WPO Functionaalanalyse I Inleiding tot Hilbertruimten

1
Vrije Universiteit Brussel
Academiejaar 2006-2007
Prof. Dr. E. Jespers Dr. G. Sonck
WPO Functionaalanalyse I
Inleiding tot Hilbertruimten
P
−n
1. Toon aan dat f : C∞ → C∞ : (xn )n 7→ ( ∞
xn , 0, 0, 0, · · · ) een begrensde lineaire
n=0 3
∞
N
operator is als de vectorruimtep
CP = {(an )n ∈ C | {n ∈ N | an 6= 0} is eindig} voorzien
∞
2
wordt van de norm k(an )n k =
n=0 |an | .
2. (a) Is c0 = {(an )n ∈ CN | limn→∞ an = 0} met k(an )n k = supn∈N |an | een Banachruimte?
pP∞
2
(b) Is C∞ = {(an )n ∈ CN | {n ∈ N | an 6= 0} is eindig} met k(an )n k =
n=0 |an | een
Banachruimte?
(c) Is C∞ = {(an )n ∈ CN | {n ∈ N | an 6= 0} is eindig} met k(an )n k = supn∈N |an | een
Banachruimte?
3. Zij M een gesloten deelruimte van een genormeerde ruimte (X, k k) en zij R de relatie op
X gedefinieerd als volgt:
xRy als en slechts als x − y ∈ M.
(a) Toon aan dat R een equivalentierelatie is.
(b) Toon dat de quotiëntverzameling X/M = {[x] | x ∈ X} een vectorruimte is voor de
bewerkingen
[x] + [y] = [x + y] en α[x] = [αx]
(x, y ∈ X, α ∈ K). Merk op dat in algebra deze verzameling niets anders is dan de
quotiëntruimte X/M .
(c) Toon aan dat k[x]kq = inf m∈M kx − mk een norm definieert op X/M .
(d) Indien (X, k k) een Banachruimte is, bewijs dat ook (X/M, k kq ) een Banachruimte
is.
(e) In het geval waar (X, k k) = (C([0, 1]), k k∞ ) en M = {f ∈ X | f (0) = 0} bewijs
dat (X/M, k kq ) als genormeerde ruimte isomorf is met C.
qR
3
(1 + x)(f (x))2 dx
4. Onderzoek welke van de normen k k∞ , k k2 en k kw (met kf kw =
0
op C([0, 3], R) equivalent zijn.
5. Bewijs dat voor een lineaire afbeelding f : X → Y tussen genormeerde ruimten de
volgende voorwaarden equivalent zijn:
(a) f is begrensd,
(b) f is Lipschitz,
2
(c) f is uniform continu.
6. Onderzoek de continuı̈teit van de lineaire vorm
ω : C([0, 3], R) → R : f 7→ f (0)
in het geval waar C([0, 3], R) voorzien wordt van de norm k k∞ , en nadien in het geval
waar C([0, 3], R) voorzien wordt van de norm k k2 .
7. Onderzoek welk van de volgende genormeerde ruimten separabel zijn:
(a) c0
(b) C∞
(c) `∞
8. Bewijs dat het parallellepipedum
P = {(xn )n ∈ `2 ; ∀n ∈ N : |xn | < 1}
een open verzameling is in de Banachruimte `2 .
9. Beschouw de reële vectorruimte V = {f : [0, 1] → R; f is Lipschitz } met puntsgewijs
gedefinieerde optelling en scalaire vermenigvuldiging.
(y)|
; x, y ∈ [0, 1], x6=y} dat kf k = l(f ) + kf k∞ en |||f ||| =
(a) Toon, met l(f ) =sup{ |f (x)−f
|x−y|
l(f ) + |f (0)| twee normen zijn op V . Toon dat beide normen equivalent zijn.
(b) Vind een lineaire afbeelding φ : V → R zodat φ : (V, k k∞ ) → R continu is maar
φ : (V, k k2 ) → R niet continu. Besluit dat k k∞ en k k2 niet equivalent zijn.
1
(c) Stel, voor n ∈ N \ {0, 1}, fn : [0, 1] → R : x 7→ xn en toon met x = ( 12 ) n−1 en y = 1
n (y)|
dat |fn (x)−f
> n2 . Leid af dat k k en k k∞ niet equivalent zijn.
|x−y|
10. Is de lineaire vorm ω : (CC ([0, 1]), k k∞ ) → R : f 7→
R1
0
f begrensd?
11. Neem een vast element v van de genormeerde ruimte (CC ([0, 1]), k k∞ ) en beschouw de
afbeelding A : (CC ([0, 1]), k k∞ ) → (CC ([0, 1]), k k∞ ) : f 7→ f v. Toon dat A een lineaire
operator is en bepaal de operatornorm kAk.
12. (a) Als (an )n ∈ `1 , toon dat
f(an )n : c0 → C : (xn )n 7→
∞
X
an x n
n=0
behoort tot c∗0 . Bereken kf(an )n k.
(b) Bewijs dat de genormeerde ruimten c∗0 en `1 isomorf zijn.
13. Toon dat de metrische ruimte (C([0, 1], R+ ), d∞ ) (isomorf is met) de completie is van de
metrische ruimte (C([0, 1], R+
0 ), d∞ ).
3
R1
14. Definieert < f, g >= −1 f (x)g(x)dx een inproduct op de vectorruimte R([−1, 1]) der
regelfuncties [−1, 1] → R?
15. Ga na of
Z
1
< f, g >=
t2 f (t)g(t)dt
−1
een inproduct definieert op C([−1, 1], C). Beantwoord dezelfde vraag voor
Z 1
t2 f (t)g(t)dt.
< f, g >=
0
16. Laat zien dat door
Z
< f, g >=
1
(f (t)g(t) + f 0 (t)g 0 (t)dt
0
een inproduct op de ruimte der continu differentieerbare functies [0, 1] → R gedefinieerd
is.
R1
17. Beschouw de pre-Hilbertruimte CR ([0, 1]) met inproduct < f, g >= 0 f (x)g(x)dx. Toon
dat {f ∈ CR ([0, 1]) | f (0) = 0} een deelruimte is, die niet gesloten is.
18. In de Hilbertruimte `2P
, bepaal de norm van de vectoren (an )n en (bn )n als an = (n2 +n)−1/2
2−n
−1/2
en bn = 2−n . Besluit ∞
.
n=1 (n2 +n)1/2 < 3
19. Ga in de Hilbertruimte `2 na welke van de volgende deelverzamelingen gesloten zijn:
(a) {(an )n∈N ; a1 = a2 = a3 }
(b) {(an )n∈N ; |a1 | ≤ 1, |a2 | ≤ 1}
(c) {(an )n∈N ; |a1 | ≤ 1, |a2 | < 1}
20. Voor welke waarden van λ, µ wordt
(Z
1
(ex − (λx + µ))2 dx
min
)
1/2
| λ, µ ∈ R
−1
bereikt?
21. Beschouw in de Banachruimte (R2 , k kM ) de gesloten en convexe deelverzameling G =
{(x, y) ∈ R2 | x ≥ 1}. Bestaat er een unieke (x, y) ∈ G zodat k(x, y) − (0, 0)kM =
inf{k(x0 , y 0 ) − (0, 0)kM | (x0 , y 0 ) ∈ G}? Waarom kan de approximatiestelling niet worden
toegepast?
22. Beschouw de Euclidische vectorruimte R2 met norm k(x1 , x2 )k = |x1 | + |x2 |.
(a) Toon dat de minimale afstand van de oorsprong tot de rechte x1 + x2 = 1 gelijk is
aan 1.
(b) Bepaal alle punten op de rechte x1 +x2 = 1 die op afstand 1 liggen van de oorsprong.
4
(c) Laat zien dat de norm k(x1 , x2 )k = |x1 | + |x2 | niet afgeleid is uit een inproduct op
R2 .
23. Beschouw de verzameling W van functies [0, 1] → R die continu zijn behalve in een
eindige verzameling van punten en die in elk punt a van [0, 1] een bestaande linker- en
rechterlimiet fl (a) en fr (a) hebben zodat f (a) = 21 (fl (a) + fr (a)).
(a) Toon dat door
1
Z
f (x)g(x)dx
< f, g >=
0
een Euclidisch inproduct definieert op W .
(b) Toon dat C([0, 1], R) dicht is in W .
Beschouw nu voor elke n ∈ N de verzameling Wm van functies [0, 1] → R die constant
zijn op elk van de open intervallen ] 2kn , k+1
[ voor k = 0, 1, ..., 2n − 1.
2n
(a) Bewijs dat voor elke n ∈ N, Wn een deelruimte is van W en dat Wn dimensie 2n
heeft.
S
(b) Bewijs dat W := ∞
n=0 Wn een deelruimte is van V .
(c) Bewijs dat W dicht is in de pre-Hilbertruimte V .
24. Bepaal (C(∞) )⊥ en C(∞) ⊕ (C(∞) )⊥ in `2 .
25. Neem gesloten deelruimten F en G van een Hilbertruimte H. Toon:
(a) F ⊆ G als en slechts als pG ◦ pF = pF .
(b) als F ⊆ G, dan pF (G⊥ ) = {0} en pF ◦ pG = pF .
26. Zij H een Hilbertruimte en V ⊆ H. Bewijs de volgende eigenschappen:
(a) V ⊥⊥ is kleinste gesloten deelruimte van H die V omvat.
(b) als V een deelruimte is van H, dan is V = V ⊥⊥ .
27. Beschouw twee complexe Hibertruimten H1 en H2 , een orthonormale verzameling {e1 , e2 , ..., en }
in H1 , een orthonormale verzameling {b1 , b2 , ..., bn } in H2 en getallen λ1 , λ2 ,...,λn in C.
Bewijs dat
n
X
sup k
λi bi < x, ei > k = max |λi |.
x∈H1 ,kxk≤1
1≤i≤n
i=1
28. Beschouw de ruimten van reële rijen
H = {(xn )n≥1 ∈ RN |
∞
X
x2n is convergent}
n=1
E = {(xn )n≥1 ∈ R | {n ∈ N | xn 6= 0} is eindig}
∞
X
xn
K = {(xn )n≥1 ∈ E |
= 0}
n
n=1
N
5
met inproduct < (xn )n , (yn )n >=
uitspraken:
(a) E
H
P∞
n=1
xn yn . Onderzoek de waarheid van de volgende
= E,
(b) H = E ⊕ E ⊥H ,
E
(c) K = K,
(d) E = K ⊕ K ⊥E ,
(e) K
H
= K,
(f) H = K ⊕ K ⊥H .
29. Zij M een deelverzameling van een pre-Hilbertruimte E. Toon aan dat M ∩ M ⊥ ⊆ {0}
en dat de gelijkheid geldt als en slechts als 0 ∈ M .
30. Een deelverzameling H van een pre-Hilbertruimte E heet invariant voor f ∈ B(E) als
f (H) ⊆ H. Zij E een Hilbertruimte en H ≤ E zodat H = H. Veronderstel f ∈ B(E).
Toon aan dat H invariant is voor f als en slechts als pH f pH = f pH .
31. (a) Toon aan dat de som van twee volledige orthogonale deelruimten van een preHilbertruimte volledig is.
(b) Beschouw de rijen (e2n )n≥1 en (e2n+1 )n≥0 in `2 , waar (en )n≥1 de gewone orthonormale
basis is van `2 . Stel
1
1
e2n + sin e2n+1 ,
n
n
= vect{e2n | n ≥ 1}
= {zn | n ≥ 1}
zn = cos
G1
G2
P∞
sin n1 e2n+1 en bewijs dat G1 + G2 niet gesloten is in `2 .
R1
32. Beschouw in de pre-Hilbertruimte H = C([0, 1], R) met inproduct hf, gi = 0 f (x)g(x)dx
de deelruimte V = {f ∈ C([0, 1], R); f (0) = 0}.
Beschouw
n≥1
(a) Toon dat V een deelruimte is van H die niet gesloten is.
(b) Neem f ∈ H en beschouw voor elke n ∈ N0 de functie

 xnf ( n1 ) 0 ≤ x ≤ n1
fn : [0, 1] → R : x 7→

1
f (x)
≤x≤1
n
Toon dat (fn )n → f in H.
(c) Bepaal V ⊥ , V ⊕ V ⊥ en V in H.
(d) Is V volledig?
33. Van een lineaire functionaal ϕ op de Hilbertruimte `2 wordt gegeven dat het orthogonaal complement van Kerϕ opgespannen wordt door de vector (1, 0, 0, i, 0, 0, ...) en dat
ϕ((1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, ...)) = 2.
6
(a) Bepaal de projectie van (1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, ...) op (1, 0, 0, i, 0, 0, ...).
(b) Vind y ∈ `2 zodat voor alle x ∈ `2 geldt ϕ(x) =< y, x >.
34. Beschouw de lineaire operator f : `2 → `2 met
xm/2
(f ((xn )n≥0 ))m =
0
als m even
als m oneven
Toon aan dat f begrensd is en bereken de norm. Is het beeld van f gesloten?
35. Zij F een volledige deelruimte van een pre-Hilbertruimte H. Toon dat voor elke x0 ∈ H,
inf kx − x0 k =
x∈F
| < x0 , y > |.
sup
y∈F ⊥ ,kyk=1
36. In reële `2 , beschouw het deel
ψ = {(xn )n≥1 |
∞
X
x2n n2 ≤ 1}.
n=1
Toon aan:
(a) ψ is totaal,
(b) ψ is convex,
(c) ψ heeft leeg inwendige.
37. Beschouw de reële vectorruimte
C∞ = (xn )n≥0 ∈ RN ; ∃n0
als deelruimte van de Hilbertruimte
(
`2 =
(xn )n≥0 ∈ RN ;
∀n ≥ n0
∞
X
xn = 0 .
)
x2n < ∞
n=1
met inproduct < (xn )n , (yn )n >=
P
n
1
)n≥0 .
xn yn (en afgeleide norm k k2 ) en stel x = ( n+1
(a) Bereken inf{kx − y 0 k2 ; y 0 ∈ V }.
(b) Bestaat er een unieke y ∈ V zodat kx − yk2 = inf{kx − y 0 k2 ; y 0 ∈ V }?
(c) Is V volledig voor k k2 ?
(d) Zijn de normen k k∞ en k k2 equivalent op V ?
38. Zij P een pre-Hilbertruimte.
(a) Toon dat de afbeelding
∗ : P → P ∗ : y 7→ y ∗ =< −, y >
een geconjugeerde isometrie is.
7
(b) Bewijs dat ∗ surjectief is als en slechts P een Hilbertruimte is.
In de pre-Hilbertruimte P = C([−1, 1], R) met inproduct < f, g >=
dat ϕ ∈ P ∗ \ Im∗ met
Z
R1
−1
f (x)g(x)dx, toon
1
ϕ : P → R : f 7→
f (x)dx.
0
39. Definieer de lineaire functionaal ϕ op L2 ([0, 1], C) door
Z 1
2
ϕ(f ) =
if.
0
2
(a) Vind g ∈ L ([0, 1], C) zodat voor alle f ∈ L2 ([0, 1], C) geldt ϕ(f ) =< f, g >.
(b) Bepaal kϕk.
40. (a) Zij f 6= 0 een lineaire vorm op een K-vectorruimte V . Vind y ∈ V zodat voor elke
x ∈ V er een unieke λ ∈ K en z ∈ ker f bestaan met x = λy + z. Is y uniek? Is
vect{y} uniek? Als M ≤ V zodat M 6= {0} en M ∩ ker f = {0}, bewijs dan dat M
één dimensionaal is en, voor alle x ∈ V bestaat unieke y ∈ M en z ∈ ker f zodat
x = y + z.
(b) Zij P een pre-Hilbertruimte. Bewijs de equivalentie van volgende uitspraken:
i. Voor elke gesloten deelruimte F van P geldt F ⊥⊥ = F
ii. P is een Hilbertruimte.
41. Gebruik de Legendre-veeltermen om
Z 1
min
|x3 − a − bx − cx2 |2 dx
a,b,c∈C
−1
te bepalen.
42. RBeschouw in de complexe prehilbertruimte H = C([0, 1], C) met inproduct < f, g >=
1
f (x)g(x)dx de deelruimte
0
V = {f ∈ C([0, 1], C); f (0) = f (1)}.
(a) Bepaal V ⊥ en V .
(b) Bestaat er A ∈ H ∗ zodat V = kerA?
Benadering door convolutie
1. Beschouw de functies f, g : R → R met
cos x
|x| ≤ π/2
f (x) =
0
|x| ≥ π/2
en
g(x) = (f (x))2 .
Zij f en g continu (afleidbaar)? Bereken kf k1 en kgk1 . Stel h = f ∗ g en toon aan: h is
afleidbaar, h ≥ 0, h is even, khk1 = π. Ga na dat h(x) = 31 (1 + cos x)2 (|x| ≤ π)
8
2. (a) Bereken voor n ∈ N0
Z
∞
e−n|x| dx.
cn =
−∞
(b) Controleer dat de rij (un )n≥1 , met un (x) =
1 −n|x|
e
cn
een Dirac rij is.
(c) Indien g : R → R : x 7→ sin x, bereken un ∗ g en onderzoek of de rij (un ∗ f )n op R
uniform convergeert naar de functie f op een compacte deelverzameling S van R.
R∞
3. Zij K : R → R een continue functie met K ≥ 0 en −∞ K(t)dt = 1. Bewijs dat door
Kn (t) = tK(nt) een Dirac-rij (Kn )n gedefinieerd wordt.
4. Bestaat er een veelterm p(x) zodat
(a) |p(x) − x1/3 | < 10−1 , voor alle x ∈ [−1, 2],
(b) |p(x) −
[x]
|
6
< 10−1 , voor alle x ∈ [e, π],
(c) |p(x) − cos x1 | < 10−1 , voor alle x ∈ (0, 1]?
5. Stel P0 = 0 en definieer voor n = 0, 1, 2, 3, ...
Pn+1 (x) = Pn (x) +
x2 − Pn2 (x)
.
2
Bewijs dat de rij (Pn )n uniform naar |x| convergeert op [−1, 1].
6. Zij [a, b] een interval van R en f : [a, b] → R een continue functie. Toon dat er een rij
polynomen (pn )n bestaat welke uniform convergeert naar f op [a, b] en welke voldoet aan
pn (a) = f (a) voor elke n.
7. Beschouw de rij (fn )n∈Z met fn (x) = einx in de complexe preHilbertruimte V = C ∞ ([−π, π], C).
Bewijs dat A = {fn | n ∈ Z} begrensd is. Als (xn )n een rij is in A, toon dat volgende
eigenschappen equivalent zijn:
(a) (xn )n is een Cauchy rij,
(b) (xn )n is uiteindelijk constant,
(c) (xn )n convergeert in V ,
(d) (xn )n convergeert in A.
8. Bewijs voor alle f ∈ L2 (T ) dat
Z π
X
|f |2 = 2π|a0 |2 + π
(|an |2 + |bn |2 ).)
−π
9. Bewijs dat
n>0
∞
X
n=0
2−n cos(nx) =
4 − 2 cos x
5 − 4 cos x
voor alle x ∈ R. Laat zien dat de reeks in het linkerlid de trigonometrische Fourierreeks
is van de functie in het rechterlid.
9
10. Bepaal de Fourierreeks van de enige 2π-periodieke, oneven functie f : R → R met f (0) =
f (π) = 0, f (x) = 1 voor 0 < x < π. Bereken de som van de reeks 1 − 31 + 51 − 17 + · · ·
11. Bepaal de Fourierreeks van de enige 2π-periodieke, oneven functie f : R → R met f (x) =
x voor 0 ≤ x < π. Pas de stelling van Parseval toe om te besluiten dat
∞
X
1
π2
.
=
n2
6
n=1
12. Zij f :] − π, π] → R gedefinieerd door
0
f (x) =
x
als − π < x ≤ 0
als 0 < x ≤ π
Bepaal de Fourierreeks van dePfunctie R → R die een periodische uitbreiding is van f .
1
Bereken de som van de reeks ∞
n=1 (2n−1)2 .
13. Zij f een stuksgewijs continue en periodische functie (van periode 2π). Onderstel dat in
een zeker punt x voor de functie f de linkerlimiet
f (x−) =
lim f (x + h)
h→0,h<0
en de rechterlimiet
f (x+) =
lim f (x + h)
h→0,h>0
bestaan. Bewijs dat de Fourierreeks van f in x convergeert naar
Avf (x) =
14. Stel
f (x−) + f (x+)
.
2
f : R → R : x 7→
1
0
als x ∈] − 12 , 12 [
als x ∈]
/ − 12 , 12 [
(a) Bereken het convolutieproduct f ∗ f .
(b) Bepaal de Fourierreeks van de enige 2π-periodieke functie g : R → R met g|[−π,π[ =
(f ∗ f )|[−π,π[ .
P
P∞ sin4 ( n2 )
)
sin2 ( n
2
(c) Bepaal de reekssommen ∞
en
.
2
n=1
n=1
n
n4
P∞ 1
π2
15. Gebruik makend van de gelijkheid
n=1 n2 = 6 en van de Fourierreeks van de 2πperiodieke functie f : R → C gedefinieerd door

 0 −π < x ≤ 0
f (x) =

x 0<x≤π
bewijs dat
∞
X
n=1
1
π4
=
.
(2n − 1)4
96
10
16. De Fourierreeks van de periodische uitgebreide functie van f bepaald door
f (x) = x voor − π < x < π
is
∞
X
2
(−1)n+1 sin x.
n
n=1
Deze reeks convergeert naar x voor elke x ∈ (−π, π). Ga na dat de reeks die ontstaat
door de vorige Fourierreeks term per term af te leiden, divergeert voor elke x ∈] − π, π[.
17. Zij a > 0 en
f (x) = 2a
2
∞
X
(−1)n cos nx
n 2 + a2
n=1
.
(a) Toon dat door f (x) een continue en 2π-periodieke functie f : R → R gedefinieerd
wordt.
(b) Wat is de Fourierreeks van f ?
(c) Toon, voor x ∈ R \ { π2 + 2kπ; k ∈ Z}, en voor elke n ∈ N0
n
X
x
k+1
(−1)
k=1
1
ei 2 + (−1)(n+1) eix(n+ 2 )
sin kx = im(
)
2 cos x2
(d) Toon dat f afleidbaar is voor elke x ∈] − π, π[.
(e) Toon, door gebruik te maken van de Fourieerreks van de 2π-periodieke functie met
waarde x voor x ∈] − π, π[, dat voor x ∈] − π, π[
0
2
f (x) − a x = 2a
4
∞
X
(−1)n sin nx
n=1
n(n2 + a2 )
.
(f) Toon dat f twee maal differentieerbaar is op [−π, π[ en vind een tweede orde differentiaalvergelijking waaraan f voldoet op ]π, π[. Leid hieruit af dat voor x ∈ [−π, π]
f (x) = C1 eax + C2 e−ax − 1.
Bepaal de constanten C1 en C2 .
18. Gebruik de Fourierreeks van ex op [−π, π[ om te tonen dat
(πcothπ − 1)/2 =
∞
X
n=1
19. Is de reeks
de Fourierreeks van een f ∈ L2 (T )?
∞
X
sin nx
√
n
n=1
n2
1
.
+1
11
Hermitische operatoren
1. (a) Toon dat C([a, b], C) niet volledig is voor het inproduct < f, g >=
Rb
a
f (x)g(x)dx.
2
(b) Geef een definitie van de integraal op L ([a, b], C) gebruik makend van de extensiestelling 2.4.5.
Rx
2. Voor f ∈ L2 ([0, 1], C), stel F : [0, 1] → C : x 7→ 0 f .
√
(a) Als 0 ≤ x0 ≤ x1 ≤ 1, toon dan dat |F (x1 ) − F (x0 )| ≤ kf k2 x1 − x0 . Bijgevolg is F
(uniform) continu.
(b) Toon dat F niet noodzakelijk afleidbaar is.
3. Kan elke reële (resp. complexe) vectorruimte V uitgerust worden met een inproduct zodat
V een reële (resp. complexe) Hilbertruimte wordt?
4. Zij (en )n een totale orthonormale rij in een Hilbertruimte H en (λn )n een begrensde rij
in C. Stel, voor x ∈ H,
X
f (x) =
λn < x, en > en .
(a) Toon dat f goed gedefinieerd is
(b) Toon dat f ∈ B(H)
(c) Bereken kf k
(d) Vind nodige en voldoende voorwaarden op (λn )n opdat f inverteerbaar is. Bepaal
in dat geval kf −1 k. Bepaal Spec(f ).
5. Beschouw de operatoren
S : `2 → `2 : (x1 , x2 , · · · ) 7→ (0, x1 , x2 , · · · )
en
S ∗ : `2 → `2 : (x1 , x2 , · · · ) 7→ (x2 , x3 , · · · )
(a) Toon dat S ∗ de adjunctafbeelding is van S.
(b) Zijn S, S ∗ , SS ∗ , S ∗ S inverteerbaar?
6. Beschouw een Hilbertruimte H met vectoren a en b en de lineaire afbeelding A : H → H
gedefinieerd door A(x) =< a, x > b. Bepaal Spec(A).
7. Zij f : V → V een lineaire operator op een preHilbertruimte V en 0 6= x ∈ V . Toon aan
dat x een eigenvector van f is als en slechts als | < f (x), x > | = kf (x)k kxk.
8. Beschouw
f :C
(∞)
→C
(∞)
∞
X
: (x1 , x2 , · · · ) 7→ (
3−n xn , 0, 0, · · · )
n=1
(a) Ga na dat f goed gedefinieerd en lineair is.
12
(b) Bewijs dat f begrensd is en dat kf k ≤ (1/8)1/2 .
(c) Bestaat er een operator
g : C(∞) → C(∞)
zodat
< f (x), y >=< x, g(y) >
voor alle x, y ∈ C(∞) ?
9. Zij H een Hilbertruimte en f ∈ B(H) een operator met eendimensionaal beeld. Toon dat
er vectoren y, z ∈ H bestaan zodat f (x) =< x, z > y voor alle x ∈ H. Toon verder:
(a) f ∗ (x) =< x, y > z voor alle x ∈ H,
(b) f 2 = λf met λ ∈ R,
(c) kf k = kykkzk,
(d) f ∗ = f als en slechts als y = αz voor een reëel getal α.
10. Beschouw de lineaire operator
f : `2 → `2 : (x1 , x2 , · · · ) 7→ (
x1 x2
xn
, ,··· , n,···)
2 4
2
(a) Bereken de norm van f .
(b) Toon dat Im(f ) dicht is in `2 .
(c) Toon dat f hermitisch is.
(d) Bepaal de eigenwaarden en -vectoren van f .
(e) Bepaal Spec(f ).
11. Toon dat
f : `2 → `2 : (x1 , x2 , · · · ) 7→ (x1 +
x1
x1
x1
, x2 + 2 , · · · , xn + n , · · · )
2
2
2
een begrensde, lineaire operator is op `2 . Bepaal de adjunctoperator f ∗ . Is f hermitisch?
Bepaal de eigenwaarden en het spectrum van f .
12. Toon dat
√
√
f : `2R → `2R : (x1 , · · · , xn , · · · ) 7→ ( 1x1 , 2x2 , · · · , (n)1/n xn , · · · )
een begrensde lineaire operator is en bepaal kf k. Onderzoek of f inverteerbaar is en, zo
ja, bepaal kf −1 k. Bepaal f ∗ . Is f hermitisch?
13. Zij H een Hilbertruimte.
Voor elke y, z ∈ H definiëren we de lineaire operator
fy,z : H → H : x 7→< x, z > y.
Toon voor elke y, z ∈ H:
13
(a) (fy,z )∗ (x) =< x, y > z voor elke x ∈ H,
(b) er bestaat λ ∈ C zodat fy,z ◦ fy,z = λfy,z ,
(c) kfy,z k = kykkzk,
(d) fy,z is hermitisch als en slechts als z = 0 of y = αz voor een reëel getal α.
Toon verder dat voor f ∈ B(H) volgende voorwaarden equivalent zijn:
(a) dimf (H) ≤ 1,
(b) ∃y, z ∈ H : f = fy,z .
(Als dimf (H) = 1, kies y ∈ f (H) met kyk = 1 en pas de stelling van Riesz toe op de
lineaire vorm H → C : v 7→< f (v), y >)
14. Indien f en g twee positieve operatoren zijn op een Hilbertruimte H met f + g = 0. Toon
dat f = g = 0.
15. Als k : [a, b] × [a, b] → C continu is, hoe kan je de geassocieerde Fredholmoperator
K : L2 ([a, b], C) → L2 ([a, b], C) zien als klasse van een Cauchyrij uit C([a, b], C)?
16. Onderzoek of de Fredholm-operatoren
K : L2 ([−π, π], C) → L2 ([−π, π], C)
gedefinieerd door
Z
π
k(x, y)f (y)dy
K(f )(x) =
−π
met respectievelijke kernen k(x, y) = cos(x − y) en k(x, y) = x + y positieve operatoren
zijn.
17. Beschouw drie projectie-operatoren p1 , p2 en p3 op een Hilbertruimte H. Onderstel dat
p1 + p2 + p3 = 1 en dat pi pj = 0 als i 6= j en definieer de lineaire begrensde operator
f = 2p1 + 3p2 + 5p3 .
(a) Bewijs dat f injectief is.
(b) Vind, gegeven y ∈ H, x ∈ H met f (x) = y.
(c) Bepaal de eigenwaarden en de bijhorende eigenruimten van f .
(d) Bepaal Spec(f ).
18. Zijn pG1 en pG2 projectie-operatoren op een Hilbertruimte H. Bewijs
(a) pG1 en pG2 zijn orthogonaal als en slechts als G1 ⊥ G2 .
(b) pG1 + pG2 is een projectie-operator als en slechts als pG1 en pG2 orthogonaal zijn. In
dat geval pG1 + pG2 = pG1 ⊕G2 .
(c) pG1 pG2 is een projectie-operator als en slechts als pG1 en pG2 commuteren. In dat
geval pG1 pG2 = pG1 ∩G2 .
14
19. Onderzoek of de operatoren uit Oefeningen 10 en 11 compact zijn.
20. Indien E, F, G, H genormeerde ruimten zijn, f ∈ B(E, F ), g ∈ B(F, G), h ∈ B(G, H) met
g compact, dan is hgf compact.
21. Beschouw de genormeerde ruimte c0 = {(an )n ∈ CN ; limn→∞ an = 0} met de norm
k(an )n k = supn |an | en de lineaire operator
an
.
A : c0 → c0 : (an )n 7→
log(n + 2) n
(a) Bepaal de operatornorm kAk.
(b) Bepaal de eigenwaarden van A.
(c) Bepaal SpecA.
(d) Is A compact?
22. Beschouw de lineaire operator
f : l2 → l2 : (xn )n≥1 7→ (
nn xn
)n≥1 .
(n + 1)n
(a) Bepaal de eigenwaarden en eigenvectoren van f , alsook Specf .
(b) Bepaal kf k.
(c) Bepaal µ ∈ C zodat f − µid compact is.
23. Toon dat voor een Hilbertruimte H en f ∈ B(H) volgende eigenschappen equivalent zijn:
(a) f is compact,
(b) f f ∗ is compact,
(c) f ∗ f is compact,
(d) f ∗ is compact.
24. Beschouw de functie
f : l2 → l2 : (x0 , x1 , ..., xn , ...) 7→ (x0 , 0, x1 , 0, x2 , 0, ...).
Toon dat f een begrensde, lineaire operator is en bereken de norm van f . Bereken de
adjunctafbeelding f ∗ van f . Is f hermitisch? Is f compact? Is het beeld van f gesloten?
Bepaal de eigenwaarden en het spectrum van f . Is f inverseerbaar? Is f een projectie?
Is f positief?
25. Stel
f : l2 → l2 : (x0 , x1 , ..., xn , ...) 7→ (0, λ0 x0 , λ1 x1 , ..., λn xn , ...)
waarbij (λn )n een rij complexe getallen is met (λn )n → 1.
(a) Toon dat f een begrensde, lineaire opeator is en bepaal de norm van f .
15
(b) Bepaal de operator f ∗ .
(c) Kan de rij (λn )n zo bepaald worden dat f hermitisch is?
(d) Kan de rij (λn )n zo bepaald worden dat 0 ∈ Spec(f ) maar zo dat 0 geen eigenwaarde
is van f ?
(e) Als 0 een eigenwaarde is van f , wat is dan de dimensie van de bijhorende eigendeelruimte?
(f) Toon dat f niet compact is.
26. Stel
f : `2 → `2 : (x0 , x1 , ..., xn , ...) 7→ (
x1 x2
xn
, 2 , ..., n , ...).
2 2
2
(a) Toon dat f compact is.
(b) Toon dat 0 de enige eigenwaarde is van f .
27. Zij f een compacte, hermitische operator op een Hilbertruimte H met ker(f ) = {0}. Toon
dat er een rij (fn )n van begrensde op H bestaat met de puntsgewijze convergentie
fn f → id en f fn → id.
28. Op de Hilbertruimte L2 ([0, 1], C), beschouw de operator A bepaald door
Z 1
Z x
(1 − y)f (y)dy.
yf (y)dy + x
A(f )(x) = (1 − x)
x
0
Indien f (x) = ex , bereken A(f ). Toon dat A een Fredholmoperator is en bepaal de kern.
Is A compact? Is A hermitisch? Is A inverteerbaar? Als f ∈ L2 ([0, 1], C), ga na dat A(f )
continu is, A(f )(0) = A(f )(1) = 0. Vind de eigenvectoren en -waarden van A, alsook
Spec(A). Indien
∞
X
f (x) =
βn sin nπx
n=1
2
in
L ([0, 1], C), bepaal A(f ), m.a.w. bepaal λn ∈ C en en ∈ L2 ([0, 1], C) zodat A(f ) =
P∞
n=1 λn < f, en > en .
29. Zij ϕ : [0, 1] → R een continue functie en A : L2 ([0, 1]) → L2 ([0, 1]) gedefinieerd door
Z 1
(Af )(x) = ϕ(x)
ϕ(t)f (t)dt.
0
(a) Toon dat A Hermitisch en positief is.
(b) Bewijs dat A een niet nulle projectie-operator is als en slechts als
R1
0
ϕ2 (t)dt = 1.
(c) Is A compact?
30. Beschouw voor elke α ∈ [0, 1] de operator Pα op L2 ([0, 1], C) gedefinieerd door
Pα (f ) = χα f
waar χα de indicatorfunctie van [0, α] is.
16
(a) Bewijs dat elke Pα een projectie-operator is.
(b) Bepaal Pα Pβ voor α, β ∈ [0, 1].
(c) Onderstel 0 ≤ α < β ≤ 1. Vind een projectie-operator Q zodat Pβ = Pα + Q.
31. Beschouw T : L2 ([−100, 100]) → L2 ([−100, 100]) gedefinieerd door

 f (x) als |x| < 1
T (f )(x) =

0
als |x| ≥ 1
(a) Toon dat T een lineaire operator is.
(b) Toon dat T een projectieoperator is.
(c) Bepaal de kern van T . Is kerT dicht in L2 ([−100, 100])?
(d) Beschouw de rij (fn )n≥1 in L2 ([−100, 100]) gedefinieerd door
 √
1
 n als |x| ≤ 2n
fn (x) =

1
0
als |x| > 2n
Voor f ∈ C([−100, 100], C), M = maxx∈[−100,100] |f (x)|, n > ( 23 M )2 , toon dat kfn −
f k ≥ 13 .
(e) Toon dat T niet compact is.
32. Indien f ∈ B(H) een projectie-operator is op een Hilbertruimte H, toon dan:
(a) 1 − f is een projectie-operator,
(b) g = 1 − 2f voldoet aan g ∗ g = 1,
(c) Im(f ) = ker(1 − f ).
33. Zij H een Hilbertruimte en f ∈ B(H). Toon aan dat g = 1 + f ∗ f ∈ B(H) injectief is. Is
g Hermitisch? Is g positief?
In het geval f : `2 → `2 : (x0 , x1 , · · · ) 7→ (0, x0 , x1 , x2 , · · · ), bepaal kgk, en de eigenwaarden
van g. Is g compact?
34. Beschouw f : `2 → `2 : (x0 , x1 , x2 , · · · ) 7→ (x0 , 0, x1 , 0, x2 , 0, · · · ). Toon dat f een begrensde operator is en bereken de norm van f . Bepaal de adjunctafbeelding f ∗ van f . Is
f Hermitisch? Is f compact? Is het beeld van f gesloten? Bepaal de eigenwaarden van
f . Is f inverteerbaar? Is f een projectie-operator? Is f positief?
35. Toon aan dat een projectie-operator op een gesloten deelruimte G van een Hilbertruimte
H een compacte operator is als en slechts als G eindigdimensionaal is.
36. Als H een Hilbertruimte is en f ∈ B(H), zeggen we dat f “unitair” is als f f ∗ = f ∗ f = IV
en dat f een isometrie is als < f (x), f (x) >=< x, x > voor elke x ∈ H.
Toon voor f ∈ B(H):
17
(a) Als f een surjectieve isometrie is, dan is f ∗ een isometrie.
(b) f is unitair als en slechts als f een bijectieve isometrie is.
37. Zij H een Hilbertruimte. Een operator f ∈ B(H) heet “normaal” indien f ∗ f = f f ∗ .
(a) Indien f ∈ B(H) normaal is, g ∈ B(H) inverteerbaar en f commuteert met g ∗ g,
toon dan dat gf g −1 normaal is.
(b) Indien f ∈ B(H) en g ∈ B(H) beide normaal zijn en f g ∗ = g ∗ f , toon dan dat f + g
en f g normaal zijn.
38. Als f hermitisch is en niet nul, toon f k 6= 0 voor elke k = 2l met l ∈ N0 . Besluit dat
f k 6= 0 voor elke k ∈ N.
39. Twee unitaire operatoren f en g op een Hilbertruimte H heten “unitair equivalent” als
er een unitaire operator h bestaat zodat f = hgh−1 . Indien f en g unitair equivalent zijn
en f is hermitisch, toon dan dat ook g hermitisch is.