katholieke universiteit leuven - Departement Natuurkunde en

KATHOLIEKE UNIVERSITEIT LEUVEN
FACULTEIT WETESCHAPPE
DEPARTEMENT NATUURKUNDE EN STERRENKUNDE
AFDELING KERN- EN STRALINGSFYSICA
Neutron Transferreacties op 86Kr
door
Peter Vermaelen
Promotor
Prof. Dr. Piet Van Duppen
proefschrift ingediend tot het
behalen van de graad van
master in de Fysica
academiejaar 2008 – 2009
Dankwoord
Omdat ik deze thesis nooit helemaal alleen had kunnen schrijven, wil ik via deze
weg iedereen bedanken die mij rechtstreeks of onrechtstreeks geholpen heeft.
Eerst en vooral bedank ik prof. Dr. Piet Van Duppen en prof. Dr. Mark Huyse om
mij de kans te bieden mijn thesis te maken in de groep kernspectroscopie in combinatie met een Erasmusprogramma. Omwille van hun expertise in het veld waren
hun advies en suggesties ook steeds boeiend en stimulerend.
Mijn begeleider Jan Diriken bedank ik voor de ervaring met de analyse van MINIBALL die hij mij heeft bijgebracht en het vele geduld dat hij hierbij opbracht.
Ook bedank ik graag alle andere leden van de groep kernspectroscopie en de rest
van het IKS. Hierbij wil ik mijn kantoorgenoten Nick Bree en Dr. Iain Darby extra
bedanken voor de aangename werksfeer en praktische tips. Ook ex-kantoorgenoot
Dr. Nikolas Patronis mag hier zeker niet vergeten worden.
Verder wil ik ook prof. Dr. Robert Chapman, van de University of the West of
Scotland, bedanken voor mij de kneepjes van DWBA-berekeningen bij te brengen.
Ook oprechte dank aan hem en heel z’n Nuclear Physics group voor de gastvrijheid
en leuke sfeer die ik tijdens mijn verblijf in Paisley heb mogen ervaren. Ook prof.
Dr. John F. Smith, prof. Dr. Klaus Spohr, Dr. Riccardo Orlandi, Dr. Diego Torres,
Dr. Baharak Hadinia en Dr. Andy Hodson verdienen hier een extra vermelding.
Mijn medestudenten wil ik graag bedanken voor de zeer fijne (bijna) afgelopen vijf
jaar. In het bijzonder denk ik hier aan Dokus, Wannes, Thomas, Simon en Maarten.
Voorts bedank ik graag mijn familieleden, en vooral mijn ouders, om het voor mij
mogelijk gemaakt te hebben van in Leuven te studeren. En als laatste bedank ik
mijn vriendin Sanne voor haar liefde en onvoorwaardelijke steun.
Bedankt!
ii
Inhoudsopgave
1 Inleiding en motivatie
1.1 Het nucleair schillenmodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Het (Z = 28;N = 40)-gebied . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
4
2 Kernreacties
8
2.1 Algemene beschouwingen en terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Reactiemechanisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Distorted Wave Born Approximation - DWBA
3.1 DWBA Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Het Optische Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Theorie van de 86 Kr(d, p)87 Kr neutron transferreactie . .
3.2 DWBA-Berekeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Reproductie van experimentele data bij 11 MeV . . . . . .
3.2.2 Optische Model Parameters voor 86 Kr(d, p)87 Kr bij 6 MeV
3.2.3 Invloed van nucleaire en Coulomb interacties . . . . . . . .
3.2.4 86 Kr(d, p)87 Kr als periferische reactie . . . . . . . . . . . .
3.2.5 Invloed van de straal van de neutron bindingspotentiaal . .
3.2.6 Invloed van de Q-waarde . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.7 Kinematica van de neutron transferreactie . . . . . . . . .
3.2.8 Extractie van verschillende j`-toestanden . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
17
17
17
20
22
22
26
28
33
36
36
38
41
4 Experimentele opstelling
4.1 Ionenbundel . . . . . . . . . . .
4.2 MINIBALL . . . . . . . . . . .
4.2.1 MINIBALL γ-detectoren
4.2.2 Deeltjesdetectoren . . .
4.2.3 CD2 -trefschijf . . . . . .
4.2.4 Data-verwerking . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
46
46
49
49
52
54
55
.
.
.
.
57
57
59
60
63
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5 Experimentele analyse & resultaten
5.1 Proton-gamma-coı̈ncidenties . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Bepaling van de bundelintensiteit . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Kinematica van elastische deuteron verstrooiing
5.2.2 Converteren van de werkzame doorsnede . . . .
iii
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
INHOUDSOPGAVE
5.3
5.2.3 Bepalen van de intensiteit . .
Analyse 86 Kr(d,87 Kr)p-reactie . . .
5.3.1 Energieverlies van de protonen
5.3.2 Geobserveerde protonen . . .
6 Conclusie
iv
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
65
70
70
70
79
Hoofdstuk 1
Inleiding en motivatie
1.1
Het nucleair schillenmodel
Een atoomkern is opgebouwd uit twee typen van nucleonen: (elektrisch) positief geladen protonen en neutrale neutronen. De positie van een atoom in de
tabel van Mendeljev, waaruit de chemische eigenschappen kunnen afgeleid worden, hangt enkel af van het aantal protonen aanwezig in de kern: Z. Het aantal aanwezige neutronen (N ) bepaalt om welk isotoop van zulk een chemisch element het gaat. Elke atoomkern is voorgesteld door een vakje op de kernkaart,
gerangschikt volgens Z en N , zoals weergegeven in figuur 1.1. De zwarte vakjes
vertegenwoordigen de stabiliteitsvallei. Alle andere kernen zijn instabiel en zullen
na verloop van tijd vervallen1 tot ze in de vallei gesitueerd zijn. Over het algemeen gebeurt dit verval sneller naarmate de kern verder van de vallei vandaan
ligt. Kernen die ver van de stabiliteitsvallei gelegen zijn worden exotische kernen
genoemd. De kernfysica bestudeert hoe de eigenschappen van kernen, zoals hun
massa, levensduur, spin, pariteit, excitatie-energieën,... evolueren met hun positie
op de kernkaart. Het uiteindelijke doel is tenslotte te weten hoe atoomkernen opgebouwd zijn vertrekkende van een aantal protonen en neutronen en de interacties
tussen deze nucleonen. Een vaak gebruikt model om dit te beschrijven is het (nucleair) schillenmodel.
Om de mogelijke toestanden van een kern A
Z XN te kennen, dient de Schrödingervergelijking opgelost te worden met volgende Hamiltoniaan [3, 5, 9, 16, 19]:
A
A
X
X
p2i
H=
+
Vik (ri − rk )
2mi i>k=1
i=1
(1.1)
De eerste term geeft de kinetische energie van de nucleonen, de tweede term hun
onderlinge interactie. Nucleonen interageren met elkaar via de sterke interactie (en
in het geval van twee proton ook via de elektromagnetische)2 . Hun potentiaal V is
1 Dit
kan gebeuren via verscheidene processen, zoals: α- en β-verval, fissie of nucleonemissie.
gravitatie is vele malen zwakker en kan compleet verwaarloosd worden. De zwakke interactie is verantwoordelijk voor het β-verval.
2 De
1
HOOFDSTUK 1. INLEIDING EN MOTIVATIE
2
Figuur 1.1: De kernkaart met magische getallen. De x- en y-as tonen respectievelijk het aantal
neutronen N en het aantal protonen Z. Elk vakje stelt een kern A
Z XN voor, waarbij A = Z + N .
De zwarte vakjes vertegenwoordigen de stabiele kernen. De andere kernen zullen een bepaald
vervalsproces ondergaan. Verschillende mogelijke processen staan aangeduid met verschillende
grijstinten.
sterk attractief over een korte afstand (∼ fm) en valt verder snel naar nul. Nucleonen zijn fermionen en omwille van het Pauli principe wordt de potentiaal dan ook
repulsief wanneer twee identieke nucleonen elkaar zeer dicht naderen. De theorie
die deze sterke interactie beschrijft is de kwantum chromodynamica (QCD). Deze
is echter (nog) niet goed toepasbaar bij relatief kleine energieën, zoals in kernen.
Zogenaamde ab-initio berekeningen, welke de kernstructuur bepalen, uitgaande van
deze theorie, zijn momenteel enkel mogelijk voor A ≤ 10 [19]. Voor zwaardere kernen moet men beroep doen op kernmodellen.
Uit observaties blijkt dat kernen met een aantal protonen of neutronen gelijk aan:
2, 8, 20, 28, 50, 82 of 126 een extra stabiliteit vertonen ten opzichte van hun naaste
buren. Deze aantallen worden de magische getallen genoemd. Dit leidde tot de
invoer van een schillenmodel, analoog aan het atomaire schillenmodel welk de elektronen rond de kern beschrijft. Er bestaat echter een belangrijk verschil tussen
deze twee modellen. In het atomaire geval bestaat er een centrale potentiaal: de
(elektrisch) negatief geladen elektronen worden elk aangetrokken tot de positieve
kern3 . Bij nucleonen is deze afwezig en interageren alle nucleonen onderling. In het
schillenmodel wordt aangenomen dat de nucleonen bewegen in een gemiddeld veld
U (r) veroorzaakt door alle andere nucleonen. Dit is de zogenaamde gemiddelde veld
benadering [3, 5, 9, 16, 19]. De Hamiltoniaan wordt dan:
#
"X
A A
A
X
X
p2i
H=
+ U (ri ) +
Vik (ri − rk ) −
U (ri ) ≡ H0 + Hres
(1.2)
2mi
i=1
i=1
i>k=1
De eerste term H0 beschrijft de beweging van nucleonen die onafhankelijk van elkaar
bewegen in een centrale potentiaal4 U (r). De tweede term Hres beschrijft alle andere
residuele interacties. Het doel is een U (r) te vinden zodat de tweede term als een
3 De
repulsie tussen de negatieve elektronen onderling veroorzaakt slechts een kleine afwijking.
potentiaal zal omwille van de Coulombinteractie verschillend zijn voor protonen en neutronen. Hierdoor
wijkt de stabiliteitsvallei af van de N = Z-lijn (figuur 1.1.
4 Deze
HOOFDSTUK 1. INLEIDING EN MOTIVATIE
3
perturbatie van de Hamiltoniaan H0 te beschouwen valt. Het eerste succes van het
schillenmodel was het correct reproduceren van de magische getallen wanneer voor
U (r) een harmonische oscillator potentiaal wordt gekozen, aangevuld met een (`2 )centrifugaalterm (die de parabolische vorm wat ’afvlakt’) en een (` · s)-spinbaanterm
5
[3, 7, 19]. De verschillende discrete energietoestanden, orbitalen genoemd, die zo
bekomen worden, zijn weergegeven in figuur 1.2. De werkelijke orbitalen zullen
verschoven zijn ten opzichte van deze, omille van de residuele interacties tussen
de valentienucleonen, beschreven door Hres in vergelijking 1.2. De grondtoestand
van een kern kan in een eerste benadering worden geconstrueerd door simpelweg
de proton- en neutronorbitalen in stijgende volgorde van energie op te vullen met
nucleonen. Omwille van het Pauli-principe kan elk orbitaal bezet worden door maximaal 2j + 1 nucleonen.
Op figuur 1.2 is te zien hoe sommige orbitalen gescheiden zijn door een grote energiekloof. Een groep orbitalen die tussen twee zulke kloven gelegen zijn, worden
samen een schil genoemd. De magische getallen komen overeen met gevulde schillen.
Figuur 1.2: Nucleonorbitalen, bekomen met een harmonische potentiaal met (`2 )-centrifugaal- en
(` · s)-spinnaanterm, weergegeven op een vertikale energieschaal. N duidt hier op de (harmonische
oscillator) schilnummer, niet op het neutronaantal. [3, 19]
5 Meer
realistische modellen maken gebruik van een Wood-Saxonpotentiaal.
HOOFDSTUK 1. INLEIDING EN MOTIVATIE
1.2
4
Het (Z = 28;N = 40)-gebied
Het gebruik van een harmonische potentiaal met een (`2 )- en (` · s)-term als centrale potentiaal in vergelijking 1.2 levert schilsluitingen op die consistent zijn met
de observaties voor kernen in en rond de stabiliteitsvallei. Wanneer meer exotische
kernen worden beschouwd, verandert de N/Z-verhouding. Omdat de centrale potentiaal gegenereerd wordt door de nucleonen, kan hij dus wijzigen verder weg van
de stabiliteitsvallei. Er wordt verwacht dat de spinbaankoppeling (en dus de invloed
van de (` · s)-term) verzwakt voor een stijgend aantal neutronen [16]. Dit leidt mogelijk tot een verschuiving van de magische getallen [49].
Op figuur 1.2 valt ook een tamelijk grote energiekloof bij N = 40 te zien. Men
spreekt van een subschilsluiting. Wanneer bijvoorbeeld de invloed van de (` · s)-term
verkleint, wordt de energiekloof bij N = 40 groter. Er zijn dan ook aanwijzingen
dat N = 40 een magisch karakter krijgt in het neutronrijke gebied rond de protonschilsluiting Z = 28.
De excitatie-energie van de eerste geëxciteerde 2+
1 -toestand wordt in figuur 1.3
getoond voor even-even N i-isotopen. Bij N = 40 ligt deze beduidend hoger (500
keV) dan bij naburige isotopen. Dit kan mogelijk wijzen op een dubbelmagische
kern, dit is een kern met gesloten proton- en neutronschil.
De gereduceerde overgangswaarschijnlijkheid (deze is gerelateerd aan het elektrisch
+
quadrupool transitie matrix element) B(E2 : 2+
1 → 0 ) van de eerste geëxciteerde
2+ -toestand naar de 0+ -grondtoestand6 , afgeleid uit ’veilige’ Coulombexcitatie bij
lage energie [30] en bij intermediaire energie [49], is lager voor 68 N i dan voor naburige
even-even isotpen. Dit wordt weergegeven in figuur 1.4. Ook dit wijst vaak op een
dubbelmagische kern.
Beschouw de twee-neutron-separatie-energie, de energie vereist om twee neutronen
van kern A
Z X te onttrekken. Deze is gelijk aan het massaverschil tussen eind- en beginkern plus twee keer de neutronmassa: S2n = [M (A−2, Z)−M (A, Z)+2M (1, 0)]c2 .
In een gesloten neutronschil zijn de neutronen extra gebonden en verwacht men dus
een grote waarde voor S2n . Figuur 1.5 toont δ2n = S2n (Z = 28, N ) − S2n (Z =
28, N + 2), het verschil tussen opeenvolgende twee-neutron-separatie-energieën, voor
even-even N i-isotopen. Hier is geen uitgesproken effect van een neutronschilsluiting
zichtbaar.
6 Alle even-even kernen hebben een 0+ -grondtoestand, omwille van de antiparallelle koppeling van nucleonen,
en dikwijls een 2+ -toestand met een energie lager dan deze nodig om een gekoppeld nucleonenpaar te breken. Dit
tweede is het gevolg van collectiviteit. Een grote B(E2)-waarde is een indicatie van verhoogde collectiviteit in de 2+
toestand
HOOFDSTUK 1. INLEIDING EN MOTIVATIE
5
Figuur 1.3: Energie van de eerste geëxciteerde 2+
1 -toestand voor even-even N i-isotopen. [36]
+
Figuur 1.4: B(E2 : 2+
1 → 0 ) gereduceerde overgangswaarschijnlijkheden voor even-even N iisotopen. [30, 49]
Figuur 1.5: Verschil in twee-neutron-separatie-energieën: δ2n = S2n (Z = 28, N )−S2n (Z = 28, N +
2) voor even-even N i-isotopen. [47]
HOOFDSTUK 1. INLEIDING EN MOTIVATIE
6
De vorige studies leidden tot contradictorische conclusies over de aard van de
N = 40-neutronschilsluiting. Een volgende stap die tot meer inzicht moet leiden is
het onderzoeken van het ééndeeltjeskarakter van de oneven neutronrijke N i-isotopen.
Dit kan gebeuren met neutron transferreacties. In een eerste van deze experimenten
wordt het ééndeeltjeskarakter van de laag energetische toestanden van 67 N i, welk
beschouwd kan worden als 68 N i met één neutrongat, onderzocht met behulp van
d(66 N i, p)67 N i-reacties. Dit experiment is gepland om in november 2009 met de
MINIBALL-opstelling aan REX-ISOLDE in CERN te worden uitgevoerd. Een radioactieve 66 N i-bundel (t1/2 = 54, 6 h) zal versneld worden tot 3 MeV/u en op
een deuteron trefschijf geschoten worden. Het één-neutron transferkanaal zal gedetecteerd worden via de uitgestuurde protonen en eventueel γ-fotonen. Door de experimenteel waargenomen en theoretische berekende differentiële werkzame doorsneden van de reactie (sectie 2.1 en 3.1.2) met elkaar te vergelijken, bekomt men de spectroscopische factoren (sectie 3.1.2), welke een maat zijn voor het ééndeeltjeskarakter
van een bepaalde toestand. Hoe sterker het dubbelmagisch karakter van 68 N i, hoe
sterker dit ééndeeltjeskarakter.
Bovendien geeft de differentiële werkzame doorsneden directe informatie over de `,
waarmee spin en pariteit voor de geëxciteerde niveau’s van 67 N i eenduidig bepaald
kunnen worden.
Het onderzoek naar de N = 40-schilsluiting is ook belangrijk voor de nucleaire
astrofysica. Elke schil- of subschilsluiting veroorzaakt een ’wachtpunt’ voor het nucleosynthese mechanisme dat verloopt via de snelle vangst van neutronen (r-process)
[14]. Dit proces vindt plaats in stellaire middens als supernovae. Gedetailleerde informatie over schilsluitingen kan dus leiden tot een beter inzicht in deze stellaire
middens, alsook in een beter begrip van de waargenomen abundanties van de isotopen in het zonnestelsel.
Ter voorbereiding van het d(66 N i, p)67 N i-experiment worden enkele metingen
uitgevoerd met een bundel van stabiele 86 Kr-kernen, met als doel na te gaan of
de opstelling goed begrepen is, de analyse van de data onder controle is en om na
te gaan of de data bekomen uit een (d, p)-reactie in directe kinematica [39] gereproduceerd kunnen worden. Deze thesis omvat twee afzonderlijke studies. Ten
eerste een theoretische studie over de berekening van de werkzame doorsnede van de
d(86 Kr, p)87 Kr-reactie en de invloed van verschillende optische-model-parameters
op het resultaat. Deze studie, beschreven in hoofdstuk 3, heb ik tijdens mijn Erasmusverblijf aan de University of the West of Scotland onder begeleiding van prof.
Dr. Robert Chapman uitgevoerd. De tweede studie, die ik heb uitgevoerd in de
groep kernspectroscopie aan het Instituut voor Kern- en Stralingsfysica, handelt
over de analyse van de metingen. Deze staat beschreven in hoofdstuk 5.
De d(86 Kr, p)87 Kr-reactie is een interessante voorbereiding op het N i-experiment
omdat 86 Kr een gesloten (N = 50)-neutronschil bezit. Dit maakt dat de neutronconfiguratie van 87 Kr eenvoudig genoeg zal zijn om het ééndeeltjeskarakter ervan te
onderzoeken.
Bovendien zorgt de grotere massa van 86 Kr, omwille van grotere energieverliezen en
HOOFDSTUK 1. INLEIDING EN MOTIVATIE
7
lagere resolutie in de barreldetector, ervoor dat de d(86 Kr, p)87 Kr-reactie moeilijker
te onderzoeken is dan d(66 N i, p)67 N i. Een geslaagde meting met de 86 Kr-bundel,
geeft ons zodoende vertrouwen dat het N i-experiment zeker haalbaar is.
Omwille van een explosie in de voedingsbron van één van de afbuigmagneten van
de bundellijn, moesten de metingen met de stabiele 86 Kr-bundel vroegtijdig worden
gestaakt. Na minder dan amper twee uur nuttige meettijd, werd er slechts een kleine
hoeveelheid aan statistiek vergaard. In dit werk wordt onderzocht of deze (weinige)
data begrepen kan worden.
Hoofdstuk 2
Kernreacties
2.1
Algemene beschouwingen en terminologie
Wanneer atoomkernen elkaar dicht genoeg naderen om elkaars (Coulomb of nucleaire) potentiaal te voelen, kunnen ze interageren. Dit noemt men een kernreactie. In
laboratoria wordt dit gerealiseerd door energetische deeltjes uit een versneller of een
reactor in te laten vallen op een trefschijf. Reacties zijn vaak relatief simpel, zoals
bij elastische Rutherford verstrooiing, waar enkel de koers van de deeltjes wijzigt.
Maar er treden ook complexere processen op, waarbij de toestand of zelfs de aard
van de kernen wijzigt [7].
Een typische reactie laat zich schematisch schrijven als:
a+A→B+b
Maar meestal hanteert men de compactere schrijfwijze:
A(a, b)B
In het ingangskanaal α stelt a het projectiel voor, A een trefschijfkern. Het uitgangskanaal β bevat de reactieproducten. Men noemt b het ejectiel, B de residuële
kern. De deeltjes in het ingangskanaal zijn normaal gezien gekend. De reactieproducten dienen geı̈dentificeerd te worden, of met andere woorden: hiervoor dient men
A en Z te bepalen. Dit kan op verscheidene manieren gebeuren. Vaak kijkt men
naar het energieverlies in een telescoop opstelling, zoals beschreven in sectie 4.2.2.
In het laboratorium observeert men de deeltjes, uitgestuurd onder een bepaalde
hoek met de bundel. Berekeningen omtrent kernreacties gebeuren, omwille van de
eenvoud, echter vaak in stelsel waarin het massa-centrum van de deeltjes in rust is:
het massacentrumstelsel (ook wel CM-stelsel genoemd naar ’Center of Mass’ stelsel).
De relaties tussen de hoeken in het CM- en laboratorium stelsel (Lab-stelsel) zijn
zichtbaar in figuur 2.1. In dit werk stellen de symbolen θ steeds hoeken voor in
het Lab-stelsel, ϑ in het CM-stelsel. Om ruimtehoeken aan te duiden worden de
symbolen ω en Ω respectievelijk gebruikt in het Lab- en het CM-stelsel. De differdσ
entiële werkzame doorsnede dΩ
(ϑ) van deeltjes die in richting ϑ verstrooid worden is
8
HOOFDSTUK 2. KERNREACTIES
9
Figuur 2.1: Een typische kernreactie, gezien vanuit het Lab- en CM-stelsel [1]. Snelheidsvectoren
u hoeken θ worden waargenomen in het Laboratorium, terwijl v en ϑ hun overeenkomstigen zijn
in het CM-stelsel.
gedefinieerd als: de flux van verstrooide deeltjes die door het oppervlak dA = r2 dΩ
in richting ϑ gaat per eenheid van initiële flux van de bundel [4]. Integreren over de
volledige ruimte geeft de totale werkzame doorsnede σ. Deze heeft de dimensie van
een oppervlakte, en is een maat voor de waarschijnlijkheid waarmee een bepaalde
reactie optreedt.
Verder meet men ook de energie van de deeltjes waaruit men de Q-waarde en excitatieniveaus kan bepalen. De Q-waarde wordt gedefinieerd als het verschil tussen
initiële en finale rustenergie, of equivalent de (kinetische) energie die in het Labstelsel vrijkomt in de reactie [12]:
Q = (mA + ma − mB − mb )c2
= EB + Eb − EA − Ea
Tenslotte wordt in sommige gevallen ook de polarisatie van de deeltjes bepaald. Dit
is echter niet relevant voor het onderzoek.
Reacties worden aan de hand van de besproken observabelen onderverdeeld in
volgende types [7, 10]:
• Elastische verstrooiing: B = A en b = a, de kernen zijn ongewijzigd en ondergingen geen excitatie.
• Inelastische verstrooiing: B = A∗ of b = a∗ , de reactieproducten hebben zelfde
A en Z als in het ingangskanaal, maar minstens één van beide deeltjes bevindt
zich in een geëxciteerde toestand. Als deze excitatie gebeurt onder invloed van
de electromagnetische interactie, met andere woorden door de uitwisseling van
een virtueel foton, spreekt men over Coulombexcitatie [1, 16, 30].
• transfer- of herschikkingsreactie: B 6= A of b 6= a, de reactieproducten hebben
HOOFDSTUK 2. KERNREACTIES
10
verschillende A en Z als in het ingangskanaal. Er wordt onderscheid gemaakt
tussen:
– oppikreactie: Ab > Aa , het projectiel neemt één of meerdere nucleonen op
van de trefschijfkern.
– stripreactie: Ab < Aa , de trefschijfkern ontrekt één of meerdere nucleonen
van het projectiel.
– knock-out reactie: er wordt nog een extra deeltje c uit de trefschijfkern
’geslagen’.
– fusiereactie: het projectiel en de trefschijfkern smelten (geheel of gedeeltelijk) samen.
– radiatieve vangst (b = γ)
2.2
Reactiemechanisme
In de jaren ’30 basseerde Niels Bohr zich op het kortedrachtskarakter van de kernkracht
om een model te ontwikkelen dat een beschrijving geeft voor het mechanisme van
kernreacties: het intermediaire-kern-model [13]. In dit model smelten projectiel en
trefschijfkern kort samen en vormen een hoog-geëxciteerde intermediaire toestand
C ∗ , die dan nadien een deeltje b uitstuurt:
a + A → C∗ → B + b
Het onderliggende mechanisme kan men als volgt beschouwen [7]. Het projectiel
botst met de trefschijfkern, en verstrooit daarin één tot enkele nucleonen. Deze
nucleonen en het projectiel veroorzaken elk in een volgende stap nieuwe botsingen
met andere nucleonen. Na meerdere zulke stappen is de initiële energie van het
projectiel verdeeld over vele nucleonen in het gecombineerde systeem van projectiel
en trefschijfkern. De gemiddelde energie van elk nucleon is onvoldoende om uit de
intermediaire toestand C ∗ te ontsnappen. Maar de toevallige aard van de botsingen
leidt tot een statistische energiedistributie. Hierin is een kleine kans aanwezig dat
één enkel nucleon, of een groep nucleonen, voldoende energie krijgt om te ontsnappen en C ∗ te laten vervallen. Een voorbeeld van een macroscopische analogie is
die waarbij men een kern als een vloeistofdruppel beschouwt [10]. Wanneer twee
druppels botsen, zullen ze samensmelten tot een grotere druppel die, omwille van
de excitatie, een hoge temperatuur heeft. Het verval komt dan overeen met het
afkoelen van de druppel door nucleonen of groepen van nucleonen te verdampen.
Omwille van de vele botsingen die gebeuren vooraleer C ∗ vervalt, ’vergeet’ deze
toestand hoe hij gevormd is. Hiermee wordt bedoeld dat de reactieproducten niet
afhangen van hoe de intermediarire toestand ontstond. Dit wordt geı̈llustreerd in
figuur 2.2. De werkzame doorsneden van verscheidene reacties die verlopen via
dezelfde intermediaire nucleus 64 Zn worden getoond in functie van de bundelenergie.
Reacties met verschillend ingangskanaal maar eenzelfde uitgangskanaal vertonen een
HOOFDSTUK 2. KERNREACTIES
11
gelijkaardige werkzame doorsnede. In de figuur valt ook te zien hoe de werkzame
doorsnede van een reactie toeneemt met de energie, maar terug afneemt wanneer
er andere reactiekanalen energetisch mogelijk worden. Wanneer het uitgangs- en
ingangskanaal werkelijk onafhankelijk zijn, verwacht men een isotrope angulaire distributie. De reactieproducten ’herinneren’ zich immers de richting van de bundel
niet meer. In de praktijk is de hoekdistributie niet helemaal isotroop. Omwille van
behoud van impulsmoment wordt het ejectiel met kleine voorkeur in de voorwaartse
en achterwaartse richting uitgezonden [10] zoals te zien in figuur 2.3.
Figuur 2.2: De werkzame doorsneden van verscheidene reacties die verlopen via dezelfde intermediaire kern 64 Zn in functie van de bundelenergie. Reacties met verschillend ingangskanaal maar
eenzelfde uitgangskanaal vertonen een gelijkaardige werkzame doorsnede. De werkzame doorsnede
van neutronevaporatie neemt toe met de energie totdat er andere reactiekanalen: proton-neutronen twee-neutronevaporatie energetisch mogelijk worden. [7]
HOOFDSTUK 2. KERNREACTIES
12
Figuur 2.3: Een schematische voorstelling van de angulaire distributie bij directe reacties en
intermediaire-kern-reacties (aangeduid met ’compound’). [10]
In de jaren ’50 werden reacties ontdekt die niet via het intermediaire-kern-mechanisme
verlopen [13]. Bij het uitvoeren van (d, p)-stripreacties vond men een voorwaarts
gepiekte angulaire distributie voor de protonen [29]. Om deze te beschrijven werd
een nieuw reactiemodel ontwikkeld, het directe reactie mechanisme. De reacties
gebeuren zonder intermediaire toestand, in slechts één stap. Het projectiel interageert niet met de gehele trefschijfkern, maar slechts met één of enkele nucleonen.
Hierdoor wordt de energie niet verdeeld over vele nucleonen. Deze stap vindt meestal
plaats aan de oppervlakte van de kern. Dit wordt dan een periferische reactie genoemd. Het kan ook zijn dat de reactie op grotere afstand gebeurt, op de exponentieel afnemende staart van de golffuncties.
Voor toenemende energie stijgt de werkzame doorsnede van directe reacties, deze
van intermediarie-kern-reacties daalt1 , zoals weergegeven in figuur 2.5. Dit is in
te zien door te kijken naar de de Broglie golflengte: hoe groter de energie hoe
kleiner de golflengte en dus ook hoe meer kans dat het het projectiel slechts met
enkele nucleonen zal interageren. Meestal worden de directe reacties dominant bij
Ea ∼ 10MeV/u. Directe reacties verlopen snel, in een tijdschaal van ∆t ∼ 10−22 s
in de plaats van 10−20 tot 10−14 s bij intermediarie-kern-reacties. De hoekdistributie
is niet isotroop, maar vertoont een vorm zoals schematisch voorgesteld in figuur
2.3. Figuur 2.4 toont een experimenteel bekomen angulaire distributie neutronen,
elastisch verstrooid aan lood. Er is een globale afname naarmate de hoek groter
wordt. In figuur 2.6 valt te zien dat grotere hoeken overeenkomen met kleinere impactparameters, die het moeilijker maken om slechts met één nucleon te interageren.
De opeenvolgende minima en maxima zijn het gevolg van interferentie tussen deel1 Omdat
intermediarie-kern-reacties dominant zijn bij lage energie, waren deze ook eerder bekend.
HOOFDSTUK 2. KERNREACTIES
13
tjes die aan tegengestelde kant van de kern verstrooid worden zoals in figuur 2.7.
De angulaire distributie geeft informatie over het overgedragen impulsmoment ` in
de reactie. Omdat de reactie aan het kernoppervlak gebeurt, geldt er klassiek [7]
` = R p, met R de kernstraal en p = pa − pb zoals in figuur 2.7. De cosinusregel
zegt:
p2 = p2a + p2b − 2pa pb cos(ϑ)
Dit geeft een verband tussen ` en ϑ. Figuur 2.8 toont aan dat de hoek die zo
berekend wordt goed overeenstemt met de ligging van het eerste maximum in de
hoekdistributie.
Figuur 2.4: Elastische verstrooiing van 14 MeV neutronen aan Pb [35].
Figuur 2.5: De werkzame doorsnede voor het exciteren van 56 F e met behulp van een neutron. Voor
toenemende energie stijgt de werkzame doorsnede van directe reacties, deze van intermediarie-kernreacties daalt. [10]
HOOFDSTUK 2. KERNREACTIES
14
Figuur 2.6: Typische trajecten van geladen deeltjes onder Rutherford verstrooiing voor verschillende impactparameters b. De berekeningen werden gemaakt voor 16 O-ionen met een bundelenergie
van 130 MeV op 208 P b trefschijfkernen, enkel de streeplijn is voor een energie van 65 MeV. De
cirkel geeft aan waar de kernkracht voelbaar wordt. [10]
Figuur 2.7: De geometrie van directe reacties, welke hoofdzakelijk aan het kernoppervlak optreden.
Interferentie zal optreden voor alle golven die zich in dezelfde richting voortbewegen. [7].
HOOFDSTUK 2. KERNREACTIES
15
Figuur 2.8: Angulaire distributies van de protonen uit de 90 Zn(d, p)91 Zn-reactie. De verschillende
datasets komen overeen met verschillende excitatieniveaus van 91 Zn, bepaald aan de hand van
het uitgestuurde γ-foton. Deze staan gegroepeerd weergegeven per `-toestand [7]. De vertikale
lijnen duiden telkens de hoek θ aan die volgens de klassieke berekeningen overeenstemmen met de
gegeven `.
HOOFDSTUK 2. KERNREACTIES
16
Directe reacties zijn een krachtige methode om kernspectroscopisch onderzoek te
doen en informatie rond kernstructuur te verkrijgen. Een transferreactie van een
enkel nucleon bevolkt toestanden bij voorkeur energetisch laaggelegen toestanden
met een sterk ééndeeltjeskarakter. Bovendien verschaft de hoekdistributie informatie over de impulsmomentsoverdracht `. Omwille van het éénstapsmechanisme
zijn ze makkelijker te interpreteren dan intermediaire-kern-reacties. De werkzame
doorsneden zijn tamelijk groot (1 tot 10 mb/sr). De voorbije decenia hebben directe
reacties in directe kinematica2 waardevolle informatie opgeleverd over de kernstructuur van stabiele isotopen. Gezien de korte levensduur van exotische kernen is het
onmogelijk om hier een trefschijf uit te maken. Directe reacties kunnen enkel uitgevoerd worden met stabiele trefschijven. Recente technologische ontwikkelingen
hebben het mogelijk gemaakt radioactieve isotopen efficiënt te produceren en na te
versnellen. Hiermee kan men lichte trefschijfkernen beschieten, waardoor het mogelijk wordt om ook directe reacties uit te voeren met exotische kernen, weliswaar
in inverse kinematica. In hoofdstuk 4 wordt deze techniek verder toegelicht.
2 In directe kinematica wordt de trefschijf beschoten door kernen, lichter dan deze in de trefschijf aanwezig. Één- of
twee-neutron transferreacties gebeuren in directe kinematica vaak met respectievelijk een deuteron- of tritiumbundel.
Hoofdstuk 3
Distorted Wave Born
Approximation - DWBA
Het vorige hoofdstuk handelde over de interesse naar ééndeeltjestransferreacties
bij onderzoek naar de schillenstructuur van kernen. Dit hoofdstuk toont dat Distorted Wave Born Approximation (DWBA) oftewel Verstoorde Golf Born Benadering berekeningen hier een belangrijke rol in spelen. Door de experimenteel bekomen
en de berekende differentiële werkzame doorsneden te vergelijken, bekomt men belangrijke informatie over het ééndeeltjeskarakter van de finale toestanden. Maar de
berekeningen kunnen ons meer leren dan enkel de differentiële werkzame doorsnede.
Het gericht wijzigen van invoerparameters verschaft inzicht in de reactie.
3.1
DWBA Theorie
De volgende sectie bespreekt de 86 Kr(d, p)87 Kr neutron transferreactie in termen
van de DWBA-theorie. Deze theorie wordt uitvoering uit de doeken gedaan in
werken als [4], [10] en [11]. Hier wordt slechts een samenvatting gegeven waarin
enkel de belangrijkste punten worden vermeld. Zo wordt er een voldoende grondige
theoretische basis aangereikt, zonder dat ze te overladen is met details en rigoureuze
afleidingen.
3.1.1
Het Optische Model
Deze sectie handelt over een model, gebruikt om elastische verstrooiing te beschrijven: het Optische Model. DWBA-berekeningen, die in de volgende sectie besproken
zullen worden, maken immers uitvoerig gebruik van dit model.
In sectie 2.2 werd gesteld dat het ejectiel in directe reacties - en dus ook in elastische
verstrooiing - interferentiepatronen vertoont in de hoekdistributie van zijn werkzame
doorsnede (zie figuur 2.4). Dit fenomeen vertoont een sterke gelijkenis met licht dat
diffractie ondergaat aan een schijf (figuur 3.1). Er is echter één belangrijk verschil
tussen beide: de minima bij elastische nucleonverstrooiing vallen niet helemaal naar
17
HOOFDSTUK 3. DISTORTED WAVE BORN APPROXIMATION - DWBA
18
nul. Dit komt omdat de nucleus, in tegenstelling tot de schijf, geen scherp oppervlak
vertoont. Vanuit dit idee ontstond het cloudy crystal ball model [4, 11], ofwel het
opake kristallen bol model voor de beschrijving van elastische verstrooiing. Tegenwoordig is dit model beter bekend als the optic model of het optische model.
In het optische model bezit de nucleus volgende potentiaal [25, 45]:
2
d
h
1 d
V (r) = Vc − V f (x) + 4ıWD f (xi ) −
Vso (σ · `)
f (xso )
dr
mπ c
r dr
(3.1)
De eerste term Vc is de Coulomb potentiaal. Vc = ZZ 0 e2 /r buiten (r ≥ Rc ) en
Vc = (ZZ 0 e2 /2Rc )(3 − r2 /Rc2 ) binnen (r ≤ Rc ) de sferische nucleus. De tweede en
derde term vormen de centrale nucleaire potentiaal. Hier is f (x) de Wood-Saxon
potentiaalfunctie (figuur 3.2): f (x) = (1 + ex ), met x = (r − r0 A1/3 )/a. De laatste term tenslotte beschrijft de spinbaaninteractie. Het reële deel van de potentiaal
beschrijft de verstrooiing. Het imaginaire deel zorgt voor absorptie: de golf van
het verstrooiide deeltje wordt geattenueerd wanneer hij doorheen de nucleus beweegt. Deze absorptie beschrijft de fractie van deeltjes die verloren gaan in andere
reactiekanalen dan elastische verstrooiing. Deze andere reacties, zoals bijvoorbeeld
inelastische verstrooiing en radiatieve vangst, worden dus slechts op een indirecte
manier in rekening gebracht [7, 4].
De absorptie moet vooral gebeuren aan het oppervlakte van de nucleus. Omwille van
het Pauli-principe zijn de sterk gebonden nucleonen diep binnenin de kern immers
niet in staat de (relatief lage) energie van de projectieldeeltjes op te nemen [7, 2].
d
Vandaar kiest men voor de vorm van de imaginaire term de functie: dr
f (x), de
afgeleide van de Wood-Saxon potentiaalfunctie, welke piekt aan het kernoppervlak
(figuur 3.2).
De negen parameters: V , r0r , ar , WD , r0i , ai , Vso , r0so en aso die de optische potentiaal definiëren, worden experimenteel bepaald door een gesimuleerde curve te fitten
aan de gemeten hoekdistributie. Deze parameters hangen af van de bundelenergie
E, het massagetal A en het atoomnummer Z van de trefschijfkernen. Over het algemeen, wanneer men niet te maken heeft met resonantie-energieën, variëren deze
tamelijk traag en als een gladde, continuë functie van E, A en Z [44]. Het verloop
wordt beschreven door empirisch bepaalde formules. Wanneer er geen parameters,
bepaald voor de gewenste E, A en Z, voorhanden zijn, kunnen optische-modelparameters, of omp’s, die met zulk een formule berekend werden, worden gebruikt.
Deze omp’s worden in de verdere loop van dit hoofdstuk: algemene omp’s 1 genoemd. Dikwijls kan men ook omp’s gebruiken die experimenteel bepaald werden
door verstrooiing op bij naburig gelegen kernen, met vergelijkbare bundelenenergie.
1 Algemene omp’s houden geen rekening met resonantiefenomenen bij bepaalde nucleı̈, deze werden immers allen
uitgemiddeld bij het bepalen van de empirische formules.
HOOFDSTUK 3. DISTORTED WAVE BORN APPROXIMATION - DWBA
19
Figuur 3.1: Diffractiepatroon van licht aan schijf [7].
Figuur 3.2: De Wood-Saxon potentiaalfunctie (onderaan) en haar afgeleide (bovenaan)[7]. Merk
op dat men voor beide een verschillende parameter r0 koos.
HOOFDSTUK 3. DISTORTED WAVE BORN APPROXIMATION - DWBA
3.1.2
Theorie van de
86
20
Kr(d, p)87 Kr neutron transferreactie
Uit verstrooiingstheorie volgt dat de (angulaire) differentiële werkzame doorsnede2
voor een stripreactie a + A → B + b (met a = b + x en B = A + x) gegeven wordt
door[11]:
µα µβ kβ
dσβ
=
|Mβα |2
dΩ
(2π~)2 kα
hierbij zijn µα en µβ de gereduceerde massa’s en ~kα en ~kβ de impulsen van de
initiële en finale toestand in het CM-stelsel. Het transitiematrixelement Mβα is:
Mβα = hΨβ (kβ )|H|Ψα (kα )i
De totale Hamiltoniaan H is de som van de interne Hamiltonianen Ha en HA , de
kinetische energie van de relatieve beweging en de interactiepotentiaal Vα
H = Ha + HA −
~2 2
∇ + Vα
2µα α
Voor de finale toestand β is er een analoge hamiltoniaan.
De golffuncties Ψ kunnen niet precies bepaald worden. Hiervoor zijn twee redenen.
Ten eerste bestaat er geen exacte uitdrukking voor de interactiepotentiaal en zijn
vereenvoudigde modellen noodzakelijk. Het tweede obstakel is het feit dat het een
drie-lichamenprobleem betreft (de trefschijfkern A, het projectiel a en het getransfereerde deeltje x). Dit probleem vereenvoudigt aanzienlijk wanneer de reactie als
het volgende drie-stappen proces beschouwd wordt [4, 10]:
1. Het projectiel a beweegt in de gemiddelde potentiaal van de trefschijfkern
A. Dit is een elastisch verstrooiingsprobleem, beschreven door het optische
model. Deze aanname is enkel gerechtvaardigd wanneer elastische verstrooiing het voornaamste reactiekanaal is, zodat de perturbatietheorie gebruikt kan
worden.
2. De transfer van x. Hierbij zijn geen excitaties toegelaten3 .
3. Het ejectiel b beweegt in de gemiddelde potentiaal van de residuële kern B. Dit
is opnieuw beschreven door een optische potentiaal.
Het transitiematrixelement Mβα wordt [11]:
(−)
Mβα = hψB ψb χβ (kβ , rβ )|Vβ − Vβopt |χ(+)
α (kα , rα )ψa ψA i
Hier stellen de ψ’s de interne golffuncties voor. Ze zijn eigenfuncties van de overeenkomstige, interne Hamiltonianen. De golffuncties χ vertegenwoordigen de relatieve bewegingen van de deeltjes. In ruwe benadering zijn deze voor te stellen als vlakke golven. Dit is de (plane-wave) Born Approximation (BA) of vlakke golf Born Benadering. Een verfijning hiervan is de Distorted Wave Born Approximation (DWBA)
2 In dit werk wordt de grootheid dσ/dΩ soms kortweg ’de werkzame doorsnede’ genoemd, hoewel dit strikt gezien
de benaming is voor de totale of geı̈ntegreerde werkzame doorsnede σ. Uit de context is steeds duidelijk welke
werkzame doorsnede bedoeld wordt.
3 Geëxiteerde toestanden kunnen wel in rekening worden gebracht door deze als een aparte finale toestand te
beschouwen.
HOOFDSTUK 3. DISTORTED WAVE BORN APPROXIMATION - DWBA
21
oftewel Verstoorde Golf Born Benadering. Hier worden de golven als verstoorde
vlakken golven geschreven:
χ(k, r) = exp(ık · r) + ψverstooiing
De χ’s zijn oplossingen van het elastisch verstrooiingsprobleem, waarbij men gebruik
maakt van een optische potentiaal. Dit is equivalent met aannamen 1 en 3. Omdat
de interacties een korte reikwijdte hebben, voert men vaak ook de vereenvoudiging:
rα ≈ rβ = r uit.
Het effect van de optische potentiaal in stap 1 en 3 zit reeds in de χ’s vervat. Hierdoor
valt deze potentiaal weg uit de Hamiltoniaan van het vereenvoudigde matrixelement.
Deze wordt Vβ − Vβopt , het verschil tussen de gehele en de optische model interactie
tussen b en B. Vβ is te schrijven als:
Vβ = Vbx + VAb
In DWBA berekeningen maakt men bijna altijd de benadering:
VAb ≈ Vβopt
Deze benadering wordt voornamelijk aanvaard omwille van de eenvoud van de
verdere berekening. Maar Smith (1969) heeft een vergelijking gemaakt tussen berekeningen met en zonder deze aanname en vond slechts een verwaarloosbaar verschil
[18].
Het doorvoeren van deze benaderingen resulteert in [11]:
Z
(−)∗
Mβα = χβ (kβ , r)hψB |ψA ihψb |Vbx |ψa iχ(+)
(3.2)
α (kα , r)dr
In het geval van een (d,p)-reactie kan men de residuële kern B beschouwen als de
trefschijfkern A, gekoppeld met een neutron in een specifieke orbitaal van het schillen
model φj` (rn ), zodat:
Z
hψB |ψA i = ψB∗ (ξ, rn )ψA (ξ)dξ = hJA jMA m|JB MB iφ∗j` (rn )
(3.3)
De DWBA-code die in dit hoofdstuk gebruikt wordt om de differentiële werkzame
doorsnede van 86 Kr(d, p)87 Kr te berekenen: DWUCK4 [25] berekent φj` als numerieke oplossing van de Schrödinger vergelijking met een Thomas potentiaal4 :
2
h
λ 1 d
d
V (r) = −V f (x) + 4ıWD f (xi ) − V
f (x)(σ · l)
(3.4)
dr
mπ c 45.2 r dr
Zoals bij het optische model (vgl 3.1) is f (x) opnieuw de Wood-Saxon-potentiaalfunctie
f (x) = (1 + ex ), met x = (r − r0 A1/3 )/a. De eerste twee termen zijn de reële en
imaginaire centrale potentiaal. De derde term is de spinbaanterm met Thomas factor λ.
4 Sommige
andere DWBA-codes doen hiervoor beroep op externe codes.
HOOFDSTUK 3. DISTORTED WAVE BORN APPROXIMATION - DWBA
22
Vermits de golffunctie van het neutron in de praktijk nooit een zuiver ééndeeltjeskarakter
heeft, zal de experimentele werkzame doorsnede kleiner zijn dan de berekende:
j`
j`
dσ
dσ
(ϑp )
= Sj`
(ϑp )
dΩ
dΩ
experimenteel
theoretisch
Sj` is de spectroscopische factor. Deze is een maat voor de zuiverheid van het
ééndeeltjeskarakter van de golffunctie van het neutron, gekoppeld aan de onderliggende kern A. De verschillende spectroscopische factoren zijn de meningscoëfficiënten
van de ééndeeltjesorbitalen in de totale golffunctie.
Omwille van de korte dracht van de proton-neutron interactie, wordt deze soms
vervangen door een δ-functie met interactiesterkte D0 . Dit is de zero range approximation of nuldrachtsbenadering. Voor de proton-neutron interactie is D02 ≈ 1.5×104
MeV/fm3 .
hp|Vpn |di → D0 δ(rp − rn )
(3.5)
De substitutie introduceert een kleine fout in het resultaat. DWUCK4 maakt
ook gebruik van de nuldrachtsbenadering, maar voorziet de invoer van een finite
range of eindige-drachts-correctiefactor, specifiek voor elke reactie5 . Andere eindigedrachts-codes brengen de reikwijdte van de proton-neutron-interactie in rekening.
Deze zijn echter complexer en worden hier niet gebruikt.
3.2
3.2.1
DWBA-Berekeningen
Reproductie van experimentele data bij 11 MeV
Deze paragraaf tracht experimentele gegevens te reproduceren met DWBA-berekeningen. Het doel hiervan is te demonstreren dat het programma DWUCK4 op een
juiste manier gebruikt wordt tijdens de verdere analyse.
Alle DWBA-berekeningen in dit hoofdstuk worden gedaan voor 86 Kr(d, p)87 Kr6
in het CM-stelsel. Het d(86 Kr, p)87 Kr-experiment in inverse kinematica werd uitgevoerd met een bundelenergie van 2, 88 MeV/u. In de directe kinematica betekent dit
een deuteronenbundel met een energie van 5, 76 MeV. In de berekeningen werd steeds
van een bundel van 6 MeV uitgegaan. Jammer genoeg zijn er geen publicaties van
experimenten waarin de differentiële werkzame doorsnede van deze reactie bij deze
energie gemeten wordt. Vandaar worden de experimentele gegevens van K.Haravu
et al. [39] gebruikt. Het betreft hier een experiment uit 1970, waar men van dezelfde
reactie gebruik maakt, maar met een bundel van 11 MeV. Als trefschijf gebruikte
men 86 Kr-gas (98.5%) in een mylar gascel. De protonen werden gedetecteerd met
5 Hiermee
6 Dus
bedoelen we: specifiek voor elke (a, b), maar onafhankelijk van A en B.
een deuteronbundel die op een 86 Kr-trefschijf gevuurd wordt. Dit wordt de directe kinematica genoemd.
HOOFDSTUK 3. DISTORTED WAVE BORN APPROXIMATION - DWBA
deuteron
deuteron
proton
proton
set
set
set
set
1
2
1
2
[38]
[45]
[39]
[45]
V
(M eV )
114.2
109.1
57.09
54.29
r0r
(f m)
1.281
1.05
1.22
1.25
ar
(f m)
0.688
0.86
0.66
0.65
WD
(M eV )
11.01
11.19
12.52
13.5
r0i
(f m)
1.501
1.43
1.25
1.25
ai
(f m)
0.794
0.753
0.48
0.47
Vso
(M eV )
0
7
6
7.5
23
r0so
(f m)
0
0.75
1.25
1.25
aso
(f m)
0
0.5
0.65
047
Tabel 3.1: Verschillende optische model parameters uit de literatuur voor het ingangskanaal
(deuteron sets) en uitgangskanaal (proton sets) voor de 86 Kr(d, p)87 Kr-reactie bij 11 MeV.
siliciumdetectoren. De omp’s werden bepaald door middel van elastische verstrooiing van 10,997 MeV protonen en 9,66 MeV deuteronen op 86 Kr.
In het vervolg van deze sectie wordt een onafhankelijke analyse van de data uitgevoerd. In [39] worden negen optische model parameters gebruikt voor het ingangskanaal, bekomen uit een fit van elastische verstrooiings data. Deze data vertoont weinig structuur (zie figuur 3.3) en een wijziging van één parameter kan dan
makkelijk gecompenseerd worden door ook een andere parameter aan te passen.
Deze omp’s hebben dus waarschijnlijk grote onzekerheden. In deze onafhankelijke
analyse worden verschillende sets van omp’s uit de literatuur vergeleken.
Bij de berekening van de neutrongolffunctie, neemt Haravu et al. als vorm van de
spinbaanterm van de potentiaal dezelfde vorm als de centrale potentiaal. Dit is
fysisch zeer onrealistisch. In deze analyse wordt gebruik gemaakt van een spinbaanterm van de Thomasvorm zoals gegeven in vergelijking 3.4.
Twee verschillende sets van omp’s voor zowel het in- als uitgangskanaal (zie tabel
3.1) worden onderzocht. In beide gevallen is set 1 een resultaat van elastische verstrooiings experimenten op 86 Kr-kernen. Deuteronset één werd gemeten bij een
verstrooiingsenergie van 10.95M eV , protonset één bij 9.63M eV . Set 2 is telkens
een algemene omp. Herinner uit sectie 3.1.1 dat deze het uitgemiddelde verloop van
de omp’s in functie van A, Z en Ebundel beschrijven.
Naast de twee optische potentialen dient ook de potentiaal van het gebonden neutron gespecificeerd te worden, om ook de ééndeeltjesgolffunctie te berekenen. De potentiaal is van de vorm zoals in vergelijking 3.4. Er wordt een reële potentiaal verondersteld, dus WD = 0. De diepte van de potentaal V wordt door DWUCK4 gekozen
zodat de bindingsenergie van het neutron klopt met de ingegeven Q-waarde van de
reactie. Q(gs) = Bn (87 Kr)−Bn (d) met Bn (d) = 2.225M eV en Q(gs) = 3.291M eV 7
[23]. Voor de overige parameters kiest men de standaard waarden uit de literatuur
[25, 17, 32], ze staan weergegeven in tabel 3.2. Sectie 3.2.5, verder in dit hoofdstuk,
is gewijd aan de invloed van de radius r0r . De invloed van de Thomas-factor λ wordt
hier niet expliciet onderzocht. Maar bij kernpotentialen geldt algemeen dat het aanof afwezig zijn van een spinbaanpotentiaal belangrijk is maar niet zo zeer de exacte
7 ’gs’
87 Kr.
staat voor ground state ofwel grondtoestand. We beschouwen voorlopig geen geëxiteerde toestanden van
HOOFDSTUK 3. DISTORTED WAVE BORN APPROXIMATION - DWBA
24
diepte ervan [7, 21].
Figuur 3.4 toont de uitvoer
dσ
dΩ
van DWUCK4 voor elke combinatie van
Figuur 3.3: De verhouding tussen de experimenteel bepaalde werkzame doorsnede van 86 Kr(d, d)
elastische verstrooiing en de overeenkomstige Rutherford werkzame doorsnede. De omp’s werden
bekomen door deze data met het optische model te fitten. [39].
de parametersets uit tabel 3.1. Het eerste cijfer in de legende staat steeds voor
de set van het ingangskanaal, het tweede voor deze van het uitgangskanaal. Alle
dσ
(ϑp )-berekeningen in dit hoofdstuk werden uitgevoerd voor 0◦ ≤ ϑp ≤ 180◦ met
dΩ
een stapgrootte van 5◦ . In de grafiek zijn deze punten verboden door splinefuncties.
Beide parametersets voor het uitgangskanaal zijn heel gelijkaardig en geven ongeveer
hetzelfde resultaat. De verschillende sets voor het ingangskanaal voorspellen een
meer verschillende werkzame doorsnede. Dit is enigszins verrassend. Normaal zou
men verwachten dat het resultaat sterker afhangt van de parameters van het uitgangskanaal dan van het ingangskanaal. Het proton heeft immers een hogere energie
(namelijk: de bundelenergie plus de Q-waarde). Hoe hoger de energie hoe belangrijker de nucleaire effecten worden in vergelijking met de Coulomb-repulsie. In dit
geval hangt het resultaat sterker af van de gebruikte deuteron parameterset omdat
er een belangrijk verschil is tussen de twee: de aanwezigheid van een spinbaanterm.
Het amplitudeverschil neemt toe voor grotere hoeken ϑp . Er is ook een verschuiving
van de ligging van het tweede, derde en vierde maxima merkbaar. Dit komt omdat
j-effecten, zoals spinbaaninteractie, zich sterker manifesteren bij grotere verstrooiingshoek [21].
Q
(MeV)
3.291
r0r
(fm)
1.25
ar
(fm)
0.65
λ
25
Tabel 3.2: Parameters van de potentiaal van het gebonden neutron in
87
Kr
HOOFDSTUK 3. DISTORTED WAVE BORN APPROXIMATION - DWBA
25
Figuur 3.4: Differentiële werkzame doorsneden voor de 86 Kr(d, p)87 Krgs -reactie (in arbitraire
eenheden) uitgerekend voor een bundelenergie van 11 MeV voor verschillende combinaties van
omp’s uit tabel 3.1.
Ook voor ϑp → 0◦ zijn er grotere verschillen voor verschillende parametersets. Dit
komt terug in alle berekeningen in dit hoofdstuk, voor alle parameters, niet enkel
voor de spinbaaninteractie. Deze hoeken komen overeen met de grootste naderingsafstand tussen het deuteron en de Kr-kern (zie figuur 2.6). De berekeningen worden
hier onnauwkeurig omdat de naderingsafstand in de buurt komt van de bovenste
integratiegrens die gehanteerd wordt. Deze integratiegrenzen worden uitvoeriger
besproken in sectie 3.2.4. Dit effect is minder uitgesproken voor grotere bundelenergie8 .
Vervolgens worden de berekeningen met de differentiële werkzame doorsnede uit het
artikel [39] vergeleken. Deze data staat nergens gepubliceerd zodat deze grafisch uit
de grafiek moest worden afgelezen. Vandaar kunnen er geen foutenmarges getoond
worden. Het is redelijk om aan te nemen dat de fouten groter worden bij grote hoek
ϑp , dit omwille van de grotere spreiding in het energieverlies van de protonen. De
spectroscopische factor Sj` wordt zodanig gekozen dat men de beste overeenkomst
bekomt tussen de experimentele data en de berekingen:
j`
j`
dσ
dσ
2JB + 1 Sj` D02 dσ j`
(ϑp )
= Sj`
(ϑp )
=
(ϑp )
dΩ
dΩ
2JA + 1 2j1 104 dΩ
experimenteel
theoretisch
DW U CK4
D0 is hier de interactiesterkte zoals in vergelijking 3.5. Omdat 86 Kr een eveneven-kern is, vallen de spinfactoren weg. De gangbare procedure schrijft voor van
de spectroscopische factor te bepalen door het eerste maximum van de werkzame
doorsnede te fitten [17, 21]. Zoals hierboven gesteld, is de experimentele fout daar
8 Het is natuurlijk ook zo dat verschillende omp’s bij grotere bundelenergie minder van elkaar afwijken, omdat ze
preciezer bepaald kunnen worden.
HOOFDSTUK 3. DISTORTED WAVE BORN APPROXIMATION - DWBA
26
immers het kleinst. Maar ook de DWBA-berekeningen zijn het nauwkeurigst bij
kleine hoeken. Hier heeft de spinbaaninteractie minder invloed en is er een kleinere
kans op reacties met een intermediaire nucleus mechanisme. Maar omdat er slechts
twee datapunten in de eerste piek liggen, lijkt het verstandiger om de eerste twee
maxima te fitten.
Voor de eerste parameterset van het ingangskanaal, wordt de spectroscopische factor groter dan één. Daarom wordt deze set verworpen. Voor parameter combinatie
’22’ levert dit een spectroscopische factor op met een waarde tussen 0.62 en 0.66,
afhankelijk van of men meer belang hecht aan de eerste of de tweede piek (zie figuur
3.5(a) en 3.5(b)). Deze waarde is niet in overeenstemming met de S = 0.56, zoals
gevonden werd in Haravus analyse. Toch zal in dit verdere werk meer vertrouwen
worden geschonken aan bovenstaande, onafhankelijke analyse.
(a)
(b)
Figuur 3.5: Vergelijking van experimentele data met de berekende werkzame doorsneden voor
verschillende spectroscopische factoren.
3.2.2
Optische Model Parameters voor
86
Kr(d, p)87 Kr bij 6 MeV
In deze sectie wordt onderzocht welke omp’s het meest geschikt zijn om de werkzame
doorsnede van de reactie 86 Kr(d, p)87 Kr bij 6 MeV te berekenen. Dit maal zijn er
geen experimentele data beschikbaar zoals in de vorige sectie. Er is dan ook geen
criterium om de beste parameterset te bepalen. Een sluitend antwoord kan dus niet
geven worden. Toch zullen de verschillende parametersets vergeleken worden om zo
een gevoel te krijgen van hun invloed op de werkzame doorsnede.
In tabel 3.3 staat een selectie van goede kandidaat omp-sets uit de literatuur. Voor
het ingangskanaal staan er vier sets (deuteronsets). De eerste twee zijn algemene
omp’s en komen uit hetzelfde werk als deuteron set 1 en 2 in tabel 3.1. Toch hebben
HOOFDSTUK 3. DISTORTED WAVE BORN APPROXIMATION - DWBA
deuteron set 1
deuteron set 2
deuteron set 3
deuteron set 4
proton set 2
proton set 3
proton set 4
[42]
[45]
[38]
[50]
[45]
[39]
[46]
V
(M eV )
109.1
95.99
114.2
85.4
57.658
57.09
54.6
r0r
(f m)
1.05
1.15
1.281
1.27
1.25
1.22
1.25
ar
(f m)
0.86
0.81
0.688
0.679
0.65
0.66
0.72
WD
(M eV )
11.19
15.84
11.01
18.39
13.5
12.52
15
r0i
(f m)
1.43
1.34
1.501
1.236
1.25
1.25
1.25
ai
(f m)
0.753
0.68
0.794
0.677
0.47
0.48
0.74
27
Vso
(M eV )
7
0
0
0
7.5
6
13.5
r0so
(f m)
0.75
0
0
0
1.25
1.25
1.25
aso
(f m)
0.5
0
0
0
0.47
0.65
0.72
Tabel 3.3: Verschillende optische model parameters uit de literatuur voor het deuteron projectiel
en proton ejectiel voor de 86 Kr(d, p)87 Kr-reactie bij 6 MeV.
de parameters verschillende waarden van in tabel 3.1 omdat ze afhankelijk zijn van de
bundelenergie. De empirische formule die het verloop van de eerste bepaald, is geldig
voor een deuteronbundelenergie tussen 8 en 13 MeV[42]. De formule van de tweede
set is geldig voor een energie onder de 25 MeV, maar dient met voorzichtigheid
gebruikt te worden onder de 12 MeV[45]. Algemene omp’s die zonder problemen gebruikt kunnen worden voor lagere energie waren niet te vinden in de literatuur. Dit
komt omdat omp’s moeilijk te bepalen zijn bij deze energie. De derde werd bepaald
uit elastische verstrooiing van deuteronen met een bundelenergie van 10, 95 MeV op
86
Kr-trefschijfkernen[38]. Voor de vierde set werd een deuteronbundel van 6 MeV
gebruikt op 87 Rb-kernen[50]. Er dient dus een keuze gemaakt te worden tussen óf
de juiste trefschijfkernen óf de juiste bundelenergie. Zoals reeds vermeld in sectie
3.1.1 variëren de omp’s tamelijk traag met Z en A, zodat men vaak de parameters,
bepaald door verstrooiing op naburig gelegen kernen kan gebruiken9 .
Voor het uitgangskanaal werden drie sets (protonsets) geselecteerd (genummerd van
twee tot vier). Nummer twee zijn algemene omp’s, berekend met een formule, geldig
voor energieën kleiner dan 20 MeV 10 [45]. Set nummer drie is dezelfde set die gebruikt werd in de analyse van Haravu [39]. Hij werd bepaald uit een elastisch
verstrooiings experiment, met een protonbundel van 9, 63 MeV op 86 Kr-kernen. Dit
zijn de juiste trefschijfkernen én ongeveer de juiste energie (Ebundel + Q = 9, 291
MeV). Parameterset vier is gemeten met een bundelenergie van 6, 9 MeV op 70 Znkernen[46].
dσ
Vervolgens worden de werkzame doorsneden dΩ
voor de verschillende combinaties van parametersets vergeleken (zie figuur 3.6). Opnieuw slaat het eerste cijfer
van de legende op de deuteronset, het tweede op de protonset. Voor de kleinste
hoeken zijn er weer sterke afwijkingen omwille van de onnauwkeurigheid van de
berekeningen.
dσ
Eerst worden enkel de verschillende protonsets beschouwd. Figuur 3.6(a) toont dΩ
voor alle protonsets, telkens in combinatie met deuteronset 4, maar elke andere
deuteronset leidt tot dezelfde conclusies. De positie van het eerste maximum is voor
9 Dit
gaat niet wanneer er resonantie-energieën in het spel zijn.
wordt geen benedengrens voor de energie vermeld, maar voor erg lage energie zullen ook deze parameters
falen [21].
10 Er
HOOFDSTUK 3. DISTORTED WAVE BORN APPROXIMATION - DWBA
28
de drie sets ongeveer gelijk. Het tweede maximum is voor set 4 − 4 naar een kleinere
hoek verschoven. Zoals in de vorige sectie, is dit weer het resultaat van een veel
grotere spinbaaninteractie. Ook de amplitude van sets 4 − 4 ligt lager. Terwijl de
twee andere ongeveer gelijk zijn. Geen van de drie sets geeft echter onrealistische
resultaten. Zonder experimentele data is dus geen van de sets uit te sluiten. Toch
is set nummer drie vermoedelijk de meest correcte omdat deze experimenteel met
ongeveer de juiste energie en op de juiste kernen bepaald werd.
Vervolgens worden enkel de verschillende deuteronsets beschouwd. Figuur 3.6(b)
dσ
toont dΩ
voor alle deuteronsets, telkens in combinatie met protonset 3. De amplitudes variëren hier veel sterker dan in het vorige geval. Ze vergroten als parameter
V kleiner wordt. Verder is de positie van het eerste maximum voor alle sets weer
ongeveer gelijk. Het tweede maximum ligt voor set 3 − 3 bij een kleinere hoek. Deze
keer valt dit niet te verklaren door de spinbaaninteractie. DWBA-berekeningen zijn
complex en omvatten vele parameters. Dit maakt het moeilijk om een bepaald effect
aan een parameter te koppelen. Weer valt geen van de bestudeerde parametersets
uit te sluiten. Echter zijn de eerste drie sets strikt genomen niet geldig bij deze bundelenergie. De vierde set is niet voor 86 Kr-trefschijfkernen maar voor 87 Rb. Deze
liggen op de kernkaart voldoende dicht bij elkaar, zodat dit geen probleem mag vormen. Parameterset drie voor het proton en set vier voor het deuteron genieten een
lichte voorkeur. In het verdere verloop van het hoofdstuk zullen deze steeds gebruikt
worden in de berekeningen.
3.2.3
Invloed van nucleaire en Coulomb interacties
In de vorige twee secties was te zien dat het gebruik van verschillende sets van omp’s
uit de literatuur verschillen in de berekende werkzame doorsnede opleveren. Deze
sectie toont aan hoe het optische model, ondanks de verschillen in parametersets,
toch zeer goed in staat is de invloed van de nucleaire interactie in rekening te brengen. Hiervoor worden zogenaamde CWBA-berekeningen gebruikt.
Herinner uit sectie 3.1.2 dat de DWBA-benadering inhoudt dat de golffuncties χ
in uitdrukking 3.2 voor het matrixelement bepaald worden met gebruik van een optische potentiaal. De nucleaire termen kunnen uit deze potentiaal geschrapt worden,
zodat enkel een Coulomb potentiaal overblijft. Deze benadering is de Coulomb Wave
Born Approximation (CWBA) ofwel Coulomb Golf Born Benadering. Merk op dat
dit enkel een benadering is voor χ. De transferreactie, welke gebeurt onder invloed
van de nucleaire interactie, vindt nog steeds plaats. Er wordt dus niet verondersteld
dat er enkel Coulomb processen gebeuren. De benadering valt te beschouwen als
een soort middenweg tussen BA en DWBA met als voordeel dat ze minder modelafhankelijk is11 . Uiteraard introduceert ze een fout door geen rekening te houden
met de nucleaire verstooiingspotentiaal. De CWBA-berekeningen in deze sectie worden dan ook enkel gebruikt om een gevoel te krijgen voor de invloed van de nucleaire
11 Men
blijft nog steeds afhankelijk van modellen om de ééndeeltjesneutrongolffuncties te berekenen.
HOOFDSTUK 3. DISTORTED WAVE BORN APPROXIMATION - DWBA
(a)
4.
(b)
dσ
dΩ
dσ
dΩ
29
voor verschillende protonsets, telkens in combinatie met deuteronset
voor verschillende deuteronsets, telkens in combinatie met protonset 3.
Figuur 3.6: Differentiële werkzame doorsneden voor de 86 Kr(d, p)87 Krgs -reactie (in arbitraire
eenheden) uitgerekend voor een bundelenergie van 6 MeV voor verschillende combinaties van omp’s
uit tabel 3.3.
HOOFDSTUK 3. DISTORTED WAVE BORN APPROXIMATION - DWBA
30
interactie.
Om de CWBA-berekeningen uit te voeren, worden de omp’s: V , WD en Vso gelijk aan
nul gesteld12 . Dit kan ook voor de deuteron- en protonsets afzonderlijk gebeuren.
Er kan dus voor in- en uitgangskanaal apart gekozen worden voor de CWBA of
DWBA-benadering. In de rest van de sectie wordt de notatie C-DWBA gehanteerd
wanneer er voor het ingangskanaal CWBA en voor het uitgangskanaal DWBA gebruikt werd en analoog voor andere combinaties.
De resultaten van deze berekeningen staan weergegeven in figuur 3.7. Voor de kleinste hoeken zijn er zoals steeds sterke afwijkingen omwille van de onnauwkeurigheid
van de berekeningen. Het valt op dat de CCWBA-curve bijna geen overeenkomst
vertoont met de D-DWBA-curve. De nucleaire effecten, vervat in de omp’s zijn dus
zeer belangrijk. Zonder deze was het nooit mogelijk geweest om de vorm van de experimentele data in sectie 3.2.1 te reproduceren. De afwijking tussen C-CWBA en
D-DWBA vergroot bij grote hoeken. Zoals te zien in figuur 2.6, komen deze hoeken
overeen met een dichte nadering tussen het deuteron en de Kr-kern. Omwille van
het ontbreken van een imaginaire potentiaalterm, en dus absorptie, bij C-CWBA,
kunnen de deuteronen makkelijker tot zo dicht naderen. De volgende sectie toont
dit effectief via berekeningen aan. Merk op dat er een hoek bestaat waarvoor de
D-DWBA en C-CWBA hetzelfde resultaat geven. Wanneer in het verleden experimenten met transferreacties werden uitgevoerd met een kleine bundelenergie,
waarvoor men geen omp’s voorhanden had, keek men enkel naar deze bepaalde
hoek. Het is dan uiteraard niet mogelijk om verschillende `-toestanden van elkaar
te onderscheiden met de ligging van het eerste maximum. Bovendien gaat er zo veel
statistiek verloren.
Verder valt ook op dat de D-DWBA-berekening beter overeenkomt met D-CWBA
dan met C-DWBA. Dit is wat verrassend. Gezien de korte dracht van de nucleaire
interacties, spelen deze immers pas een belangrijke rol wanneer de afstand voldoende
klein is. Hiervoor moet de Coulomb-repulsiebarrière EC overwonnen worden.
EC =
1 Zze2
4πε0 R
De Coulomb-barrière tussen Kr en H (p of d) is EC ≈ 9, 396 MeV. Het deuteron
projectiel heeft een energie van 6 MeV en zit dus onder de barrière, de energie van
het proton ejectiel (9,391 MeV) is ongeveer gelijk aan de hoogte van de barrière.
Men had kunnen verwachten dat de nucleaire potentialen nul maken, hier minder effect zou hebben. Maar het betreft tamelijk complexe berekeningen waardoor
het resultaat niet steeds zo makkelijk opvoorhand te voorspellen valt. Dadelijk
wordt aangetoond dat verder onder de Coulombbarrière wel aan deze verwachtingen
voldaan wordt.
De oefening wordt herhaald voor een kleinere en grotere bundelenergie. Beschouw
eerst 3 MeV (zie figuur 3.8). Omdat men zo ver onder de Coulomb barrière zit,
12 Enkel de Coulombterm van de optische potentiaal uit vergelijking 3.1 is dan verschillend van nul. De overige
parameters uit set 4-3 (de r en a) hebben dan geen invloed meer.
HOOFDSTUK 3. DISTORTED WAVE BORN APPROXIMATION - DWBA
31
Figuur 3.7: Differentiële werkzame doorsneden voor de 86 Kr(d, p)87 Krgs -reactie (in arbitraire
eenheden) uitgerekend voor een bundelenergie van 6 MeV met DWBA- en CWBA-benaderingen
voor het in- en uitgangskanaal.
deuteron [45]
proton [45]
V
(M eV )
92.912
61.26
r0r
(f m)
1.15
1.25
ar
(f m)
0.81
0.65
WD
(M eV )
19.2
13.5
r0i
(f m)
1.34
1.25
ai
(f m)
0.68
0.47
Vso
(M eV )
0
7
r0so
(f m)
0
1.25
aso
(f m)
0
0.47
Tabel 3.4: Algemene optische model parameters voor een energie van 20 MeV.
hebben de nucleaire potentialen weinig invloed. Daarom kunnen dezelfde combinatie van parametersets als bij 6 MeV: set 4 − 3 uit tabel 3.3 gebruikt worden in
deze berekeningen. Merk allereerst op dat het eerste maximum van de D-DWBA
curve naar een veel grotere hoek is verschoven en dat de curve veel structuur verloren
heeft. Omwille van de geringe invloed van de omp’s ver onder de Coulomb barrière
valt het te verwachten dat de DWBA- en CWBA-benadering hetzelfde resultaat
geven [18]. Er is dan ook weinig verschil tussen D-DWBA en C-CWBA. Nu is ook
duidelijk te zien dat de nucleaire potentialen van het ingangskanaal minder invloed
hebben dan deze van het uitgangskanaal, zoals hierboven gesteld werd.
Beschouw nu de curves, berekend bij 20 MeV, weergegeven in figuur 3.9. In deze
berekeningen werden de optische model parameters uit tabel 3.4 gebruikt. Dit zijn
algemene omp’s geldig bij deze energie [45]. Opnieuw is er een verschuiving van het
eerste maximum van D-DWBA, dit maal naar een kleinere hoek en er is extra structuur. Het verschil tussen D-DWBA en C-CWBA is enorm. Bij deze energie zijn de
nucleaire effecten dominant. C-CWBA maakt een fout van éé à twee grootteordes
en toont een heel verkeerd interferentiepatroon.
HOOFDSTUK 3. DISTORTED WAVE BORN APPROXIMATION - DWBA
32
Figuur 3.8: Differentiële werkzame doorsneden voor de 86 Kr(d, p)87 Krgs -reactie (in arbitraire
eenheden) uitgerekend voor een bundelenergie van 3 MeV met DWBA- en CWBA-benaderingen
voor het in- en uitgangskanaal.
Figuur 3.9: Differentiële werkzame doorsneden voor de 86 Kr(d, p)87 Krgs -reactie (in arbitraire
eenheden) uitgerekend voor een bundelenergie van 20 MeV met DWBA- en CWBA-benaderingen
voor het in- en uitgangskanaal.
HOOFDSTUK 3. DISTORTED WAVE BORN APPROXIMATION - DWBA
3.2.4
86
33
Kr(d, p)87 Kr als periferische reactie
In deze sectie wordt aangetoond dat DWBA-berekeningen gebruikt kunnen worden
om na te gaan waar op de golffunctie de reactie plaatsgrijpt. In sectie 2.2 werd
gesteld dat directe reacties vaak periferisch zijn. Hier wordt nagegaan of dit uit de
berekeningen volgt.
Herinner dat men voor de evaluatie van het matrixelement dient te integreren over
de straal r (vergelijking 3.2). In principe moet deze integraal geëvalueerd worden
over r = 0 tot ∞. DWUCK4 biedt echter de mogelijkheid om deze integratiegrenzen als invoerparameters in te geven. De integraal naar boven toe afbreken op 20
fm heeft geen zichtbaar effect op het resultaat, tenzij voor ϑp → 0. Ook de benedengrens rcutof f kan worden verhoogd. Indien de reactie werkelijk aan het kernoppervlak
plaatsgrijpt, zou dit geen invloed op de werkzame doorsnede mogen hebben tot de
benedengrens de oppervlaktestraal benadert [21].
De differentiële werkzame doorsnede werd berekend voor verschillende benedengrenzen
rcutof f . Figuur 3.10(a) toont deze, geëvalueerd in het eerste maximum13 :
dσ
|peak in functie van rcutof f . Op een kleine variatie rond rcutof f = 3 fm na (waardΩ
voor we geen verklaring hebben), blijft deze curve vlak, tot ze opeens sterk daalt
bij rcutof f = 8 à 9 fm. Dit is nog beter zichtbaar in figuur 3.10(b), welke minus
de afgeleide van 3.10(a) weergeeft. De reactie grijpt dus voornamelijk plaats op een
straal van ±8, 5 fm. (Verder in dit hoofdstuk wordt dit de reactiestraal rR genoemd.)
Voor niet al te sterk vervormde kernen geldt:
R ≈ 1, 25A1/3 [f m]
Voor de 87 Kr-nucleus geeft dit een straal14 van ±5, 54 fm. De reactie gebeurt dus
tamelijk ver ’buiten de kern’, op de exponentieel afnemende straal van de neutrongolffunctie. De differentiële werkzame doorsnede is ongeveer kwadratisch afhankelijk
van de absolute waarde van de neutrongolffunctie, geëvalueerd op de reactiestraal15
In het verleden werd hier soms gebruik van gemaakt om de kernstraal te bepalen
[21]. Dat de reactiestraal hier zo groot is, is vermoedelijk te wijten aan het feit
dat de bundelenergie beneden de Coulomb barrière ligt. Het deuteron geraakt niet
dichter bij de kern. In de volgende paragraaf wordt deze hypothese getest.
De berekeningen werder herhaald voor een bundelenergie ver beneden (3 MeV)
en ver boven (20 MeV) de Coulomb-barrière,
met dezelfde omp’s als in de vorige
DW U CK4
dσ
sectie. Figuur 3.11 toont dΩ
|peak
in functie van rcutof f voor de drie verschillende energieën: 3, 6 en 20 MeV, elk herschaald naar een gelijke startwaarde, en
minus hun afgeleide. De breedte van de piek van de afgeleide curve neemt af met
toenemende energie. Dit komt omdat de De Broglie golflengte van het deuteron en
13 Men zou ook de totale werkzame doorsnede σ kunnen gebruiken, maar dit is minder nauwkeurig. De DWBAberekeningen zijn immers minder preciezer voor grote hoeken.
14 De kernstraal is geen goed bepaald begrip: de nucleus vertoont geen harde rand, maar een diffuus oppervlak.
15 Moest de reactie werkelijk enkel en alleen op de straal r plaatsvinden, was dit een exact kwadratisch verband
R
geweest.
HOOFDSTUK 3. DISTORTED WAVE BORN APPROXIMATION - DWBA
(a) De
differentiële
werkzame doorsnede voor de
(in arbitraire eenheden) voor
een bundelenergie
van 6 MeV, geëvalueerd in het eerste
dσ
maximum: dΩ
|peak , in functie van de onderste integratiegrens: rcutof f .
34
(b) Minus de afgeleide van (a) naar rcutof f
86 Kr(d, p)87 Kr gs -reactie
Figuur 3.10: De invloed van rcutof f , de onderste integratiegrens in vergelijking 3.2, op de werkzame
doorsnede.
het proton kleiner worden met toenemende energie:
λ=
h
p
E 2 = p2 c2 + m2 c4
De reactie wordt in dit geval dus meer gelokaliseerd. De verwachting is dat de reactie
bij 20 MeV dichter aan het kernoppervlak plaatsgrijpt en bij 3 MeV er nog verder
vandaan. Voor 3 MeV is de reactiestraal inderdaad groter geworden en bedraagt
±10, 5 fm. De reactiestraal voor 20 MeV is gereduceerd tot 8, 3 fm, maar blijft nog
steeds groter dan de kernstraal. Dit kan niet verklaard worden door de Coulomb
barrière.
De CWBA-benadering biedt de mogelijkheid van te onderzoeken of de oorzaak van
dσ
deze grote reactiestraal al dan niet nucleair is. Figuur 3.12 toont dΩ
|peak in functie
van rcutof f ,beide herschaalt naar een gelijke startwaarde, en minus hun afgeleide voor
een DWBA- en CWBA-berekening bij 20 MeV. Wanneer de nucleaire potentiaal niet
in rekening wordt genomen, leidt dit duidelijk tot een kleinere reactiestraal van ±6,4
fm. Vermits CWBA een artifiële benadering is, is deze juiste waarde van rR niet zo
veelzeggend. Het is vooral de duidelijke afname die van belang is. Dit toont aan dat
de grote reactiestraal te wijten valt aan de nucleaire potentialen. Waarschijnlijk is
de absorptie, omwille van de grote WD , de oorzaak [21]. Er gaan veel deuteronen
in andere reactiekanalen verloren. Vandaar moet de (d,p)-transfer op grote afstand
gebeuren.
HOOFDSTUK 3. DISTORTED WAVE BORN APPROXIMATION - DWBA
35
dσ
Figuur 3.11: dΩ
|peak in functie van rcutof f voor de drie verschillende bundelenergieën: 6, 3 en
20 MeV, elk herschaald naar een gelijke startwaarde, en minus hun afgeleide.
dσ
Figuur 3.12: dΩ
|peak in functie van rcutof f voor een bundelenergie van 20 MeV, berekend met de
DWBA- en CWBA-benadering, elk herschaald naar een gelijke startwaarde, en minus hun afgeleide.
HOOFDSTUK 3. DISTORTED WAVE BORN APPROXIMATION - DWBA
3.2.5
36
Invloed van de straal van de neutron bindingspotentiaal
In sectie 3.2.1 werd de bindingspotentiaal van het neutron vastgelegd door de parameters in tabel 3.2. Zoals reeds vermeld worden voor deze parameters steeds dezelfde
standaard waarden gekozen. De parameter r0r , welke de straal van de potentiaal
geeft via: R = r0r A1/3 , wordt gelijk aan 1, 25 fm gesteld. De werkelijke fysische
waarde kan echter variëren tussen 1, 10 en 1, 40 fm. Deze sectie toont de invloed
aan van r0r te laten variëren tussen deze waarden.
De diepte van de potentiaal wordt door DWUCK4 zo gekozen dat de juiste neutron
bindingsenergie bekomen wordt. Uit elementaire kwantummechanica verwacht men
dat een bredere potentiaal minder diep moet zijn voor eenzelfde bindingsenergie [2].
In figuur 3.13 staat de potentiaaldiepte uitgezet tegenover r0r . Deze neemt inderdaad af voor toenemende r0r .
Belangrijker
is de invloed op de werkzame doorsnede. Figuur 3.14(a) toont
(ϑ) voor verschillende waarden van r0r . Een toename van r0r heeft bijna geen
invloed op de ligging van de maxima, maar leidt tot een grotere werkzame doorsnede.
Dit is nog duidelijker zichtbaar in figuur 3.14(b). Deze toont werkzame doorsnede,
dσ
geëvalueerd in het eerste maximum dΩ
|peak , in functie van r0r . Een ruimtelijk
grotere potentiaalput maakt meer kans om het neutron te vangen.
dσ
dΩ
Bij een grotere bundelenergie daalt de reactiestraal rR en komt ze dus dichter
bij de rand van de neutron-bindingspotentiaal te liggen. Hierdoor zou men kunnen
verwachten dat voor grotere energie r0r meer invloed heeft op de neutronééndeeltjesgolffunctie,
geëvalueerd op rR en dus op de werkzame doorsnede. Figuur 3.15
dσ
|
in
functie van r0r voor bundlenergieën 3, 6 en 20 MeV, alle herschaald
peak
dΩ
naar een gelijke startwaarde. Hierop is te zien dat de afhankelijkheid van r0r verandert met de energie, maar niet zoals verwacht. Zowel de berekeningen voor 3
als voor 20 MeV wijzen op een grotere stijging van de werkzame doorsnede voor
toenemende r0r dan voor 6 MeV. De redenering van hierboven was een oversimplificatie. Er werd geen rekening gehouden met het feit dat de reactiestraal zelf ook
afhangt van r0r . Bovendien gebeurt de reactie niet enkel en alleen bij rR en moet
de volledige golffunctie in rekening worden gebracht.
3.2.6
Invloed van de Q-waarde
De Q-waarde is een constante van elke reactie, die enkel afhangt van de massa’s
van de deeltjes. Ze is modelonafhankelijk en valt voor een bepaalde reactie onmogelijk te variëren in een experiment. Toch is het interessant van deze in de
berekeningen te beschouwen als een variabele parameter om zo meer te leren over
HOOFDSTUK 3. DISTORTED WAVE BORN APPROXIMATION - DWBA
Figuur 3.13: De bindingspotentiaal van het laatste neutron in
87
37
Kr in funtie van parameter r0r .
(a) De differentiële werkzame doorsneden voor de (b) De differentiële werkzame doorsneden
uit (a)
86 Kr(d, p)87 Kr gs -reactie (in arbitraire eenheden) uitdσ
geëvalueerd in het eerste maximum: dΩ
|peak in
gerekend voor een bundelenergie van 6 MeV in functie
functie van r0r .
van parameter r0r .
Figuur 3.14: De invloed van r0r op de werkzame doorsnede.
dσ
Figuur 3.15: dΩ
|peak in functie van r0r voor bundlenergieën 3, 6 en 20 MeV, alle herschaald
zodat ze eenzelfde waarde hebben voor r0r = 1.10fm.
HOOFDSTUK 3. DISTORTED WAVE BORN APPROXIMATION - DWBA
38
(d, p)-transferreacties in het algemeen. Dat is het opzet van deze sectie.
Herinner dat Q = Bn (87 Kr) − Bn (d) met Bn (d) = 2, 225 MeV. Het wijzigen van
de Q-waarde is dus equivalent met het wijzigen van de neutronbindngsenergie in
87
Kr. De werkzame doorsnede werd berekend voor verschillende Q-waarden tussen
-2,225 en 20 MeV. Kleinere Q-waarden leiden tot negatieve bindingsenergieën en
dus ongebonden toestanden. Hiervoor
geven de DWBA-berekeningen geen zinvol
dσ
resultaat. Figuur 3.16 toont dΩ |peak in functie van de Q-waarde. De curve piekt
bij zeer kleine Q-waarden (in absolute waarde) in tegenstelling tot α-, β- en γ-verval,
welke over het algemeen beter opgaan naarmate er meer energie wordt vrijgegeven.
Q = 0 betekent dat de bindingsenergie van het neutron voor en na de reactie gelijk
zijn. Het neutron merkt bij wijze van spreken niet dat er iets gebeurde. Men noemt
dit matching. Strikt genomen is de berekening enkel geldig voor de 86 Kr(d, p)87 Krreactie naar de 87 Kr-grondtoestand. Toch vormt ze een vrij overtuigend argument
dat (d, p)-transferreacties met een neutronbindingsenergie rond de 2, 225 MeV in
de residuële kern bevoordeeld zijn. Maar merk wel op dat directe reacties niet in
staat zijn vele nucleonen in energetisch hoger gelegen schillen te brengen en dat de
excitatie-energie dus beperkt is16 . Men krijgt een tweestrijd tussen het streven naar
lage Q-waardes en naar laaggelegen toestanden.
Figuur 3.16: De differentiële werkzame doorsnede voor de 86 Kr(d, p)87 Krgs -reactie (in arbitraire
dσ
eenheden) voor een bundelenergie van 6 MeV, geëvalueerd in het eerste maximum: dΩ
|peak , in
functie van de Q-waarde.
3.2.7
Kinematica van de neutron transferreactie
Deze sectie verduidelijkt de kinematica van de neutron transferreactie aan de hand
van onderstaande grafieken, berekend met het kinematicaprogramma Catkin [23].
16 Erg neutronrijke kernen hebben neutronbindingsenergieën die zelfs voor de energetisch laaggelegen toestanden
rond de 2.225M eV liggen.
HOOFDSTUK 3. DISTORTED WAVE BORN APPROXIMATION - DWBA
39
Dit is nodig voor een correcte interpretatie van de convertie van de werkzame
doorsnede in het CM-stelsel naar het Lab-stelsel in de volgende sectie.
In figuur 3.17 is te zien hoe de Lab-hoeken θp en θKr varieren met de CM-verstrooiingshoek ϑp . Deze hoeken zijn allen gedefinieerd in figuur 2.1, waarbij 86 Kr = P ;
87
Kr = E; p = R en d = T . Het 87 Kr-projectiel beweegt in het Lab-stelsel, omwille
van z’n grote massa en kinetische energie, steeds in voorwaartse richting en wordt
slechts over een kleine hoek van maximaal enkele graden afgebogen. Voor de CMhoek ϑp = 0◦ beweegt de Kr-kern in het laboratorium perfect rechtdoor en stuurt
een proton achter zich uit. Hierdoor is de energie van de Kr-kern maximaal, die van
het proton minimaal, zoals ook te zien is in figuur 3.18. CM-hoek ϑp = 180◦ is het
omgekeerde geval waarbij de Kr-kern in het laboratorium rechtdoor beweegt, maar
nu een proton voor zich uitstuurt. De energie van de Kr-kern is nu minimaal, die
van het proton maximaal. Het combineren van deze twee vorige figuren geeft figuur
3.19. Deze toont de energie van de twee deeltjes tegenover hun Lab-hoek. Deze plot
wordt ook het plectrum genoemd.
Figuur 3.17: De laboratoriumhoeken θp en θKr in functie van de CM-verstrooiingshoek ϑp .
HOOFDSTUK 3. DISTORTED WAVE BORN APPROXIMATION - DWBA
Figuur 3.18: De laboratoriumenergie van het proton en de
verstrooiingshoek ϑp .
87
40
Kr-kern in functie van de CM-
Figuur 3.19: De laboratoriumenergie van het proton en de 87 Kr-kern in functie hun respectievelijke
Lab-hoeken θp en θKr . Deze plot noemt men ook het plectrum.
HOOFDSTUK 3. DISTORTED WAVE BORN APPROXIMATION - DWBA
3.2.8
41
Extractie van verschillende j`-toestanden
In de vorige secties werden de DWBA-berekeningen steeds uitgevoerd voor 86 Kr(d, p)87 Krgs ,
waarbij 87 Kr zich in z’n grondtoestand bevindt. De (d, p)-reactie voedt echter nog
andere toestanden. De vraag die deze sectie wil beantwoorden luidt: ”Kunnen deze
verschillende j`-toestanden onderscheiden worden in ons experiment?”
Tabel 3.5 geeft alle toestanden van 87 Kr waarvan gekend is dat ze gevoed worden
door 86 Kr(d, p)87 Kr. Figuur 3.20 toont deze in een niveauschema. Er werden vier
verschillende, interessante j`-toestanden van 87 Kr geselecteerd, in de tabel in het vet
aangeduid: de de (2d5/2 )-, (3s1/2 )-, (2d3/2 )- en (1g7/2 )-toestanden op respectievelijk
0, 532, 1476 en 2515 keV. Figuur toont de differentiële werkzame doorsnede voor
deze toestand in het CM-stelsel. Experimenteel wordt alles echter in het Lab-stelsel
opgemeten. Het is dus noodzakelijk de werkzame doorsnede te converteren naar het
Lab-stelsel. Deze conversie gebeurde met het kinematica programma Conversion
[24]. De geconverteerde differentiële werkzame doorsneden staan weergegeven in
figuur 3.21(b). Uit figuur 3.17 volgt dat kleine ϑp overeenkomen met grote θp en
omgekeerd,
ook te zien is in figuur ??. Merk wel op dat de conversie
zoals inderdaad
dσ
dσ
van dΩ CM naar dω Lab minder triviaal is dan enkel ϑ om te zetten naar θ. Vermits
de ruimtehoek ook afhangt van het stelsel, dient er nog vermenigvuldigt te worden
met dΩ
.
dω
Hoewel de curves in figuur 3.21(a) en 3.21(b) sterk verschillen, leiden ze beide tot
dezelfde conclusie. Er is een zeer duidelijk verschil zichtbaar tussen de werkzame
doorsnedes met een verschillende overdracht van orbitaal impulsmoment `. Wanneer echter enkel het quantumgetal j verschillend is, zoals bij de (2d5/2 )- en (2d3/2 )toestand, zijn de curves gelijkaardig. Bij grote hoeken ϑp neemt het verschil toe.
De DWBA-berekeningen gaan hier echter het minst goed op, omwille van de grotere
invloed van spinbaaninteractie en een grotere kans op reacties met een intermediaire
nucleus mechanisme. Soms maakt men toch gebruik van de werkzame doorsnede bij
grote hoeken om onderscheid te maken tussen j = ` + 1/2 en j = ` − 1/2, maar dit
is geen betrouwbare methode [21]. Doorgaans worden hiervoor angulaire correlaties
in (d, pγ)-reacties gebruikt [33],[51]. Om onderscheid te maken tussen een 1/2− - en
3/2− -toestand kan er wel gebruik worden gemaakt van de differentiële werkzame
doorsnedecurve. Zoals beschreven in het artikel [41] vertoont de 1/2− een scherp
minimum. In figuur 3.21 valt verder ook te zien dat de (1g7/2 )-toestand, gelegen op
2515 keV, ondanks zijn zeer kleine Q-waarde toch een kleine werkzame doorsnede
heeft. De grondtoestand (welke per definitie de laagste energie heeft) heeft ook niet
de grootste werkzame doorsnede. Dit is het gevolg van de vermelde tweestrijd uit
sectie 3.2.6.
In sectie 3.2.2 werd aangetoond dat verschillende omp’s uit de literatuur andere
werkzame doorsnedes opleveren. Zonder experimentele data is er geen sluitend argument welke parameters de werkelijkheid het best beschrijven. Hier wordt nagegaan
HOOFDSTUK 3. DISTORTED WAVE BORN APPROXIMATION - DWBA
42
Figuur 3.20: Het niveauschema van de toestanden (met energie kleiner dan 2,6 MeV) in 87 Kr die
worden gevoed door de 86 Kr(d, p)87 Kr-reactie. Voor de (3s1/2 )-, (2d3/2 )- en (1g7/2 )-toestand op
respectievelijk 532, 1476 en 2515keV is ook het γ-vervalschema weergegeven. [52]
E ∗ (keV)
0
532
1476
1476
1571
1873
1996
2080
2112
2250
2277
2515
2775
2775
2823
3015
3223
3237
`
2
0
2
2
Jπ
5/2+
1/2+
5/2+
3/2+
Sj`
0,64
0,46
0,14
0,23
(2)
2
0
2
(5)
(0)
4
2
2
2
2
2
2
(3/2)
3/2+
1/2+
3/2+
11/2+
1/2+
7/2+
3/2+
5/2+
7/2+
3/2+
3/2+
5/2+
0,02
0,09
0,18
0,30
0,18
0,03
0,49
0,10
0,05
0,11
0,08
0,12
0,08
Tabel 3.5: Alle toestanden van 87 Kr waarvan gekend is dat ze gevoed worden door 86 Kr(d, p)87 Kr.
E ∗ is de excitatieenergie van de niveaus, uitgedrukt in keV; ` het orbitaal impulsmoment van
het getransfereerde neutron; J en π zijn de spin en pariteit van de toestanden in 87 Kr; Sj` is
de overeenkomstige spectroscopische factor. De toestanden in het vet worden in dit hoofdstuk
gebruikt voor DWBA-berekeningen [39, 40]. Als spectroscopische factor van de grondtoestand
wordt de waarde van de onafhankelijke analyse uit secte 3.2.1 genomen.
HOOFDSTUK 3. DISTORTED WAVE BORN APPROXIMATION - DWBA
(a)
(b)
dσ
dΩ
dσ
dω
CM
Lab
43
in het CM-stelsel.
in het LAB-stelsel
Figuur 3.21: Differentiële werkzame doorsneden in mb/sr voor de vier j`-toestanden in het vet
aangeduid in tabel 3.5 en een CM-energie van 3 MeV/u. RV is telkens de verhouding van σ j` van
een bepaalde toestand met σ gs van de grondtoestand..
HOOFDSTUK 3. DISTORTED WAVE BORN APPROXIMATION - DWBA
2d5/2
3s1/2
2d3/2
1g7/2
set 1 − 2
σ j`
30,92
31,43
30,10
5,57
RV
1,00
1,02
0,97
0,18
set 2 − 2
σ j`
38,14
37,87
34,68
6,28
RV
1,00
0,99
0,91
0,16
set 4 − 3
σ j`
41,06
41,17
38,06
6,94
RV
1,00
1,00
0,93
0,17
set 3 − 4
σ j`
16,39
18,33
18,29
3,53
44
RV
1,00
1,12
1,12
0,22
R
j`
Tabel 3.6: De werkzame doorsnede σ j` = heleruimte dσ
dω dω voor de vier geselecteerde toestanden
uit tabel 3.5 berekend met parametercombinaties 1 − 2, 2 − 2, 4 − 3 en 3 − 4 uit tabel 3.3 en
CM-energie 3 MeV/u. RV is telkens de verhouding van σ j` van een bepaalde toestand met σ gs
van de grondtoestand.
in hoeverre dit een probleem vormt. Tabel 3.6 toont de werkzame doorsnede σ j` voor
de vier geselecteerde
R dσj` toestanden berekend met vier verschillende parametercombij`
dω, waarbij de integraal over de volledige 4π ruimtehoek werd
naties. σ =
dω
geëvalueerd. RV is telkens de verhouding van σ j` van een bepaalde toestand met
σ gs van de grondtoestand. Deze verhouding komt overeen met de relatieve voeding
van elke toestand ten opzichte van de grondtoestand als de spectroscopische factoren gelijk zijn aan 1. In de tabel is te zien dat de σ j` ’s voor één bepaalde toestand
sterk afhangen van de combinatie van omp’s. De relatieve voedingen hangen hier
veel minder van af. Het kiezen van een verkeerde combinatie parameters levert dus
enkel een herschaling op in het aantal tellingen, maar de relatieve bijdrage van elke
toestand blijft min of meer gelijk. Enkel parametercombinatie 3 − 4 wijkt sterker
af. Dit waren dan ook de minst realistische sets. Deuteronset 3 werd bepaald met
een bundelenergie van 10, 95 MeV. Deze ligt in tegenstelling tot de 6 MeV van de
deuteronen in directe kinematica boven de Coulomb-barrière. De energie waarmee
protonset 4 bepaald werd klopt ook niet. Bovendien gebeurde dit op 70 Zn-kernen,
welke niet meer zo naburig zijn aan 86 Kr. Tabel 3.7 is analoog aan tabel 3.6, enkel
j`
zijn hier de σdet
slechts geı̈ntegreerd over de ruimtehoek van de voorwaartse barreldetector van de experimentele opstelling (zie sectie 4.2.2).
In dit hoofdstuk werd getoond hoe DWBA-berekeningen gebruikt worden om werkzame
doorsnedes te bepalen, maar ook om meer over (d, p)-reacties te leren. De werkzame
doorsneden, die nodig zullen zijn voor het experiment te analyseren werden hier
berekend. Zonder experimentele data was het niet mogelijk van slechts één bepaalde
set van optische-model-parameters naar voren te schuiven. Er werd wel getoond dat
dit maar weinig invloed heeft op de verwachte relatieve bijdrage van de verschillende
87
Kr-toestanden.
HOOFDSTUK 3. DISTORTED WAVE BORN APPROXIMATION - DWBA
2d5/2
3s1/2
2d3/2
1g7/2
set 1 − 2
j`
σdet
13,68
14,69
15,40
3,64
RV
1,00
1,07
1,13
0,27
set 2 − 2
j`
σdet
16,83
18,12
18,16
4,09
RV
1,00
1,08
1,08
0,24
set 4 − 3
j`
σdet
18,34
20,13
20,51
4,54
RV
1,00
1,10
1,12
0,25
set 3 − 4
j`
σdet
7,67
8,03
9,84
2,32
45
RV
1,00
1,05
1,28
0,30
R
j`
j`
Tabel 3.7: De werkzame doorsnede σdet
= detector dσ
dω dω voor de vier geselecteerde toestanden
uit tabel 3.5 berekend met parametercombinaties 1 − 2, 2 − 2, 4 − 3 en 3 − 4 uit tabel 3.3 en
CM-energie 3 MeV/u.
Hoofdstuk 4
Experimentele opstelling
Het experiment werd uitgevoerd met de MINIBALL-opstelling aan REX-ISOLDE in
CERN. In dit hoofdstuk wordt duidelijk gemaakt hoe de ionenbundel geproduceerd
wordt en via REX aan de opstelling geleverd wordt. Vervolgens wordt er dieper
ingegaan op de detectoren en de data-verwerking.
4.1
Ionenbundel
Deze sectie handelt over de productie van ionenbundels in CERN (Conseil Européen
pour la Recherche Nucléaire). Bundels bestaande uit exotische kernen (zoals 66 N i)
worden anders geproduceerd dan deze bestaande uit stabiele kernen (zoals 86 Kr). In
het vooruitzicht van het het d(66 N i, p)67 N i-experiment in november, worden beide
methoden beschreven.
Protonen worden van de gepulste lineaire versneller LINAC21 geı̈njecteerd in de
Proton Synchrotron Booster (PSB), een structuur van vier synchrotrons, waar ze
verder versneld worden. De protonen in de PSB hebben een energie van 1, 4 GeV
en een intensiteit van ongeveer 2 µA. ISOLDE (Isotope Separator On Line), de
radioactieve ionenbundel faciliteit van CERN, ontvangt een zekere fractie van de
pulsen van deze protonbundel. De rest van de deeltjes wordt doorgegeven aan een
reeks krachtigere versnellers waar ze tot steeds grotere energieën versneld worden.
Na de PSB komt de Proton Synchrotron, vervolgens de Super Proton Synchrotron
en tot slot de Large Hadron Collider. Dit is schematisch weergegeven in figuur 4.1.
De opbouw van ISOLDE wordt getoond in figuur 4.2. Daar aangekomen worden de hoogenergetische protonen uit de PSB op de U Cx -trefschijf van de General
Purpose Separator (GPS)2 gericht, waar ze fissie in de uraankernen induceren [31].
De trefschijfcontainer bevindt zich op ongeveer 2000◦ C waardoor de fissieproducten
hier snel uit diffunderen en effunderen3 . De fissieproducten bestaan uit een cocktail
1 Voor
andere applicaties kan dit ook gebeuren met zware ionen, die dan versneld worden in LINAC3
andere applicaties gebruikt met de High Resolution Seperator. Voor ons is deze niet relevant.
3 Diffusie is naar buiten bewegen van de fissieproducten doorheen het U C -rooster. Effusie gebeurt in het vacuüm:
x
de fissieproducten gaan via toevalsbewegingen richting interactiezone.
2 Voor
46
HOOFDSTUK 4. EXPERIMENTELE OPSTELLING
47
Figuur 4.1: Overzicht van de versnellerstructuur in CERN. [53]
van een groot aantal verschillende kernen, gaande van zeer exotische tot stabiele exemplaren. Algemeen is er hiervan slechts één soort gewenst voor het uitvoeren van
een bepaald experiment. Het is dus belangrijk deze kernen van elkaar te scheiden
en enkel de juiste te selecteren.
Elk chemisch element heeft een uniek atomaire niveauschema. Dit wordt uitgebuit in
resonante laserionistatie om de kernen op hun aantal protonen Z te scheiden. Door
gebruik te maken van laserlicht met verschillende welbepaalde golflengten worden
elektronen van het gewenste element stapsgewijs in energie verhoogd en tenslotte
losgeslagen naar het continuüm. Deze techniek wordt toegepast in RILIS (Resonant
Ionisation Laser Ion Source) [34]. Merk op dat er zich onder de ionen4 nog een
kleine hoeveelheid contaminatie met een andere Z bevindt. Deze is voornamelijk
afkomstig door oppervlakte ionisatie, dit is de ionisatie van atomen door botsingen
met het hete oppervlak van de trefschijfcontainer, van elementen met een lage ionisatiepotentiaal. Zo komt Ga, met een ionisatiepotentiaal van 6 eV, vaak voor als
contaminant.
Vervolgens worden de ionen met een energie van 60 keV versneld naar de General
Purpose massaseparator. Hierin worden ionen met een bepaalde A/q-verhouding
geselecteerd, met q de lading van het ion gelijk aan +1. Dit maakt het mogelijk om
op A te selecteren, zodat enkel het gewenste isotoop (en contaminatie met eenzelfde
massagetal) overblijft.
De bundel van exotische kernen, die bekomen werd via het bovenstaande proces, zijn
nog niet geschikt voor gebruik in een experiment. Hij dient eerst nog doorgeleverd
te worden aan REX-ISOLDE (Radioactive beam experiment), die dadelijk besproken
wordt. Stabiele kernen heeft hem zo voor handen en voor hen is de ingewikkelde,
kostelijke procedure niet vereist. 86 Kr-bundels bijvoorbeeld worden vanuit een gasfles met Kr-gas rechstreeks geı̈njecteerd in de tweede component van REX-ISOLDE:
EBIS. REX-ISOLDE bestaat uit volgende onderdelen [20, 37]:
4 De ionen bevinden zich in de 1+ -toestand. Dit betekent dat ze één elektron verloren en dus een lading van +1
e bezitten.
HOOFDSTUK 4. EXPERIMENTELE OPSTELLING
48
1. REXTRAP, een Penningval die de continue bundel in pakketjes opdeelt. Dit
gebeurt door de ionen tijdelijk in een elektrisch en een magnetisch veld te vangen en weer uit te sturen. Omdat de bundel er gekoeld wordt door botsingen
met een buffergas (zoals Ar en N e), zal de bundel hier echter gecontamineerd
worden. Een gepulse bundel heeft als voordeel dat hij in een experiment kan gebruikt worden voor tijdsbepalingen. Exotische bundels worden na het verlaten
van de massaseparator in REXTRAP geleid.
2. Vervolgens worden de ionenpakketjes naar een hoge ladingstoestand gebracht
in EBIS (Electron Beam Ion Source). Hiervoor worden de ionen met elektronen beschoten. Dit wordt charge-breeding genoemd en is van belang om de
bundel makkelijker te kunnen naversnellen. De pulsatie van EBIS wordt gesynchroniseerd met REXTRAP. Om met stabiele 86 Kr-bundels te werken, wordt
Kr-gas rechstreeks in EBIS geı̈njecteerd.
3. Een A/q-massaseparator reduceert de contaminatie, afkomstig van REXTRAP.
Dit maal wordt er geselecteerd op 21+ -ionen.
4. Een lineaire versneller zorgt voor de naversnelling van de gepulste bundel. In
ons experiment werd naversneld tot 2, 88 MeV/u. De 86 Kr-ionen hadden dus
een energie van 247, 7 MeV.
Figuur 4.2: De opbouw van de radioactieve ionenbundel faciliteit ISOLDE. [53]
HOOFDSTUK 4. EXPERIMENTELE OPSTELLING
49
Figuur 4.3: Schematisch overzicht van de MINIBALL opstelling. MINIBALL γ-detectoren
omgeven de trefschijfkamer. Hierin bevinden zich rond de trefschijf de deeltjesdetectoren (aangeduid in het geel): in voorwaartse richting (links) een barreldetector, in de achterwaartse een barreldetector en DSSSD, allen met vier kwadranten. De mylar folie is aangeduid in het rood.
4.2
MINIBALL
De 86 Kr-bundel afkomstig van REX wordt vervolgens naar de MINIBALL-opstelling
geleid. Deze wordt schematisch weergegeven in figuur 4.3. De bundel komt langs
rechts binnen in de trefschijfkamer waar hij met de kernen in de CD2 -trefschijf
zal interageren. Omheen de trefschijf staan de gesegmenteerde deeltjesdetectoren
opgesteld. De γ-spectrometers bevinden zich rond de kamer.
4.2.1
MINIBALL γ-detectoren
Als γ-detectoren worden acht Hyper Pure Germanium detectorclusters (HPGe) gebruikt. Elke cluster bestaat uit drie zesvoudig gesegmenteerde germanium kristallen.
Germanium is een halfgeleider. Halfgeleiders hebben in tegenstelling tot metalen
een energiekloof, een verboden zone tussen de valentieband en de geleidingsband.
Deze energiekloof is kleiner dan bij isolatoren en kan relatief makkelijk overwonnen
worden. Wanneer een γ-straal doorheen het germanium beweegt zal ze elektronen
exciteren naar de geleidingsband. Het aantal elektron-gatparen dat zo ontstaat is
evenredig met de energie die de γ-straal deponeert in het kristal. Door een elektrisch
HOOFDSTUK 4. EXPERIMENTELE OPSTELLING
50
veld aan te leggen kunnen de gaten en elektronen gecollecteerd worden en als een
elektrisch signaal uitgelezen worden [6].
Elke cluster bevat drie kristallen, verdeeld in zes segmenten. De verwerking van
de signalen van de zes segmenten en de kern gebeuren volledig digitaal door DGFmodules (Digital Gamma Finder). De energieresolutie5 van de kern en van de segmenten afzonderlijk bedraagt respectievelijk typisch 2, 3 en 2, 6 keV, maar verschilt
van kristal tot kristal. De segmentatie laat toe zeer precieze positie-informatie over
de gedetecteerde γ’s te achterhalen. In combinatie met de data van de deeltjesdetectoren kan hiermee aan Dopplercorrectie6 gedaan worden. Gezien de zeer beperkte
statistiek die met dit experiment bekomen werd, werd de γ-positie in deze analyse echter niet gebruikt. In principe kan de angulaire distributie van γ’s, welke
karakteristiek is voor hun multipolariteit, ook gebruikt worden om spectroscopische
informatie te verkrijgen over de bevolkte toestanden. In de praktijk is dit echter
zeer moeilijk.
De γ-detectoren worden met vloeibare stikstof op een temperatuur van 77 K gehouden.
Ze bevinden zich op 13 cm van de trefschijf en bestrijken zo een ruimtehoek van iets
minder dan 70% van de totale 4π ruimtehoek.
De energiekalibratie gebeurde door een 152 Eu-bron op de trefschijfpositie te plaatsen.
Deze bron zendt een reeks intense γ’s uit met een energie tussen 121 en 1408 keV.
Door de intensiteiten van elke waargenomen γ-piek te vergelijken met informatie uit
[52] werden de globale MINIBALL-fotopiekefficiëntie (gecombineerde data van alle
detector kernen) relatief ten opzichte van 121 keV bepaald. Dit wordt weergegeven
in figuur 4.4. De efficiëntiecurve wordt gegeven door:
− 1
Ef f = (a + bx + cx2 )−g + (d + ey + f y 2 )−g g
(4.1)
Eγ
Eγ
Waarbij a,b,c,d,e,f en g fitparameters zijn, x = log 100 en y = log 1000 . De
γ-energie Eγ wordt uitgedrukt in keV.
De fotopiekefficiëntie bij 121 keV wordt verder gelijk gesteld aan 8% [22]. Een γstraal deponeert omwille van het Compton-effect niet altijd z’n totale energie in de
detector [6]. Met Geant-simulaties [26] werd bepaald wat de verhouding is tussen het
aantal fotonen waargenomen met energie ≤ Eγ (Compton plus fotopiek) en energie
≈ Eγ (fotopiek). Deze staan weergegeven in figuur 4.5. De totale efficiëntie voor het
waarnemen van een foton, ongeacht of de volledige energie wordt gemeten is dan de
fotopiekefficiëntie vermenigvuldigd met deze factoren.
5 De
energieresolutie wordt gedefinieerd als de breedte op halve hoogte bij de fotopiek van 1,332 MeV lijn van
60 Co)
6 De 87 Kr-kernen hebben een energie van rond de 240 MeV wanneer ze een γ uitsturen. Hun snelheid bedraagt
dan ongeveer 7% van de lichtsnelheid.
q De uitgestuurde γ heeft dan een Dopplerverschuiving in haar frequentie (en
1−v/c
dus energie) van: νgeobserveerd =
ν
, met v de snelheid van de 87 Kr-kern in de richting van de
1+v/c uitgezonden
γ-detector. Hiervoor kan gecorrigeerd worden als deze snelheid berekend wordt uit de impuls van γ en deeltje.
HOOFDSTUK 4. EXPERIMENTELE OPSTELLING
51
Figuur 4.4: De efficiëntie relatief ten opzichte van 121 keV voor de gecombineerde data.
Figuur 4.5: Geant-simulaties [26]: de verhouding tussen het aantal foton waargenomen met energie
≤ Eγ (Compton plus fotopiek) en energie ≈ Eγ (fotopiek) in functie van Eγ .
HOOFDSTUK 4. EXPERIMENTELE OPSTELLING
4.2.2
52
Deeltjesdetectoren
De deeltjes detectie gebeurd met dunne Si-detectoren. Deze zijn dus zoals de HPGedetectoren opgebouwd uit halfgeleider materiaal. De detectoren hebben een energieresolutie van 50 keV, hun efficiëntie bij de relevante protonenergieën is nagenoeg 100%. De energiekalibratie gebeurt met een α-bron, die 148 Gd, 239 P u, 241 Am
en 244 Cm bevat. In figuren 4.3 en 4.6 zijn de verschillende deeltjesdetectoren
weergegeven, een overzicht is terug te vinden in tabel 4.1. Er is een barreldetector in de voorwaartse en de achterwaartse richting, welke respectievelijk de laboratorium verstrooiingshoeken 27, 9◦ < θ < 74, 6◦ en 105, 4◦ < θ < 152, 1◦ beslaan.
Beide bestaan uit vier kwadranten van 50 mm ×50mm planaire ∆E-E detectoren.
Deze zogenaamde telescoopopstellingen maken het mogelijk om een onderscheid te
maken tussen het type waargenomen deelje (protonen, elektronen, deuteronen, alpha’s..) in de barreldetector. Figuur 4.7 toont een GEANT4-simulatie [26] waarin
te zien valt dat elastisch verstrooide deuteronen en de protonen, afkomstig van de
transferreactie een duidelijk van elkaar te onderscheiden signatuur hebben. De ∆Een Paddetectoren hebben allen een dikte van respectievelijk 140 µm en 1 mm. Het
analoge signaal van de detectoren wordt eerst gevormd en versterkt, vervolgens via
een ADC-module (analog to digital converter) gedigitaliseerd.
De ∆E-detectoren zijn gesegmenteerd in zestien stroken loodrecht op de bundelrichting, genummerd zoals in figuur 4.6. De positie waarop een deeltje inviel op een
strip kan bepaald worden door de ladingsverdeling op de resitieve strook. Van dit
laatste wordt echter geen gebruik gemaakt in dit werk. Voor de eenvoud van de
analyse werd verondersteld dat de Lab-hoek θ constant is over een ganse strook en
gelijk aan de waarde in het midden van die strook. (In werkelijkheid beschrijven ze
een hyperbool op een barrelkwadrant.) In tabel 4.2 worden deze hoeken voor elke
strook in de voorwaartse richting getoond. Omwille van de symmetrie geldt voor de
achterwaartse richting: θachter = 180◦ − θvoor . De ruimtehoek van elke strook werd
bepaald door middel van een Monte-Carlo simulatie. Deze worden weergegeven in
tabel 4.2 en figuur 4.8. Omwille van symmetrie zijn deze in de achterwaartse richting
dezelfde.
In de achterwaartse richting beslaat de cirkelvormige DSSSD (Double-Sided Segmented Si Detector) de Lab-hoeken 152, 1◦ < θ < 175◦ . Omwille van zijn vorm
wordt zulk een detector ook wel CD-detector genoemd. Ook deze detector bestaat
uit vier kwadranten, elk dubbel gesegmenteerd in zestien concentrische ringen aan de
voorzijde en vierentwintig radiale sectoren aan de achterzijde. De dikte van de CDdetector bedraagt 500 µm. Vooraleer de DSSSD wordt uitgelezen door de ADC’s,
wordt het aantal kanalen gereduceerd via multiplexing.
Buiten de Si-detectoren zijn er ook mylar folies gemonteerd in de trefschijfkamer,
zoals weergegeven in figuren 4.3 en 4.6. In de voorwaartse richting heeft de folie een
dikte van 12 µm en dient om elastisch verstrooide koolstofkernen uit de trefschijf te
stoppen. De folie in de achterwaartse richting is slechts 2 µm dik en heeft in ons experiment bijna geen invloed. Deze folie werd gebruikt bij de t(30 M g, p)32 M g-meting
gebruikt om de elastisch terugverstrooiide M g-kernen op de zwaardere T i-kernen in
HOOFDSTUK 4. EXPERIMENTELE OPSTELLING
Detector
Voorwaartse
barreldetector
Achterwaartse
barreldetector
DSSSD
∆E
Pad
∆E
Pad
dikte µm
140
1000
140
1000
500
53
segmentatie
16 resistieve stroken ⊥ bundel
16 resistieve stroken ⊥ bundel
16 concentrische ringen & 24
radiale sectoren per kwadrant
Tabel 4.1: De verschillende deeltjesdetectoren met hun dikte en segmentatie. Elk van deze detectoren bestaat uit vier kwadranten.
de trefschijf te stoppen [15]. De mylar folie zorgt voor een klein energieverlies van
de lichte deeltjes.
Figuur 4.6: Doorsnede van deeltjesdetectoren en mylar folie in zijaanzicht.
Figuur 4.7: GEANT4-simulatie van het energieverlies in de ∆E-detector in functie van het het
energieverlies in de Pad-detector. Transferreactieprotonen en elastisch verstrooide deuteronen vertonen een duidelijk te onderscheiden signatuur.
HOOFDSTUK 4. EXPERIMENTELE OPSTELLING
Strooknr.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
ω (sr)
0,12308
0,11210
0,10032
0,08842
0,07727
0,06705
0,05795
0,05003
0,04318
0,03731
0,03233
0,02809
0,02446
0,02139
0,01875
0,01651
fout
±4 · 105
±4 · 105
±4 · 105
±3 · 105
±3 · 105
±3 · 105
±3 · 105
±3 · 105
±2 · 105
±2 · 105
±2 · 105
±2 · 105
±2 · 105
±2 · 105
±2 · 105
±1 · 105
54
θ (◦ )
71,79
66,42
61,45
56,91
52,79
49,07
45,73
42,73
40,03
37,61
35,42
33,45
31,66
30,04
28,56
27,21
∆θ (◦ )
2,78
2,59
2,38
2,16
1,96
1,76
1,58
1,42
1,28
1,15
1,04
0,94
0,85
0,77
0,71
0,65
Tabel 4.2: De 16 stroken van elk kwadrant van de voorwaartse barreldetector met hun ruimtehoek
ω, de hoek θ en openingshoek ∆θ in het midden van de strook. Omwille van de symmetrie zijn ω
en ∆θ dezelfde voor de stroken van achterwaartse barreldetector, θachter wordt: 180◦ − θvoor .
Figuur 4.8: De ruimtehoek ω van de 16 stroken van elk kwadrant van de voorwaartse barreldetector,
bepaald door een Monte-Carlo simulatie.
4.2.3
CD2 -trefschijf
In de trefschijkamer is een ladder gemonteerd die het mogelijk maakt, makkelijk
van trefschijf te wisselen zonder de opstelling te moeten openen. Er zijn twee CD2 trefschijven beschikbaar: een ’dik’ en een ’dun’ met massadichtheid maal dikte ρd
respectievelijk 100 µg/cm2 en 1 mg/cm2 .
Bij de metingen met de dikke trefschijf wordt de energie van de verschillende kern-
HOOFDSTUK 4. EXPERIMENTELE OPSTELLING
55
niveaus bepaald door de energie van de γ’s uitgestuurd bij de-excitatie. De energieresolutie van de protonen is bij deze metingen te slecht om verschillende energieniveaus te onderscheiden. Dit is een gevolg van het energieverlies van de protonen in de trefschijf.
67
N i heeft echter een isomere toestand, die dus niet de-exciteert via het uitsturen van
een prompte γ. Deze lange levensduur verhindert een coı̈ncidentiemeting. Hiervoor
kunnen metingen met een dunne trefschijf nuttig zijn. 87 Kr heeft zo geen niveau,
maar ter voorbereiding van het N i-experiment is het toch wenselijk deze techniek te
testen op 87 Kr. Bij dit soort metingen is energieresolutie van de protonen veel beter
dan bij deze met een dikke trefschijf. Hierdoor worden de protonen corresponderend
met verschillende kerntoestanden onderscheidbaar in de achterwaartse richting. Dit
is te zien in de GEANT4-simulatie [26]?weergegeven in figuur 4.9. Zoals in hoofdstuk 1 reeds vermeld, kon er omwille van een technisch defect slechts kort gemeten
worden. Hierdoor moeten we ons in dit werk beperken tot de metingen met de dikke
trefschijf.
Figuur 4.9: GEANT4-simulatie van de energiedepositie van de protonen, afkomstig van verschillende bevolkte toestanden in 87 Kr, in de CD-detector in functie van de laboratorium vertrooiingshoek ϑp . In deze simulatie werden enkel de (2d5/2 )-grondstand en de geëxciteerde (3s1/2 )- en
(2d3/2 )-toestand op respectievelijk 532 en 1476 keV in rekening gebracht.
4.2.4
Data-verwerking
Deze sectie heeft als doel een korte beschrijving te geven hoe de data afkomstig
van de detectoren verwerkt wordt [43]. De (gedigitaliseerde) signalen afkomstig
van de detectoren worden opgeslagen in binaire med-bestanden. In de verwerking
van deze binaire data worden tijdsgecorrelleerde gebeurtenissen in de detectoren
opgebouwd volgens de object georiënteerde structuur van het programma Root
HOOFDSTUK 4. EXPERIMENTELE OPSTELLING
56
[27]. De informatie die wordt opgeslagen wordt, is ondermeer: de energieafzetting en
positiecoördinaten van gedetecteerde deeltje in de ∆E-detector, de energieafzetting
in de Pad-detector, tijdsafdrukken van waargenomen γ’s (in een bepaald tijdvenster
rond de inslag van het deeltje), de energie van deze γ’s,... Vervolgens worden de
gebeurtenissen gekalibreerd via een kalibratiebestand, bekomen uit de meting met
de 152 Eu-bron en viervoudige α-bron voor respectievelijk de γ- en deeltjesdetectoren.
Deze structuur waarbij met informative van afzonderlijke evenementen gewerkt kan
worden- maakt het mogelijk histogrammen te genereren met specifieke voorwaarden
op de aard van de gebeurtenis. Zo kan men via condities op de energie, gemeten
in de ∆E- en de Pad-detector selecteren op een bepaald type van deeltje. Via
de tijdsafdrukken van de γ-fotonen kan men onderscheid maken tussen werkelijke
en toevallige coı̈ncidenties. Er kunnen condities worden gelegd op de energie van
deze γ’s om enkel protonen, afkomstig van een welbepaalde toestand van 87 Kr te
selecteren. Een voorbeeld van zulk een histogram is te zien in figuur 4.10. Hierin
staat de energie van de deeltjes in de ∆E-detector in functie van de totale energie
in de barrel detector weergegeven, met als bijkomende conditie dat enkel deeltjes
getoond worden die een signaal gaven in strook 8 van de voorwaartse ∆E-detector.
Figuur 4.10: De energie van de deeltjes in de voorwaartse ∆E-detector in functie van de totale
energie in de barrel detector (dus de som van de energieafzetting in de ∆E-detector en in de
Pad-detector) voor elke detectorstrook 8.
Hoofdstuk 5
Experimentele analyse &
resultaten
Omwille van een explosie in de voedingsbron van één van de afbuigmagneten van de
86
Kr-bundellijn, moest het d(86 Kr, p)87 Kr-experiment vroegtijdig worden gestaakt.
In dit hoofdstuk wordt de (beperkte) data die vergaard werd, geanalyseerd om na
te gaan of de opstelling goed begrepen is en de analyse van de data onder controle
is.
5.1
Proton-gamma-coı̈ncidenties
In hoofdstuk 3 werd reeds gesteld dat de 86 Kr(d, p)87 Kr geëxciteerde toestanden
van 87 Kr bevolkt. Deze vervallen bijna onmiddelijk naar de grondtoestand door het
uitsturen van een γ-foton. Men spreekt van coı̈ncidentie tussen de protonen en de
γ’s wanneer deze simultaan, of beter: binnen een bepaald tijdsvenster, waargenomen
worden. Zulk een coı̈ncidentie betekent nog niet automatisch dat deze twee deeltjes afkomstig zijn van dezelfde (d, p)-reactie. Het kan ook gaan om een toevallige
coı̈ncidentie met bijvoorbeeld natuurlijke achtergrondstraling, straling afkomstig van
de versneller, .... Figuur 5.1 toont het aantal deeltje,γ-coı̈ncidenties, voor een tijdsvenster van 1µs, ten opzichte van het tijdsverschil van hun signaal. Dit is niet het
echte tijdsverschil tussen het binnendringen van de detector van deeltje en γ. De
grootste vertraging wordt veroorzaakt door de verwerking in de elektronika [20].
De reactie-geinduceerde p − γ-coı̈ncidenties vertonen een duidelijke tijdscorrelatie,
aangeduid met de gearceerde piek op de figuur. Deze gebeurtenissen bevinden zich
echter op een constante achtergrond van willekeurige coı̈ncidenties waarvoor gecorrigeerd dient te worden. De γ’s die overeenkomen met een echte of een willekeurige
coı̈ncidentie worden verder respectievelijk de prompte en de toevals-γ’s genoemd.
In figuur 5.2 wordt het γ-spectrum getoond met een ruwe Dopplercorrectie, waarbij
voor alle γ’s in de voorwaartse richting een Lab-hoek θ = 45◦ werd aangenomen,
θ = 145◦ voor de achterwaartse richting. Hierin is duidelijk zichtbaar dat de toevals
γ’s hoofdzakelijk X-stralen zijn, afkomstig van de versneller, terwijl de prompte γ’s
een hogere energie hebben, gaande tot 3 MeV. Dit is een indicatie dat er hoog en57
HOOFDSTUK 5. EXPERIMENTELE ANALYSE & RESULTATEN
ergetische toestanden van
87
58
Kr gevoed worden.
Figuur 5.1: Het waargenomen aantal deeltje,γ-coı̈ncidenties, voor een tijdsvenster van ±1 µs, in
functie van het tijdsverschil van de observatie in beide detectoren. De gekleurde piek komt overeen
met de echte, prompte coı̈ncidenties, de rest zijn willekeurig.
Figuur 5.2: γ-spectrum met ruwe Dopplercorrectie voor de prompte en toevals-γ’s
HOOFDSTUK 5. EXPERIMENTELE ANALYSE & RESULTATEN
59
De GEANT4-simulatie [26] leert ons dat het mogelijk is een onderscheid te
maken tussen de waargenomen deeltjes in de barreldetector. Figuur 4.7 toont een
duidelijk van elkaar te onderscheiden signatuur voor elastisch verstrooide deuteronen
en de protonen, afkomstig van de transferreactie. Door de kleine statistiek is dit
minder uitgesproken voor onze experimentele gegevens (figuur 5.3 ), maar het blijft
wel mogelijk een scheiding tussen beide types van deeltjes te maken. Merk op
dat deeltjes die in coı̈ncidentie zijn met een prompte γ, voornamelijk de proton
signatuur dragen. Deeltjes die niet of met een toevals-γ in coı̈ncidentie zijn, dragen
voornameijk deuteron signatuur. Dit is een bijkomend bewijs dat de prompte γ’s
en de protonen inderdaad hoofdzakelijk van (d, p)-reacties afkomstig zijn.
Figuur 5.3: Experimenteel geobserveerde energie in de ∆E-detector vs. de energie in de Paddetector. In het gebied onder de lijn worden protonen verwachten. De deeltjes in coı̈ncidentie met
een prompte γ (rood) liggen voornamelijk in dit gebied.
5.2
Bepaling van de bundelintensiteit
Vermits het aantal (d, p)-reacties dat plaatsvindt schaalt met de bundelintensiteit,
is het belangrijk deze nauwkeurig te kennen. Tijdens het experiment wordt deze
met een Faradaykooi bepaald op 5 105 pps. Door de uiterst kleine stromen (∼pA
en kleiner) die gemeten worden, is deze manier niet zo nauwkeurig. In deze sectie
wordt de intensiteit berekend uit de elastisch verstrooide deuteronen.
HOOFDSTUK 5. EXPERIMENTELE ANALYSE & RESULTATEN
5.2.1
60
Kinematica van elastische deuteron verstrooiing
Deze sectie verduidelijkt de kinematica van ons elastisch verstrooiingsprobleem aan
de hand van onderstaande grafieken, berekend met het kinematicaprogramma Catkin
[23].
In figuur 5.4 is te zien hoe de Lab-hoeken θd en θKr variëren met de CM-verstrooiingshoek ϑKr . Het 86 Kr-projectiel wordt omwille van z’n grote massa en kinetische energie slechts over een kleine hoek van maximaal enkele graden afgebogen.
De deuteron trefschijfkern kan enkel in voorwaartse richting verstrooid worden:
θd ≤ 90◦ .
De laboratoriumenergie van het deuteron en de 86 Kr-kern worden in figuur 5.5
getoond tegenover ϑKr . De energieoverdracht van Kr naar het deuteron is minimaal wanneer Kr rechtdoor beweegt en maximaal wanneer hij over 180◦ wordt
afgebogen (beide in het CM-stelsel gezien). In het eerste geval beweegt de Kr-kern
op voldoende grote afstand langsheen het deuteron zodat er geen interactie plaats
heeft. In het tweede geval gaat het om een frontale botsing tussen de twee deeltjes.
Het combineren van de vorige twee figuren, levert figuur 5.6. Deze toont de energie van de twee deeltjes tegenover hun Lab-hoek. De energie van het deuteron
gaat naar nul als θd naar 90◦ gaat. Dit komt weer overeen met het geval waarin de
Kr-kern op grote afstand langsheen het deuteron beweegt en de interactie naar nul
gaat. Omwille van behoud van impuls wordt het deuteron niet in de voorwaartse
richting geduwd. Het kan enkel loodrecht op deze richting bewegen met een energie
gaande naar nul. De Kr-kern behoudt in deze situatie zijn volledige energie.
HOOFDSTUK 5. EXPERIMENTELE ANALYSE & RESULTATEN
61
Figuur 5.4: De laboratoriumhoeken θd en θKr in functie van de CM-verstrooiingshoek ϑKr .
Figuur 5.5: De laboratoriumenergie van het deuteron en de
verstrooiingshoek ϑKr .
86
Kr-kern in functie van de CM-
HOOFDSTUK 5. EXPERIMENTELE ANALYSE & RESULTATEN
62
Figuur 5.6: De laboratoriumenergie van het deuteron en de 86 Kr-kern in functie van hun respectievelijke Lab-hoeken θd en θKr . Deze plot noemt men ook het plectrum.
HOOFDSTUK 5. EXPERIMENTELE ANALYSE & RESULTATEN
5.2.2
63
Converteren van de werkzame doorsnede
De differentiële werkzame doorsnede voor Rutherford verstrooiing (weergegeven in
figuur 5.7) wordt gegeven door [8]:
2
dσ
Z1 Z2
M1 + M2
1
[mb/sr] = 1, 296
(5.1)
4
dΩ CM
ELab
M2
sin (ϑP /2)
Deze vergelijking gaat enkel op in het CM-stelsel1 . Het is noodzakelijk ze te converteren naar het Lab-stelsel.
De verhouding van de ruimtehoeken ω en Ω respectievelijk in het Lab- en CM-stelsel
is gegeven door [1]:
sin2 (θT )| cos(ϑT − θT )|
dω
=
dΩ
sin2 (ϑT )
Omwille van behoud van impuls gaat in het CM-stelsel volgende relatie op: ϑT =
ϑP −π (zie figuur 2.1). Voor elastische verstrooiing geldt: θT = ϑT /2. Het toepassen
van deze relaties en enkele goniometrische rekenregels resulteren in volgende CMnaar Lab-stelsel conversie:
dσ
1
dΩ CM
=
dσ
4 cos(θT )
dω Lab
Dit toepassen op vergelijking 5.1 geeft:
2
Z1 Z2
1
dσ
M1 + M2
[mb/sr] = 5, 184
3
dω Lab
ELab
M2
cos (θT )
(5.2)
De Rutherford werkzame doorsnede voor het Lab-stelsel is weergegeven in figuur
dσ
5.8. Voor hoeken θd > 90◦ wordt dω
negatief. Dit is echter door de kinematica
Lab
verboden (zie figuur 5.4 en 5.6): het deuteron kan onmogelijk in de achterwaartse
richting worden verstrooid.
De CD2 -trefschijf heeft een massadichtheid van 1, 06g/cm3 . Dit betekent dat de
dunne en dikke trefschijf (zie sectie 4.2.3) respectievelijk een dikte hebben van 0, 94
en 9, 4 µm. Het energieverlies van de 86 Kr-kern doorheen de trefschijf is weergegeven
in figuur 5.9. De energie neemt quasi lineair af met de diepte. In de dikke trefschijf
bedraagt het maximale energieverlies 67 MeV. In de dunne trefschijf is het energieverlies onbelangrijk.
−2
De Rutherford werkzame doorsnede schaalt met ELab
(vergelijkingen 5.2). In deze
−2
doorheen de
uitdrukking moet gebruik worden gemaakt van de gemiddelde: ELab
−5
−2
trefschijf :2, 222 · 10 MeV .
1 In het laboratorium vormt ze ook een zeer goede benadering indien men te maken heeft met een licht projectiel
op een zware trefschijfkern. In deze situatie zijn het CM- en Lab-stelsel immers zeer gelijkaardig.
HOOFDSTUK 5. EXPERIMENTELE ANALYSE & RESULTATEN
Figuur 5.7: De Rutherford werkzame doorsnede voor het CM-stelsel:
CM-verstrooiingshoek ϑKr .
64
dσ
dΩ CM
in functie van de
dσ
Figuur 5.8: De Rutherford werkzame doorsnede voor het Lab-stelsel: dω
in functie van de
Lab
laboratoriumhoek θd . Om een duidelijke voorstelling te kunnen maken, werd er een positieve en
negatieve log-schaal gebruikt.
HOOFDSTUK 5. EXPERIMENTELE ANALYSE & RESULTATEN
Figuur 5.9: De energie van de
is quasi lineair.
5.2.3
86
65
Kr-kern doorheen de dunne en dikke trefschijf. De energieafname
Bepalen van de intensiteit
De uitdrukking 5.2 voor de werkzame doorsnede in het Lab-stelsel maakt het mogelijk de bundelintensiteit te bepalen. Hiervoor gebruikt men onderstaand verband
tussen #d,strook , het aantal geobserveerde deuteronen in elke strook van de barreldetector, en de intensiteit I:
Z
NAv ρd
dσ
#d,strook = εb I ∆t m
dω
mA
strook dω
NAv ρd
C
≈ εb I ∆t m
2 ωstrook
(5.3)
3
mA cos (θstrook )
Hierin stelt εb de detectie-efficiëntie voor deuteronen voor van de barreldetector. In
sectie 4.2.2 werd gesteld dat ε bij benadering 100% is. De tijdsduur ∆t is (6100±20)
Av ρd
s. m Nm
is het aantal deuteronen waaraan een Kr-kern kan verstrooien. De multiA
pliciteit m is 2, vermits er twee deuteronen zijn per CD2 -molecule. NAv is het getal
van Avogadro. Voor het dikke target is ρd = 1, 00 ± 0.05 mg/cm2 . De moleculaire
massa mA van CD2 bedraagt 15, 8 g/mol. In C zitten alle constanten uit vergelijking 5.2 vervat. θstrook is de openingshoek van het centrum van de detectorstrook.
ωstrook is de ruimtehoek van een individuele detectorstrook, met een factor 2 omdat
er twee kwadranten functioneerden tijdens de meting. De ruimtehoek per strook in
de voorwaartse richting wordt weergegeven in tabel 4.2 en figuur 4.8.
Beschouw figuur 5.10 waarin de geobserveerde deuteronen in de voorwaartse Paddetector weergegeven staan per detectiestrook van de ∆E-detector. Het onderscheid
tussen deuteronen en protonen gebeurde op basis van hun verschillende signatuur in
de ∆E versus EP ad plot (zie figuur 5.3). Enkel de deuteronen in gedetecteerd onder
HOOFDSTUK 5. EXPERIMENTELE ANALYSE & RESULTATEN
66
labohoek θ < 43◦ (strook met nummers 7 tot en met 142 ) volgen de theoretische
curve uit vergelijking 5.3. Als de curve enkel wordt gefit door deze punten, bekomt
men een intensiteit van (1, 2 ± 0.1)106 pps. Om het belang aan te tonen van het
in rekening brengen van het energieverlies van de Kr-bundel in de trefschijf, wordt
ook de waarde gegeven die zonder dit bekomen wordt: (1, 6 ± 0.1)106 pps. Dit zorgt
voor een verhoging in intensiteit (en dus ook in het aantal verwachte protonen) met
een factor 4/3.
Voor de stroken bij grotere hoeken vormt het verwachte aantal deuteronen een grote
overschatting. Blijkbaar gaan er deuteronen verloren, die niet gedetecteerd worden.
Figuur 5.12 toont de energie van de deeltjes in de ∆E-detector in functie van de
totale energie in de barrel detector (dus de som van de energieafzetting in de ∆Edetector en in de Pad-detector) voor elke detectorstrook. Dit is dus een iets andere
voorstelling dan in figuur 5.3. Naast de signatuur van de deuteronen (en protonen)
zien we ook deeltjes die op een rechte gelegen zijn. Deze verliezen al hun energie in
de ∆E-detector en dringen dus niet meer door tot in de Pad-detector. Voor detectiestroken met nummer < 7 (labohoek θ > 43◦ ) vormen ze een belangrijke fractie van
het totaal aantal deeltjes. Dit komt overeen met de afwijking van de theoretische
curve in figuur 5.10.
Het energieverlies van de deuteronen in de ∆E-detector en in de trefschijf kan ook
worden berekend. Hiervoor werd het programma SRIM [28] gebruikt. Het energieverlies is afhankelijk van de startenergie en van de af te leggen lengte doorheen
het materiaal (dus van het hoek waaronder het deuteron binnenkomt). Als startenergie voor elke hoek werd de energie van elastisch verstrooiide deuteronen bij deze
hoek genomen, zoals deze reeds werd berekend met Catkin [23] in de sectie 5.2.1
(zie figuur 5.6 en 5.13(a)). Het resultaat hiervan is weergegeven in figuur 5.13(b).
Tenslotte toont figuur 5.13(c) de energie die de deuteronen overhouden als ze in de
Pad-detector arriveren en dus de energie die ze daar nog kunnen deponeren. De energieverliezen werden gewoon samengeteld. Vermits het energieverlies afhangt van
de startenergie is dit in principe niet correct, maar omwille van het zeer kleine energieverlies in de trefschijf is dit een goede benadering. Volgens deze berekeningen
zou er van dit energieverlies niet veel mogen te merken zijn in stroken met nummer
> 4. Deze inconsistentie met de observatie is te wijten aan de startenergie van de
deuteronen, die bepaald werd zonder rekening te houden met het energieverlies van
de Kr-bundel.
Figuur 5.11 toont alle geobserveerde deeltjes in de ∆E-detector per detectiestrook,
ook degene die niet tot in de Pad-detector doordringen. Hier is het dus onmogelijk
om onderscheid te maken tussen de deeltjes op basis van hun ∆E-E-signatuur. Het
grote merendeel zullen deuteronen zijn, maar ook de protonen worden hier getoond.
(C-kernen worden normaal in de mylar folie gestopt.) Deze deeltjes ondergingen
enkel een energieverlies in de trefschijf en de mylar folie alvorens gedetecteerd te
2 Herinner
dat strook nummer 15 defect was.
HOOFDSTUK 5. EXPERIMENTELE ANALYSE & RESULTATEN
67
worden, maar dit is enkel van belang bij grote hoeken. Deze deeltjes volgen wel
de trend voorspeld door de berekeningen (behalve voor strook 1 en 0). Het kiezen
van een drempelenergie was in dit geval moeilijk omdat de vele deeltjes met onvoldoende energie om doorheen de ∆E-detector te geraken mee in rekening moesten
worden gebracht. Omdat er geen drempelenergie werd ingesteld, zorgt ruis voor een
schijnbaar groter aantal tellingen dan voorspeld door de curve.
Figuur 5.10: De geobserveerde deuteronen in de voorwaartse Pad-detector, met een energie boven
de drempelwaarde van 250keV, per detectiestrook van de ∆E-detector. Het onderscheid tussen
deuteronen en protonen gebeurde op basis van hun verschillende signatuur in de ∆E versus EP ad
plot (zie figuur 5.3). De theoretische curve (relatie 5.3) werd enkel gefit door de punten van
detectiestrook 7 tot en met 14.
Figuur 5.11: Alle geobserveerde deeltjes in de ∆E-detector per detectiestrook. Hier is het onmogelijk om onderscheid te maken tussen de verschillende deeltjes. De trend van de theoretische curve
wordt gevolgt in detectiestrook 2 tot en met 14.
(f) strip7
(j) strip11
(e) strip5
(i) strip10
(k) strip12
(g) strip8
(c) strip3
(l) strip14
(h) strip9
(d) strip4
Figuur 5.12: De energie van de deeltjes in de ∆E-detector in functie van de totale energie in de barrel detector (dus de som van de energieafzetting
in de ∆E-detector en in de Pad-detector) voor elke detectorstrook. Dit is dus een iets andere voorstelling dan in figuur 5.3. Voor strooknummers
< 7 wordt een belangrijk deel van de deeltjes gestopt in de ∆E-detector.
(b) strip2
(a) strip0
HOOFDSTUK 5. EXPERIMENTELE ANALYSE & RESULTATEN
68
HOOFDSTUK 5. EXPERIMENTELE ANALYSE & RESULTATEN
69
(a) De energieverdeling van de verstrooide deuteronen in functie van de Lab-hoek θd .
(b) Het energieverlies van de deuteronen in de mylarfolie en ∆E-detector (samen aangeduid als ∆E-detector) en in de
trefschijf in functie van θd . Als startenergie werd bij elke hoek θd telkens de waarde uit figuur 5.13(a) genomen.
(c) De energie van de deuteronen na hun energieverlies in de ∆E-detector en in de trefschijf tegenover θd [28]. Dit is de energie
die ze deponeren in de Pad-detector. De energieverliezen werden gewoon samengeteld. Vermits het energieverlies afhangt van de
energie is dit in principe niet correct. Maar het is duidelijk dat het zeer kleine energieverlies in de trefschijf slechts een geringe
invloed zal hebben.
Figuur 5.13:
HOOFDSTUK 5. EXPERIMENTELE ANALYSE & RESULTATEN
5.3
Analyse
86
70
Kr(d,87 Kr)p-reactie
Deze sectie heeft als doel na te gaan of de transferopstelling goed functioneert en
voldoende begrepen is voor het uitvoeren van neutrontransferreacties op 66 N i. Er
wordt nagegaan of de observaties al dan niet consistent zijn met de berekeningen.
5.3.1
Energieverlies van de protonen
Om het aantal waargenomen protonen correct te kunnen interpreteren, dient het
energieverlies, dat ze ondergaan alvorens een signaal in de detector te geven, in
rekening worden gebracht. Figuur 5.14(a) toont de energie van de proton ejectielen
in functie van de Lab-hoek θp . De energie van een proton hangt af van in welke energetische toestand de 87 Kr-kern zich bevond, maar ook van de kinetische energie van
het projectiel. 86 Kr verliest namelijk energie wanneer het door de trefschijf beweegt,
zoals voorgesteld in figuur 5.9. Zo bekomt met een bovengrens voor de protonenergie door te stellen dat 86 Kr geen energie verloor in de trefschijf en 87 Kr zich in
z’n grondtoestand bevond. De ondergrens komt overeen met het geval waarbij 86 Kr
door de hele trefschijf reisde en waarbij 87 Kr zich in de (1g(7/2) )-toestand bij 2.515
MeV bevindt. Het energieverlies van de protonen in de mylarfolie en ∆E-detector
(samen aangeduid als ∆E-detector) en in de trefschijf, weergegeven in figuur 5.14(b),
werd berekend met SRIM [28] met als startenergie deze ondergrens of bovengrens.
Figuur 5.14(c) toont de energie die de protonen overhouden na deze verliezen, dus
de energie die in de Pad-detector gemeten wordt. Voor de bovengrens werd enkel
een energieverlies in de ∆E-detector in rekening genomen. Voor de ondergrens werd
een maximaal energieverlies in de ∆E-detector en in de trefschijf verondersteld. Uit
deze figuur blijkt dat er in de voorwaartse richting geen, of slechts een kleine fractie
protonen, gestopt worden in de ∆E-detector. In de achterwaartse richting bereikt
het grootste deel van de protonen de Pad-detector niet. De rest van de analyse kan
worden beperkt tot de protonen in de voorwaartse barreldetector.
5.3.2
Geobserveerde protonen
De werkzame doorsnede van de transferreactie is energieafhankelijk. Net zoals in de
vorige sectie dient hier rekening mee gehouden te worden: de werkzame doorsneden
uit tabel 3.7 moeten worden aangepast. Er bestaat echter geen duidelijke relatie die
de energieafhankelijkheid beschrijft zoals bij Rutherford verstrooiing. Daarom wordt
geopteerd voor volgende werkwijze. De dikke trefschijf wordt verdeeld in n gelijke,
denkbeeldige stukken. In elk stuk wordt de gemiddelde CM-energie berekend. Hierj`
voor worden via DWUCK4 [25] en Conversion [24] n werkzame doorsneden σdet
berekend, waarvan de gemiddelde waarde wordt genomen. Er werd steeds gewerkt
met de werkzame doorsnedes, berekend met parameterset 4 − 3 uit tabel 3.3. Dit
HOOFDSTUK 5. EXPERIMENTELE ANALYSE & RESULTATEN
71
(a) De energie van de proton ejectielen in functie van de Lab-hoek θp . De maximale waarde Eboven komt overeen met het geval waarbij 87 Kr zich in z’n grondtoestand bevond en 86 Kr geen energie verloor in de trefschijf. Bij de onderste
Eonder was er maximaal energieverlies voor de 86 Kr-kern en zat 87 Kr in de
1g(7/2) toestand zit bij 2.515 MeV.
(b) Het energieverlies van de protonen in de ∆E-detector (plus mylarfolie) en in de trefschijf in functie
van θp , berekend met Eup (θp ) of Elow (θp ) als startenergie.
(c) De energie van de protonen na energieverlies. De protonen in de bovengrens Epad;up verloren enkel energie in
de ∆E-detector. Bij Epad;low ondergingen ze zowel een energieverlies in de ∆E-detector als in de trefschijf. Hier
werden zoals in figuur 5.13(b) de energieverliezen weer gewoon opgeteld. Ook hier is dit slechts een benadering.
Figuur 5.14:
HOOFDSTUK 5. EXPERIMENTELE ANALYSE & RESULTATEN
72
werd enkel uitgevoerd voor de (1s1/2 )-toestand op 532 keV, voor vier stukken. Dit
levert een gemiddelde werkzame doorsnede van 13, 4 mb in plaats van de 20, 1 mb
voor 86 Kr met de volle energie van 3 MeV/u. Ook hier heeft het energieverlies van
de Kr-bundel dus een belangrijke invloed op het verwachte aantal protonen. Als
benadering wordt een zelfde herschaling met een factor 13,4
= 0, 667 toegepast op
20,1
de werkzame doorsneden van andere toestanden.
87
Kr in de toestand j` zat, die men verwacht
Het aantal protonen #j`
p,det , waabij
te zien in een bepaalde detector kan analoog als in vergelijking 5.3 geschreven worden als onderstaande uitdrukking. Gezien de kleine statistiek omwille van de korte
meettijd van ons experiment en de veel kleinere werkzame doorsnede voor (d, p),
is het weinig zinvol om dit voor elke strook afzonderlijk uit te rekenen zoals bij de
elastische deuteronen.
Z
NAv ρd
dσ j`
j`
#p,det = εb I ∆t m
Sj`
dω
mA
det dω
j`
NAv ρd σdet
(5.4)
≈ εb I ∆t m
Sj`
mA
2
j`
Met Sj` de spectroscopische factor, zoals in tabel 3.5. De werkzame doorsnede σdet
dσ j`
wordt bepaald door dω
te integreren over de ruimtehoek van een bepaalde detector. Deze werden reeds in sectie 3.2.8 berekend (tabel 3.7, maar dienen zoals
hierboven uitgelegd, herschaald te worden met een factor 0, 667. De factor 1/2 staat
er omdat er slechts twee van de vier kwadranten van de barreldetector functioneerden. Voor de achterwaartse CD-detector is dit niet het geval en geldt gewoon:
j`
#j`
p,det ≈ εb I ∆t σdet . Maar zoals aangetoond werd in vorige sectie, kan de analyse
beperkt worden tot enkel de voorwaartse barreldetector.
Het verwachte aantal prompte p − γ-coı̈ncidenties3 #j`
pγ,det is:
j` j`
#j`
pγ,det = εM #p,det
(5.5)
Hierbij stelt εj`
M de MINIBALL-efficiëntie voor bij de energie van de γ’s uitgestuurd
door 87 Kr in toestand j`. Het betreft hier de totale efficiëntie, niet de fotopiekefficiëntie, bepaald zoals beschreven in sectie 4.2.1, rekening houdend met de γvervalschema zoals weergegeven in figuur 3.20. Het is belangrijk om op te merken
dat de grondtoestand geen γ’s uitzendt.
Beschouw eerst de protonen in coı̈ncidentie met een promte γ van 532 keV. Deze
protonen zijn afkomstig van de (d, p)-gevoede 1s1/2 toestand4 . Het verwachte aantal
wordt berekend met formule 5.5, waar nu gebruik wordt gemaakt van de fotopiek
efficiëntie van MINIBALL. Dit geeft een verwacht aantal p − γ-coı̈ncidenties van:
3 Hiermee wordt een coı̈ncidentie bedoeld tussen een proton en een prompte γ, of nog: een proton-gammacoı̈ncidentie waarvan het tijdsverschil tussen de observatie van het proton en de gamma gelegen is in de piek in
figuur 5.1
4 De γ-vertakkingen van andere toestanden worden verwaarloosd.
HOOFDSTUK 5. EXPERIMENTELE ANALYSE & RESULTATEN
73
16 ± 3. (Wanneer het energieverlies van de Kr-bundel verwaarloosd wordt, is dit
22 ± 3.) Figuur 5.15(a) toont de protonen, met een energie groter dan de drempelwaarde van 250 keV , die in prompte coı̈ncidentie zijn met een γ met energie gelegen
tussen 460 en 600 keV, per vier stroken in de voorwaartse barreldetector. Het totale
aantal over alle stroken, bedraagt 9 ± 3. De geobserveerde en voorspelde waarden
ligeen in elkaars buurt, de foutenmarges overlappen net niet.
Figuur 5.15(b) toont het aantal p − γ-coı̈ncidenties herschaald naar de ruimtehoek
van de vier stroken. Dit levert een differentiële werkzame doorsnede op (in arbitraire
eenheden). Deze zou een gelijkaardig verloop moeten hebben als de 1s1/2 -curve in
figuur 5.16. De foutenmarges zijn echter te groot om hier enige uitspraak over te
kunnen doen.
Er kan geen onderscheid gemaakt worden tussen protonen waarbij
schillende toestanden zat, enkel de som wordt waargenomen:
X j`
#p,det
#p,det =
87
Kr in ver(5.6)
j`
Voor de coı̈ncidentie kan men in principe wel de 87 Kr-toestanden toekennen. Maar
door de kleine statistiek, meer bepaald de tellingen in de fotopieken, gaat dit niet.
Zodat ook hier enkel de som wordt waargenomen:
X j`
#pγ,det =
#pγ,det
(5.7)
j`
j`
Om vergelijking 5.6 en 5.7 toe te passen, moeten de #j`
p,det en dus σdet van alle toestanden die bevolkt worden in de reactie (zie tabel 3.5) gekend zijn. Dit is niet het geval,
deze werden enkel voor vier specifieke toestanden berekend. Vermits zowel deze
berekende als de niet-berekende toestanden verscheidene `-waardes hebben, en dus
dσ j`
dσ calc
ook uiteenlopende dω
-curves valt te vermoeden dat zowel de gemiddelde dω
van
dσ tot
de berekende toestanden als de gemiddelde dω van alle toestanden een gelijkaardig
gedrag vertonen. Als ruwe benadering kan men in dat geval aannemen dat het aantal
verwachte protonen te herschalen valt met de spectroscopische factoren:
P
Sj` calc
#p,det ≈ P tot
#p,det
(5.8)
calc Sj`
Hierbij staan calc en tot respectievelijk voor de vier berekende toestanden en alle
toestanden. Voor de prompte p − γ-coı̈ncidenties kan men nog bijkomend aannemen
dat men gebruik kan maken van de gemiddelde εj`
M van de vier berekende toestanden.
P
0
0 Sj`
#pγ,det ≈ P tot
#calc
(5.9)
pγ,det
calc0 Sj`
Met calc0 en tot0 ditmaal de vier berekende toestanden en alle toestanden zonder de
grondtoestand.
HOOFDSTUK 5. EXPERIMENTELE ANALYSE & RESULTATEN
(a) Het aantal protonen, met een energie groter dan de drempelwaarde van 250
keV , dat in prompte coı̈ncidentie is met een γ met energie gelegen tussen 460 en
600 keV, per vier stroken in de voorwaartse barreldetector. Het totale aantal, over
alle stroken, bedraagt 9 ± 3.
(b) De aantallen uit figuur 5.15(a), gedeeld door de ruimtehoek van de vier stroken. Dit geeft
een soort differentiële werkzame doorsnede (in arbitraire eenheden).
Figuur 5.15:
74
HOOFDSTUK 5. EXPERIMENTELE ANALYSE & RESULTATEN
Figuur 5.16: De laboratorium werkzame doorsneden
toestanden van 87 Kr.
dσ
dω
75
in de voorwaartse barreldetector voor vier
HOOFDSTUK 5. EXPERIMENTELE ANALYSE & RESULTATEN
#p,det
#pγ,det
1s1/2 ,532
#pγ,det
geobserveerd
1551 ± 39
106 ± 10
9±3
76
berekend
1087 ± 148
54 ± 10
16 ± 3
Tabel 5.1: Samenvatting geobserveerde en verwachte protonen en (p, γ)-coı̈ncidenties.
Vergelijking 5.8 en 5.9 leveren: #p,det = 1087 ± 148 en #pγ,det = 54 ± 10. (Wanneer
het energieverlies van de Kr-bundel verwaarloosd wordt: 1480 ± 170 en 116 ± 19.)
Figuren 5.17(a) en 5.18(a) tonen respectievelijk het aantal protonen en prompte
p − γ-coı̈ncidenties per vier stroken in de voorwaartse barreldetector, met een energie groter dan de drempelwaarde van 250 keV. Hun totale aantal, over alle stroken,
bedraagt respectievelijk 1551 ± 39 en 106 ± 10. Gezien de zeer ruwe benadering in
onze berekening, liggen deze dus in de lijn van de verwachting.
Beschouw vervolgens ook figuren 5.17(b) en 5.18(b). Deze tonen de differentiële
werkzame doorsnede (in arbitraire eenheden). Opvallend is de relatieve toename
in stroken 8 tot en met 11 (33◦ < θ < 42◦ ) wanneer men kijkt naar de p − γcoı̈ncidenties in plaats van naar de enkelvoudige protonen. Het grote verschil tussen
deze twee is nochtans de afwezigheid van een bijdrage van de grondtoestand van
87
Kr voor de p − γ’s. In figuur 5.16 valt te zien dat deze net een lokaal maximum
vertoont in deze stroken. Dit is waarschijnlijk te wijten aan de beperkte statistiek.
Ten tweede is ook de lage werkzame doorsnede voor stroken 0 tot en met 3 (θ > 55◦ )
voor zowel de protonen als de p − γ’s opvallend. Dit valt te verklaren doordat er
een fout geı̈ntroduceerd wordt door aan te nemen dat de hoek θ constant is over een
gehele detectorstrook. Eigelijk is het energieverlies van de protonen (figuur 5.14(b))
groter dan werd aangenomen, wat extra verlies van tellingen met zich meebrengt.
HOOFDSTUK 5. EXPERIMENTELE ANALYSE & RESULTATEN
(a) Het aantal protonen geobserveerd per vier stroken in de voorwaartse barreldetector, met een energie groter dan de drempelwaarde van 250 keV. Het totale aantal,
over alle stroken, bedraagt 1551 ± 39.
(b) Het aantal geobserveerde protonen uit figuur 5.17(a), gedeeld door de ruimtehoek van de vier
stroken. Dit geeft een soort van differentiële werkzame doorsnede (in arbitraire eenheden).
Figuur 5.17:
77
HOOFDSTUK 5. EXPERIMENTELE ANALYSE & RESULTATEN
(a) Het aantal prompte p − γ-coı̈ncidenties geobserveerd per vier stroken in de
voorwaartse barreldetector, met een energie groter dan de drempelwaarde van 250
keV. Het totale aantal, over alle stroken, bedraagt 106 ± 10.
(b) Het aantal geobserveerde prompte p − γ-coı̈ncidenties uit figuur 5.18(a), gedeeld door de
ruimtehoek van de vier stroken. Dit geeft een soort differentiële werkzame doorsnede (in arbitraire eenheden).
Figuur 5.18:
78
Hoofdstuk 6
Conclusie
Het doel van de d(86 Kr, p)87 Kr-meting, beschreven in deze thesis, was na te gaan of
de experimentele opstelling voldoende goed begrepen is en de data analyse voldoende
onder controle is voor het geplande d(66 N i, p)67 N i-experiment in november 2009.
Dat dit geen sinecure is, wordt bijvoorbeeld geı̈llustreerd door volgende getallen.
In totaal vallen er ongeveer 7, 2 109 Kr-kernen in op de trefschijf. Hiervan doen
de meeste niets. Ongeveer 6, 2 104 hiervan zorgen voor de elastische verstrooiing
van een deuteron. Van deze elastisch verstrooiide deuteronen worden er een 5600
waargenomen. Een 1500-tal Kr-kernen ondergaan een (d, p)-reactie, waarvan 1200
een aangeslagen toestand bevolken (en dus een γ uitsturen). Hiervan worden slechts
een hondertal p − γ-coı̈ncidenties geobserveerd.
Er werd geargumenteerd dat (d, p)-transferreacties zeer geschikt zijn om schilsluitingen te onderzoeken. Dit omwille van hun selectiviteit in energetisch laaggelegen
toestanden met een sterk ééndeeltjeskarakter en het eenvoudig verband tussen de
hoekdistributie en de impulsmomentsoverdracht `.
De differentiële werkzame doorsnede voor zulke reacties kan theoretisch bepaald
worden met DWBA-berekeningen. In hoofdstuk 3 werd dit gedaan voor vier verschillende excitatieniveaus van 87 Kr. Met behulp van deze berekeningen werd ook
de invloed van verschilllende optisch model parameters uit de literatuur, de straal
van de bindingspotentiaal van het ingevangen neutron en de Q-waarde van de reactie gedemonstreerd. Er werd berekend dat de d(86 Kr, p)87 Kr-reactie voornamelijk
ver buiten het kernoppervlak gebeurt, op de exponentieel afnemende staart van de
golffuncties. De CWBA-benadering werd geı̈ntroduceerd als instrument om de onderliggende reden van reactieeigenschappen te achterhalen.
Omwille van een explosie in de voedingsbron van één van de afbuigmagneten van
de bundellijn, moesten de metingen met de stabiele 86 Kr-bundel vroegtijdig worden
gestaakt. Door de zeer korte, nuttige meettijd van slechts (6100 ± 20) s, werd er
slechts een kleine hoeveelheid aan statistiek vergaard. Deze maakte het niet mogelijk om de angulaire protondistributies met de berekeningen te vergelijken, echter,
ondanks de zeer beperkte statistiek, kon dankzij de nauwgezette analyse van de data
aangetoond worden dat het aantal geobserveerde protonen en p − γ-coincidenties in
grootte orde overeenkwamen met de theoretisch verwachte aantallen. Tevens werd
aangetoond dat de invloed van het energieverlies van de bundel doorheen de trefschijf
79
HOOFDSTUK 6. CONCLUSIE
80
belangrijk is. Hier moet rekening mee worden gehouden bij de DWBA-berekeningen
voor de werkzame doorsneden. De deuterondistributie, waarmee de bundelintensiteit bepaald werd, kon wel verklaard worden door onze berekeningen.
Ondanks de beperkte statistiek valt er toch te besluiten dat men de opstelling goed
begrijpt, de analyse onder controle is en dat men de data weet te interpreteren. De
volgende stap is het uitvoeren en analyseren van het d(66 N i, p)67 N i-experiment in
november 2009.
Bibliografie
[1] K.Alder en A.Winther, Electromagnetic Excitation - Theory of Coulomb Excitation with heavy ions, North-Holland Publishing Company, 1975
[2] B.H.Bransden and C.J.Joachain, Quantum Mechanics, 2nd ed., Pearson Education Ltd., 2000
[3] R.F.Casten Nuclear Structures from a Simple Perspective, 2nd ed, Oxford
Science Publications, 2000
[4] N.K.Glendenning, Direct Nuclear Reactions, 2nd ed., World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 2004
[5] K.L.G.Heyde, The Nuclear Shell Model, Springer-Verlag, 1990
[6] Glenn F.Knoll, Radiation Detection and Measurement, third ed., John Wiley
& Sons,Inc., 1999
[7] K.S.Krane, Introductory Nuclear Physics, 2nd ed., John Wiley & Sons,Inc.,
1988
[8] J.B.Marion and F.C.Young, Nuclear Reaction Analysis - Graphs and Tables
North-Holland Publishing Company, 1968
[9] P.Ring en P.Schuck, The Nuclear Many-Body-Problem, Springer-Verlag, 1980
[10] G.R.Satchler, Introduction to Nuclear Reactions, 2nd ed., The Macmillan Press
LTD., 1990
[11] G.R.Satchler, Direct Nuclear Reactions, Clarendon Press Oxford. 1983
[12] R.Chapman, Nuclear Reactions Lesmateriaal, University of the West of Scotland UWS, 2008
[13] S.J.Freeman, Direct Nuclear Reactions Lesmateriaal, Seventh Summer School
on Exotic Beam Physics, ATLAS Accelerator Facility Argonne Naional Laboratory, August 4-9, 2008
[14] S.Goriely, Theory of Nucleosynthesis Lesmateriaal, Universit Libre de Bruxelles (ULB), 2008
[15] K.Wimmer, MINIBALL Workshop, december 2008
81
BIBLIOGRAFIE
82
[16] J.Diriken, Coulombexcitatiemeting va neutronrijke koperisotopen, Licenciaatsthesis, K.U.Leuven - Instituut voor Kern- en Stralingsfysica, 2007
[17] S.J.Freeman, The single-particle basis of the isovector M1 mode in rare-earth
nuclei PhD thesis, Victoria University of Manchester, 1990
[18] M.Hyland, The measurment of neutron orbit sizes from the study of subcoulomb (t,d) reaction PhD thesis, Victoria University of Manchester, 1977
[19] D.Pauwels, Nuclear structure around Z=28 and N=40 investigated by β decay
of Fe, Co and Ni isotopes. PhD thesis, K.U.Leuven - Instituut voor Kern- en
Stralingsfysica, 2009
[20] J.Van de Walle, Coulomb excitation of neutron rich Zn isotopes PhD thesis,
K.U.Leuven - Instituut voor Kern- en Stralingsfysica, 2006
[21] Prof. Robert Chapman, University of the West of Scotland UWS, persoonlijke
communicatie, 2008
[22] Jan Diriken, K.U.Leuven - Instituut voor Kern- en Stralingsfysica, persoonlijke
communicatie, 2009
[23] Catkin 2.02, http://personal.ph.surrey.ac.uk/˜phs1wc/kinematics/index.html
, 2004
[24] Conversion, kinematics code, Dr. Riccardo Orlandi, University of the West
of Scotland UWS, 2008
[25] DWUCK4, Distorted Wave Born Approximation, Zero Range Code, vrij te
downloaden van http://spot.colorado.edu/˜kunz/Home.html, 2008
[26] GEANT4 Geant4 - A Simulation Toolkit, S. Agostinelli et al., Nuclear Instruments and Methods A 506, 250-303, 2003
[27] Root R.Brun en F.Rademakers, ROOT - An Object Oriented Data Analysis
Framework, Proceedings AIHENP’96 Workshop, Lausanne, Sep. 1996, Nucl.
Inst. Meth. in Phys. Res. A 389, 81, 1997 .
c
[28] SRIM 2008.03 1984,1989,1998,2003,2006
by J.F.Ziegler, M.D.Ziegler,
J.P.Biersack (SRIM.com), 2008
[29] H.B.Burrows, W.M.Gibson and J.Rotblat, Phys. Rev. 50, 1095, 1950
[30] N.Bree et al., Physical Review C 78, 047301, 2008
[31] R. Catherall et al., Nucl. Instr. Meth., 204, 235, 2003
[32] W.R.Coker et al., Phys. Rev. C 4, 836, 1971
[33] N.A.Detorie, Phys. Rev. C 18, 991, 1978
[34] V.N. Fedosseev et al., Nucl. Instr. and Meth B 266, 4378, 2008
BIBLIOGRAFIE
83
[35] S.Fernbach, Rev. Mod. Phys. 30, 414, 1958
[36] M.Giroud et al., Phys. Rev. C 37, 2600, 1988
[37] D.Habs et al., Hyperfine Interactions, 127, 409, 2000
[38] E.C.Halbert et al., Nucl. Phys. 50, 353, 1964
[39] K.Haravu et al., Phys. Rev. C 1, 938, 1970
[40] R.G.Helmer, Nuclear Data Sheets 95, 543, 2002
[41] L.L.Lee,Jr. and J.P.Schiffer, Phys. Rev. Lett., 12, 108, 1963
[42] J.M.Lohr and W.Haeberli, Nucl. Phys. A 232, 381, 1974
[43] R. Lutter, MINIBALL Colaboration Report, 2004
[44] F.G.Perey, Phys. Rev. 131, 745, 1963
[45] C.M.Perey and F.G.Perey, Atomic Data and Nuclear Data Tables 17, 1-101,
1976
[46] V.S.Prokopeno, V.V.Tokabevskii and V.N.Shcherbin, Bull. ACAD. SC. USSR
34, 116, 1970
[47] S.Rahaman et al. Eur. Phys. J. A34:5, 2007
[48] J.Rapaport and A.K.Kerman, Nuclear Physics A119, 641-657, 1968
[49] O.Sorlin en M.G.Porquet Prog. Part. Nucl. Phys. 61:602, 2008
[50] R.Torti and R.Graetzer, Nucl. Phys. A 171, 305, 1971
[51] Y.Uozumi et al., Phys. Rev. C 50, 263, 1993
[52] The Isotopes Project Home Page - Berkeley Lab http://ie.lbl.gov/ , november
2008
[53] CERN, the European Organization for Nuclear Research Home Page http://public.web.cern.ch/public/Welcome.html, mei 2009

katholieke universiteit leuven - Departement Natuurkunde en

Related documents

Products

Support

katholieke universiteit leuven - Departement Natuurkunde en

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib