: 2 Voorbeeld 3: 2 Verwerken: 1, 2, 3, 5, 7 Uitleg 1: 1, 2, 4, 5 Uitleg 2: 1, 2 Voorbeeld 1: 2, 3 Voorbeeld 2: 1, 2 Voorbeeld 3: 1 Voorbeeld 4: 2, 3 Verwerken: 1, 4, 5, 6, 7, 8 Uitleg 1: 1 Uitleg 2: 1, 2 Uitleg 3: 1, 2 Voorbeeld 1: 2, 3, 4 Voorbeeld 2: 1, 2 Voorbeeld 3: 2, 3 Verwerken: 1, 3, 4, 5, 6, 7 Uitleg 1: 2, 4, 5 Uitleg 2: 2, 4, 5 Voorbeeld 1: 2, 3 Voorbeeld 2: 1, 2, 4 Verwerken: 1, 3, 4, 6, 7, 8 Uitleg 1: 2, 3 Uitleg 2: 2 Voorbeeld 1: 1, 3 Verwerken: 2, 3, 5, 6, 7 24 2: Figuren Instaptoets Benodigde voorkennis: - het kunnen meten van een lijnstuk; - het kunnen werken met lengtematen in dagelijkse situaties; - het gebruiken van schaal in een tekening; - het herkennen van de vlakke figuren: vierkant, driehoek, cirkel en rechthoek. Leerdoelen per paragraaf Paragraaf 1: Lijn, lijnstuk, punt In deze paragraaf leer je: onderscheid maken tussen een lijn, een lijnstuk en een punt; de ligging van lijnen ten opzichte van elkaar beschrijven met de begrippen: snijdend, snijpunt, loodrecht en evenwijdig; het tekenen van evenwijdige en loodrecht op elkaar staande lijnen. Paragraaf 2: Afstanden In deze paragraaf leer je: wiskundige afstanden correct meten; afstanden op kaartjes meten en omrekenen naar de werkelijkheid. Paragraaf 3: Passer en cirkel In deze paragraaf leer je: de diameter en de straal van een cirkel bepalen; cirkels tekenen met een passer, op basis van de straal of de diameter; afstanden bepalen door gebruik te maken van eigenschappen van cirkels. Paragraaf 4: Vlakke figuren In deze paragraaf leer je: een aantal soorten vlakke figuren herkennen; kennismaken met een aantal kenmerken van vlakke figuren; diagonalen in een veelhoek tekenen; op papier een driehoek construeren. Paragraaf 5: Kijklijnen In deze paragraaf leer je: kijklijnen tekenen; met behulp van kijklijnen bepalen of je dingen kunt zien; met behulp van kijklijnen je positie bepalen. Paragraaf 6: Coördinaten In deze paragraaf leer je: punten tekenen in een assenstelsel met x-as, y-as en oorsprong; hoe je een punt in een assenstelsel kunt aangeven met behulp van coördinaten; wanneer een punt in een assenstelsel een roosterpunt is; een veelhoek in een assenstelsel tekenen. Applets Paragraaf 1, Uitleg 1: De applet heeft als doel het verschil tussen een punt en een lijn aan de leerling te verduidelijken. De leerling ziet dat een punt op een lijn kan liggen. Er is een lijn l en een punt A te zien. Lijn l en punt A kunnen verschoven worden. Zo kan punt A boven, onder of op lijn l gelegd worden. Paragraaf 1, Uitleg 1: De applet maakt inzichtelijk wat het snijpunt van twee lijnen is en hoe het snijpunt bepaald wordt door de positie van de twee lijnen. De applet geeft twee snijdende lijnen l en m 25 weer. Op lijn m ligt lijnstuk AB. Snijpunt S geeft het snijpunt van lijn l en m weer. De punten A en B evenals lijn l kunnen verschoven worden. Paragraaf 2, Uitleg: De applet bestaat uit lijn l, punt C, en punt S op lijn l. Lijnstuk CS is te zien met de bijbehorende afstand tussen beide punten. Een gestippelde loodlijn door punt C op lijn l geeft de kortste afstand van punt C tot lijn l weer. In de applet kan lijn l van boven naar beneden verschoven worden, punten C en S kunnen vrij verschoven worden. Met behulp van de applet kan de leerling onderzoeken dat de afstand van punt C tot lijn l het kortst is als gemeten wordt via de gestippelde loodlijn. Op het moment dat punt S over lijn l verplaatst wordt, ziet de leerling de afstand steeds groter worden naarmate verder van de loodlijn afgegaan wordt. Paragraaf 2, Uitleg, opgave 1: De opgave bevat een applet waarin een lijnstuk AB te zien is. De afstand tussen A en B is gegeven. Door punt A of punt B te verplaatsen kan met de afstand gevarieerd worden. In de opgave wordt gevraagd om punt A en punt B 3 cm uit elkaar te plaatsen. Hierbij wordt duidelijk dat de afstand gemeten wordt door het rechte lijnstuk tussen de twee punten te meten. Paragraaf 2, Voorbeeld 1: In het voorbeeld wordt het meten van de afstand tussen twee evenwijdige lijnen behandeld. De applet geeft de evenwijdige lijnen l en m weer. Punt A ligt op lijn m, punt B ligt op lijn l. De lijn door de punten A en B vormt de loodlijn op lijnen l en m. Lijnstuk AB geeft de kortste afstand tussen beide lijnen weer. Bij lijnstuk AB is de afstand gegeven. In de applet is het mogelijk lijn l en m te verplaatsen. Ook punt A kan verplaatst worden. De applet maakt inzichtelijk dat ongeacht de plek van de loodlijn op l en m, de afstand van de loodlijn tussen de twee snijpunten de afstand tussen lijn l en m geeft. Paragraaf 3, Uitleg: De applet gaat over de straal van een cirkel. In de applet staat een cirkel met middelpunt M . Lijnstuk AB is een middellijn van de cirkel. Bij lijnstuk AM is de afstand gegeven. Punt A en punt M kunnen verplaatst worden. Op deze manier kan de grootte van de cirkel veranderd worden. De afstand van de straal wordt hiermee aangepast. Voor leerlingen wordt het inzichtelijk gemaakt dat de straal van de cirkel afhankelijk is van de grootte van de cirkel. Ook zien ze dat de straal gemeten wordt van het middelpunt tot een willekeurig punt op de cirkel. Paragraaf 4, Uitleg 2, opgave 3: De opgave gaat over vervormen van een vlieger tot andere vlakke figuren. In de applet staat een vlieger ABCD, waarbij de diagonalen gestippeld zijn weergegeven. Hoekpunt B, C en D zijn te bewegen. De zijden AB en AD blijven even lang, evenals BC en CD. Met deze opgave, inclusief applet, wordt inzichtelijk gemaakt dat bij bepaalde specifieke eigenschappen van de vlieger, de vlieger ook een ruit of een vierkant is, maar bijvoorbeeld geen rechthoek. Paragraaf 4, herkansingsopgave 7: In deze opgave is een trapezium ABCD gegeven. De leerling moet onderzoeken in welke andere vierhoeken het trapezium omgevormd kan worden als alle punten behalve punt A kunnen worden verplaatst. Zijden AB en CD zijn altijd evenwijdig. Paragraaf 6, Uitleg: De applet gaat over de coördinaten van een punt in een assenstelsel. De leerling ziet een assenstelsel (met positieve assen), waarin punt A getekend is. Bij punt A staan de coördinaten geschreven. Punt A is te verplaatsen, waarbij de coördinaten mee veranderen. Op deze manier kan de leerling snel zien wat er met de coördinaten gebeurt als je een punt opzij, omhoog of omlaag verplaatst. In opgave 1 kan de leerling met behulp van de applet punt A naar verschillende gegeven coördinaten verschuiven. 26 Practica Er komen geen practica voor in dit hoofdstuk. Rekenmachine Het gebruik van een rekenmachine is in dit hoofdstuk toegestaan. Een leerling zal waarschijnlijk maar weinig van de rekenmachine gebruik hoeven te maken. Excel Er zijn geen opgaven waar gebruikgemaakt wordt van Excel. Misvattingen en veelgemaakte fouten Voor leerlingen is dit hoofdstuk een eerste kennismaking met de wiskundige begrippen lijn, lijnstuk, punt, afstand enzovoort. Bij het gebruik van deze begrippen en de notatie in een specifieke situatie, is nauwkeurigheid vereist. Het is belangrijk om hier vanaf het start van het schooljaar alert op te zijn aangezien zorgvuldigheid in de wiskunde vaker zal worden verlangd van leerlingen. In paragraaf 2 is het belang dat leerlingen de noodzaak zien van het gebruik van een loodlijn om de wiskundige afstand te bepalen. Verder diept deze paragraaf het begrip wiskundige afstand verder uit door het contrast met dagelijkse afstanden te schetsen. In paragraaf 3 wordt de constructie van een loodlijn met passer en liniaal geïntroduceerd. Voorbeeld 1 bevat een stappenplan voor leerlingen om zelf een loodlijn te construeren. Om het wiskundige begrip cirkel verder toe te lichten is het goed naar de opgedane kennis van de voorgaande paragraaf te verwijzen. Zo kan een cirkel gedefinieerd worden als punten die zich op gelijke afstand van het middelpunt bevinden. In paragraaf 4 maken leerlingen kennis met eigenschappen van vlakke figuren. In veel gevallen zullen de vlakke figuren al bekend zijn van de basisschool. In Uitleg 2 worden de verschillende eigenschappen opgesomd. Leerlingen kunnen moeite hebben om met deze eigenschappen te redeneren. Voor het kunnen beredeneren hebben de leerlingen namelijk parate kennis nodig. Paragraaf 5 kan een uitdaging vormen voor leerlingen met een beperkt ruimtelijk inzicht. Eventueel kunnen bepaalde situaties inzichtelijk gemaakt worden door gebruik te maken van tastbare kubussen, balken en piramides. In paragraaf 6 wordt het gebruik van coördinaten geïntroduceerd. Mochten leerlingen moeite hebben met de plaatsbepaling in een assenstelsel dan kan er bijvoorbeeld eerst gekeken worden naar de manier waarop dit op een schaakbord of een landkaart gebeurt. Differentiatie De leerdoelen voor havo en vwo zijn in dit hoofdstuk gelijk. Het te behalen niveau is gelijk tussen beide niveaus. Voor de havo zijn extra voorbeelden opgenomen waarbij de te leren stof wordt gekoppeld aan een tastbare en herkenbaardere wereld. In het onderdeel Leren zijn extra opgaven opgenomen waarbij de leerling de kennis moet reproduceren. Zo krijgen leerlingen de kans te toetsen of ze de Uitleg en Voorbeelden afdoende begrepen hebben. Daarnaast zijn meer opgaven opgenomen waardoor de leerling aangeleerd krijgt om bepaalde denkstappen te volgen. Voor het vwo daarentegen, is meer uitdaging opgenomen in het onderdeel Leren. Leerlingen krijgen de kans zelf te onderzoeken en te ontdekken. 27 Lesplanner De paragrafen in dit hoofdstuk hebben niet zo veel opgaven. Sommige opgaven vergen wat tijd door de tekeningen die gemaakt moeten worden. Voor alle paragrafen wordt geadviseerd 75 minuten uit te trekken. Dan is er ook ruimte om aandacht te besteden aan de wiskundige notatie. Indien er weinig tijd beschikbaar is, staan in de tabel hieronder de meest essentiële opgaven. Paragraaf 1 Lijn, lijnstuk, punt Benodigde tijdsduur (min) 75 2 Afstanden 75 3 Passer en cirkel 75 4 Vlakke figuren 75 5 Kijklijnen 75 6 Coördinaten 75 Totaal Essentiële opgaven Uitleg 1: 1, 2 Uitleg 2: 2, 3 Voorbeeld 2: 1, 3 Verwerken: 4, 5, 6 Uitleg 1: 1, 2, 3 Voorbeeld 1: 1, 2 Voorbeeld 2: 1, 2 Verwerken: 3, 6, 7 Uitleg 1: 1, 2 Voorbeeld 1: 3, 4 Voorbeeld 2: 1, 2 Verwerken: 5, 6 Uitleg 1: 2, 3 Uitleg 2: 1, 2 Voorbeeld 1: 2, 4 Voorbeeld 2: 1, 2 Verwerken: 3, 4, 7 Uitleg 1: 1 Voorbeeld 1: 2, 3 Voorbeeld 2: 1, 2 Verwerken: 4, 5, 6 Uitleg 1: 3, 4 Voorbeeld 1: 1, 3 Voorbeeld 2: 1, 2 Voorbeeld 3: 3 Verwerken: 3, 6, 7 Equivalente opgaven in het boek 1.1, 1.2 1.4 (U2.3 niet in boek) 1.7 (Vv2.3 niet in boek) 1.11, 1.12, 1.13 2.1, 2.2, 2.3 2.4 (Vb1.1 niet in boek) 2.5, 2.6 2.11, 2.9, 2.13 3.1, 3.2 3.3, 3.4 3.5, 3.6 3.10, 3.11 4.1 (U1.3 niet in boek) 4.3, 4.4 4.5 (Vb4 niet in boek) 4.7, 4.8 4.10, 4.11, 4.14 5.1 5.3, 5.4 5.5, 5.6 5.9, 5.10, 5.11 6.2 (U1.4 niet in boek) 6.3, 6.4 6.5, 6.6 6.7 6.9, 6.12, 6.13 450 28 Opdrachtverwijzing boek > applicatie Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 HV 1 2. Figuren 2.1 Lijn, lijnstuk, punt = in applicatie U1.1 U1.2 U1.3 niet in boek U2.1 U2.2 U.2.3 niet in boek V1.1 V2.2 V2.1 niet in boek V2.3 Vw1 Vw2 Vw3 Vw4 Vw5 Vw6 Vw7 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 HV 1 2. Figuren 2.2 Afstanden = in applicatie U1.1 U1.2 U1.3 Vb1.2 Vb2.1 Vb2.2 Vw1 Vw2 Vw6 Vw4 Vw3 Vw5 Vw7 Vb1.1 niet in boek 29 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 HV 1 2. Figuren 2.3 Passer en cirkel = in applicatie U1.1 U1.2 U1.3 niet in boek Vb1.3 Vb1.1 + Vb1.2 niet in boek Vb1.4 Vb2.1 Vb2.3 niet in boek Vb2.2 Vw1 Vw2 Vw3 Vw5 Vw4 niet in boek Vw6 Vw7 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 HV 1 2. Figuren 2.4 Vlakke figuren = in applicatie U1.1 U1.2 U1.3 niet in boek U2.1 U2.2 U.2.3 niet in boek Vb1.1 Vb1.2 Vb1.3 + Vb 1.4 niet in boek Vb2.1 Vb2.2 Vw1 Vw3 Vw2 niet in boek Vw4 Vw5 Vw6 Vw7 Vw8 30 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 HV 1 2. Figuren 2.5 Kijklijnen = in applicatie U1.1 U1.2 Vb1.2 Vb1.3 Vb2.1 Vb2.2 Vw1 Vw2 Vw4 Vw5 Vw6 Vw7 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 6.14 HV 1 2. Figuren 2.6 Coördinaten = in applicatie U1.1 U1.3 Vb1.1 Vb1.3 Vb2.1 Vb2.2 Vb3.3 Vw1 Vw3 Vw4 Vw5 Vw6 Vw7 Vw8 Vb1.1 niet in boek Vw3 niet in boek U1.2 + U1.4 niet in boek Vb1.3 niet in boek Vb3.1 + Vb3.2 niet in boek Vw2 niet in boek . 31 3: Ruimtelijke figuren Instaptoets De benodigde voorkennis voor dit hoofdstuk is: - het kunnen herkennen van een aantal soorten vlakke figuren. - het kunnen toepassen van een aantal kenmerken van vlakke figuren. - het kunnen beschrijven van lijnen ten opzichte van elkaar met de begrippen: snijdend, snijpunt, loodrecht en evenwijdig. - gebruik kunnen maken van een aantal eigenschappen van cirkels. - wiskundige afstanden correct kunnen meten. Opgave 1 van de instaptoets zoomt in op het herkennen van 2D en 3D figuren. In de voorkennis wordt dit benoemd in de eerste uitleg van paragraaf 5. De tweede opgave van instaptoets gaat over het herkennen van een aantal soorten vlakke figuren. Dit is terug te vinden in paragraaf 4 van het hoofdstuk figuren. Opgave 3 en 4 van de instaptoets gaan in op het beschrijven van lijnen ten opzichte van elkaar. In opgave 3 wordt het begrip evenwijdig behandeld en in opgave 4 het begrip loodrecht. Voor beide opgaven is de voorkennis terug te vinden in paragraaf 1 van het hoofdstuk figuren. De laatste opgave van de instaptoets gaat over de eigenschappen van cirkels. In paragraaf 3 van het hoofdstuk figuren is de kennis hiervan terug te vinden. Indien nodig kunnen leerlingen hun kennis nog eens bijspijkeren in de eerste uitleg van paragraaf van de voorkennis en paragraaf 1, 2, 3 en 4 van het hoofdstuk figuren. In paragraaf 2 van het hoofdstuk figuren gaat het over het correct meten van een wiskundige afstand. Leerdoelen Paragraaf 1: Ruimtelijke figuren In deze paragraaf leer je: ruimtelijke figuren herkennen en benoemen; ervaringen opdoen met de grensvlakken van ruimtelijke figuren. Paragraaf 2: Grensvlakken, ribben In deze paragraaf leer je: hoekpunten, grensvlakken en ribben van ruimtelijke figuren herkennen en benoemen; het aantal hoekpunten, grensvlakken en ribben van ruimtelijke figuren berekenen. Paragraaf 3: Ruimtelijk tekenen In deze paragraaf leer je: ruimtelijke figuren op roosterpapier tekenen; informatie over ruimtelijke figuren aflezen uit een tekening op roosterpapier. Paragraaf 4: Uitslagen In deze paragraaf leer je: uitslagen van ruimtelijke figuren herkennen en/of beoordelen op juistheid; correcte uitslagen van ruimtelijke figuren maken; ruimtelijke figuren bouwen met behulp van bouwplaten. Paragraaf 5: Aanzichten In deze paragraaf leer je: aanzichten van een figuur tekenen; vanuit gegeven aanzichten een figuur herkennen en andersom; de ribbe van een ruimtelijke figuur opmeten in een daarvoor geschikt aanzicht; vanuit een drieaanzicht van een figuur een uitslag tekenen en andersom. Paragraaf 6: Diagonaalvlakken In deze paragraaf leer je: (lichaams)diagonalen en diagonaalvlakken in ruimtelijke figuren herkennen en benoemen; (lichaams)diagonalen en diagonaalvlakken op ware grootte tekenen. 32 Applets Er wordt in dit hoofdstuk geen gebruik gemaakt van applets. Practica Er zijn in dit hoofdstuk geen practica. Rekenmachine Hoewel het grootste deel van de opgaven zonder rekenmachine gemaakt kan worden, mag in dit hoofdstuk gebruik gemaakt worden van de rekenmachine. Excel Er wordt in dit hoofdstuk geen gebruik gemaakt van Excel. Misvattingen en veelgemaakte fouten Bij dit hoofdstuk is het belangrijk te letten op de letternotatie van de ruimtelijke figuren. Het is voor andere hoofdstukken belangrijk dat leerlingen weten hoe de volgorde van de letters genummerd wordt. Voor leerlingen is dit een zorgvuldigheid die vaak mist. Verder is dit hoofdstuk vooral lastig voor leerlingen die moeite hebben met ruimtelijk inzicht. Zij kunnen grote problemen hebben om zich voor te stellen hoe een figuur er ruimtelijk uitziet. Dit geeft problemen bij het ruimtelijke tekenen van figuren, maar ook bij het tekenen van aanzichten. Ook het maken en beoordelen van uitslagen kan voor hen heel erg lastig zijn. Het is belangrijk om deze leerlingen veel oefening te bieden en begeleiding als ze vastlopen. Paragraaf 6 over (lichaams)diagonalen en diagonaalvlakken is lastig wegens de complexiteit van de definitie van een diagonaalvlak en een lichaamsdiagonaal. Hierbij is het zaak goed aandacht te besteden aan wat het nu eigenlijk is. Bij het werken met (lichaams)diagonalen en diagonaalvlakken kan het, zeker voor leerling met weinig ruimtelijk inzicht, erg lastig om te zien waar de vlakken nu eigenlijk lopen en wanneer een diagonaal door het diagonaalvlak loopt. Differentiatie De leerdoelen voor de havo en vwo-leerling zijn gelijk. In het hoofdstuk voor de havo zijn meer opgaven opgenomen, zodat er uitgebreider geoefend kan worden. Daarnaast zijn er meer “geleide” opgaven opgenomen, waarin leerlingen stap voor stap door de stof geleid worden. Van de vwoleerling wordt verwacht dat hij deze denkstappen zelf kan bedenken. In de vwo-versie zijn verhoudingsgewijs dan ook meer opgaven van het niveau “te behalen” opgenomen. 33 Lesplanner Paragraaf 1 bevat allemaal korte opgaven en kan daarom in 75 minuten gemaakt worden. De tweede paragraaf bevat iets complexere opgaven waarbij ook wat gerekend moet worden. Daarom wordt daar 85 minuten voor geadviseerd. Paragraaf 3, 4 en 5 bevatten veel tekenwerk, omdat dat nogal tijdrovend is, wordt daarvoor 110 minuten geadviseerd. Paragraaf 6 is verreweg de lastigste paragraaf van het hoofdstuk. Ook hierbij moet er veel getekend worden. Daarom wordt geadviseerd daar 125 minuten voor uit te trekken. Indien er weinig tijd beschikbaar is, staan in de tabel hieronder de meest essentiële opgaven. Paragraaf Benodigde tijdsduur (min) 50 1 Ruimtelijke figuren 2 75 3 Grensvlakken, ribben (en hoekpunten) Uitslagen 4 Aanzichten 75 5 Ruimtelijke (figuren) tekenen 75 6 Diagonaalvlakken 100 Totaal 75 Essentiële opgaven Uitleg 1: 1, 3, 4 Uitleg 2: 1 Uitleg 3: 1, 2 Voorbeeld 1: 1, 3 Verwerken: 4, 5, 6 Uitleg 1: 1, 4, 5 Voorbeeld 1: 1, 2 Verwerken: 3, 4, 5 Uitleg 1: 1 Voorbeeld 1: 1, 2 Voorbeeld 2: 1, 2 Verwerken: 4, 5, 6 Uitleg 1: 1 Voorbeeld 1: 1, 2 Voorbeeld 2: 1 Verwerken: 3, 6 Uitleg 1: 1, 2 Voorbeeld 1: 1, 2 Voorbeeld 2: 3 Verwerken: 4, 5 Uitleg: 1, 2 Voorbeeld 1: 1, 2 Voorbeeld 2: 1, 4 Verwerken: 4, 7 Equivalente opgaven in het boek 1.1*, 1.2, 1.3 1.5* 1.6, 1.7 1.8, 1.9* 1.12, 1.13, 1,14 2.1, 2.2, 2.3 2.4, 2.5 2.8, 2.9, 2.10 3.1 3.2, 3.3 3.4, 3.5 3.10, 3.11, 3.12 4.1 4.5, 4,6 4.7 4.10, 4.12 5.1, 5.2 5.4, 5.5 5.6 5.10, 5.11 6.1, 6.2 6.3, 6.4 6.5, 6,7 6.9, 6.12 450 * Opgave wijkt in boek af van die in applicatie 34 Opdrachtverwijzing boek > applicatie Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 HV 1 3. Ruimtelijke figuren 3.1 Ruimtelijke figuren = in applicatie U1.2 U1.1 niet boek U1.3 U1.4 U2.2 U2.1 niet in boek U2.3 U3.1 U3.2 Vb1.1 Vb1.2 Vw1 V1.3 niet in boek Vw3 Vw2 niet in boek Vw4 Vw5 Vw6 Vw7 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 HV 1 3. Ruimtelijke figuren 3.2 Grensvlakken, ribben en hoekpunten = in applicatie U1.1 U1.2 + U1.3 niet in boek U1.4 U1.5 Vb1.1 Vb1.2 Vw1 Vw2 Vw3 Vw4 Vw5 Vw6 niet in boek Vw7 35 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 HV 1 3. Ruimtelijke figuren 3.3 Uitslagen = in applicatie U1.1 U1.2 niet in boek Vb1.1 Vb1.2 Vb2.1 Vb2.2 Vb2.3 niet in boek Vb2.4 Vw1 Vw2 Vw3 Vw4 Vw5 Vw6 Vw7 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 HV 1 3. Ruimtelijke figuren 3.4 Aanzichten = in applicatie U1.1 U2.1 U2.2 U2.3 Vb1.1 Vb1.2 Vb2.1 Vb2.2 niet in boek Vw1 Vw2 Vw3 Vw4 Vw5 niet in boek Vw6 Vw7 36 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 HV 1 3. Ruimtelijke figuren 3.5 Ruimtelijke figuren tekenen = in applicatie U1.1 U1.2 U1.3 Vb1.1 Vb1.2 Vb2.3 Vb2.1 + Vb2.2 niet in boek Vw1 Vw2 Vw3 Vw4 Vw5 Vw6 Vw7 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 6.14 HV 1 3. Ruimtelijke figuren 3.6 Diagonaalvlakken = in applicatie U1.1 U1.2 U1.3 + U1.4 niet in boek Vb1.1 Vb1.2 Vb1.3 + Vb1.4 niet in boek Vb2.1 Vb2.2 Vb2.3 niet in boek Vb2.4 Vw1 Vw2 niet in boek Vw4 Vw2 Vw3 Vw7 Vw6 Vw8 37 4: Verhoudingen Instaptoets Benodigde voorkennis: - het rekenen met decimale getallen; - het berekenen van de grootste gemene deler; - het berekenen van het kleinste gemene veelvoud; - het berekenen van een gegeven percentage van een getal; - het rekenen met breuken; - het omrekenen van lengtematen. In de instaptoets wordt in opgave 1 ingezoomd op het optellen en vermenigvuldigen van decimale getallen. Dit wordt behandeld in paragraaf 1 van het hoofdstuk Rekenen. In opgave 2 wordt het berekenen van de grootste gemene deler herhaald. In paragraaf 2 van het hoofdstuk Rekenen is dit eerder behandeld. Opgave 3 van de instaptoets gaat over het berekenen van het kleinste gemene veelvoud. Ook dit is in paragraaf 2 van het hoofdstuk Rekenen behandeld. In opgave 4 wordt ingezoomd op het werken met percentages. Dit wordt behandeld in de tweede uitleg van paragraaf 2 van de voorkennis. Als laatste wordt in opgave 5 ingezoomd op het optellen en vermenigvuldigen van breuken. Dit is terug te vinden in paragraaf 3 en 4 van het hoofdstuk Rekenen. Indien nodig, kunnen leerlingen hun kennis nog eens bijspijkeren in paragraaf 1, 2, 3 en 4 van het hoofdstuk Rekenen en de tweede uitleg van paragraaf 2 van de voorkennis. Voor het werken met lengtematen kunnen zij paragraaf 4 van de voorkennis doornemen. Leerdoelen Paragraaf 1: Verhoudingstabellen In deze paragraaf leer je: verhoudingen weergeven in een verhoudingstabel; een verhoudingstabel onderscheiden van een niet-verhoudingstabel; een verhouding bepalen. Paragraaf 2: Rekenen met verhoudingstabellen In deze paragraaf leer je: verhoudingen vergelijken met behulp van verhoudingstabellen; handig rekenen met verhoudingstabellen. Paragraaf 3: Procenten In deze paragraaf leer je: een percentage van een hoeveelheid uitrekenen; een percentage schrijven als decimaal getal en omgekeerd. Paragraaf 4: Procentrekenen In deze paragraaf leer je: breuken omzetten in percentages; rekenen met percentages; een deel van iets omrekenen in een percentage; rekenen met promillages; het geheel berekenen als de hoeveelheid bij een percentage bekend is. Paragraaf 5: Procenten eraf/erbij In deze paragraaf leer je: procentuele toename en procentuele afname berekenen; procenten in decimale getallen omzetten en omgekeerd; met indexcijfers rekenen. Paragraaf 6: Schaallijnen In deze paragraaf leer je: schaal(lijnen) gebruiken om afstanden op de kaart en in werkelijkheid om te rekenen; de schaal van een kaart bepalen. 38 Applets Er komen geen applets voor in dit hoofdstuk. Practica Er komen geen practica voor in dit hoofdstuk. Rekenmachine De instaptoets van dit hoofdstuk wordt zonder rekenmachine gemaakt. Verder worden de volgende opgaven in de tabel zonder rekenmachine gemaakt. Bij de overige opgaven mag wel een rekenmachine gebruikt worden. Paragraaf 1 Verhoudingstabellen 2 Rekenen met verhoudingstabellen 3 Procenten 4 5 Procentrekenen Procenten eraf/erbij 6 Schaallijnen Opgaven zonder rekenmachine Verwerken: 1, 2 Verwerken: 1, 2, 4, 5, 6, 7, 8 Test jezelf: 1, 2, 3, 4 Uitleg: 1, 2, 3 Voorbeeld 1: 3 Verwerken: 1 Test jezelf: 2 Verwerken: 1, 11 Verkennen: 1, 2 Uitleg 1: 1, 2 Uitleg 2: 1, 2 Voorbeeld 1: 1 Excel Er zijn geen opgaven waar gebruikgemaakt wordt van Excel. Misvattingen en veelgemaakte fouten Het werken met verhoudingen en procenten is voor veel leerlingen moeilijk. Bij het werken met verhoudingen is het voor de leerling lastig om uit te zoeken welke informatie nu de verhouding weergeeft. Dit geldt bij opgaven als: “Je moet het poeder met water mengen: meng 2,5 gewichtsdeel poeder met 1 gewichtsdeel water tot een gladde pasta. Bereken met een verhoudingstabel hoeveel gram poeder je nodig hebt voor 50 gram pasta.” Nu is het lastig om te weten of je die 2,5 en 1 in de verhoudingstabel moet zetten of 2,5 en 3,5 en wat moet je dan met die 50 gram? Besteed dus in de uitleg vooral aandacht aan het omzetten van verhalen in verhoudingen. Bij het rekenen met procenten geldt eigenlijk hetzelfde. Ook daar is het grootste probleem om te zien van welk aantal nu welk percentage genomen moet worden. Besteed dus vooral aandacht aan het vertalen van de som in een berekening. Differentiatie De leerdoelen voor havo en vwo zijn in dit hoofdstuk gelijk. Alleen voor de havo zijn een paar ‘tussenleerdoelen’ extra opgenomen. Dat zijn leerdoelen die eigenlijk al in de overige leerdoelen verweven zijn, maar waar in het hoofdstuk voor havoleerlingen apart aandacht aan wordt besteed. In het vwo-hoofdstuk zijn meer opgaven opgenomen met een extra uitdaging. Dit betekent dat er verhoudingsgewijs meer opgaven van het niveau ‘te behalen’ zijn dan in het havo-hoofdstuk. Het hoofdstuk voor de havo bevat een extra voorbeeld in paragraaf 2 en meer opgaven om extra te oefenen. Ook bevat het havo-hoofdstuk meer ‘geleide’ opgaven. Dit houdt in dat de stof in de opgaven nog eens stap voor stap doorgenomen wordt. Verder bevatten enkele opgaven een extra deelvraag om de leerling in de juiste richting te leiden. 39 Lesplanner De basis van dit hoofdstuk hebben leerlingen al op de basisschool gehad. Hoewel de stof in dit hoofdstuk dieper gaat dan die op de basisschool, zitten er weinig echt nieuwe concepten in. Uitzondering hierop vormen de indexcijfers in paragraaf 5. Paragraaf 1, 2, 3 en 6 zijn daarbij ook niet zo lang. Voor deze paragrafen is 75 minuten voldoende. Paragraaf 4 en 5 bevatten meer opgaven en de berekeningen zijn complexer. Daarom is het advies om daar 100 minuten voor uit te trekken. Indien er weinig tijd beschikbaar is, staan in de onderstaande tabel de meest essentiële opgaven. Hierbij is gekozen voor opgaven die ook in het boek staan. In de applicatie staan namelijk her en der extra opgaven. De paragraafoverzichten met opdrachtverwijzingen boek > applicatie tonen die extra opgaven. Paragraaf Benodigde tijdsduur (min) 75 1 Verhoudingstabellen 2 Rekenen met verhoudingstabellen 75 3 Procenten 75 4 Procentrekenen 100 5 Procenten eraf/erbij 100 6 Schaallijnen 75 Totaal Essentiële opgaven in applicatie Uitleg: 2, 3 Voorbeeld 1: 3 Voorbeeld 2: 1, 2 Verwerken: 5, 6, 7 Uitleg: 1,2 Voorbeeld 1: 2, 3 Voorbeeld 2: 2, 3 Verwerken: 2, 3, 5 Uitleg: 1, 2, 4 Voorbeeld 1: 1 Voorbeeld 2: 1, 3 Verwerken: 3, 4, 6. Uitleg: 1, 2 Voorbeeld 1: 1, 2 Voorbeeld 2: 2, 4 Voorbeeld 3: 2 Verwerken: 4, 6, 7 Uitleg 1: 1, 3 Uitleg 2: 2 Voorbeeld 1: 3 Voorbeeld 2: 3 Voorbeeld 3: 1, 3 Verwerken: 6, 7, 8 Uitleg: 2 Voorbeeld 1: 2 Voorbeeld 2: 2 Verwerken: 5, 4, 6 Equivalente opgaven in het boek 1.1, 1.2 1.4 1.5, 1.6 1.9, 1.10, 1.11 2.1, 2.2 2.4, 2.5 2.7, 2.8 2.10, 2.11, 2.13 3.1, 3.2, 3.3 3.4 3.6, 3.7 3.11, 3.12, 3.14 4.1, 4.2 4.3, 4.4 4.5, 4.6 4.7 4.12, 4.14, 4.15 5.1, 5.2 5.3 5.6 5.7 5.9, 5.10 5.14, 5.15, 5.16 6.1 6.4 6.6 6.10, 6.11, 6.12 500 40 Opdrachtverwijzing boek > applicatie Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 HV 1 4. Verhoudingen 4.1 Verhoudingstabellen = in applicatie U1.2 U1.1 niet in boek U1.3 Vb1.1 Vb1.2 niet in boek Vb1.3 Vb2.1 Vb2.2 Vw3 Vw1 en Vw2 niet in boek Vw4 Vw5 Vw6 Vw7 Vw8 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 HV 1 4. Verhoudingen 4.2 Rekenen met verhoudingstabellen = in applicatie U1.1 U1.2 Vb1.1 Vb1.2 Vb1.3 Vb2.1 Vb2.2 Vb2.3 Vw1 Vw2 Vw3 Vw4 Vw5 Vw6 41 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 HV 1 4. Verhoudingen 4.3 Procenten = in applicatie U1.1 U1.2 U1.3 niet in boek U1.4 Vb1.1 Vb1.2 Vb2.1 Vb2.2 niet in boek Vb2.3 Vb2.4 Vw1 Vw2 Vw3 Vw4 Vw5 Vw6 Vw7 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 HV 1 4. Verhoudingen 4.4 Procentrekenen = in applicatie U1.1 U1.2 Vb1.1 Vb1.2 Vb2.2 Vb2.1 niet in boek Vb2.4 Vb2.3 niet in boek Vb3.2 Vb3.1 niet in boek Vb3.3 Vb3.4 niet in boek Vw1 Vw2 Vw3 Vw4 Vw5 Vw6 Vw7 Vw8 42 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 5.14 5.15 5.16 5.17 HV 1 4. Verhoudingen 4.5 Procenten eraf en erbij = in applicatie U1.1 U1.2 niet in boek U1.3 U2.2 U2.1 niet in boek U2.3 Vb1.2 Vb1.1 niet in boek Vb1.3 Vb2.3 Vb2.1 en Vb2.2 niet in boek Vb2.4 Vb3.1 Vb3.2 Vb3.3 Vw2 Vw1 niet in boek Vw3 Vw3 Vw4 en Vw5 niet in boek Vw6 Vw7 Vw8 Vw9 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 HV 1 4. Verhoudingen 4.6 Schaallijnen = in applicatie U1.2 U1.1 niet in boek U1.3 U1.4 Vb1.2 Vb1.1 niet in boek Vb2.1 Vb2.2 Vw1 Vw2 Vw3 Vw5 Vw4 Vw6 Vw7 43 5: Hoeken Instaptoets Benodigde voorkennis: - het kunnen beschrijven van lijnen ten opzichte van elkaar met de begrippen: snijdend, snijpunt, loodrecht en evenwijdig; - het kunnen herkennen van een aantal soorten vlakke figuren; - het kunnen toepassen van een aantal kenmerken van vlakke figuren; - gebruik kunnen maken van een aantal eigenschappen van cirkels; - het werken met schaal. Opgave 1 van de instaptoets zoomt in op het beschrijven van lijnen ten opzichte van elkaar. In het bijzonder gaat deze opgave over de begrippen loodrecht en evenwijdig. Dit wordt behandeld in paragraaf 1 van het hoofdstuk Figuren. Opgave 2 gaat over het herkennen van een aantal soorten vlakke figuren en opgave 3 gaat over de diagonaal in vlakke figuren. Voor beide opgaven is de voorkennis terug te vinden in paragraaf 4 van het hoofdstuk Figuren. Opgave 4 gaat over de eigenschappen van cirkels. De voorkennis van deze opgave wordt behandeld in paragraaf 3 van het hoofdstuk Figuren. Indien nodig, kunnen leerlingen hun kennis nog eens bijspijkeren in paragraaf 1, 3 en 4 van het hoofdstuk Figuren. In paragraaf 6 van het hoofdstuk Verhoudingen kunnen leerlingen het werken met schaal bijspijkeren. Leerdoelen Paragraaf 1: Hoeken In deze paragraaf leer je: beschrijven wat bij een hoek het hoekpunt is en wat de benen zijn; hoe je een hoek noteert; aangeven of een hoek recht, stomp, scherp, gestrekt, overstrekt is of een volle hoek is; aangeven of een hoek groter of kleiner is dan een andere hoek. Paragraaf 2: Hoeken meten In deze paragraaf leer je: hoeken opmeten met de geodriehoek en uitdrukken in graden; schatten hoeveel graden een hoek is; hoeveel graden een rechte, een gestrekte en een volle hoek zijn; tussen welke waarden het aantal graden ligt van een scherpe, stompe en overstrekte hoek. Paragraaf 3: Hoeken tekenen In deze paragraaf leer je: een hoek tekenen met een geodriehoek als het aantal graden gegeven is; meetkundige constructies tekenen met behulp van een geodriehoek. Paragraaf 4: Deellijn In deze paragraaf leer je: een deellijn of bissectrice tekenen; hoeken berekenen met behulp van X-, F- en/of Z-hoeken. Paragraaf 5: Hoeken berekenen In deze paragraaf leer je: de grootte van hoeken te beredeneren, gebruikmakend van de eigenschappen van hoeken. 44 Applets Paragraaf 2, Voorbeeld 1: Met deze applet is het mogelijk om het meten van hoeken te oefenen. Er is in de applet een hoek BAC te zien en een geodriehoek. Door punt A, B en/of C te verplaatsen kan de leerling de hoek in grootte laten variëren. Met behulp van de geodriehoek kan hij dan de hoek meten. Dit doet hij door met de rode punt de geodriehoek naar de juiste plek te verschuiven en met de blauwe punt de geodriehoek op de juiste plaats te draaien. Zowel voor het schuiven als het draaien geldt dat de leerling, als hij erop klikt, de linkermuisknop ingedrukt moet houden. De applet heeft daarbij de mogelijkheid om aan te laten geven (in twee decimalen nauwkeurig) hoe groot de hoek is. Hierdoor kan de leerling eerst zelf meten hoe groot de hoek is en vervolgens zijn antwoord controleren. Op deze manier kan de leerling uitgebreid oefenen, terwijl hij directe feedback krijgt. Paragraaf 4, Uitleg 2: Deze applet kan gebruikt worden om visueel te maken dat overstaande hoeken altijd gelijk zijn. In de applet staan twee snijdende lijnen, waardoor 4 hoeken ontstaan (∠𝐴1 , ∠𝐴2 , ∠𝐴3 en ∠𝐴4 ). Daarbij staat aangegeven hoe groot de hoeken zijn. Door het draaien en verschuiven van de lijnen (om te draaien moet de leerling op de rode punt klikken en de linkermuisknop ingedrukt houden) ziet de leerling dat overstaande hoeken A1 en A3 en overstaande hoeken A2 en A4 altijd gelijk blijven, onder welke hoek de lijnen ook staan. Paragraaf 4, Uitleg 3: Deze applet kan gebruikt worden om visueel te maken dat F-hoeken en Zhoeken altijd gelijk zijn. In de applet zijn twee evenwijdige lijnen l en m zichtbaar. Door deze lijnen heen is een snijdende lijn k getekend. Hierdoor ontstaan ∠𝐴1 , ∠𝐴2 , ∠𝐴3 en ∠𝐴4 bij het snijpunt van lijn l en k en ∠𝐵1 , ∠𝐵2 , ∠𝐵3 en ∠𝐵4 bij het snijpunt van lijn m en k. In de applet zijn de F-hoeken met een rode kleur aangegeven, dat zijn de hoeken: A1, A3, B1 en B4. De Z-hoeken zijn met een groene kleur aangegeven, dat zijn de hoeken: A2, A4, B2 en B4. De lijnen kunnen gedraaid en verschoven worden door op de rode punten A, B en P te klikken, terwijl de linkermuisknop ingedrukt gehouden wordt. De leerling zal dan zien dat hoe de lijnen ook gedraaid of verschoven worden, zolang lijn l en m evenwijdig zijn, de F- en Z-hoeken gelijk blijven. Paragraaf 5, Voorbeeld 2: Met behulp van deze applet kan inzichtelijk gemaakt worden dat de som van de hoeken van een driehoek in elke driehoek 180° is. In de applet is een driehoek ABC zichtbaar. Door punt C is een stippellijn evenwijdig aan zijde AB getekend. Vervolgens is met kleurtjes aangegeven welke hoeken door middel van Z-hoeken aan elkaar gelijk zijn. Hierdoor ziet de leerling dat de som van de hoeken van een driehoek gelijk is aan die van een gestrekte hoek, waarvan bekend is dat deze 180° is. De leerling kan punt A, B en C verschuiven, waardoor inzichtelijk wordt dat met elke willekeurige driehoek hetzelfde bewijs is toe te passen. Paragraaf 5, Verwerken, opgave 7: Deze opgave gaat over het berekenen van de hoek die de minuten- en urenwijzer van een klok met elkaar maken. Als hulpmiddel hierbij een applet, waarin een klok zichtbaar is. Met de schuifbalkjes boven aan de applet kunnen de groene urenwijzer en de rode minutenwijzer worden ingesteld. Vervolgens geeft de applet aan welke hoek de wijzers maken. De leerling kan de applet gebruiken om zijn antwoord te controleren, om te zien wat het antwoord is en als visueel hulpmiddel. Op deze manier wordt de leerling ondersteund in het maken van de vrij ingewikkelde berekening. Practica Er komen geen practica voor in dit hoofdstuk. Rekenmachine In dit hoofdstuk mag de rekenmachine gebruikt worden. In de Instaptoets, paragraaf 1 tot en met 3 zal de leerling deze bijna niet nodig hebben, maar in paragraaf 4 en 5 kan deze goed van pas komen. Excel Er zijn geen opgaven waar gebruikgemaakt wordt van Excel. Misvattingen en veelgemaakte fouten In paragraaf 4 en 5 van dit hoofdstuk worden voor het eerst langere meetkundige berekeningen gemaakt. Voor veel leerlingen is dit in eerste instantie lastig. Het vraagt namelijk niet alleen om goed 45 op de hoogte te zijn van alle kennis die in dit hoofdstuk is aangereikt, maar ook om die kennis op het juiste moment toe te passen. Het lastigste voor leerlingen is vaak om te weten wanneer welke informatie moet worden toegepast en waar begonnen moet worden. Ook is het belangrijk dat er zorgvuldig en duidelijk genoteerd wordt. Daarom is het belangrijk aan deze berekeningen aandacht te besteden en de leerling hierbij te begeleiden. Ook is het goed om feedback te geven op de notatie van de opgaven, want een goede notatie is belangrijk en maakt het ook eenvoudiger. Differentiatie De leerdoelen voor havo en vwo zijn in dit hoofdstuk gelijk. In het havo-hoofdstuk is meer ruimte voor extra uitleg en een extra voorbeeld. Ook zijn er meer ‘gemakkelijke’ opgaven. In deze opgaven wordt de stof letterlijk teruggevraagd. Daarnaast zijn er meer ‘geleide’ opgaven. Dit houdt in dat leerlingen stapsgewijs door de opgave geleid worden. In het vwo-hoofdstuk moeten leerlingen deze stappen zelf maken. In het vwo-hoofdstuk is meer ruimte voor extra uitdaging. Dit betekent dat er verhoudingsgewijs meer opgaven van het niveau ‘te behalen’ zijn opgenomen. Lesplanner Paragraaf 1 is redelijk eenvoudig en kan in 60 minuten gemaakt worden. In paragraaf 2 en 3 komen al iets complexere sommen voor en moeten de leerlingen meten en tekenen. Daarom wordt voor deze paragrafen 85 minuten geadviseerd. Paragraaf 4 bevat een aantal opgaven waarin de leerlingen complexe berekeningen moeten maken. Daarom is het advies om voor deze paragraaf 125 minuten uit te trekken. Paragraaf 5 bevat veel opgaven met complexe berekeningen die tijdrovend zijn. Daarom wordt voor deze paragraaf 150 minuten geadviseerd. Indien er weinig tijd beschikbaar is, staan in deze tabel de meest essentiële opgaven. Paragraaf 1 Hoeken Benodigde tijdsduur (min) 60 2 Hoeken meten 85 3 Hoeken tekenen 85 4 Deellijn 125 5 Hoeken berekenen 150 Totaal Essentiële opgaven in applicatie uitleg 1: 1, 2 uitleg 2: 1, 2 voorbeeld 1: 1 verwerken: 3, 4, 6 uitleg 1: 2 uitleg 2: 1, 4 voorbeeld 1: 4 voorbeeld 2: 1, 2, 3 verwerken: 3, 4 uitleg 1: 1 uitleg 2: 1, 2 voorbeeld 1: 2 voorbeeld 2: 1, 2 verwerken: 4, 5, 6 uitleg 1: 3, 4 uitleg 2: 1, 2, 3 uitleg 3: 2, 3 voorbeeld 1: 2 voorbeeld 2: 1, 2 verwerken: 3, 5, 6, 7 uitleg: 2, 3 voorbeeld 1: 1, 2 voorbeeld 2: 1, 4, 6 verwerken: 3, 4, 6, 7 Equivalente opgaven in het boek 1.1, 1.2 1.3, 1.4 1.5 1.8, 1.9, 1.11 2.2 2.3, 2.1 2.8 2.9, 2.10, 2.11 2.14, 2.15 3.1 3.3, 3.4 3.5 3.6, 3.7 3.10, 3.11, 3.12 4.2, 4.3 (U2.1 applet), 4.4, 4.5 4.7, 4.8 4.10 4.11, 4.12 4.17, 4.15, 4.19, 4.18 5.2 (U1.3 applet) 5.3, 5.4 5.5, 5.6, 5.7 5.11, 5.12, 5.14, 5.13 505 46 Opdrachtverwijzing boek > applicatie Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 HV 1 5. Hoeken 5.1 Hoeken = in applicatie U1.1 U1.2 U2.1 U2.2 Vb1.1 Vw1 Vw2 Vw3 Vw4 Vw5 Vw6 Vw7 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 HV 1 5. Hoeken 5.2 Hoeken meten = in applicatie U1.1 U1.2 U2.3 U2.2 niet in boek U2.1 U2.4 Vb1.2 Vb1.1 niet in boek Vb1.3 Vb1.4 Vb2.1 Vb2.2 Vb2.3 Vw1 Vw2 Vw3 Vw4 Vw5 en Vw6 niet in boek Vw7 U2.3 en U2.4 niet in boek 47 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 HV 1 5. Hoeken 5.3 Hoeken tekenen = in applicatie U1.1 U1.2 U2.1 U2.2 Vb1.2 Vb1.1 niet in boek Vb2.1 Vb2.2 Vw1 Vw2 Vw3 niet in boek Vw4 Vw5 Vw6 Vw7 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 4.18 4.19 4.20 HV 1 5. Hoeken 5.4 Deellijn = in applicatie U1.1 U1.3 U1.4 U2.2 U2.3 U3.1 U3.2 U3.3 Vb1.1 Vb1.2 Vb2.1 Vb2.2 Vw1 Vw2 Vw5 Vw4 Vw3 Vw7 Vw6 Vw8 U1.2 niet in boek U2.1 niet in boek (met applet) 48 6: Omtrek, oppervlakte en inhoud Instaptoets Benodigde voorkennis: - wiskundige afstanden correct kunnen meten; - het rekenen met decimale getallen; - het werken met schaal; - het herkennen van een aantal soorten vlakke figuren; - het kunnen herkennen van een aantal soorten ruimtelijke figuren; - weten in welke eenheden je afstand, oppervlakte en inhoud uitdrukt; - weten hoe je de omtrek en oppervlakte van eenvoudige figuren, zoals een rechthoek, berekend. Opgave 1 van de instaptoets zoomt in op welke eenheden je gebruikt bij de grootheden lengte en oppervlakte. Dit is terug te vinden in Uitleg 1 en 2 van paragraaf 4 van de Voorkennis. In opgave 2 wordt gevraagd om snel het aantal hokjes van een vierkant van 10 bij 10 hokjes te berekenen. Dit is een voorproefje op het berekenen van de oppervlakte van een rechthoekig figuur. Dit verwijst niet naar een specifieke paragraaf terug. Opgave 3 gaat over wat er met de inhoud gebeurt als je alle zijden van een kubusvormige bak twee keer zo groot maakt. Ook dit verwijst niet naar een specifieke paragraaf van de Voorkennis terug. In opgave 4 van de Instaptoets wordt gekeken naar de definities van omtrek en oppervlakte in het geval van een rechthoek. Dit wordt ook behandeld in Uitleg 1 en 2 van paragraaf 4. De laatste opgave gaat in op het berekenen van de omtrek en oppervlakte van een rechthoek getekend op een rooster. Dit wordt niet heel specifiek in de Voorkennis behandeld. Voor het gebruik van een rooster (een vorm van schaal) kunnen leerlingen in paragraaf 6 van het hoofdstuk Verhoudingen kijken. Indien nodig, kunnen leerlingen hun kennis nog eens bijspijkeren in paragraaf 4 van de Voorkennis. Mochten leerlingen problemen hebben met de berekeningen die in dit hoofdstuk nodig zijn, dan kunnen zij paragraaf 1 van het hoofdstuk Rekenen bekijken. Als er problemen zijn met het werken met schaal, dan kunnen zij paragraaf 6 van het hoofdstuk Verhoudingen bekijken. Heeft een leerling nog problemen met de afstand van een rechte lijn, dan kan hij teruggaan naar paragraaf 2 van het hoofdstuk Figuren. Heeft hij problemen met het herkennen van vlakke en/of ruimtelijke figuren, dan kan hij respectievelijk paragraaf 4 van het hoofdstuk Figuren of paragraaf 1 van het hoofdstuk Ruimtelijke figuren gebruiken. Leerdoelen Paragraaf 1: Omtrek In deze paragraaf leer je: de omtrek bepalen van figuren door de lengtes van de zijden bij elkaar op te tellen; de lengte van schuine en kromme stukken van een roosterfiguur schatten en benaderen; de omtrek van een cirkel berekenen. Paragraaf 2: Lengtematen In deze paragraaf leer je: verschillende lengte-eenheden in elkaar omrekenen. Paragraaf 3: Oppervlakte In deze paragraaf leer je: de oppervlakte van rechthoeken berekenen met behulp van de lengte en breedte en andersom; de oppervlakte berekenen van driehoeken en veelhoeken; verschillende oppervlakte-eenheden in elkaar omrekenen. Paragraaf 4: Inhoud In deze paragraaf leer je: uit grondvlak en hoogte de inhoud berekenen van (halve) kubussen, (halve) balken, prisma’s en cilinders of andersom. 49 Paragraaf 5: Inhoudsmaten In deze paragraaf leer je: je een voorstelling maken van de belangrijkste inhoudseenheden; verschillende inhoudseenheden in elkaar omrekenen, zoals dm 3, m3, l en ml. de inhoud van ruimtelijke figuren berekenen. Applets Paragraaf 1, Voorbeeld 2, opgave 3: Deze opgave gaat over hoe een curvimeter werkt. In de applet is een cirkel op roosterpapier zichtbaar met middelpunt M en een straal van 1 roosterhokje. Punt P ligt recht beneden M op de cirkel. Met behulp van de schuifbalk kan M opzij geschoven worden. Als M verschoven wordt, gaat de cirkel draaien. Punt P laat een spoor achter. Als de leerling schuift totdat punt P weer helemaal beneden is, ziet hij een kromme, die even groot is als de omtrek van de cirkel. Deze applet maakt inzichtelijk dat met behulp van de omtrek van een cirkel krommen gemeten kunnen worden. Paragraaf 3, Uitleg 1: Met deze applet kunnen leerlingen uitgebreid het berekenen van de oppervlakte oefenen. In de applet is een zeshoek ABCDEF op roosterpapier zichtbaar. Daarbij is aangegeven wat de oppervlakte van rechthoek ABCDEF is. Het is mogelijk de punten te verplaatsen. Dit doet de leerling door met de linkermuisknop op een punt te klikken en de linkermuisknop ingedrukt te houden. Op deze manier kan een willekeurige zeshoek gemaakt worden. De leerling kan dan zelf uitzoeken hoe hij de oppervlakte van deze rechthoek kan berekenen. Doordat gegeven is wat de oppervlakte is, krijgt hij directe feedback op zijn berekening. Practica Er komen geen practica voor in dit hoofdstuk. Rekenmachine In dit hoofdstuk mag een rekenmachine gebruikt worden. Excel Er zijn geen opgaven waar gebruikgemaakt wordt van Excel. Misvattingen en veelgemaakte fouten Bij het werken met omtrek, oppervlakte en inhoud is vooral het omrekenen van de verschillende eenheden in elkaar lastig voor leerlingen. Vaak wordt er gedeeld in plaats van vermenigvuldigd of omgekeerd. Dit kan voorkomen worden door de leerling bewust na te laten denken over of het getal na de omrekening groter of kleiner moet zijn. Daarnaast worden de vermenigvuldigingen/delingen met 100 en 1000 bij respectievelijk oppervlakte en inhoud wel eens vergeten. Bij opgaven waarin met verschillende eenheden gewerkt wordt, wordt vaak vergeten dat de eenheden eerst gelijk moeten zijn voor er berekeningen uitgevoerd mogen worden. Het is belangrijk de leerling hier alert op te maken. Differentiatie De leerdoelen voor havo en vwo zijn in dit hoofdstuk gelijk. In de havo-versie van het hoofdstuk zijn extra uitleg en extra voorbeelden opgenomen. Met behulp van deze extra uitleg en voorbeelden wordt de havoleerling meer door de stof geleid, terwijl de vwo-leerling zelf deze stof in de opgaven uitzoekt. In paragraaf 2 gaat het extra voorbeeld over het matensysteem in de Verenigde Staten. In paragraaf 3 is er in een extra voorbeeld meer aandacht voor het handig berekenen van de oppervlakte van een figuur door het verdelen van de figuur in kleinere figuren met bekende oppervlakte. Hierbij komt ook de formule basis keer hoogte ter sprake. In paragraaf 4 is de uitleg over het berekenen van een inhoud van een balk en prisma en cilinder gesplitst. Hierdoor wordt de formule voor het berekenen van de inhoud van het prisma en cilinder meer toegelicht. Paragraaf 5 bevat twee extra voorbeelden. Eén voorbeeld over verpakkingen en hoe je berekent hoeveel dozen er in een container gaan. Het tweede voorbeeld gaat uitgebreider in op het gebruik van liters. Naast de extra uitleg en voorbeelden heeft het havo-hoofdstuk meer oefeningen om de vaardigheden in te slijpen. In verhouding tot de vwo-versie van het hoofdstuk zijn er vooral ‘gemakkelijke’ opgaven toegevoegd. Hierdoor is er voor de vwo-leerling verhoudingsgewijs meer uitdaging. 50 Lesplanner Dit hoofdstuk overlapt gedeeltelijk met de basisschoolstof over omtrek, oppervlakte en inhoud. Het omrekenen van lengte-eenheden, oppervlakte-eenheden en inhoudseenheden hebben de leerlingen al gehad. Ook kunnen ze al van eenvoudige figuren omtrek, oppervlakte en inhoud berekenen. Dit hoofdstuk gaat dieper doordat er moeilijkere (ruimtelijke) figuren gebruikt worden. Daarnaast worden er niet altijd meer rechte lijnen gebruikt. Ook de verhaaltjessommen bij het omrekenen gaan dieper. Voor paragraaf 1 wordt 85 minuten geadviseerd, voor paragraaf 2 75 minuten, voor paragraaf 3 en 4 100 minuten en voor paragraaf 5 125 minuten. Indien er weinig tijd beschikbaar is, staan in de tabel hieronder de meest essentiële opgaven. Hierbij is in de regel gekozen voor opgaven die ook in het boek staan. Paragraaf 1 Omtrek Benodigde tijdsduur (min) 85 2 Lengtematen 75 3 Oppervlakte en oppervlaktematen 100 4 Inhoud 100 5 Inhoudsmaten 125 Totaal Essentiële opgaven in applicatie uitleg 1: 1, 5 uitleg 2: 2 voorbeeld 1: 1, 3 voorbeeld 2: 1 verwerken: 3, 4, 6 uitleg 1: 1, 3 uitleg 2: 1, 4 voorbeeld 1: 3 verwerken: 3, 4, 5 uitleg 1: 1 uitleg 2: 1, 3 uitleg 3: 2, 4, 5 voorbeeld 1: 2, 4 voorbeeld 2: 1 voorbeeld 3: 1, 2 verwerken: 3, 5, 8 uitleg 1: 1, 2 uitleg 2: 1, 3 voorbeeld 1: 1, 3 voorbeeld 2: 1, 2 verwerken: 5, 6, 7 uitleg 1: 1, 2, 4 uitleg 2: 1, 5 voorbeeld 1: 2 voorbeeld 2: 2 voorbeeld 3: 1, 2 verwerken: 5, 6, 7 Equivalente opgaven in het boek 1.1, 1.2 1.3 1.4, 1.5 1.6 1.10, 1.11, 1.12 2.1, 2.3 2.4, 2.5 2.8 2.11, 2.12 , 2.13 3.1 3.2, 3.4 3.5, 3.6, 3.7 3.8, 3.9 3.10 3.12, 3.13 3.16, 3.20, 3.19 4.1, 4.2 4.3, 4.4 4.5, 4.7 4.9, 4.8 4.13, 4.14, 4.15 5.1, 5.2, 5.3 5.4, 5.5 5.6 5.7 5.8, 5.9 5.14, 5.15, 5.16 485 51 Opdrachtverwijzing boek > applicatie Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 HV 1 6. Omtrek, oppervlakte en inhoud 6.1 Omtrek = in applicatie U1.3 U1.1, U1.2 en U1.4 niet in boek U1.5 U2.2 U2.1 niet in boek Vb1.1 Vb1.2 niet in boek Vb1.3 Vb2.1 Vb2.2 Vb2.3 niet in boek Vw2 Vw1 Vw3 Vw4 Vw5 niet in boek Vw6 Vw7 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 HV 1 6. Omtrek, oppervlakte en inhoud 6.2 Lengtematen = in applicatie U1.1 U1.2 U1.3 U2.1 U2.2 en U2.3 niet in boek U2.4 Vb1.1 Vb1.2 Vb1.3 Vw1 Vw2 Vw3 Vw4 Vw5 Vw6 Vw7 52 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 3.20 3.21 HV 1 6. Omtrek, oppervlakte en inhoud 6.3 Oppervlakte = in applicatie U1.1 U1.2 niet in boek U2.1 U2.2 U2.3 U3.2 U3.1 en U3.3 niet in boek U3.4 U3.5 Vb1.2 Vb1.1 en 1.3 niet in boek Vb1.4 Vb2.1 Vb2.2 Vb2.3 niet in boek Vb3.1 Vb3.2 Vb3.3 en Vb3.4 niet in boek Vw1 Vw2 niet in boek Vw3 Vw4 Vw6 Vw7 Vw8 Vw5 Vw9 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 HV 1 6. Omtrek, oppervlakte en inhoud 6.4 Inhoud = in applicatie U1.1 U1.2 U1.3 niet in boek U2.1 U2.2 niet in boek U2.3 Vb1.1 Vb1.2 Vb1.3 Vb2.2 Vb2.1 Vb2.3 niet in boek Vw1 Vw2 Vw3 niet in boek Vw4 Vw5 Vw6 Vw7 Vw8 niet in boek Vw9 53 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 5.14 5.15 5.16 5.17 HV 1 6. Omtrek, oppervlakte en inhoud 6.5 Inhoudsmaten = in applicatie U1.1 U1.2 U1.3 niet in boek U1.4 U2.1 U2.2, U2.3 en U2.4 niet in boek U2.5 Vb1.2 Vb1.1 en Vb1.3 niet in boek Vb2.2 Vb2.1 niet in boek Vb3.1 Vb3.2 Vb3.3 Vb3.4 niet in boek Vw1 Vw2 niet in boek Vw3 Vw4 Vw5 Vw6 Vw7 Vw8 54 7: Negatieve getallen Instaptoets Benodigde voorkennis: - het rekenen met decimale getallen; - het rekenen met machten; - de voorrangsregels bij het rekenen toepassen; - het rekenen met breuken; - het kunnen werken met coördinaten op positieve assen. In de instaptoets wordt in opgave 1 ingezoomd op het rekenen met machten. Dit is terug te vinden in paragraaf 6 van het hoofdstuk Rekenen. Opgave 2 gaat over het rekenen met decimale getallen. Deze opgave test de kennis uit paragraaf 1 van het hoofdstuk Rekenen. De instaptoets besteedt in opgave 3 en 4 aandacht aan het gebruiken van de juiste rekenvolgorde bij het rekenen. In opgave 4 worden hierbij ook machten gebruikt. Deze kennis en vaardigheid is ook in paragraaf 6 van het hoofdstuk Rekenen behandeld. De laatste, opgave 5, is een voorproefje van het hoofdstuk. In deze opgave wordt ingezoomd op het gebruik van negatieve getallen in het dagelijks leven van de leerling. Indien nodig kunnen leerlingen hun kennis nog eens bijspijkeren in paragraaf 1, 3, 4 en 6 van het hoofdstuk Rekenen en paragraaf 6 van het hoofdstuk Figuren. In paragraaf 3 en 4 van het hoofdstuk Rekenen is het rekenen met breuken terug te vinden. Paragraaf 6 van het hoofdstuk Figuren behandelt het werken met coördinaten op positieve assen. Leerdoelen Paragraaf 1: Wat is negatief? In deze paragraaf leer je: Het verschil tussen positieve en negatieve getallen; Het tegengestelde van een getal noemen; Negatieve getallen plaatsen op een getallenlijn; Punten met negatieve coördinaten plaatsen in een assenstelsel; Bij positieve en negatieve getallen aangeven of het ene getal groter of kleiner is dan het andere. Paragraaf 2: Negatieve getallen optellen In deze paragraaf leer je: negatieve getallen optellen. Paragraaf 3: Negatieve getallen aftrekken In deze paragraaf leer je: negatieve getallen aftrekken. Paragraaf 4: Negatieve getallen vermenigvuldigen In deze paragraaf leer je: negatieve getallen vermenigvuldigen; met machten van negatieve getallen rekenen. Paragraaf 5: Negatieve getallen delen In deze paragraaf leer je: negatieve getallen delen. Applets Paragraaf 1, Voorbeeld 2: In de applet is een assenstelsel te zien met zowel op de x-as als op de y-as positieve en negatieve getallen. In het assenstelsel staat een rood punt A met daarbij de coördinaten van het punt geschreven. Dit punt kan verschoven worden binnen het assenstelsel. Op het moment dat het punt verschoven wordt, veranderen de bijbehorende coördinaten ook. In Voorbeeld 2 wordt de leerling gevraagd punt A naar een aantal coördinaten te verschuiven. Het voordeel van de applet hierbij is dat de leerling directe feedback krijgt en voor zich ziet waar punten liggen als de coördinaten negatief zijn. 55 Paragraaf 2, Uitleg: In de applet is een getallenlijn met daarboven drie pijlen te zien. Met behulp van deze pijlen kunnen sommen van de vorm x + y worden gepresenteerd. De blauwe pijl geeft x weer, de rode pijl y. De rode pijl start bij het einde van de blauwe pijl. De groene pijl geeft dan de uitkomst van x + y weer, gezien vanaf 0. Onder de getallenlijn kan de leerling met schuifknoppen de waarde van de blauwe en rode pijl veranderen, zowel in positieve als negatieve getallen. Op deze manier kan de leerling dus sommen van de vorm x + y, waarbij x en y zowel positief als negatief mogen zijn, visueel maken. Door de leerling te laten variëren met de blauwe en rode pijl ontstaat inzicht in wat de gevolgen zijn van het optellen met negatieve getallen. Paragraaf 3, Uitleg: De applet laat een getallenlijn met daarboven drie pijlen zien. Met behulp van deze pijlen kunnen sommen van de vorm x - y worden gepresenteerd. De blauwe pijl geeft x weer, de rode pijl y. De rode pijl eindigt bij het einde van de blauwe pijl. De groene pijl geeft dan de uitkomst van x - y weer gezien vanaf 0. Onder de getallenlijn kan de leerling met schuifknoppen de waarde van de blauwe en rode pijl veranderen, zowel in positieve als negatieve getallen. Op deze manier kan de leerling dus sommen van de vorm x - y, waarbij x en y zowel positief als negatief mogen zijn, visueel maken. Door de leerling te laten variëren met de blauwe en rode pijl ontstaat inzicht in wat de gevolgen zijn van het aftrekken met negatieve getallen. Practica Er komen geen practica voor in dit hoofdstuk. Rekenmachine De instaptoets wordt in zijn geheel zonder rekenmachine gemaakt. In het hoofdstuk wordt uitgelegd hoe je de opgaven zowel met rekenmachine als zonder rekenmachine kunt maken. De opgaven in de onderstaande tabel moeten zonder rekenmachine gemaakt worden. Bij de overige opgaven mag, en in enkele gevallen moet, een rekenmachine gebruikt worden. Paragraaf 1 Wat is negatief? Opgaven zonder rekenmachine Verwerken: 11 2 Negatieve getallen optellen Uitleg: 1, 2, 3, 4, 5 Verwerken: 1, 2, 3, 9 Test jezelf: 1, 2, 3, 4, 5 Uitleg: 2, 4 Voorbeeld 2: 3 Verwerken: 2, 3, 4, 5, 6, 7 Test jezelf: 1, 2, 3, 5 Verkennen: 1, 2 Voorbeeld 1: 3 Verwerken: 3, 4, 9 Test jezelf: 1, 2, 3, 4, 5 Uitleg: 5 Voorbeeld 1: 1, 2 Verwerken: 4, 5, 7, 8 Test jezelf: 1, 2, 3, 4 3 Negatieve getallen aftrekken 4 Negatieve getallen vermenigvuldigen 5 Negatieve getallen delen Excel Er zijn geen opgaven waar gebruikgemaakt wordt van Excel. Misvattingen en veelgemaakte fouten Het rekenen met negatieve getallen kan voor leerlingen erg lastig zijn. Het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van positieve getallen zit al goed in het systeem, maar als je hetzelfde doet met een negatief getal wat gebeurt er dan? Voor veel leerlingen is het lastig om te zien dat als je een negatief getal bij een positief getal optelt, dat dat positieve getal dan kleiner wordt. Hetzelfde geldt voor aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Het is daarom belangrijk om aandacht te besteden aan de vraag of een getal groter of kleiner wordt als je er een negatief getal bij optelt of van aftrekt. Hetzelfde geldt voor het delen of vermenigvuldigen door een negatief getal. Zeker bij het rekenen met breuken is die kennis van belang, omdat leerlingen daarbij veel minder een beeld hebben van hoe groot een breuk is. 56 Differentiatie De leerdoelen voor havo en vwo zijn in dit hoofdstuk gelijk. In het havo-hoofdstuk is alleen meer ruimte voor uitleg en voorbeelden. Zo is er in paragraaf 1 een extra uitleg over of het ene getal groter of kleiner is dan het andere en over het gebruik van de tekens voor kleiner dan en groter dan. In paragraaf 2 is een extra voorbeeld opgenomen over het rekenen met breuken. Ook in paragraaf 3 is een extra voorbeeld opgenomen, in dit geval over het gebruik van de rekenregels. Daarnaast bevat het havo-hoofdstuk meer opgaven waarin naar de kern van de stof gevraagd wordt, zodat er meer herhaling is. Ook zijn er meer oefenopgaven opgenomen, zodat alle vaardigheden goed ingesleten worden. Het vwo-hoofdstuk bevat verhoudingsgewijs meer moeilijke opgaven. Zo ligt het percentage opgaven van het niveau ‘te behalen’ een stuk hoger dan bij de havo. Lesplanner Paragraaf 1 besteedt aandacht aan het concept negatieve getallen. Voor de rest van het hoofdstuk is het belangrijk dat de leerling dit concept goed doorheeft. Daarnaast heeft deze paragraaf veel opgaven. Hoewel de meeste daarvan snel te maken zijn, op de opgaven over coördinaten na, wordt toch geadviseerd om 125 minuten voor deze paragraaf uit te trekken. Paragraaf 2, 3 en 4 bevatten veel rekenopgaven, waarbij de opgaven ook oplopen in moeilijkheidsgraad. Daarom wordt ook voor deze paragrafen geadviseerd om 125 minuten te reserveren. De afsluitende paragraaf 5 behandelt het delen van negatieve getallen. Leerlingen kunnen dit snel onder de knie krijgen als zij het vermenigvuldigen van negatieve getallen beheersen. Deze paragraaf bevat verhoudingsgewijs weinig opgaven. Het is daarom mogelijk om deze paragraaf in 100 minuten te maken. Indien er weinig tijd beschikbaar is, staan in onderstaande tabel de meest essentiële opgaven. Paragraaf Benodigde tijdsduur (min) 125 1 Wat is negatief? 2 Negatieve getallen optellen 125 3 Negatieve getallen aftrekken 125 4 Negatieve getallen vermenigvuldigen 125 5 Negatieve getallen delen 100 Essentiële opgaven in applicatie Uitleg 1: 2, 3 Uitleg 2: 2 Voorbeeld 1: 2 Voorbeeld 2: 2 Verwerken: 5, 6, 7, 8 Uitleg: 2, 4 Voorbeeld 1: 1 Voorbeeld 2: 1, 2 Voorbeeld 3: 1, 2 Voorbeeld 4: 1 Verwerken: 4, 5, 6, 7 Uitleg: 1, 3 Voorbeeld 1: 1 Voorbeeld 2: 1 Voorbeeld 3: 1, 3 Verwerken: 4, 6, 7 Uitleg: 1, 3 Voorbeeld 1: 1, 3 Voorbeeld 2: 2 Voorbeeld 3: 1, 2 Verwerken: 4, 5, 7, 8 Uitleg: 1, 2 Voorbeeld 1: 1, 3 Voorbeeld 2: 2 Verwerken: 3, 5, 6 Equivalente opgaven in het boek 1.2, 1.3 1.5 1.7 1.9 1.13, 1.14, 1.15, 1.16 2.2, 2.3 2.4 2.5, 2.6 2.7, 2.8 2.9 2.13, 2.14, 2.15, 2.16 3.1, 3.3 3.4 3.6 3.8, 3.9 3.13, 3.14, 3.15 4.1, 4.3 4.4, 4.5 4.7 4.9, 4.10 4.14, 4.15, 4.17, 4.18 5.1, 5.2 5.4, 5.6 5.8 5.12, 5.14, 5.15 57 Opdrachtverwijzing boek > applicatie Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 HV 1 7. Negatieve getallen 7.1 Wat is negatief? = in applicatie U1.1 U1.2 U1.3 U2.1 U2.2 Vb1.2 Vb1.1 niet boek (applet) Vb1.2 Vb2.1 Vb2.2 Vw1 Vw2 Vw3 Vw5 Vw4 niet in boek Vw6 Vw7 Vw8 Vw9 niet in boek Vw10 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 HV 1 7. Negatieve getallen 7.2 Negatieve getallen optellen = in applicatie U1.1 U1.2 U1.4 U1.3 en U1.5 niet in boek Vb1.1 Vb2.1 Vb2.2 Vb2.3 niet in boek Vb3.1 Vb3.2 Vb4.1 Vb4.2 Vw1 Vw2 Vw3 niet in boek Vw4 Vw5 Vw6 Vw7 Vw8 58 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 HV 1 7. Negatieve getallen 7.3 Negatieve getallen aftrekken = in applicatie U1.1 U1.2 U1.3 Vb1.1 Vb1.2 Vb2.1 Vb2.2 Vb3.1 Vb3.3 Vb3.2 niet in boek Vw1 Vw2 Vw3 Vw4 Vw5 Vw6 Vw7 Vw8 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 4.18 4.19 HV 1 7. Negatieve getallen 7.4 Negatieve getallen vermenigvuldigen = in applicatie U1.1 U1.2 U1.3 Vb1.1 Vb1.3 Vb1.2 niet in boek Vb1.4 Vb2.2 Vb2.1 niet in boek Vb2.3 Vb3.1 Vb3.2 Vb3.3 niet in boek Vw1 Vw2 Vw3 Vw4 Vw5 Vw6 Vw7 Vw8 Vw9 59 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 5.14 5.15 5.16 HV 1 7. Negatieve getallen 7.5 Negatieve getallen delen = in applicatie U1.1 U1.2 U1.3 Vb1.1 Vb1.2 Vb1.3 Vb2.1 Vb2.2 Vb2.3 Vw1 Vw2 Vw3 Vw4 Vw5 Vw6 Vw7 60 8: Grafieken Instaptoets Benodigde voorkennis: - het kunnen rekenen met negatieve en decimale getallen; - bij positieve en negatieve getallen aangeven of het ene getal groter of kleiner is dan het andere; - punten met positieve en negatieve coördinaten in een assenstelsel kunnen plaatsen; - lengte, oppervlakte en inhoud kunnen uitdrukken in de belangrijkste eenheden; - het kunnen aflezen van een tabel; - het kunnen aflezen van een eenvoudige grafiek. Opgave 1 van de instaptoets zoomt in op welke eenheden bij bepaalde oppervlakte- en inhoudsgrootheden horen. Dit is terug te vinden in paragraaf 3 en 5 van het hoofdstuk Omtrek, oppervlakte en inhoud. In opgave 2 wordt ingezoomd op het rekenen met negatieve getallen, in het bijzonder optellen, vermenigvuldigen en delen. Deze kennis is te vinden in paragraaf 2, 4 en 5 van het hoofdstuk Negatieve getallen. Opgave 3 gaat over het vergelijken van getallen in een tabel. In deze opgave wordt zowel de voorkennis van het aflezen van een tabel als het ordenen van positieve getallen getest. Het vergelijken van positieve getallen wordt behandeld in paragraaf 1 van het hoofdstuk Rekenen. In plaats daarvan kan ook gebruik gemaakt worden van paragraaf 1 van het hoofdstuk Negatieve getallen. Opgave 4 gaat in op het aflezen van een grafiek. Hierbij worden eenvoudige waarden genomen. Daarnaast is voor het aflezen van positieve coördinaten ook paragraaf 6 van het hoofdstuk Figuren geschikt. Opgave 5 zoomt in op het aflezen van positieve en negatieve coördinaten in een assenstelsel. Dit is terug te vinden in paragraaf 1 van het hoofdstuk Negatieve getallen. Indien nodig kunnen leerlingen hun voorkennis bijspijkeren in paragraaf 1, 2, 3, 4 en 5 van het hoofdstuk Negatieve getallen en in paragraaf 2, 3 en 5 van het hoofdstuk Omtrek, oppervlakte en inhoud. Leerdoelen Paragraaf 1: Verloop van een grafiek In deze paragraaf leer je: de grootheden op de assen van een grafiek benoemen; het verloop van een grafiek beschrijven met de woorden stijgen, dalen en constant; een grafiek globaal interpreteren binnen een context; het verloop van een verband in een grafiek tekenen. Paragraaf 2: Grafieken aflezen In deze paragraaf leer je: grootheden en eenheden onderscheiden; waarden van de y-as aflezen; waarden van de x-as aflezen; waarden aflezen in een grafiek met een scheurlijn. Paragraaf 3: Grafieken tekenen In deze paragraaf leer je: een grafiek tekenen bij een tabel; een scheurlijn gebruiken als dat nodig is; coördinaten aflezen uit een grafiek. Paragraaf 4: Som/verschilgrafiek In deze paragraaf leer je: wat een somgrafiek is en hoe je een somgrafiek maakt; een somgrafiek interpreteren; wat een verschilgrafiek is en hoe je een verschilgrafiek maakt; een verschilgrafiek interpreteren. 61 Paragraaf 5: Maximum en minimum In deze paragraaf leer je: het maximum in een grafiek herkennen en aflezen; het minimum in een grafiek herkennen en aflezen. Paragraaf 6: Periodieke grafieken In deze paragraaf leer je: een periodieke grafiek herkennen en interpreteren; de periode in een periodieke grafiek aflezen, herkennen of berekenen; een periodieke grafiek tekenen aan de hand van gegevens over één periode. Applets Er komen geen applets voor in dit hoofdstuk. Practica Er komen geen practica voor in dit hoofdstuk. Rekenmachine De instaptoets wordt zonder rekenmachine gemaakt. In het hoofdstuk zelf mag een rekenmachine gebruikt worden. Excel Er zijn geen opgaven waar gebruik gemaakt wordt van Excel. Misvattingen en veelgemaakte fouten Bij het onderwerp grafieken is het voor leerlingen lastig om de juiste gegevens bij de juiste as te zetten. Dat geldt ook voor de interpretatie van de betekenis van een grafiek. Rechtstreekse vragen over het aflezen van een grafiek lukken vaak wel, maar vragen waarbij een context omgezet moet worden naar het aflezen van informatie van een grafiek is ingewikkelder. Daarom is het goed herhaaldelijk aandacht te besteden aan de vertaalslag van de grafiek naar de werkelijkheid. Verder kan het tekenen van een periodieke grafiek bij bijvoorbeeld de situatie van een reuzenrad moeilijk zijn, omdat daar meetkunde gecombineerd wordt met het werken met grafieken. Ook hierbij is het belangrijk de vertaalslag van een context naar een grafiek aandacht te geven. Differentiatie De leerdoelen voor havo en vwo zijn in dit hoofdstuk gelijk. In het hoofdstuk is differentiatie aangebracht door middel van extra opgaven voor de havoleerling. Deze opgaven bevatten meer sturing, waardoor de stof stapsgewijs geoefend wordt. De denkstappen die de vwo-leerling zelf ontdekt, worden door de havoleerling meer gestuurd ontdekt. De vwo-leerling wordt meer uitgedaagd om zelf de denkstappen te maken. De havoleerling krijgt meer oefening om de vaardigheden in te slijten. In de vwo-versie zijn er verhoudingsgewijs meer opgaven van het niveau ‘te behalen’ dan in het hoofdstuk voor havo. 62 Lesplanner Paragraaf 1 is een paragraaf om in te komen en kan in 60 minuten gemaakt worden. Paragraaf 2 bevat wat meer en wat langere opgaven en kan in 75 minuten gemaakt worden. Paragraaf 3 en 4 bevatten veel tekenwerk. Daarom wordt daar 125 minuten voor uitgetrokken. Paragraaf 5 is niet zo ingewikkeld en bevat voornamelijk afleeswerk. Ook deze paragraaf kan in ongeveer 60 minuten gemaakt worden. Paragraaf 6 heeft een aantal ingewikkelde opgaven, waarbij veel getekend en gemeten moet worden. Daarom is het advies om voor deze paragraaf 85 minuten uit te trekken. Indien er weinig tijd beschikbaar is, kunnen de essentiële opgaven uit onderstaande tabel aangehouden worden. Paragraaf Benodigde tijdsduur (min) 60 1 Verloop van een grafiek 2 Grafieken aflezen 75 3 Grafieken tekenen 125 4 Som/verschilgrafiek 125 5 Maximum en minimum 60 6 Periodieke grafieken 85 Essentiële opgaven in applicatie Equivalente opgaven in het boek Uitleg: 1, 3 Voorbeeld 1: 1, 2 Verwerken: 4, 5, 6 Uitleg 1: 2 Uitleg 2: 1, 3 Voorbeeld 1: 1, 2 Voorbeeld 2: 1,2 Verwerken: 3, 5 Uitleg: 1 Voorbeeld 1: 1, 2 Verwerken: 3, 5, 6 Uitleg: 1, 2 Voorbeeld 1: 1 Voorbeeld 2: 1, 2 Verwerken: 3, 4, 5, 6, 7 Uitleg: 2 Voorbeeld 1: 2 Voorbeeld 2: 1, 2 Verwerken: 4, 6, 8 Uitleg: 1 Voorbeeld 1: 1 Voorbeeld 2: 1, 2 Verwerken: 4, 5, 6 1.1, 1.3 1.4, 1.5 1.8, 1.9, 1.10 2.1 2.3, 2.5 2.6, 2.7 2.9, 2.10 2.13, 2.14 3.1 3.2, 3.3 3.7, 3.8, 3.9 4.1, 4.2 4.3 4.4, 4.5 4.8, 4.9, 4.10 5.2 5.4 5.5, 5.6 5.9, 5.11, 5.12 6.1 6.3 6.5, 6.6 6.10, 6.11, 6.12 63 Opdrachtverwijzing boek > applicatie Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 VG 1 8. Grafieken 8.1 Verloop van een grafiek = in applicatie U1.1 U1.2 U1.3 U1.4 niet in boek Vb1.1 Vb1.2 Vw2 Vw1 niet in boek Vw3 Vw4 Vw5 Vw6 Vw7 niet in boek Vw8 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 VG 1 8. Grafieken 8.2 Grafieken aflezen = in applicatie U1.1 U1.2 U2.1 U2.2 U2.3 Vb1.1 Vb1.2 Vb1.3 Vb2.1 Vb2.2 Vw1 Vw2 Vw3 Vw4 niet in boek Vw5 Vw6 64 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 VG 1 8. Grafieken 8.3 Grafieken tekenen = in applicatie U1.1 U1.2 niet in boek Vb1.1 Vb1.2 niet in boek Vb1.3 Vb2.2 Vb2.1 en 2.3 niet in boek Vw1 Vw2 Vw3 Vw5 Vw4 niet in boek Vw6 Vw7 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 VG 1 8. Grafieken 8.4 Som/verschil grafiek = in applicatie U1.1 U1.2 Vb1.1 Vb1.2 niet in boek Vb2.3 Vb2.1 en 2.2 niet in boek Vb2.4 Vw1 Vw2 en Vw3 niet in boek Vw4 Vw5 Vw6 Vw7 Vw8 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 VG 1 8. Grafieken 8.5 Maximum en minimum = in applicatie U1.1 U1.2 U1.3 niet in boek Vb1.1 Vb1.2 Vb1.3 niet in boek Vb2.1 Vb2.2 niet in boek Vb2.3 Vw1 Vw2 Vw3 niet in boek Vw4 Vw5 Vw6 Vw7 niet in boek Vw8 Vw9 65 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 VG 1 8. Grafieken 8.6 Periodieke grafieken = in applicatie U1.1 U1.2 niet in boek U1.3 Vb1.1 Vb1.2 Vb2.1 Vb2.2 Vw1 Vw2 Vw3 Vw4 Vw5 Vw6 Vw7 66 9: Verbanden Instaptoets Benodigde voorkennis: - het rekenen met decimale getallen; - het werken met verhoudingstabellen; - het rekenen met negatieve getallen; - het tekenen van een grafiek bij een tabel; - het beschrijven van een grafiek met de woorden stijgend, dalend en constant; - het kunnen aflezen van de x- en y-waarde in een grafiek; - het werken met machten. De eerste opgave zoomt in op het rekenen met decimale getallen, in het bijzonder op het optellen en vermenigvuldigen. Dit is terug te vinden in paragraaf 1 van het hoofdstuk Rekenen. Opgave 2 gaat in op het werken met verhoudingstabellen. Hiervoor kan paragraaf 1 en/of 2 van het hoofdstuk Verhoudingen bekeken worden. In opgave 3 wordt gekeken naar het rekenen met negatieve getallen; optellen, aftrekken en vermenigvuldigen. De voorkennis hiervan is te vinden in paragraaf 2 (Optellen), paragraaf 3 (Aftrekken) en paragraaf 4 (Vermenigvuldigen) van het hoofdstuk Negatieve getallen. Opgave 4 zoomt in op het tekenen van een grafiek bij een tabel. Dit is terug te vinden in paragraaf 3 van het hoofdstuk Grafieken. Als laatste gaat opgave 5 over het beschrijven van een grafiek met de woorden stijgend, dalend en constant. Hiervoor kan teruggekeken worden naar paragraaf 1 van het hoofdstuk Grafieken. Indien nodig kunnen leerlingen hun kennis nog eens bijspijkeren in paragraaf 1 en 6 (Machten) van het hoofdstuk Rekenen; paragraaf 2, 3, 4 en 5 van het hoofdstuk Negatieve getallen; paragraaf 1 en 2 van het hoofdstuk Verhoudingen en paragraaf 1, 2 en 3 van het hoofdstuk Grafieken. Leerdoelen Paragraaf 1: Verbanden In deze paragraaf leer je: afhankelijke en onafhankelijke variabelen onderscheiden; een verband beschrijven in woorden; een tabel en/of grafiek maken bij een verband in woorden; de waarde van de (on)afhankelijke variabele berekenen bij een verband in woorden. Paragraaf 2: Formules In deze paragraaf leer je: een formule bij een verband opstellen; de waarde van de (on)afhankelijke variabele berekenen met behulp van een woordformule. Paragraaf 3: Werken met formules In deze paragraaf leer je: een grafiek tekenen bij een formule; de vorm van een grafiek verklaren; de waarde van een afhankelijke variabele berekenen met behulp van een woordformule. Paragraaf 4: Kort maar krachtig In deze paragraaf leer je: woordformules omzetten in een letterformule (formules verkort noteren); de vermenigvuldigingspunt gebruiken; bepalen wanneer je de vermenigvuldigingspunt kunt weglaten; de waarde van een afhankelijke variabele berekenen met behulp van een letterformule. 67 Paragraaf 5: Vergelijkingen In deze paragraaf leer je: een vergelijking opstellen aan de hand van gegeven informatie; een vergelijking oplossen door substitueren of inklemmen. Applets Er komen geen applets voor in dit hoofdstuk. Practica Er komen geen practica voor in dit hoofdstuk. Rekenmachine De instaptoets wordt zonder rekenmachine gemaakt. In de rest van het hoofdstuk mag een rekenmachine gebruikt worden. Excel Er wordt geen gebruik gemaakt van Excel in dit hoofdstuk. Misvattingen en veelgemaakte fouten In de eerste drie paragrafen kan het lastig zijn voor leerlingen om onderscheid te maken tussen de afhankelijke en onafhankelijke variabele. Voor het opstellen van een formule en het werken met formules is het van essentieel belang dat leerlingen begrijpen wat van wat afhankelijk is en wat dat betekent voor de formule en de grafiek. Het is belangrijk om hier aandacht aan te besteden. Daarnaast kan het in deze paragrafen lastig zijn om vanuit een verhaal of een tabel een verband te ontdekken. Daarom is het belangrijk om de leerlingen uit te leggen hoe ze dat aan moeten pakken. In paragraaf 4 worden formules korter geschreven en wordt er voor het eerst met lettervariabelen gewerkt. Voor sommige leerlingen is dit een ingewikkelde stap. In deze paragraaf is het nog steeds zo dat er een verhaal verbonden is aan de variabele. Er kan dus aandacht besteed worden aan het feit dat er eigenlijk nog steeds hetzelfde staat als in de eerste paragrafen, alleen dan korter. In het hoofdstuk Rekenen met variabelen zal er pas echt met variabelen zonder context gewerkt gaan worden. Paragraaf 5 gaat over het oplossen van vergelijkingen door middel van inklemmen. Dit is een procedure die veel tijd en zorgvuldigheid vraagt. Hier kunnen makkelijk slordigheden ontstaan. Lastiger is het opstellen van de vergelijking zelf. Voor de leerlingen is dit een nieuwe stap. Net als in de paragrafen over het opstellen van een formule moeten ze ook hier informatie uit een verhaal halen. Het is het belangrijk om hier aandacht aan te besteden. Differentiatie De leerdoelen voor havo en vwo zijn in dit hoofdstuk gelijk. Het onderscheid is terug te zien in de extra stapsgewijze opgaven en de extra uitleg in paragraaf 5 in de havo-versie. Dit stuurt havoleerlingen meer in het maken van de benodigde denkstappen. Van de vwo-leerlingen wordt verwacht dat zij deze stappen zelf maken. Daarnaast heeft de havo-versie extra oefening, zodat de vaardigheden goed ingesleten worden. 68 Lesplanner In paragraaf 1 moeten leerlingen bij veel opgaven een tabel maken en een grafiek tekenen. Dit kost veel tijd. Daarom wordt er voor deze paragraaf 100 minuten uitgetrokken. Paragraaf 2 is qua concept (het opstellen van formules) lastig, maar als ze dat eenmaal begrijpen, kunnen de opgaven snel gemaakt worden. Voor deze paragraaf wordt dan ook 65 minuten geadviseerd. In paragraaf 3 moeten de leerlingen weer veel tekenen. Daarom is het advies om voor deze paragraaf 90 minuten uit te trekken. Paragraaf 4 kan, als leerlingen het concept eenmaal begrepen hebben, redelijk snel gemaakt worden. Daarom wordt hier 65 minuten voor geadviseerd. Paragraaf 5 is een tijdrovende paragraaf. Een vergelijking oplossen door inklemmen is veel werk. Daarom is het advies om voor deze paragraaf 150 minuten te plannen. Indien er weinig tijd beschikbaar is, kunnen de essentiële opgaven uit onderstaande tabel aangehouden worden. Paragraaf 1 Verbanden Benodigde tijdsduur (min) 100 2 Formules 65 3 Werken met formules 90 4 Kort maar krachtig 65 5 Vergelijkingen 150 Essentiële opgaven in applicatie Uitleg: 1, 2 Voorbeeld 1: 1, 3 Voorbeeld 2: 1, 2 Voorbeeld 3: 1 Verwerken: 4, 5, 6 Uitleg: 1, 2 Voorbeeld 1: 1, 2 Voorbeeld 2: 1 Voorbeeld 3: 1 Verwerken: 3, 4, 5, 6 Uitleg: 1 Voorbeeld 1: 1, 2 Voorbeeld 2: 1 Voorbeeld 3: 1 Verwerken: 3, 4, 5 Uitleg: 1, 2 Voorbeeld 1: 1, 3 Voorbeeld 2: 1, 2 Voorbeeld 3: 1, 2 Verwerken: 4, 5 Uitleg 1: 2 Uitleg 2: 1, 2 Voorbeeld 1: 1, 2 Voorbeeld 2: 1 Verwerken: 4, 5, 6 Equivalente opgaven in het boek 1.1, 1.2 1.3, 1.5 1.6, 1.7 1.8 1.11, 1.12, 1.13 2.1, 2.2 2.3, 2.4 2.5 2.7 2.11, 2.12, 2.13, 2.14 3.1 3.2, 3.3 3.4 3.5 3.8, 3.9, 3.10 4.1, 4.2 4.3, 4.5 4.6, 4.7 4.8, 4.9 4.13, 4.14 5.2 5.3, 5.4 5.5, 5.6 5.7 5.11, 5.12, 5.13 69 Opdrachtverwijzing boek > applicatie Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 HV 1 9. Verbanden 9.1 Verbanden (applicatie: Verbanden en variabelen) = in applicatie U1.1 U1.2 U1.3 niet in boek Vb1.1 Vb1.2 Vb1.3 Vb2.1 Vb2.2 niet in boek Vb2.3 Vb3.1 Vw1 Vw2 niet in boek Vw3 Vw4 Vw5 Vw6 Vw7 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 HV 1 9. Verbanden 9.2 Formules (applicatie: Formules opstellen) = in applicatie U1.1 U1.2 Vb1.1 Vb1.2 Vb1.3 niet in boek Vb2.1 Vb2.2 Vb2.3 niet in boek Vb3.1 Vb3.2 Vw1 Vw2 Vw3 Vw4 Vw5 Vw6 Vw7 70 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 HV 1 9. Verbanden 9.3 Werken met formules (applicatie: Formules en grafieken) = in applicatie U1.1 U1.2 niet in boek Vb1.1 Vb1.2 Vb2.1 Vb3.1 Vb3.2 niet in boek Vw1 Vw2 Vw3 Vw4 Vw5 Vw6 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 HV 1 9. Verbanden 9.4 Kort maar krachtig (applicatie: Letterformules) = in applicatie U1.1 U1.2 U1.3 niet in boek Vb1.1 Vb1.2 Vb1.3 Vb2.1 Vb2.2 Vb3.1 Vb3.2 Vw1 Vw2 Vw3 Vw4 Vw5 Vw6 niet in boek Vw7 71 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 5.14 HV 1 9. Verbanden 9.5 Vergelijkingen = in applicatie U1.1 U1.2 U2.1 U2.2 Vb1.1 Vb1.2 Vb2.1 Vb2.2 Vw1 Vw2 Vw3 niet in boek Vw4 Vw5 Vw6 Vw7 72 10: Symmetrie Instaptoets Benodigde voorkennis: - het kunnen benoemen van een aantal vlakke figuren; - de eigenschappen van vlakke figuren kunnen toepassen; - een hoek kunnen meten; - aangeven of een hoek recht is, stomp is, scherp is, gestrekt is, overstrekt is of een volle hoek is. - een deellijn of bissectrice kunnen tekenen; - punten met positieve en negatieve coördinaten in een assenstelsel kunnen plaatsen; - een hoek met een gegeven grootte kunnen tekenen; - gebruik kunnen maken van een aantal eigenschappen van cirkels; - de som van hoeken gebruiken om het aantal graden te berekenen; - de grootte van een hoek berekenen met behulp van X-, F- en/of Z-hoeken; - de grootte van hoeken beredeneren gebruikmakend van de eigenschappen van hoeken. De eerste opgave van de instaptoets gaat in op het herkennen van vlakke figuren. De voorkennis hiervan is terug te vinden in paragraaf 4 van het hoofdstuk Figuren. Opgave 2 zoomt in op het kunnen aangeven of een hoek recht is, stomp is, scherp is, gestrekt is of overstrekt is. Dit is terug te vinden in paragraaf 1 van het hoofdstuk Hoeken. In opgave 3 wordt gekeken naar bissectrices van een hoek. Dit is behandeld in paragraaf 4 van het hoofdstuk Hoeken. Opgave 4 gaat over het plaatsen van punten met positieve en negatieve coördinaten in een assenstelsel. Hiervoor kan gekeken worden naar paragraaf 1 van het hoofdstuk Negatieve getallen. De laatste opgave zoomt in op het meten van een hoek. Dit is eerder behandeld in paragraaf 2 van het hoofdstuk Hoeken. Indien nodig kunnen leerlingen hun kennis nog eens bijspijkeren in paragraaf 3 en 4 van het hoofdstuk Figuren; paragraaf 1, 2, 3, 4 en 5 van het hoofdstuk Hoeken en paragraaf 1 van het hoofdstuk Negatieve getallen. Leerdoelen Paragraaf 1: Lijnsymmetrie In deze paragraaf leer je: lijnsymmetrie herkennen; een symmetrieas tekenen; spiegelen in een lijn. Paragraaf 2: Puntsymmetrie In deze paragraaf leer je: puntsymmetrie herkennen; het symmetriecentrum van een figuur aanwijzen; met behulp van het symmetriecentrum het puntsymmetrisch beeld van een origineel tekenen. Paragraaf 3: Draaisymmetrie In deze paragraaf leer je: draaisymmetrie herkennen; het draaicentrum van een figuur aanwijzen; de kleinste draaihoek in een draaisymmetrische figuur herkennen; met behulp van het draaicentrum een draaisymmetrische figuur tekenen. Paragraaf 4: Driehoeken In deze paragraaf leer je: een rechthoekige, gelijkbenige en gelijkzijdige driehoek herkennen; hoeken berekenen in een rechthoekige, gelijkbenige en gelijkzijdige driehoek; een rechthoekige, gelijkbenige en gelijkzijdige driehoek construeren. 73 Paragraaf 5: Vierhoeken In deze paragraaf leer je: een rechthoek, vierkant, vlieger, ruit, trapezium en parallellogram herkennen; een rechthoek, vierkant, vlieger, ruit, trapezium en/of parallellogram construeren; hoeken berekenen in een rechthoek, vierkant, vlieger, ruit, trapezium en/of parallellogram. Applets In dit hoofdstuk wordt een heel aantal applets gebruikt. In het volgende overzicht staat waar u deze applets kunt vinden, wat ermee gedaan kan worden en wat het doel ervan is. Paragraaf 1, Voorbeeld 3. In de applet is een assenstelsel zichtbaar. Daarin is een punt A(a,b) getekend en een spiegellijn evenwijdig aan de y-as. Punt A1 is het beeldpunt van punt A bij spiegelen in de getekende spiegellijn. Met de schuifbalkjes a en b linksboven kan punt A verplaatst worden. Het schuifbalkje p rechtsboven zorgt voor een verschuiving van de spiegellijn. Als hulpmiddel wordt ook de verticale lijn op 2p getekend als stippellijn. Deze applet kan de leerling gebruiken om te onderzoeken welke coördinaten een beeldpunt van A(a,b) heeft bij een bepaalde spiegellijn evenwijdig aan de y-as. Zonder applet kost dit veel tekenwerk, maar met de applet kan een leerling snel de beeldpunten van diverse punten zien. Daarnaast geeft de applet hulp door de verticale lijn 2p als stippellijn te tekenen. Paragraaf 2, Uitleg 2, opgave 4. In de applet is een parallellogram ABCD zichtbaar met symmetriecentrum M. Punt A en D zijn te verplaatsen. Hun beeldpunten verplaatsen dan mee. Ook symmetriecentrum M is te verplaatsen. De applet helpt bij het beantwoorden van de vragen over de eigenschappen van een parallellogram en maakt zichtbaar dat deze eigenschappen gelden voor elk parallellogram. Ook de getekende diagonalen helpen om de opgave eenvoudiger te maken. Paragraaf 2, Voorbeeld 2. De applet geeft een assenstelsel weer met punt A(a,b) en punt C(c,d). A1 is het beeldpunt van punt A bij spiegelen in punt C(c,d). De schuifbalkjes linksboven zorgen ervoor dat punt A verplaatst kan worden. Punt C kan ook verplaatst worden. Deze applet kan de leerling helpen bij het onderzoeken welke coördinaten een beeldpunt van A(a,b) heeft bij spiegelen in punt C. Paragraaf 4, Uitleg 1. In de applet is driehoek ABC te zien. Daarbij is aangegeven hoe lang de zijden en hoe groot de hoeken zijn. Leerlingen kunnen met de applet de verschillende soorten driehoeken namaken en opnieuw zien dat de hoeken bij elkaar opgeteld altijd 180° zijn. Paragraaf 4, Voorbeeld 1. De applet laat een rechthoekige driehoek ABC zien. Hoek A is 90°. De punten A, B en C kunnen verplaatst worden. De applet maakt inzichtelijk dat hoek B en hoek C bij elkaar altijd 90° zijn. Paragraaf 4, Voorbeeld 2. In de applet is een gelijkbenige driehoek ABC getekend met de symmetrieas door punt C. Punt A, B en C kunnen verplaatst worden. De applet maakt inzichtelijk dat hoek A en B altijd even groot zijn. Paragraaf 4, Voorbeeld 3. De applet laat een gelijkzijdige driehoek ABC zien met zijn symmetrieassen. Opnieuw kunnen punt A, B en C verplaatst worden. De leerling ziet dat hoe punt A, B en C ook verplaatst worden, de hoeken allemaal 60° blijven en dat er drie symmetrieassen blijven. Paragraaf 5, Uitleg. In de applet is een vierhoek ABCD zichtbaar. Daarbij zijn de lengtes van de zijden en de groottes van de hoeken zichtbaar. Door punt A, B, C en/of D te verplaatsen kunnen bijzondere vierhoeken gemaakt worden en kunnen leerlingen de eigenschappen van die vierhoeken onderzoeken. Paragraaf 5, Voorbeeld 1. De applet laat een rechthoek ABCD zien met zijn diagonalen en het snijpunt S van deze diagonalen. In de applet wordt duidelijk dat punt A en B vrij te bewegen zijn, punt C alleen in het verlengde van BC verplaatst wordt en punt D helemaal niet te verplaatsen is. Ook kan er van de rechthoek een vierkant gemaakt worden. Paragraaf 5, Voorbeeld 2. In de applet is een vlieger ABCD zichtbaar met zijn diagonalen. Punt A en B zijn vrij te bewegen. Punt C kan alleen over de symmetrieas bewogen worden. Als punt D bewogen wordt, beweegt punt C mee. Door zo de punten te bewegen ontdekken leerlingen welke punten vrij te 74 bewegen zijn en waarom de andere dat niet zijn. Op deze manier ontdekken leerlingen ook de eigenschappen van de diagonalen. De applet kan ook gebruikt worden om van de vlieger een ruit te maken. Paragraaf 5, Voorbeeld 3. De applet laat parallellogram ABCD zien met zijn diagonalen en hun snijpunt S. Daarbij is aangegeven hoe groot de hoeken en hoe lang de zijden zijn. In de applet kunnen punt A, B en C verplaatst worden. Punt D kan niet verplaatst worden. De applet kan gebruikt worden om te zien dat de eigenschappen van een parallellogram voor elk parallellogram gelden. Daarnaast kan onderzocht worden welke andere figuren (ruit, rechthoek, vierkant) gemaakt kunnen worden. Practica Er komen geen practica voor in dit hoofdstuk. Rekenmachine Er mag in dit hoofdstuk een rekenmachine gebruikt worden. Excel Er wordt geen gebruikgemaakt van Excel in dit hoofdstuk. Misvattingen en veelgemaakte fouten Vooral het gebruik van symmetrie voor het berekenen van de grootte van hoeken kan voor leerlingen lastig zijn. Dit onderwerp is een vervolg op paragraaf 4 en 5 van het hoofdstuk Hoeken. Nu worden echter de eigenschappen van symmetrie gebruikt naast de kennis die in dat hoofdstuk al is geleerd. Doordat de leerlingen de kennis van het hoofdstuk Hoeken moeten combineren met de kennis van dit hoofdstuk en het redenatiekwaliteiten vraagt, is dit vaak moeilijk. Het is goed hier aandacht aan te besteden en indien nodig de stof van het hoofdstuk Hoeken kort te herhalen. Differentiatie De leerdoelen voor havo en vwo zijn in dit hoofdstuk gelijk. Om deze leerdoelen te behalen zijn in de havo-versie van het hoofdstuk extra opgaven opgenomen. Een deel van deze extra opgaven zijn ‘geleide’ opgaven, waarin leerlingen stapsgewijs door de stof geleid worden. Voor de vwo-leerling geldt dat hij die stappen zelf kan nemen. Dat maakt de stof uitdagend genoeg voor de vwo-leerling. 75 Lesplanner Paragraaf 1, 2 en 3 bevatten veel tekenwerk, maar zijn nog niet erg ingewikkeld. Daarom wordt voor deze paragrafen 75 minuten geadviseerd. Paragraaf 4 en 5 hebben naast tekenwerk ook ingewikkelder rekenwerk. Voor deze paragrafen wordt 100 minuten geadviseerd. Indien er weinig tijd beschikbaar is, kunnen de essentiële opgaven uit onderstaande tabel de meest aangehouden worden. Paragraaf 1 Lijnsymmetrie Benodigde tijdsduur (min) 75 2 Puntsymmetrie 75 3 Draaisymmetrie 75 4 Driehoeken 100 5 Vierhoeken 100 Essentiële opgaven in applicatie Equivalente opgaven in het boek Uitleg 1: 1, 2 Uitleg 2: 1, 2, 3 Voorbeeld 1: 1 Voorbeeld 2: 1 Voorbeeld 3: 1 Verwerken: 3, 5, 6 Uitleg 1: 1, 2 Uitleg 2: 1, 2 Voorbeeld 1: 2 Verwerken: 3, 5, 6 Uitleg 1: 1 Uitleg 2: 1, 2 Voorbeeld 1: 1 Voorbeeld 2: 1, 2 Verwerken: 4, 5, 6, 7 Uitleg 1: 1 Uitleg 2: 1 Voorbeeld 1: 1, 2 Voorbeeld 2: 1 Voorbeeld 3: 1 Verwerken: 4, 5, 6, 7 Uitleg: 2 Voorbeeld 1: 1, 2 Voorbeeld 2: 1, 2 Voorbeeld 3: 2 Verwerken: 4, 5, 6, 7 1.1, 1.2 1.3, 1.4, 1.5 1.6 1.7 1.9 1.13, 1.15, 1.16 2.1, 2.2 2.4, 2.5 2.7 2.10, 2.12, 2.13 3.1 3.2, 3.3 3.4 3.5, 3.6 3.9, 3.10, 3.11, 3.12 4.1 4.3 4.5, 4.6 4.7 4.10 4.14, 4.15, 4.16, 4.17 5.2 5.3, 5.4 5.5, 5.6 5.7 5.12, 5.13, 5.14, 5.15 76 Opdrachtverwijzing boek > applicatie Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 HV 1 10. Symmetrie 10.1 Lijnsymmetrie = in applicatie U1.1 U1.2 U2.1 U2.2 U2.3 Vb1.1 Vb1.2 niet in boek Vb2.2 Vb2.1 niet in boek Vb2.3 Vb3.1 Vb3.2 Vw1 Vw2 Vw3 Vw4 Vw5 Vw6 Vw7 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 HV 1 10. Symmetrie 10.2 Puntsymmetrie = in applicatie U1.1 U1.2 U1.3 U2.1 U2.2 U2.3 en U2.4 niet in boek Vb1.1 Vb1.2 niet in boek Vb2.2 Vb2 en Vb2.1 niet in boek Vw1 Vw2 Vw3 Vw4 Vw5 Vw6 Vw7 77 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 HV 1 10. Symmetrie 10.3 Draaisymmetrie = in applicatie U1.1 U1.2 niet in boek U2.1 U2.2 Vb1.1 Vb2.1 Vb2.2 Vw2 Vw1 niet in boek Vw3 Vw4 Vw5 Vw6 Vw7 Vw8 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 4.18 HV 1 10. Symmetrie 10.4 Driehoeken = in applicatie U1.1 U1.2 U1.3 niet in boek U2.1 U2.2 Vb1.1 Vb1.2 Vb2.2 Vb2.1 niet in boek Vb2.3 Vb2.4 Vb3.2 Vb3.1 niet in boek Vw1 Vw2 Vw3 Vw4 Vw5 Vw6 Vw7 Vw8 78 Leerjaar Hoofdstuk Paragraaf Opgave 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 5.14 5.15 5.16 HV 1 10. Symmetrie 10.5 Vierhoeken = in applicatie U1.1 U1.2 U1.3 niet in boek Vb1.1 Vb1.2 Vb1.3 niet in boek Vb2.1 Vb2.2 Vb3.2 Vb3.1 niet in boek Vb3.3 Vw1 Vw2 Vw3 Vw4 Vw5 Vw6 Vw7 Vw8 79
