Leskist bolmeetkunde

Meetkunde
op de bol
Lab kist voor 3 havo-vwo
Dit lespakket behoort bij de ‘Lénárt Sphere’ en is gebaseerd op
bijbehorende boek ‘Adventures with the Lénárt Sphere’
Uitgegeven door Key Curriculum Press, USA
Met dank aan:
- Leerlingen van het IJburg College Amsterdam en hun wiskunde docent
Hans de Ruiter voor het uitproberen van de eerste versie
- Pauline Vos, voor haar zorgvuldig commentaar bij het tot stand komen van
dit lespakket
- Leerlingen van het Cygnus Gymnasium te Amsterdam en hun wiskunde
docenten Maartje van der Wiel en David Dijkman voor het uitproberen van
het lesmateriaal
Ontwerp: Monique Pijls, in opdracht van Its Academy
Maart 2010
Herziening februari 2011
Inhoud van de kist
Bol
Je ziet een grote plastic bol.
Hier kun je op tekenen met wateroplosbare stiften.
Torus
De ringvormige plastic figuur gebruik je om de bol op te zetten.
Bolliniaal
Deze ronde liniaal gebruik je om grote cirkels mee op de bol te tekenen. Je
kunt hem ook handig op de drie pootjes zetten en de bol erin leggen.
Passer
Passer waarmee je cirkels op de bol kunt tekenen.
Puntzetter
Het doorzichtige dopje noemen we puntzetter en gebruik je om de passer in
te zetten.
Penhouders
De penhouders (lichtgrijze, wit, transparant, rood) zijn om verschillende
pennen in te zetten. Wij gebruiken de lichtgrijze (er staan kleine lettertjes
op V-WF, dat betekent Vis-à-vis Wet Fine, het type pen).
En verder: elastiekjes, stukje touw.
__________________________________________________________________
bolmeetkunde voor 3 havo/vwo VERSIE 20 februari 2011
3
1. Grootcirkels
Een grootcirkel is een cirkel op de bol die gelijk is aan
de omtrek van de bol.
De evenaar is een voorbeeld van een grote cirkel
Met de bolliniaal kun je grootcirkels tekenen op de
bol.
Iedere bol heeft een eigen bolliniaal, die precies past.
!! let wel op dat je langs de ONDERKANT tekent,
bij de streepjes. De bovenkant (UPPER RIM) is geen grootcirkel!!
Teken met wateroplosbare stift een grootcirkel op de bol.
Teken er nog een paar en experimenteer met de vormen die ontstaan.
TIP:
Bij het tekenen van grootcirkels op de bol kun je de bolliniaal ook
neerzetten op de ‘pootjes’. Leg de bol er in, en … tekenen maar!
__________________________________________________________________
bolmeetkunde voor 3 havo/vwo VERSIE 20 februari 2011
4
__________________________________________________________________
bolmeetkunde voor 3 havo/vwo VERSIE 20 februari 2011
5
2. Kortste weg
Teken twee verschillende punten op de grote plastic bol.
Noem de punten A en B.
Neem een elastiekje en trek deze strak tussen A en B. Het elastiekje gaat
langs de kortste weg over de bol liggen. Teken die kortste weg met een
wateroplosbare stift.
Leg de kanten van de bolliniaal langs het lijnstuk dat je hebt getekend. Wat
zie je?
Laat zien dat de kortste weg tussen twee punten op de bol altijd een deel
van een grootcirkel is.
Als je er niet uitkomt, vraag dan om een klassendiscussie.
Waarom is de kortste weg tussen twee punten op de bol het deel
van de grootst mogelijke cirkel die je op een bol kunt maken?
__________________________________________________________________
bolmeetkunde voor 3 havo/vwo VERSIE 20 februari 2011
6
3. Loodrecht
Hieronder staat een lijn l.
Teken een tweede lijn die loodrecht op lijn l staat.
Beschrijf ook hoe je te werk gaat.
___________________________________________l
Teken een grootcirkel op de bol en construeer een andere grootcirkel die
hier loodrecht op staat.
Beschrijf hoe jullie te werk gaan.
Probeer nu een rechthoek (of een vierkant) op de bol te tekenen.
Wat valt je op?
__________________________________________________________________
bolmeetkunde voor 3 havo/vwo VERSIE 20 februari 2011
7
4. Grootcirkels zijn ‘lijnen’ op een bol
Teken hieronder op het papier twee punten.
Teken ook de kortste weg tussen die twee punten.
De kortste weg tussen twee punten in een plat vlak geeft een lijn
en de kortste weg op een bol is een grootcirkel.
Op een bol heb je geen rechte lijnen. Daar zijn de grootcirkels de
‘lijnen’, want ze zijn de kortste verbinding tussen twee punten.
Teken hieronder op het papier twee rechte lijnen die elkaar snijden.
Teken nu twee grootcirkels op de bol.
Wat valt je op?
__________________________________________________________________
bolmeetkunde voor 3 havo/vwo VERSIE 20 februari 2011
8
In het platte vlak kun je twee parallelle lijnen tekenen.
Kun je op een bol ook twee parallelle grootcirkels tekenen? (let op: niet
twee parallelle cirkels maar twee parallelle grootcirkels!).
Beschrijf in de tabel de verschillen en overeenkomsten
in het platte vlak
op de bol
__________________________________________________________________
bolmeetkunde voor 3 havo/vwo VERSIE 20 februari 2011
9
5. Tweehoek
Teken twee verschillende punten op de bol. Teken een kortste route
(grootcirkel) die door die twee punten gaat.
Zijn er nog meer kortste routes (grootcirkels) die door die twee punten
gaan?
Er zijn twee bijzondere punten waar verschillende grootcirkels door gaan.
Welke punten zijn dat?
De figuur die ontstaat, noemen we een tweehoek. Hoe groot kunnen de
hoeken worden?
Tweehoeken kun je ook
goed laten zien met een
sinaasappel en een mesje!
__________________________________________________________________ 10
bolmeetkunde voor 3 havo/vwo VERSIE 20 februari 2011
6. Bijzondere driehoek
Kun je in het platte vlak een driehoek tekenen met twee hoeken van 90º ?
Probeer het eens op de bol.
__________________________________________________________________ 11
bolmeetkunde voor 3 havo/vwo VERSIE 20 februari 2011
7. Gelijkzijdige driehoek
Teken een gelijkzijdige driehoek op de bol.
Hoe groot zijn de hoeken van jullie driehoek?
Kun je nog een andere gelijkzijdige driehoek tekenen?
8. Bijzondere driehoek – 2
Teken op de bol een driehoek met drie hoeken van 90º.
Beschrijf hoe je te werk gaat.
__________________________________________________________________ 12
bolmeetkunde voor 3 havo/vwo VERSIE 20 februari 2011
9. Som van de hoeken
In het platte vlak is de som van de hoeken van een driehoek altijd
……….graden.
Hoe zit dat op de bol? Welke waarden kan de som van de hoeken aannemen?
(dus, wat is de kleinste waarde die de hoeken van een driehoek bij elkaar
opgeteld kunnen hebben, en wat is de grootste waarde?)
__________________________________________________________________ 13
bolmeetkunde voor 3 havo/vwo VERSIE 20 februari 2011
10. Opnieuw: met het vliegtuig
Stel je voor, je vliegt van Amsterdam naar San Francisco.
Als jullie een wereldbol in de klas hebben, bepaal dan daarop de grootcirkel van
Amsterdam naar San Francisco.
Teken nu op beide wereldkaarten de kortste route.
Op de kaart wordt het geen rechte lijn, maar op de bol, dus op de aarde, is
het wèl de kortste route. Vliegtuigen vliegen daarom volgens grootcirkelroutes.
__________________________________________________________________ 14
bolmeetkunde voor 3 havo/vwo VERSIE 20 februari 2011
11. Na afloop…
Ik weet nu…
… hoe de kortste route op een bol bepaald wordt
… wat een grootcirkel is
… hoe een tweehoek op een bol er uit ziet
… hoe een driehoek op een bol er uit ziet
Geef enkele verschillen tussen meetkundige vormen …
in het platte vlak
op de bol
__________________________________________________________________ 15
bolmeetkunde voor 3 havo/vwo VERSIE 20 februari 2011
12. Extra: betegeling op de bol
Je gaat nu een mooie betegeling maken, met permanente stiften, zodat je
de bol kunt bewaren en bijvoorbeeld ophangen in je wiskundelokaal .
Vraag wel even toestemming of dit in jouw klas ook mag.
Hieronder staan wat plaatjes ter inspiratie.
__________________________________________________________________ 16
bolmeetkunde voor 3 havo/vwo VERSIE 20 februari 2011
13. Het wiskundige vervolg …
Je hebt nu meetkunde op de bol bestudeerd. Op een zelfde manier kun je
ook meetkunde op een torus (een zwembandje) bestuderen: hoe kun je daar
de kortste verbindingen tussen twee punten bepalen? Welke vormen hebben
driehoeken daar?
En je kunt ook over andere gekromde oppervlaktes gaan nadenken,
bijvoorbeeld: hoe bepaal je de kortste verbinding tussen twee punten op
een koffiekopje?
Wiskundigen houden zich ook bezig met de meetkundige vraag over het
laten krimpen van een cirkel tot een punt. In het platte vlak en op een bol
kun je een cirkel tekenen en die alsmaar verkleinen totdat je een punt
hebt. Maar hoe zit dat op een torus? en op een koffiekopje? Wat zijn de
eigenschappen die maken, dat je op het ene oppervlak wel en op het andere
niet altijd een cirkel kunt laten krimpen tot een punt?
Als je meer wilt leren over meetkunde op gekromde oppervlakken, dan kun
je bijvoorbeeld lezen:
Iris van Gulik-Gulikers: Geschiedenis van de niet-Euclidische meetkunde,
Zebra-reeks, deel 21.
Je kunt ook op het internet zoeken, bijvoorbeeld met de zoekwoorden:
rubbermeetkunde, platlanders, Flatland, topologie, Henri Poincaré, Gregori
Perelman.
__________________________________________________________________ 17
bolmeetkunde voor 3 havo/vwo VERSIE 20 februari 2011