Het ontstaan van kleuren aan een prisma verklaard

Het ontstaan van kleuren aan een prisma verklaard
met Goethes oerfenomenen
Pepe Veugelers
16-3-2001
Beelden en beeldruimte
Wanneer je werkelijk bij de waarnemingen blijft staan, kun je niet anders dan concluderen
dat het enige dat je aan lichtverschijnselen waarneemt, beelden zijn. Bij de verklaring van
optische verschijnselen wil ik daar vanuit gaan.
Een beeld is verbonden met het oppervlak van een voorwerp en bestaat uit lichtere en donkere
gebieden, die eventueel een kleur hebben. Ook aan bijvoorbeeld een lamp neem je niets
anders waar dan het beeld van de gloeispiraal die veel lichter is dan de achtergrond. Er is dus
geen sprake van een ‘lichtbron’ waar licht vandaan stroomt, noch moet een lamp anders
beschouwd worden dan een stukje papier met een lichter en een donkerder gedeelte.
Het beeld van een voorwerp is waarneembaar in de gehele ruimte eromheen. Het is verbonden
met het voorwerp en de ruimte rond een voorwerp maar neemt zelf geen ruimte in – het is niet
fysiek van karakter; je zou het eerder ‘imaginair’ kunnen noemen. Je zou kunnen zeggen dat
het beeld ‘gedragen’ wordt door de ruimte om een voorwerp. Deze ruimte wil ik
‘beeldruimte’ noemen.
Breking van een beeldruimte
In figuur 1 is weergegeven hoe de beeldruimte van een voorwerpspunt wordt ‘gebroken’ door
een overgang van een optisch dichter naar een optisch minder dicht medium. Geheel links in
de figuur is het voorwerp aangegeven dat bestaat uit een licht en een donker vlak. Het lichte
vlak is aangegeven met cirkeltjes, het donkere met kruisjes.
Figuur 1. Breking van segmenten van de beeldruimte van een
voorwerpspunt
Van één van de voorwerpspunten is een aantal segmenten van de beeldruimte weergegeven.
Te zien is hoe elk segment ‘gebroken’ wordt door de optische overgang die in het midden van
de figuur is aangegeven door een schuine lijn. Elk segment van de beeldruimte ná de optische
overgang lijkt uit een bepaald punt te ontspringen, het virtuele beeldpunt van het betreffende
voorwerpspunt. Het blijkt dat het virtuele beeld van één voorwerpspunt wordt ‘uitgesmeerd’
in de vorm van een boog.
1
De brekingshoek van de verschillende segmenten van de beeldruimte wordt in principe
bepaald door de wet van Snellius waarbij echter de complicatie optreedt, dat door de eindige
breedte van een segment niet precies vastgesteld kan worden wat de invalshoek ervan is. Dit
probleem kan worden opgelost door de segmenten oneindig smal te maken zoals weergegeven
in figuur 2. Wiskundig blijkt dat ook in dit limietgeval de virtuele beeldpunten eenduidig
vastliggen. De hierboven genoemde infinitesimaal smalle segmenten van de beeldruimte wil
ik kortweg ‘stralen’ noemen, uitdrukkelijk niet op te vatten als lichtstralen maar als infinitesimaal smalle kegelvormige delen van de beeldruimte. Merk op dat elke straal die uit een
virtueel beeldpunt ontspringt, raaklijn is aan de kromme die de virtuele beeldpunten van één
voorwerpspunt verbindt.
Figuur 2. Breking van infinitesimaal smalle segmenten van de
beeldruimte van een voorwerpspunt.
virtueel beeld
voorwerp
optische overgang
Figuur 3. De ‘uitgesmeerde’ virtuele beeldpunten van alle voorwerpspunten.
2
In figuur 3 zijn van alle weergegeven voorwerpspunten de ‘uitgesmeerde’ virtuele
beeldpunten weergegeven. De stralen zijn nu weggelaten. Virtuele beeldpunten van het lichte
vlak zijn weer aangegeven met cirkeltjes, die van het donkere vlak met kruisjes. Tezamen
vormen de virtuele beeldpunten een tweedimensionaal (driedimensionaal als je de dimensie
loodrecht op het papier meetelt) virtueel beeld van het voorwerpsvlak. Je zou het een virtueel
hologram kunnen noemen.
spleet
virtueel
beeld
voorwerp
optische
overgang
Figuur 4. Door de werking van de spleet wordt het virtuele beeld begrensd.
Figuur 5. Het reële beeld zoals dat ontstaat door de werking
van een lens. De diagonale lijn geeft het beeldscherm aan.
3
In figuur 4 is aan de opstelling een spleet toegevoegd. Hierdoor wordt het gedeelte van het
virtuele beeld dat zichtbaar is, begrensd in ‘diepte’, dat wil zeggen in de tekening naar links
en naar rechts. De begrenzing naar boven en naar onder wordt veroorzaakt door de eindige
afmetingen van het voorwerpsvlak. Het geheel van het virtuele beeld is opgebouwd uit
infinitesimaal dunne lagen. In de figuur zijn van links naar rechts acht van deze ‘beeldlagen’
zichtbaar. Ook is zichtbaar hoe deze ‘beeldlagen’ ten opzichte van elkaar verschoven zijn; dit
heeft belangrijke gevolgen wanneer men dit virtuele beeld door middel van een lens op een
beeldscherm projecteert.
Wanneer de spleet in figuur 4 wordt vervangen door een lens met een lensopening die even
groot is als de breedte van de spleet, wordt het virtuele beeld geprojecteerd in een gelijkvormig beeld rechts van de lens. Dit – nu reële – beeld is 180 graden gedraaid te opzichte van
het virtuele beeld en eventueel vergroot of verkleind, afhankelijk van de brandpuntsafstand
van de lens. Dit is weergegeven in figuur 5. Het moge duidelijk zijn dat dit beeld nooit geheel
scherp op een beeldscherm kan worden geprojecteerd. Het minst onscherp wordt de projectie
als het beeldscherm midden in het beeld wordt geplaatst, ongeveer zoals aangegeven door de
diagonale lijn in de figuur.
Figuur 6. Een vergrootte uitsnede uit figuur 5 waarin de overlap tussen het
beeld van het lichte en het donkere vlak is aangegeven.
Figuur 6 is een vergrootte uitsnede van figuur 5, zij het dat het beeldscherm nu uiterst rechts
in het beeld is geplaatst om het effect van de verschoven ‘beeldlagen’ duidelijker te laten
uitkomen. Van een licht en een donker ‘uitgesmeerd’ beeldpunt is de projectie op het
beeldscherm weergegeven, respectievelijk in grijs en in zwart. In deze figuur is duidelijk
zichtbaar hoe de projecties van beide voorwerpspunten elkaar gedeeltelijk overlappen. Dit
geldt voor de projecties op het scherm van alle beeldpunten. Het gevolg is dat er op de grens
tussen lichte en donkere beeldpunten een geleidelijke overgang ontstaat. Dit is schematisch
weergegeven in figuur 7.
4
beeldrand ten gevolge van de begrenzing
van het voorwerpsvlak
licht (wit)
‘uitgesmeerde’ projecties van
lichte en donkere punten
cyaan
blauw
violet
donker (zwart)
beeldscherm
beeldrand ten gevolge van de begrenzing
van het voorwerpsvlak
Figuur 7. Overlappende ‘uitgesmeerde’ beelden van lichte
en donkere voorwerpspunten.
Het ontstaan van kleuren
Wanneer het experiment met een opstelling volgens figuur 4 met een lens wordt uitgevoerd,
zijn op het beeldscherm blauwe kleuren waarneembaar. Van boven naar beneden is het
kleurverloop: wit – cyaan – blauw – violet – zwart. (Wanneer het witte en het zwarte vlak van
het voorwerp worden verwisseld, zijn gele tot rode kleuren waarneembaar. Van boven naar
beneden is het kleurverloop dan: zwart – rood – oranje – geel – wit.)
Verklaring met Goethes oerfenomenen
De door Goethe geformuleerde oerfenomenen zijn:
1. Lichte beelden voor donkere beelden geven blauw-violette kleuren.
2. Donkere beelden voor lichte beelden geven geel-rode kleuren.
In het bovenstaande is aan getoond dat er inderdaad sprake is van overlap tussen lichte en
donkere beelden. Nu moet nog worden aangetoond dat de lichte beelden vóór de donkere
beelden verschijnen.
In figuur 6 is met een pijl een punt op het beeldscherm aangegeven waar zowel een donkere
als een lichte straal aankomen. Het reële beeldpunt van de lichte straal is in de figuur
aangegeven met een grijs cirkeltje, het reële beeldpunt van de donkere straal met een zwart
cirkeltje. Zichtbaar is dat het reële beeldpunt van de lichte straal verder van het beeldscherm
ligt dan het reële beeldpunt van de donkere straal. Dit betekent dat het virtuele beeldpunt van
de lichte straal juist dichter bij het beeldscherm ligt dan het virtuele beeldpunt van de donkere
straal. Het virtuele beeld is immers 180 graden gedraaid ten opzichte van het reële beeld.
Kijkend in de richting van het virtuele beeld zien we dus lichte beeldpunten vóór donkere,
hetgeen volgens het door Goethe geformuleerde oerfenomeen inderdaad blauwe kleuren
veroorzaakt.
Uit figuur 7 blijkt verder dat het bovenste gedeelte van het beeldscherm alleen deel uitmaakt
van beeldruimtes van lichte voorwerpspunten. Dit gedeelte van het scherm is dus licht (wit).
In het gedeelte van het beeldscherm daar direct onder overheersen de beeldruimtes van de
lichte voorwerpspunten die van de donkere waardoor het cyaan ontstaat. In het midden van
het beeldscherm zijn licht en donker even sterk vertegenwoordigd waardoor op die plaats het
blauw ontstaat. In het gedeelte daar weer onder overheerst het donker het licht waardoor
5
violet ontstaat. En tenslotte maakt de onderkant van het beeldscherm alleen deel uit van de
beeldruimtes van donkere voorwerpspunten waardoor dat gedeelte donker (zwart) is.
Conclusie
De werking van een optisch actieve overgang – zoals bijvoorbeeld bij het grensvlak tussen
water en lucht of bij een prisma – veroorzaakt dat het beeld van een voorwerp achter deze
overgang onscherp wordt. Het (virtuele of na projectie door een lens reële) beeld bestaat uit
een oneindig aantal infinitesimaal dunne beeldlaagjes die ten opzichte van elkaar verschoven
zijn. Wanneer je door een optische overgang naar een licht (wit) naast een donker (zwart) vlak
kijkt, zie je de grens tussen beide vlakken alsof het donkere vlak over het lichte wordt
uitgesmeerd en omgekeerd. Afhankelijk van de stand van de optische overgang ten opzichte
van de licht-donker grens schuiven zo lichte beeldlagen voor donkere of donkere voor lichte.
Een in elkaar spelen van licht en donker waardoor volgens Goethes oerfenomeen blauwviolette respectievelijk geel-rode kleuren ontstaan.
6